人教A版高中必修二试题树德中学-高二上学期期中考试试题(文科).doc

H G
F
E
D C
B
A 树德中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题（文科）
命题人：杨世卿 审题人：陈杰
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题仅有一个正确答案。

1．以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角；可能为钝角的有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
2. 一种冰激凌机的模型上半部分是半球，下半部分是圆锥，其三视图 如图所示，则该型号蛋糕的表面积S 是（ ） A ．π115 B ．π110 C ．π105 D ．π100
3. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和 上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ） A. 12＋22 B ．1＋2
2
C ．1＋ 2
D ．2＋ 2 4.已知两不同直线n m ,与三不同平面γβα,,，下列条件能推出α∥β的是 （ ）
A ．γα⊥且γβ⊥
B ． α⊂m ，β⊂n ，n m //
C ．α⊥m 且β⊥m
D ．α⊂m ,α⊂n ,β//m , β//n
5.下面四个说法中，正确的个数为 （ ）
①三点确定一个平面；
②ABC ∆在平面α外，其三边延长线分别和α交于R Q P ,,,则R Q P ,,一定共线； ③一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等； ④在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6. 在正三棱柱(底面是正三角形，侧棱和底面垂直)111C B A ABC -中，12BB AB =,则异
面直线1AB 与B C 1成角的大小为（ ）
A ．60°
B ．90°
C ．105°
D ．75°
7. 如图，空间四边形ABCD 的对角线BD AC ,相等，顺次连接各边中点
H G F E ,,,,则四边形EFGH 一定是（ ）
A ．矩形
B ．正方形
C ．菱形
D ．空间四边形
8．,,PA PB PC 是从点P 引出的三条射线，两两夹角为60o
，则直线 PC 和平面PAB 所成角的余弦值为 （ ）
A ．1
2 B ．2 C ．
3 D ．6
9．异面直线b a ,所成角为3π
，直线a c ⊥，且c 也与b 异面，
则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ）
A ．]2,6[ππ
B ．]2,3[ππ
C ．]3,6[ππ
D ．]32,3[ππ
10. 有一个长方体容器1111D C B A ABCD -,装的水占恰好占其 容积的一半；α表示水平的桌面,容器一边BC 紧贴桌面， 沿BC 将其翻转使之略微倾斜，最后水面(阴影部分)与其各 侧棱的交点分别是EFGH （如图），则下列对翻转后水形成 的几何体形状说法正确的是 （ ） A ．棱台 B ．棱柱
C ．棱锥
D ．和容器尺寸有关，不能确定
11. 如图，矩形ABCD 的长2=AB ，宽x AD =，若⊥PA 平面ABCD ， 矩形的边CD 上至少有一个点Q ,使得BQ PQ ⊥，则x 的范围是（ ） A ．10≤<x B ．20≤<x C ．21≤<x D ．1≥x
12.我们知道，在平面直角坐标系中，方程1=+b y a x 表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x 轴，y 轴上的截距分别为b a ,”；类比到空间直角坐标系中，方程1
2
2=++z y
x 表示的点集对应的图形也具有某特定性质，设此图形为α，则坐标原点到α的距离是（ ）
A ．3
B ．2
C ．5
D ．36
二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分。

请将最简结果填在横线上。

13.ABC ∆所在平面α外一点P 满足PC PB PA ==, 则P 在平面α上的射影必为ABC ∆的_______心．
D 1
C 1
B 1A 1
D
C
B
A
J
I
H G
F E
D C
B
A
B 1
C 1
D 1
A 1
14．如图，平面直角坐标系中，)2,21(A ,)
3,21
(--B ,将其
所在纸面沿x 轴折成直二面角，则折起后的B A ,两点的距
离是 ．
15．球放在墙角（两墙面，地面分别两两垂直），紧靠墙面和底面，球心到墙角顶点的距离
是3，则球的体积是 ．（半径为R 的球体积公式：3
34R V π=）
16.关于图中的正方体1111D C B A ABCD -，下列说法正确的有：___________________． ①P 点在线段BD 上运动，棱锥11D AB P -体积不变；
②一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三
角形；
③一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则此四边形必有一 边平行；
④平面α截正方体得到一个六边形（如图），则截面α在平面
11D AB 与平面1BDC 间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。

树德中学高2011级第三学期期中数学试题（文科）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

请将最简结果填在横线上。

13． 14． 15． 16． 三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明或演算步骤。

17. 长方体1111D C B A ABCD -，其左视图沿AB 方向投影，左视图如图．
（1）证明：C B AC 11⊥；（2）当1AC 长为6时，求多面体111D ABC B -的体积．
18. (12分)两个边长均为3的正方形ABCD 和ABEF 所在平面垂直相交于AB ，FB N AC M ∈∈,,且FN AM =.（1）证明：//MN 平面BCE ；
（2）当2==FN AM 时，求MN 的长度．
19．(12分)如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的一动点． （1）证明：PBC ∆是直角三角形；
（2）若2==AB PA ，且当直线PC 与平面ABC 所成角正切值 为2时，直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
20．(12分)点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角B AC D --． （1）求EOF ∠的大小；（2）求二面角E OF A --的余弦值．
21. (12分)随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行。

