中考数学三角函数应用题 (1)

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专题19 三角函数应用-2021年中考数学名校地市必刷题(江苏专用)(解析版)

专题19 三角函数应用一、单选题（共12小题）1.（2020秋•普陀区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，那么tan B的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【分析】画出相应的图形，根据勾股定理和锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：如图，由勾股定理得，AC＝＝＝，∴tan B＝＝，故选：C．【知识点】锐角三角函数的定义、勾股定理2.（2020秋•徐汇区期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里【答案】B【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），即海监船C与货轮A的距离是5海里，故选：B．【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题3.（2020•荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，根据余弦的定义解答即可．【解答】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD＝＝2，在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，故选：B．【知识点】三角形的外接圆与外心、圆周角定理、解直角三角形4.（2020秋•杨浦区期末）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】A【分析】根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等即可得结论．【解答】解：因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．所以小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°．故选：A．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题5.（2021•松江区一模）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米B．10千米C．10千米D．5千米【答案】C【分析】根据直角三角形的三角函数得出AE，BE，进而得出CE，利用勾股定理得出AC即可．【解答】解：如图，∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝10米，∴BE＝5米，AE＝5米，∴CE＝BC﹣CE＝20﹣5＝15（米），∴AC＝（米），故选：C．【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题6.（2020春•沙坪坝区校级月考）小明为了测量一楼房AB的高度，如图，小明从楼底B出发走了10米到达一坡角（即∠DCM）为30°的斜坡的底部，再走12米到达一观测平台，测得楼顶A的仰角∠ADH为37°．则楼房AB的高度为（）（参考数据：cos37°＝0.80，tan37°＝0.75，＝1.7）A．15 B．21 C．22 D．16【答案】B【分析】作DN⊥BM于N，则HB＝DN，DH＝BN，由含30°角的直角三角形的性质得HB＝DN＝CD＝6米，CN＝DN＝6米，则DH＝BN＝10+6（米），在Rt△ADH中，由三角函数定义求出AH＝15.15米，得出AB＝AH+HB≈21米即可．【解答】解：作DN⊥BM于N，如图：则HB＝DN，DH＝BN，∵∠DCN＝30°，CD＝12米，∴HB＝DN＝CD＝6米，CN＝DN＝6米，∴DH＝BN＝BC+CN＝10+6（米），在Rt△ADH中，tan∠ADH＝＝tan37°＝0.75，∴AH＝0.75DH＝0.75×（10+6）＝15.15米，∴AB＝AH+HB＝15.15+6≈21（米），即楼房AB的高度约为21米．故选：B．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题7.（2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，重庆建川博物馆的主题雕塑“冒着敌人的炮火”矗立在鹅公岩长江大桥旁，为了测量雕塑AE的大致高度，小南同学在点C处测得雕塑顶部A的仰角为45°，雕塑底部E 的仰角为37°，再沿着CB方向走8米到达点D，此时测得雕塑顶部A的仰角为54.5°，小南同学的身高忽略不计，已知A、B、C、D、E在同一平面内，则该雕塑AE的高度约为（）米．（参考敷据：tan37°≈0.75，tan54.5°≈1.40）A．7 B．8 C．21 D．28【答案】A【分析】设BD＝x米，则BC＝BD+CD＝（x+8）米，证出△ABC是等腰直角三角形，得AB＝BC＝（x+8）米，在Rt△ABD中，由三角函数定义得tan∠ADB＝＝tan54.5°≈1.40，解得：x≈20，则AB＝BC＝28（米），在Rt△BCE中，由三角函数定义求出BE≈21（米），即可得出答案．【解答】解：设BD＝x米，则BC＝BD+CD＝（x+8）米，由题意得：∠ADB＝54.5°，∠BCE＝37°，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC＝（x+8）米，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝54.5°，∵tan∠ADB＝＝tan54.5°≈1.40，∴≈1.40，解得：x≈20，∴AB＝BC＝28（米），在Rt△BCE中，∠BCE＝37°，∵tan∠BCE＝＝tan37°≈0.75，∴BE≈0.75BC＝0.75×28＝21（米），∴AE＝AB﹣BE＝28﹣21＝7（米），即该雕塑AE的高度约为7米，故选：A．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题8.（2020秋•九龙坡区校级期中）如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．6.29 B．4.71 C．4 D．5.33【答案】A【分析】通过作高利用坡比求出DM＝EM＝1，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，再根据三角函数的意义，用AF表示DF，最后再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数，设未知数，列方程求解即可．【解答】解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，∵坡面DE的坡度为1，∴＝1，∴DM＝EM＝1＝FC，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，∵tan∠DAF＝≈0.75，设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，在Rt△ABC中，∵tan∠B＝，∴tan37°＝≈0.75，解得x＝≈6.29（米），故选：A．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题9.（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根据tan∠EAC＝，可得＝，由△EFC∽△ABC，可得相似比为，从而得到面积比为，进而求出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，又∵DF⊥AB，∴∠ADF＝90°，∴∠BAC+∠F＝90°，∴∠B＝∠F，又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，∴△ECF∽△ACB，∴＝＝tan∠EAC＝，∴＝，又∵S△ECF＝1，∴S△ABC＝9，故选：C．【知识点】解直角三角形、三角形的面积10.（2020•武汉模拟）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝…，依此规律写出tan∠BA7C＝，则n＝（）A．40 B．41 C．42 D．43【答案】D【分析】作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根据正切的概念求出tan∠BA4C，总结规律解答．【解答】解：作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4＝＝，A4C＝，△BA4C的面积＝4﹣2﹣＝，∴CH＝，解得，CH＝，则A4H＝＝，∴tan∠BA4C＝＝，1＝12﹣1+1，3＝22﹣2+1，7＝32﹣3+1，∴tan∠BA n C＝，∴tan∠BA7C＝，则n＝43．故选：D．【知识点】解直角三角形、规律型：图形的变化类11.（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，连接CE，若BC＝6，tan∠ECB＝，则△AEC的面积为（）A．B．2 C．D．2【答案】D【分析】通过作辅助线得出S△AEC＝S△DEC，根据等腰三角形的性质，可求出S△DEC，进而得出答案．【解答】解：连接BE，过点D作DM⊥EC，垂足为M，∵点D是BC边上的中点，BC＝6，∴BD＝CD＝3，由折叠得，BD＝DE，AD⊥BE，∴DE＝DB＝DC，∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC，∴EC∥AD，∴S△AEC＝S△DEC，在△DEC中，DE＝DC＝3，DM⊥EC，∴ME＝MC，∵tan∠MCD＝＝，设MC＝2m，则DM＝m，由勾股定理得，DM2+MC2＝DC2，即4m2+5m2＝32，解得m＝1，∴DM＝，MC＝2，∴S△DEC＝EC•DM＝2，故选：D．【知识点】三角形的面积、解直角三角形、翻折变换（折叠问题）12.（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．利用全等三角形的性质证明BM＝CF＝9，AB＝BM，利用勾股定理求出BC，AC即可解决问题．【解答】解：如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．∵BD＝DC，∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，∴△BDM≌△CDF（SAS），∴CF＝BM＝9，∠M＝∠CFD，∵CE∥BM，∴∠AFE＝∠M，∵EA＝EF，∴∠EAF＝∠EF A，∴∠BAM＝∠M，∴AB＝BM＝9，∵AE＝4，∴BE＝5，∵∠EBC＝90°，∴BC＝＝＝12，∴AC＝＝＝15，∴cos∠ACB＝＝＝，故选：D．【知识点】解直角三角形二、填空题（共8小题）13.（2021•松江区一模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为．【分析】根据题意和图形，可以求得AC、BC和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ACB的形状，然后即可求得∠ABC的正弦值．【解答】解：由图可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴sin∠ABC＝＝，故答案为：．【知识点】解直角三角形14.（2021•虹口区一模）如图，图中提供了一种求cot15°的方法．作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝30°，再延长CB到点D，使BD＝BA，联结AD，即可得∠D＝15°．如果设AC＝t，则可得CD＝（2+）t，那么cot15°＝cot D＝＝2+．运用以上方法，可求得cot22.5°的值是．【分析】利用题中的方法构建一个Rt△ADC，使∠D＝22.5°，然后利用余切的定义求解．【解答】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，再延长CB到点D，使BD＝BA，联结AD，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠D，∵∠ABC＝∠BAD+∠D，∴∠D＝∠ABC＝22.5°，设AC＝t，则BC＝t，AB＝t，∴CD＝BC+BD＝t+t＝（+1）t，在Rt△ADC中，cot D＝＝＝+1，∴cot22.5°＝+1．故答案为+1．【知识点】解直角三角形、含30度角的直角三角形15.（2020秋•九龙坡区校级月考）如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出AC和BC的长，然后即可得到AB的长，从而可以解答本题．【解答】解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，∴∠PCA＝90°，∠P AC＝30°，∵AP＝12千米，∴PC＝6千米，AC＝6千米，∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，∴∠PBC＝60°，∴BC＝＝＝2千米，∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），故答案为：4千米．【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题16.（2020秋•宝山区期末）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为米．【答案】15【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，再根据勾股定理即可求出该大坝迎水坡AB的长度．【解答】解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，∵BC：AC＝1：0.75，∴12：AC＝1：0.75，∴AC＝9（米），∴AB＝＝＝15（米），答：该大坝迎水坡AB的长度为15米．故答案为：15．【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题17.（2020•乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方（结地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝m．果保留根号）【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到BC＝AC＝4，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴BC＝AC＝4，在Rt△BDC中，sin∠BCD＝，∴sin60°＝＝，∴BD＝2（m），故答案为：2．【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题、含30度角的直角三角形、解直角三角形的应用-仰角俯角问题18.（2020•泰安二模）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC 距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．根据题意可得AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．再根据四边形BCFE是矩形知CF＝BE＝57﹣30．进而可得教学楼BC的高度．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题19.（2020秋•龙沙区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝22021，AC＝22020，点D1，D3，D5， (2)在AB边上，点D2，D4，D6，…D2n在AC边上，若∠B＝∠ACD1＝∠AD1D2＝∠AD2D3＝…＝∠AD n D n+1，﹣1则D2020D2021＝．【分析】根据直角三角形的边角关系和相似三角形的性质可求出AD1，AD2，AD3，AD4，……AD2020，AD2021，再根据勾股定理求出D2020D2021．【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝∠ACD1＝∠AD1D2＝∠AD2D3＝…＝∠AD n D n+1，∴＝＝＝＝＝＝…＝，∴AD1＝AC＝22019，AD2＝AD1＝22018，AD3＝AD2＝22017，AD4＝AD3＝22016，……AD2020＝AD2019＝20＝1，AD2021＝AD2020＝2﹣1＝，在Rt△AD2020D2021中，AD2020D2021＝＝，故答案为：．【知识点】解直角三角形20.（2020秋•香坊区期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边上一点，连接AE，BN⊥AE，垂足为M，交CD于点N，若tan∠BAE＝，MN＝3，则线段AB的长为．【分析】根据四边形ABCD是正方形，可得∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，根据BN⊥AE，可得∠BAE ＝∠MBE，根据tan∠BAE＝，可以证明E是BC的中点，N是CD的中点，设BE＝a，则CN＝a，AB＝2a，根据勾股定理可得关于a的方程即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，∴∠BAE+∠ABM＝90°，∵BN⊥AE，∴∠MBE+∠ABM＝90°，∴∠BAE＝∠MBE，∵tan∠BAE＝＝，∴AB＝2BE，∴BC＝2BE，∴E是BC的中点，同理可证：N是CD的中点，设BE＝a，则CN＝a，AB＝2a，∴AE＝BN＝＝a，∴BM＝BN﹣MN＝a﹣3，∵tan∠BAE＝tan∠BAM＝＝，∴AM＝2a﹣6，在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，AB＝2a，∴AB2＝AM2+BM2，∴4a2＝（2a﹣6）2+（a﹣3）2，整理，得7a2﹣10a+15＝0，解得a1＝，a2＝，∵a﹣3＝×﹣3＜0，∴不符合题意，舍去，∴AB＝2a＝2．故答案为：2．【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形三、解答题（共10小题）21.（2021•普陀区一模）计算：cos30°﹣2sin245°+．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2×（）2+＝﹣2×+＝﹣1+﹣1＝﹣2．【知识点】特殊角的三角函数值22.（2021•松江区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求cot∠BAD的值．【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；（2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到cot∠BAD的值．【解答】解：（1）设AC＝3x，∵∠C＝90°，sin∠ABC＝，∴AB＝5x，BC＝4x，∵tan∠DAC＝，∴CD＝2x，∵BD＝4，BC＝CD+BD，∴4x＝2x+4，解得x＝2，∴AC＝3x＝6；（2）作DE⊥AB于点E，由（1）知，AB＝5x＝10，AC＝6，BD＝4，∵，∴，解得DE＝，∵AC＝6，CD＝2x＝4，∠C＝90°，∴AD＝＝2，∴AE＝＝＝，∴cot∠BAD＝＝＝，即cot∠BAD的值是．【知识点】解直角三角形23.（2020•顺德区模拟）如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．【分析】（1）证△BEF≌△DGH即可；（2）设：AE＝x，则EB＝x+1，tan∠AEH＝2＝，即可求解．【解答】解：（1）∵ABCD是矩形，AE＝CG，BF＝DH，∴EB＝DG，FC＝AH，∠EBF＝∠GDH＝90°，∴△BEF≌△DGH，（SAS），∴EF＝GH，同理EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）设：AE＝x，则EB＝x+1，∵∠FEB＝45°，∴FB＝EB＝x+1＝DH，在Rt△AEH中，tan∠AEH＝2＝＝，解得：x＝2，即：AE的长为2．【知识点】平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、正方形的性质、矩形的性质24.（2020•河南模拟）某风景区内为了方便游客登上山顶，计划从山底A点到山顶C点修建观光缆车，此时从A点观测C点的仰角为45度；施工组经过实地勘察后，为了安全，决定将观光缆车的钢索改为AD、CD两段，D点是半山腰上距离地面AB30米的一个支点，从A点观测D点的仰角为30°．从D点观测山顶C点的仰角为75°，请你通过自己学过的知识来求出这座山的高度BC约为多少米．（结果保留整数．可能用到的数据：≈1.73．sin75°≈0.96．cos75°≈0.26．tan75°≈3.73）【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∴DE＝BF，DF＝BE，∵∠BAC＝45°，∠B＝90°，∴AB＝BC，设AB＝BC＝x，∵DE＝30，∠DAE＝30°，∴AE＝30，∴DF＝BE＝x﹣30，CF＝x﹣30，∵∠CDF＝75°，∴tan75°＝＝＝3.73，解得：x≈60（m），答：这座山的高度BC约为60米．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题25.（2020秋•龙岗区期末）如图，从楼层底部B处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是53°，从楼层顶部A处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是45°，已知楼层AB的楼高为3米．求旗杆CD的高度约为多少米？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）【分析】过A作AE⊥CD于E，则BC＝AE，∠AED＝90°，先证△ADE是等腰直角三角形，得AE＝DE，设BC＝AE＝DE＝x米，则CD＝（x+3）米，再由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可．【解答】解：过A作AE⊥CD于E，如图所示：则BC＝AE，∠AED＝90°，由题意得：∠DAE＝45°，∠DBC＝53°，AB＝3米，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，设BC＝AE＝DE＝x米，则CD＝（x+3）米，∵tan∠DBC＝＝tan53°≈，∴≈，解得：x≈9，∴CD＝9+3＝12（米），答：旗杆CD的高度约为12米．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题26.（2020•西宁）如图1，通海桥是西宁市海湖新区地标建筑，也是我省首座大规模斜拉式大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡．某数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠A＝30°，∠B＝45°，斜拉主跨度AB＝260米．（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（取1.7）；（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？【分析】（1）设CD＝x（米），在Rt△ADC中表示出AD＝x，在Rt△BDC中，表示出CD＝BD＝x，根据AB＝AD+BD建立关于x的方程，解之求出x的值，从而得出答案；（2）先求出AC的长度，再乘以单价即可得出答案．【解答】解：（1）∵CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，设CD＝x，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝30°，∴，即，∴，在Rt△BDC中，∠B＝45°，∴CD＝BD＝x，∵AB＝AD+BD．∴，∴，∴，∴CD＝91（米）．（2）在Rt△ADC中∠ADC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2CD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴AC＝182，∵LED节能灯带每米造价为800元，∴800×182＝145600（元），答：斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元．【知识点】解直角三角形的应用27.（2020秋•西岗区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CA的延长线于点E，垂足为点F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若⊙O的半径R＝3，cos∠E＝，求EF的长．【分析】（1）连接OD，证明AB∥OD，由DE⊥AB，可得结论；（2）根据题意得到＝，即可得到＝，由AB∥OD，得到△AEF∽△OED，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接OD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵AB＝AC，∴∠B═∠C，∴∠B＝∠ODC，∴AB∥OD，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE⊥AB，cos∠E＝，∴＝，∴＝，∵AB∥OD，∴△AEF∽△OED，∴＝，∵OA＝OD＝R＝3，∴＝，∴EA＝2，∵＝，∴EF＝×2＝．【知识点】勾股定理、垂径定理、解直角三角形、圆周角定理、等腰三角形的性质、直线与圆的位置关系28.（2020秋•龙华区期末）如图，AB是一座高为60（3+）米的办公大楼，快递小哥在AB上的D处操作无人机进行快递业务．这时在另一座楼房的C处有人要寄快递，已知C与D在同一水平线上，从A 看C的仰角为30°，从B看C的俯角为45°．（1）请求出C与D之间的水平距离CD；（2）已知D处信号发射器的信号只能覆盖周围150米范围，若无人机以10m/秒的速度沿着AC方向飞到C 处取快递，请问，当无人机飞行多长时间后会出现接收不到信号的危险？（结果保留根号）【分析】（1）根据已知可得，∠DAC＝60°，∠DBC＝45°，∠ADC＝90°，设AD＝xm，根据特殊角三角函数即可求出CD的长；（2）过点D作DE⊥AC于点E，设无人机飞到F处时出现接收不到信号的危险，连接DF，则DF＝150m，根据三角函数和勾股定理即可求出AF的长，进而可得当无人机飞行多长时间后会出现接收不到信号的危险．【解答】解：（1）由已知得，∠DAC＝60°，∠DBC＝45°，∠ADC＝90°，设AD＝xm，在Rt△ADC中，∵tan∠DAC＝，∴CD＝AD tan∠DAC＝x×tan60°＝x，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°﹣∠DBC＝45°＝∠DBC，∴BD＝CD＝x，∵AB＝AD+BD，∴x+x＝60（3+），解得x＝60，∴CD＝x＝180（m），答：C与D之间的水平距离CD为180m；（2）过点D作DE⊥AC于点E，设无人机飞到F处时出现接收不到信号的危险，连接DF，则DF＝150m，在Rt△ADE中，∵sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，∴DE＝AD sin∠DAC＝60sin60°＝90（m），AE＝AD cos∠DAC＝60cos60°＝30（m），在Rt△DEF中，根据勾股定理，得EF＝＝＝120（m），∴AF＝AE+EF＝（30+120）m，∴t＝＝＝（3+12）秒．答：当无人机飞行（3+12）秒后会出现接收不到信号的危险．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题29.（2020秋•锦江区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB上任意一点，连结ED，作ED的中垂线交AD于点M，交DC延长线于点N，连结EN交BC于点F．（1）当E为AB中点时，求∠MED的正切值．（2）在（1）的条件下，求△FCN的面积．（3）当△BEF的周长与△AEM的周长之差为1时，求∠EFB的正弦值．【分析】（1）由正方形的性质得出AD和AE的值，再由中垂线的性质得出∠MED＝∠ADE，然后利用tan ∠MED＝tan∠ADE计算即可．（2）设MN与ED交于点G，由正方形的性质及中垂线的性质得出∠DNG＝∠ADE，再利用等角的正切值相等求得DN及CN的值，然后证明△EBF∽△NCF，由相似三角形的性质得出BF与CF的数量关系，从而利用BF+CF＝BC＝4，求得CF的值，最后利用三角形的面积公式计算即可．（3）设AE＝x，AM＝y，则BE＝4﹣x，MD＝4﹣y，用x表示出y，再证明△MEN≌△MDN（SSS），△AEM∽△BFE，分别用含x的式子表示出△BEF的周长与△AEM的周长，根据二者之差为1，得出关于x的方程，求得x的值，则y的值也可求得，从而求得相关线段，然后可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠A＝90°，∵E为AB中点，∴AE＝AB＝2，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝＝＝，∵MN为ED的中垂线，∴ME＝MD，∴∠MED＝∠ADE，∴tan∠MED＝tan∠ADE＝．（2）设MN与ED交于点G，由（1）知AE＝BE＝2，AD＝4，∠A＝90°，∴DE＝＝＝2，∵MN为ED的中垂线，∴EG＝DG＝DE＝，∠DGN＝90°，∴∠DNG+∠NDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠ACD＝90°，BC＝CD＝AB＝4，AB∥CD，∴∠ADE+∠NDG＝90°，∴∠DNG＝∠ADE，∴tan∠DNG＝tan∠ADE＝．在Rt△NGD中，tan∠DNG＝＝，∴GN＝2DG＝2，∴DN＝＝＝5，∴CN＝DN﹣DC＝5﹣4＝1，∵AB∥CD，∴△EBF∽△NCF，∴＝＝，∴BF＝2CF，∵BF+CF＝BC＝4，∴2CF+CF＝4，∴CF＝，∴S△FCN＝CF•CN＝××1＝．（3）设AE＝x，AM＝y，则BE＝4﹣x，MD＝4﹣y．∵MN为ED的中垂线，∴ME＝MD＝4﹣y，NE＝ND，在Rt△AEM中，AE2+AM2＝ME2，∴x2+y2＝（4﹣y）2，解得：y＝．在△MEN和△MDN中，，∴△MEN≌△MDN（SSS），∴∠MEN＝∠MDN＝90°，∴∠AEM+∠BEF＝90°，∵∠AEM+∠AME＝90°，∴∠BEF＝∠AME，又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEM∽△BFE，∴＝＝，∠EFB＝∠MEA，∴C△BFE＝•C△AEM，∵C△AEM＝AM+AE+ME＝y+x+4﹣y＝x+4，∴C△BFE＝•（x+4）＝＝＝8，∵BE＝4﹣x＞0，∴x＜4，∴C△AEM＝x+4＜4+4＝8＝C△BFE，∴C△BEF﹣C△AEM＝1，即8﹣（x+4）＝1，∴x＝3，∴y＝＝，∴AE＝3，AM＝，ME＝4﹣y＝4﹣＝，∴sin∠EFB＝sin∠MEA＝＝＝．【知识点】正方形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理30.（2020•浙江自主招生）如图，矩形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE、DE．△DCE沿DE翻折后，点C恰好落在AE上，记为点F．（Ⅰ）求证：△ADF≌△EAB；（Ⅱ）若AD＝10，tan∠EDF＝，求矩形ABCD的面积．【分析】（Ⅰ）根据翻折不变性得到△DCE≌△DFE，根据全等三角形的性质得到DC＝DF，∠DFE＝∠C ＝90°，再根据矩形的性质得到∠DAE＝∠AEB，AB＝DF，从而得到△ADF≌△EAB；（Ⅱ）根据tan∠EDF＝＝，设EF＝x，则DF＝3x，从而用含x的代数式表示出AF，再在Rt△ADF中，根据勾股定理求出x的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵△DCE沿DE翻折得到△DFE，∴△DCE≌△DFE，∴DC＝DF，∠DFE＝∠C＝90°，…（2分）又矩形ABCD中AD∥BC，AB＝CD，∠B＝90．∴∠DAE＝∠AEB，AB＝DF．…（4分）在△ADF与△EAB中，，∴△ADF≌△EAB．…（6分）（Ⅱ）Rt△DFE中，tan∠EDF＝＝，设EF＝x，则DF＝3x，…（7分）∴AF＝AE﹣EF＝AD﹣EF＝10﹣x，在Rt△ADF中，AF2+DF2＝AD2，∴（10﹣x）2+（3x）2＝102，解得x＝2．…（10分）∴DC＝DF＝3x＝6，∴S矩形ABCD＝10×6＝60．…（12分）【知识点】全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、翻折变换（折叠问题）、锐角三角函数的定义。

