新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测卷(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间
1(,)2
+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．
2332
a << B ．
2
13
a < C ．9a
D ．
2
93
a < 2．已知定义在[﹣2，2]上的函数y ＝f （x ）和y ＝g （x ），其图象如图所示：给出下列四个命题：①方程f [g （x ）]＝0有且仅有6个根； ②方程f [f （x ）]＝0有且仅有5个根方程；③g [g （x ）]＝0有且仅有3个根 ；④方程g [f （x ）]＝0有且仅有4个根，其中正确命题的序号（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①②④
D ．①③④
3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，|2|()12x f x +=-，若关于x 的方程
2()|1|f x a f -+2()0x a +=恰好有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则
()()()()12341111f x f x f x f x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的取值范围是（ ）
A ．160,
81⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．10,
16⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．116,1681⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ D ．11,164⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
4．已知函数
给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单
调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若
1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.
其中，所有正确结论的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 5．已知关于x 的方程|2|1x m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]-
B ．(,1)-∞-
C ．[1，)+∞
D ．(1,)+∞
6．设函数3,()log ,x x a f x x x a
⎧≤=⎨
>⎩()0a >， 若函数()2y f x =-有且仅有两个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．. ()0,2
B ．()0,9
C ．()9,+∞
D ．()()0,29,⋃+∞
7．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2
4
(
,)e +∞ B ．24(0,
)e
C ．2(0,4)e
D ．(0,)+∞
8．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在()0,x -∞和()0,x +∞上与 x 轴都有交点，则称0
x 为函数()f x 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存
在“界点”的是( ) A ．()2
2x
f x x =-
B ．()()2
2f x x bx b R =+-∈
C ．()12f x x =--
D ．()sin x x x f -=
9．若函数()f x 的图象是连续不断的，且(0)0f >，(1)(2)(4)0f f f <，则下列命题正确的是( )．
A ．函数()f x 在区间(0 , 1)内有零点
B ．函数()f x 在区间(1 , 2)内有零点
C ．函数()f x 在区间(0 , 2)内有零点
D ．函数()f x 在区间(0 , 4)内有零点
10．已知函数()()()222,0423,46x x x f x x -⎧--≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩
,若存在12,x x ,当12046
x x ≤<≤≤时,()()12f x f x =,则()12x f x ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,1
B ．[]1,4
C ．[]
1,6
D ．[][]0,1
3,8
11．有一组数据，如表所示：
下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是（ ）． A ．指数函数
B ．反比例函数
C ．一次函数
D ．二次函数
12．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()y f x =的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[]P Q 、是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对
[]P Q 、与[]Q P 、看作同一对“友好点对”）．已知函数2
2(0)
()2(0)
x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，则此函数的“友好点对”有（ ） A ．4对 B ．3对 C ．2对 D ．1对 二、填空题
13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，
则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 14．2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如表：
2019年1月1日后个人所得税税率表 全月应纳税所得额 税率（%） 不超过3000元的部分 3 超过3000元至12000元的部分 10 超过12000元至25000元的部分 20 超过25000元至35000元的部分
25
个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人只有一个姐姐，且两人仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2020年5月份应缴纳个人所得税款为180元，那么他当月的工资、薪金税后所得是_____元.
15．设()f x 是定义域在R 上的偶函数，对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，且当
1[]0x ∈-，时，1()12x
f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，若在区间[]1,3-内关于x 的方程2
()(1)0f x a x --=有
4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_________.
16．已知函数f (x )=212
{3
,2
1
x x x x -≤>-，，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的
取值范围为________．
17．对于函数sin ,[0,2]()1(2),(2,)2
x x f x f x x π∈⎧⎪
=⎨-∈+∞⎪⎩现有下列结论：
①任取12[2,,)x x ∈+∞，都有()()121f x f x -≤； ②函数()y f x =在[]4,5上先增后减 ③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点：
④若关于x 的方程()()0f x m m =<有且只有两个不同的实根1x ，2x ，则123x x += 其中，正确结论的序号为_______________（写出所有正确命题的序号）
18．已知函数241,0
()3,
0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是
________.
19．方程()2
332log log 30x x +-=的解是______. 20．已知函数211
x y x -=+的图像与函数2y kx =+的图像恰有两个交点，则实数k 的取值
范围是______.