下图是其中一个抽象派雕塑的设计图。

图中α表示水平地面。

线段AB 表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC 表示的钢管垂直于α, AB BD ⊥，且保持BD 与AC 异面。

若收集到的余料长度如下：24==BD AC （单位长度），7=AB ，25=CD ，按现在手中的材料和设计要求，求BD 与α应成的角．
22. (14分)一块边长为10的正方形纸片，按如图所示将阴影部分裁下，然后将余下的四个全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥ABCD
S -（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）。

（1）过此棱锥的高以及一底边中点F 作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为y ，将
y 表为x 的函数；
（2）求y 的最大值及此时x 的值；
（3）在第（2）问的条件下，设F 是CD 的中点，问是否存在这样的动点P ，它在此棱锥的表面（包含底面ABCD ）运动，且AC FP ⊥?如果存在，在图中画出其轨迹并计算轨迹的长度，如果不存在，说明理由．
F
E
O
A D C
B
S
树德中学高2011级第三学期期中数学试题（文科）参考答案 一、选择题。

1-5 B A D C B 6-10 B C C A B 11-12 A D 二、填空题。

13．外 14．22 15. π
34 16. ①②③
题号 5 7
10
12 13 14 15
16
《必2》
P46定理 P53 习题2,
P46 例2 及探 究
P46 3 思路类似P137 探究
P67 2
模型来自《选2-1》P106，例2，P107，练习2）（改简单）
《必》 第2章各节都出现的构造长（正）方体模思想。

综合P57 例2，P78 第4题，P79 第2题， 三、解答题：
17.（1）证明：由长方体性质知，C B AB C C BB AB 111⊥⇒⊥平面 又Θ由左视图知11BC C B ⊥, 11ABC C B 平面⊥∴,
而11ABC AC 平面⊂∴,∴C B AC 11⊥.…..6分(直接用三垂线定理也给分)
（2）由
21162
221=⇒++==AB AB AC ， ∴矩形11D ABC 的面积221122
2=+⨯=S ，
又上问已证11ABC C B 平面⊥∴，1B 到11D ABC 的距离即
2112
2=+, ∴要求的体积是
32
222231=
⨯⨯=V 。

.…..12分（用切割前后体积比求亦给分） （此题综合《必修2》第2章各节都出现的长方体模型）
18. （1）证明:法一：如图一，作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂 足，连接PQ ，则MP ∥AB ，NQ ∥AB.
所以MP ∥NQ ，又AM ＝NF ，AC ＝BF ，所以MC ＝NB. 又∠MCP ＝∠NBQ ＝45°，所以Rt △MCP ≌Rt △NBQ ，
所以MP ＝NQ.故四边形MPQN 为平行四边形. 所以MN ∥PQ. …..4分 因为PQ ∥平面BCE ，MN ∥平面BCE ，所以MN ∥平面BCE …..6分 法二：如图二，过M 作MH ⊥AB 于H ，则MH ∥BC.
所以AM AC ＝AH AB .连接NH ，由BF ＝AC ，FN ＝AM 得FN FB ＝AH AB
，
所以NH ∥AF ∥BE. …..2分
…..4分
因为MN ∥平面MNH ，所以MN ∥平面BCE. …..6分 （2）如上问图二，由比例关系易得： 在ABC Rt ∆中，2,1==NH MH ，5=
∴MN 。

.…..12分
（此题模型来自《选修2-1》P113，B 组第2题）
19. 分是直角三角形。

平面平面上在在圆证明：6 )1(⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∆⇒⊥⇒⎪⎭⎪
⎬⎫⊂⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⇒⊥⊥⇒BPC PC BC PAC PC PAC BC PA BC ABC PA AC BC O C
（2）如图，过A 作H PC AH 于⊥,AH BC PAC BC ⊥⇒⊥平面Θ,
PBC AH 平面⊥∴,则ABH ∠即是要求的角。

…..8分
ABC PA 平面⊥Θ∴PCA ∠即是PC 与平面ABC 所成角，…..9分
2tan ==
∠AC PA
PCA ，又2=PC ∴2=AC …..10分
∴在PAC Rt ∆中，
33
2
2
2=+⋅=
AC PA AC PA AH ,…..11分
∴在ABH Rt ∆中，
3323
32sin =
=∠ABH ，即AC 与平面PBC 所成角正弦值为33。