2024年人教版九年级数学中考专题训练：锐角三角函数(含解析)

2024年人教版九年级数学中考专题训练：锐角三角函数1．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC 的高度，甲同学在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°，乙同学从A 点出发沿斜坡走米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B 的仰角为26.7°，且斜坡AF 的坡度为1：2．（1）求乙同学从点A 到点D 的过程中上升的高度；（2）依据他们测量的数据求出大树BC 的高度．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）2．如图，在中，D 是上一点，，以为直径的经过点C ，交于点E ，过点E 作的切线交于点F.（1）求证：.（2）若，，求的长.3．如图1，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，正方形PQMN 的边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，BC=a ，AD=h ．（1）求正方形PQMN 的边长（用a 和h 的代数式表示）；ABC BC BD AD =AD O AB O BD EF BC ⊥5CD =2tan 3B =DF（2）如图2，在△ABC 中，在AB 上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC 边上，N'在△ABC 内，连接BN 并延长交AC 于点N ，画NM BC 于点M ，画NP ⊥NM 交AB 于点P ，再画PQ ⊥BC 于点Q ，得到四边形PQMN ，证明四边形PQMN 是正方形；（3）在（2）中的线段BN 该线上截取NE=NM 连接EQ ，EM （如图3)，当∠QEM=90°时，求线段BN 的长（用a ，h 表示）4．如图，在直角坐标系中有，O 为坐标原点，，，将此三角形绕原点O 顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过A ，B ，C 三点.（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线与二次函数图象相交于M ，N 两点.①若，求k 的值；②证明：无论k 为何值，恒为直角三角形.5．如图，四边形ABCD 内接于，的半径为4，，对角线AC 、BD 相交于点P.过点P 分别作于点E ，于点F.（1）求证：四边形为正方形；（2）若，求正方形的边长；（3）设PC 的长为x ，图中阴影部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出y 的最大值.6．如图，已知一次函数的图象经过，两点，且与轴交于点，二次函数的图象经过点，，连接．Rt AOB ()03A ，()10B -，90︒Rt COD 2y ax bx c =++3l y kx k =-+：2PMN S = PMN O O 90ADC AB BC ∠=︒=，PE AD ⊥PF CD ⊥DEPF 2AD CD=DEPF 1y kx m =+()15A --，()04B -，x C 224y ax bx =++A C OA（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）求的正弦值．（3）在点右侧的轴上是否存在一点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，在四边形ABCD 中，AC 交BD 于点E ，△ADE 为等边三角形.（1）若点E 为BD 的中点，AD ＝4，CD ＝5，求△BCE 的面积；（2）如图2，若BC ＝CD ，点F 为CD 的中点，求证：AB ＝2AF ；（3）如图3，若AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，点P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝90°，连接BP ，取BP 的中点Q ，连接CQ.当AB ＝，AD ＝，tan ∠ABC ＝2时，求CQ 的最小值.8．如图1，在矩形中，，.P ，Q 分别是，上的动点，且满足，E 是射线上一点，，设，.OAB ∠C x D BCD OAB D ABCD 4AB =30ACB ∠=︒AC CD 35DQ CP =AD AP EP =DQ x =AP y =（1）求y 关于x 的函数表达式.（2）当中有一条边与垂直时，求的长.（3）如图2，当点Q 运动到点C 时，点P 运动到点F.连结，以，为边作.①当所在直线经过点D 时，求的面积；②当点G 在的内部（不含边界）时，直接写出x 的取值范围.9．等边中，是中线，一个以点D 为顶点的30°角绕点D 旋转，使角的两边分别与，的延长线相交于点E ，F ．交于点M ，交于点N ．（1）如图①，若，求证：．（2）如图②，在绕点D 旋转的过程中：①探究三条线段，，之间的数量关系，并说明理由；②若，，求的长．10．在平面直角坐标系中，对于和点不与点重合给出如下定义：若边，上分别存在点，点，使得点与点关于直线对称，则称点为的“翻折点”．（1）已知，若点与点重合，点与点重合，直接写出的“翻折点”的坐标；是线段上一动点，当是的“翻折点”时，求长的取值范围；PQE AC DQ FQ FQ PQ PQFG GF PQFG ABC ABC CD AC BC DF AC DE BC CE CF =DE DF =EDF ∠CD CE CF 6CE =2CF =DM xOy OAB (P O )OA OB M N O P MN P OAB ()30A，(0.B ①M A N B OAB P ②AB P OAB AP（2）直线与轴，轴分别交于，两点，若存在以直线为对称轴，且斜边长为的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出的取值范围．11．如图，在中，边绕点顺时针旋转得到线段，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是的中点．（1）以点为对称中心，作点关于点的对称点，连接，．依题意补全图形，并证明；求证：；（2）若，且于，直接写出用等式表示的与的数量关系．12．如图1，菱形的边长为，，，分别在边，上，，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动不与点 C 重合；的外接圆与相交于点，连接交于点设点的运动时间为ts.（1）；（2）若与相切，判断与的位置关系；求的长；（3）如图3，当点在上运动时，求的最大值，并判断此时与的位置关系；（4）若点在的内部，直接写出的取值范围.13．如图，已知菱形ABCD ， E 为对角线AC 上一点.3(0)4y x b b =-+>x y A B AB 2OAB b ABC AB B α(0α180)︒<<︒BD AC C 180α︒-CE DE F DE F C F G BG DG ①AC DG =②DGB ACB ∠=∠α60=︒FH BC ⊥H FH BC ABCD 12cm B 60∠=︒M N AB CD.AM 3cm =DN 4cm =P M MB BC -1cm /s C ()APC O CD E PE AC F.P APE ∠=︒O AD ①O CD ② APCP BC CF PE AC N O t（1）[建立模型]如图1，连结BE，DE.求证：∠EBC=∠EDC.（2）[模型应用]如图2，F是DE延长线上一点，∠EBF=∠ABC，EF交AB于点G.①判断△FBG的形状，并说明理由.②若G为AB的中点，且AB=4，∠ABC=60°，求AF的长.（3）[模型迁移]F是DE延长线上一点，∠EBF=∠ABC，EF交射线AB于点G，且sin∠BAC=，BF//AC.求的值. 14．小明家住在某小区一楼，购房时开发商赠送了一个露天活动场所，现小明在活动场所正对的墙上安装了一个遮阳棚，经测量，安装遮阳棚的那面墙高，安装的遮阳棚展开后可以使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．已知正午时刻太阳光与水平地面的夹角为，安装好的遮阳篷与水平面的夹角为，如下右图为侧面示意图．（参考数据：，，，，，）（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中点C）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断此遮阳棚是否使得人进出时具有安全感？（2）请计算此遮阳棚延展后的长度（即的长度）．（结果精确到）15．数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片.45ABBG BC AB3m2m()AD63.4︒BC10︒100.17sin︒≈100.98cos︒≈100.18tan︒≈63.40.89sin︒≈63.40.45cos︒≈63.4 2.00tan︒≈2.3mBC0.1m（1）如图1，一张圆形纸片，圆心为O ，圆上有一点A ，折叠圆形纸片使得A 点落在圆心O 上，折痕交于B 、C 两点，求的度数.（2）把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点M 是弧上一动点.①如图2，当点M 是弧中点时，在线段、上各找一点E 、F ，使得是等边三角形.试用尺规作出，不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹.②在①的条件下，取的内心N ，则 .③如图3，当M 在弧上三等分点S 、T 之间（包括S 、T 两点）运动时，经过兴趣小组探究都可以作出一个是等边三角形，取的内心N ，请问的长度是否变化.如变化，请说明理由；如不变，请求出的长度.16．已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．（1）请直接写出，的值；（2）直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．①求的最大值；②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．17．如图1，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的直角边OA 在y 轴的正半轴上，且OA ＝6，斜边OB ＝10，点P 为线段AB 上一动点．O BAC ∠PQ PQ OP OQ EFM EFM EFM ON =PQ EFM EFM ONON )2y x bx c =++yA (4B(C -b c BC y DE )2y x bx c =++AB E AB F EF AEF ABC ∠E（1）请直接写出点B 的坐标；（2）若动点P 满足∠POB ＝45°，求此时点P 的坐标；（3）如图2，若点E 为线段OB 的中点，连接PE ，以PE 为折痕，在平面内将△APE 折叠，点A 的对应点为A′，当PA′⊥OB 时，求此时点P 的坐标；18．如图，在菱形中，对角线相交于点O ，，．动点P 从点A 出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q 从点A 出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E ．设运动时间为，解答下列问题：（1）当点M 在上时，求t 的值；（2）连接．设的面积为，求S 与t 的函数关系式和S 的最大值；（3）是否存在某一时刻t ，使点B 在的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．19．在矩形中，点E 为射线上一动点，连接．ABCD AC BD ，10cm AB=BD =AB 1cm /s AD 2cm /s AP AQ ，APMQ PM AC ()()s 05t t <≤BD BE PEB ()2cm S PEC ∠ABCD BC AE（1）当点E 在边上时，将沿翻折，使点B 恰好落在对角线上点F 处，交于点G ．①如图1，若，求的度数；②如图2，当，且时，求的长．（2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C 的对应点为C ′，当点E ，C ′，D 三点共线时，求的长．20．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E 在直线AB 上，连结DE ，过点A 作AF ⊥DE 交直线BC 于点F ，以AE 、AF 为邻边作平行四边形AEGF.直线DG 交直线AB 于点H.（1）当点E 在线段AB 上时，求证：△ABF ∽△DAE.（2）当AE=2时，求EH 的长.（3）在点E 的运动过程中，是否存在某一位置，使得△EGH 为等腰三角形.若存在，求AE 的长.21．如图1，等边三角形纸片中，，点D 在边上（不与点B 、C 重合），，点E 在边上，将沿折叠得到（其中点C ′是点C 的对应点）．BC ABE AE BD AEBD BC =AFD ∠=4AB EF EC =BC ABCD ABCD AE BE ABC 12AB =BC 4CD =AC CDE DE 'C DE（1）当点C ′落在上时，依题意补全图2，并指出C ′D 与的位置关系；（2）如图3，当点C ′落到的平分线上时，判断四边形CDC ′E 的形状并说明理由；（3）当点C ′到的距离最小时，求的长；（4）当A ，C ′，D 三点共线时，直接写出∠AEC ′的余弦值．22．如图，四边形是菱形，其中，点E 在对角线上，点F 在射线上运动，连接，作，交直线于点G.（1）在线段上取一点T ，使，①求证：；②求证：；（2）图中，.①点F 在线段上，求周长的最大值和最小值；②记点F 关于直线的轴对称点为点N.若点N 落在的内部（不含边界），求的取值范围.AC AB ACB ∠AB CE ABCD 60ABC ∠=︒AC CB EF 60FEG ∠=︒DC BC CE CT =FET GEC ∠=∠FT CG =7AB =1AE =BC EFG AB EDC ∠CF答案解析部分1．【答案】（1）解：作DH ⊥AE 于H ，如图所示：在Rt △ADH中，∵，∴AH ＝2DH ，∵AH 2+DH2＝AD 2，∴（2DH ）2+DH 2＝（）2，∴DH ＝6（米）．答：乙同学从点A 到点D 的过程中，他上升的高度为6米；（2）解：如图所示：过点D 作DG ⊥BC 于点G ，设BC ＝x 米，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝45°，∴AC ＝BC ＝x ，由（1）得AH ＝2DH ＝12，在矩形DGCH 中，DH ＝CG ＝6，DG ＝CH ＝AH+AC ＝x+12，在Rt △BDG 中，BG ＝BC-CG ＝BC-DH ＝x-6，∵tan ∠BDG ＝，∴，解得：x≈24，12DH AH =BG DG626.70.512x tan x -=︒≈+答：大树的高度约为24米．【解析】【分析】（1）作DH ⊥AE 于H ，利用勾股定理可得AH 2+DH 2＝AD 2，再结合AH ＝2DH ，可得（2DH ）2+DH 2＝（2，最后求出DH=6即可；（2）过点D 作DG ⊥BC 于点G ，设BC ＝x 米，则DH ＝CG ＝6，DG ＝CH ＝AH+AC ＝x+12，BG ＝BC-CG ＝BC-DH ＝x-6，再结合tan ∠BDG ＝，可得，最后求出x 的值即可。

中考数学专题初中三角函数应用题10道-含答案

初中三角函数应用题10道(1)求步道AC 的长度（结果保留根号）；(2)游客中心Q 在点A 的正东方向，步道AC 与步道BQ 交于点P 小明和爸爸分别从B 处和A 处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．0.1）（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449≈）2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）下图是儿童游乐场里的一个娱乐项目转飞椅的简图，该设施上面有一个大圆盘（圆盘的半径是 3.5OA =米），圆盘离地面的高度1 6.5OO =米，且1OO ⊥地面l ，圆盘的圆周上等间距固定了一些长度相等的绳子，绳子的另一端系着椅子（将椅子看作一个点，比如图中的点B 和1B ），当旋转飞椅静止时绳子是竖直向下的，如图中的线段AB ，绳长为4.8米固定不变．当旋转飞椅启动时，圆盘开始旋转从而带动绳子和飞椅一起旋转，旋转速度越大，飞椅转得越高，当圆盘旋转速度达到最大时，飞椅也旋转到最高点，此时绳子与竖直方向所成的夹角为57α=︒．（参考数据：sin 570.84︒≈，cos570.55︒≈，tan 57 1.54︒≈）(1)求飞椅离地面的最大距离（结果保留一位小数）；(2)根据有关部门要求，必须在娱乐设施周围安装安全围栏，而且任何时候围栏和飞椅的水平距离必须超过2米．已知该旋转飞椅左侧安装有围栏EF ，且EF l ⊥，19.8O E =米，请问圆盘最大旋转速度的设置是否合规？并说明理由．3．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ，小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45︒，沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31︒，已知斜坡DE 的坡度3:4，10DE =米，22DC =米，求宣传牌AB 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin 310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan 310.6)︒≈。

