全国百所名校高考数学一轮复习试卷：函数与导数(详解答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。
考点：函数的奇偶性。
2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。
若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。
又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。
由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。
3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。
高考数学一轮复习：函数与方程(Word版,含解析)
函数与方程基础练一、选择题1．[2021·河南濮阳模拟]函数f (x )＝ln2x －1的零点所在区间为( )A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(0,1)D ．(1,2)2．函数f (x )＝x 2＋ln x －2021的零点个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．03．根据表中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) B ．C ．(1,2) D ．(2,3)4．[2021·四川绵阳模拟]函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)5．[2021·大同调研]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >03x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]二、填空题6．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 7．[2021·新疆适应性检测]设a ∈Z ，函数f (x )＝e x ＋x －a ，若x ∈(－1,1)时，函数有零点，则a 的取值个数为________．8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，求m 的取值范围．能力练11．[2021·天津部分区质量调查]已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个不同的实数根a ，b ，c ，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1B.⎝⎛⎭⎫34，1C.⎝⎛⎭⎫34，2D.⎝⎛⎭⎫32，212．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤01x ，x >0，若方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4－23)B ．(4－23，4＋23)C ．(0,4－23]D ．(0,4－23)13．[2021·山西省六校高三阶段性测试]函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(－15≤x ≤10)的图象与函数y＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2图象的所有交点的横坐标之和为______．参考答案：1．解析：由f (x )＝ln2x －1，得函数是增函数，并且是连续函数，f (1)＝ln2－1<0，f (2)＝ln4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f (x )的零点位于区间(1,2)上，故选D.答案：D2．解析：由题意知x >0，由f (x )＝0得ln x ＝2021－x 2，画出函数y ＝ln x 与函数y ＝2021－x 2的图象(图略)，即可知它们只有一个交点．故选C.答案：C3．解析：设f (x )＝e x －(x ＋2)，则f (1)＝－0.28<0，f (2)＝3.39>0，故方程e x －x －2＝0的一个根在区间(1,2)内．故选C.答案：C4．解析：由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C 项． 答案：C5．解析：h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，即方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．在同一坐标系中作出函数f (x )的图象和直线y ＝－x ＋a ，如图所示，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点，则有a >1，故选B.答案：B 6．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－127．解析：根据函数解析式得到函数f (x )是单调递增的．由零点存在性定理知若x ∈(－1,1)时，函数有零点，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)<0，f (1)>0⇒1e －1<a <e ＋1，因为a 是整数，故可得a 的可能取值为0,1,2,3.答案：48．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点．令f (x )＝0，得a ＝2x .因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(0,1]．答案：(0,1]9．解析：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同的实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0,1)．10．解析：(1)由f (0)＝2得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2. (2)g (x )＝x 2－(2＋m )x ＋2，若g (x )的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，则满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)>0，g (2)<0，g (4)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋m >0，2－2m <0，10－4m >0，解得1<m <52.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，52. 11．解析：假设a <b <c ，通过作图可得a ∈⎝⎛⎭⎫－12，0，b ＋c ＝2，所以a ＋b ＋c ∈⎝⎛⎭⎫32，2，故选D 项．答案：D12．解析：方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根可化为函数y ＝f (x )与y ＝a (x ＋3)的图象有四个不同的交点，易知直线y ＝a (x ＋3)恒过点(－3,0)，作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合函数图象，可知a >0且直线y ＝a (x ＋3)与曲线y ＝－x 2－2x ，x ∈[－2,0]有两个不同的公共点，所以方程x 2＋(2＋a )x ＋3a ＝0在[－2,0]上有两个不等的实数根，令g (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋3a ，则实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2＋a )2－12a >0－2<－2＋a 2<0g (0)＝3a ≥0g (－2)＝a ≥0，解得0≤a <4－23，又a >0，所以实数a 的取值范围是(0,4－23)，故选D.答案：D 13．解析：函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(x ∈R )的图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2，当x ＝－1时，y ＝0，当x ≠－1时，易知函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2＝5x ＋1＋1x ＋1在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，且当x ∈(－1，＋∞)时，y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2的最大值为52，函数图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5，当x ＝0时，y ＝5sin π5>5sin π6＝52，所以在(－1,0)内两函数图象有一个交点．根据两函数图象均关于点(－1,0)对称．可知两函数图象的交点关于点(－1,0)对称，画出两函数在[－15,10]上的大致图象，如图，得到所有交点的横坐标之和为－1＋(－2)×3＝－7.答案：－7。
高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题含答案
高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点 【答案】ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确； 对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解， 令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解， 则sin xxa e -=在()π,π-上恰有一个解， 即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为42204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinx g x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确； 对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以422a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当422a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确； 对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】 由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<， 令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.4．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x -'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.5．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=，()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减， 令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.6．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确； 对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点， 即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+， 要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.7．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．2ln a a bb e e-<恒成立 【答案】AD【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误. 【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b +=此时1+→a b ，故A 错误.B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确 C. ()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b b a ，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e； 所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果. 【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=， 因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确；C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n n a a +->，则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>， 所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。
全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析（含答案）
全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析（含答案）（2015年-2019年，14套）一、函数单调性与最值问题1.（2019年3卷20题）已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由. 【解析】(1)对32()2f x x ax b =-+求导得2'()626()3a f x x ax x x =-=-.所以有当0a <时，(,)3a-¥区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+¥区间上单调递增；当0a =时，(,)-¥+¥区间上单调递增；当0a >时，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a+¥区间上单调递增. (2)若()f x 在区间[0,1]有最大值1和最小值-1，所以，若0a <，(,)3a-¥区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+¥区间上单调递增；此时在区间[0,1]上单调递增，所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得1b =-，0a =，与0a <矛盾，所以0a <不成立. 若0a =，(,)-¥+¥区间上单调递增；在区间[0,1].所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得1a b =ìí=-î. 若02a <£，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +¥区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3af 而(0),(1)2(0)f b f a b f ==-+³，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f . 即322()()13321a a ab a b ì-+=-ïíï-+=î相减得32227a a -+=，即(33)(33)0a a a -+=，又因为02a <£，所以无解. 若23a <£，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +¥区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3af而(0),(1)2(0)f b f a b f ==-+£，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f . 即322()()1331a a a b b ì-+=-ïíï=î相减得3227a=，解得332x =，又因为23a <£，所以无解. 若3a >，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a+¥区间上单调递增. 所以有()f x 区间[0,1]上单调递减，所以区间[0,1]上最大值为(0)f ，最小值为(1)f即121b a b =ìí-+=-î解得41a b =ìí=î.综上得01a b =ìí=-î或41a b =ìí=î. 【小结】这是一道常规的利用函数导研究函数单调性、极值、【小结】这是一道常规的利用函数导研究函数单调性、极值、最值问题，最值问题，最值问题，此类问题一般住现此类问题一般住现在第一问，在第一问，但但2019年高考3卷把该题放到第20题位置，难度也相应降低，因此，该题的第二问仍然这类问题，只不过多出一个参数。
高考数学一轮复习数学导数及其应用多选题试题附解析
高考数学一轮复习数学导数及其应用多选题试题附解析一、导数及其应用多选题1．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =【答案】BC 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”； C 中，由函数()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．2．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则21x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增，∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴213x x -==≥，B对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-， 且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.3．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥．故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．4．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ）A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．()f x 存在唯一极小值点0xC ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=>(0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．5．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．6．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD 【分析】令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．7．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A．函数在x e=处取得极大值12eB．函数的值域为1,2e⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．()f x有两个不同的零点D．(2)()(3)f f fπ<<【答案】ABD【分析】求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD选项.【详解】函数的定义域为()0,∞+，求导2431ln212ln()x x x xxf xx x⋅-⋅-'==，令()0f x'=，解得：x e=x()0,e e(),e+∞()'f x+0-()f x极大值所以当x e=时，函数有极大值()2f ee=，故A正确；对于BCD，令()0f x=，得ln0x=，即1x=，当x→+∞时，ln0x>，20x>，则()0f x>作出函数()f x的抽象图像，如图所示：由图可知函数的值域为1,2e⎛⎤-∞⎥⎝⎦，故B正确；函数只有一个零点，故C错误；又函数()f x在),e+∞32eπ<<<，则(2)3)f f fπ<<，故D 正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．8．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+的最大值为2.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确； 对于D ，函数()()222cos sin2t f g θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos θ=时，函数取得极大值1222t =⨯= 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t fg θθ=+，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.。
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套） 函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数f （x ）=ln(x x +为偶函数，则a=【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x ++- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性2.（2018年2卷11）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.3.（2016年2卷12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m（D ）4m【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x +==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．二、函数、方程与不等式4.（2015年2卷5）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>， 所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故，2(2)(log 12)9f f -+=．5.（2018年1卷9）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 解：画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.6.（2017年3卷15）设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：1141)2-)由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.7.（2017年3卷11）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12 D ．1【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，由题意，()f x 有唯一零点，∴()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．三、函数单调性与最值8.（2017年1卷5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3]【解析】：()()()()12112112113f x f f x f x x -≤-≤⇒≤-≤-⇒-≤-≤⇒≤≤故而选D 。
高考数学一轮复习精选试题：导数及其应用(选择与填空)含答案
一、选择题 ( 本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的 )
1．设函数 f ( x)
ax2
c(a
1
0) , 若 f ( x)dx 0
f (x0) 0
x0 1 , 则 x0 的值为 (
)
A． 1 2
【答案】 D
B． 3 4
A．1 【答案】 C
B． e 1
C． e
D． e 1
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10．已知函数 f ( x) , 当自变量由 x0 变化到 x1 时函数值的增量与相应的自变量的增量
比是函数 ( )
A．在 x0 处的变化率
B．在区间 [ x0, x1] 上的平
均变化率
C．在 x1 处的变化率
D．以上结论都不对
C． 3 2
D． 3 3
2．函数 f ( x) (x3 1)( x3 2) ( x3 100) 在 x 1 处的导数值为 ( )
A．0
B．100!
