抛物线的焦点弦问题

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焦点弦公式

焦点弦公式引言焦点弦公式是解决椭圆、双曲线和抛物线相关问题的重要公式之一。

它通过求取曲线的焦点坐标和弦长以及焦点与弦的垂直距离的关系，为解决相关问题提供了便利。

本文将详细介绍焦点弦公式的推导过程以及应用场景，并给出一些实际问题的例子来帮助读者更好地理解焦点弦公式。

焦点弦公式的推导焦点弦公式的推导涉及到椭圆、双曲线和抛物线三种常见曲线的方程及其性质。

在这里，我们以椭圆为例进行推导。

椭圆的定义和性质椭圆是一个平面上所有点到两个焦点的距离之和等于常数的轨迹。

设椭圆的焦点坐标分别为F1和F2，椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，则椭圆的方程可以表示为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1椭圆的焦点与直径的关系可以表示为：2ae = d其中e为离心率，d为焦点之间的距离。

焦点弦公式的推导过程我们考虑椭圆上一点P(x,y)到焦点F1的距离为r1，到焦点F2的距离为r2，焦点与弦的垂直距离为h，弦的长度为2c。

根据椭圆的定义，我们可以得到以下两个方程：r1 + r2 = 2ar1 - r2 = 2h通过解以上方程组，我们可以求解出r1和r2的值：r1 = a + hr2 = a - h根据勾股定理，可以得到焦点弦公式：c^2 = r1^2 - r2^2 = (a + h)^2 - (a - h)^2 = 4ah焦点弦公式的应用焦点弦公式在解决椭圆、双曲线和抛物线相关问题中有广泛的应用。

下面我们将介绍一些实际问题，展示焦点弦公式的具体应用。

问题一：求解椭圆的焦点坐标已知椭圆的方程为(x^2/4) + (y^2/9) = 1，求解焦点坐标。

根据椭圆的方程，可以得到a^2 = 4和b^2 = 9，因此a = 2，b = 3。

根据焦点与直径的关系，可以求得ae = 2ae = 4，因此e = 2，焦点之间的距离为d = 2ae = 4。

由于焦点到直径的距离等于焦点与弦的垂直距离，可以得到焦点与弦的垂直距离h = d/2 = 2。

利用几个常用结论解决抛物线垂直焦点弦问题

利用几个常用结论解决抛物线垂直焦点弦问题kuing近几日，在群内连续两次出现抛物线焦点弦问题，且我发现两题很相似，都可以用一些常用的熟知结论，几何化地去解决，不需要麻烦的代数化去解。

现整理如下。

先以引理结出这些常用结论，其详细证明这里略去，有兴趣可以自己试试证。

引理一：过抛物线焦点F 的直线交抛物线于两点A 、B 两点，过这两点分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，则有：（1）AM BM ⊥；（2）FM AB ⊥；（3）点M 必在抛物线的准线上；引理二：（光学性质——抛物线）过抛物线焦点F 的光线经抛物线反射后的光线必定平行于抛物线的对称轴；引理三：过离心率为e ，焦准距为p 的圆锥曲线的焦点F 作两条互相垂直的直线，若这两条直线分别交圆锥曲线于A 、B 及C 、D ，且F 在A 、B 之间，F 在C 、D 之间，则有：21122e AB CD ep−+=；引理四：梯形ABCD 中，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点P ，过P 作与梯形两底边平行的直线交梯形两腰于E 、F ，则有211EF AD BC=+。

（注：前三个引理我均在人教论坛中某收集解释几何常用结论的贴中结出过；引理三我在论坛中贴过详细证明，用的是极坐标方法，搜索我的主题可以找到；引理四是初中内容）题一：解：（I ）如图所示：由引理一，可知AMB ∆为直角三角形，M 为直角，点M 在准线上，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，取AB 的中点G ，连结GM 。

由于AMB ∆为直角三角形且M 为直角且GM 为其斜边上的中线，于是易得12∠=∠，引理二，可知234∠=∠=∠，因此得到14∠=∠，于是易知GM 也与准线垂直，即GM 为直角梯形AA 1B 1B 的中位线，所以显然A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列，得证。

（II ）由引理一，可知FM AB ⊥，因此由引理三以及抛物线离心率是e=1以及本题中易知焦准距为p=2，代入即知1114AB CD +=，又易知四边形ABCD 的面积为12S AB CD =⋅，又由基本不等式有4111AB CD AB CD AB CD≥⋅+===+，即得32S ≥，且等号成立当且仅当AB=CD 可取到，即四边形ABCD 的面积的最小值为32。

抛物线焦点弦的弦长公式

抛物线焦点弦的弦长公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1关于抛物线焦点弦的弦长公式在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：(1)已知：抛物线的方程为px y 22=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点，且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。

