2021年南京市鼓楼四校数学八上期中试卷(题目+答案)

2021年南京市鼓楼四校数学八上期中试卷(题目+答案）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日~2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是()
A．B．
C．D．
2．如图，已知ABC
∆全等的是()∆，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ABC
A．甲B．乙C．丙D．丁
3．满足下列条件的ABC
∆不是直角三角形的是()
A．1
AC=，AB=
BC=，2
AC=，AB=B．1
BC=，2
C．::3:4:5
∠∠∠=
A B C
BC AC AB=D．::3:4:5
4．在如图的方格中，ABC
∆的顶点A、B、C都是方格线的交点，则三角形ABC的外角∠的度数等于()
ACD
A．130︒B．135︒C．140︒D．145︒
5．已知三个城镇中心A 、B 、C 恰好位于等边三角形的三个顶点，在A 、B 、C 之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )
A ．直角三角形的面积
B ．最大正方形的面积
C ．较小两个正方形重叠部分的面积
D ．最大正方形与直角三角形的面积和 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．） 7．4的算术平方根是 ，64−的立方根是 ．
82π，
22
7
3.1415926中，是无理数的有 个． 9．如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，5AB =，6BC =，则AD = ．
（第9题） （第10题） （第11题）
10．如图，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AC EF =，AB DF =，要使ABC FDE ∆≅∆，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个即可）
11．如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线l 交BC 于点D ，7BC =，4AC =，则ACD ∆的周长为 ．
12．如图，在Rt ABC ∆中．90ACB ∠=︒．50A ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ．那么ACD ∠的度数是 ．
13．如图所示，在44⨯的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A 、B ，在方格中任意找一点C （必须是格点），使ABC ∆成为等腰三角形．这样的格点有 个．
14．如图，MAB ∠为锐角，AB a =，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，
BC x =，若ABC ∆的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是 ．
（第12题） （第13题） （第14题）
15．矩形ABCD 中，10AB =，3BC =，E 为AB 边的中点，P 为CD 边上的点，且AEP ∆是腰长为5的等腰三角形，则DP = ．
16．如图，在边长为2的等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，点E 在线段AD 上，连接BE ，在BE 的下方作等边BEF ∆，连接DF ．当BDF ∆的周长最小时，DBF ∠的度数是 ．
（第16题） 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本题4分）2
18、（本题6分）解方程
（1）2
x+=（2）3
(1)64
x+=．
8270
19、（本题5分）已知：如图，ABC DCB
∠的平分
∠、DCB
∠=∠，BD、CA分别是ABC
线，求证：AB DC
=．
20、（本题7分）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
已知：如图，在ABC
∆中，；
求证：；
证明：
21、（本题6分）下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l上一点A．
求作：直线AB，使得AB l
⊥．
作法：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于C，D两点；
②分别以点C和点D为圆心，大于1
2
CD长为半径画弧，两弧在直线l一侧相交于点B；
③作直线AB．
所以直线AB就是所求作的垂线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：AC=，BC=，
(
AB l
∴⊥)．（填推理的依据）
22、（本题8分）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：（1）试说明ADC CEB
∆≅∆；
（2）从三角板的刻度知25
AC cm
=，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）
小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，ABC
∆中，CA CB
=，90
ACB
∠=︒，AD DE
⊥
于D，BE DE
⊥于E．请你帮他完成上述问题．
23、（本题7分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC a =，AC b =，AB c =．将Rt ABC ∆绕点O 依次旋转90︒、180︒和270︒，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． （1）请利用这个图形证明勾股定理；
（2）图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt ABC ∆绕中心点O 顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm 2，这个图形的总面积为113 cm 2，AD ＝2cm ，则徽标的外围周长为 cm.
（图1） （图2）
24、（本题6分）请仅用无刻度的直尺分别按下列要求在方格纸中画图.