三、解答题
21．已知函数()((1,1))1||
x
f x x x =
∈--，有下列结论： ①(1,1)x ∀∈-，等式()
()
0f x f x 恒成立；
②[)0,m ∀∈+∞，方程|()|f x m =有两个不等的实根； ③12,,(11)x x ∀∈-，若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠；
④存在无数多个实数k ，使得函数()()g x f x kx =-在(1,1)-上有三个零点 则其中正确结论的序号为?
22．某市出租汽车的收费标准如下：在3km 以内（含3km ）的路程统一按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km ；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为20km 时，折旧费为0.1元.现设一次载客的路程为x km. （1）试将出租汽车一次载客的收费F 与成本C 分别表示为x 的函数；
（2）若一次载客的路程不少于2km ，则当x 取何值时，该市出租汽车一次载客每千米的收益y 取得最大值？（每千米收益计算公式为)F C
y x
-=
23．已知函数4()log (41)x f x kx =++与44()log (2)3
x
g x a a =⋅-，其中()f x 是偶函数．
（Ⅰ）求实数k 的值； （Ⅱ）求函数()g x 的定义域；
（Ⅲ）若函数()()()F x f x g x =-只有一个零点，求实数a 的取值范围． 24．某工厂生产某产品x 件所需成本费用为P 元，且2
110005,10
P x x =++而每件售出的价格为Q 元，其中(),x
Q a a b R b
=+
∈. （1）问:该工厂生产多少件产品，使得每件产品所需成本费用最少?
（2）若生产出的产品能全部售出，且当产量为150件时利润最大，此时每件价格为30，求a b 、的值.
25．宜城市流水镇是全国闻名的西瓜基地，流水西瓜含糖量高，口感好，多次入选全国农博会并获金奖，畅销全国12省百余个大中城市.实践证明西瓜的产量和品质与施肥关系极大，现研究发现该镇礼品瓜“金皇后”的每亩产量L （单位：百斤）与施用肥料x （单位：
百斤）满足如下关系：2
38(2),02
()603,312x x L x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪+⎩
，肥料成本投入为5x （单位：百
元），其它成本投入为10x （单位：百元）.已知“金皇后”的市场批发价为2元/斤，且销路畅通供不应求，记每亩“金皇后”的利润为()f x （单位：百元）. （1）求()f x 的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润是多少元？
1.414≈）.
26．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为()G x （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()R x （万元）满足
20.4 4.2(05)
()11(5)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩
，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），
根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和
1
()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围． 【详解】
解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32a
x a
-=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2
+∞上有两个实数根，如图所示，
则需
3122a a ->，且113
()10242
a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302
a <<
且2
3a >，且9a 或1a ，则213a <；
当0a <时，要使二次方程在区间1
(,)2
+∞上有两个实数根，如图所示，
则需
3122a a ->，且113
()10242
a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302
a <<
且2
3<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅．
综上可得，a 的取值范围是2
13
a <．
故选：B ． 【点睛】
本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.
2．C
解析：C 【分析】
函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，借助函数的零点，结合函数的图象采用数形结合思想逐一判断即可. 【详解】
由图象可得﹣2≤g （x ）≤2，﹣2≤f （x ）≤2，
①由于满足方程f [g （x ）]＝0 的g （x ）有三个不同值，由于每个值g （x ）对应了2个x 值，故满足f [g （x ）]＝0的x 值有6个，即方程f [g （x ）]＝0有且仅有6个根，故①正确；
②由于满足方程f [f （x ）]＝0的f （x ）有3个不同的值，从图中可知，一个f （x ）等于0，一个f （x ）∈（﹣2，﹣1），一个f （x ）∈（1，2），而当f （x ）＝0对应了3个不同的x 值；当f （x ）∈（﹣2，﹣1）时，只对应一个x 值；当f （x ）∈（1，2）时，也只对应一个x 值.故满足方程f [f （x ）]＝0的x 值共有5个，故②正确；
③由于满足方程g [g （x ）]＝0 的g （x ）值有2个，而结合图象可得，每个g （x ）值对应2个不同的x 值，故满足方程g [g （x ）]＝0 的x 值有4个，即方程g [g （x ）]＝0有且仅有4个根，故③不正确；
④由于满足方程g [f （x ）]＝0的f （x ）有2个不同的值，从图中可知，每一个值f （x ）， 一个f （x ）的值在（﹣2，﹣1）上，令一个f （x ）的值在（0，1）上，当f （x ）的值在（﹣2，﹣1）上时，原方程有一个解，f （x ）的值在（0，1）上，原方程有3个解. 故满足方程g [f （x ）]＝0的x 值有4个，故④正确； 故选：C . 【点睛】
由于函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决，此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.