解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y -=)2(πθ≠将其代入抛物线方程整理得：0)84(422222=++-kp k xkx p p ，且θtan =k设A,B 两点的坐标为),(),,(2211y x y x 则：kk xx p p 22212+=+，4221p xx =)(sin )(2212224211||θpAB x x x x k=-+=+当2πθ=时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。

现在我们来探讨这个问题。

(2)已知：抛物线的方程为)0(22>=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。

解：设A,B 的坐标为),(),,(2211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2,0(p ，故AB 的方程为kx py =-2，将其代入抛物线的方程整理得： ,0222=--pxpkx 从而px x x x pk 22121,2-==+，弦长为：)(cos )(2212224211||θpAB x x x x k=-+=+p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。

而px y 22-=与（1）的结果一样，py x 22-=与（2）的结果一样，但是（1）与（2）的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。

过抛物线焦点弦的最小值问题

高三数学总复习资料过抛物线焦点弦的最小值问题例题：已知抛物线)0(22>=p px y ,过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦|AB|的最小值。

解法一：当斜率k 存在时,设直线AB 为y=k(x-2p ) ⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(2 得 04)2(22222=++-k p x p p k x k 即：4221p x x = ，过焦点弦|AB|=p x x ++21 由题意可知,0,021>>x x 21212x x x x ≥+由于积是定值，当且仅当21x x =时即为2p 时能取等号,所以当斜率k 不存在, 此时这条直线就垂直于x 轴，过焦点的弦|AB|最小即通径最小。

最小值为2p.解法二：设直线的倾斜角为θ，斜率存在时,则直线为 y= tan θ(x-2p ) ⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2θ 得 0tan 4)2tan (tan 22222=++-θθθp x p p x θθ2221tan 2tan p p x x +=+代入过焦点弦|AB|=p x x ++21 =2p(1+θ2tan 1) = θ2sin 2p 当sin θ2=1时，|AB|有最小值即2p,此时斜率不存在,倾斜角2πθ=，即线段AB 为通径。

评价：解法一是用不等式思想求最值方法，当然用两根这积是也可以解法到求两根之积。

这种是确定动直线的位置关系来求最值的情况的。

解法二是建立函数关系式，用函数思想求最值。

这是两种不同方法来分析最值问题的。

这种方法是建立函数关系式来求最值问题。

在这方面题型有两种分析思想：一是能否确定动的位置关系来判断取最值的问题。

（如解法一型），二是所求与已知建立一个函数关系式，用函数求最值或范围的方法。

这是我们解决中学数学问题时常用的解题思想。

抛物线焦点弦

抛物线焦点弦
抛物线的焦点弦是：焦点弦长就是两个焦半径长之和。

焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。

由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。

相关简介：
在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。

若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin²α。

y²=2px或y²=-2px时，x1x2=p²/4,y1y2=-p²。

x²=2py或x²=-2py 时，y1y2=p²/4,x1x2=-p²。

焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦，是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。

焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。

焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。

而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示。

抛物线的焦点弦问题

2
探究1：抛物线焦点弦的性质
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1、C1，如图方向1：坐标关系. 若A(x1,y1)、 B(x2,y2)、C(x0, y0)…… 方向2：长度关系. |AA1|、|AF|、 |AB|、|CC1|……
C1
B1
O
F B
A、O、B1共线
以焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切
抛物线的简单几何性质
复习回顾1:定义与标准方程
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点; 定直线l叫做抛物线准线. 抛物线方程的四种形式：图 y 形方程焦点准线
p F ( ,0 ) 2 p F ( ,0) 2 p F ( 0, ) 2
•常规思路：设出直线方程，联立方程，韦达定理……
A1 C1 O B1 B F C
A
•注意：讨论斜率不存在的情况
p 2 x1 x2 , y1 y2 p 4
2
焦点弦：长度关系研究
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ 的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1、C1. A1
A
C
以焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切 AC1平分A1 AF AC1 BC1 BC1平分B1 BF A1 AC1 AFC1 课本81页B7 B1 BC1 BFC1
C1F AB
C1 B1
O
F
B
A1F B1F
C1F C1 A1 C1 B1 以C1为圆心, A1 B1 为直径的圆与AB相切

抛物线焦点弦问题

抛物线焦点弦问题河北省武安市第一中学郅武强抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一．弦长问题：例斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交A .B两点，求线段AB 的长。

分析：利用弦长公式12d x =-能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运根据抛物线的定义，11AF x =+同理 21BF x =+于是得122AB AF BF x x =+=++由题已知{214y x y x=-=消去y 得2610x x -+=故126x x += ∴628AB =+= 注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：12AB x x p =++或12AB y y p=++。