C．3·99！
D． 3· 100！
【答案】 C
3．曲线 y x 2 1 在点（ 1,0 ）处的切线方程为 ( )
A． y x 1
B． y x 1
C． y 2x 2 【答案】 D
【答案】 B
11．已知 f ( x) x 3 ax在[1, ) 上是单调增函数，则 a 的最大值是 ( )
A．0 【答案】 D
B．1
C．2
D． 3
12． 2 e|x|dx 的值等于 ( ) 2
A． e2 e 2
B． 2e2
【答案】 C
C． 2e2 2
高考数学一轮复习《导数、函数》综合复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《导数、函数》综合复习练习题（含答案）一、单项选择题1．曲线2()ln f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ） A ．y x =-B ．23y x =-C ．32y x =-+D ．21y x =-+2．已知函数()f x 的导函数是()f x '，且满足()()22e xf x x f '=-，则()2f '=（ ）A ．2e 3B ．2eC ．2e 7D ．2e 7-3．函数32()f x x ax bx =-+在1x =处有极值为4，则a b -的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．6D ．6-4．已知四条直线1234:0,:,:32,:32l y l y x l y x l y x ===-=+，从这四条直线中任取两条，这两条直线都与函数3()f x x =的图象相切的概率为（ ） A ．0B ．16C ．12D ．135．已知函数y ＝f (x )的导函数()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '，且()()0f x f x <'<，则（ ） A ．()()e 21f f >，()()2e 1f f > B ．()()e 21f f >，()()2e 1f f < C ．()()e 21f f <，()()2e 1f f < D ．()()e 21f f <，()()2e 1f f >7．已知函数ln ()xf x x x=-，则（ ） A ．()f x 的单调递减区间为(0,e) B ．()f x 的极小值为1 C ．()f x 的最小值为-1 D ．()f x 的最大值为18．已知函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（ ）A ．21e ,2⎡⎤--⎣⎦B ．213,e ∞⎡⎫--+⎪⎢⎣⎭C ．213,2e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D ．2211e ,3e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦9．已知定义在（0，+∞）上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()202220221f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（0，2022）B ．（2022，+∞）C ．（2023，+∞）D ．（2022，2023）10．函数()()22e xf x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x >时，()()0f x f x x'+<，且(2)3f =-，则不等式6(21)21f x x --<-的解集为（ ） A ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当()0,x ∈+∞时，都有不等式()()0f x xf x '->成立，若115544a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，b =⎝⎭，1133log 9log c f ⎛= ⎝，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c >>D ．a b c >>二、填空题13．已知曲线()()1e xf x a x =+-在点()()0,0f 处的切线与直线230x y -+=垂直，则实数a的值为______. 14．若函数()2116ln22f x x x =-在区间11,22a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围是____________.15．函数21()e 2x f x x ax =--是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是______．16．已知函数()32ln 1,042,0x x f x x x x x +⎧>⎪=⎨⎪--<⎩，若方程()f x ax =有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围是______.三、解答题17．已知函数32()f x x ax bx c =+++在点()1,2P 处的切线斜率为4，且在=1x -处取得极值． (1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若函数()()1g x f x m =+-有三个零点，求m 的取值范围．18．已知函数()ln f x x x =-.(1)求证：()1f x ≤-； (2)若函数()()()xxh x af x a e =+∈R 无零点，求a 的取值范围.19．已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．20．已知函数()()223ln R f x x ax a x a =-+∈.(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若对于任意的2e x ≥（e 为自然对数的底数），()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.21．已知函数()ln f x a x bx =-，()e (1)1x g x x m x =-+-(,,)a b m R ∈. (1)当b =1时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 在1ex =处的切线方程为()e 12y x =--，且不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知()g x 是函数21()ln 2f x x x ax =-(a ∈R )的导函数．(1)讨论()g x 的单调性；(2)若f (x )有两个极值点12,x x 12()x x <，且22()2f e x ≥，求a 的取值范围．23．已知函数()()e ,sin cos xf xg x x x ==+(1)已知()1f x ax ≥+恒成立，求a 的值； (2)当0x ≥时，()()()20R f x g x ax a +--≥∈，求a 的取值范围。
全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析（含答案）（2015年-2019年，14套）一、函数单调性与最值问题1.（2019年3卷20题）已知函数$f(x)=2x^3-ax^2+b$.1）讨论$f(x)$的单调性；2）是否存在$a,b$，使得$f(x)$在区间$[0,1]$的最小值为$-1$且最大值为$1$？若存在，求出$a,b$的所有值；若不存在，说明理由.解析】1)对$f(x)=2x^3-ax^2+b$求导得$f'(x)=6x^2-2ax=2x(3x-a)$。
所以有：当$a<0$时，$(-\infty,0)$区间上单调递增，$(0,+\infty)$区间上单调递减；当$a=0$时，$(-\infty,+\infty)$区间上单调递增；当$a>0$时，$(-\infty,0)$区间上单调递增，$(0,+\infty)$区间上单调递减.2)若$f(x)$在区间$[0,1]$有最大值$1$和最小值$-1$，所以，若$a<0$，$(-\infty,0)$区间上单调递增，$(0,+\infty)$区间上单调递减，此时在区间$[0,1]$上单调递增，所以$f(0)=-1$，$f(1)=1$代入解得$b=-1$，$a=\frac{1}{3}$，与$a<0$矛盾，所以$a<0$不成立.若$a=0$，$(-\infty,+\infty)$区间上单调递增；在区间$[0,1]$，所以$f(0)=-1$，$f(1)=1$代入解得$\begin{cases}a=0\\b=-1\end{cases}$.若$0<a\leq2$，$(-\infty,0)$区间上单调递增，$(0,+\infty)$区间上单调递减，此时在区间$(0,1)$单调递减，在区间$(1,+\infty)$单调递增，所以区间$[0,1]$上最小值为$f(1)$而$f(0)=b$，$f(1)=2-a+b\geq f(0)$，故所以区间$[0,1]$上最大值为$f(1)$.若$2<a\leq3$，$(-\infty,0)$区间上单调递增，$(0,+\infty)$区间上单调递减，此时在区间$(0,1)$单调递减，在区间$(1,+\infty)$单调递增，所以区间$[0,1]$上最小值为$f(0)$而$f(0)=b$，$f(1)=2-a+b\leq f(0)$，故所以区间$[0,1]$上最大值为$f(0)$.已知函数$f(x)=x^3+ax+\frac{1}{4},g(x)=-\ln x$。
高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题及答案
高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题及答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点C ．若()f x 为增函数，则1a ≤D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】ACD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ，()()()()33sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选项正确；对于B 选项，当3a =-时，()3sin 3f x x x x =++，则()2cos 330f x x x '=++>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；对于C 选项，()2cos 3f x x x a '=+-，由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()23cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，所以，函数()g x '在R 上为增函数，当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2cos 33f x x x '=+-.由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.2．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =，可得()21ln xf x x-'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合；设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=，又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x e =， 所以21ln 12()e k e e -==，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.3．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1- D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”2e e y x =-【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.4．对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．fff <<D ．若()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x ，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x+>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x =，可得312ln ()(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0xx -=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln ln 2ln ,242f f πππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以ff f <<，所以C 正确；由()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x =所以当0x<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e eg e =-=， 所以2ek >，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．5．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin x f x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e 442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 04f -⎛⎫'-= ⎪⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减， 令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.6．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xxf x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若2ea =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.7．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x x g x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性.【详解】 对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln x g x x-'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确； 对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点， 即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+， 要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD.【点睛】 本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.8．设函数()ln x f x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥ D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈ 【答案】AC【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax =-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2x m x +=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln x f x x-'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确；对于B 选项，由于函数()ln x f x x =在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4ff π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立， 可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-， 则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 即1ln x a x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln x t x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增；当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减. 所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-， 由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x m x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。
百所名校试卷答案高三数学
一、选择题1. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f(2)$的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 8答案：A解析：将$x=2$代入函数$f(x)$中，得$f(2)=2^3-3\times2^2+4\times2=0$。
2. 下列命题中，正确的是（）A. $x^2+y^2=1$表示圆心在原点，半径为1的圆B. $x^2+y^2=1$表示圆心在$(1,0)$，半径为1的圆C. $x^2+y^2=1$表示圆心在$(0,1)$，半径为1的圆D. $x^2+y^2=1$表示圆心在$(0,0)$，半径为$\sqrt{2}$的圆答案：A解析：$x^2+y^2=1$是圆的标准方程，圆心在原点$(0,0)$，半径为1。
3. 函数$y=\log_2(3-x)$的图像在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：D解析：由于$3-x>0$，解得$x<3$，因此函数的定义域为$x<3$。
由于$\log_2(3-x)$随$x$增大而减小，故函数图像在第四象限。
4. 若$a+b=2$，$ab=1$，则$a^2+b^2$的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C解析：由$a+b=2$，得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=4$。
又因为$ab=1$，所以$a^2+b^2=4-2ab=4-2=2$。
5. 已知向量$\vec{a}=(2,-3)$，$\vec{b}=(4,-6)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为（）A. -12B. -8C. 12D. 8答案：A解析：向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的点积$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times4+(-3)\times(-6)=8+18=26$。
二、填空题6. 函数$y=\frac{1}{x}$在$x=2$处的导数为__________。
答案：$-\frac{1}{2}$解析：函数$y=\frac{1}{x}$的导数为$y'=-\frac{1}{x^2}$，将$x=2$代入得$y'=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4}$。
高考数学一轮复习导数及其应用多选题(讲义及答案)附解析
高考数学一轮复习导数及其应用多选题(讲义及答案)附解析一、导数及其应用多选题1．已知函数()xf x e =，()1ln22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A 、B 两点，则（ ）A ．AB 的最小值为2ln2+B ．m ∃使得曲线()f x 在A 处的切线平行于曲线()g x 在B 处的切线C ．函数()()f x g x m -+至少存在一个零点D ．m ∃使得曲线()f x 在点A 处的切线也是曲线()g x 的切线 【答案】ABD 【分析】求出A 、B 两点的坐标，得出AB 关于m 的函数表达式，利用导数求出AB 的最小值，即可判断出A 选项的正误；解方程()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误.进而得出结论. 【详解】令()xf x e m ==，得ln x m =，令()1ln22x g x m =+=，得122m x e -=， 则点()ln ,A m m 、122,m B e m -⎛⎫⎪⎝⎭，如下图所示：由图象可知，122ln m AB e m -=-，其中0m >，令()122ln m h m em -=-，则()1212m h m em-'=-，则函数()y h m '=单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当102m <<时，0h m，当12m >时，0h m.所以，函数()122ln m h m e m -=-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以，min 112ln 2ln 222AB h ⎛⎫==-=+⎪⎝⎭，A 选项正确； ()x f x e =，()1ln 22x g x =+，则()x f x e '=，()1g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()ln f m m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1212122m m g e e --⎛⎫'= ⎪⎝⎭，令()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，即1212m m e -=，即1221m me -=， 则12m =满足方程1221m me -=，所以，m ∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数()()()1ln22xx F x f x g x m e m =-+=-+-，可得()1x F x e x'=-， 函数()1xF x e x '=-在()0,∞+上为增函数，由于120F e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110F e -'=>，则存在1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()10t F t e t '=-=，可得ln t t =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>.()()min 1111ln ln ln 2ln 22222t t t F x F t e m e t m t m t ∴==-+-=-++-=+++-13ln 2ln 2022m m >+-=++>，所以，函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项错误；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ， 则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()ln ln my m ex m -=-，即()1ln y mx m m =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11ln 22n y x n =+-，所以，()111ln ln 22m nn m m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得()11ln ln 202m m m --++=，令()()11ln ln 22G x x x x =--++，则()111ln ln x G x x x x x-'=--=-， 函数()y G x '=在()0,∞+上为减函数，()110G '=>，()12ln 202G '=-<，则存在()1,2s ∈，使得()1ln 0G s s s'=-=，且1s s e =. 当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<.所以，函数()y G x =在()2,+∞上为减函数，()5202G =>，()17820ln 202G =-<， 由零点存在定理知，函数()y G x =在()2,+∞上有零点， 即方程()11ln ln 202m m m --++=有解. 所以，m ∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.2．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2mx f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确；对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.4．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>【答案】ABC 【分析】求导2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得13ax -=-，23a x -= 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：x,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭3a-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭3a- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+-+()f x极大值 极小值故当3ax -=-，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当3a x -=，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图或则需0303a f a f ⎧⎛--<⎪ ⎪⎝⎨-⎪<⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a ab -<<，B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；则需00f f ⎧⎛>⎪ ⎪⎝⎨⎪>⎪⎩，即00b b ⎧>⎪⎪>，即0b >>，D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意； 故选：ABC 【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.5．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0x C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=> (0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．6．某同学对函数()sin e ex xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ） A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 【答案】BD 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1xxx f x e e-=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：函数()sin e ex xxf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且 ()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误； 对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误； 对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxe e x e e xf x ee -----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，， ()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.7．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x'<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2f e > B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭- 【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误； 以B ，111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭，1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.8．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误.【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．。