..…..12分(建直角坐标系或向量法亦给分)（此题模型来自《必修2》P69，例3及探究）
20.解法一：（1）如图，过点E 作EG ⊥AC ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥AC ，垂足为H ，则
2EG FH ==，22GH =．
因为二面角D －AC －B 为直二面角，
22222cos90EF GH EG FH EG FH ∴=++-⋅o
222(22)2)2)012.=++-= 又在EOF ∆中，2OE OF ==，
22222222(23)1
cos 22OE OF EF EOF OE OF +-+-∴∠===-
⋅． 120EOF ∴∠=o ． (6)
分
（2）过点G 作GM 垂直于FO 的延长线于点M ，连EM ．
∵二面角D －AC －B 为直二面角，∴平面DAC ⊥平面BAC ，交线为AC ，又∵EG ⊥AC ，∴EG ⊥平面BAC ．∵GM ⊥OF ，由三垂线定理，得EM ⊥OF ． ∴EMG ∠就是二面角E OF A --的平面角．…..9分
在Rt ∆EGM 中，90EGM ∠=o
，EG =，112GM OE ==，
∴
tan EG
EMG GM ∠=
=33=
∠∴EMG COS 所以，二面角E OF A --的余弦值为33。

…..12分 解法二：（1）建立如图所示的直角坐标系O －xyz ，
则(1,OE =-u u u r ，(0,2,0)OF =u u u r
．
1
cos ,2||||
OE OF OE OF OE OF ⋅∴<>==-u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u u
r u u u r ． 120EOF ∴∠=o ．…..6分
（2）设平面OEF 的法向量为1(1,,)n y z =u r
．
由1
10,0,n OE n OF ⋅=⋅=u r u u u r u r u u u r
得
10,20,y y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩
解得0,2y z ==-．
所以，
1(1,0,2n =-u r ．…..9分 又因为平面AOF 的法向量为2
(0,0,1)n =u u r
，…..10分
121212cos ,||||n n n n n n ⋅∴<>==u r u u r
u r u u r u u
r u u r ．…..11分
且根据方向判断，二面角E OF A --的大小为余弦为33。

…..12分
（此题改编自《选修2-1》P118，12） 21.解：(1) 解法一：设D 在α上的射影为H
DH AC DH AC //,⇒⊥⊥ααΘ,
DH AC ,∴共面，∴过D 作⊥DK AC
于K ,则AHDK 为矩形，…..4分
设h DH =，则2
22)(CD AH h AC =+-,①…..6分
由三垂线定理易知
AB BH ⊥)(2
22222h BD AB BH AB AH -+=+=∴②…..8分 将②代入①，得：2
222225)24(7)24(=-++-h h ，解得12=h ，…..10分
于是
21
sin =
∠DBH ,ο30=∠∴DBH ,即BD 与α所成的角是ο30。

…..12分
解法二：按教师教学用书P102的建坐标系方法（如图）。

得到
)24,0,0(),0,7,0(),0,0,0(C B A ，
设),,(z y x D 由：70)0,7,0(),7,(=⇒=⋅-=⋅→
→
y z y x AB BD ，
12,31225)24(724
25,242
2222==⇒⎩⎨⎧=-++=+⇒==→
→
z x z x z x CD BD 由……..8分
)12,7,312(D ∴，)
12,0,312(=∴→
BD ο602
1
cos >=⋅<⇒=⋅⋅=
∴→→→
→
→
→AC BD AC
BD AC
BD θ,
且→
CA 是α的一个法向量，∴根据图中方向可知，BD 与α应成角为ο
30。

……..12分 解法三：向量法（理科）
（此题模型来自《选修2-1》P113，例9，P111，练习1）
22. (1)由题意，)
100(,425225212122
2
<<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=⋅=x x x x x SO EF y 进一步化为：)
100(,41002
<<-=x x x y （注：两个形式的结果都给分）….4分 (2)
225210041)100(414100222
22=
-+⋅≤-=-=∴x x x x x x y 。

当且仅当
)100(1002
2<<-=x x x ，即25=x 时取得最大值。

…..9分
（3）存在这样的点的轨迹，下面说明：
取BC 的中点G ，SC 中点T ，连接TF GT FG ,,,易证明⊥AC 平面GFT 。

（可由,SBD AC 平面⊥且//TGF 平面,SBD 平面也可证⊥AC GT ，AC 等，均给分）,此时，只要P 在平面GFT →
→⊥AC FP 。

此时，由中位线性质可知，GFT ∆的周长l
)(21
SD BD SB ++=
22)2(5)2)2(5)2(5(21222222x
x x x x ++=++++=
在（1）的条件下，l
210
65+=。

…. …….14分
（注一：找出来，并作图，给2分，说明2分，周长1分）
（注二：作图顺序和方式可能不同，但目标只要是找过点F 和直线AC 垂直的平面，与棱锥的表面的交线，即给分，例如上面找平面GFT 的过程亦可先连接GF 与AC 交于H ,过
H 作SC HT //于T ，这样找到T 的过程已经证明了平面GFT 是AC 的垂面）。