二. 通径最短问题：例：已知抛物线的标准方程为22y px =，直线l 过焦点，和抛物线交与A.B 两点，求AB 的最小值并求直线方程。

解：①如果直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2px =2A B p =②如果斜率存在，不妨设斜率为k ，则直线的方程为(2p y k x =-，与抛物线方程联立方程组得22( 2y pxp y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2 04k p k x k p p x -++=若0k ≠ 则222440k p p ∆=+>1222px x p k +=+则1222222p p AB x x p p p p k k =++=++=+当k →∞时 AB最小即min 2AB p = 此时 2px =三．两个定值问题：例：过抛物线22y px =的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1x 、2x 、1y 、2y ，求证：2114p x y =，212y y p =-。

证明：①联立22( 2y px p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2 0(04k p k x k p p x k -++=≠2124p x x =同理消去y 可得 212y y p =-；②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；③斜率不存在时，2114p x y = ，212y y p =-同样是定值；从上所述：2114p x y =，212y y p =-四．一个特殊直角问题：过抛物线22(0 y px P =>的焦点F 的直线与抛物线交与A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线的准线上的射影分别是1A ，1B 求证：1190A FB ︒∠=。

抛物线焦点弦问题

抛物线焦点弦问题抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一．弦长问题：例斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交A .B 两点，求线段AB 的长。

二.通径最短问题：例：已知抛物线的标准方程为22y px =，直线l 过焦点，和抛物线交与A.B 两点，求AB 的最小值并求直线方程。

解：①如果直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2px =2A B p =②如果斜率存在，不妨设斜率为k ，则直线的方程为()2p y k x =-，与抛物线方程联立方程组得22()2y pxp y k x ==-⎧⎨⎩ 消去y 得22222(2)04k p k x k p p x -++=若0k ≠ 则222440k p p ∆=+> 1222px x p k +=+则1222222p pAB x x p p p p k k =++=++=+当k →∞时 AB最小即min 2AB p = 此时 2px =三．两个定值问题：例：过抛物线22y px =的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1x 、2x 、1y 、2y ，求证：2114p x y =，212y y p =-。

证明：①联立22()2y px p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2)0(0)4k p k x k p p x k -++=≠2124p x x =同理消去y 可得 212y y p =-；②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；③斜率不存在时，2114p x y = ，212y y p =-同样是定值；从上所述：2114p x y =，212y y p =-四．一个特殊直角问题：过抛物线22(0)y px P =>的焦点F 的直线与抛物线交与A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线的准线上的射影分别是1A ，1B 求证：1190A FB ︒∠=。

抛物线的焦点弦性质

法二：由题知AB不与x轴平行 p 设AB方程为x my ，（m R） 2 y 2 2 px p 2 p y 2 p (my ) 2 x my 2 y
即：y 2 pmy p 0
2 2
A
y1 y2 p （定值）
2
O
F B
1 当AB x轴时，
O B
F
x
20 AB斜率存在时设为k，（k 0）
2
y p 2 py 2 消元得y 2 （ p ）即y p2 0 k 2 k 2 2 2 y1 y1 p 2 y1 y2 - p ；x1 x2 2 p 2 p 4
p 则直线AB方程为y=k（x- ）代入抛物线方程y2 2 px 2
1 同理， k
以代k得B(2pk2, -2pk) .
1 2 x p ( k ) 0 k2 y p( 1 k ) 0 k
1 1 2 k 2 (k ) 2 k k
2
x0 y0 2 ( ) 2 p p
即 y02 = px0-2p2，
2 px y1 2 px1 y1 y2 2 px 2 px1 y y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2 px 4 p 2 y1 2 px1 , y1 y2 4 p2 y y1 y2 y1 y2
2 p | y1 y2 | 4 p2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB， (5)求O在AB上的射影M轨迹方程. y (5)法一：设M(x3, y3), 则 kOM 3 x3 x

关于抛物线焦点弦的弦长公式补充

关于抛物线焦点弦的弦长公式补充高县中学吴伦红在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：(1)已知：抛物线的方程为px y 22=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点，且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。

解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y -=)2(πθ≠将其代入抛物线方程整理得： 0)84(422222=++-kp k xkx p p ，且θtan =k设A,B 两点的坐标为),(),,(2211y x y x 则：kk xx pp 22212+=+，4221p x x =当2πθ=时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。

现在我们来探讨这个问题。

(2)已知：抛物线的方程为)0(22>=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。

解：设A,B 的坐标为),(),,(2211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2,0(p，故AB的方程为kx py =-2，将其代入抛物线的方程整理得：,0222=--pxpkx 从而px x x x pk 22121,2-==+，弦长为：)(cos )(2212224211||θpAB x x x x k=-+=+p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。

现将改动陈述于下：（3）已知：抛物线的方程为px y 22=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B 两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。

