三角恒等变形求值

1
三 角 恒 等变 形 求 值
秒杀秘籍：第一讲 三角恒等求值
一些非特殊角的三角恒等变形求值题，由于最后得出的是一个具体的数值，故将其设为一个元t ，再利用恒等变形公式计算出结果．
【例 1】利用三角公式化简： sin 50（︒ 1 + 【例 2】求 tan 20︒ + 4 sin 20︒ 的值． tan10︒）. 【例 3】求 tan 70︒cos10︒( 3 tan 20︒ -1) 的值． 【例 4
】
3－sin 70°
等于
．
2－cos 210° cos85︒ + sin 25︒cos 30︒
【例 5】化简：
． cos 25︒
【例 6】求值：
sin 40︒ + sin 50︒ (
1 + 3 tan10︒
)
． sin 65︒
秒杀秘籍：第二讲 sin 2x + 2 cos x 与sin 2x + 2sin x 类型的数形结合方法 【例 7】（2018•全国Ⅰ卷 16）已知函数 f (x ) = 2sin x + sin 2x ，则 f (x )的最小值是
．
【例 8】已知函数 f (x ) = 3 sin 2x + 2sin x + 4 3 cos x ，则 f (x )的最大值是
．
秒杀秘籍：第三讲 探秘 f (x ) = sin x cos x + m sin x + n cos x 最值
定理：若 m n > 0 , f (x ) 存在最大值， 若 m ⋅ n < 0 , f (x ) 存在最小值，若 m ⋅ n = 0 , f (x ) 最大最小都可根据奇
偶性来求．其中求最值的充要条件： sin x = m + cos x
cos x n + s in x
证明最大值时如下：
①必要探路：若 x = p ,p Û最大值， 若 x = -p , - p
Û最小值．（在 2018 高考题解答中给到了数形结合）
3 6 3 6
3 1 + cos 50︒
5 2 2 ) )
sin x m + cos x m + cos x m - tn tm - t 2n 2 2
② = cos x n + s in x = t ，则 = t ∴cos x = n + t cos x ， s in x = t 2
- 1 t 2 - 1 ， sin x + cos x = 1，则t = ？（也 可以考虑万能公式，参考例题 23）
【例 9】（2018•全国Ⅰ卷 16）已知函数 f (x ) = 2sin x + sin 2x ，则 f (x )的最小值是 ． 【例 10】已知函数 f (x ) = sin 2x + (
2 + 3)
sin x - cos x ，则 f (x )的最小值是
．
【例 11】（张联忠老师提供）求 f (x ) = sin x cos x + sin x + 5 cos x (0 < x < π
的最大值．
3 2
【例 12】（2015•武汉模拟）已知函数 f (x ) = sin x cos x + sin x + 2 cos x (0 x π
，则函数 f (x ) 的最大值为
（ ）
A ．1
B ． 7 5
C ．
38 25 5 2 D ． 43 25 综上所述，当 m = 1， n = k (c > 0, k > 0) 时，必要探路步骤中，通常令sin x = a ， cos x = b
来设计，例 8 和
c c c 例 9、10 属于特殊角，容易构造出来，但例 11 和 12 中，都是分母暴露了构造的方向，比如例 11 中，由于
n = 5 ， sin x = a > cos x = b ， 最 终 发 现 a = ， b = 2 时 构 造 成 功 ； 例 12 中 ， 由 于 n = 2 ，
3 3 3 5 sin x = a > cos x = b
，最终发现 a = 4 ， b = 3 时构造成功；获取模型的解题思路同时，一定需要获取一个半
5 5 成品定理或者公式，并不是要求记忆深刻，而是在下次遇到的时候，不能仅仅感觉此题做过，如果做过而没有细究和深入挖掘，那么每次做题都会花同样的时间，效率提不上去．本书更多是启发思考，关于一些二级结论或者秒杀公式，更多是代表数学解题和研究的一个方向，不是想着去改变数学教与学，而是笔者认为数学的教育学本来就是这个样子．不建模，无数学！
达 标 训 练 1
1．（2017•新课标Ⅲ）已知sin α- cos α= 4
，则sin 2α= （ ）
3
A ． - 7 9
B ． - 2 9
C ． 2
9
D ． 7
9
2．（2016•新课标Ⅱ）
若 π -α) = 3
，则sin 2α= （ ） A ． 7 25 4 5
B ． 1 5
C ． - 1
5 D ． - 7
25
3．（2013•重庆） 4 cos 50︒ - tan 40︒ = （
）
A ．
B ．
2 + 3
C ． 2
D ． 2 - 1 4．（2012•重庆） sin 47︒ - sin17︒ c os 30︒
= （
） cos17︒
A ． - 3 2
B ． - 1
2
C ． 1
2
D ． 3
2 3 cos(
3 ) 5．（2012•大纲版）已知α为第二象限角， sin α+ cos α= 3
，则cos 2α= （ ） 3
A ． - 5 3
B ． - 5 9
C ． 5
9
D ． 5
3
6．（2011•辽宁）设 π +θ) = 1
，则sin 2θ= （ ） A ． - 7 9 4 3
B ． - 1
9 C ． 1 9 1 + tan α
D ． 7
9
7．（2010•宁夏）若 cos α= - 4 ，α是第三象限的角，则
5 2 1 - tan α 2
= （ ）
A ． - 1
2 B ． 1 2
C ． 2
D ． -2
8．（2008•海南）
3 - sin 70︒
2 - cos 2 10︒
= （ ）
A ． 1
2
