高考数学压轴专题延安备战高考《坐标系与参数方程》知识点总复习

新数学《坐标系与参数方程》高考复习知识点
一、13
1．已知曲线Γ
的参数方程为(3cos ln x t t t y t ⎧=-⎪
⎨=⎪⎩
其中参数t R ∈，,则曲线Γ（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．没有对称轴
【答案】C 【解析】 【分析】
设()x f t =，()y g t = t R ∈，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称. 【详解】
设()x f t =，()y g t = t R ∈
()()()()()3
33cos cos cos f t t t t t t t t t t x -=----=-+=--=-，
()x f t ∴=是奇函数， ()()
(
(
ln ln g t g t t t -+=-+
++
((
ln ln ln10t t =-+== ,
()y g t ∴=也是奇函数，
设点()()(
)
,P f t g t 在函数图象上，那么关于原点的对称点是()()()
,Q f t g t --，
()f t Q 和()g t 都是奇函数，
所以点Q 的坐标是()()()
,Q f t g t --，可知点Q 在曲线上，
∴ 函数图象关于原点对称.
故选：C 【点睛】
本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型.
2．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+经过直角
坐标系下的伸缩变换12x x y y
⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
后，得到的曲线是（ ）．
A ．直线
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．圆
【答案】D 【解析】 【分析】
先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x '
'，由此能求出结果． 【详解】 ∵极坐标方程2
2212
3+4cos sin ρθθ
=
∴2
2
2
2
3cos 4sin 12ρθρθ+=
∴直角坐标方程为2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=
∴经过直角坐标系下的伸缩变换12x x y y
⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
后得到的曲线方程为2(2)14x '=，
即22()()1x y ''+=. ∴得到的曲线是圆 故选D. 【点睛】
本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．
3．曲线2cos sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）上的点到原点的距离的最大值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】
根据点到直线的距离求最值. 【详解】
曲线2cos sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
（θ为参数）上的点到原点的距离为：
2=，
当且仅当cos 1θ=±时取得等号 故选C. 【点睛】
本题考查椭圆参数方程的应用.
4．椭圆3cos (4sin x y θ
θθ=⎧⎨
=⎩
为参数)的离心率是( )
A B C D 【答案】A 【解析】 【分析】
先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】
椭圆3cos 4sin x y θθ
=⎧⎨=⎩的标准方程为22
1916x y +=，所以.
所以e . 故答案为A 【点睛】
(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，2
2
2
,.c c a b e a
=-=
5．若实数x ，y 满足()()2
2
512196x y ++-=，则2
2x y +的最大值为( )
A ．1
B ．14
C ．729
D ．27
【答案】C 【解析】 【分析】
设14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，利用辅助角公式可得
22x y +()364sin 365t α=-+，由三角函数的有界性可得结果.
【详解】
由2
2
2
(5)(12)19614x y ++-==，
22
51211414x y +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 令5cos 14x t +=， 12
sin 14
y t -=， 则14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，
因此2
2x
y +22(14cos 5)(14sin 12)t t =-++
140cos 336sin 365t t =-++
1252813sin cos 3651313t t ⎛⎫
=⨯⨯⨯-⨯+ ⎪⎝⎭
()364sin 365t α=-+（其中5sin 13α=
,12
cos 13
α=） 又1sin()1t α-≤-≤Q
221729x y ∴≤+≤
因此最大值为729，故选C. 【点睛】
本题主要考查圆的参数方程的应用，考查了辅助角公式以及三角函数的有界性，属于综合题.
6．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=-，P 为曲线C 上的动点，O 为极点，则PO 的最大值为（ ） A ．2 B ．4
C
D
．【答案】D 【解析】 【分析】
把极坐标方程变成直角坐标方程，通过最大距离d r =+求得答案。

【详解】
因为2cos 4sin ρθθ=-，所以22cos 4sin ρρθρθ=-， 22
24x y x y +=-，即
22
(-1）+（y+2）5x =。

圆心为（1，-2
），半径r =O 到圆上的最大距离，
等于点O 到圆心的距离d 加上半径r
，且d ==
，所以PO
的最大值为D 。

【点睛】
本题主要考查已知点与圆上一点的最大距离的求法。

7．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的
1
2
；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（ ）
A ．1'2'3x x y y
⎧
=⎪⎨⎪=⎩
B ．'2'3x x
y y =⎧⎨=⎩
C ．'21'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩
D ．1'21'3x x y y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【答案】A 【解析】 【分析】
首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。