抛物线的焦点弦问题

(3)x2 2 py,
| AB | y1 y2 p
(4)x2 2 py, | AB | p y1 y2
例：过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2 ,
求证 : y1 y2 p2.
y
证法 :因直线AB过定点F且与x轴
变题3 : 设M (a,0)是抛物线y2 2 px B
( p 0)的轴上的一个定点，过M的
直线交抛物线于A(x1, y1)、B (x2, y2 )
两点,求证 : y1 y2与x1x2均为定值.
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为 y1、y 2,
|
PF
|
- y0

p 2
例1 :
(1)抛物线y2 x上一点P到焦点的
距离为2,则P点的坐标为__答_案__: P___74_,.
7
2

(2)抛物线y2 2x上两点A, B到焦点的距离
之和是5,则线段AB中点横坐标是 _答_案_:_2..
例2.斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点,
交抛物线于A, B两点, 通过点A
A
和抛物线顶点的直线交抛物 o
线的准线于点D ,求证 :直线
F DB
x
DB平行于抛物线的对称轴.
分析我们用坐标法证明,即通过建立抛物线及直线的方程, 借
图2.3 5
助方程研究直线DB与抛物线对
称轴之间的位置关系.
建立如图2.3 5所示的直角坐标系,只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.

高三数学二轮复习冲刺：抛物线的焦半径与焦点弦

抛物线的焦半径与焦点弦抛物线的焦点弦是抛物线中的高频考点，特别是对于考生而言，本节的结论既要注意把握推导过程，更应该注意对结论的熟悉程度，因为很多涉及到焦点弦的题目都会以选填的形式出现，如此，你便可以用相关结论快速做到，避免小题大做！一．重要结论抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:假设抛物线方程为px y 22=.过抛物线焦点的直线l 与抛物线交于B A ,两点，其坐标分别为),(),,(2211y x B y x A .性质1.，2||p x AF A +=2||px BF B +=,p x x AB B A ++=||.证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过B A ,向准线引垂线，垂足分别为N M ,.由定义可知：||||||||BF BN AF AM ==，.代入坐标即可证得相关结论.性质2.抛物线px y 22=的焦点为F，),(),,(2211y x B y x A 是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：221221,4p y y p x x -==.证明：),2(),,2(222121y py B y p y A ，则AB 的方程为2(221211p y x y y p y y -+=-，整理可得：212112))((y px y y y y -=+-，即可得AB 的方程为：21212)(y y px y y y +=⋅+.最后，由于直线AB 过焦点，代入焦点坐标可得221p y y -=.再代入抛物线方程4221p x x =.一般地，如果直线l 恒过定点)0,(m M 与抛物线)0(22>=p px y 交于B A ,两点，那么pm y y m x x B A B A 2,2-==.于是，若AB OB OA ⇒⊥恒过定点)0,2(p .性质3.已知倾斜角为θ直线的l 经过抛物线px y 22=的焦点F ，且与抛物线交于B A ,两点，则（1）pFB F A P BF p AF 2||1||1cos 1||,cos 1||=++=-=，θθ.（2）)11(2||sin 2sin 2||222k p AB p S p AB OAB+===∆，，θθ.证明：设准线l 交x 轴于点P ，过点A 作x AM ⊥轴于M ，作l AN ⊥于N ，由抛物线定义可知：AN AF =．其中p PF =，θcos ⋅=AF MF .所以θcos AF p FM PF AN +=+=，θcos AF p AF +=，故θcos 1-=pAF ．同理θcos 1+=p BF ，所以θθ22sin 2cos 12pp BF AF AB =-=+=．性质4.抛物线的通径(1).通径长为p 2.(2).焦点弦中，通径最短.(3).通径越长，抛物线开口越大.由性质3易得，略.性质5.已知直线l 经过抛物线px y 22=的焦点F ，且与抛物线交于B A ,两点，若弦AB 中点的坐标为),(00y x ，则2(2||0p x AB +=.证明：设B A ,坐标为),(),,(2211y x y x ，由抛物线定义：p x x BF AF AB ++=+=21||||||，故)2(2||0p x AB +=.性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.证明：设焦点弦的中点为),(:00y x M ，则M 到准线的距离为20px +，由性质5可证得.性质7.如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线相交于N M ,两点，自N M ,向准线l 作垂线，垂足分别为11,N M ，则（1）21FM FM ⊥；（2）记1111,,FNN N FM FMM ∆∆∆的面积分别为1S ,2S ,3S ，22134S S S =.注:此题为2009湖北卷文科试题，证明过程可参见该题解答.二．典例分析例1.（2017年全国1卷）.已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为()A．16B．14C．12D．10解析：法1:设1122(,),(,)A x y B x y ,3344(,),(,)D x y E x y ,直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k +=同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p+=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥+=当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号．法2:设1l 的倾斜角为α,则直线2l 的倾斜角为π2α+，根据焦点弦长公式有:2244πsin sin 2AB DE αα+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()22222224416sin cos sin cos αααα+=+≥=+．故选A．