（1）请在图1的方格纸中，利用网格线和三角尺画图，在AC 上找一点P ，使得P 到AB 、
BC 的距离相等；（不写做法，保留画图痕迹）
（2）在图2的四边形ABCD 内找一点P ，使APB CPB ∠=∠，APD CPD ∠=∠．（写出画法，保留画图痕迹）
A
25、（本题9分）已知：在ABC ∆中，点E 在直线AC 上，点B 、D 、E 在同一条直线上，且BA BD =，BAE D ∠=∠． 【问题初探】
（1）如图1，若BE 平分ABC ∠，求证：180AEB BCE ∠+∠=︒． 请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．
【变式再探】
（2）如图2，若BE 平分ABC ∆的外角ABF ∠，交CA 的延长线于点E ，问：AEB ∠和BCE ∠的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由． 【拓展运用】
（3）如图3，在（2）的条件下，若AB BC ⊥，1CD =，求EC 的长度．
26、（本题10分）在四边形ABCD 中，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，10AB CD ==，
6BC AD ==，P 为射线BC 上一点，将ABP ∆沿直线AP 翻折至AEP ∆的位置，使点B 落
在点E 处．
（1）若P 为BC 上一点．
①如图1，当点E 落在边CD 上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E （不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时CE = ；
②如图2，连接CE ，若//CE AP ，则BP 与BC 有何数量关系？请说明理由； （2）如果点P 在BC 的延长线上，当PEC ∆为直角三角形时，求PB 的长．
答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分. 在每小题所给出的四个选项中，恰
第6题解析:解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，222
c a b
=+，
阴影部分的面积222
()()
c b a c b a ac ab a a b c
=−−−=−+=+−，
较小两个正方形重叠部分的宽()
a c b
=−−，长a
=，
则较小两个正方形重叠部分底面积
() a a b
c
=+−，
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分. 不需写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应的位置上
．．．．．．．．．）
第15题解析：解：（1）如图1，当5
AE EP
==时，
过P作PM AB
⊥，
90
PMB
∴∠=︒，
四边形ABCD是矩形，
90
B C
∴∠=∠=︒，
∴四边形BCPM是矩形，
3
PM BC
∴==，
5
PE=，
4
EM
∴==，
E是AB中点，
5
BE
∴=，
541
BM PC
∴==−=，
1019
DP
∴=−=；
（2）如图2，当5
AE AP
==时，4
DP==；
x a1或
（3）如图3，当5AE EP ==时， 过P 作PF AB ⊥， 四边形ABCD 是矩形，
90D DAB ∴∠=∠=︒，
∴四边形BCPF 是矩形，
3PF AD ∴==， 5PE =，
4EF ∴==，
E 是AB 中点，
5AE ∴=，
541DP AF ∴==−=．
故答案为：1或4或9．
第16题解析：解：如图，连接CF ，
ABC ∆、BEF ∆都是等边三角形，
AB BC AC ∴==，BE EF BF ==，60BAC ABC ACB EBF BEF BFE ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒， ABC EBD EBF EBD ∴∠−∠=∠−∠， ABE CBF ∴∠=∠，
在BAE ∆和BCF ∆中， AB BC ABE CBF BE BF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()BAE BCF SAS ∴∆≅∆，
30BCF BAD ∴∠=∠=︒，
如图，作点D 关于CF 的对称点G ，连接CG ，DG ，则FD FG =，
∴当B ，
F ，
G 在同一直线上时，DF BF +的最小值等于线段BG 长，且BG CG ⊥时，BDF ∆的周长最小，
由轴对称的性质，可得260DCG BCF ∠=∠=︒，CD CG =，
DCG ∴∆是等边三角形， DG DC DB ∴==，
1302
DBG DGB CDG ∴∠=∠=∠=︒， 故答案为：30︒．
三、解答题（本大题共10小题，共68分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17、解：（1）原式1
|3|22
=−+−1
322
=+−1
42=；
18、解：（1）18x +=±
7x =或9
−（2）3827
x =−327
8
x =−3