中考数学专卷2020届中考数学总复习(29)锐角三角函数-精练精析(1)及答案解析

图形的变化——锐角三角函数1一．选择题（共9小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．B．C．D．2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B． C． D．3．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）A．2 B．8 C．2 D．44．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A． B． C． D．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．6．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A．2 B．1 C． D．7．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．105°8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，9在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°二．填空题（共8小题）10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是_________ ．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是_________ ．12．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= _________ ．13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=_________ ．14．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= _________ ．15．cos60°=_________ ．16．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=_________ ．17．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=_________ ．三．解答题（共7小题）18．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．22．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．23．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．①求BD和AD的长；②求tan∠C的值．24．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）图形的变化——锐角三角函数1参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．解答：解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，设AB=2x，则BC=x，AC=x．∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．则tan∠CFB==．故选：C．点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．专题：网格型．分析：作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解．解答：解：作AC⊥OB于点C．则AC=，AO===2，则sin∠AOB===．故选：D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）A． 2 B．8 C．2D．4考点：锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．解答：解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故选：A．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：在直角△ABC中利用正切的定义即可求解．解答：解：在直角△ABC中，∵∠ABC=90°，∴tanA==．故选：D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．考点：互余两角三角函数的关系．专题：计算题．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出t an∠B．解答：解：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选：D．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．6．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A． 2 B．1 C．D．考点：特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据特殊角的三角函数值计算即可．解答：解：原式=（）2+×=+=2．故选：A．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．7．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：解：由题意，得 cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，考点：解直角三角形．专题：新定义．分析：A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．解答：解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．点评：考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．9．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°考点：解直角三角形．分析：利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，又∵tanB=，∴AC=BC•tanB=3tan50°．故选：D．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．二．填空题（共8小题）10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是．考点：锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．专题：计算题．分析：首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB的长度，然后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可．解答：解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=4，∴AB=2CD=8，则sinB===．故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据锐角三角函数的定义（tanA=）求出即可．解答：解：tanA==，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．12．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= ．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：根据勾股定理，可得AC的长，根据邻边比斜边，可得角的余弦值．解答：解：如图，由勾股定理得AC=2，AD=4，cosA=，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，角的余弦是角邻边比斜边．13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE 中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．14．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．分析：根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．解答：解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，可以得知△ABC是等腰三角形，由面积相等可得，BC•AD=AB•CE，即CE==，sinA===，故答案为：．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．15．cos60°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值计算．解答：解：cos60°=．故答案为：点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．16．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=60°．考点：特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．解答：解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA=，cosB=，∴∠A=∠B=60°．∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣60°=60°．故答案为：60°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．17．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=75°．考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．专题：计算题．分析：先根据△ABC中，tanA=1，cosB=，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．解答：解：∵△ABC中，|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0∴tanA=1，cosB=∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°．故答案为：75°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．三．解答题（共7小题）18．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：应用题；压轴题．分析：（1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．（2）根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同，可以求出甲轮船从B到C所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．解答：解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．点评：本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，解答此题的关键是过B作BD⊥AC，构造出直角三角形，利用特殊角的三角函数值及直角三角形的性质解答．19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．解答：解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD==，∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5，∴AC===13，∴sin C==．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）考点：解直角三角形．专题：几何图形问题．分析：由题意得到三角形BCD为等腰直角三角形，得到BD=BC，在直角三角形ABC 中，利用锐角三角函数定义求出BC的长即可．解答：解：∵∠B=90°，∠BDC=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD=BC，在Rt△A BC中，tan∠A=tan30°=，即=，解得：BC=2（+1）．点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：先在Rt△ACD中，由正切函数的定义得tanA==，求出AD=4，则BD=AB﹣AD=8，再解Rt△BCD，由勾股定理得BC==10，sinB==，cosB==，由此求出sinB+cosB=．解答：解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∴tanA===，∴AD=4，∴BD=AB﹣AD=12﹣4=8．在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=8，CD=6，∴BC==10，∴sinB==，cosB==，∴sinB+cosB=+=．故答案为：点评：本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，难度适中．22．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，解Rt△ADC，得出DC=1；然后根据BC=BD+DC即可求解解答：解：在Rt△ABD中，∵，又∵AD=1，∴AB=3，∵BD2=AB2﹣AD2，∴．在Rt△ADC中，∵∠C=45°，∴CD=AD=1．∴BC=BD+DC=+1．点评：本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADB与Rt△ADC，得出BD=2，DC=1是解题的关键．23．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．①求BD和AD的长；②求tan∠C的值．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：几何图形问题．分析：（1）由BD⊥AC得到∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD=AB=3，再得到AD=BD=3；（2）先计算出CD=2，然后在Rt△BCD中，利用正切的定义求解．解答：解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，∴BD=AB=3，∴AD=BD=3；（2）CD=AC﹣AD=5﹣3=2，在Rt△BCD中，tan∠C===．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．24．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．。

中考数学真题三角函数汇总

2017年中考数学真题三角函数汇总1、如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）2、18．（7分）如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24米的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平线夹角∠ADE为39°，且高CD为1.5米，求建筑物的高度AB．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81）3、如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．4、海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在正西北方向上，灯塔B 在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值）5、如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）6、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A．40海里 B．40海里C．80海里D．40海里7、如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1=；sin2A2+sin2B2=；sin2A3+sin2B3=．（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=．（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．8、如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）（第22题图）APCB36.9°67.5°9、钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．（参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72）10、如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里。

中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________．所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ，进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图第9题图第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°，在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )．答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除．答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°，又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ，又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°，在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图第2题图第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图第5题图第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图第8题图第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)．答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。

2020中考数学专项解析：解直角三角形(三角函数应用)

【文库独家】解直角三角形（三角函数应用）1、（绵阳市）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60º，又从A 点测得D 点的俯角β为30º，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为（ A ）A ．20米B ．米C ．米D ．米［解析］GE//AB//CD ，BC=2GC ，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot ∠ACB=30×cot60º=10 3 米，DF=AF •tan30º=10 3 ×33=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。

2、（杭州）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）A ．B ．C ．D ．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：在直角三角形ABC 中，由AB 与sinA 的值，求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，根据面积法求出CD 的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC 中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S △ABC =AC•BC=AB•CD， ∴CD==．故选B点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．3、（•绥化）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D ，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC 的长．∴AD=AD=4．+44、（•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．∴OP=5、（安顺）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：∵tanA==，∴AC=6，∴△ABC的面积为×6×8=24．故答案为：24．点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积．6、（11-4解直角三角形的实际应用·东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30︒，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为米.15. 9.解析：过B 作BE ⊥CD 于点E ，设旗杆AB 的高度为x ，在Rt ABC ∆中，tan AB ACB AC ∠=，所以tan tan 60AB x AC x ACB ====∠︒，在Rt BDE ∆中，BE AC x ==，60BOE ∠=︒，tan BE BDE DE ∠=，所以1tan 3BE DE x BDE===∠，因为CE=AB=x ，所以163DC CE DE x x =-=-=，所以x=9，故旗杆的高度为9米. 7、（•常德）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．BD=2sinB=，∴AB==3∴BD==2∴BC=BD+DC=2∴CE=BC=+，CD=﹣∴tan∠DAE==﹣8、（13年山东青岛、20）如图，马路的两边CF 、DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A 、B 两点分别表示车站和超市。

初中数学三角函数计算及应用题

初中数学三角函数计算及应用题
三角函数是初中数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

下面我将为你提供一些关于三角函数的计算和应用题。

1. 计算题
(1) 已知sin(30°) = 1/2，那么sin(150°) = _______。

(2) 若tan(45°) = 1，则cos(60°) = _______。

(3) 已知cos(60°) = 1/2，则sin(120°) = _______。

2. 应用题
(1) 一座塔的高度为 h 米，太阳光与水平面的夹角为α，则塔在太阳光下的影子长度为多少？
(2) 在直角三角形中，一个锐角为30°，其对边长为3，求这个直角三角形的斜边长。

(3) 一辆汽车以速度 v 向南行驶，遇到一个障碍物后向西行驶了45°，如果汽车行驶的距离为 d 米，那么它转向后行驶的距离是多少？。

中考数学解直角三角形练习

中考数学解直角三角形练习第一课时(锐角三角函数)课标要求1、通过实例认识直角三角形的边角关系：即锐角三角函数（sinA 、cosA 、tanA 、cotA ）2、熟知300、450、600角的三角函数值3、会用计算器求锐角的三角函数值：以及由已知的三角函数值求相应的锐角。

4、通过特殊角三角函数值：知道互余两角的三角函数的关系。

5、了解同角三角函数的平方关系。

sin 2α+cos 2α=1：倒数关系tan α·cot α=1.6、熟知直角三角形中：300角的性质。

中招考点1、锐角三角函数的概念：锐角三角函数的性质。

2、 300、450、600角的三角函数值及计算代数式的值。

3、运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。

典型例题[例题1] 选择题（四选一）1、如图19-1：在Rt △ABC 中：CD 是斜边AB 上的高：则下列线段比中不等于sinA 的是（）A. AC CDB. CB BDC.AB CBD.CBCD分析：sinA=AC CD ； sinA=sin ∠BCD=BC BD ;sinA= ABBC；从而判断D 不正确。

故应选D.。

2、在Rt △ABC 中：∠C ＝900：∠A ＝∠B ：则cosA 的值是（） A.21B. 22 C.23 D.1分析：先求出∠A 的度数：因为∠C ＝900：∠A ＝∠B ：故∠A ＝∠B ＝450：再由特殊角的三角函数值可得：cosA=cos450=22故选B.。

3、在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=23 ；则cosB 的值为（）A. 21B. 22C.23D.33分析：方法一：因为sinA=23；故锐角A ＝600。

因为∠C ＝900：所以∠B ＝300.cosB=23.故选C.方法二：因为 ∠C ＝900：故 ∠A 与 ∠B 互余.所以cosB=sin A ＝23.故选C..4、如图19-2：在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=53.则BC ：AC 等于（）A C图19-1A. 3：4B. 4：3C.3：5D.4：5 分析：因为∠C ＝900：sinA ＝53 ；又sinA=AB BC .所以AB BC ＝53；不妨设BC ＝3k ；AB=5k ；由勾股定理可得AC ＝22BC AB -＝4k ；所以BC ：AC ＝3k:4k=3:4故选A.。

2020中考数学九年级下册锐角三角函数在实际问题中的应用(含答案)

2020中考数学锐角三角函数在实际问题中的应用（含答案）1.如图，小军和小兵要去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60米的A 处用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪AD=1.5米，则塔CB 的高为多少米？参考答案:解：过A 作AE ∥DC 交BC 于点E 则AE=CD=60米，则∠AEB=90°，EC=AD=1.5 在Rt △ABE 中，即tan 3060BE=∴60tan 3060BE === 所以，古塔高度为： 1.5CB BE EC =+=米2.如图，小强在家里的楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶点B 处的仰角为60°，看楼底点C 的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC 为多少米？参考答案:解：过A 作AD ∥地面，交BC 于D 则在Rt △ABD 中，tan 60BD AD ∠=，即tan 6030BD∠=，∴BD =在Rt △ACD 中，tan 45DC AD ∠=，即tan 6030DC ∠=，∴30DC = ∴楼高BC 为：30BD DC +=+AD BC3.小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°，35°。

已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100米，请求出热气球离地面的高度。

（结果保留整数，参考数据：7sin 3512≈，5cos356≈，7tan 3510≈）参考答案:解：过A 作AD ⊥BC 于点D则AD 即为热气球的高度，且∠1=∠2=45∴可设AD=BD=x 则CD=x+100 在Rt △ADC 中tan AD C DC =，即tan 35100xx =+得：7003x =即热气球的高度为7003AD =米 4.如图，某建筑物BC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ，C 在同一直线上．小红在D 处观测旗杆顶部A 的仰角为47°，观测旗杆底部B 的仰角为42°．已知点D 到地面的距离DE 为1.56m ，EC=21m ，求旗杆AB 的高度和建筑物BC 的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90）．参考答案:解：根据题意，DE=1.56,EC=21,∠ACE=90°,∠DEC=90°．过点D 作DF ⊥AC,垂足为F ．则∠DFC=90°,∠ADF=47°,∠BFD=42°．1.41≈ 1.73≈）参考答案:解：过C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠DBC=45°=∠BCD ∴可设BD=CD=x在Rt △ACD 中可得：tan DCDAC AD∠=即：tan 302x x =+得1 2.73x =≈即，点C 与探测面的距离大约为2.73米。

中考数学三角函数在实际中的应用(九年级下期复习用带答案)汇总

专题3 三角函数在实际中的应用自我诊断１.某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度.已知小亮站着测量,眼睛与地面的距离(ＡＢ）是1.７米,看旗杆顶部E的仰角为３0°;小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（ＣD)是0.7米,看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧(点B、D、F 在同一直线上）.（1)求小敏到旗杆的距离DF．(结果保留根号）（2）求旗杆EＦ的高度.(结果保留整数，参考数据：≈1.4,≈１.７）自我诊断2.如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处,由于点A上方有一些管道,考古人员不能垂直向下挖掘,他们被允许从B处或C处挖掘,从B处挖掘时,最短路线BA与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线ＣA与地面所成的锐角是30°,且BC=２0m,若考古人员最终从Ｂ处挖掘，求挖掘的最短距离.（参考数据：sin56°=０.83,tａn５6°≈1.４8，≈1．73,结果保留整数)跟踪训练1１.年4 月20 日，四川雅安发生里氏7.0 级地震,救援队救援时,利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点 C 处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点Ａ、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和6０°,如图所示,试确定生命所在点C的深度(结果精确到0.１米，参考数据≈1．４１, ≈1.7３)２.一电线杆PQ立在山坡上,从地面的点A看，测得杆顶端点A的仰角为４5°，向前走６m到达点Ｂ,又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为6０°和30°，（1）求∠ＢPQ的度数;(２）求该电线杆PQ的高度.（结果精确到１ｍ）3．如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离,飞机以距海平面垂直同一高度飞行,在点C处测得端点A的俯角为6０°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米,在点D测得端点B的俯角为４5°,已知岛屿两端A、Ｂ的距离54１.91米，求飞机飞行的高度．(结果精确到１米，参考数据：≈1.73，≈１.4１）４．如图,某建筑物ＢC顶部有釕一旗杆AB，且点A，B,C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为4７°,观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DＥ为1.56m，ＥＣ=2１m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据:tan４7°≈1.07，ｔan4２°≈0．90．5．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B(A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m.（１）求点Ｂ到AD的距离；（2)求塔高ＣD(结果用根号表示）．6．如图,一楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1:，山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离ＢC=6米，与亭子距离CE=２0米,小丽从楼房顶测得点E 的俯角为４5°．（1)求点Ｅ距水平面BC的高度；（2)求楼房AB的高．(结果精确到0.１米，参考数据≈1.４14,≈1．73２)7.如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为３0°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AＣ的长度．（２)如果需要在货物着地点Ｃ的左侧留出２米的通道,试判断距离B点5米的货物MＮＱP是否需要挪走，并说明理由.参考数据:．8.如图,小岛在港口P的北偏西60°方向,距港口５6海里的A处，货船从港口Ｐ出发，沿北偏东4５°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向．求货船的航行速度．(精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.４１,≈1.７3)自我诊断答案考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析:（１)过点A作AM⊥EF于点M,过点C作CN⊥EＦ于点N.设CN=x，分别表示出ＥＭ、AM的长度,然后在Rt△AEM中,根据taｎ∠EAM=，代入求解即可;（2）根据（1）求得的结果,可得EＦ=DＦ+CＤ，代入求解.解：(１）过点A作AM⊥EＦ于点M,过点C作ＣN⊥EF于点Ｎ，设CN=ｘ,在Rt△ＥCN中,∵∠EＣＮ=4５°，∴EN=CN=x，∴ＥM＝x+0.７﹣１.7=ｘ﹣1,∵ＢD=5，∴AM=BF=5+x，在Rt△AEM中，∵∠EAＭ=30°∴=，∴x﹣1＝(x+5)，解得:x=４+3,即DF=（4+3)(米)；（２）由（1）得:ＥF=x＋0.７=4＋＋0.7≈４＋３×1.7+0．7≈9.８≈10（米).答：旗杆的高度约为10米．点评:本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解.考点:解直角三角形的应用.分析：作ＡＤ⊥BC交ＣB延长线于点D,线段AD即为文物在地面下的深度．设ＡD=x．通过解直角△ABD求得BD＝;通过解直角△ACD求得CD=x,由此列出关于x的方程,通过方程求得ＡD的长度.最后通过解直角三角形ＡBD来求AB的长度即可．解：作AD⊥BC交CB延长线于点D，线段AＤ即为文物在地面下的深度．根据题意得∠CAD＝3０°,∠ＡBD=5６°．设AD=x．在直角△ABD中，∵∠ABＤ＝５6°,∴BＤ＝=．在直角△ＡCD中,∵∠ACB＝30°,∴CD=AＤ=x，∴x＝+2０.解得ｘ≈18.97，∴AＢ=≈≈2３.答:从B处挖掘的最短距离为２３米.点评:此题考查了解直角三角形的应用，主要是正切、余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．跟踪训练答案１．考点：解直角三角形的应用.分析：过点Ｃ作 C Ｄ⊥AB 交ＡB 于点 D ,则∠CAD ＝30°,∠CB Ｄ＝６0°，在 Rt △BD Ｃ中，C Ｄ=BD ，在 R t △ＡDC 中，A Ｄ=C Ｄ,然后根据 A Ｂ=AD ﹣BD=４,即可得到ＣD 的方程,解方程即可.解：如图，过点 C 作 C D ⊥ＡB 交 A B 于点 D .∵探测线与地面的夹角为３0°和 60°，∴∠CAD ＝３0°，∠ＣBD=60°，在Ｒt △BDC 中,tan60°=， ∴ＢＤ= ＝，在 R t △AD Ｃ中，t ａn3０°=, ∴A Ｄ= ＝，∵ＡB=A Ｄ﹣ＢＤ=4，∴CD=2 ≈3.5(米)∴．答：生命所在点 C 的深度大约为 3．５米．点评:本题考查了解直角三角形的应用，难度适中,解答本题的关键是构造直角三角形,解直角三角形，也考查了把实际问题转化为数学问题的能力.4333=-CDCD２.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:（1)作PＱ⊥ＡB交AB的延长线于H，根据三角形的外角的性质计算;（2）设ＰQ=xm,根据正、余弦的定义表示出ＱH、BH,根据等腰直角三角形的性质列式计算即可．解:（1）作PＱ⊥ＡB交AB的延长线于H，由题意得,∠QBH=３0°，∠PBH=60°,∴∠BＱH=60°，∠PBQ=30°，∴∠ＢPQ=∠ＢQH﹣∠ＰBＱ=30°；（2）设ＰQ=xm,∵∠BＰQ=∠PBＱ,∴BQ=PQ=ｘｍ,∵∠QBH=30°，∴QH=BQ=x，BＨ=ｘ，∵∠A＝45°，∴6+x=x x，解得ｘ＝2+6≈9．答:该电线杆PQ的高度约为9m.点评:本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析：过点A作AＥ⊥CD于点Ｅ,过点B作BＦ⊥ＣＤ于点F,设高度为x米,在Rｔ△AEC 中可得CE==,在Rt△BFD中有ＤF=＝ｘ,根据AＢ＝EF=ＣD+ＤF﹣CE列出方程，解方程可求得ｘ的值．解:过点A作ＡＥ⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F，设高度为x米∵AB∥CD，∴∠AＥF=∠EFB=∠AＢＦ=9０°，∴四边形ＡＢFE为矩形.∴AB=EF,AE＝BF．由题意可知:AE=ＢF＝x米，CD=500米．在Rt△AＥC中，∠C=６0°，∴CE=＝(米)．在Rt△BＦD中，∠BDF＝4５°,∴DＦ＝=x（米）．∴ＡB＝EF=CD+DF﹣ＣＥ,即50０+ｘ﹣ｘ=541．91解得:x=99答:飞机行飞行的高度是９９米.点评:此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.4.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：根据题意分别在两个直角三角形中求得ＡF和BＦ的长后求差即可得到旗杆的高度,进而求得ＢC的高度.解:根据题意得DＥ＝1.５６,EC=21,∠AＣE=９0°,∠DEC=９０°.过点D作ＤＦ⊥AC于点F.则∠ＤFC=90°∠ＡDF=47°，∠BDＦ=42°.∵四边形DECＦ是矩形.∴DＦ=ＥC=２1，FC=DE=1.５6，在直角△DFＡ中,taｎ∠ADＦ=，∴ＡＦ=DF•ｔan４７°≈21×1.０7=２2.47（m）．在直角△ＤFB中,taｎ∠ＢDF＝,∴BF＝DＦ•tan42°≈21×0．90=18．90（ｍ),则ＡB＝AF﹣BF=22.47﹣18.90=３．57≈3.6（m).BC＝BF+FC＝18.9０+1.56=20.４６≈20．5(m)．答:旗杆AB的高度约是3.6m,建筑物ＢＣ的高度约是２0.5米.点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用,解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题,先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解.5.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：（1)过点B作BE⊥AD于点E,然后根据AＢ=4０m，∠A=3０°，可求得点B到ＡＤ的距离;(２）先求出∠ＥBD的度数，然后求出AD的长度,然后根据∠A＝30°即可求出CＤ的高度. 解：(1)过点B作BE⊥AD于点E，∵AB=4０m，∠A＝30°，∴ＢE=AB=20ｍ，AE==20m,即点B到ＡD的距离为20ｍ；（２)在Rｔ△AＢＥ中，∵∠A＝３0°，∴∠ABE=６0°,∵∠DBＣ=7５°,∴∠ＥBD＝1８０°﹣60°﹣75°＝4５°,∴DE=EＢ=20m,则ＡD＝AE+EB=20+20=2０（+１）（ｍ)，在Ｒt△ＡDC中,∠A＝30°，∴DC==(１0＋10）m.答：塔高CD为(10+10）m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形并解直角三角形.６.考点:解直角三角形的应用－仰角俯角问题．分析:（1）过点E作EＦ⊥ＢC于点F.在Rt△CEF中,求出CＦ=EF，然后根据勾股定理解答;(２)过点E作ＥH⊥ＡB于点H.在Ｒt△ＡHE中,∠ＨAE＝４５°,结合（1)中结论得到CF 的值，再根据AＢ=AＨ＋BH,求出AB的值.解:(1）过点Ｅ作EF⊥BC于点F．在Rt△CEＦ中，ＣE=20，,∴ＥF 2+（EF)2＝2０2，∵ＥF>0,∴ＥF＝10．答:点E距水平面BC的高度为1０米.(2)过点E作EH⊥ＡB于点Ｈ.则HE＝BF，BＨ=EF.在Rｔ△AHＥ中，∠HAＥ=45°,∴AH=ＨE,由（1)得ＣF＝EF=10(米)又∵BC=6米，∴HＥ＝6＋10米,∴AB=ＡＨ＋BH＝6+1０+１0=16+１0≈33.3（米）.答：楼房ＡB的高约是33.3米.７．考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析:(1）在构建的直角三角形中,首先求出两个直角三角形的公共直角边,进而在Rｔ△ACD中,求出AC的长．（2)通过解直角三角形，可求出BD、ＣD的长,进而可求出BC、PＣ的长．然后判断PＣ的值是否大于２米即可．解:(１）如图，在Ｒt△ABＤ中,ＡD=ＡBsin４5°=4×=4．在Rt△AＣD中，∵∠ACD=30°∴ＡC=2ＡD=8．即新传送带ＡC的长度约为8米；（２)结论：货物MＮQP不用挪走．解：在Rｔ△ABD中，BＤ＝ABｃos45°=4×=４．在Rt△ACＤ中，CＤ=AＣcoｓ3０°=2．∴CB＝ＣD﹣BＤ＝2﹣4≈0.9.∵PC＝PB﹣ＣB≈4﹣0.9=3.1>2,∴货物ＭNQＰ不应挪走.点评:考查了坡度坡脚问题,应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形.在两个直角三角形有公共直角边时,先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．8.考点:解直角三角形的应用-方向角问题．分析:由已知可得AB⊥PQ，∠ＱAP＝60°，∠A=30°,AP=５6海里，要求货船的航行速度,即是求PＢ的长，可先在直角三角形APＱ中利用三角函数求出PQ，然后利用三角函数求出PB即可.解：设货船速度为ｘ海里/时，4小时后货船在点B处，作ＰQ⊥ＡB于点Q.由题意ＡP=56海里，PB=4ｘ海里，在直角三角形APQ中,∠APＱ=60°,所以PQ=28.在直角三角形PＱB中，∠BPQ=4５°,所以,PＱ=PＢ×cｏｓ45°=２x．所以，２x＝２8,解得：x=７≈9.9．答:货船的航行速度约为９.９海里/时．。