高三数学一轮复习《函数与导数》练习题(含答案)
高三数学一轮复习《函数与导数》练习题（含答案）一、单选题1．已知()()12222x x a a a a -++>++，则x 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0，2)D ．R 2．函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为 A ．11,86⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]6,8 C ．11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[]6,103．已知函数()22,0,()2,0x x x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（ ）A ．ln33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1- 4．定义：若函数()F x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，则称区间[],a b 是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]1,1-是()f x 的一个“完美区间”B ．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+5．函数()f x 对任意x ∈R ，都有()()()12,1f x f x y f x =+=-的图形关于()1,0对称，且()71f =- 则()2021f =（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．26．已知函数()22,,x ax x a f x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数7．若函数()()ln 1x f x ke x =-+的值域为R ，则实数k 的最大值为（ ） A ．1e - B ．2e - C ．e D ．2-8．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线斜率是（ ）A ．1B ．2C ．eD ．2e 1---二、多选题9．已知函数()21e x x x f x +-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值B ．函数()f x 存在3个不同的零点C ．函数()f x 的最小值是e -D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5e f x =，则t 的最大值为2 10．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且2()()(32)()x x f x x f x +'<+恒成立，则必有（ ）A ．()(3)181f f >B ．()()261f f <C ．()131162f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()()332f f <11．若曲线()20y ax a =≠与ln 1y x =+存在公共切线，则实数a 的可能取值是（ ）A ．－1B ．eC ．e 2D ．12 12．下列各式比较大小，正确的是（ ）A ．1.72.5＞1.73B ．24331()22->C ．1.70.3＞0.93.1D ．233423()()34> 三、填空题 13．已知函数23,0()21,0x x x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，则()()1f f -的值为______． 14．函数()()2ln 3x x f x x +=-的零点是__________． 15．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,m m x y x y x y ，则1ni i x ==∑___________.16．已知函数()f x ，给出下列四个结论：①函数2y x 是偶函数；②函数1y x x=-是增函数；③函数()f x 定义域为I ，区间D I ⊆，若任意12,x x D ∈，都有1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在区间D 上单调递增； ④()f x 定义域为I ， “对于任意x I ∈，总有()f x M ≥ (M 为常数)”是“函数()f x 在区间I 上的最小值为M ”的必要不充分条件.其中正确结论的序号是___________.四、解答题17．已知函数()sin x f x e x =⋅．（1）求函数在()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．18．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与空气污染指数()p x 的关系为：()()()()10244f x p x p x k x =-+<≤，其中空气污染指数()p x 与时刻x （小时）和1x 的算术平均数成反比，且比例系数为12，k 是与气象有关的参数，10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． (1)求空气污染指数()p x 的解析式和最大值；(2)若用每天环境综合污染指数()f x 的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．19．某汽车租赁公司有200辆小汽车.若每辆车一天的租金为300元，可全部租出;若将出租收费标准每天提高10x 元(1≤x ≤50，x ∈N *)，则租出的车辆会相应减少4x 辆.（1）求该汽车租赁公司每天的收入y (元)关于x 的函数关系式；（2）若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元，则每辆汽车的出租价格可定为多少元?20．已知幂函数()223m m f x x -++=，()m Z ∈为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数.函数()()224log log m g x x x =-，1,2x ⎡⎤∈⎣⎦（1）求m 的值；（2）求()g x 的最小值.21．做出()223,13,1x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩的图象并求出其值域22．为了美化校园环境，学校打算在兰蕙广场上建造一个矩形花园，中间有三个完全一样 的矩形花坛，每个花坛的面积均为294平方米，花坛四周的过道宽度均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x 米，宽为y 米，整个矩形花园的面积为S 平方米.（1）试用x 、y 表示S ；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为多少平方米?参考答案1．B2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．B9．ACD10．BD11．ABC12．BC13．314．1.15．m16．①③④17．（1）0x y -=．（2）()max 0f x =．()π4min 22f x e -=- 18．(1)()21x p x x =+，(]0,24x ∈，()max 12p x =; (2)没有超标；19．（1）y=-40x 2+800x +60000(1≤x ≤50，x ∈N *)；（2）390元或400元或410元.20．（1）1m =；（2）116-. 21．[]4,-+∞.22．（1）312832S xy y x =+++；（2）矩形花坛的长为21米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为1250平方米。
高考数学一轮复习导数及其应用多选题(讲义及答案)及解析
高考数学一轮复习导数及其应用多选题(讲义及答案)及解析一、导数及其应用多选题1．对于函数()2ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（ ）A ．该函数定有2个极值B ．该函数的极小值一定不大于2C ．该函数一定存在零点D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点【答案】BD 【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+， 例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >， 所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．2．下列不等式正确的有（ ）A 2ln 3<B ．ln π<C ．15<D ．3ln 2e <【答案】CD 【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数分析其单调性，然后由()2f f >、ff >、(4)f f >、()f f e <得出每个选项的正误.【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，令()0f x '=得x e = 易得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减所以①()2f f>，即ln 22>22ln ln 3>=，故A 错误；②ff >>，所以可得ln π>B 错误；③(4)f f >ln 4ln 242>=，即ln152ln 2=>所以ln15ln >15<，故C 正确；④()f f e <ln e e <3ln 21e<，即3ln 22e <所以3eln 2<，故D 正确； 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的构造和自变量的选择.3．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x=-+， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=，又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111lnln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.4．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故1515y -≤≤，当y =时，有1cos 4ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max 15y =，故B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．5．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥． 故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．6．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立； D ．函数()()22t f g θθ=+33.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()24f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，3cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.7．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e 442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减， 令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.8．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2ea =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.9．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.10．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（ ）. A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1xF x x x x x=++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1xF x x x x x=++>， 则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--， 因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=， 将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈. 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数， 所以713,34t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为k 为整数，所以0k ≤. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.。
高三数学一轮复习函数与导数(解析版)
