高中数学第3讲 函数的单调性(教案)新人教版必修1

函数的单调性
教学目标：掌握函数单调性（高考要求 B ）
教学重难点：掌握函数单调性的定义及证明方法，并会用函数单调性解决有关综合性问题。

教学过程： 一、知识要点：
1、函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,
当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的增函数，D 叫f(x)单调递增区间. 当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的减函数，D 叫f(x)单调递减区间. 2、函数单调性的判断方法：
（1）定义法。

步骤是：①任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2 ②作差f(x 1)－ f(x 2)或作商
()()
()()0112≠x f x f x f ，并变形， ③判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()
()
12x f x f 与1的大小， ④根据定义作出结论。

（2）图象法；借助图象直观判断。

（3）复合函数单调性判断方法：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈ 若内外两函数的单调性相同，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递增， 若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递减。

3、常见结论
增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数 ； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是 减函数 ； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数 ； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数 。

若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ； 若f(x)>0且为增函数，则函数)
(1
x f 在其定义域内为减函数 ；二、基础练习： 1. 写出下列函数的单调区间
（1）,b kx y += （2）x
k y =
， （3）c bx ax y ++=2
. 2．已知2
()(34)21f x k k x k =-+++-在R 上是增函数,则k 的取值范围. （-1，4） 3．函数2
()(1)2f x x m x =+-+在(,4]-∞上是减函数,则求m 的取值范围. m ≤-7
4. 已知函数
[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-上是单调函数. a 的取值范围是 a ≤-5
或 a ≥5
5.函数f （x ）在（0，＋∞）上是减函数,求f （a 2－a ＋1）与f （3
4 ）的大小关系是 ≤
三、例题精讲：
题型1：单调性的判断：
例1．（1）求函数2
2||3y x x =-++的单调区间。

(图像法) (-∞，-1],[0,1] 递增 ， [-1,0],[1, +∞)递减。

（2）判断函数f （x ）＝1
x 2－4x 的增减情况。

（复合函数法）
（-∞，0），（0，2）递增 , （2，4）,(4,+ ∞) 递减. 题型2：单调性的证明： 例2.已知函数f (x )=a x +
1
2
+-x x (a ＞1).证明：函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数.（定义法）
变式：.已知函数f （x ）在定义域M 内为减函数，且f （x ）＞0，则g （x ）＝1＋2
f （x ） 在M
内为增函数。

题型3：单调性的应用：
例3.已知函数f （x ）＝a x ＋1
x ＋2 在区间（－2，+∞）上单调递增，求a 的取值范围。

a>1/2
变式：讨论函数()(0)a
f x x a x
=+
>的单调性；
（定义法） 例4.（2008·青岛调研）已知f (x )=a
x x
-(x ≠a ).
（1）若a =-2,试证f (x )在（-∞,-2）内单调递增；
（2）若a ＞0且f (x )在（1,+∞）内单调递减，求a 的取值范围. （1）证明 任设x 1＜x 2＜-2,则f(x 1)-f (x 2)=
.)
2)(2()
(22221212211++-=+-+x x x x x x x x
∵(x 1+2）(x 2+2)＞0,x 1-x 2＜0,∴f (x 1)＜f (x 2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. （2）解 任设1＜x 1＜x 2,则f(x 1)-f(x 2)=
.)
)(()
(21122211a x a x x x a a x x a x x ---=---
∵a ＞0,x 2-x 1＞0,∴要使f(x 1)-f(x 2)＞0,只需(x 1-a)(x 2-a)＞0恒成立，∴a ≤1.综上所述知0＜a ≤1. 4：抽象函数的单调性：
例 5.已知f (x )在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f (xy )=f (x )+f (y ),f (3)=1,试解不等式f (x )+f (x -8)≤2.
解 根据题意，由f(3)=1,得f(9)=f(3)+f(3)=2.又f(x)+f(x-8)=f ［x(x-8)］,故f ［x(x-8)］≤f(9).
∵f （x ）在定义域（0,+∞）上为增函数，∴⎪⎩
⎪⎨⎧≤->->,9)8(080x x x x ，，
解得8＜x ≤9.
变式：已知y =f (x )是定义在（-2，2）上的增函数，若f (m -1)＜f (1-2m )，则m 的取值范围是 (-)3
2,21 例6.已知函数y =f (x )对任意x ,y ∈R 均有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x ＞0时，f (x )＜0,f (1)=-3
2. (1)判断并证明f (x )在R 上的单调性； （2）求f (x )在［-3，3］上的最值.
解 （1）f(x)在R 上是单调递减函数证明如下：
令x=y=0,f(0)=0,令x=-y 可得：f(-x)=-f(x),在R 上任取x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0, ∴f(x 2)-f(x 1)=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2-x 1).又∵x ＞0时，f(x)＜0,
∴f(x 2-x 1)＜0,即f(x 2)＜f(x 1).由定义可知f(x)在R 上为单调递减函数. （2）∵f(x)在R 上是减函数，∴f （x ）在［-3，3］上也是减函数. ∴f （-3）最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×（-)3
2=-2. ∴f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2.
例7.设f （x ）定义在R +上，对于任意a 、b ∈R +，有f （ab ）＝f （a ）＋f （b ） 求证：（1）f （1）＝0；（2）f （ 1x
）＝－f （x ）；
（3）若x ∈（1，+∞）时，f （x ）＜0，则f （x ）在（1，+∞）上是减函数. 证明：（1）令a ＝b ＝1，则： f （1）＝f （1）＋f （1） ∴ f （1）＝0 （2）令a ＝x ，b ＝1x ，则： f （1）＝f （x ）＋ f （ 1x ） ∴ f （ 1
x ）＝－f （x ）
（3）令1＜x 1＜x 2，则： －f （x 1）＋f （x 2）＝f （x 2）＋f （
1x 1 ）＝f （ x 2
x 1
） ∵1＜x 1＜x 2 ∴x 2x 1 ＞1 ∴f （ x 2
x 1
）＜0 即f （x 1）＞f （x 2）
∴ f （x ）在（1，+∞）上是减函数.
题型5：综合应用
例8.（09江苏卷20题）设a 为实数，函数
2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求
()f x 的最小值；
(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．
(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。