【详解】
解：由sin y x =变成3sin 2y x ='' 设伸缩变换为(,0)x x
y y
λλμμ'=⎧>⎨
'=⎩，代入3sin 2y x =''，得3sin 2y x μλ=，又因为
sin y x =，则312μλ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，得123x x y y ⎧
'=⎪⎨
⎪'=⎩，故选A 。

【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系的伸缩变换。

8．在参数方程cos sin x a t y b t θθ
=+⎧⎨
=+⎩，
(0θπ<…，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对
应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．12
2
t t - B ．12
2
t t + C ．
12
2t t - D ．
12
2
t t + 【答案】D 【解析】 【分析】
根据参数的几何意义求解即可。

【详解】 如图：
由直线参数方程的参数t 的几何意义可知，
1PB t =，2PC t =，因为M 是BC 的中点，所以12
2
t t PM +=
. 选D. 【点睛】
本题考查直线参数方程的参数t 的几何意义。

9．在极坐标系中，设圆8:sin C ρθ=与直线 ():4
l R π
θρ=∈交于A B ，两点，则以线
段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ） A ．424πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
B ．424πρθ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
C ．24πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
D ．24πρθ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
首先把极坐标方程化为直角坐标方程，进一步求出圆心坐标和半径，再把直角坐标方程化为极坐标方程，即可得到答案． 【详解】
由题意，圆8:sin C ρθ=化为直角坐标方程，可得22
(4)16x y +-=，
直线():4
l R π
θρ=
∈化为直角坐标方程，可得y x =，
由直线与圆交于,A B 两点，把直线y x =代入圆2
2
(4)16x y +-=，解得0
x y =⎧⎨
=⎩或
4
4
x y =⎧⎨
=⎩， 所以以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为(2,2)，半径为2， 则圆的方程为2
2
(2)(2)8x y -+-=，即2
2
440x y x y +--=，
又由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，代入可得2
4cos 4sin 0ρρθρθ--=，
即4cos 4sin 4θπρθθ⎛⎫
=+= ⎝
+⎪⎭
，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程的求解，其中解答中把极坐标方程互为直角坐标方程，得到以线段AB 为直径的圆的标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．已知点N 在圆224x y +=上，()2,0A -，()2,0B ，M 为NB 中点，则sin BAM ∠的最大值为（ ）
A ．
12
B ．
13
C D 【答案】B 【解析】 【分析】
设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+先求出AM 的斜率的最大值，再得出sin NAM ∠的最大值． 【详解】
解：设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+，
sin 0sin tan 1cos 2cos 34BAM αααα-∠=
=+++…
， 1sin 3
BAM ∴∠…
， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
11．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
关于（ ） A ．直线3
π
θ=对称
B ．直线6
π
θ=
对称
C ．点2,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
对称 D ．极点对称
【答案】A 【解析】 【分析】
由4sin 6πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，得直角坐标方程：22
20x x y -+-= ，圆心为( ，又
因为直线3
π
θ=
即：y =
过点(，由此便可得出答案.
【详解】
由曲线4sin 6πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，即：2
4sin 6πρρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，又因为cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩，化简得曲线
的直角坐标方程：2220x x y -+-=
，故圆心为( . 又因为直线3
π
θ=,
直角坐标方程为：y =
，直线y =
过点(，故曲线关于
直线3
π
θ=
对称
故选：A. 【点睛】
本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.
12．设x 、y 满足223412,x y +=则2x y +的最大值为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
由2
2
3412x y +=得出22
143
x y +=，表示椭圆，写出椭圆的参数方程，利用三角函数求
2x y +的最大值.
【详解】
由题可得：22
143x y +=
则2cos (x y θθθ
=⎧⎪⎨
=⎪⎩为参数），
有22cos x y θθ+=+
142con θθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
4sin 6πθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 因为1sin 16πθ⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭，
则： 44sin 46πθ⎛⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭
， 所以2x y +的最大值为4.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查与椭圆上动点有关的最值问题，利用椭圆的参数方程，转化为三角函数求最值.
13．参数方程22sin { 12x y cos θ
θ
=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )
A ．240x y -+=
B ．240x y +-=
C ．[]240,2,3x y x -+=∈
D ．[]
240,2,3x y x +-=∈ 【答案】D 【
解
析
】
试
题
分
析
：
2cos212sin θθ
=-Q ,
22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2y θ∴=-
,代入22sin x θ=+可得22
y
x =-,整理可得240x y +-=.[]2
sin
0,1θ∈Q ,[]22sin 2,3θ∴+∈,即[]2,3x ∈.
所以此参数方程化为普通方程为[]
240,2,3x y x +-=∈.故D 正确. 考点：参数方程与普通方程间的互化.
【易错点睛】本题主要考查参数方程与普通方程间的互化,属容易题.在参数方程与普通方程间的互化中一定要注意x 的取值范围,否则极易出错.