2020年浙江省台州市中考数学重点题型-三角函数的应用专题训练含答案

2020年浙江省台州市中考数学重点题型-三角函数的应用专题训练1.如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．(结果用含有根号的式子表示)2.如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度AB，测量人员使用无人机测量，在C处测得A,B两点的俯角分别为45∘和30∘，若无人机离地面的高度CD为1200米，且点A,B,D在同一条水平直线上，求这条江的宽度AB长（结果保留根号）.3.如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处.已知AB＝BD＝800米，∠α＝75°，∠β＝45°，求山高DE（结果精确到1米）.（参考数据：sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732，√2＝1.414）4.如图1，是全国最大的瓷碗造型建筑，座落于江西景德镇，整体造型概念来自“宋代影青斗笠碗”，造型庄重典雅，象征“万瓷之母”．小敏为了计算该建筑物横断面(瓷碗橫断面ABCD为等腰梯形)的高度，如图2，她站在与瓷碗底部AB位于同一水平面的点P处测得瓷碗顶部点D的仰角为45°，而后沿着一段坡度为0.44(坡面与水平线夹角的正切值)的小坡PQ步行到点Q(此过程中AD，AP，PQ始终处于同一平面)后测得点D的仰角减少了5°.已知坡面PQ的水平距离为20米，小敏身高忽略不计，试计算该瓷碗建筑物的高度．(参考数据：sin 40°≈0.64，tan 40°≈0.84)5.兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高.（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）6.茗阳阁位于河南省信阳市狮河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日.是一栋由多种中国建筑元素，由雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多种形式的中国古代建筑元素汇聚而成，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼.茗阳阁是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，同时茗阳阁旁的风景也是优美至极.某数学课外兴趣小组为了测量建在山丘DE上的茗阳阁CD的高度，在山脚下的广场上A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为20°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，已知山丘DE高37.69米.求塔的高度CD .（结果精确到1米，参考数据：sin200≈0.34,cos200≈0.94,tan200≈0.36）7.如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）.（参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14）8. 4月18日，一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行，如图，广场上有一风筝A，小江抓着风筝线的一端站在D处，他从牵引端E测得风筝A的仰角为67°，同一时刻小芸在附近一座距地面30米高(BC＝30米)的居民楼顶B处测得风筝A的仰角是45°，已知小江与居民楼的距离CD＝40米，牵引端距地面高度DE＝1.5米，根据以上条件计算风筝距地面的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，√2≈1.414).9.共享单车为大众出行提供了方便，如图为单车实物图，如图为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知，∠ABE=70°，∠EAB=45°，车轮半径为0.3m，BE=0.4m.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）参考数据：sin70.≈0.94，cos70.≈0.34，tan70.≈2.75，√2≈1.4110.如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度.在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度.(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，结果保留整数)11.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？(结果精确到0.1cm,参考数据: √3≈1.732)12.北盘江大桥坐落于云南宜威与贵州水城交界处，横跨云贵两省，为目前世界第一高桥图1是大桥的实物图，图2是从图1中引申出的平面图，测得桥护栏BG=1.8米，拉索AB与护栏的夹角是26°，拉索ED 与护栏的夹角是60°，两拉索底端距离BD为300m，若两拉索顶端的距离AE为90m，请求出立柱AH的长.（tan26°≈0.5，sin26°≈0.4，√3≈ 1.7）13.为了解决楼房之间的采光问题，有关部门规定两幢楼房之间的最小距离要使中午12时不能遮光.如图，旧楼的一楼窗台高1m，现计划在旧楼正南方20m处建一幢新楼.已知新昌冬天中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角最小为36∘，问新楼房最高可建多少米？(结果精确到0.1m，tan36∘≈0.727)．14.随着天气的逐渐炎热（如图1），遮阳伞在我们的日常生活中随处可见.如图2所示，遮阳伞立柱OA垂直于地面，当将遮阳伞撑开至OD位置时，测得∠BOD＝45°，当将遮阳伞撑开至OE位置时，测得∠BOE＝60°，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为30cm，求当遮阳伞撑开至OE位置时，伞下半径EC的长. （结果精确到0.1cm，参考值√2≈1.414,√3≈1.732,√6≈2.449）.15.为了增强体质，小明计划晚间骑自行车训练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为10°和14°，该夜行灯照亮地面的宽度BC长为149米，求该夜行灯距离地面的高度AN的长．(参考数据：sin10°≈17100，tan10°≈950，sin14°≈625，tan14°≈14)．16.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆；两段的联结点.当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计，EF长度远大于车辆宽度），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4是否合理？请通过计算说明理由.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）17.如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图2是侧面示意图，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，点C在MN 上，且位于自动扶梯顶端B点的正上方，BC⊥MN.测得AB＝10米，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50°，点B的仰角为30°，求二楼的层高BC（结果保留根号）（参考数据：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）18.某大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长.（结果精确到0.1米，√3≈1.73）19.如图，利用一幢已知高度的楼房CD（楼高为20m），来测量一幢高楼AB的高在DB上选取观测点E、F，从E测得楼房CD和高楼AB的顶部C、A的仰角分别为58°、45°.从F测得C，A的仰角分别为22°，70°.求楼AB的高度（精确到1m）（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75）20.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0.lm.温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）答案1. 解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示：则四边形DHCE 是矩形，DH=EC ，DE=HC=5，设建筑物BC 的高度为xm ，则BH=（x ﹣5）m ，在Rt △DHB 中，∠BDH=30°， ∴DH= √3 （x ﹣5），AC=EC ﹣EA= √3 （x ﹣5）﹣30，在Rt △ACB 中，∠BAC=50°，tan ∠BAC= BCAC ， ∴ √3(x−5)−30 = √3 解得：x= 15+30√32，答：建筑物BC 的高为 15+30√32m ．2. 解：如图，∵CE//DB ，∴∠CAD =∠ACE =45∘, ∠CBD =∠BCE =30∘ 在 RtΔACD 中， ∵∠CAD =45∘,∴AD =CD =1200 米，在 RtΔDCB 中， ∵tan ∠CBD =CDBD , ∴BD =CDtan ∠CBD =√33=1200√3 （米）∴AB =BD −AD =1200√3−1200 =1200(√3−1) 米故这条江的宽度 AB 长为 1200(√3−1) 米. 3. 解：由题意得：∠ACB ＝∠BFD ＝90°，EF ＝BC ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，cos α＝ BCAB ， ∴BC ＝AB •cos75°＝80×0.259＝207.2. ∴EF ＝BC ＝207.2，在Rt △BDF 中，∠BFD ＝90°，sin β＝ DF BD ， ∴DF ＝BD •sin45°＝800× √22 ＝400×1.414＝565.6.∴DE ＝DF+EF ＝565.6+207.2＝772.8≈773（米）. ∴山高DE 约为773米.4. 解：分别过点D，P向水平线作垂线，与过点Q的水平线分别交于点N，M，DN与PA交于点H，如解图所示，则四边形PMNH是矩形.∴PM＝HN，PH＝MN.由题意可知∠DPA＝45°，∠DQN＝45°－5°＝40°.在Rt△DHP中，∵∠DPA＝45°，∴DH＝PH.设该瓷碗建筑物的高度DH为x，则PH＝DH＝MN＝x.在Rt△PQM中，∵tan ∠PQM＝PMQM＝0.44，QM＝20，∴PM＝0.44QM＝0.44×20＝8.8，∴DN＝DH＋HN＝x＋8.8，QN＝QM＋MN＝x＋20.在Rt△DQN中，tan ∠DQN＝DNQN，∴x+8.8x+20≈0.84，解得x≈50.答：该瓷碗建筑物的高度约为50米．5. 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin A=BCAB .∴BC=AB×sin A=152×sin31°=152×0.52=79.04 . BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94≈86.9（米）答：主塔BD的高约为86.9米6. 解：由题意可知CE⊥AE，又∵∠CBE= 45°，∴CE=BE，设塔高CD高为x，∴CE=BE=x+37.69，又∵AB=20，∴AE=57.69+x，在直角三角形AED中tan∠A=DEAE，即37.69x+57.69=0.36，解得x=47米，答：塔高为47米.7. 解：作BF⊥AE于点F.则BF＝DE.在直角△ABF中，sin∠BAF＝BFAB ，则BF＝AB•sin∠BAF＝10×12＝5（m）.在直角△CDB中，tan∠CBD＝CDBD，则CD＝BD•tan65°＝10×2.14=21.4（m）. 则CE＝DE+CD＝BF+CD＝5+21.4≈26（m）.答：大楼CE的高度是26m.8. 解：如图，作AM⊥CD于M，作BF⊥AM于F，EH⊥AM于H.∵∠ABF=45°，∠AFB=90°，∴AF=BF，设AF=BF=x，则CM=BF=x，DM=HE=40-x，AH=x+30-1.5=x+28.5，在Rt△AHE中，tan67°= AHHE，∴125=x+28.540−x，解得x≈19.9 m.∴AM=19.9+30=49.9 m.∴风筝距地面的高度49.9 m.9. 解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N.由题意可知：MN=0.3，当CN=0.9时，CM=0.6.≈0.94，BC≈0.638，CE=BC-BE=0.638- 0.4=0.238 ≈RtΔBCM中，∠ABE=70°，sin∠ABE=sin70°= CMCB0.24（m）=24（cm）.答：CE的长为24cm.10.解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F.在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°∴CE＝FN＝20m，AE＝20 √3 m设MN＝x m，则AN＝xm.FC＝√3 xm，在RT△MFC中MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20FC＝NE＝NA＋AE＝x＋20 √3∵∠MCF＝30°∴FC＝√3 MF，即x＋20 √3＝√3 ( x－20)解得：x＝√3√3−1＝60＋20 √3≈95m答：电视塔MN的高度约为95m.11. 解：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G.=15在Rt ΔBCF中，∠CBF=30°,∴CF=BC⋅sin30°,=30×12=20√3在Rt ΔABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB⋅sin60°,=40×√32∴CE=CF+FD+DE=15+20√3+2=17+20√3≈51.64≈51.6cm 答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少51.6cm.12. 解：设CD=x，∵∠EDC=60°，∴CE= √3 x，∴AC=AE+CE=90+ √3 x，BC=CD+BD=300+x，∵tan26°= AC，BC，∴0.5= 90+√3x300+x解得：x≈48.70，∴AH=BG+AC=1.8+90+ √3×48.70≈176.1513. 解：如图，过点B作BC⊥AD与点C，在Rt△ABC中，∠ABC=36∘，DE=BC=20m，则AC=tan36∘⋅BC≈0.727×20=14.54(m)，而EB=DC=1m，∴AD=AC+CD=14.54+1≈15.5(m)，答：新楼房最高可建15.5米．14. 解：由题意可得：OE＝OD，在Rt△OEC中，∠BOE＝60°，∠OCE＝90°，OE，∴OC＝12在Rt△OBD中，∠DOB＝45°，∠OBD＝90°，∴OB＝√220D=√22OE，∵BC＝OB﹣OC，即√220E−120E=30，解得：OE＝60 (√2+1)，∴EC＝√3×30(√2+1)=30√6+30√3≈30×2.449+30×1.732≈125.4cm.15. 解：设NC=x，则BN=CN+CB=x+149在Rt△ANB中，∠ABN=10°，∴AN=BN·tan∠ABN=BN·tan10°=950(x+149)在Rt△ANC中，∠ACN=14°，∴AN=CN·tan∠ACN=CN·tan14°=14x∴950(x+149)=14x解之：x=4∴AN=14××4=1答：该夜行灯距离地面的高度AN的长为1m。

解答题三角函数应用(针对河南中考18题)

像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，
他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上.已知佛像头部BC为4 m，在A
处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结
果精确到0.1 m.参考数据：sin 37.5°≈0.61，cos 37.5°≈0.79，tan 37.5°≈0.77）.
在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，

＝
.
tan34° tan34°
∴EH＝
∵EF＝15，∴EH－FH＝15，

－x＝15.
tan34°
即
解得x≈30.5.
∴DC≈30.5＋1.5＝32.
答：拂云阁DC的高度约为32 m.
方法总结
解锐角三角函数实际应用题的一般步骤
1.正确画出平面图或截面示意图，并通过图形找出已知量和未知量.
端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5 m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同
一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1 m.参考数据：sin 34°≈0.56，cos
34°≈0.83，tan 34°≈0.67）.
解：延长EF交DC于点H，由题意知，EH⊥DC.
设DH＝x m，在Rt△DHF中，∠DFH＝45°，∴FH＝DH＝x.
∴BC＝
≈25，
sin53°
∴x＝
∴B船到达C船处约需时间：25÷25＝1（小时）.
在Rt△ADC中，AC＝ 2x≈1.41×20＝28.2，
∴A船到达C船处约需时间：28.2÷30＝0.94（小时），
而0.94＜1，所以C船至少要等待0.9ห้องสมุดไป่ตู้小时才能得到救援.