B ． 2
2
C ． 2
D ． 3
2
9．（2006•辽宁）已知等腰 ∆ABC 的腰为底的 2 倍，则顶角 A 的正切值是（ ）
A ． 3
B ． 2
C ． 15 8
D ．
15 7 10．（2011•重庆）已知sin α= 1
+ cos α，且α∈
π ，则 cos 2α 的值为 ．
(0, ) 2 2
sin(α- π 4
11．（1996•全国）求值：tan20°+tan40°+ tan20°tan40°=
．
12．（2016•江苏）在锐角 ∆ABC 中，若sin A = 2 s in B s in C ，则 tan A tan B tan C 的最小值是
．
13.已知函数 f (x ) = sin 2x + 2 s in x +
4 13 - 10 cos x (0 < x < π
，则 f (x ) 的最大值是
．
3 13
2
14.已知函数 f (x ) = sin 2x +
3
sin x + 3cos x ，则 f (x ) 的最大值是 ．
3
15．（2007•福建）在 ∆ABC 中， tan A = 1 ， tan B = 3
．
4 5 （1）求角C 的大小；
3 sin( )
17 3 m 1
（2）若 AB 边的长为 ，求 BC 边的长．
16．（2006•四川）已知 A 、 B 、C 是 ∆ABC 三内角，向量 = (-1, 3) ， n = (cos A , sin A ) ，且 m n = 1， （1）求角 A ；
（2）若 1 + sin 2B
cos 2
B - sin 2 B
= -3 ，求 tan C ．
达 标 训 练 2
1．（2018•长沙模拟）若sin p - x = 4 ，则sin p
+ 2 x 的值为（
）
6 5 6
24 24 7 7 A ． B ． - C ．
25 25 25
D ． -
25
2．（2018•赣州一模）已知θ∈ (0 ，π) ， sin + p = ，则cos 2θ= （
）
4 2
1 1
A ． -
B ． -
C ．
D ． 2
2 2 2
3．（2018•开封三模）已知sin a + p = 3 ，则sin 3p
-a =（
）
A ． 4
5
4 5 B ． - 4
5
4 C ． 3
5
D ． - 3
5
4．（2018•上饶二模）
sin 65
sin 35 cos 30
cos 35°
=（
） A ． - 3
2 B ． - 3
2
C ． 1
2
D ． 3
2
3
3
3
5．（2018•日照二模）若sin x + p
1 = ，则sin 5 p - x + cos p -
x 值为（ ） 6 4
6 3
1 1
A ．
B ． -
C ．
2
2
2
D ． -
2
6．（2018•湛江二模）已知a Î 0,p 4 ， cos 2a = 4 ，则sin 2 5 p +a 4
=（
）
A ． 1 5
B ． 2 5
C ． 3
5
D ． 4
5
7．（2018•广州一模）已知sin x - p 3 = ，则cos
p + x =（ ） A ． 4
5
4 5 B ． 3
5
4 C ． - 4
5
D ． - 3
5
8．（2018•湖南模拟）已知sin a + cos a = 5 sin ，则cos 2
3
p +a 4 =（ ） A ． 2 3 B ． 5 18 C ． 5
18
D ．
13 18
9．（2018•延边州模拟）已知sin a - cos a = 4 ，则cos 2
3
p -a 4 =（ ） A ． 1 9 B ． 2 9 C ． 4
9
D ． 5
9 10．（2018•齐齐哈尔二模）函数 y = 1 sin x - p - cos x -
2p 的最大值为（ ） A ． 1
4
B ． 1
2 4 6
3 C ． 3
4
D ． 5
4
11．（2018•内江一模）已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x cos x ，则（ ）
A ． f (x ) 的最小正周期为 2π
B ． f (x ) 的最大值为 2
C ． f (x ) 在 p , 5p
上单调递减
D ． f (x ) 的图象关于直线 x = p 对称
3 6
12．（2018•日照二模）已知sin
x + p = 1 ，则cos 2
p - x 6 的值为（ ）
A ． 1
4
6 4 B ． 3
4
3
C ．
15
16
D ． 1
16 13．（2018•上饶二模）函数 f (x )= sin 2x + p 1 p + cos 2x -
的最大值为（ ）
A ． 1
3
14．（2017•香坊期末） A ． - 1
2
B ． 2
3
sin10 sin 80
cos 2 35°- sin 2
35° B ． 1 2 6 3 3 C ．1 D ． 4 3 的值为（ ） C ．1 D ． -1
15．（2018•渭南一模）已知函数 y = cos 2 x + 3 sin 2x - 1 ，x ∈（0， p
），则该函数的值域为
．
2 2 2
16．（2018•凌源市模拟）sin 47 sin17 cos 30
cos17°
的值等于．
17．（2018•安徽模拟）2 cos 55°- 3 sin 5°
的值为．cos 5°
18．（2018•重庆模拟）3 tan10°-1
= ．（用数字作答）sin10°
19．（2018•辽阳一模）已知sin10︒+m cos10︒= 2 cos140︒，则m = ．20．（2017•台州期末）求值：cos 40︒(1 + 3 tan10︒) = ．
21．（2017•田家庵期末）
1
-
3
的值是．sin10 sin 80
22．（2017•武昌期末）计算tan 40°+ tan 80°+ tan 240°
= ．tan 40 tan 80。