法4:设点()()1122,,,A x y B x y ,则()221212121224AB x x p x x y y =++=++=++()212121224y y y y ⎡⎤=+-+⎣⎦设直线1l 的方程为1x my =+()0m ≠联立直线1l 与抛物线2:4C y x =方程消去x 可得2440y my --=所以121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩,所以()221212122444AB y y y y m ⎡⎤=+-+=+⎣⎦同理244DE m =+，所以2248416AB DE m m +=++≥(当且仅当1m =±时等号成立)法5：可设直线12111:,:b x ky l b kx y l +-=+=，由抛物线焦点弦的性质3可得：)1(4||),11(4||22k DE k AB +=+=，故16)1(411(4||||22≥+++=+k kDE AB ，当且仅当1±=k 时取到最小值，故选A.上述例2，在知晓背景的情况下解答是很容易的，这再次说明记住一些重要的二级结论可以优化运算，提升解题速度.下例中，我们将看到有关面积的定值问题，从而为前面的重要结论做一个补充.例2．（2022新高考2卷）已知O 为坐标原点，过抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点()0M p ，，若AF AM ＝，则直线AB的斜率为A．直线AB 的斜率为2B．OB OF ＝C．4AB OF＞D．180<∠+∠OBM OAM 解析：选项A：设FM 中点为N ，则32,24A N ppx x p +===所以()2233220,42A A A y px p p p y ==⋅=>所以,A y p =故2342AB p k p p ==-选项B：112112342p AF BF p BF p p +=⇒+=+5623B B p p BF p x x ⇒==+⇒=所以2222.33Bp p y p =⋅=所以22222227.9394B B p p p p OB x y =+=+=≠选项C：32524.4312pAB p p p p OF =++=>=选项D：由选项A,B知3,,,43pA p p B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22233,0,4344p pOA OB p p p⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=-=-<⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以AOB∠为钝角；又22211,0,42331212p p pMA MB p p p p⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-=-<⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以AMB∠为钝角；所以180OAM OBM∠+∠<︒.故选ACD.例3.抛物线24y x=的焦点为F，11(,)A x y，22(,)B x y 是抛物线上两动点，若123(2)2AB x x=++，则AFB∠的最大值为A．23πB．56πC．34πD．3π解析：)12122,2,()AF BF x x AB x x AB AF BF+=++++∴+.在AFB△中,由余弦定理得：()2222222222241331122AF BF ABcos AFBAF BFAF BF AF BF ABAF BFAB AB ABAF BF AF BF+-∠=⋅+-⋅-=⋅-=-=-⋅⋅，又213AF BF AB AF BF AB+∴⋅.所以221131,1223ABcos AFB AFBAB∠-=-∴∠⨯的最大值为23π.本题选择A选项.例4．（2022·广东·一模）已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，抛物线C上存在n个点1P，2P，L，nP（2n≥且*Nn∈）满足1223112n n nPFP P FP P FP P FPnπ-∠=∠==∠=∠=，则下列结论中正确的是（）A．2n=时，12112P F P F+=B．3n =时，123PF P F P F ++的最小值为9C．4n =时，13241114PF P F P F P F +=++D．4n =时，1234PF P F P F P F +++的最小值为8解析：当2n =时，1212PFP P FP π∠=∠=，此时不妨取12PP 过焦点垂直于x 轴，不妨取12(12),(12)P P -，，，则121111=+122P FP F +=，故A 错误；当3n =时，12233123PFP P FP P FP π∠=∠=∠=，此时不妨设123,,P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx παα∠=∈,2222||,||241cos()1cos()33P F P F ππαα==-+-+，123222241cos 1cos()1cos()33PF P F P F ππααα++=++--+-+214(1cos )2211cos (cos 2ααα+=+-+，令113cos ,(,222t t α=+∈，则123242332t PF P F P F t t +++=+-，令242332()t t t f t +=+-，则232382627(1)()(32)(32)t t f t t t t t +--'=-=--，当112t <<时，()0f t '>，()f t 递增，当312t <<时，()0f t '<，()f t 递减，故min ()(1)9f t f ==，故当1t =，即1cos ,23παα==时，123PF P F P F ++取到最小值9，故B 正确；当4n =时，122313442PFP P FP P FP P FP π∠=∠=∠=∠=，此时不妨设1234,,,P P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,2PFx πθθ∠=∈,12342222||,||,||,||31cos 1cos()1cos()1cos()22PF P F P F P F ππθθπθθ====--+-+-+，即234222||,||,||1sin 1cos 1sin P F P F P F θθθ===++-，故1322241cos 1cos sin PF P F θθθ+=-++=，2422241sin 1sin cos P F P F θθθ+=+-+=，所以132242sin cos 144141PF P F P F P F θθ=++=++，故C 正确；由C 的分析可知：23422122244416sin cos sin cos sin 2PF P F P F P F θθθθθ++===++，当2sin 21θ=时，216sin 2θ取到最小值16，即1234PF P F P F P F +++最小值为16，故D 错误；故选：BC例5.