2022年人教版中考数学考点必刷题《三角函数类应用题》

2022中考考点必杀500题专练12（三角函数类应用题）（30道）1．（2021·江西九年级其他模拟）图1是小辉家一款家用落地式取暖器，如图2是其竖直放置在水平地面上时的侧面示意图，其中矩形ABCD 是取暖器的主体，四边形BEFC 是底座．已知//BC EF ，30∠=∠=︒BEF CFE ，且BE CF =，烘干架连杆GH 可绕边CD 上一点H 旋转，以调节角度．已知52cm =CD ，8cm BC =，20cm EF =，12cm DH =，16cm =GH ．（1）求BE 的长；（精确到0.1cm 1.73≈）（2）当53GHD ∠=︒时，求点G 到地面EF 的距离．（精确到0.1cm ，参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈）2．（2021·江西赣州市·九年级一模）图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B ，E ，D 均为可转动点．现测得14cm AB BE ED CD ====，经多次调试发现当点B ，E 所在直线垂直径过CD 的中点F 时（如图3所示）放置较平稳．（1）求平稳放置时灯座DC 与灯杆DE 的夹角的大小；（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm ，为防止台灯刺眼，点A 离桌面的距离应不超过30cm ，求台灯平稳放置时ABE ∠的最大值．（结果精确到0.01︒ 1.732≈，sin16.070.2768︒≈，cos73.930.2768︒≈，tan15.470.2768︒≈）3．（2021·江西九年级一模）如图1是一款升降电脑桌，它的升降范围是0~40cm ，图2是它的示意图，已知//EF MN ，点A 、B 在MN 上滑动，点D 、C 在EF 上滑动，AC 、BD 相交于点O ，30cm OA OB OC OD ====．（结果精确到0.1）（1）已知电脑桌从O 开始升到如图2.当30OAB ∠=︒时，求这款电脑桌升高了多少cm ？（2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3）时，求OAB ∠的大小及点A 滑动的距离．1.73≈，sin 42.10.67︒≈，sin 47.90.74︒≈，cos47.90.67︒≈）4．（2021·江西九年级二模）图1为台灯实物图，图2是其侧面示意图，台灯底座ABCD 是矩形，点E 在AB 上，,EF AB OP ⊥可绕着点O 旋转，且1cm,5cm,28cm,150AD EF OP OF OFE ====∠=︒．（结果保留根号）（1）当OP 与桌面平行时，求点P 到桌面的距离．（2）为了减少光线对眼睛的影响，小明旋转OP ，使得90O ∠=︒，求此时点P 到桌面的距离．5．（2021·江西九年级一模）如图1，这是一款升降电脑桌，它的升降范围在0～40cm ，图2是它的示意图．已知EF ∥MN ，点A ，B 在MN 上滑动，点D ，C 在EF 上滑动，AC ，BD 相交于点O ，OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝30cm ．（1）如图2，当∥OAB ＝30°时，求这款电脑桌当前的高度．（2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3）时，求∥OAB 的大小及点A 滑动的距离．（结果精确到0.1≈1.73，sin42.1°≈0.67，cos42.1°≈0.74，sin47.9°≈0.74，cos47.9°≈0.67）6．（2021·江西九年级其他模拟）某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB 被刮倾斜7°（∥BAB ′＝7°）后在C 处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处（如图），测得∥ADC ＝37°，AD ＝5米．（1）填空：∥ACD 的度数为．（2）求这棵大树AB 的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75≈1.73）7．（2021·江西赣州市·九年级一模）如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD 为镜面，EF 为放置物品的收纳架，,AB AC 为等长的支架，BC 为水平地面，已知4412040OA cm OD cm BD cm ===，，，75ABC ∠=︒．(结果精确到1cm ．参考数据：750.97750.2675 3.73 1.73sin cos tan ︒≈︒≈︒≈≈≈，，)（1）求支架顶点A 到地面BC 的距离．（2）如图3，将镜面顺时针旋转15,︒求此时收纳镜顶部端点O 到地面BC 的距离．8．（2021·江西吉安市·九年级一模）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN 安装在窗框上，托悬臂DE 安装在窗扇上，交点A 处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B ，C ，D 始终在一直线上，延长DE 交MN 于点F .已知20AC DE cm ==，10AE CD cm ==，40BD cm =.（1）窗扇完全打开，张角85CAB ∠=，求此时窗扇与窗框的夹角DFB ∠的度数. （2）窗扇部分打开，张角60CAB ∠=，求此时点A ，B 之间的距离（精确到0.1cm ）.1.732≈2.449≈）9．（2021·江西上饶市·九年级期末）如图1是一辆在平地上滑行的滑板车，如图2是其示意图．车杆BC 固定，车杆AB 可伸缩，车杆BC 长92cm ，车杆与脚踏板所成的角70BCD ∠=︒，前后轮子的半径均为6cm ．（1）求固定车杆BC 的上端B 离地面的高度（结果保留小数点后一位）（2）小明站在滑板车上，双手放在把手A 处最舒适，此时把手A 离地面的高度为120cm ，求伸缩杆AB 的长度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin 700.94,cos700.34,tan 70 2.75︒≈︒≈︒≈）10．（2021·江西吉安市·九年级期末）如图1是某公园的一个五角星标志，图2是它的示意图，已知A ，B ，D ，E 四点共线，A ，J ，H ，G 四点共线，C ，B ，J ，I 四点共线，C ，D ，F ，G 四点共线，E ，F ，H ，I 四点共线，且//CI MN ，36∠=∠=∠=∠=∠=︒A C DEF FGH I ，且五个角的两边（如=AB AJ ）都是1m 长，36∠=∠=︒FEG FGE ．（1）求BJ 的长；（2）求标志的高度，即点A 到地面MN 的距离．（参考数据：sin360.59,cos360.81,sin180.31,cos180.95︒≈︒≈︒≈︒≈，结果保留两位小数．）11．（2021·江西九年级专题练习）目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．30CE cm =，20DE cm =，25AD cm =，DE AC ⊥于点E ，座杆CF 的长为15cm ，点,,,A E C F 在同一直线上，且75CAB ∠=︒，公共自行车车轮的半径约为30cm ，且AB 与地面平行．（1）求车架中AE 的长；（2）求车座点F 到地面的距离．（结果精确到1cm ．参考数据：sin750.97︒≈，cos750.26︒≈，tan75 3.73︒≈）．12．（2021·江西抚州市·九年级期末）为倡导“绿色出行，低碳生活”的号召，今年春天，安庆市的街头出现了一道道绿色的风景线--“共享单车”. 图（1）所示的是一辆共享单车的实物图. 图（2）是这辆共享单车的部分几何示意图，其中车架档AC 长为40cm ，座杆CE 的长为18cm. 点A 、C 、E 在同一条直线上，且∥CAB =60°，∥ACB =75°（1）求车座点E 到车架档AB 的距离；（2）求车架档AB 的长．13．（2021·江西吉安市·九年级期末）如图1是一种折叠台灯，将其放置在水平桌面上，图2是其简化示意图，测得其灯臂AB 长为28,cm 灯翠BC 长为15cm ,底座AD 厚度为3,cm 根据使用习惯，灯臂AB 的倾斜角DAB ∠固定为60，(1)当BC 转动到与桌面平行时,求点C 到桌面的距离；(2)在使用过程中发现，当BC 转到至145ABC ∠=时，光线效果最好，求此时灯罩顶端C 到桌面的高度(参考数据250.4, 250.9, 250. 5sin cos tan ≈≈≈，结果精确到个位).14．（2020·江西省南丰县教育局教学研究室九年级一模）如图①所示的旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同，四边形ABCD 为形如矩形的旅行箱一侧的示意图，F 为AD 的中点，EF ∥CD ．现将放置在地面上的箱子打开，使箱盖的一端点D 靠在墙上，O 为墙角，图②为箱子打开后的示意图．箱子厚度30AD cm =，宽度50AB cm =．（1）图②中，EC =_________cm ，当点D 与点O 重合时，AO 的长为_________cm ；（2）若53CDO ∠=︒，求AO 的长（结果取整数值，参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）15．（2020·江西新余市·九年级一模）如图是一种电脑桌，其实物图如图1所示，此电脑桌的桌面可调节，图2和图3是其可调节桌面的侧面示意图，在点C 处固定安装了一根长度一定的支撑臂CB ．点B 可在AD 上滑动，AC ＝25cm ．（其中（2），（3）两问结果保留小数点后一位）（1）在图2中，当BC ∥AC 时，测得∥BAC ＝45°，求支撑臂CB 的长；（2）在图3中，当BC 与AC 不垂直时，测得∥BAC ＝22°，求此时AB 的长；（3）从图2到图3过程中，求点C 在此运动过程中的路径长．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，π≈3.14）16．（2020·江西南昌市·九年级其他模拟）如图所示的是--款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂12AB cm =，中臂8BC cm =，底座4.CD cm =（1）若上臂AB 与水平面平行，60ABC ︒∠=．计算点A 到地面的距离．（2）在一次操作中，中臂与底座成135︒夹角，上臂与中臂夹角为105︒，如图2，计算这时点A 到地面的距离．与图1状态相比，这时点A 向前伸长了多少?17．（2020·江西）如图1，是一种卡通创意台灯的实物图，忽略其部件的厚度，将它简化为平面图2，测得灯架10OB cm =，20OE cm =，灯管20OA cm =，支撑架CD 垂直于灯架OE 于点F ，OA 平行于桌面DE ，130AOB ∠=︒，120AOE ∠=︒．（1）若12OF cm =，求D ，E 两点之间的距离；（2）求台灯的高（点B 到桌面DE 的距离）．（参考数据：sin500.76︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19︒≈ 1.73≈，结果精确到1cm ）图1 图218．（2020·江西宜春市·九年级二模）如图1，是一款常见的海绵拖把，图2是其平面示意图，EH 是拖把把手，F 是把手的一个固定点，海绵安装在两片活动骨架PA ，PB 上，骨架的端点P 只能在线段FH 上移动，当海绵完全张开时，PA ，PB 分别与HMHN 重合；当海绵闭合时，PA ，PB 与FH 重合．已知直杆EH=120cm ，FH=20cm ．(1)若∥APB=90°，求EP 的长(结果保留根号)(2)若∥APB=26°，求MA 的长(结果保留小数点后一位)(3)海绵从完全张开到闭合的过程中，直接写出PA 的中点Q 运动的路径长．(参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，π取3.14)19．（2020·江西萍乡市·九年级二模）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形.若显示屏AO 与键盘BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，且PD∥AO （此时点P 为最佳视角），点C 在OB 的延长线上，PC∥BC ，BC ＝12cm.（1）当PA ＝45cm 时，求PC 的长；（2）当∥AOC ＝115°时，线段PC 的长比（1）中线段PC 的长是增大还是减小？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm ，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）.20．（2020·江西宜春市·九年级一模）如图1所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后，然后再慢慢回收．图2为示意图，已知,DE DC 在初始位置，60DE DC cm ==, 点B C G 、、在同一直线上，4695AB BG A DCG ︒︒⊥∠=∠=，，．（1）当,DE DC 在初始位置时，求点D 到AC 的距离；（2）当双腿伸直后，如图3，点,E D 分别从初始位置运动到点','E D ，假设''E D C 、、三点共线，求此时点E 上升的竖直高度． ( 结果精确到个位) (参考数据:410.66,sin ︒≈410.75,410.87,cos tan ︒︒≈≈440.72,440.69440.97cos sin tan ︒︒︒≈≈≈，)21．（2020·江西吉安市·九年级其他模拟）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角.其抽象示意图如图2所示，由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动.C 点固定，5cm OC CD DE ===，点D ，E 可在槽中滑动，（1）求证：3BDE BOE ∠=∠.（2）若8cm OD =，①求BDE ∠的度数；②求点D 到OA 的距离.（参考数据：sin360.60︒≈，cos360.80︒≈，tan360.75︒≈，sin660.92︒≈，cos660.40︒≈，tan66 2.24︒≈）22．（2020·江西九年级二模）图1是一种手机自拍杆，杆体从上至下分别由手机夹架、多节套管和可升降支架脚连接而成．使用时通过自由伸缩套管调节自拍杆的长度，同时可以通过调节支架脚使拍摄时更灵活安全．图2是其正面简化示意图，手机ABCD （为矩形）与其下方套管EF 连接于点E ，E 为BC 的中点，26cm EF =，支架脚13cm FG FH ==，BC 与地面GH 平行，EF BC ⊥．（1）当120GFH ∠=︒时，求点E 到地面的高度；（2）若在某环境中拍摄时，调节支架脚使40FGH ∠=︒，若16cm BC =，求点G 到直线AB 与GF 交点的距离．（参考数据：sin 400.64,cos 400.77,tan 40 1.73︒≈︒≈︒≈≈，结果精确到0.1cm ）23．（2020·江西赣州市·九年级一模）如图()1是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN 是晾衣架的一个滑槽，点P 在滑槽MN 上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图()2所示，已知每个菱形的边长均为20cm ，且AB CD CP DM 20cm ====．()1当点P 向下滑至点N 处时，测得DCE 60∠=时①求滑槽MN 的长度；②此时点A 到直线DP 的距离是多少？()2当点P 向上滑至点M 处时，点A 在相对于()1的情况下向左移动的距离是多少？(结果精确到001cm ． 1.414 1.732)≈≈24．（2020·江西抚州市·金溪一中九年级一模）图1是一台用保护套套好的带键盘的平板电脑实物图，图2是它的示意图，忽略平板电脑的厚度，支架BE 分别固定在平板电脑AD 背面中点B 处，桌面E 处，EB 可以绕点E 转动，当点D 在线段EF 上滑动时，可调节平板电脑AD 的倾斜角ADC ∠，经测量，24cm CE =，9cm CF =，支架110.5cm 2BE AD ==．（1）连接AE ，求证：AE CE ⊥；（2）当120ADC =∠︒时，求A ，E 两点间的距离；（3）当点D 滑到距离F 点1cm 处时，视觉效果最好，求此时倾斜角ADC ∠的度数．1.73≈，sin 48.190.75︒≈，cos48.190.67︒≈，tan 48.19 1.12︒≈，结果保留一位小数）25．（2020·江西九江市·九年级其他模拟）把长为2、宽为1的矩形如图依次摆放，恰使一个矩形的宽在另一个矩形的长的对称轴上，点A 是格点（矩形的顶点为格点）．请在网格中完成下列画图（要求：①仅用无刻度的直尺：②保留必要的画图痕迹）．（1）在图1中，画出Rt ABC ∆，使90A ∠=︒，点B 、C 在格点上；（2）在图2中，画出BAC ∠使1tan 2BAC ∠=，点B 、C 在格点上．26．（2020·江西南昌市·九年级其他模拟）如图1，是某保温杯的实物图和平面抽象示意图．点A ，B 是保温杯上两个固定点，与两活动环相连，把手CD 与两个活动环AD ，BC 相连，现测得 2.6cm AD BC ==，17cm AB =，如图2，当A ，D ，C 三点共线时，恰好AC BC ⊥．（1）请求把手CD 的长；（2）如图3，当//CD AB 时，求ADC ∠的度数．（参考数据：sin57.50.843︒=，cos57.50.538︒=，tan57.5 1.570︒=）27．（2020·江西）图①是一个演讲台，图②是演讲台的侧面示意图，支架BC 是一段圆弧，台面与两支架的连接点A ，B 间的距离为30cm ，CD 为水平地面，∥ADC ＝75°，∥DAB ＝60°，BD ∥CD ．（1）求BD 的长（结果保留整数，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）；（2）如图③，若圆弧BC 所在圆的圆心O 在CD 的延长线上，且OD ＝CD ，求支架BC 的长（结果保留根号）．28．（2020·江西）如图1，一扇门ABCD，宽度AB＝1m，A到墙角E的距离AE＝0.5m，设E，A，B在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡（EA∥EB′），边BC靠在墙B'C'的位置．（1）求∥BAB'的度数；（2）打开门后，门角上的点B在地面扫过的痕迹为弧BB'，设弧BB'与两墙角线围成区域（如图2）的面积为S（m2），求S的值（π≈3.14，精确到0.1）．29．（2020·江西赣州市·九年级月考）如图1所示的是一种折叠门，已知门框的宽度AD=2米，两扇门的大小相同(即AB=CD)，且AB+CD=AD，现将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转67°（如图2）．（1）求点C到AD的距离．（2）将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向外面旋转，设旋转角为α（如图3），问α为多少时，点B，C之间的距离最短？（参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan29.6°≈0.57，tan19.6°≈0.36，sin29.6°≈0.49）30．（2020·南昌市第十九中学九年级月考）如图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．如图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD 的长16cm AB =，宽12cm AD =，圆弧盖板侧面DC 所在圆的圆心O 是矩形ABCD 的中心，绕点D 旋转开关（所有结果保留小数点后一位）．（1）求DC 所在O 的半径长及DC 所对的圆心角度数；（2）如图3，当圆弧盖板侧面DC 从起始位置DC 绕点D 旋转90︒时，求DC 在这个旋转过程中扫过的的面积．参考数据：tan36.870.75︒≈，tan53.06 1.33︒≈，π取3.14．。

中考数学第二轮复习专题训练--三角函数应用题

3 3精典例题：【例 1】如图，塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 米，从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角分别为 450 和 600，试求塔高与楼高（精确到 0.01 米）。

（参考数据：＝1.41421…，＝1.73205…）分析：此题可先通过解 Rt △ABD 求出塔高 AB ，再利用 CE ＝BD ＝80 米，解 Rt △AEC 求出 AE ，最后求出 CD ＝BE ＝AB －AE 。

解：在 Rt △ABD 中，BD ＝80 米，∠BAD ＝600 A∴AB ＝ BD tan 6080 138.56 （米）450C在 Rt △AEC 中，EC ＝BD ＝80 米，∠ACE ＝450 ∴AE ＝CE ＝80 米∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝ 80 80 58.56 （米）EBD F例 1 图答：塔 AB 的高约为 138. 56 米，楼 CD 的高约为 58. 56 米。

【例 2】如图，直升飞机在跨河大桥 AB 的上方 P 点处，此时飞机离地面的高度 PO ＝450 米，且 A 、B 、 O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为300 ， 450 ，求大桥 AB 的长（精确到 1 米，选用数据：＝1.41，＝1.73）分析：要求 AB ，只须求出 OA 即可。

可通过解 Rt △POA 达到目的。

解：在 Rt △PAO 中，∠PAO ＝300∴OA ＝ PO cot PAO450 cot 300450 （米）在 Rt △PBO 中，∠PBO ＝ ∴OB ＝OP ＝450（米）∴AB ＝OA －OB ＝ 450 450450 P329 （米）答：这座大桥的长度约为 329 米。

OBA例 2 图评注：例 1 和例 2 都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。

【例 3】一艘渔船正以 30 海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在 A 处看见小岛 C 在船的北偏东 600方向，40 分钟后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东 300 方向，已知以小岛 C 为中心周围 10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛 C 与航向（直线 AB ）的距离，再与 10 海里进行比较得出结论。

