永磁同步电机基础知识

(一) PMSM 的数学模型

交流电机是一个非线性、强耦合的多变量系统。永磁同步电机的三相绕组分布在定子上，永磁体安装在转子上。在永磁同步电机运行过程中，定子与转子始终处于相对运动状态，永磁体与绕组，绕组与绕组之间相互影响，电磁关系十分复杂，再加上磁路饱和等非线性因素，要建立永磁同步电机精确的数学模型是很困难的。为了简化永磁同步电机的数学模型，我们通常做如下假设：

1) 忽略电机的磁路饱和，认为磁路是线性的； 2) 不考虑涡流和磁滞损耗；

3) 当定子绕组加上三相对称正弦电流时，气隙中只产生正弦分布的磁势，

忽略气隙中的高次谐波；

4) 驱动开关管和续流二极管为理想元件； 5) 忽略齿槽、换向过程和电枢反应等影响。

永磁同步电机的数学模型由电压方程、磁链方程、转矩方程和机械运动方程组成，在两相旋转坐标系下的数学模型如下：

(l)电机在两相旋转坐标系中的电压方程如下式所示:

d d s d d c q q q s q q c d di u R i L dt di u R i L dt ωψωψ⎧

=+-⎪⎪⎨

⎪=++⎪⎩

其中，Rs 为定子电阻；ud 、uq 分别为d 、q 轴上的两相电压；id 、iq 分别为d 、

q 轴上对应的两相电流；Ld 、Lq 分别为直轴电感和交轴电感；ωc 为电角速度；ψd 、ψq 分别为直轴磁链和交轴磁链。

若要获得三相静止坐标系下的电压方程，则需做两相同步旋转坐标系到三相静止坐标系的变换，如下式所示。

cos sin 22cos()sin()332

2cos()

sin()33a d b q c u u u u u θ

θθπθπθπθπ⎛⎫

⎪-⎛⎫⎪

⎛⎫

⎪

⎪=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪

⎝⎭ ⎪

+-+⎝

⎭

(2)d/q 轴磁链方程：

d d d f q q q

L i L i ψψψ=+⎧⎪⎨=⎪⎩

其中，ψf 为永磁体产生的磁链，为常数，0

f r

e ωψ=

，而c

r p

ωω=

是机械角速

度，p 为同步电机的极对数，ωc 为电角速度，e0为空载反电动势，其值为每项

倍。

(3)转矩方程：

32

e d q q d T p i i ψψ⎡⎤=-⎣⎦ 把它带入上式可得:

3()2

33

()22

e f q d q d q f q d q d q T p i L L i i p i p L L i i ψψ⎡⎤=

+-⎣⎦=+- 对于上式，前一项是定子电流和永磁体产生的转矩，称为永磁转矩；后一项是转

子突极效应引起的转矩，称为磁阻转矩，若Ld=Lq ，则不存在磁阻转矩，此时，转矩方程为：

3

2

e f q t q T p i k i ψ==

这里，t k 为转矩常数，3

2

t f k p ψ=。 (4)机械运动方程：

m

e m L d T J B T dt

ωω=++

其中，m ω是电机转速，L T 是负载转矩，J 是总转动惯量(包括电机惯量和负载惯量)，B 是摩擦系数。

(二) 直线电机原理

永磁直线同步电机是旋转电机在结构上的一种演变，相当于把旋转电机的定子和动子沿轴向剖开，然后将电机展开成直线，由定子演变而来的一侧称为初级，转子演变而来的一侧称为次级。由此得到了直线电机的定子和动子，图1为其转变过程。

直线电机不仅在结构上是旋转电机的演变，在工作原理上也与旋转电机类似。在旋转的三相绕组中通入三相正弦交流电后，在旋转电机的气隙中产生旋转气隙磁场，旋转磁场的转速（又叫同步转速）为：

60(/min)s f

n r p

=

（1-1） 其中，f —交流电源频率，p —电机的极对数。

如果用v 表示气隙磁场的线速度，则有：

22(/)60

s p v n f mm s ττ== （1-2）

其中，τ为极距。

当旋转电机展开成直线电机形式以后，如果不考虑铁芯两端开断引起的纵向边端效应，此气隙磁场沿直线运动方向呈正弦分布，当三相交流电随时间变化时，气隙磁场由原来的圆周方向运动变为沿直线方向运动，次级产生的磁场和初级的磁场相互作用从而产生电磁推力。在直线电机当中我们把运动的部分称为动子，对应于旋转电机的转子。这个原理和旋转电机相似，二者的差异是：直线电机的磁场是平移的，而不是旋转的，因此称为行波磁场。这时直线电机的同步速度为v=2f τ,旋转电机改变电流方向后，电机的旋转方向发生改变，同样的方法可以N

S

N

S

N

S

N

S

转矩T

推力F

定子（初级）

转子（次级）

图1永磁直线同步电机的演变过程

初级

次级

行波磁场

A

Z B N

级-以是电机的次级，要根据实际的情况来确定。基本结构如图3所示，永磁同步直线电机的速度等于电机的同步速度：

2s v v f τ== （1-3）

(三)

矩）控制，使得其可以类似于直流电机中的电流（力矩）控制。

矢量控制技术是通过坐标变换实现的。

坐标变换需要坐标系，变化整个过程给出三个坐标系：

1)静止坐标系（a，b，c）：定子三相绕组的轴线分别在此坐标系的a，b，c

三轴上；

2)静止坐标系（α，β）：在（a，b，c）平面上的静止坐标系，且α轴与

a轴重合，β轴绕α轴逆时针旋转90度；

3)旋转坐标系（d,q）:以电源角频率旋转的坐标系。

矢量控制技术对电流的控制实际上是对合成定子电流矢量s i的控制，但是对合成定子电流矢量s i的控制的控制存在以下三个方面的问题：

1)s i是时变量，如何转换为时不变量？

2)如何保证定子磁势和转子磁势之间始终保持垂直？

3)s i是虚拟量，力矩T的控制最终还是要落实到三相电流的控制上，如何

实现这个转换？

s i从静止坐标系（a，b，c）看是以电源角频率旋转的，而从旋转坐标系（d,q）上看是静止的，也就是从时变量转化为时不变量，交流量转化为直流量。

所以，通过Clarke和Park坐标变换（即3/2变换），实现了对励磁电流id 和转矩电流iq的解耦。在旋转坐标系（d,q）中，s i已经成为了一个标量。令s i在q轴上（即让id=0），使转子的磁极在d轴上。这样，在旋转坐标系（d,q）中，

我们就可以象直流电机一样，通过控制电流来改变电机的转矩。且解决了以上三个问题中的前两个。

但是，id、iq不是真实的物理量，电机的力矩控制最终还是由定子绕组电流ia、ib、ic（或者定子绕组电压ua、ub、uc）实现，这就需要进行Clarke和Park坐标逆变换。且解决了以上三个问题中的第三个。

力矩回路控制的实现：