8.3 抛物线 随堂检测(含答案解析)

1. 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )
A ．y 2＝32
x B ．y 2＝9x C ．y 2＝92
x D ．y 2＝3x 解析：选D.分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |
＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴
F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32
，故抛物线的方程为y 2＝3x .故选D.
2．(2011·高考山东卷)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )
A ．(0,2)
B ．[0,2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
解析：选C.∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.
由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.
3．(2013·南宁模拟)已知曲线f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋3在x ＝－1处的切线恰好与抛物线y ＝2px 2相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为( )
A ．4 B.14
C ．8 D.18
解析：选A.由已知可得k ＝f ′(－1)＝3×(－1)2＋2×(－1)＋1＝2，又由切点为(－1,2)得其切线方程为y －2＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋4.设此直线与抛物线切于点(x 0,2px 20)，则k ＝4px 0
＝2得px 0＝－12，又2x 0＋4＝2px 20，解得x 0＝－4，p ＝－18
，由此可得抛物线的方程为x 2＝－4y ，其过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为4，故应选A.
4．(2011·高考湖北卷)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )
A ．n ＝0
B ．n ＝1
C ．n ＝2
D ．n ≥3
解析：选C.如图所示，A ，B 两点关于x 轴对称，F 点坐标为(p 2
，0)，设A (m ，2pm )(m >0)，则由抛物线定义，|AF |＝|AA 1|，
即m ＋p 2
＝|AF |. 又|AF |＝|AB |＝22pm ，
∴m ＋p 2＝22pm ，整理，得m 2－7pm ＋p 24
＝0，① ∴Δ＝(－7p )2－4×p 24
＝48p 2>0，∴方程①有两相异实根，记为m 1，m 2，且m 1＋m 2＝7p >0，m 1·m 2＝p 24
>0， ∴m 1>0，m 2>0，∴n ＝2.。