九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案.doc

九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案一、锐角三角函数1．如图，某无人机于空中 A 处探测到目标 B 、D 的俯角分别是 30 、60 ,此时无人机的飞行高度 AC 为 60m ，随后无人机从 A 处继续水平飞行 30 3 m 到达 A ' 处 .（1）求之间的距离（2）求从无人机A ' 上看目标的俯角的正切值.【答案】（ 1） 120 米；（ 2）23.5【解析】【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过 A ' 作 A ' EBC 交 BC 的延长线于 E ，连接 A' D ，于是得到 A 'E AC 60 ，CE AA' 30 3 ，在 Rt △ ABC 中，求得 DC=3AC=203 ，然后根据三角函数的定义3即可得到结论．【详解】解：（ 1）由题意得： ∠ ABD=30°， ∠ADC=60°，在 Rt △ ABC 中， AC=60m ，60AC= 1 =120（ m ） AB=sin302（2）过 A '作 A ' EBC 交 BC 的延长线于 E ，连接 A' D ，则 A' E AC 60 ， CE AA'30 3 ，在 Rt △ ABC 中， AC=60m ， ∠ ADC=60°，DC=3AC=20 33DE=50 3tan ∠ A A ' D= tan ∠ A' DC=A ' E=602 3=DE50 3 5答：从无人机 A ' 上看目标 D 的俯角的正切值是23 ．5【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.2．如图，海上观察哨所 B 位于观察哨所 A 正北方向，距离为 25 海里．在某时刻，哨所 A 与哨所 B 同时发现一走私船，其位置 C 位于哨所 A 北偏东 53°的方向上，位于哨所 B 南偏东 37°的方向上．（ 1）求观察哨所 A 与走私船所在的位置 C 的距离；（ 2）若观察哨所 A 发现走私船从 C 处以 16 海里 / 小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东 76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据： sin37 °＝ cos53°≈，cos37 ＝sin53 °≈去， tan37 °≈2，tan76 °≈）【答案】（ 1）观察哨所A 与走私船所在的位置 C 的距离为 15 海里；（ 2）当缉私艇以每小时6 17 海里的速度行驶时，恰好在 D 处成功拦截 .【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出 ∠ ACB ＝90°，再解 Rt △ ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；（2）过点 C 作 CM ⊥AB 于点 M ，易知， D 、 C 、 M 在一条直线上．解Rt △ AMC ，求出CM 、 AM ．解 Rt △ AMD 中，求出 DM 、 AD ，得出 CD ．设缉私艇的速度为 x 海里 / 小时，根据走私船行驶 CD 所用的时间等于缉私艇行驶 AD 所用的时间列出方程，解方程即可．【详解】（1）在 △ ABC 中， ACB 180 B BAC 180 37 53 90 . 在 RtVABC 中， sin BAC，所以 ACAB sin 37 253 15 （海里） .AB5答：观察哨所 A 与走私船所在的位置C 的距离为 15 海里 .（2）过点 C 作 CM AB ，垂足为 M ，由题意易知， D 、 C 、 M 在一条直线上 . 在 RtVACM 中， CMAC sin CAM15 412 ，5AM AC cos CAM39 .155在 Rt △ ADM 中， tan DAMMD，AM所以 MD AM tan7636.所以 ADAM2MD2923629 17， CD MDMC 24 .设缉私艇的速度为 v 海里 / 小时，则有24 9 17，解得 v6 17 .16v经检验， v6 17 是原方程的解 .答：当缉私艇以每小时 6 17 海里的速度行驶时，恰好在 D 处成功拦截 .【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．3．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏时，感觉最舒适（如图 1），侧面示意图为图OB 与底板 OA 所在水平线的夹角为 120 ° 2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架 ACO ＇后，电脑转到AO ＇ B ＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm ，O ＇ C ⊥ OA 于点 C ， O ＇ C=12cm ．（ 1）求 ∠ CAO ＇的度数．（ 2）显示屏的顶部 B ＇比原来升高了多少？（ 3）如图 4，垫入散热架后，要使显示屏O ＇B ＇与水平线的夹角仍保持 120°，则显示屏O ＇ B ＇应绕点 O ＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（ 1 ） ∠ CAO ′=30° 2 36 ﹣ 12 ） cm ；（ 3）显示屏 O ′B ′ O ′ ；（）（应绕点按顺时针方向旋转 30°．【解析】试题分析：（ 1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点 B 作 BD⊥ AO 交 AO 的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠ BOD=24×=12 ，由 C、 O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏 O′B应′绕点 O′按顺时针方向旋转30°，求得∠ EO′B′=∠ FO′A=30，°既是显示屏O′应B′绕点 O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（ 1）∵ O′C⊥ OA 于 C， OA=OB=24cm，∴sin∠ CAO′=，∴∠ CAO′ =30；°（2）过点 B 作 BD⊥ AO 交 AO 的延长线于D，∵sin∠ BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠ AOB=120 ，°∴∠BOD=60 ，°∴ BD=OBsin∠ BOD=24 ×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′ =30，°∴∠ AO′ C=60，∵°∠ AO′ B′ =120，∴∠°AO′ B∠′+AO′ C=180，°∴O′ B′ ﹣+OBD=24+12′C﹣ 12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣ 12）cm；（3）显示屏O′B应′绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠ EO′ F=120，°∴∠ FO′ ∠A=CAO′ =30，°∵∠ AO′ B′ =120，°∴∠EO′ B∠′=FO′ A=30，°∴显示屏 O′应B′绕点 O′按顺时针方向旋转 30 °．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．4．在正方形ABCD中，对角线AC， BD 交于点 O，点 P 在线段 BC上（不含点B），1∠BPE=∠ ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥ PE，垂足为F，交 AC 于点 G．2（1）当点 P 与点 C 重合时（如图1）．求证：△ BOG≌ △ POE；（2）通过观察、测量、猜想：BF，并结合图 2 证明你的猜想；=PE（3）把正方形 ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ ACB=α，求BF的PE值．（用含α的式子表示）【答案】（ 1）证明见解析（2）BF1 （ 3）BF 1tan PE 2 PE 2【解析】解：（ 1）证明：∵四边形 ABCD是正方形， P 与 C 重合，∴O B="OP" ，∠ BOC=∠ BOG=90 ．°∵P F⊥ BG ，∠ PFB=90，°∴∠GBO=90 —°∠BGO，∠ EPO=90 —°∠BGO．∴∠ GBO=∠ EPO ．∴ △ BOG≌ △ POE（ AAS）．（2）BF1 ．证明如下：PE 2如图，过P 作 PM//AC 交 BG 于 M ，交 BO 于 N，∴∠ PNE=∠ BOC=900，∠ BPN=∠ OCB．∵∠ OBC=∠ OCB =450，∴ ∠ NBP=∠NPB．∴NB=NP．00∵∠ MBN=90 —∠BMN ，∠ NPE=90 —∠ BMN ，∴ ∠MBN=∠ NPE．1∵∠ BPE=∠ ACB，∠ BPN=∠ ACB，∴ ∠ BPF=∠ MPF．2∵P F⊥ BM，∴ ∠ BFP=∠ MFP=900．又∵ PF=PF，∴ △BPF≌ △ MPF（ ASA）．∴ BF="MF" ，即 BF= 1BM．21 BF 1 ∴BF= PE ，即PE．22（ 3）如图，过 P 作 PM//AC 交 BG 于点 M ，交 BO 于点 N ，∴∠ BPN=∠ ACB= α， ∠ PNE=∠BOC=900．由（ 2）同理可得 BF=1BM ， ∠ MBN=∠EPN ．2∵∠ BNM=∠ PNE=900， ∴△ BMN ∽ △ PEN ．BM BN∴．PEPNBN BM，即2BF 在 Rt △ BNP 中， tan =， ∴= tan= tan ．PNPEPE∴BF = 1tan ．PE 2（ 1）由正方形的性质可由 AAS 证得 △ BOG ≌ △ POE ．（ 2）过 P 作 PM//AC 交 BG 于 M ，交 BO 于 N ，通过 ASA 证明 △ BMN ≌ △ PEN 得到BF 1BM=PE ，通过 ASA 证明 △ BPF ≌ △ MPF 得到 BF=MF ，即可得出的结论．PE 2（ 3）过 P 作 PM//AC 交 BG 于点 M ，交 BO 于点 N ，同（ 2）证得 BF= 1BM ，2∠MBN=∠ EPN ，从而可证得 △BMN ∽△ PEN ，由BM BN和 Rt △ BNP 中 tan =BN即PEPNPN可求得BF = 1tan ．PE 25．如图，平台 AB 高为 12m ，在角为 30°，求楼房 CD 的高度（B 处测得楼房 3 ＝ 1． 7）．CD 顶部点D 的仰角为45°，底部点C 的俯【答案】 32．4 米．【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．试题解析：如图，过点 B 作 BE⊥CD 于点 E，根据题意，∠ DBE=45°，∠ CBE=30°．∵AB⊥ AC， CD⊥ AC，∴四边形 ABEC为矩形，∴C E=AB=12m，在Rt△ CBE中， cot ∠ CBE=BE，CE∴BE=CE?cot30 ° =12 ×，3 =12 3在Rt△ BDE中，由∠DBE=45°，得 DE=BE=12 3．∴CD=CE+DE=12（ 3 +1）≈32.．4答：楼房CD 的高度约为32.4m ．考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．6．如图（ 1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣ 6），点 B（6， 0）． Rt△ CDE中，∠C DE=90 ，°CD=4， DE=4 ，直角边 CD 在 y 轴上，且点 C 与点 A 重合． Rt△CDE沿 y 轴正方向平行移动，当点 C 运动到点 O 时停止运动．解答下列问题：（1）如图（ 2），当 Rt△ CDE运动到点 D 与点 O 重合时，设 CE交 AB 于点 M，求∠ BME的度数．（2）如图（ 3），在 Rt△ CDE的运动过程中，当CE经过点 B 时，求 BC的长．（3）在 Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△ OAB 与△ CDE的重叠部分的面积为S 与 h 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值．S，请写出【答案】（ 1）∠ BME=15°；（2BC=4；（3） h≤2时， S=﹣h2+4h+8，当h≥2时， S=18﹣ 3h．【解析】试题分析：（ 1）如图 2，由对顶角的定义知，∠ BME=∠ CMA，要求∠ BME 的度数，需先求出∠ CMA 的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图 3，由已知可知∠ OBC=∠ DEC=30°，又 OB=6，通过解直角△ BOC就可求出 BC 的长度；（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图 4，作 MN ⊥y 轴交 y 轴于点 N，作 MF⊥ DE 交 DE于点F，S=S△EDC﹣ S△EFM；② 当 h≥2时，如图 3，S=S△OBC．试题解析：解：（ 1）如图 2，∵在平面直角坐标系中，点A（ 0，﹣ 6），点B（ 6， 0）．∴OA=OB，∴∠ OAB=45 ，°∵∠ CDE=90 ，°CD=4，DE=4 ，∴∠ OCE=60 ，°∴∠ CMA=∠ OCE﹣∠ OAB=60 ﹣°45 °=15 ，°∴∠ BME=∠CMA=15 °；如图 3，∵∠ CDE=90 ，°CD=4，DE=4 ∴∠ OBC=∠ DEC=30 ，°∵OB=6，∴BC=4；（3）①h≤2时，如图4，作，MN⊥ y 轴交y 轴于点N，作MF⊥ DE 交DE 于点F，∵C D=4， DE=4 ， AC=h，AN=NM ，∴C N=4﹣ FM， AN=MN=4+h ﹣FM，∵△ CMN∽ △ CED，∴，∴，解得 FM=4﹣，△EDC S△ EFM=× 4×4﹣（4 4 h × 4﹣= h 2∴S=S ﹣﹣）（）﹣+4h+8，②如图 3，当 h≥2时，S=S△OBC=OC× OB= （ 6﹣h ）× 6=18﹣ 3h．考点： 1、三角形的外角定理；2、相似； 3、解直角三角形7．如图，在矩形 ABCD中， AB＝ 6cm ，AD＝ 8cm，连接 BD，将△ABD 绕 B 点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（ B′与 B 重合），且点 D′刚好落在 BC 的延长上， A′D′与 CD相交于点 E．（1）求矩形 ABCD与△ A′B′D′重叠部分（如图 1 中阴影部分 A′B′CE）的面积；（2）将△ A′B′D′以每秒 2cm 的速度沿直线 BC 向右平移，如图 2 ，当 B′移动到 C 点时停止移动．设矩形ABCD与△ A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出 y 关于 x的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；（3）在（ 2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△ AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（ 1）45；（ 2）详见解析；（ 3）使得 △ AA ′B ′成为等腰三角形的 x 的值有： 02 秒、3秒、66 9 ． 25【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝ BD ＝ 10， CD ′＝ B ′D ′﹣ BC ＝ 2，由 tan ∠ B ′D ′A ′＝A 'B ' CE可求出 CE ，即可计算 △ CED ′的面积， S ABCE ＝ S ABD ′﹣ S CED ′；A ' D ' CD '（2）分类讨论，当0≤x ≤11时和当11＜ x ≤4时，分别列出函数表达式；55（ 3）分类讨论，当 AB ′＝ A ′B ′时；当 AA ′＝ A ′B ′时；当 AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：（ 1） ∵ AB ＝ 6cm ， AD ＝ 8cm ， ∴BD ＝10cm ，根据旋转的性质可知A 'B ' CE∵ t an ∠ B ′D ′A ′＝A ' D ' CD '6 CE∴28∴CE ＝ 3 cm ，2∴S ABCE ＝ S ABD ′﹣ S CED ′＝ 8 6232 45 （ cm 2）；22 2（ 2） ① 当 0≤x ＜11时， CD ′＝ 2x+2， CE ＝ 3（ x+1），52△CD ′E323 ，22∴y ＝1 3 23 3 2 45 × 6×8﹣x ﹣ 3x ﹣＝﹣x ﹣ 3x+；22222② 当11 ≤x ≤4时， B ′C ＝ 8﹣ 2x ， CE ＝ 4（ 8﹣2x ） 53B ′D ′＝BD ＝10cm ， CD ′＝B ′D ′﹣ BC ＝ 2cm ，∴ y14 8 2x 2 ＝ 8 x 2﹣64x+ 128 ．2 33 3 3（3） ① 如图 1，当 AB ′＝ A ′B ′时， x ＝0 秒；② 如图 2，当 AA ′＝ A ′B ′时， A ′N ＝BM ＝ BB ′+B ′M ＝ 2x+18， A ′M ＝ NB ＝24，55∵AN 2+A ′N 2＝ 36，∴（ 6﹣24） 2+（ 2x+18） 2＝36，55解得： x ＝669， x ＝6 6 9（舍去）；55③ 如图 2，当 AB ′＝ AA ′时， A ′N ＝ BM ＝ BB ′+B ′M ＝2x+18， A ′M ＝NB ＝24，5 5∵AB 22＝ AN 2+A ′N 2+BB ′∴ 36+4x 2＝（ 6﹣24） 2+（ 2x+18） 255解得： x ＝3．2综上所述，使得 △ AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有： 0 秒、3秒、66 9 ．25【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，直线 DE 交 x 轴于点 E （30， 0），交 y 轴于点 D （0，140），直线 AB ： y ＝ x+5 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，交直线DE 于点 P ，过点 E 作3EF ⊥ x 轴交直线 AB 于点 F ，以 EF 为一边向右作正方形 EFGH ．（1）求边 EF 的长；（2）将正方形 EFGH 沿射线 FB 的方向以每秒10 个单位的速度匀速平移，得到正方形E 1F 1G 1H 1，在平移过程中边 F 1G 1 始终与 y 轴垂直，设平移的时间为 t 秒（ t ＞0）．① 当点 F 1 移动到点 B 时，求 t 的值；② 当 G 1，H 1 两点中有一点移动到直线DE 上时，请直接写出此时正方形E 1F 1G 1H 1 与 △ APE重叠部分的面积．【答案】（ 1） EF ＝ 15；（ 2） ①10 ； ②120 ；【解析】【分析】（1）根据已知点 E （ 30， 0），点 D （0 ，40），求出直线 DE 的直线解析式 y=-4x+40，可3求出 P 点坐标，进而求出 F 点坐标即可；（2） ① 易求 B （ 0 ， 5），当点 F 1 移动到点 B 时， t=10 10 ÷ 10 =10；②F 点移动到 F'的距离是 10 t ， F 垂直 x 轴方向移动的距离是 t ，当点 H 运动到直线 DE 上时，在 Rt △ F'NF 中，NF = 1 ， EM=NG'=15-F'N=15-3t ，在 Rt △ DMH'中，MH4 ，NF 3EM 31 45 1023 ；当点 G 运动到直线 PK = 1t=4 ， S= × (12+) × 11=DE 上时，在 Rt △ F'PK 中，，248F K 3PK=t-3， F'K=3t-9，在 Rt △PKG'中，PK＝t 3 ＝ 4， t=7，S=15×（ 15-7） =120.KG15 3t 9 3【详解】（ 1）设直线 DE 的直线解析式 y ＝ kx+b ，将点 E （ 30， 0），点 D （ 0， 40），30k b 0∴，b 40k4∴3 ，b 404 ∴ y ＝﹣ x+40，3直线 AB 与直线 DE 的交点 P （ 21， 12），由题意知 F （ 30，15），∴ E F ＝ 15；（ 2） ① 易求 B （ 0， 5），∴BF ＝ 10 10 ，∴当点 F 1 移动到点 B 时， t ＝ 10 10 10 ＝ 10；② 当点 H 运动到直线 DE 上时，F 点移动到 F'的距离是 10 t ，在 Rt △ F'NF 中，NF = 1，NF3∴ FN ＝ t ， F'N ＝ 3t ， ∵MH' ＝ FN ＝ t ，在 Rt △ DMH' 中，MH 4，EM3∴t4，15 3t3∴ t ＝4，∴EM ＝3， MH' ＝ 4，∴S ＝ 1 (12 45)11 1023 ；2 48当点 G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'的距离是10 t，∵P F＝ 3 10∴PF'＝10，t﹣ 310 ，在Rt△ F'PK中，PK 1 ，F K 3∴PK＝ t﹣3， F'K＝ 3t﹣ 9，PK t 3＝4在 Rt△ PKG'中，＝3t ，KG 15 9 3∴t＝7，∴S＝15 ×（ 15﹣ 7）＝ 120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．9．如图 1，以点 M（－ 1， 0）为圆心的圆与y 轴、 x 轴分别交于点A、 B、 C、D，直线 y＝－x－与⊙M 相切于点 H，交 x 轴于点 E，交 y 轴于点 F．（1）请直接写出 OE、⊙M 的半径 r、CH 的长；（2）如图 2，弦 HQ 交 x 轴于点 P，且 DP: PH＝3 :2，求 cos∠ QHC 的值；（3）如图 3，点 K 为线段 EC上一动点（不与 E、 C 重合），连接 BK 交⊙M 于点 T，弦 AT交 x 轴于点 N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝ a，如果存在，请求出 a 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（ 1） OE=5， r=2， CH=2（ 2）；（3）a=4【解析】【分析】5；连接（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得 E 的坐标，即可得到OE的长为MH ，根据△ EMH 与△ EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠ EHM=90°，可知CH 是 RT△ EHM 斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH 的长；（2）连接 DQ、 CQ．根据相似三角形的判定得到△ CHP∽ △ QPD，从而求得DQ 的长，在直角三角形CDQ 中，即可求得∠ D 的余弦值，即为cos∠ QHC的值；（3）连接 AK， AM，延长 AM，与圆交于点 G，连接 TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90 ，°∠3=∠ 4，故∠ AKC=∠ MAN ，再由△ AMK∽ △ NMA 即可得出结论．【详解】（1） OE=5， r=2， CH=2（2）如图 1，连接 QC、 QD，则∠ CQD =90°，∠ QHC =∠ QDC，易知△ CHP∽ △ DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，；（3）如图 2，连接 AK， AM，延长 AM，与圆交于点 G，连接 TG，则由于，，故，；而，故在和中，；故△ AMK∽ △NMA;即：故存在常数，始终满足常数 a="4"解法二：连结BM，证明∽得10．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东 36.5 方向上，距离 5 千米处是村庄M，在点A北偏东 53.5 方向上，距离 10 千米处是村庄 N ；要在公路 AB 旁修建一个土特产收购站 P (取点 P 在AB上)，使得M，N两村庄到 P 站的距离之和最短，请在图中作出P 的位置（不写作法）并计算：（1）M，N两村庄之间的距离；（2）P到M、N距离之和的最小值.（参考数据： sin36.5 ＝°0.6， cos36.5 °＝ 0.8， tan36.5 °＝0.75 计算结果保留根号 .）【答案】 (1) M， N 两村庄之间的距离为29 千米;(2)村庄M、N到P站的最短距离和是5 5 千米．【解析】【分析】（1）作 N 关于 AB 的对称点 N'与 AB 交于 E，连结 MN’与 AB 交于 P，则 P 为土特产收购站的位置．求出 DN， DM ，利用勾股定理即可解决问题．（2）由题意可知，M、 N 到 AB 上点 P 的距离之和最短长度就是MN′的长．【详解】解：作 N 关于 AB 的对称点 N'与 AB 交于 E，连结 MN ’与 AB 交于 P，则 P 为土特产收购站的位置．（1）在 Rt△ANE 中， AN=10，∠NAB=36.5 °∴NE=AN?sin∠ NAB=10?sin36.5 ，°=6AE=AN?cos∠ NAB=10?cos36.5 °，=8过M 作 MC⊥ AB 于点C，在 Rt △ MAC 中， AM=5， ∠ MAB=53.5 °∴AC=MA ?sin ∠AMB=MA?sin36.5 ，° =3MC=MA ?cos ∠AMC=MA ?cos36.5 °，=4 过点 M 作 MD ⊥ NE 于点 D ，在 Rt △ MND 中， MD=AE-AC=5， ND=NE-MC=2，22 2= 29 ，∴MN = 5即 M ，N 两村庄之间的距离为 29 千米．（2）由题意可知， M 、 N 到 AB 上点 P 的距离之和最短长度就是 MN ′的长． DN ′ =10， MD=5，在 Rt △ MDN ′中，由勾股定理，得 MN ′=52102 =5 5 （千米）∴村庄 M 、 N 到 P 站的最短距离和是 5 5 千米．【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11．如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C ＝ 90°， ∠ A ＝ 30°， AB ＝4，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点B 运动．过点 P 作 PD ⊥ AC 于点 D(点 P 不与点 A ，B 重合 )，作∠ DPQ ＝ 60°，边 PQ 交射线 DC 于点 Q ．设点 P 的运动时间为 t 秒．（ 1）用含 t 的代数式表示线段 DC 的长： _________________ ；（ 2）当 t =__________时，点 Q 与点 C 重合时；（ 3）当线段 PQ 的垂直平分线经过 △ ABC 一边中点时，求出 t 的值．【答案】（ 1）；（ 2） 1；（ 3） t 的值为或或 .【解析】【分析】（ 1）先求出 AC ，用三角函数求出 AD ，即可得出结论；（ 2）利用 AQ=AC ，即可得出结论；（ 3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【详解】（ 1） ∵ AP= , AB=4,∠ A ＝30°∴ A C=, AD=∴CD=；（ 2） AQ=2AD=当AQ=AC时， Q 与 C 重合即=∴t=1 ；（3）①如图，当PQ 的垂直平分线过AB 的中点 F 时，∴∠ PGF＝ 90 °， PG＝ PQ＝AP＝ t， AF＝ AB＝ 2.∵∠ A＝∠ AQP＝ 30 °，∴ ∠ FPG＝ 60 °，∴ ∠ PFG＝30 °，∴ PF＝2PG＝ 2t，∴AP＋PF＝2t ＋2t ＝2 ，∴ t ＝②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点 N 时，∴∠ QMN＝ 90 °， AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.在Rt△ NMQ 中，∵AN＋NQ＝ AQ，∴③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点 F 时，∴B F＝ BC＝1， PE＝ PQ＝ t，∠ H＝ 30 °.∵∠ ABC＝ 60 °，∴ ∠ BFH＝ 30 °＝∠ H，∴ BH＝ BF＝ 1.在Rt△ PEH中， PH＝ 2PE＝2t.∵AH＝ AP＋ PH＝ AB＋ BH，∴ 2t＋ 2t＝ 5，∴ t＝ .即当线段PQ 的垂直平分线经过△ ABC一边中点时，t 的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．12．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：,，）【答案】旗杆的高度约为.【解析】【分析】在 Rt△ BDC中，根据tan∠ BDC= 求出BC，接着在Rt△ ADC中，根据tan∠ ADC= = 即可求出AB 的长度【详解】解：∵在 Rt△ BDC 中， tan∠ BDC==1，∴ BC=CD= 40m 在Rt△ ADC中， tan∠ADC= =∴tan50 =°=1.19∴AB7.6m答：旗杆AB 的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用13．已知抛物线y＝﹣1x2﹣2x+2 与x 轴交于点A， B 两点，交y 轴于 C 点，抛物线的对6 3称轴与x 轴交于H 点，分别以OC、 OA 为边作矩形AECO．(1)求直线AC 的解析式；(2)如图， P 为直线 AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点面积最大时，求|PM ﹣ OM| 的值．M ，当四边形AOCP(3)如图，将△ AOC 沿直线 AC 翻折得△ ACD，再将△ACD 沿着直线AC 平移得△ A'C ′．D'使得点 A′、 C'在直线 AC 上，是否存在这样的点D′，使得△ A′ED为′直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】 (1) y＝1x+2； (2) 点 M 坐标为（﹣ 2，5）时，四边形AOCP的面积最大，此时3 3| PM﹣ OM| 有最大值61 ； (3)存在， D′坐标为：（ 0， 4）或（﹣ 6， 2）或（ 3 ，19 ）．6 5 5 【解析】【分析】（1）令 x＝0，则 y＝2 ，令 y＝ 0，则 x＝ 2 或﹣ 6，求出点 A、B、 C 坐标，即可求解；（2）连接 OP交对称轴于点 M，此时， | PM﹣ OM| 有最大值，即可求解；（3）存在；分① A′D′⊥ A′E；② A′D′⊥ ED′；③ ED′⊥ A′E 三种情况利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）令 x＝0，则 y＝2 ，令 y＝ 0，则 x＝ 2 或﹣ 6，∴ A（﹣ 6，0）、 B（ 2， 0）、 C（ 0，2），函数对称轴为： x＝﹣ 2，顶点坐标为（﹣ 2，8）， C 点坐标为（ 0， 2），则过点 C 3的直线表达式为：y＝kx+2，将点 A 坐标代入上式，解得： k 1，则：直线 AC 的表达式3为： y 1x+2；3（2）如图，过点P 作 x 轴的垂线交 AC 于点 H．四边形 AOCP面积＝△ AOC的面积 +△ ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ ACP的面积最大即可，设点1m22m+2），则点 G 坐标为（ m，1P 坐标为（ m，3m+2），6 3△ACP 1 1 1 m 221 1 m 2﹣ 3m，当 m＝﹣ 3 时，上式S PG?OA ?（m+2 m﹣ 2） ?622633 2取得最大值，则点 P 坐标为（﹣ 3 ， 5）．连接 OP 交对称轴于点 M ，此时， | PM ﹣ OM| 有2 最大值，直线 OP 的表达式为： y5 x ，当 x ＝﹣ 2 时， y5 6 ，即：点 M 坐标为（﹣ 2，35）， | PM ﹣ OM| 的最大值为：( 3 2)2(55)222( 5)2= 61 ． 32 336（3）存在．∵AE ＝ CD ， ∠AEC ＝ ∠ ADC ＝90 °， ∠EMA ＝∠ DMC ，∴ △ EAM ≌ △DCM （ AAS ）， ∴EM ＝ DM ， AM ＝ MC ，设： EM ＝ a ，则： MC ＝ 6﹣ a ．在 Rt △DCM 中，由勾股定理得： MC 2＝DC 2+MD 2，即：（ 6﹣ a ） 2＝ 22+a 2，解得： a810，则： MC，过点 D 作 x 轴的垂线交 x33轴于点 N ，交 EC 于点 H ．在 Rt △ DMC 中，1DH?MC 1 MD?DC ，即： DH 108 2，223 38， HCDC 2DH 26 ，即：点 D 的坐标为（6 18则： DH5 ，）；55 5设： △ ACD 沿着直线 AC 平移了 m 个单位，则：点 A ′坐标（﹣ 3m m ），点 D ′坐标610，10为（6 3m 18 m ），而点 E 坐标为（﹣ 6，2），则5，1010 5A' D '2= ( 6 6 )2( 18 )2 =36，A 'E 2= (3m)2( m 2) 2 = m 2 4m 4 ，5 5 10 10 10 2243m 2 8 m 22 32 m 128 △ A ′ED ′= () () = m．若ED '10 105为直角三角形，分三种情5105况讨论：① 当 A ' D '2+ A ' E 2 = ED '2时， 36+ m 24m4 = m 2 32m 128 ，解得： m=210 ，1010 55此时 D ′（63m 18m 0， 4）；510 ，）为（510② 当 A ' D '2 + ED '2 = A ' E 2 时， 36+ m 232m 128 =m 24m4 ，解得：10 5 10m= 8 106 3m 18 m ，此时 D′（10，105 5 5）为（－ 6，2）；③当 A' E 2 + ED '2 = A' D '2时，m24m4+m232m 12810 10 5=36，解得： m=8 105或 m= 10 6 3m 18 m6， 2）或（-319 ）．，此时 D′（10，）为（－，5 5 5 10 5 5综上所述： D 坐标为：（ 0， 4）或（﹣ 6，2）或（-3，19 ）．5 5【点睛】本题考查了二次函数知识综合运用，涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识，其中（ 3）中图形是本题难点，其核心是确定平移后A′、D′的坐标，本题难度较大．14．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点，．（1）填空：点的坐标为，抛物线的解析式为；（2）当点在线段上运动时（不与点，重合），① 当为何值时，线段最大值，并求出的最大值；② 求出使为直角三角形时的值；（3）若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，请直接写出此时由点，，，构成的四边形的面积．【答案】（ 1），；（2）①当时，有最大值是3；②使为直角三角形时的值为 3 或；（3）点，，，构成的四边形的面积为： 6 或或.【解析】【分析】（1）把点 A 坐标代入直线表达式y＝，求出 a＝ - 3，把点 A、B 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①设：点 P（ m，）， N（ m，）求出 PN 值的表达式，即可求解；②分∠ BNP＝ 90°、∠ NBP＝ 90°、∠BPN＝ 90°三种情况，求解即可；（3）若抛物线上有且只有三个点N 到直线 AB 的距离是 h ，则只能出现：在 AB 直线下方抛物线与过点N 的直线与抛物线有一个交点N，在直线 AB 上方的交点有两个，分别求解即可．【详解】解：（ 1）把点坐标代入直线表达式，解得：，则：直线表达式为：，令，则：，则点坐标为，将点的坐标代入二次函数表达式得：，把点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故：抛物线的解析式为：，故：答案为：，；（2）① ∵在线段上，且轴，∴点，，∴，∵，∴抛物线开口向下，∴当时，有最大值是 3 ，② 当时，点的纵坐标为 -3，把代入抛物线的表达式得：，解得：或 0（舍去），∴；当时，∵，两直线垂直，其值相乘为 -1，设：直线的表达式为：，把点的坐标代入上式，解得：，则：直线的表达式为：，将上式与抛物线的表达式联立并解得：或 0（舍去），当时，不合题意舍去，故：使为直角三角形时的值为3或；（3）∵，，在中，，则：，，∵轴，∴，若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，则只能出现：在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线上方的交点有两个 .当过点的直线与抛物线有一个交点，点的坐标为，设：点坐标为：，则：，过点作的平行线，则点所在的直线表达式为：，将点坐标代入，解得：过点直线表达式为：，将拋物线的表达式与上式联立并整理得：，，将代入上式并整理得：，解得：，则点的坐标为，则：点坐标为，则：，∵，，∴四边形为平行四边形，则点到直线的距离等于点到直线的距离，即：过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：、，直线的表达式为：，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：则点作，解得：、的横坐标分别为交直线于点，，，，则，作轴，交轴于点，则：，，，则：，同理：，故：点，，，构成的四边形的面积为： 6 或或.【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（ 3）中确定点N 的位置是本题的难点，核心是通过△ ＝0，确定图中N 点的坐标．15．如图，正方形ABCD的边长为2 +1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、 BD 于 E、 F，（1）求证：△ ABF∽ △ ACE；（2）求 tan∠BAE 的值；（3）在线段 AC 上找一点 P，使得 PE+PF最小，求出最小值．【答案】（ 1）证明见解析；（2） tan∠ EAB＝2﹣ 1；（ 3） PE+PF的最小值为2 2．【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图 1 中，作 EH⊥ AC 于 H．首先证明 BE=EH=HC，设 BE=EH=HC=x，构建方程求出 x 即可解决问题；（3）如图 2 中，作点 F 关于直线AC 的对称点H，连接 EH 交 AC 于点 P，连接 PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH 的长；【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形，∴∠ ACE＝∠ ABF＝∠ CAB＝ 45 °，∵AE 平分∠ CAB，∴∠ EAC＝∠ BAF＝ 22.5 ，°∴△ ABF∽ △ ACE．（2）解：如图 1 中，作 EH⊥ AC 于 H．∵EA 平分∠CAB，EH⊥ AC， EB⊥ AB，∴BE＝EB，∵∠ HCE＝ 45 °，∠ CHE＝ 90 °，∴∠ HCE＝∠HEC＝ 45 °，∴HC＝EH，∴BE＝EH＝ HC，设 BE＝HE＝ HC＝ x，则 EC＝2 x，∵BC＝ 2 +1，∴x+x＝2 +1，∴x＝ 1，在Rt△ ABE中，∵ ∠ABE＝ 90°，∴tan∠ EAB＝BE＝ 1＝2 ﹣1．AB 2 1（3）如图 2 中，作点 F 关于直线 AC 的对称点 H，连接 EH 交 AC 于点 P，连接 PF，此时PF+PE的值最小．作 EM⊥ BD 于 M ． BM＝EM＝ 2 ，2∵AC＝AB 2BC2＝2+2，∴OA＝OC＝ OB＝1AC＝22 ，2 2∴OH＝OF＝ OA?tan∠ OAF＝ OA?tan∠ EAB＝2 2（2﹣1）＝ 2 ，2 2∴HM ＝OH+OM＝22 ，22 2在 Rt△ EHM 中， EH＝EM 2 HM 2＝ 2 2 2 ＝ 2 2 ．．2 2∴PE+PF的最小值为2 2 ．．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．。

