目标规划的图解法 ppt课件
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第二节 目标规划的图解法
由于目标规划是在线性规划的基础上建立，并弥 补了部分不足．所以两种规划模型结构没有本质区别， 解法也非常类似．形式上的区别主要在于：①线性规 划只能处理一个目标，而目标规划能统筹兼顾地处理 多个目标关系，以求得切合实际需求的解；②线性规 划是求满足所有约束条件的最优解，而目标规划是要 在多个目标或约束条件下找到尽量好的满意解；③线 性规划的约束条件是不分主次地同等对待，而目标规 划可根据实际需要给予轻重缓急的考虑．
d
2
d1 d2
10 26
(l1) (l2 )
x1
2 x2
d3 d3 6
(l3)
x1
,
x2
0, di , di
0, (i
1, 2,3)
解 作图3-3：
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7
Min
Z
P1d1
P2d
2
P3d3
x1
2 x1
x2 x2
d1 d2
d1
d
2
10 26
x1
2 x2
(l2 )
s.t
4 x1
4 x2
d
2
d2
36
(l3 )
6x1 8x2 d3 d3 48
(l4 )
x1, x2 0, di , di 0, ( i 1, 2, 3)
解 将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变
量（即 x, x ），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后， 在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变量增大时
P1,…，Pi 级目标，而无法进一步改进，当然，此时或许 有低于Pi级目标被满足，这纯属巧合．
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2
目标规划图解法的具体演算过程与线性规划图解法类似．
第1步：根据决策变量（当然不能多于2个）绘画所有（软、 硬）约束条件的直线图形，偏差变量以移动（平移）直线的 方法加以考虑．
第2步：对P1级的各目标，确定解区域R1． 第3步：对下一个优先级别Pi 级各目标，确定它的最优解空间 Ri ，但必须是Ri Ri-1 ( i=2,3,…)． 第4步：在这个过程中，如果某解区域Ri 减小到一点，则 可结束这个过程，因为此时没有进一步改进的可能．
R1 l1 A
x1
D
图3-2 图解ppt课法件示意图
5
这个区域内的任一点均是该问题的满意解，
可使目标函数 min z
由于C、D、E、F 坐标分别为(6, 3)、(9, 0)、
(8，0)、(4.8 , 2.4)， 故满意解可表示为：
(x, x ) (, ) (, ) (, ) (., .) ( . , . )
其中： , i (i ,,,)
这种满足所有目标要求的情况，即：min z 0 ， 在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前 面几级目标要求．
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6
例6 用图解法求解下面目标规划问题：
Min Z P1d1 P2d2 P3d3
x1
2 x1
x2 x2
d1
R2为△OCD 区域
d
2
B
l3
l4
C
(l1 )
(l2 )
(l3 )
最后考虑P3 级，此(l4时) 要求目标越小越好， 由边图形3C-2D可E考按F知虑优区R3P先域1为级级，四高目低标，，首要先求
目标越小越好，就在 绝约束的可行解域
△OAB中进一步缩小 为△OAC，记作R1
l2
d1
o
d
3
F
R2
R3 E
x2
图3-4
l2
d
2
R3
l3
d
3
d1
R1
R2
l1
o
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x1
10
(10, 0)
例6 求解下面目标规划:
目标函数： min
z
P1d1
P2
d
2
P3
(2d
3
d
4
)
x1
x1
x2 x2
d1
d
2
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1
关于最优解：线性规划是在可行解域内寻找某一点，
使单个目标达到最优值（最大值或最小值）．而目标规
划是在可行域内，首先寻找到一个使P1级目标均满足的 区域R1，然后再在R1中寻找一个使P2级目标均满足或尽 最大可能满足的区域R2（R1），再在R2中寻找一个满 足P3的各目标的区域R3（R2R1），…,如此下去，直 到寻找到一个区域Rk(Rk-1…R1)，满足Pk级的各目标， 这个Rk即为所求的解域，如果某一个Ri (1 i k)已退化 为一点，则计算终止，这一点即为满意解，它只能满足
14，则可考虑到P3级目标，见图3-4．
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9