3．A
解析：A 【分析】
由奇函数得出()f x 的性质，作出函数图象，可知()f x t =的解的个数，令()t f x =，原方
程变为2210t a t a -++=，根据()f x t =的解的情形，可得22
10t a t a -++=有两不等
实根且实根12,t t 都在(0,3)上，由二次方程根的分布可得a 的范围，应用韦达定理得
1212,t t t t +，这样()()()()12341111f x f x f x f x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦就可能用a 表示，并根
据a 的求得结论． 【详解】
由题意(0)0f =，0x >时，2()()21x f x f x -+=--=-，作出函数()f x 的图象，如图，
若0a =，则方程2
()|1|f x a f -+2()0x a +=为2()()0f x f x -=，()0f x =或
()1f x =()0f x =三个解，()1f x =有两个解，原方程共有5个解，不合题意，设
()t f x =，
因此关于t 方程22
10t a t a -++=必有两个不等实根，又122
1
2
10
0t t a t t a ⎧+=+>⎨
=>⎩，所以120,0t t >>，从而103t <<，203t <<且12t t ≠.
若其中一根为1，则由2
110a a -++=，1a ≤-时，2110a a +++=无实数解，
1a >-，2110a a --+=，0a =或1a =，不合题意．因此121,1t t ≠≠，
由2
2221
03209310
140a a a a a a ⎧+<<⎪⎪⎪>⎨⎪-++>⎪∆=+->⎪⎩
，解得113-<<a 且0a ≠．
不妨设121()()f x f x t ==，342()()f x f x t ==， 则
()()()()222212341212121111[(1)(1)][1()][11]f x f x f x f x t t t t t t a a ----=--=-++=-++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦22()a a =-，
∵113-
<<a 且0a ≠．∴21449a a -≤-<且20a a -≠，∴2
160,81a a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
． 故选：A ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查方程根的分布问题，解题关键是两个：一是研究函数()f x 的性质，二是换元后得出二次方程，问题转化为二次方程根的分布，求出参数a 的范围．
4．C
解析：C
【分析】
①画出函数的图象，直接判断函数的单调性；②分0,0,0a a a >=<三种情况讨论函数的图象，分析函数是否有最小值，得到实数a 的取值范围；③首先令()f x b =，解出三个零点，进而判断结论. 【详解】
①当2a =-时，()21,0ln ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩
，画出函数的图象，如下图，
由图象可知当(),0x ∈-∞时，函数单调递减，当()0,1x ∈时函数单调递减，但函数在
(),1-∞时，函数并不单调递减，故①不正确；
②当0a >时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递增，并且当x →-∞时，y →-∞，所以函数没有最小值；
当0a =时，()1,0
ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩
，ln 0x ≥，函数的最小值是0；
当0a <时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递减，函数的最小值是1，当0x >时，
ln 0x ≥，ln y x =的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，
综上，若函数没有最小值，只需满足0a >，故②正确；
对于③，令()f x b =，当0x ≤时，1ax b +=，当0x >时，ln x b =，
不妨设1230x x x ≤<<，11
0b x a
-=≤，2b x e -=，3b x e =， 则231x x =，令11
1b x a
-=
=-，可得1b a =-， 当0a <时，11b a =->，则三个零点1231x x x =-， 当01a <<时，011b a <=-<，则三个零点1231x x x =-. 综上可知③正确； 故选：C 【点睛】
思路点睛：本题考查分段函数，函数性质和函数图象的综合应用，本题的关键是对a 的讨论，画出函数的图象，比较容易判断前两个命题，最后一个命题的关键是解出3个零点，并能判断231x x =，从而只需验证是否11x =-即可.