数学B单元函数与导数B1 函数及其表示14．、[2014 安·徽卷] 若函数 f (x)( x∈R)是周期为 4 的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，sin πx，1< x≤2，29则f4＋f416＝______．514.16 [ 解析] 由题易知 f294＋f416＝f －34＋f －76＝－f34－f76＝－3＋sin16π6＝5.162．、[2014 北·京卷] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )－x B．y＝x3A．y＝eC．y＝ln x D．y＝|x|2．B [解析] 由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项 A ，D.21．、、[2014 江·西卷] 将连续正整数1，2，, ，n( n∈N* )从小到大排列构成一个数123, n，F (n)为这个数的位数(如n＝12 时，此数为123456789101112，共有15 个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0 的概率．(1)求p(100)；(2)当n≤2014 时，求 F (n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0 的个数，f(n)为这个数中数字9 的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S*} ，求当n∈S 时p(n)的最大值．＝{ n|h( n)＝1，n≤100，n∈N21．解：(1)当n＝100 时，这个数中总共有192 个数字，其中数字0 的个数为11，所以恰好取到0 的概率为p(100)＝n，1≤n≤9，11 192.(2)F (n)＝2n－9，10≤n≤99，3n－108，100≤n≤999，4n－1107，1000≤n≤2014.(3)当n＝b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)＝0；当n＝10k＋b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N* ，b∈N)时，g(n)＝k；当n＝100 时，g(n)＝11，即g(n)＝0，1≤n≤9，k，n＝10k＋b，1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，11，n＝100.同理有 f (n)＝0，1≤n≤8，k，n＝10k＋b－1，1≤k≤8，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，n－80，89≤n≤98，20，n＝99，100.由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n≤100 时，S＝{9 ，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．当n＝9 时，p(9)＝0.g （90） F （90） 当 n ＝90 时， p(90)＝＝9 1＝ .171 19当 n ＝10k ＋ 9(1≤ k ≤ 8，k ∈N g （n ） F （n ）*)时，p(n)＝＝ k k ＝ ，由 y ＝ 2n －9 20k ＋9k 关于 k 20k ＋9 *)时， p(n)的最大值为 p(89)＝ 单调递增，故当 n ＝10k ＋9(1≤ k ≤ 8，k ∈N8. 169又 8 1 ，所以当 n ∈S 时， p(n)的最大值为 < 169 191 .19 3．[2014 山· 东卷 ] 函数 f (x)＝ 1 的定义域为 ( ) log 2x －1A ．(0， 2)B ．(0，2]C ．(2，＋∞ )D ．[2，＋∞ )3．C [解析 ] 若函数 f(x)有意义，则l og 2x －1＞0，∴ log 2x ＞1，∴ x ＞2. B2 反函数3 5．[2014 全·国卷 ] 函数 y ＝ln( x ＋1)(x ＞－ 1)的反函数是 ( )x 3A ．y ＝(1－e ) (x ＞－ 1)x － 1)3(x ＞－ 1)B ．y ＝(eC ．y ＝(1－ex )3(x ∈R )x － 1)3(x ∈R )D ．y ＝(e5．D [解析 ] 因为 y ＝ln(3 y －1)3.因为 x>－1，所以 y ∈R ，所以函数 x ＋1)，所以 x ＝(ey ＝ln(3 x － 1)3(x ∈R )． x ＋1)(x>－ 1)的反函数是 y ＝(eB3 函数的单调性与最值2．、[2014 北· 京卷 ] 下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是 ( )－xA ．y ＝e3B ．y ＝xC ．y ＝ln xD ．y ＝ |x|2．B [解析 ] 由定义域为 R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项 A ，D. 4．、[2014 湖· 南卷 ] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞， 0)上单调递增的是 ()12＋1 A ．f(x)＝ 2 B ．f(x)＝x x3－xC ．f (x)＝xD ．f (x)＝24．A [解析 ] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得 B 不对．x ＋e－ x19．、 、、 [2014 江· 苏卷 ] 已知函数 f( x )＝ e (1)证明： f(x )是 R 上的偶函数．－x＋m －1 在(0，＋∞ )上恒成立，求实数 m 的取值范围．(2)若关于 x 的不等式 mf( x)≤ e 3 a －1 与 (3)已知正数 a 满足：存在 x 0∈[1，＋∞ )，使得 f(x 0)< a (－x 0＋3x 0)成立．试比较e e－1 的大小，并证明你的结论． a －x ＋ e － (－x)＝e －x ＋e x ＝f(x)， 19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有 f(－x)＝e所以f(x)是R上的偶函数．x＋e －x－x－1)≤ e －1 在(0，＋∞)上恒成立． (2)由条件知m(ex(x>0)，则t>1，所以m≤－令t＝et－1＝2－t＋1 t－t－1＋1对任意t>1 成立．1＋ 1t－11 1 1因为t－1＋＋1≥ 2 （t－1）·＋1＝3, 所以－≥－t－1 t － 1 1＋ 1t－1＋t－1 1 3 ，当且仅当t＝2, 即x ＝ln 2 时等号成立．因此实数m 的取值范围是－∞，－1 3.x＋1 3＋3x)，则g′(x) ＝e x－12－1)． (3)令函数g(x)＝e x－a(－x x＋3a( xe e当x≥ 1 时，ex>0，xx－12－1≥0.又a>0，故g′(x )>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调e递增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a.3由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x0＋3x0 )<0 成立，当且仅当最小值g(1)<0，－1故e＋e.2e－1令函数h(x) ＝x －(e－1)ln x－1，则h′(x)＝1－x . 令h′(x)＝0, 得x＝e－1.当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h( x)是(0，e－1)上的单调递减函数；当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)? (0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)<h(1)＝0；当x∈(e－1，e)? (e－1，＋∞)时，h( x)< h(e)＝0.所以h(x)<0 对任意的x∈(1，e)成立．故①当a∈－1e＋e，e ? (1，e)时，h(a)<0，2a－1<a e－1；即a－1<(e－1)ln a，从而 ea－1＝a e－1；②当a＝e 时，e③当a∈(e，＋∞)? (e－1，＋∞)时，h(a)>h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a，故e a－1>a e－1.综上所述，当a∈－1e＋ea－1<a e－1；当a＝e 时，e a－1＝a e－1；当a∈(e，＋∞) ，e 时，e2a－1>a e－1. 时，e15．、、[2014 四·川卷] 以A 表示值域为R的函数组成的集合， B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ( x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－3，φM，M]．例如，当φ1(x)＝x 2(x)＝sin x 时，φ1( x)∈A，φ2( x)∈B.现有如下命题：①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“? b∈R，? a∈D，f(a)＝b”；②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f (x)＋g(x)∈/B；x④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋2＋1( x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B. x 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)15．①③④[解析] 若f(x)∈A，则函数f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得 f (a)＝b，故①正确．(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f(x)的值取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时函数f(x)没有最大值和最小值，故②错误．当f(x)∈A 时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B 时，对于函数f(x)＋g( x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g( x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f( x)＋f( a0)＝b0－g( a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0?[－M，M]，故③正确．对于f(x)＝aln( x＋2)＋x2＋1(x＞－2)，当a＞0 或a＜0 时，函数f( x)都没有最大值．要使xx 1得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝2＋1(x＞－2)．易知f(x)∈－，2x 12，所以存在1正数M＝，使得 f (x)∈[－M，M]，故④正确2x－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28, 为自21．、[2014 四·川卷] 已知函数f(x)＝e然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f (1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1.x－ax2－bx－1，得g( x)＝f′( x)＝e x－2ax－b，所以g′(x)＝e x－2a.21．解：(1)由f(x)＝e当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a] ．当a≤1时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，2因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥e时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，2因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；当12＜a＜e2时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2 a)]上单调递减，在区间(ln(2 a)，1]上单调递增，于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2 a))＝2a－2aln(2 a)－b.综上所述，当a≤ 1时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；2当12＜a＜e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2 a))＝2a－2aln(2 a)－b；当a≥e时，g( x)在[0，1]上的最小值是g(1) ＝e－2a－b. 2(2)证明：设x0 为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0) ＝f(x0)＝0 可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤12时，g( x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当a≥e时，g( x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．2所以1＜a＜e.2 2此时g(x)在区间[0，ln(2a)] 上单调递减，在区间(ln(2 a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2 a))，x2∈(ln(2 a)，1)，必有g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.由f(1) ＝0 有a＋b＝e－1<2，有g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.解得e－2＜a＜1.所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.B4 函数的奇偶性与周期性4．[2014 重·庆卷] 下列函数为偶函数的是( )2＋x A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝xx－2－x x＋2－xC．f (x)＝2 D．f( x)＝22－x＝x2 4．D [解析] A 中，f(－x)＝－x－1，f(x)为非奇非偶函数； B 中，f(－x)＝(－x)－x－2x＝－(2x－2－x－x，f(x)为非奇非偶函数； C 中，f(－x)＝2)＝－f(x)，f(x)为奇函数；D 中，－x x＝f( x)，f(x)为偶函数．故选 D.＋2 f(－x)＝214．、[2014 安·徽卷] 若函数 f (x)( x∈R)是周期为 4 的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，sin πx，1< x≤2，则f294＋f416＝______．515.16 [ 解析] 由题易知 f294＋f416＝f －34＋f －76＝－f34－f76＝－3＋sin16π6＝5.165．[2014 广·东卷] 下列函数为奇函数的是( )x－1A．2 x B．x3sin x22＋2x C．2cos x＋1 D．xx－1x－2－x，其定义域是R，f(－x)＝2－x－2x 5．A [解析] 对于 A 选项，令f(x)＝2 x＝223sin x 是偶函数；＝－f(x)，所以 A 正确；对于 B 选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所以xC 显然也是偶函数；对于D 选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数．2－3x，则函数 9．、[2014 湖·北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 时，f (x)＝xg( x)＝f(x)－x＋3 的零点的集合为( )A．{1 ，3} B．{ －3，－1，1，3}C．{2 －7，1，3} D．{ －2－7，1，3}2－3(－x)] ＝－x2－3x . 9．D [解析]设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x) 求函数g(x)＝f(x)－x＋3 的零点等价于求方程 f (x)＝－3＋x 的解．