（2018年全国2卷）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解析：（1）设直线l 的方程为)0)(1(>-=k x k y ，且B A ,坐标为),(),,(2211y x y x ，联立方程可得：()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=．所以()()21224411k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得：解得：1=k ，故l 的方程为1-=x y .（2）由（1）可得AB 中点坐标为)2,3(，所以AB 的垂直平分线方程为5+-=x y ，设所求圆的圆心坐标为),(00y x ，则()()002200051116.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩，因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=．注：此题以焦点弦性质6为背景展开.例6．已知抛物线C ：()220,4y px p p =>≠，过点(2,0)A 且斜率为k 的直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点.（1）设点B 在x 轴上，分别记直线PB ，QB 的斜率为12,k k .若120k k +=，求点B 的坐标；（2）过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M ，N 两点，求||||||MN AP AQ ⋅的值.解析：由题意，直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠.设221212(,0),,,,22y y B m P y Q y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立2(2)2y k x y px =-⎧⎨=⎩，消去x 得2240p y y p k --=.21212242160,,4p pp y y y y p k k∴∆=+>+==-.120k k += ，12221222y y y y m m pp∴+=--，即()()12121202y y y y m y y p +-+=.4202p p m p k⎛⎫-∴-⋅= ⎪⎝⎭，即2(2)0pm k +⋅=.0p > ，2m ∴=-，∴点B 的坐标为(2,0)-.（2）由题意，直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中tanθk =，θ为倾斜角，则sin θ=，2122224114sin 1y y p AP AQ p k k k θ-⎛⎫∴⋅===+⋅ ⎪⎝⎭+设322344,,,22y y M y N y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得2220p y y p k --=.222343424240,,p p p y y y y p k k∴∆=+>+==-.342112MN y p k ⎛⎫∴=-=+⋅ ⎪⎝⎭22112||11||||214p MN k AP AQ p k ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∴=⋅⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭.例7．已知抛物线2:(0)E y ax a =>的焦点为,F A 为E 上一点，||AF 的最小值为1.（1）求抛物线E 的标准方程；（）过焦点F 作互相垂直的两条直线121,,l l l 与抛物线E 相交于,P Q 两点，2l 与抛物线E 相交于,M N 两点.若,C D 分别是线段,PQ MN 的中点，求22||||FC FD +的最小值.解析：（1）抛物线E 的标准方程为24x y =.（2）由（1）得，点()0,1F ，显然直线1l ，2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 斜率为k ，则2l 的斜率为1k -，直线1l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 并整理得2440x kx --=，216160k ∆=+>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则124x x k +=，所以线段PQ 中点()22,21C k k +，()2424k F k C =+，同理242114FD k k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以242242114FC k F k k D k ⎛⎫=+++ ⎝+⎪⎭，令2212t k k =+≥=，当且仅当221k k =，即21k =时等号成立.所以24412t k k=++，且[)2,t ∈+∞，所以()()222221424249162t t t t t FC FD ⎛⎫=+-=+-=+-≥ ⎪⎝+⎭，当且仅当2t =时取等号，所以22FC FD +的最小值为16.例8．已知抛物线C ：()220x py p =>，F 为抛物线C 的焦点，()0,1M x 是抛物线C 上点，且2MF =；（1）求抛物线C 的方程；（2）过平面上一动点(),2P m m -作抛物线C 的两条切线PA ，PB （其中A ，B 为切点），求11AF BF+的最大值.解析：（1）抛物线2C 的方程为24x y =；（2）抛物线2C 的方程为24x y =，即2'xy =，设()11,A x y ，()22,B x y ，(),2P m m -则切线PA ，PB 的斜率分别为12x，22x .所以切线PA ：，)(2111x x x y y -=-∴211122x x y x y =-+，又2114x y = ，11220y x x y ∴-+=，同理可得切线PB 的方程为22220y x x y -+=，因为切线PA ，PB 均过点(),2P m m -，所以112240y mx m -+-=，222240y mx m -+-=，所以直线AB 的方程为2240y mx m -+-=.联立方程222404y mx m x y -+-=⎧⎨=⎩，消去x 整理得()()2222420y m m y m --++-=，∴()()()222222442480m m m m m m ∆=-+--=-+≥，∴m R ∈.∴21224y y m m +=-+，()2122y y m =-由抛物线定义可知11AF y =+，21BF y =+，所以11AF BF AF BF AF BF++=∵()()()121212111AF BF y y y y y y =++=+++2269m m =-+，∴2223+112612+2692269m AF BF m m AF BF AF BF m m m m +-+==+-+-+，令32m t R+=∈∴原式21111454522221221222t t t t t=+=+-++-≤。

抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。

例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值。

结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为。

AB 倾斜角为3π或23π。

结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB结论四：若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA⊥OB 。

反之也成立。

结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩，，设抛物线22x py =上动点P坐标为2(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点，显然222OP pt k t pt==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率．例直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB 长为P 的值．解析：设点AB ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，，，，则112A OA t k ==，12B OA OBt k k ==-=-． A B，的坐标分别为(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．AB =∴==2p =∴．练习：1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p q += 故114a p q+=】 2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴．证明直线AC 经过原点O ．【证明：抛物线焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，．设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，，则212y y p =-． BC x ∵∥轴，且点C 在准线12CO pk y =；又由2112y px =，得1112AO y pk x y ==，故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．【解：设()P x y ，=．整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =．设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】备选1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．设对称轴和准线的交点是M ，可以求得6255M ⎛⎫-⎪⎝⎭，．设焦点为F ，则FM 的中点是A ，故得焦点坐标为4255F ⎛⎫⎪⎝⎭，．再设()P x y ，是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得22444120x y xy x y ++--=，即为所求抛物线的方程．例2 已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，求线段AB 中点的轨迹方程．解析：设OA k t =，1OB OB OA k t ⊥⇒=-，据t 的几何意义，可得2244(44)A t t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．设线段中点()P x y ，，则222214142214142.2x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，。

抛物线焦点弦二级结论分比模型

抛物线焦点弦二级结论分比模型一、概述抛物线是数学中常见的一种曲线，它具有许多特殊的性质和规律。

其中，抛物线焦点弦二级结论分比模型是描述抛物线特征的重要模型之一。

本文将着重探讨抛物线焦点弦二级结论分比模型的相关内容，包括定义、公式推导、应用等方面。

二、抛物线基础知识1. 抛物线的定义抛物线是平面上的一条曲线，它是所有到定点距离与到定直线距离相等的点的轨迹。

数学上，抛物线可以用一般式方程表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。

2. 抛物线焦点和直径定义抛物线的焦点是到抛物线上任意一点的距离与该点到抛物线的准线的距离相等的点。

直径是垂直于准线且过焦点的直线段。

三、抛物线焦点弦二级结论分比模型1. 定理表述设抛物线的焦点为F，抛物线上一点为P，直径的中点为M，过P点作抛物线的直径的垂线交直径于垂足H，则有PF:PH=2:1。