5．D
解析：D 【分析】
分离参数，再根据指数函数性质求出． 【详解】
解：21x m -=或21x m -=-，即21x m =-，或者21x m =+， 当211x m =->-时，有一个解， 当211x m =+>时，有一个解，
所以1m 时，方程|2|1x m -=有两个不等实根， 故选：D ． 【点睛】
考查方程根的个数问题，利用了分类讨论法，分离参数法，属于中档题．
6．D
解析：D 【分析】
函数()2y f x =-有且仅有两个零点等价于()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有两个交点，数形结合即可求出a 的取值范围. 【详解】
令2x =可得12x =-，2
2x =；令3log 2x =得39x =
函数()2y f x =-有且仅有两个零点等价于()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有两个
交点，作3
,()log ,x x a
f x x x a ⎧≤=⎨>⎩()0a >图象如图：
当02a <<时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有两个交点，交点横坐标为
12x =-，39x =，符合题意；
当29a ≤≤时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有3个交点，交点横坐标为
12x =-，2
2x =，39x =，不符合题意；
当9a >时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有2个交点，交点横坐标为
12x =-，2
2x =，不符合题意；
所以a 的取值范围是：()()0,29,⋃+∞， 故选：D 【点睛】
本题主要考查了已知函数的零点个数求参数的范围，函数的零点转化为对应方程的根，转化为函数图象的交点，属于中档题.
7．B
解析：B 【分析】
求导函数，求出函数的极值，利用函数2()x
f x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取
值范围. 【详解】
函数2x y x e =的导数为2'2(2)x x x y xe x e xe x =+=+， 令'0y =，则0x =或2-，
20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，
所以0或2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：2
2
4(0)0,(2)4f f e
e -=-==
， 函数2()x f x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e
. 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.
8．D
解析：D 【分析】
由“界点”定义可知，存在“界点”要求函数至少有2个零点．通过对四个函数零点个数的判断，得到最终结果． 【详解】
A 选项：令3n
a n n
b a =，即22x x =，根据2x y =与2
y x =图像如图所示：
可知当0x >时，有2x =与4x =两个交点 当0x <时，有1个交点
因此两函数共有3个交点，故()f x 必有“界点”；
B 选项：令220x bx +-=，可知280b ∆=+>，方程恒有2个不等式根，即()f x 必有
2个零点，故()f x 必有“界点”；
C 选项：令120x --=，解得3x =或1x =，即()f x 有2个零点，故()f x 必有“界
点”；
D 选项：令sin 0x x -=，令()sin g x x x =-，则()1cos g x x =-'
又cos 1≤x ，所以()0g x '≥
()g x ∴在(),-∞+∞上单调递增
又()00g =，即()g x 只有0x =一个零点，故()f x 不存在“界点”． 本题正确选项：D 【点睛】
本题属于新定义问题，考查转化化归的数学思想．解题关键在于明确“界点”的定义，从而转化为零点个数问题．
9．D
解析：D 【解析】
解：因为f （0）＞0，f （1）f （2）f （4）＜0，则f （1），f （2），f （4）恰有一负两正或三个都是负的，结合图象
可得函数f （x ）必在区间（0，4）内有零点因为f （0）＞0，f （1）f （2）f （4）＜0，则f （1），f （2），f （4）恰有一负两正或三个都是负的， 函数的图象与x 轴相交有多种可能，如图所示：
所以函数f （x ）必在区间（0，4）内有零点， 故选D ．
10．B
解析：B 【详解】
根据图像，当()()12f x f x =时，有()212f x ≤≤，
将()1f x =代入函数()22f x x =--中，可解得11x =或13x =， 所以当()()12f x f x =时，113x ≤≤，
当[1,2]x ∈时，()f x x =，因为()()12f x f x =， 所以()()2
1211111x f x x f x x x x ==⋅=⋅⋅，
因为1[1,2]x ∈，所以()12[1,4]x f x ⋅∈；
当[2,3]x ∈时，()4f x x =-，因为()()12f x f x =， 所以()()2
1211111(4)(2)4x f x x f x x x x ==⋅-=--⋅+⋅，
因为1[2,3]x ∈，所以()12[3,4]x f x ⋅∈； 综上所述，()12x f x ⋅的取值范围是[1,4]. 故选：B.
【点睛】
本题考查了分段函数与函数与方程的综合性问题，属于中档题型，当正确画出函数的图像后，重点抓住本题的一个关键的条件()12()f x f x =，这样就可以将求()12x f x ⋅的范围转化为求()11x f x ⋅的范围.