满分16分
（1）若(0)1f ≥，则20
||111
a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩
（2）当x a ≥时，2
2
()32,f x x ax a =-+2
2min
(),02,0()
2(),0,033
f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩ 当x a ≤时，22
()2,f x x ax a =+-2
min
2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩
综上22
min
2,0
()2,03
a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩ （3）(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得2
2
3210x ax a -+-≥， 当6622
a a ≤-
≥或时，0,(,)x a ∆≤∈+∞； 当6622a -<<时，△>0,得：223232()()033a a a a x x x a
⎧--+-⎪--≥⎨⎪
>⎩ 讨论得：当62
22
a ∈
+（-∞，-）∪（，∞）时，解集为(,)a +∞; 当62
(,)22a ∈-
-时，解集为223232(,][,)33a a a a a --+-⋃+∞; 当22
[,]22
a ∈-
时，解集为232[,)3a a +-+∞. 三．自我检测
1.已知函数y =f (x )是定义在R 上的增函数，则f (x )=0根的个数 0或1
2.已知f (x )是R 上的增函数，若令F （x ）=f （1-x ）-f （1+x ），则F （x ）是R 上的单调性是减函数
3.若函数f (x )=x 2
+(a 2
-4a +1)x +2在区间（-∞，1］上是减函数，则a 的取值范围是 ［1，3］
4.函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ，其中a 、b 、c ∈R ，则a 2
-3b ＜0时，f (x )是 增函数 5.已知函数f (x )=x 2
-2x +3在闭区间［0,m ］上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为 ［1，2］
6．函数22
(31)y ax a x a =--+在[1,+∞)递增,则a 的取值范围是 a ≤1/2 。

7.若函数y =x 2
-3x -4的定义域为［0，m ］，值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--
4,425，
则m 的取值范围是 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3,23 8．函数()y f x =在区定义域(1,1)-上是单调递减，且2
(1)(1)0f a f a ---<，则实数a 的取值范围. (0,1)
9．求证：函数2
y x x
=+
在区间2)上是单调减函数。

10.已知f (x )的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （2）＝1，试解不等式f （x ）－f （x －2）＞3. 解：由f （2）＝1及f （xy ）＝f （x ）＋f （y ）可得
3f （2）＝3＝f （2）＋f （2）＋f （2）＝f （4）＋f （2）＝f （8）
∴f （x ）－f （x －2）＞3 ∴f （x ）＞f （x －2）＋3＝f （x －2）＋f （8）＝f [8（x －2）] 又函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是增函数
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0x －2＞0x ＞8（x －2）
即2＜x ＜167
11．已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ，恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1，且f (－2
1
)=0,当x >－
2
1
时，f (x )>0。

(1)求证 f (x )是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证。

解析：（1）设12,,x x R ∈且12x x <，则()()()()22112111f x f x x x f x x f x =-+=-+-
2121,0
x x x x >∴->，
2111
22
x x ∴--
>-2110
2f x x ⎛
⎫∴--> ⎪⎝
⎭，
211122f x x ⎛
⎫--+ ⎪⎝
⎭=
211122f x x ⎛
⎫--+ ⎪
⎝
⎭=
2111122f x x f ⎛
⎫⎛⎫
--+
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由已知得
()()()()000101f f f f =+-⇒=
()1110112222f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=+
--=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 从而()()()22111f x f x x f x =-+-= ()()()211111*********f x x f f x f x f x ⎛
⎫⎛⎫
--+
-+->+-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
,从而可和得f (x )是单调递增函数;
(2)举例：()21f x x =+就满足题设条件.。