满足P1、P2级目标的可行解域为R2， 进一步考察P3级目
标可得最优解区域R3， 对该区域中任意一点，均同时能 使P1,P2,P3级目标完全满足，这时问题的满意解不唯一．一 般地，目标要求确定得越低，可供选择的解越多，目标定
得太高，满意解的选择余地也越小，甚至一些低级别的目 标无法实现．
直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映）．如图3-
2．
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4
Min Z P1d1 P2d2 P3d3
5 x1 10 x2 60
x1 2x2
d1 d1 0
s.t
4 x1
4 x2
d2
d
2
36
6x1 8x2
x1 ,
x2
0,
x2
d3 di ,
d再要好id考3求， 0虑因目,4P标而8(2 级i越解目小空1,标越间2,，3)
所以：x* = (10 ,0),
d
d
2
B
d1
o
R1 l1
A (10, 0)
l3
d
3
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图3-3 图解法示意图
x1
8
由于R2仅含有一个点，所以对P3级目标，我们已
经无法进一步的选择与考虑，可求得
d
，
即目标函数为：
min z P P
此例中，之所以产生解域R2退缩为一个点， 从而无法使P2，P3级目标达成，是因为P2级目标 的期望值定得过高．如果将它的目标值从26降到
第5步：重复第3、4步过程，直到解区域Ri 减少到一点或满 足 了所有k个级别的目标为止，此时，Rk 即为这个目标规划的最 优解区域，其中的任何一点均为目标规划的满意解．
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3
例5 求解下面目标规划:
Min
Z
P1d1
P2
dຫໍສະໝຸດ Baidu
2
P3d3
5 x1 10 x2 60
(l1 )
x1 2x2
d1 d1 0
d3 d3 6
x1,
x2
0, di , di
0, (i
1, 2,3) x2
l2
(l1)
(l2 )
考虑P2 级目标，由于直线 交，所以在R1 内无法使
dl22与(Rl031不)因相此
在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级
目标完全满足．这样R2 就缩为一点，
因为在R1中，使 达到d 最小的为A点，
由于目标规划是在线性规划的基础上建立，并弥 补了部分不足．所以两种规划模型结构没有本质区别， 解法也非常类似．形式上的区别主要在于：①线性规 划只能处理一个目标，而目标规划能统筹兼顾地处理 多个目标关系，以求得切合实际需求的解；②线性规 划是求满足所有约束条件的最优解，而目标规划是要 在多个目标或约束条件下找到尽量好的满意解；③线 性规划的约束条件是不分主次地同等对待，而目标规 划可根据实际需要给予轻重缓急的考虑．
d
2
d1 d2
10 26
(l1) (l2 )
x1
2 x2
d3 d3 6
(l3)
x1
,
x2
0, di , di
0, (i
1, 2,3)
解 作图3-3：
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Min
Z
P1d1
P2d
2
P3d3
x1
2 x1
x2 x2
d1 d2
d1
d
2
10 26
x1
2 x2
(l2 )
s.t
4 x1
4 x2
d
2
d2
36
(l3 )
6x1 8x2 d3 d3 48
(l4 )
x1, x2 0, di , di 0, ( i 1, 2, 3)
解 将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变
量（即 x, x ），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后， 在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变量增大时
P1,…，Pi 级目标，而无法进一步改进，当然，此时或许 有低于Pi级目标被满足，这纯属巧合．
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目标规划图解法的具体演算过程与线性规划图解法类似．
第1步：根据决策变量（当然不能多于2个）绘画所有（软、 硬）约束条件的直线图形，偏差变量以移动（平移）直线的 方法加以考虑．
第2步：对P1级的各目标，确定解区域R1． 第3步：对下一个优先级别Pi 级各目标，确定它的最优解空间 Ri ，但必须是Ri Ri-1 ( i=2,3,…)． 第4步：在这个过程中，如果某解区域Ri 减小到一点，则 可结束这个过程，因为此时没有进一步改进的可能．
R1 l1 A
x1
D
图3-2 图解ppt课法件示意图
5
这个区域内的任一点均是该问题的满意解，
可使目标函数 min z
由于C、D、E、F 坐标分别为(6, 3)、(9, 0)、