11．C
解析：C 【解析】
随着自变量每增加1函数值大约增加2， 函数值的增量几乎是均匀的，
故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律． 故选C ．
12．C
解析：C 【分析】
由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，结合22(0)
()2(0)
x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，转化为此
函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数，从而作图解答 【详解】
解：由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，
因为22(0)
()2(0)
x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，
所以此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数， 作2x y -=-与2
2y x x =-的图像如图所示，
两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对 故选：C 【点睛】
此题考查学生对新定义的理解能力及作图能力，属于中档题
二、填空题
13．1120【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝30＞2
解析：1120 【分析】
明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】
由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，
y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪
=-≤⎨⎪-+⎩
，＜，
＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100
∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，
故此人购物实际所付金额为1120元．
【点睛】
本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．
14．9720【分析】按题意从最低纳税额开始计算最高纳税同时考虑到专项附加扣除后可得【详解】设他的工资是元工资是8000元时纳税为由于他有专项附加扣1000元因此他工资是9000元时纳税90元纳税后收入为
解析：9720 【分析】
按题意从最低纳税额开始计算最高纳税，同时考虑到专项附加扣除后可得． 【详解】
设他的工资是x 元，
工资是8000元时纳税为30003%90⨯=，由于他有专项附加扣1000元，因此他工资是9000元时，纳税90元，(9000)10%18090x -⨯=-，9900x =，纳税后收入为9900－180＝9720（元）． 故答案为：9720． 【点睛】
本题考查函数的应用，解题时根据分段函数的意义分段计算纳税额即可得．解题关键是正确理解题意，弄懂工资收入与纳税额之间的关系．
15．【分析】首先结合已知条件判断函数的周期由已知可得函数的周期作出函数的图象数形结合得答案【详解】由得又是定义域在上的偶函数可得是周期为2的周期函数当时作出函数在区间内的图象如图方程有4个不同的实数根即
解析：10,4⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
首先结合已知条件，判断函数的周期，由已知可得函数的周期，作出函数的图象，数形结合得答案． 【详解】
由()()11f x f x -=+，得()()2f x f x -=+，
又()1f 是定义域在R 上的偶函数，()()()2f x f x f x ∴+=-=， 可得()f x 是周期为2的周期函数．
当[]1,0x ∈-时，()112x
f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴作出函数()f x 在区间[]1,3-内的图象如图，
方程()()2
10f x a x --=有4个不同的实数根，
即()y f x =与()2
1y a x =-的图象在区间[]1,3-内有4个不同交点．
当()2
1y a x =-过()3,1时，解得14
a =
， 又随着a 的减小抛物线()2
1y a x =-的开口变大，可得
若在区间[]1,3-内关于x 的方程()()2
10f x a x --=有4个不同的实数根，
则实数a 的取值范围是10,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
．
故答案为：10,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
．
【点睛】
方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.
16．【分析】将所求问题转化为与直线的图象有三个不同交点数形结合即可得到答案【详解】方程f(x)－a ＝0有三个不同的实数根等价于与直线的图象有三个不同交点作出的图象如图由图可得故答案为：【点睛】方法点睛： 解析：(0,1)
【分析】
将所求问题转化为()y f x =与直线y a =的图象有三个不同交点，数形结合，即可得到答案. 【详解】
方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根等价于()y f x =与直线y a =的图象有三个不同交点，
作出()f x 的图象如图，由图可得(0,1)∈a 故答案为：(0,1)
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
17．①②③④【分析】当时函数的最大值为最小值为所以任取都有恒成立故①正确；函数先增后减故②正确；根据图象知函数有3个零点故③正确；根据图象知根据对称性知故④正确【详解】函数当时函数的最大值为最小值为所以
解析：①②③④ 【分析】
当[2,)x ∈+∞时，函数()f x 的最大值为
1
2，最小值为12
-，所以任取12[2,,)x x ∈+∞，都有()()121f x f x -≤恒成立，故①正确；()1
sin 4
f x x π=
，函数先增后减，故②正确；根据图象知，函数有3个零点，故③正确；根据图象知1
12
m -<<-
，根据对称性知123x x +=，故④正确.