14．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为
ρθ=，若曲线1C 与2C 的关系为（ ）
A ．外离
B ．相交
C ．相切
D ．内含
【答案】B 【解析】 【分析】
将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距d ，并将圆心距d 与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系. 【详解】
在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得2
4sin ρρθ=，化为普通方程得
224x y y +=，
即()2
224x y +-=，则曲线1C 是以点()10,2C 为圆心，以12r =为半径的圆，
同理可知，曲线2C 的普通方程为(2
212x y -+=，则曲线2C 是以点()
2C 为
圆心，以2r =
两圆圆心距为4d =
=，1222r r -=-=，
122r r +=+，1212r r d r r ∴-<<+，因此，曲线1C 与2C 相交，故选：B.
【点睛】
本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
15．在极坐标系中，圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ）
A ．1(,)2
3
π-
B ．1(,
)23
π
C ．(1,)3
π
-
D ．(1,)3
π
【答案】A 【解析】
由圆cos()3
πρ=θ+，化为21(cos )2ρρθθ=，∴2212x y x y +=，
化为221
1()(44
x y -+=，
∴圆心为1
(,4
4
-
，半径r=12．
∵tan α=3
π-
， ∴圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)2
3
π-． 故选A ．
16．已知曲线2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨
=⎩（θ为参数）和直线:x t
l y t b =⎧⎨=+⎩
（t 为参数，b 为实数），
若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（ ）
A B ．
C ．0
D ．【答案】D 【解析】 【分析】
求出曲线C 与直线的直角坐标方程，根据题意推出圆心到直线的距离为1，列出等式求解即可. 【详解】
利用同角三角函数的基本关系可得曲线C 的直角坐标方程为2
2
4x y +=，圆的半径为2， 消去参数t 可以得到直线l 的直角坐标方程为y x b =+. 依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，
只要满足圆心到直线的距离为1
1=
，解得b =
故选：D 【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，属于基础题.
17．过椭圆C
：2cos x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，
MF m =，NF n =，则
11
m n +的值为（） A ．
23
B ．43
C ．83
D ．不能确定
【答案】B 【解析】 【分析】
消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11
m n
+的值. 【详解】
消去参数得到椭圆的普通方程为22
143
x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为
1cos sin x t y t αα
=+⎧⎨
=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()22
3sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故121222
6cos 9
,03sin 3sin t t t t ααα
+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=
12
12
t t t t -===⋅4
3
.故选B. 【点睛】
本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
18．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,
61
x t y t =-⎧⎨
=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心 C ．相切 D ．相离 【答案】B
【解析】 【分析】
根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】
根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θ
θ
=-+⎧⎨
=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为
22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.
直线的方程为21
61
x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即
320y x --=，圆心不在直线上.
∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为25
d ==
<，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】
本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.
19．在极坐标系中，与点8,6π⎛⎫- ⎪⎝
⎭关于极点对称的点的一个坐标是( )
A ．8,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．58,6
π⎛⎫-
⎪⎝
⎭
C ．58,
6
π⎛⎫- ⎪⎝
⎭
D ．8,6π⎛⎫
--
⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
由点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈，结合极径为负数的点的定义，即可得答案； 【详解】
点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈， 故点8,6π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭关于极点对称的点的一个坐标为78,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即8,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
. 故选：A. 【点睛】
本题考查极径为负数的极坐标的定义，考查对概念的理解，属于基础题.
20．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合 D ．关于直线()2
R π
θρ=
∈对称
【答案】A 【解析】 【分析】
由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ，可推出点(),ρθ与
(),ρπθ--的位置关系.
【详解】
解：点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点，(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点
(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.
故选：A. 【点睛】
考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.。