中考数学专题训练第11讲勾股定理与锐角三角函数1(解析版)

勾股定理与锐角三角函数（压轴题组）1．（2021·广东佛山·九年级期中）如图1.有一张矩形纸条ABCD .边AB 、BC 的长分别是方程27100x x -+=的两个根()AB BC >.E 为CD 上一点.1CE =．（1）连接AE .BE .试说明90AEB =︒∠．（2）如图2.M 为边AB 上一个动点.将四边形BCEM 沿ME 折叠.使点B .C 分别落在点B ′.C '上.边MB '与边CD 交于点N ．①如图3.当点M 与点A 重合时.求N 到ME 的距离．②在点M 从点A 运动到点B 的过程中.求点N 相应运动的路径长（路程）．【答案】（1）见解析.（2）①52.②352-【详解】解：（1）证明：如图1.解方程27100x x -+=得5x =或2x =.5AB ∴=.2BC =.四边形ABCD 是矩形.90C D ∴∠=∠=︒.2AD BC ==.5CD AB ==.514DE CD CE ∴=-=-=.222222420AE AD DE ∴=+=+=.22222215BE BC CE =+=+=.222AE BE AB ∴+=.ABE ∴∆是直角三角形.90AEB =︒∠.（2）解：①四边形ABCD 是矩形.//AB CD ∴.NEM BAE ∴∠=∠.由折叠的性质得：BAE B AE '∠=∠.NEA B AE '∴∠=∠.AN EN ∴=.设AN EN x ==.则4DN DE EN x =-=-.在Rt ADN ∆中.由勾股定理得：222AD DN AN +=. 即2222(4)x x +-=. 解得：52x =. 52EN ∴=. 在Rt ADE ∆中.由勾股定理得：22222425AE AD DE =+=+=. 设N 到ME 的距离为h . 则1122ANE S AE h EN AD ∆=⋅=⨯.5252225EN AD h AE ⨯⨯∴===. 即N 到ME 的距离为52.②当M 与点A 重合时.如图3所示：此时52EN =. 当MB AB '⊥时.如图4所示.此时2EN AD ==.当B '在CD 上.N 与B '重合.如图5所示：此时2222125EN C E B C ''=+=+=.∴点N 相应运动的路径长为：53(1)(52)522-+-=-．2．（2021·上海市奉贤区育秀实验学校九年级期中）如图.在Rt △ABC 中.∠BAC ＝90°.AB ＝3.AC ＝4.AD 是BC 边上的高.点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点.且∠EDF ＝90°．（1）（图1）求DE ：DF 的值.（2）（图2）连结EF .射线DF 与射线BA 相交于点G .当△EFG 是等腰三角形时.求CF 的长度.（3）（图3）连结EF .设点B 与点E 间的距离为x .△DEF 的面积为y .求y 关于x 的函数解析式.并写出x 的取值范围．【答案】（1）34.（2）165.（3）()2236540332525y x x x =-+≤≤【详解】解：（1）∵在Rt △ABC 中.∠BAC ＝90°.AB ＝3.AC ＝4. ∴225BC AB AC =+=. ∵AD 是BC 边上的高.∴11=22ABC S AB AC AD BC ⋅=⋅△.∠ADC =∠ADB =90°.∴125AB AC AD BC ⋅==. ∴22165CD AC AD =-. ∵∠EDF =∠ADC =90°.∴∠EDF -∠ADF =∠ADC -∠ADF 即∠ADE =∠CDF . ∵∠B +∠C =180°-∠BAC =90°.∠B +∠EAD =180°-∠ADB =90°.∴∠EAD =∠C . ∴△EAD ∽△FCD .∴12351645DE AD DF CD ===. （2）如图所示.∵∠EFG =∠FDE +∠FED ＞90°. ∴当△EFG 是等腰三角形的时候.只存在EF =GF 这种情况. ∵EF =GF .F A ⊥EG . ∴A 为EG 的中点.∵在直角三角形EDG 中.A 为EG 的中点.∴11225AE AD AG EG ====.∵△AED ∽△CFD . ∴34AE AD CF CD ==. ∴41635CF AE ==.（3）∵BE x =.AB =3. ∴3AE AB BE x =-=-. ∵△AED ∽△CFD . ∴34AE AD DE CF CD DF ===. ∴()44333CF AE x ==-.34DE DF =. ∴()444333AF AC CF x x =-=--=.在直角三角形AEF 中.222EF AE AF =+.∴()222242536939EF x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭在直角三角形DEF 中.222EF DE DF =+.∴22234EF DF DF ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴45DF EF =. ∴35DE EF =.∴()2216236540322532525DEF S DE DF EF x x x =⋅==-+≤≤△．∴()2236540332525y x x x =-+≤≤3．（2021·北京师范大学实验华夏女子中学九年级期中）在平面直角坐标系xoy 中.⊙O 的半径为1.给出如下定义：记线段AB 的中点为M .当点M 不在⊙O 上时.平移线段AB .使点M 落在⊙O 上.得到线段''A B （''A B 分别为点,A B 的对应点）．线段'A A 长度的最小值称为线段AB 到O 的“平移距离”．（1）已知点A 的坐标为（－1.0）.点B 在x 轴上．①若点B 与原点O 重合.则线段AB 到⊙O 的“平移距离”为________. ②若线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2.则点B 的坐标为________.（2）若点,A B 都在直线334y x =-+上.AB ＝2.记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d .求1d 的最小值.（3）若点A 的坐标为（－4.－2）.AB ＝2.记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d .直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）①12.②(-5.0)或(7.0).（2）75.（3）225225d -≤≤ 【详解】（1）①当B 与原点O 重合时.AB 中点为1(,0)2-.移动最小距离为向左平移12到⊙O 上．故答案为：12．②当“平移距离”为2时.如图：有12,M M 两种情况：①当1M 为3,0时.12AM =.AB =4.B ∴ 为()5,0-．②当2M 为3,0时.24AM =.AB =8.B 为()7,0．故答案为：()5,0- 或()7,0．（2）如图：直线334y x =-+如图l .当l 平移到m 位置时.1d 最小.即平移到直线m 与⊙O 相切时.1d 最小．过点O 作OE l ⊥于E . 则1d OE R =-，设直线OE 为y =kx.OE l ⊥.∴413k ⨯=-.即43k =. ∴43y x =．联立方程组33434y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩. 解得：3648,2525x y ==. ∴E 为3648(,)2525. ∴125OE =. ∴1127155d =-=．（3）∵2AB =. ∴AM =1.即M 点在以A 为圆心.半径为1的圆上.如图所示：连接OA 交⊙A 于E 、F .可知：当M 在点F 时.2d 最小.在点E 时.2d 最大．当M 在F 时.222(4)(2)11252d OA AF R =--=-+---=-.当M 在E 时.222(4)(2)11251125d OE R OA AE R =-=+-=-+-+-=+-=. ∴225225d -≤≤．4．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）在△ABC 中.AB ＝BC ＝5.AD ⊥BC 于D .AD ＝4．动点P 从点B 出发.沿折线BA →AC 运动（点P 不与B 、C 重合）.点P 在边BA 上运动的速度为2.5个单位长度.在边AC 上的运动速度为52个单位长度.过P 作PQ ⊥BC 于点Q .以PQ 为边向右作矩形PQFE .使PQ ＝2PE .点F 在线段BC 上.设点P 运动的时间为t ．（1）点P 在BA 上时.则PQ ＝ .（用含t 代数式表示）（2）点P 在AC 上时.则PQ ＝ .（用含t 代数式表示）（3）连结DE .当△DEF 与△ADC 相似时.求t 的值．（4）设矩形PQFE 的对角线相交于点O .当点O 在△ACD 边上时.直接写出t 的取值范围．【答案】（1）2t .（2）6﹣t .（3）67或613或2或5.（4）t ＝32或2≤t ＜6 【详解】解：（1）点P 在BA 上时.点P 在边BA 上运动的速度为2.5个单位长度.BP =2.5t , ∵四边形PQFE 是矩形. ∴PQ ⊥QF .∵点F 在线段BC 上. ∴PQ ⊥BC . ∵AD ⊥BC . ∴PQ ∥AD . ∴∠BPQ ＝∠BAD . ∵∠B ＝∠B . ∴△BPQ ∽△BAD . ∴BP PQAB AD=. ∵BP ＝2.5t .AB ＝5.AD ＝4. ∴2.554t PQ=. ∴PQ ＝2t . 故答案为：2t .（2）如图2.点P 在AC 5个单位长度.由题意得：AP 5（t ﹣2）.∵AD ⊥BC .AB ＝5.AD ＝4. ∴BD 2222543AB AD -=-. ∴CD ＝BC ﹣BD ＝5﹣3＝2.∴AC 22224225AD CD +=+∴CP ＝AC ﹣AP ＝)555235t -=. ∵PQ ∥AD .∴∠QPC =∠DAC .∠PQC =∠ADC .∴△CPQ∽△CAD.∴PQ CPAD AC=.即5352425tPQ-=.∴PQ＝6﹣t.故答案为：6﹣t.（3）分两种情况：①如图3.当点P在边BA上运动时.∵四边形PQFE是矩形.∴QF＝PE＝t.EF＝PQ＝2t.在Rt△BPQ中.BQ＝BP•cos∠B＝BP×32.5 1.55BDt t AB=⨯=.∴DF＝3﹣2.5t.当△EFD∽△ADC时.DF CD EF DA=∴3 2.52 24tt-=.∴t＝6 7 .经检验符合题意.当△DFE∽△ADC时. DF AD EF CD=.∴3 2.54 22tt-=.∴t＝6 13.经检验符合题意.②如图4.当点P在边AC上运动时.∵四边形PQFE是矩形.∴QF＝PE＝t.EF＝PQ＝6﹣t.∴DF＝DC＝2.当△EFD∽△ADC时.则DF DC EF AD=.即22 64t=-.∴t＝2.经检验符合题意.当△DFE∽△ADC时.DF AD EF CD=.∴24 62t=-.∴t＝5.经检验符合题意.综上所述.t的值为67或613或2或5.（4）分三种情况讨论：①当矩形PQFE的对角线交点O在AD上时.如图5.∴QD＝12QF＝0.5t.∵BQ＝1.5t.BQ+QD＝BD＝3. ∴1.5t+0.5t＝3.∴t＝3 2 .②当矩形PQFE的对角线交点O在AC上时.∵点F始终与点C重合.点P从点A运动到点C.55254AC==∴点P在AC上运动时间为2≤t＜6.∴当2≤t＜6时.矩形PQFE的对角线交点O在AC上.③由题意知.矩形PQFE的对角线交点O不可能在CD上.综上所述.t的取值范围t＝32或2≤t＜6．5．（2021·黑龙江龙沙·九年级期中）综合与实践动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．如图1.△ACB是等腰直角三角形.AC＝BC＝4.∠ACB＝90°.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B.连接A′C.过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．思考探索：（1）在图1中：①CD＝.②△A′BC的面积为.拓展延伸：（2）如图2.若△ACB为任意直角三角形.∠ACB＝90°．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B.连接A′C.过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．猜想三条线段AC、CD、A′D的数量关系.并证明．（3）如图3.在△ACB中.AB＝AC＝5.BC＝6.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B.连接A′C．①△A′BC的面积为．②若点D是△ACB的边BC的高线上的一动点.连接A′D、DB.则A′D+DB的最小值是．【答案】（1）①8.②8.（2）CD AC A D '=+.证明见解析.（3）①9.109【详解】解：（1）①∵边AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段A B '.∴BA AB '=.90ABA '∠=︒．∵AC =BC =4.90ACB ∠=︒.∴45CAB CBA ∠=∠=︒．∴18045DBA CBA ABA ''∠=︒-∠-∠=︒．∴DBA CAB '∠=∠．∵A D CB '⊥.∴90BDA '∠=︒．∴90BDA ACB '∠=∠=︒．∴()BDA ACB AAS '△≌△．∴BD =AC =4．∴CD =BC +BD =8．故答案为：8．②∵BDA ACB '△≌△.∴4A D BC '==． ∴182A BC S BC A D ''=⋅=△．故答案为：8．（2）CD AC A D '=+.证明如下：∵边AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段A B '.∴BA AB '=.90ABA '∠=︒．∴90CBA DBA '∠+∠=︒．∵90ACB ∠=︒.∴90CAB CBA ∠+∠=︒．∴DBA CAB '∠=∠．∵A D CB '⊥.∴90BDA ACB '∠=∠=︒．∴()BDA ACB AAS '△≌△．∴A D BC '=.BD =AC ．∴CD BD BC AC A D '=+=+．（3）如下图所示.过点A '作A F CB '⊥交CB 延长线于点F .过点A 作AE CB ⊥交CB 于点E .交线段A C '于点M .再连接DC ．①∵AB =AC =5.BC =6.且AE CB ⊥. ∴132BE CE BC ===.90AEB =︒∠．∴90EAB EBA ∠+∠=︒．∵边AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段A B '.∴5BA AB '==.90ABA '∠=︒．∴90EBA FBA '∠+∠=︒．∴FBA EAB '∠=∠．∵A F CB '⊥.∴90BFA '∠=︒．∴90BFA AEB '∠=∠=︒．∴()BFA AEB AAS '△≌△．∴3A F BE '==． ∴192A BC S BC A F ''=⋅=△．故答案为：9．②∵AE CB ⊥.且BE =CE .∴AE 垂直平分CB ．∴DC =DB ．∴A D DB A D DC ''+=+．∵点D 在AE 上.∴当点D 与点M 重合时.A D DB '+有最小值.此时最小值为A C '．∵5BA '=.3A F '=. ∴224BF BA A F ''=-=．∵BC =6.∴CF =BC +BF =10． ∴22109A C CF A F ''=+=．∴A D DB '+的最小值为109．故答案为：109．6．如图.在平面直角坐标系xOy 中.点A 与点B 的坐标分别是（1.0）.（7.0）．（1）对于坐标平面内的一点P .给出如下定义：如果∠APB ＝45°.则称点P 为线段AB 的“等角点”．显然.线段AB 的“等角点”有无数个.且A 、B 、P 三点共圆．①设A 、B 、P 三点所在圆的圆心为C .直接写出点C 的坐标和⊙C 的半径.②y 轴正半轴上是否有线段AB 的“等角点”？如果有.求出“等角点”的坐标.如果没有.请说明理由.（2）当点P 在y 轴正半轴上运动时.∠APB 是否有最大值？如果有.说明此时∠APB 最大的理由.并求出点P 的坐标.如果没有请说明理由．【答案】（1）①(4.3)或(4,−3).半径为2.②存在2或(0.2).见解析.（2）有.见解析7【详解】（1）①如图1中.在x 轴的上方.作以AB 为斜边的等腰直角三角形△ACB .易知A .B .P 三点在⊙C 上. 圆心C 的坐标为(4,3).半径为32.根据对称性可知点C (4,−3)也满足条件.②y 轴的正半轴上存在线段AB 的“等角点“。

