人教A版必修四第二中学2012第二学期.docx

元宝山区第二中学2012-2013学年第二学期
高一数学期末模拟试题(理科)
一 选择题（每小题5分，共60分 ） 1．0
210cos 的值为 （ D ）
A.
21 B. 23 C. 2
1
-
D. 2
3
-
2．既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( B ) (A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =
3．已知点()()1,3,4,1,A B -则与向量AB u u u r
同方向的单位向量为（ A ）
A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭
，-
B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭
，-
C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37116a a a ＋＋＝，则13S 等于 ( C ) A ．24
B ．25
C ．26
D ．27
5．已知向量(sin ,cos ),(3,4)a b θθ==r r
，若a b ⊥r r ，则tan 2θ等于 （ A ）
A ．
247 B ．6
7
C ．24
25
-
D ．247-
6．已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是（ C ） (A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2
x π
=
对称
(C)()f x 的最大值为3
2
(D)()f x 既奇函数,又是周期函数 7．点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB u u u r 在CD u u u r
方向上的投影（ A ）
A ．
32
2
B ．
315
2
C ．32
2
-
D ．315
2
-
8．若35cos(),sin ,(0,),(,0)51322
ππ
αββαβ-=
=-∈∈-且，则sin α等于（ 才 ）
A.6365
B. 3365-
C. 3365
D. 6365
-
9．将函数()3cos sin y x x x R =
+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的
图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( B ) A.
12
π B.
6
π
C.
3
π
D.
56
π
10．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为,,,a b c 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为( B )
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
11．设{a n }是公比q ≠－1的等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和
分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是 ( D )
A ．X ＋Z ＝2Y
B ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )
C ．Y 2
＝XZ D ．Y (Y －X )＝X (Z －X ) 12．过圆x 2
＋y 2
＝10x 内一点(5，3)有k 条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首
项a 1，最大弦长为数列的末项a k ，若公差d ∈⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡2131 ，，则k 的取值不可能是 ( A ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
二 填空题（每小题5分，共20分） 13．函数()2sin(),(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-<<
的部分图象如右图所示,则,ωϕ的值分
别是____2, 3
π
-
___________ 14．设sin 2sin αα=-,(,)2
π
απ∈,则cos2α的值是_____3____
15．在等差数列{}n a 中,已知
3810
a a +=,则
573a a +=
_____20____
16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第n 个三角形数为
()2111
222
n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:
三角形数 ()211,322
N n n n =
+ 正方形数 ()2
,4N n n = 五边形数 ()231,522
N n n n =
- 六边形数 ()2
,62N n n n =-
可以推测(),N n k 的表达式,由此计算()10,24N =____1000_______
三 解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）
17．已知向量(1,2)a =r ，(3,2)b =-r
.
（1）求||a b +r r 和||a b -r r
；
（2）当k 为何值时，()//(3)ka b a b +-r r r r
．
. 解：（1）因为向量(1,2)a =r ，(3,2)b =-r
，则
(2,4)a b +=-r r ，(4,0)a b -=r r
， ……（2分）
故22
||(2)425a b +=-+=r r ，22||(4)04a b -=-+=r r ． ……（4分） （2）因为(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+r r
，
3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-r r
， ……（6分） 若()//(3)ka b a b +-r r r r
，则 4(3)10(22)0k k ---+=， ……（7分）
解得 13
k =-. ……（9分）
18．已知向量1
(cos ,),(3sin ,cos2),2
x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .
(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期.
(Ⅱ) 求()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
【答案】
解:(Ⅰ)()·f x =a b =)6
2sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π
-=-=-
⋅x x x x x x . 最小正周期ππ
==
2
2T . 所以),6
2sin()(π
-=x x f 最小正周期为π.
(Ⅱ)
上的图像知，在，由标准函数时，当]6
5,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[π
πππππx y x x =∈-∈.
]1,2
1
[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .
所以,f (x) 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值分别为21,1-.
19．在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=. (I)求角A 的大小;
(II)若ABC ∆的面积53S =,5b =,求sin sin B C 的值.
【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=
22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1
cos 2
A =
,角60A =︒ (II)1sin 532S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:2
21a =,()222
228sin a R A == 25
sin sin 47
bc B C R ∴=
=
20. 如图，某观测站C 在城A 的南偏西ο
20方向上，从城A 出发有一条公路，走向是南偏东ο
40在C 处测得距离C 为31千米的公路上的B 处有一辆车正沿着公路向城A 驶去．该车行驶了20千米后到达D 处停下，此时测得C 、D 两处距离为21千米 （1）求CDB ∠cos 的值；
（2）此车在D 处停下时距城A 多少千米？ 解：
（1）在CDB ∆中，由余弦定理得
7
1
202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⨯-+=∠BD CD BC BD CD CDB （4分）
(2)7
3
4cos 1sin 2
=
∠-=∠CDB CDB ； （5分） 14
3
560sin cos 60cos sin )60sin(sin =
⋅∠-⋅∠=-∠=∠ο
ο
ο
CDB CDB CDB ACD ；（7分） 在ACD ∆中，由正弦定理得：152
3143
521sin sin =⨯
=
∠∠⋅=
CAD
ACD
CD AD (9分)
答： 此车在D 处停下时距城A 处15千米。

(10分)
21．．已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
R ，（其中0ω>） （1）求函数()f x 的最大值；
（2）若函数()f x 的最小正周期为π，试确定ω的值，并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间；
（3）在（2）的条件下，若不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，求实数m 的取
值范围．
解：（1）2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛
⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭R ， =
2
3
sin x ω+
2
1cos x ω+
2
3sin x ω-
2
1cos x ω- (cos x ω+1)
=2(
2
3sin x ω-2
1cos x ω)-1=2sin(x ω-
6
π)-1
⇒函数()f x 的最大值为1————4分
（2）()y f x =的周期为π，又由ω>0，得π
πω
=2，即得ω=2．
于是有()sin()f x x π=--2216，再由()k x k k Z πππ
ππ-≤-≤+∈222262，
解得()k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈6
3
．
所以()y f x =的单调增区间为[]()k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+∈63
．—————8分
（3）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，
max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，∵，5366
2x ππ
π≤-≤
，
即-2≤2sin(2x -6
π)-1≤1∴ -1＜m ＜0，即m 的取值范围是(-1,0)．————12分
22． 已知数列}2
{1
n n a •-的前n 项和96n S n =-．
（Ⅰ） 求数列｛n a ｝的通项公式； （Ⅱ）设2
(3log )3
n n a b n =⋅-，求数列｛1
n b ｝的前n 项和．
解析：（Ⅰ）1n =时，0
11123,3a S a ⋅==∴=; ……………………………………2分
112
3
2,26,2n n n n n n n a S S a ----≥⋅=-=-∴=
时．………………………………………4分
2
3(1)3
(2)
2n n n a n -=⎧⎪
∴=⎨-≥⎪⎩通项公式 ……………………………………………6分
（Ⅱ） 设
1
n n
n T b 的前项和为， 当1n =时，121111
3log 13,3
b T b =-=∴=
=；…………………………………7分 2n ≥时，2
2
3
(3log )(1)
32n n b n n n -=⋅-=⋅+⋅，∴1n b 1(1)n n =+ ……………10分 ∴n T =
1211111132334n b b b +++=++++⨯⨯L L 1(1)n n +＝51
61
n -+……………12分。