【详解】
函数()[]()()sin ,0,212,2,2
x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，当[2,)x ∈+∞时，函数()f x 的最大值为1
2，最
小值为1
2
-
，所以任取12[2,,)x x ∈+∞，都有()()121f x f x -≤恒成立，故①正确； 当[]4,5x ∈，[]40,1x -∈，故()()()111
4sin 4sin 444
f x f x x x ππ=-=-=，函数先增后减，故②正确；
令()()ln 10y f x x =--=，即()()ln 1f x x =-，同②，计算得到
()
[]
(]
(] sin,0,2 1
sin,2,4
2
1
sin,4,6
4
x x
f x x x
x x
π
π
π
⎧
⎪∈
⎪
⎪
=∈
⎨
⎪
⎪
∈
⎪⎩
，画出函数图象，如图所示：根据图象知，函数有3个零点，故③正确；
()()0
f x m m
=<有且只有两个不同的实根
12
,x x，根据图象知
1
1
2
m
-<<-，根据对称性知123
x x
+=，故④正确；
故答案为：①②③④.
【点睛】
方法点睛：函数零点问题的处理常用的方法有：(1)方程法：直接解方程得到函数的零点；（2）图像法：直接画出函数的图象得解；（3）方程+图像法：令()0
f x=重新构造两个函数，数形结合分析得解.
18．4【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查了分段函数
解析：4
【分析】
根据分段函数的解析式当0
x≤时，令()3
f x=，则2413
x x
--+=，解得22
x=-±0
x>时，()31
x
f x
=>，1
x=，做出函数()
f x，
1,22,22
y y y
==-=--.
【详解】
241,0
()
3,0
x
x x x
f x
x
⎧--+≤
=⎨
>
⎩
，
∴当0
x≤时，()()2
241255
f x x x x
=--+=-++≤，
令()3
f x=，则2413
x x
--+=，
解得22
x=-±
1220,4223,-<-+<-<--<-
0x >时，()31x
f x =>，
令()3f x =得1x =，
作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--
由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】
本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.
19．或【分析】设原方程等价转化为由此能求出原方程的解【详解】设则原方程转化为解得当即解得当即解得所以原方程的解为或故答案为：或【点睛】本题考查方程的解的求法解题时要认真审题注意换元法的合理运用属于基础题
3
3 【分析】
设3log x t =，原方程等价转化为2230t t +-=，由此能求出原方程的解. 【详解】
设3log x t =，则原方程转化为2230t t +-=，解得13
2
t =-，21t =， 当132t =-
，即33log 2x =-，解得39
x =， 当21t =，即3log 1x =，解得3x =， 所以，原方程的解为
3
9
或3.
故答案为：3
9
或3. 【点睛】
本题考查方程的解的求法，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用，属于基础题.
20．且【分析】先化简函数再由过定点（02）在同一坐标系中作出两个函数的图象利用数形结合法求解【详解】在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示:因为函数的图像与函数的图像恰有两个交点所以且故答案为：且【点
解析：04k <≤ 且1k ≠ 【分析】 先化简函数()21
1,11
11,11
x x x x f x x x x --≥<-⎧=
=⎨
+--<<⎩或，再由()2g x kx =+过定点（0,2），在同一坐标系中作出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】
()21
1,1111,11
x x x x f x x x x --≥<-⎧=
=⎨+--<<⎩或，()2g x kx =+， 在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示:
因为函数21
1
x y x -=
+的图像与函数2y kx =+的图像恰有两个交点，
所以04k <≤ 且1k ≠，
故答案为：04k <≤ 且1k ≠，
【点睛】
本题主要考查函数的零点与方程的根，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
三、解答题
21．①③④ 【分析】
根据()f x 与()f x -的解析式代入运算可知①正确；取0m =可知②错误；分析函数()f x 的单调性可知③正确，由(0)0g =，当1k >时，()g x 在(0,1)和(1,0)-内都必有一个零点，可知④正确. 【详解】
对于①，(1,1)x ∀∈-，()()
01||1||1||1||
x x x x f x f x x x x x ，①
正确；
对于②，当0m =时，|()|0f x =，即|
|01||
x
x =-只有一个实根0，错误； 对于③，任取1201x x ≤<<，则12()()f x f x -=
12121||1||x x x x ---1212
11x x
x x =--- 122112(1)(1)(1)(1)
x x x x x x ---=
--1212(1)(1)x x x x -=--， 因为1201x x ≤<<，所以120x x -<，12(1)(1)0x x -->，
所以12()()f x f x <，所以()f x 在[0,1)上为增函数，又由①知，()f x 为奇函数， 所以()f x 在(1,1)-上为增函数，所以③正确； 对于④，1()()1||1||
x g x kx x k x x =-=---，因为(0)0g =，所以0恒是()g x 的一个零点，
当1k >，01x <<时，1
01k x
-=-必有一个解， 当1,10k x >-<<时，1
1k x
-+0=也必有一解， 所以④正确，
综上所述：正确结论的序号为①③④. 【点睛】
关键点点睛：对于③，判断出函数的单调性是解题关键；对于④，分01x <<和(1,0)-两种情况判断零点是解题关键. 22．（1）7,032.40.2,3
x F x x <≤⎧=⎨->⎩，2
12.3 1.6(0)4000C x x x =++
>；（2）100km. 【分析】
（1）根据在3km 以内（含3km ）的路程统一按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费求得F ，设折旧费2z kx =，由路程为20km 时，折旧费为0.1元.代入求得k ，再根据运输成本包含固定费用，二是燃油费和折旧费求得C .