当x≥0 时，x 1＝3，x2＝1；2－3x＝－3＋x，解得x当x<0 时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－7.故选D.4．、[2014 湖·南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) 12＋1 A．f(x)＝ 2 B．f (x)＝xx3 D．f (x)＝2C．f (x)＝x－x4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得 B 不对．3x＋1)＋ax 是偶函数，则a＝________．15．[2014 湖·南卷] 若f(x)＝ln(e3 2－3x 3x＋1)＋ax，[解析] 由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e ＋1)－ax＝ln(e15．－ ∴2ax ＝－ ln e. 2x ＋e－x19．、 、、 [2014 江· 苏卷 ] 已知函数 f( x )＝ e (1)证明： f(x )是 R 上的偶函数．－x＋m －1 在(0，＋∞ )上恒成立，求实数 m 的取值范围．(2)若关于 x 的不等式 mf( x)≤ e 3 a －1 与 (3)已知正数 a 满足：存在 x 0∈[1，＋∞ )，使得 f(x 0)< a (－x 0＋3x 0)成立．试比较e e－1 的大小，并证明你的结论． a －x ＋ e － (－x)＝e －x ＋e x ＝f(x)， 19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有 f(－x)＝e所以f(x)是R上的偶函数．x＋e－x－1)≤e－x－1 在(0，＋∞)上恒成立．(2)由条件知m(e令t＝e x(x>0)，则t>1，所以m≤－t－1 ＝2－t＋1t－t－1＋1对任意t>1 成立．1＋ 1t－11 1 1因为t－1＋＋1≥ 2 （t－1）·＋1＝3, 所以－≥－t－1 t － 1 1＋ 1t－1＋t－1 1 3 ，当且仅当t＝2, 即x ＝ln 2 时等号成立．因此实数m 的取值范围是－∞，－1 3 .x＋1 3＋3x)，则g′(x) ＝e x－12－1)． (3)令函数g(x)＝e x－a(－x x＋3a( xe e当x≥ 1 时，ex－12－1≥0.又a>0，故g′(x )>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调x>0，xe－1递增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e －2a.3由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x0＋3x0 )<0 成立，当且仅当最小值g(1)<0，－1故e＋e.2e－1令函数h(x) ＝x －(e－1)ln x－1，则h′(x)＝1－. 令h′(x)＝0, 得x＝e－1.x当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h( x)是(0，e－1)上的单调递减函数；当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)? (0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)<h(1)＝0；当x∈(e－1，e)? (e－1，＋∞)时，h( x)< h(e)＝0.所以h(x)<0 对任意的x∈(1，e)成立．故①当a∈－1e＋e，e ? (1，e)时，h(a)<0，2a－1<a e－1；即a－1<(e－1)ln a，从而 ea－1＝a e－1；②当a＝e 时，ea－1 e－1 ③当a∈(e，＋∞)? (e－1，＋∞)时，h(a)>h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a，故e>a .综上所述，当a∈－1e＋e，e 时，e a－1<a e－1；当a＝e 时，e a－1＝a e－1；当a∈(e，＋∞) 2a－1 e－1时，e>a .12．[2014 全·国卷] 奇函数f(x)的定义域为R.若f (x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8) ＋f(9)＝( )A．－2 B．－1C．0 D．112．D [解析] 因为f( x＋2)为偶函数，所以其对称轴为直线x＝0，所以函数f(x)的图像为R，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(－线x＝2.又因为函数f( x)是奇函数，其定义域为直的对称轴4)＝－f(4)＝－f(0)＝0，故f (8)＋f(9)＝0＋f(－5)＝－f(5) ＝－f(－1)＝f(1)＝1.15．[2014 新·课标全国卷Ⅱ]偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2 对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．15．3 [解析] 因为函数图像关于直线x＝2 对称，所以f(3)＝f(1)，又函数为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，故f(－1)＝3.5．[2014 全·国新课标卷Ⅰ]设函数f( x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f (x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数5．C [解析] 因为f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，于是f(－x) ·g(－x)＝－f(x) g(x)，即f( x)g(x)为奇函数， A 错；|f(－x)| g(－x)＝|f( x)| g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函数， B 错；f(－x)|g(－x)|＝－f( x)|g( x)|，即f(x)|g( x)|为奇函数， C 正确；|f(－x) g(－x)|＝|f(x) g(x)|，即f( x)g(x)为偶函数，所以 D 也错．13．[2014 四·川卷] 设f( x)是定义在R上的周期为 2 的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝2＋2，－1≤x＜0，－4x3则f ＝________．2x，0≤x＜1，23 1 1 1＝f 2－2 f －＝－4 －＋2＝1. 13．1 [解析] 由题意可知， f2 2 2B5 二次函数2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f( x)<0 10．[2014 江·苏卷] 已知函数f(x)＝x成立，则实数m 的取值范围是________．16. －22＋mx－1 是开口向上的二次函数，所以函数的最大，0 [解析] 因为f( x)＝x2值只能在区间端点处取到，所以对于任意x∈[m，m＋1]，都有f (x)＜0，只需f（m）＜0，f（m＋1）＜0，解得－－22＜m＜，2232＜m＜0，即m∈－ 2，0 .214．、[2014 全·国卷] 函数y＝cos 2x＋2sin x 的最大值为________．32 193. [解析] 因为y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sinx2＋2sin x＝－2 sin x－2＋2sin x＝－2 sin x－122＋32，所以当sin12时函数y＝cos 2x＋2sin x 取得最大值，最大值为x＝3 2 .B6 指数与指数函数1.1，c＝0.83.1，则( ) 5．[2014 安·徽卷] 设a＝log37，b ＝2A．b<a<c B．c<a<bC．c<b<a D．a<c<b17. 3.15．B [解析] 因为2> a＝log37>1，b＝2 >2，c＝0.8 <1，所以c< a<b.8．，，[2014 福·建卷] 若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图1-2 所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y＝log a x 的图像过点(3，1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝13x，其函数图像不正确；选项 B 中的函数为y＝x3，其函数图3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y＝(－x)3，其函数图像不正确；选项 D 中的函数为y＝log 3(－x)，其函数图像不正确，故选B.1 1 11，b＝log2 ，c＝log ，则( ) 3．、[2014 辽·宁卷] 已知a＝2－3 3 23A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞b3．D [解析] 因为0< a＝2－1 1<1，b＝log2 <0，3 3c＝log 1123>log1122＝1，所以c>a>b.x－1，x＜1，e15．、[2014 全·国新课标卷Ⅰ]设函数f(x)＝ 1，x≥1，x3则使得f( x)≤ 2 成立的x 的取值范围是________．x－1≤2，得x<1；当x≥ 1 时，由x1≤2，解得1≤x≤8，15．(－∞，8] [解析] 当x<1 时，由e3综合可知x 的取值范围为x≤8.5．，[2014 山·东卷] 已知实数x，y 满足ax<a y(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( ) A．x3>y3B．sin x>sin y2＋1)>ln( y2＋1)C．ln( x1 1D. 2＋1>2＋1x yx＜a y(0＜a＜1)，所以x＞y，所以x3>y3 恒成立．故选A. 5．A [解析] 因为a7．[2014 陕·西卷] 下列函数中，满足“f( x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )3 A ．f(x)＝x xB ．f (x)＝31 2C ．f (x)＝xD ．f(x)＝1 2x x17．B [解析 ] 由于 f (x ＋y)＝f(x)f (y)，故排除选项A ，C.又 f( x)＝为单调递减函数，2所以排除选项D.a ＝2，lg x ＝ a ，则x ＝________．12．[2014 陕·西卷 ] 已知 4a ＝ 2，即 22a ＝2，可得 a ＝1，所以 lg x ＝1，所以 x ＝101 18. 10 [解析 ] 4＝ 10.2 2 2d ＝10，则下列等式一定成立的是 ( ) 7．、[2014 四· 川卷 ] 已知 b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋cd ＝10，所以 d ＝ log7．B [解析 ] 因为 5 510，所以 cd ＝lg b · log 510＝log 5b ＝a ，故选 B.9．、[2014 四· 川卷 ]设m ∈ R ，过定点 A 的动直线 x ＋my ＝0 和过定点 B 的动直线 mx －y －m ＋3＝0 交于点 P( x ，y)，则 |PA |＋ |PB|的取值范围是 ( )A ．[ 5， 25 ] B ．[ 10， 25 ]C ．[ 10，4 5 ]D ．[2 5，4 5 ]9．B [解析 ] 由题意可知，定点 A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直， 则其交点 P(x ，y)落在以 AB 为直径的圆周上， 所以 |PA |2＋|PB |2＝ |AB|2＝10，即 |PA |＋|PB |≥|AB |＝ 10.又|PA |＋ |PB |＝ （|PA |＋ |PB |）2＋2|PA ||PB |＋|PB |2≤ |PA | 2＋|PB|2）＝ 2 5， 2（|PA | 2＝所以 |PA|＋|PB|∈[ 10，25]，故选B .1 －2，则 ( ) 4．[2014 天· 津卷 ]设a ＝log 2π，b ＝log π，c ＝π2A ．a ＞b ＞cB ． b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ． c ＞b ＞a1 4．C [解析 ] ∵a ＝log 2π>1，b ＝ log π<0，c ＝ 2∴b< c < a . 1 π2<1，B7 对数与对数函数2 的单调递减区间是 ________．12．[2014 天· 津卷 ] 函数 f( x )＝ lg x2 的单调递减区间需满足x 2>0 且y ＝x 2 单调递减，12．(－∞， 0) [解析 ] 函数 f(x)＝lg x 故 x ∈(－∞， 0)．3 －165 44＋ log 3 ＋log 3 ＝________. 11．[2014 安·徽卷 ] 814534 －－327 25 4 274 2[解析] 原式＝＋log3 ×＝＝194. .8 3 4 5 3 88．、[2014 浙·江卷] 在同一直角坐标系中，函数 f (x)＝xa(x＞0)，g(x)＝log a x 的图像可能是( )A BC D图1-28．D [解析] 只有选项 D 符合，此时0<a<1，幂函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且当x∈(0，1)时，f( x)的图像在直线y＝x 的上方，对数函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数．故选D.8．，，[2014 福·建卷] 若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图1-2 所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y＝log a x 的图像过点(3，1)，得a＝3.选项 A 中的函数为y＝13x，其函数图像不正确；选项 B 中的函数为y＝x3，其函数图3，其函数图像正确；选项 C 中的函数为y＝(－x)3，其函数图像不正确；选项 D 中的函数为y＝log 3(－x)，其函数图像不正确，故选B.13．、[2014 广·东卷] 等比数列{ a n} 的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log 2a4＋log2a5＝________．213．5 [解析] 在等比数列中，a1a5＝a2a4＝a3＝4.因为a n>0，所以a3＝2，所以a1a2a3a4a5 5 5，＝(a1a5)(a2a4)a3＝a3＝2所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log 2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.1 1 11，b＝log2，c＝log ，则( ) 3．、[2014 辽·宁卷] 已知a＝2－3 3 23 A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞b3．D [解析] 因为0< a＝2－13<1，b＝log13<0，2c＝log 1123>log1122＝1，所以c>a>b.6．，[2014 山·东卷] 已知函数y＝log a(x＋c)( a，c 为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图1-1 所示，则下列结论成立的是( )图1-1A．