(8，0)、(4.8 , 2.4)， 故满意解可表示为：
(x, x ) (, ) (, ) (, ) (., .) ( . , . )
其中： , i (i ,,,)
这种满足所有目标要求的情况，即：min z 0 ， 在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前 面几级目标要求．
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例6 用图解法求解下面目标规划问题：
Min Z P1d1 P2d2 P3d3
x1
2 x1
x2 x2
d1
R2为△OCD 区域
d
2
B
l3
l4
C
(l1 )
(l2 )
(l3 )
最后考虑P3 级，此(l4时) 要求目标越小越好， 由边图形3C-2D可E考按F知虑优区R3P先域1为级级，四高目低标，，首要先求
目标越小越好，就在 绝约束的可行解域
△OAB中进一步缩小 为△OAC，记作R1
l2
d1
o
d
3
F
R2
R3 E
x2
图3-4
l2
d
2
R3
l3
d
3
d1
R1
R2
l1
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10
(10, 0)
例6 求解下面目标规划:
目标函数： min
z
P1d1
P2
d
2
P3
(2d
3
d
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)
x1
x1
x2 x2
d1
d
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关于最优解：线性规划是在可行解域内寻找某一点，
使单个目标达到最优值（最大值或最小值）．而目标规
划是在可行域内，首先寻找到一个使P1级目标均满足的 区域R1，然后再在R1中寻找一个使P2级目标均满足或尽 最大可能满足的区域R2（R1），再在R2中寻找一个满 足P3的各目标的区域R3（R2R1），…,如此下去，直 到寻找到一个区域Rk(Rk-1…R1)，满足Pk级的各目标， 这个Rk即为所求的解域，如果某一个Ri (1 i k)已退化 为一点，则计算终止，这一点即为满意解，它只能满足
14，则可考虑到P3级目标，见图3-4．
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满足P1、P2级目标的可行解域为R2， 进一步考察P3级目
标可得最优解区域R3， 对该区域中任意一点，均同时能 使P1,P2,P3级目标完全满足，这时问题的满意解不唯一．一 般地，目标要求确定得越低，可供选择的解越多，目标定
得太高，满意解的选择余地也越小，甚至一些低级别的目 标无法实现．
直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映）．如图3-
2．
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Min Z P1d1 P2d2 P3d3
5 x1 10 x2 60
x1 2x2
d1 d1 0
s.t
4 x1
4 x2
d2
d
2
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6x1 8x2
x1 ,
x2
0,
x2
d3 di ,
d再要好id考3求， 0虑因目,4P标而8(2 级i越解目小空1,标越间2,，3)
所以：x* = (10 ,0),
d
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B
d1
o
R1 l1
A (10, 0)
l3
d
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由于R2仅含有一个点，所以对P3级目标，我们已
经无法进一步的选择与考虑，可求得
d
，
即目标函数为：
min z P P
此例中，之所以产生解域R2退缩为一个点， 从而无法使P2，P3级目标达成，是因为P2级目标 的期望值定得过高．如果将它的目标值从26降到
第5步：重复第3、4步过程，直到解区域Ri 减少到一点或满 足 了所有k个级别的目标为止，此时，Rk 即为这个目标规划的最 优解区域，其中的任何一点均为目标规划的满意解．
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例5 求解下面目标规划:
Min
Z
P1d1
P2
dຫໍສະໝຸດ Baidu
2
P3d3
5 x1 10 x2 60
(l1 )
x1 2x2
d1 d1 0
d3 d3 6
x1,
x2
0, di , di
0, (i
1, 2,3) x2
l2
(l1)
(l2 )
考虑P2 级目标，由于直线 交，所以在R1 内无法使
dl22与(Rl031不)因相此
在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级
目标完全满足．这样R2 就缩为一点，
因为在R1中，使 达到d 最小的为A点，