（2）根据F C
y x
-=，结合（1）求得y ，再根据分段函数的最值的求法求解. 【详解】
（1）由题意得：7,03
7 2.4(3),3
x F x x <≤⎧=⎨
+->⎩，.
即7,032.40.2,3x F x x <≤⎧=⎨
->⎩
. 设折旧费2z kx =，将(20,0.1)代入，
得0.1400k =，解得1
4000
k =. 所以2
12.3 1.6(0)4000
C x x x =++>. （2）因为F C
y x
-=
， 所以 4.7 1.6,234000
2.50.8,34000x x x y x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩
，
当3x >
时，由基本不等式，得0.80.75y ≤-=， 当且仅当100x =时取等号.
当23x ≤≤时，由y 在[2,3]上单调递减， 当2x =时，得max 1
0.750.752000
y =-
<. 综上所述，该市出租汽车一次载客路程为100km 时，每千米的收益y 取得最大值. 【点睛】
方法点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 23．（Ⅰ）1
2
k =-；（Ⅱ）分类讨论，答案见解析；（Ⅲ）{}()31,-⋃+∞． 【分析】
（Ⅰ）由偶函数的性质，运算即可得解； （Ⅱ）转化条件为4
203
x
a a ⋅-
>，按照0a >、0a <分类，即可得解； （Ⅲ）由对数的运算性质转化条件得方程()
()
2
2
42
1223
x
x
x
a a +=-
⋅有且只有一个实根，
换元后，结合一元二次方程根的分布即可得解. 【详解】
（Ⅰ）∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x =-，∴44log (41)log (41)x x
kx kx -++=+-，
∴441log 241x x kx -+=-+，∴44(41)
log 241x x x
x kx +==-+， 即(21)0k x +=对一切x ∈R 恒成立，
∴1
2
k =-
； （Ⅱ）要使函数()g x 有意义，需4
203
x
a a ⋅->， 当0a >时，4
23x
>，解得24log 3
x >， 当0a <时，423x <
，解得24log 3
x <， 综上可知，当0a >时，()g x 的定义域为2
4log ,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
； 当0a <时，()g x 的定义域为2
4,log 3⎛
⎫
-∞ ⎪⎝⎭
； （Ⅲ）∵()()()F x f x g x =-4414log (41)log 223x
x x a a ⎛
⎫=+--⋅- ⎪⎝
⎭只有一个零点， ∴方程4414log (41)log 223x
x x a a ⎛
⎫+=
+⋅- ⎪⎝
⎭有且只有一个实根， 即方程2
444444log (41)log 4log 2log 2233x
x x
x x a a a ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫+=+⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣
⎦有且只有一个实根， 亦即方程()
()
2
2
42
1223
x
x
x
a a +=-
⋅有且只有一个实根， 令2x t =（0t >），则方程2
4(1)103
a
a t t ---=有且只有一个正根， ①当1a =时，3
4
t =-
，不合题意； ②当1a ≠时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，
由0∆=可得2
44(1)03a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
，解得34a =或3- 若3
4
a =
，则2t =-不合题意，舍去； 若3a =-，则1
2
t =
满足条件；。