2
x =−19、解：BD 、CA 分别是ABC ∠、DCB ∠的平分线，
1
2DBC ABC ∴∠=∠，1
2ACB DCB ∠=∠，
ABC ACB ∠=∠，
ACB DBC ∴∠=∠，
在ABC ∆和DCB ∆中，
ABC DCB
BC CB ACB DBC
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，
()ABC DCB ASA ∴∆≅∆，
AB DC ∴=．
20、证明：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ．
AD BC ⊥，
90ADB ADC ∴∠=∠=︒，
在ABD ∆与ACD ∆中，
B C ∠=∠，ADB ADC ∠=∠，AD AD =，
()ABD ACD AAS ∴∆≅∆．
AB AC ∴=，
21、解：（1）如图：
（2）证明：AC AD =，BC BD =，
AB l ∴⊥（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．（填推理的依据） 故答案为AD ，BD ；“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”．
22、证明：（1）AD DE ⊥，BE DE ⊥，
90ADC BEC ∴∠=∠=︒，
90CAD ACD ∴∠+∠=︒，
90ACB ∠=︒，
1809090ACD BCE ∴∠+∠=︒−︒=︒，
CAD BCE ∴∠=∠，
由90ADC BEC ∠=∠=︒，CAD BCE ∠=∠，CA CB =，可得ADC CEB ∆≅∆；
（2）设每块砖厚度为x cm ，由①得，3DC BE x ==cm ，4AD x =cm ， 90ADC ∠=︒，
222AD CD AC ∴+=，
即222(4)(3)25x x +=，
解得5x =，(5−舍去），
∴每块砖厚度为5cm ．
23、解：（1）因为边长为c 的正方形面积为2c ，
它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为()a b −的小正方形组成的， 它的面积为22214()2
ab a b a b ⨯+−=+， 所以222c a b =+．
（2）52
24、解：（1）如图，点P 即为所求．
（2）如图，连接BD ，取格点R ，作直线CR 交BD 于点P ，连接PA ，点P 即为所求．
25、证明：（1）BE平分ABC
∠，
∴∠=∠，
ABD DBC
又BA BD
∠=∠，
=，BAE D
()
∴∆≅∆，
ABE DBC ASA
∴=，
BE BC
∴∠=∠，
BCE BEC
180
∠+∠=︒，
AEB BEC
∴∠+∠=︒；
180
AEB BCE
（2）结论改变了，AEB BCE
∠=∠，
理由如下：
BE平分ABF
∠，
∴∠=∠=∠，
ABE FBE DBC
又BA BD
∠=∠，
=，BAE D
∴∆≅∆，
ABE DBC ASA
()
∴BE=BC
∴∠=∠；
AEB BCE
（3）如图3，连接AD，
⊥，
AB BC
∴∠=︒=∠，
ABF ABC
90
ABE FBE DBC
∴∠=∠=∠=︒，
45
∆≅∆，
ABE DBC
=，
∴==，BE BC
1
CD AE
=，135 AB DB
∠=∠+∠=︒，
ABD ABC CBD
22.5BAD BDA ∴∠=∠=︒，
BE BC =，
BEA BCE ∴∠=∠，
45EBF E BCE ∠=∠+∠=︒，AEB BCD ∠=∠，
45BCD BCE ACD ∴∠+∠=︒=∠，22.5BEA BCE ∠=∠=︒， 22.5AEB ADB ∴∠=∠=︒，
1AE AD ∴==，45DAC ∠=︒，
90ADC ∴∠=︒，
AC ∴==，
1CE AC AE ∴=+=．
26、解：（1）①如图：以点A 为圆心，AB 为半径交CD 于点E ， 10AE AB ==，6AD =，90D ∠=︒，
8DE ∴=，
1082CE DC DE ∴=−=−=；
故答案为：2；
②2BC BP =，理由如下：
将ABP ∆沿直线AP 翻折至AEP ∆的位置，
APB APE ∴∠=∠，PE BP =，
//CE AP ，
CEP APE ∴∠=∠，ECP APB ∠=∠，
PEC ECP ∴∠=∠，
EP CP ∴=，
BP PC ∴=，
2BC BP ∴=；
（2）PEC ∆是直角三角形，
当90EPC ∠=︒时，如图①
90EPC AEP B ∠=∠=∠=︒，且EP BP =，
∴四边形ABPE 是正方形，
10PB AB ∴==； （图①）
当90
∠=︒时，如图②
ECP
则90
ECP B
∠=∠=︒，
∴，
EC AB
//
DC AB，
//
∴点E、D、C三点共线，
由翻折知10
DE=，
==，根据勾股定理得8
AE AB
EC
∴=，
18
设BP x
PC x
=−，
=，则6
在Rt ECP
∆中，由勾股定理得：（如图②）222
x x
+−=，
18(6)
解得30
x=，
PB
∴=；
30
当90
∠=︒时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去，
PEC
综上：10
BP=或30．。