2. 证明过程（1）假设抛物线方程为y=ax^2+bx+c，直径的中点M为（0，c-a/4），焦点F为（0，c+1/4a）。

（2）过P点作抛物线的直径的垂线交直径于垂足H，可得PH的坐标为（x,ax^2+bx+c）。

（3）根据两点距离公式可得PF:PH的比值为2:1。

3. 应用举例抛物线焦点弦二级结论分比模型在几何问题中有着重要的应用。

在确定抛物线上的一点到焦点和直径的垂线的比例时，可以利用该定理简化问题的求解过程。

该定理也可以拓展到工程实践中，用于设计抛物线相关形状的构造。

四、结论抛物线焦点弦二级结论分比模型是抛物线性质的重要定理之一，它描述了抛物线焦点和直径上一点之间的比例关系。

通过本文的介绍，读者对该模型的定义、证明过程和应用有了更深入的了解。

相信随着对抛物线性质的不断研究，抛物线焦点弦二级结论分比模型的应用将会更加广泛和深入。

抛物线是数学中重要的曲线之一，它在许多领域都具有重要的应用价值。

抛物线焦点弦二级结论分比模型作为抛物线性质的重要定理之一，不仅具有理论意义，更在实际问题中发挥着重要作用。

抛物线焦点弦公式二级结论

抛物线焦点弦公式二级结论抛物线是一种非常重要的数学函数，其形状像一个拱形，具有很多有趣的性质。

其中一个非常重要的性质是抛物线的焦点弦公式二级结论，该结论涉及到抛物线的焦点、弦和一些关键的公式，是初学者必须掌握的重要知识点。

抛物线的定义是平面上的一种曲线，其几何图形为一个拱形，可以由二次方程表示。

具体来说，抛物线的二次方程可以写成 y = a*x^2 + b*x + c 的形式，其中 a、b 和 c 是常数，且 a 不等于零。

抛物线有一个特殊的点叫做焦点，该点与抛物线的头部和尾部之间间隔相等的直线叫做焦点弦。

抛物线焦点弦公式是指在抛物线上任选两个点，将它们连成一条直线，该直线经过抛物线的焦点。

设该直线的斜率为 k，则可以通过下列公式计算抛物线的焦点的坐标：F = (0, 1/4a)，其中 a 是抛物线的系数。

现在，我们来介绍抛物线焦点弦公式的二级结论，该公式涉及到抛物线的弦和焦点的坐标。

该公式的原理是基于平面几何的相关知识。

具体而言，若设抛物线的方程为y = a*x^2 + b*x + c，以两点 P1 和 P2 （P1 的坐标为x1, y1，P2 的坐标为 x2, y2 ）连接而成一个弦，并以该弦中点为圆心作圆，则该圆与抛物线的交点 C 的纵坐标为（2ay1+2ay2）/2 = ay1+ay2，其中 a 是抛物线的系数。

由于焦点弦与抛物线的交点 C 也在该圆上，我们就能利用该二级结论计算焦点弦的坐标了。

在了解了抛物线焦点弦公式二级结论的原理之后，我们来看看它的具体应用。

在实际问题中，我们常常需要根据已知的条件来确定抛物线的一些特征。

例如，若已知抛物线的焦点为点 F，且某个弦的两个端点分别为 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，则可以通过该公式精确地计算该弦与抛物线的交点在何处，从而求出焦点弦的坐标。

这种应用方式在工程、物理、计算机等领域中都具有广泛的应用。

除了求解交点之外，抛物线焦点弦公式二级结论还可以用来计算其他抛物线的参数，如公式 y = a(x - h)² + k 中的 h 和 k。

高中数学抛物线焦点弦的弦长公式

关于抛物线焦点弦的弦长公式在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：(1)已知：抛物线的方程为px y22=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点，且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。

解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y -=)2(πθ≠将其代入抛物线方程整理得： 0)84(422222=++-kp k xkx p p ，且θtan =k设A,B 两点的坐标为),(),,(2211y x y x 则：kk xx p p 22212+=+，4221px x =)(sin )(2212224211||θpAB x x x x k =-+=+当2πθ=时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。

现在我们来探讨这个问题。

(2)已知：抛物线的方程为)0(22>=p py x，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。

解：设A,B 的坐标为),(),,(2211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2,0(p，故AB 的方程为kx py =-2，将其代入抛物线的方程整理得： ,0222=--pxpkx 从而p x x x x pk 22121,2-==+，弦长为：)(cos )(2212224211||θpAB x x x x k=-+=+p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。

而px y22-=与（1）的结果一样，py x 22-=与（2）的结果一样，但是（1）与（2）的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。

现将改动陈述于下：（3）已知：抛物线的方程为px y22=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。

抛物线弦中点轨迹的一个重要结论

抛物线弦中点轨迹的一个重要结论1. 抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。

它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值(离心率e)不同，当e=1时为抛物线，当02. 抛物线的标准方程存有四种形式，参数的几何意义，就是焦点至准线的距离，掌控相同形式方程的几何性质(如下表中)：其中为抛物线就任一点。

3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。

4. 抛物线的焦点弦：设立过抛物线的焦点的直线与抛物线缴于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则存有求解。

说明：1. 谋抛物线方程时，若由未知条件所述曲线就是抛物线通常用未定系数法;若由未知条件所述曲线的动点的规律通常用轨迹法。

2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。

3. 化解焦点弦问题时，抛物线的定义存有广为的应用领域，而且还应当特别注意焦点弦的几何性质。

抛物线的焦点弦的性质：关于抛物线的几个关键结论：(1)弦长公式同椭圆.(2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们存有p(x0，y0)在抛物线内部p(x0，y0)在抛物线外部(3)抛物线y2=2px上的点p(x1，y1)的切线方程是抛物线y2=2px(p>,高二;0)的斜率为k的切线方程是y=kx+(4)抛物线y2=2px外一点p(x0，y0)的切点弦方程就是(5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点m(x0，y0)，则(6)自抛物线外一点p作两条切线，切点为a,b，若焦点为f, 又若切线pa⊥pb，则ab必过抛物线焦点f.利用抛物线的几何性质解题的方法：根据抛物线定义得出结论抛物线一个非常关键的几何性质：抛物线上的的边焦点的距离等同于至准线的距离.利用抛物线的几何性质，可以展开表达式、图形的推论及有关证明.抛物线中定点问题的解决方法：在中考中通常以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在答疑题中常常将解析几何中的'方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容结合，考查综合分析问题的能力，而与抛物线有关的定值及最值问题就是一个较好的切人点，充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点就是化解此类题型的关键，培上最值时经常运用基本不等式、判别式以及转变为函数最值等方法。