a>1，x>1 B．a>1，0<c<1C．0< a<1，c>1 D．0<a<1，0< c<16．D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a＜19.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y＝log a x 的图像向左平移不到 1 个单位后得到的，∴0＜c＜1.d＝10，则下列等式一定成立的是( ) 7．、[2014 四·川卷] 已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5A．d＝ac B．a＝cdC．c＝ad D．d＝a＋cd＝10，所以d＝log7．B [解析] 因为 5 510，所以cd＝lg b·log510＝log5b＝a，故选B.9．、[2014 重·庆卷] 若log4(3a＋4b)＝log2 ab，则a＋b 的最小值是( )A．6＋2 3 B．7＋2 3C．6＋4 3 D．7＋4 39．D [解析] 由log4(3 a＋4b)＝log2 ab，得3a＋4b＝ab，则4 3＋＝1，所以a＋b＝(a a b＋b) 4a＋3b＝7＋4ba＋3ab≥7＋24b·a3ab＝7＋4 3，当且仅当4ba＝3ab，即a＝4＋2 3，b＝2 3＋3 时等号成立，故其最小值是7＋4 3.B8 幂函数与函数的图像a8．、[2014 浙·江卷] 在同一直角坐标系中，函数 f (x)＝x (x＞0)，g(x)＝log a x 的图像可能是( )A BC D图1-28．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a<1，幂函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且当x∈(0，1)时，f( x)的图像在直线y＝x 的上方，对数函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数．故选D.8．，，[2014 福·建卷] 若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图1-2 所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y＝log a x 的图像过点(3，1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝13x，其函数图像不正确；选项 B 中的函数为y＝x3，其函数图3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y＝(－x)3，其函数图像不正确；选项 D 中的函数为y＝log3，其函数图像不正确；选项 D 中的函数为y＝log3(－x)，其函数图像不正确，故选B.15．[2014 湖·北卷] 如图1-4 所示，函数y＝f(x)的图像由两条射线和三条线段组成．若? x∈R，f(x)＞f (x－1)，则正实数 a 的取值范围为________．图1-41620. 0，[解析] “? x∈R，f (x)> f(x－1)”等价于“函数y＝f( x)的图像恒在函数y＝f(x－1)的图像的上方”，函数y＝f(x－1)的图像是由函数y＝f( x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a>0，由图知6a<1，所以 a 的取值范围为0，1 6 .13．、[2014 江·苏卷]已知f(x)是定义在R上且周期为 3 的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝2－2x＋1x2 .若函数y＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是________．12 21. 0，[解析] 先画出y＝x 在区间[0，3]上的图像，再将x 轴下方的图像对2－2x＋12－2x＋12称到x 轴上方，利用周期为3，将图像平移至区间[－3，4]内，即得f(x)在区间[－3，4]上的图像如下图所示，其中f(－3)＝f(0)＝f(3)＝0.5，f(－2)＝f(1) ＝f(4)＝0.5.函数y＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10 个零点(互不相同)等价于y＝f (x)的图像与直线y1＝a 有10 个不同的交点，由图像可得a∈0，2 .x－1，x＜1，e15．、[2014 全·国新课标卷Ⅰ]设函数f(x)＝ 1，x≥1，x3则使得f( x)≤ 2 成立的x 的取值范围是________．x－1≤2，得x<1；当x≥ 1 时，由x1≤2，解得1≤x≤8，15．(－∞，8] [解析] 当x<1 时，由e3综合可知x 的取值范围为x≤8.6．，[2014 山·东卷]已知函数y＝log a(x＋c)( a，c 为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图1-1 所示，则下列结论成立的是( )图1-1A．a>1，x>1 B．a>1，0<c<1C．0< a<1，c>1 D．0<a<1，0< c<16．D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a＜195.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y＝log a x 的图像向左平移不到 1 个单位后得到的，∴0＜c＜1.B9 函数与方程6－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是6．[2014 北·京卷] 已知函数f(x)＝x( )A．(0，1) B．(1，2)C．(2，4) D．(4，＋∞)6．C [解析] 方法一：对于函数f(x)＝6x－log2x，因为f(2) ＝2>0，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.方法二：在同一坐标系中作出函数h(x)＝6x与g( x)＝log2x 的大致图像，如图所示，可得f(x)的零点所在的区间为(2，4)．3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则7．[2014 浙·江卷] 已知函数f(x)＝x( )A．c≤ 3 B．3＜c≤ 6C．6＜c≤9 D．c＞97．C [解析] 由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，? －8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c－7＋3a－b＝0，19－5a＋b＝0 ?a＝6，b＝11，则f(x)＝x3＋6x2＋11 x＋c，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c≤3，∴6<c≤9，故选C.10．[2014 重·庆卷] 已知函数 f (x)＝1－3，x∈（－1，0]，x＋1x，x∈（0，1]，且g(x)＝f(x)－mx－m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. －94，－2 ∪0，12 11B. －，－2 ∪0，4 1 29C. －，－2 ∪0，4 2 3D. －11 2，－2 ∪0，4 310．A [解析] 作出函数f(x)的图像，如图所示．函数g(x)＝f (x)－mx－m 的零点为方程f(x)－mx－m＝0 的根，即为函数y＝f(x)与函数y＝m( x＋1)图像的交点．而函数y＝m(x＋1)1 的图像恒过定点P(－1，0)，由图易知有两交点的边界有四条，其中k PO＝0，k PA＝，k PB＝2－2，第四条为过P 点的曲线y＝1 1－3 的切线P C .将y＝m( x＋1)( m≠0)代入y＝－3，x＋1 x＋1得mx ，即k PC 2＋(2 m＋3)x＋m＋2＝0，则由Δ＝(2m＋3)2－4m(m＋2)＝4m＋9＝0，得m＝－94＝－94，所以由图可知满足条件的实数m 的取值范围是－94，－2 ∪0，12 . 15．[2014 福·建卷] 函数f( x)＝2－2，x≤0，x的零点个数是________．2x－6＋ln x，x＞02－2， 15．2 [解析] 当x≤0 时，f(x)＝x令x2－2＝0，得x＝2(舍)或x＝－2，即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点．当x>0 时，f(x)＝2x－6＋ln x，令2x－6＋ln x＝0，得ln x＝6－2x.作出函数y＝ln x 与y＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图像，则两函数图像只有一个交点，即函数 f (x)＝2x－6＋ln x(x >0)只有一个零点．综上可知，函数f( x)的零点的个数是 2.2－3x，则函数 9．、[2014 湖·北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 时，f (x)＝xg( x)＝f(x)－x＋3 的零点的集合为()A．{1 ，3} B．{ －3，－1，1，3}C．{2 －7，1，3} D．{ －2－7，1，3}2－3(－x)] ＝－x2－3x . 9．D [解析]设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x) 求函数g(x)＝f(x)－x＋3 的零点等价于求方程 f (x)＝－3＋x 的解．当x≥0 时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x<0 时，－x 3＝－2－7.故选D.2－3x＝－3＋x，解得x13．、[2014 江·苏卷] 已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝2－2x＋1x2.若函数y＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是________．12 22. 0，[解析] 先画出y＝x 在区间[0，3]上的图像，再将x 轴下方的图像对2－2x＋12－2x＋12称到x 轴上方，利用周期为3，将图像平移至区间[－3，4]内，即得f(x)在区间[－3，4]上的图像如下图所示，其中f(－3)＝f(0)＝f(3)＝0.5，f(－2)＝f(1) ＝f(4)＝0.5.函数y＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10 个零点(互不相同)等价于y＝f (x)的图像与直线y1＝a 有10 个不同的交点，由图像可得a∈0，2 .4．[2014 江·西卷] 已知函数 f (x)＝x，x≥0，a· 2－x，x<02(a∈R)．若f[f(－1)]＝1，则a＝( )A. 1412B.C．1 D．21＝2，f(2)＝a·22＝4a＝1，所以a＝14．A [解析] 因为f(－1)＝24.15．[2014 浙·江卷] 设函数f(x)＝2＋2x＋2，x≤0，x－x2，x＞0.2，x＞0.若f(f(a))＝2，则a＝________.2＋2t＋2＝2 满足条件，此时t＝0 或t＝－2，196. 2 [解析] 令t＝f(a)，若f(t)＝2，则t所以f( a)＝0 或f(a)＝－2，只有－ a2＝－2 满足条件，故a＝ 2.3＋3x2＋3x(a≠0)． 21．[2014 全·国卷] 函数f( x)＝ax(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f (x)在区间(1，2)是增函数，求 a 的取值范围．2＋6x＋3，f′(x)＝0 的判别式Δ＝36(1－a)．21．解：(1) f′(x)＝3ax(i) 若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0 当且仅当a＝1，x＝－1 时成立．故此时f(x)在R上是增函数．(ii) 由于a≠0，故当a＜1 时，f′(x)＝0 有两个根；x1＝－1＋1－a －1－1－a，x2＝.a a若0＜a＜1，则当x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；当x∈(x2，x1)时，f′(x)<0，故f (x)在(x2，x1)是减函数．若a＜0，则当x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时，f′(x)＜0，故f (x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数；当x∈(x1，x2)时f′(x)＞0，故f(x)在(x1，x2)是增函数．2＋6x＋3＞0，故当a＞0 时，f(x)在区间(1，2)是增函数．(2)当a＞0，x＞0 时，f′(x)＝3ax当a＜0 时，f(x)在区间(1，2)是增函数当且仅当f′(1)≥0 且f′(2) ≥0，解得－54≤a＜0.5综上，a 的取值范围是－，0 ∪(0，＋∞)．414．[2014 天·津卷] 已知函数f( x)＝2＋5x＋4|，x≤0，|x若函数y＝f(x)－a |x|恰有4 个零2|x－2|，x＞0.点，则实数 a 的取值范围为________．14．(1，2) [解析] 在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a |x|的图像，如图所示，当y＝a |x|与y＝f(x)的图像相切时，联立2－5x－4，－ax＝－xa>0，2 2整理得x ＋(5－a)x＋4＝0，则Δ＝(5－a) －4×1× 4＝0，解得a＝1 或a＝9(舍去)，∴当y＝a |x|与y＝f(x)的图像有四个交点时，有1< a<2.B10 函数模型及其应用8．[2014 北·京卷] 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c( a，b，c 是常数)，图1-2 记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )图1-2A．3.50 分钟B．3.75 分钟C．4.00 分钟D．4.25 分钟0.7＝9a＋3b＋c，a＝－0.2，8．B [解析] 由题意得0.8＝16a＋4b＋c，b＝1.5，解之得197.＝25a＋5b＋c，c＝－2，∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，即当t＝3.75 时，p 有最大值．10．[2014 陕·西卷] 如图1-2 所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )图1-2A．y＝13－12－x x x2 2B．y＝13＋12－3x 2x 2xC．y＝143－x xD．y＝13＋12－2x x x4 210．A [解析] 由题意可知，该三次函数的图像过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为y＝f(x)＝ax3＋bx2＋cx，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∴f′(0)＝－1，f′(2)＝3，可得c＝－1，3＋bx2＋cx 过点(2，0)，∴4a＋2b＝1，∴a＝1，b＝－3a＋b＝1.又y＝ax2 12，c＝－1，∴y＝f( x)1 3－12－x.＝2x2xB11 导数及其运算m ，m∈R. 21．、、[2014 陕·西卷]设函数f(x)＝ln x＋x(1)当m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f (x)的极小值；x(2)讨论函数g( x)＝f′(x)－零点的个数；3f（b）－f（a）b－a (3)若对任意b＞a＞0，＜1 恒成立，求m 的取值范围．e x－e，则f′(x)＝ 21．解：(1) 由题设，当m＝e 时，f(x)＝ln x＋2 ，x x∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f( x)在(e，＋∞)上单调递增．e∴x＝e 时，f (x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，e∴f(x)的极小值为 2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－x 1 m x＝－(x>0)，2－3 x x 3令g(x)＝0，得m＝－13＋x(x>0)，3x设φ(x)＝－133＋x( x≥0)，x则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)( x＋1)，；当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ( x)在(0，1)上单调递增减．当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递∴x＝1 是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1 也是φ(x)的最大值点，2∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.3)，可知又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图所示2①当m > 时，函数g(x)无零点；3②当m＝23时，函数g( x)有且只有一个零点；2③当0<m< 时，函数g(x)有两个零点；3④当m≤0 时，函数g( x)有且只有一个零点．2综上所述，当m> 时，函数g(x)无零点；3当m＝23或m≤0 时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<m< 2时，函数g(x)有两个零点．3f（b）－f（a）b－a(3)对任意的b> a>0，<1 恒成立，等价于 f (b)－b<f(a)－a 恒成立．(*)m设h(x)＝f( x)－x＝ln x＋－x(x>0)，x∴(*) 等价于h( x)在(0，＋∞)上单调递减．由h′(x)＝1x－m2－1≤0 在(0，＋∞)上恒成立，x得m≥－x2＋x ＝－x－12＋x＝－x－12 2＋14(x>0)恒成立，∴m≥141 1对m＝，h′（x）＝0仅在x＝时成立，4 21∴m 的取值范围是，＋∞.42－x3，其中a>0. 20．、[2014 安·徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f( x)取得最大值和最小值时的x 的值．20．解：(1) f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.－1－4＋3a令f′(x)＝0，得x1＝，3x2＝－1＋4＋3a，且x1<x2，3所以f′(x)＝－3( x－x1)( x－x2)．当x<x1 或x> x2 时，f′(x)<0；当x1<x<x2 时，f′(x)>0.故f(x)在－∞，－1－4＋3a3和－1＋4＋3a，＋∞内单调递减，3在－1－4＋3a，3 －1＋4＋3a3内单调递增．(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，①当a≥ 4 时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f( x)在x＝0 和x＝1 处分别取得最小值和最大值．②当0<a<4 时，x2<1，由(1)知，f(x )在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，3所以当0< a<1 时，f(x)在x＝1 处取得最小值；当a＝1 时，f(x)在x＝0 和x＝1 处同时取得最小值；当1<a<4 时，f(x)在x＝0 处取得最小值．3－3x. 20．、[2014 北·京卷] 已知函数f(x)＝2x(1)求f (x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3 条直线与曲线y＝f (x)相切，求t 的取值范围；(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f( x)相切？(只需写出结论)3－3x 得f′(x)＝6x2－3.20．解：(1)由f(x)＝2x令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝ 2.2 2因为f(－2)＝－10，f －22＝2，f22＝－2，f(1)＝－1，所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f－22＝ 2.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f( x)相切于点(x0，y0)，3 2则y0＝2x0－3x0，且切线斜率为k＝6x0－3，2所以切线方程为y－y0＝(6x0－3)( x－x0)，因此t－y0＝(6x20－3)(1－x0)，3 2整理得4x0－6x0＋t＋3＝0，设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在 3 条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3 个不同零点”．2－12x＝12x( x－1)．g′(x)＝12x当x 变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞)g′(x) ＋0 －0 ＋g(x) t＋3 t＋1所以，g(0)＝t＋3 是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1 是g(x)的极小值．结合图像知，当g( x)有3 个不同零点时，有g（0）＝t＋3>0，g（1）＝t＋1－0，解得－3<t<－1.故当过点P(1，t)存在 3 条直线与曲线y＝f(x)相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1，2)存在 3 条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2，10)存在 2 条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0，2)存在 1 条直线与曲线y＝f(x)相切．x－ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A，曲线y＝f(x) 22．、[2014 福·建卷] 已知函数f(x)＝e在点 A 处的切线斜率为－ 1.(1)求a 的值及函数f(x)的极值；2＜e x； (2)证明：当x＞0 时，x(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex. x－ax，22．解：方法一：(1)由f(x)＝e得f′(x)＝ex－a.又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x＜ln 2 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln 2 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝ln 2 时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2) ＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．x－x2，则g′(x)＝e x－2x.(2)证明：令g( x)＝e由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2) ＝2－ln 4＞0，即g′(x)＞0.所以g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1＞0，所以当x＞0 时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜e x.1(3)证明：对任意给定的正数c，取x0＝，c由(2)知，当x＞0 时，x2＜e x.x＞x2＞1x.所以当x＞x0 时，ex，即x<cecx. 因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜ce方法二：(1) 同方法一．(2)同方法一．(3)证明：令k＝1cx 成立，只要e x＞kx 成立．(k＞0)，要使不等式x＜ce而要使 ex＞kx 成立，则只需要x>ln( kx)，即x＞ln x＋ln k 成立．①若0＜k≤1，则ln k≤0，易知当x＞0 时，x＞ln x≥ln x＋ln k 成立．即对任意c∈[1，＋∞)，取x0＝0，x. 当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜ce1 ②若k＞1，令h(x)＝x－ln x－ln k，则h′(x)＝1－＝x x－1，x所以当x＞1 时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增．取x0＝4k，h( x0)＝4k－ln(4 k)－ln k＝2(k－ln k)＋2(k－ln 2)，易知k＞ln k，k＞ln 2，所以h( x0)＞0.因此对任意c∈(0，1)，取x0＝4cx ，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜ce.x. 综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜ce 方法三：(1) 同方法一．(2)同方法一．(3)证明：①若c≥1，取x0＝0，由(2)的证明过程知， ex＞2x，所以当x∈(x0，＋∞)时，有c ex≥e x＞2x＞x，x. 即x＜ce②若0＜c＜1，令h(x)＝cex－x，则h′(x)＝ce x－1.1令h′(x)＝0 得x＝ln.c1当x＞ln 时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．c取x0＝2ln 2c，2 2则h(x0)＝ce2ln ＝2－2lnc c 2 2－lnc c，易知2－lnc2＞0，又h( x)在(x0，＋∞)内单调递增，c所以当x∈(x0，＋∞)时，恒有h(x)＞h(x0)＞0，x. 即x＜cex. 综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex＋3 在点(0，－2)处的切线方程为________．11．、[2014 广·东卷]曲线y＝－5ex，∴所求切线斜是k＝－5e0＝－5，∴切线方程是11．5x＋y＋2＝0 [ 解析] ∵y′＝－5ey－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.2＋b11．[2014 江·苏卷]在平面直角坐标系x Oy 中，若曲线y＝ax (a，b 为常数)过点P(2，x－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x＋2y＋3＝0 平行，则a＋b 的值是________．b11．－3 [解析] 易知y′＝2ax－2.根据题意有xb－5＝4a＋，2解得b 74a－＝－，4 2a＝－1，b＝－2，故a＋b＝－3.sin x23．、[2014 江·苏卷]已知函数f0(x)＝(x>0)，设f n(x)为f n－1( x)的导数，n∈Nx*.(1)求2f1 π2π＋2 f2π2的值；(2)证明：对任意的n∈N*，等式nf n－1 π4＋πf n4π4＝2都成立．223．解：(1)由已知，得f1(x)＝f′0( x)＝s in xx′＝cos xx－s in x2 ，x。
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全国百所名校高考数学一轮复习试卷
专题四：函数与导数
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数(
)sin f x x =
的导数为（ ）
A ．(
)'sin cos f x x x =
B ．(
)'sin cos f x x x =
C ．(
)'
cos f x x =
D ．(
)'
cos f x x =
2．已知函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）
A ．(2)(3)(3)(2)f f f f <'<-'
B ．(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'
C ．(3)(2)(3)(2)f f f f <'<-'
D ．(3)(2)(2)(3)f f f f ''-<<
3．设函数()f x 可导，则()()
11lim
3x f f x x
∆→-+∆∆等于（ ）
A ．()1f -'
B ．()31f '
C ．()113f -
' D ．()1
13
f ' 4．函数3()31f x x x =-+，[3,0]x ∈-的最大值.最小值分别是（ ） A ．3,－17 B ．1,－1 C ．1,－17 D ．9,－19
5．函数()21
x
x
f x x =+
+的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足
2()()0f x f x x '+
<，则不等式(2020)(2020)5(5)52020
x f x f x ++<+的解集为（ ） A ．{}
20202015x x -<<- B ．{}
2015x x <- C ．{}20200x x -<<
D ．{}
2015x x >-
7．若函数()()ln 01f x x x =<≤与函数()2
g x x a =+有两条公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A
．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B
．13ln ,24⎛
⎫-- ⎪⎝⎭ C
．3ln 4
⎛⎤-- ⎥⎝
⎦
D
．13ln ,24⎛⎤-- ⎥⎝
⎦
8．设函数()1x
x
e f x e
=-，下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 的单调递增区间为(,0)(0,)-∞+∞
B ．()f x 图象的对称中心为10,2⎛⎫-
⎪⎝⎭
C ．()f x 图象的对称中心为1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
D ．()f x 的值域为(1,0)-
9．若对任意()0,x ∈+∞，不等式22ln ln 0x e a a a x --≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A
B ．e
C ．2e
D ．2e
10．已知函数()21(1)2
x
x
f x x e ae ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0]∪[
1
2
，+∞） B ．（﹣∞，0]∪[
1
3
，+∞）。