三角函数应用题2022年天津数学中考一模汇编

三角函数应用题2022年天津数学中考一模汇编1.如图，小李欲测量一棵古树MN的高度．小李在古树前方B点处测得树顶M处的仰角为35∘，他径直走了8m后到达点A处，测得树顶M的仰角为23∘，已知小李的眼睛距离地面的高度BD=AC=1.8m，求古树的高度MN和BN的长（结果取整数）．参考数据：tan35∘≈0.70，tan23∘≈0.42．2.如图，某数学兴趣小组测量位于某山顶的一座雕像AB的高度，已知山坡面与水平面的夹角为30∘，山高BC为285米，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进540米后到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60∘，求雕像AB的高度．3.如图，在港口A的南偏东37∘方向的海面上，有一巡逻艇B，A，B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67∘方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，sin67∘≈1213，cos67∘≈513，tan67∘≈125）．4.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB=80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37∘，大厦底部B的俯角为48∘．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度（结果保留整数)．参考数据：sin37∘≈0.60，tan37∘≈0.75，sin48∘≈0.70，tan48∘≈1.10．5.小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB．如图，在△ABC中，AB=63m，∠A=45∘，∠B=37∘，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，√2取1.414．6.如图，已知一居民楼AD前方30m处有一建筑物BC，小敏在居民楼的顶部D处和底部A处分别测得建筑物顶部B的仰角为19∘和41∘，求居民楼的高度AD和建筑物的高度BC（结果取整数）．（参考数据：tan19∘≈0.34，tan41∘≈0.87）7.如图所示，在建筑物顶部有一长方形广告牌架CDEF，已知CD=2m，在地面上A处测得广告牌架上端C的仰角为37∘，前进10m到达B处，在B处测得广告牌架下端D的仰角为60∘，求广告牌架下端D到地面的距离（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan37∘≈0.75，√3取1.73）8.如图，高楼顶部有一信号发射塔(FM)，在矩形建筑物ABCD的D，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45∘，64.5∘，矩形建筑物高度DC为22米．求该信号发射塔顶端到地面的距离FG．（精确到1m）（参考数据：sin64.5∘≈0.90，cos64.5∘≈0.43，tan64.5∘≈2.1）9.如图，某数学小组在水平空地上对无人机进行测高实验，在E处测得无人机C的仰角∠CAB= 45∘，在D处测得无人机C的仰角∠CBA=30∘，已知测角仪的高AE=BD=1m，E，D两处相距50m，根据所给数据计算无人机C的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）10.某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC= 89km，∠A=58∘，∠B=37∘．求开通隧道后的路程AB大约是多少km？（结果精确到1km）参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，sin58∘≈0.85，cos58∘≈0.53，tan58∘≈1.60．11.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53∘方向，距离灯塔100n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？（结果取整数）参考数据：sin53∘≈0.80，cos53∘≈0.60，tan53∘≈1.33，√2≈1.41．12.如图，两根竹竿AB和AC斜靠在墙BD上，量得∠ABD=37∘，∠ACD=45∘，BC=50cm，求竹竿AB和AC的长（结果精确到0.1cm）．参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，√2≈1.41．13.如图，某同学要测量海河某处的宽度AB，该同学使用无人机在C处测得A，B两点的俯角分别为45∘和30∘，若无人机此时离地面的高度CH为1000米，且点A，B，H在同一水平直线上，求这处海河的宽度AB（结果取整数）．参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．14.如图，某学校甲楼的高度AB是18.6m，在甲楼楼底A处测得乙楼楼顶D处的仰角为40∘，在甲楼楼顶B处测得乙楼楼顶D的仰角为19∘，求乙楼的高度DC及甲乙两楼之间的距离AC （结果取整数）．参考数据：cos19∘≈0.95，tan19∘=0.34，cos40∘=0.77，tan40∘=0.84．15.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为49∘，测得底部C处的俯角为58∘，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan49∘≈1.15，tan58∘≈1.60．16.如图，建筑物的高CD为10√3m．在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60∘，旗杆顶部A的仰角β为20∘，请你计算：(1) 建筑物与旗杆的水平距离BD；(2) 旗杆的高度．（sin20∘≈0.342，tan20∘≈0.364，cos20∘≈0.940，√3≈1.732，结果精确到0.1米）17.综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得学校1号楼顶部E的俯角为60∘，测得2号楼顶部F的俯角为45∘，此时航拍无人机的高度为50米，已知1号楼的高度为20米．且EC和FD分别垂直地面于点C和D，B为CD的中点，求2号楼的高度．18.如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45∘方向，点B的北偏东30∘方向上，AB=2km，∠DAC=15∘．(1) 求B，D之间的距离；(2) 求C，D之间的距离．19.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150∘，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30∘，试求电线杆的高度（结果保留根号）．20.如图所示，天津电视塔顶部有一桅杆AB，数学兴趣小组的同学在距地面高为 4.2m的平台D处观测电视塔桅杆顶部A的仰角为67.3∘，观测桅杆底部B的仰角为58∘．已知点A，B，C 在同一条直线上，EC=172m．求测得的桅杆部分AB的高度和电视塔AC的高度．（结果保留小数点后一位）．（参考数据：tan67.3∘≈2.39，tan58∘≈1.60）21. 某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度．他们在 C 处仰望建筑物顶端，测得仰角为 48∘，再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处，测得仰角为 64∘，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin48∘≈710，tan48∘≈1110，sin64∘≈910，tan64∘≈2）22. 如图，利用热气球探测器测量大楼 AB 的高度，从热气球 P 处测得大楼 B 的俯角为 37∘，大楼底部 A 的俯角为 60∘，此时热气球 P 离底面的高度为 120 m ．试求大楼 AB 的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，√3≈1.73）23.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．当飞机在离地面高度CE=1500m时，测量人员从C处测得A，B两点处的俯角分别为60∘和45∘，求隧道AB的长（√3≈1.732，结果保留整数）．24.如图，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45∘，∠B=37∘，桥DC和AB平行，桥DC与桥EF的长相等．（结果保留小数点后一位．参考数据：√2≈1.41，sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80）．(1) 求点D到直线AB的距离；(2) 现在从A地到B地可比原来少走多少路程？25.如图所示，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30∘，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48∘，若斜坡FA的坡比i=1:√3，求大树的高度．（结果保留一位小数）参考数据：sin48∘≈0.74，cos48∘≈0.67，tan48∘≈1.11，√3取1.73．26.如图，在一个18米高的楼顶上有一座信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30∘，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60∘，CD⊥AB交AB的延长线于点E，E，B，A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度．（结果保留整数，√3≈1.7，√2≈1.4）27.天津北宁公园内的致远塔，塔高九层，塔内四周墙壁上镶钳着以历史题材为内容的瓷板油彩画或青石刻浮雕，乘双向盘旋楼梯或电梯可达九层，津门美景尽收眼底，是我国目前最高的宝塔．某校数学兴趣小组实地测量了致远塔的高度AB，如图，在C处测得塔尖A的仰角为45∘，再沿CB方向前进31.45米到达D处，测得塔尖A的仰角为60∘，求塔高AB．（精确到0.1米，√3≈1.732）28.如图，甲、乙两数学兴趣小组测量山CD的高度．甲小组在地面A处测量，乙小组在上坡B处测量，AB=200m．甲小组测得山顶D的仰角为45∘，山坡B处的仰角为30∘；乙小组测得山顶D的仰角为58∘．求山CD的高度（结果保留一位小数）．参考数据：tan58∘≈1.60，√3≈1.732．供选用．29.已知B港口位于A观测点的东北方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16千米，一艘货轮从B港口以48千米/时的速度沿如图所示的BC方向航行，15分钟后到达C处，现测得C位于A观测点北偏东75∘方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长（精确到0.1千米）（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24，√6≈2.45）30.天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45∘，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54∘，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36∘≈0.73，结果保留整数）．31.解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．(1) 如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至ACʹ的位置时，ACʹ的长为m；(2) 如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54∘，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73∘，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54∘≈1.4，tan73∘≈3.3，结果保留整数）．32.如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37∘，旗杆底部B的俯角为45∘，升旗时，国旗上端悬挂在距地面 2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）33.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75∘，B处的仰角为30∘，已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)34.如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=50km，∠CAB=25∘，∠CBA=45∘，因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．（sin25∘≈0.42，cos25∘≈0.91，tan25∘≈0.47，√2取1.414）（结果保留小数点后一位）(1) 求改直的公路AB的长；(2) 问公路改直后比原来缩短了多少km？35.如图，我市某中学课外活动小组的同学要测量海河某段流域的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45∘．小英同学在距A处188米远的B处测得∠CBD=33∘．根据这些数据计算出这段流域的河宽和BC的长．（结果精确到1m，sin33∘≈0.54，tan33∘≈0.65，tan57∘≈1.54）．36.天津北宁公园内的致远塔，塔高九层，塔内四周墙壁上镶嵌着历史题材为内容的瓷板釉彩画或青石刻浮雕，登双向盘旋楼梯或电梯可达九层，津门美景尽收眼底，是我国目前最高的宝塔．某校数学兴趣小组实地测量了致远塔的高度AB．如图所示，在C处测得塔尖A的仰角为45∘，再沿CB方向前进31.45m到达D处，测得塔尖A的仰角为60∘，求塔高AB．（精确到0.1m，√3≈1.732）37.天塔是天津市的标志性建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45∘，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54∘，AB=112m．根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（参考数据：tan36∘≈0.73，结果保留整数）．38.如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30∘的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45∘的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．39.如图，某校数学兴趣小组在楼AB的顶部A处测得该楼正前方旗杆CD的顶端C的俯角为42∘，在楼AB的底部B处测得旗杆CD的顶端C的仰角为31∘．已知旗杆CD的高度为12m，根据测得的数据，计算楼AB的高度（结果保留整数)．参考数据：tan42∘≈0.90，tan48∘≈1.11，tan31∘≈0.60．40.如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47∘，观测旗杆底部B的仰角为42∘.已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47∘≈1.07，tan42∘≈0.90．答案1. 【答案】如图，延长CD交MN于点E，则EN=BD=AC=1.8，CE=AN，CD=AB=8，DE=BN．设BN=x，在Rt△MDE中，∵∠MDE=35∘，∴ME=x⋅tan35∘．在Rt△MCE中，∵∠MCE=23∘，∴ME=(x+8)⋅tan23∘，∴(x+8)⋅tan23∘=x⋅tan35∘，解得x≈12.0．∴BN≈12．∴MN=ME+EN≈12.0×0.7+1.8=10.2≈10．答：古树的高度MN约为10m，BN的长约为12m．2. 【答案】如图，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥CD于G，在Rt△DEG中，∵DE=540，∠D=30∘，=270．∴EG=DE⋅sin∠D=540×12∵BC=285，CF=EG，∴BF=BC−CF=15．，∠BEF=30∘，在Rt△BEF中，tan∠BEF=BFEF∴EF=√3BF=15√3．在Rt△AEF中，∠AEF=60∘，设AB=x，，∵tan∠AEF=AFEF∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+15=15√3×√3，∴x=30．答：雕像AB的高度为30米．3. 【答案】过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH=67∘，∠B=37∘，AB=20．在Rt△ABH中，∵sinB=AH，AB∴AH=AB⋅sin∠B=20×sin37∘≈12，∵cosB =BH AB ，∴BH =AB ⋅cos∠B =20×cos37∘≈16，在 Rt △ACH 中，∵tan∠ACH =tan∠ACH =AH CH ， ∴CH =AH tan∠ACH =12tan67∘≈5，∵BC =BH +CH ，∴BC ≈16+5=21．∵21÷25<1，所以，巡逻艇能在 1 小时内到达渔船 C 处．4. 【答案】设 CD =x ，在 Rt △ACD 中，tan37∘=AD CD ，则 AD =CD ⋅tan37∘，∴ AD ≈0.75x ．在 Rt △BCD 中，tan48∘=BD CD ，则 BD =CD ⋅tan48∘，∴ BD ≈1.10x ．∵ AD +BD =AB ，∴ 0.75x +1.10x =80，解得：x ≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离 CD 的长度约为 43 米．5. 【答案】如图，过点 C 作 CD ⊥AB ，垂足为 D ．在 Rt △ACD 中，tanA =CD AD ，sinA =CD AC ，∠A =45∘，∴AD =CDtan45∘=CD ，AC =CD sin45∘=√2CD ．在 Rt △BCD 中，tanB =CD BD ，sinB =CD CB ，∠B =37∘． ∴BD =CD tan37∘，CB =CD sin37∘．∵AD +BD =AB ，AB =63，∴CD +CD tan37∘=63．解得 CD =63⋅tan37∘1+tan37∘≈63×0.751+0.75=27.00．∴AC ≈1.414×27.00=38.178≈38.2，CB ≈27.000.60=45.0．答：AC的长约等于38.2m，CB的长约等于45.0m．6. 【答案】过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AC=30，AD=EC，由题意得，∠BDE=19∘，∠BAC=41∘，在Rt△ABC中，BC=AC⋅tan∠BAC=30×tan41∘≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE=DE⋅tan∠BDE=30×tan19∘≈10.2，所以AD=BC−BE=26.1−10.2=15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．7. 【答案】如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H．设DH=x，在Rt△DBH中，∠DBH=60∘，由tan∠DBH=DHBH ，得√3=xBH，∴BH=√33x，在Rt△AHC中，∠A=37∘，由tan∠A=CHAH ，得34=10+√33x，∴x=4−√3≈9.7，答：广告牌架下端D到地面的距离约为9.7米．8. 【答案】如图，延长AD交FG于点E．在Rt△FDE中，∠DEF=90∘，tan45∘=FEDE，∴DE=FE．在Rt△FCG中，∠FGC=90∘，tan64.5∘=FGCG ，∴CG=FG2.1．∵DE=CG，∴FE=FG2.1．∴FG−22=FG2.1，解得FG=42(米）．答：该信号发射塔顶端到地面的距离FG为42米．9. 【答案】如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90∘，∵∠CAB=45∘，∴∠ACH=∠CAH=45∘，则在△AHC中，有AH=CH，设CH=x，则AH=x，∵∠CBA=30∘，则在△BHC中，tan∠CBH=CHBH，∴BH=CHtan∠CBH=√3x，由题意可知，AB=DE=50m，∴AH+BH=50m，∴x+√3x=50．解得x=1+√3≈502.73≈18.3m．∴无人机高度为18.3+1=19.3m．答：无人机C的高度约为19.3m．10. 【答案】过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90∘，由题意可知∠A=58∘，∠B=37∘，在Rt△CDB中，BD=BC⋅cos37∘≈89×0.80=71.2，CD=BC⋅sin37∘，在Rt△CDA中，tanA=CDAD，∴AD=CDtan58∘≈89×0.601.60，∴AB=AD+DB≈89×0.601.60+71.2≈105．答：路程AB约为105km．11. 【答案】根据题意，得∠A=53∘，∠B=45∘，AP=100n mile．在Rt△APC中，∵sinA=PCAP，∴PC=AP⋅sin53∘≈100×0.80=80(n mile)．在Rt△BPC中，∠B=45∘，∵sinB=PCPB，∴PB=PCsin45∘=√2=80√2≈113(n mile)．答：B处距离灯塔P大约有113n mile．12. 【答案】由题意可得：AD=DC=x，故tan37∘=ADBD =xx+50=0.75，解得：x=150，故AD=CD=150，则AC=150√2≈212.1(cm)，则BD=200cm，故sin37∘=ADAB =150BA=0.60，解得：AB=250.0．答：竹竿AB的长为250.0cm，AC的长为212.1cm．13. 【答案】由于CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45∘，∠B=∠BCD=30∘，在Rt△ACH中，∵∠CAH=45∘，∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=CHHB，∴HB=CHtan∠B =1000tan30∘=1000√3（米）．∴AB=HB−HA=1000√3−1000=1000(√3−1)米．14. 【答案】过BE作CD的垂线，与CD交于点E；在Rt△BDE中，tan19∘=EDBE，在Rt△ACD中，tan40∘=CDAC，∵BE=AC，∴0.34AC=DE，0.84AC=CD，∵AB=CE=18米，∴AC=36米，ED=12.24米，∴CD=30.24米；15. 【答案】作DE⊥AB于E，由题意得，∠ADE=49∘，∠ACB=58∘，DE=BC=78，在Rt△ACB中，tan∠ACB=ABBC，则AB=BC⋅tan∠ACB=78×1.60=124.8≈125，在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE，则AE=BC⋅tan∠ADE=78×1.15=89.7，DC=BE=AB−AE=124.8−89.7=35.1≈35，答：甲建筑物的高度AB约为125m，乙建筑物的高度DC约为35m．16. 【答案】(1) 由题意四边形CDBE是矩形，∴CE=BD，BE=CD=10√3m，在Rt△BCE中，∠BEC=90∘，tanα=BE，CE=10（m），∴CE=√3√3∴BD=CE=10（m）．，(2) 在Rt△ACE中，∠AEC=90∘，tanβ=AEEC∴AE=10⋅tan20∘，∴AB=AE+BE=10×0.364+10×1.732≈21.0（m）．17. 【答案】过点E作EG⊥AB于点G，过点F作FH⊥AB于点H，可得四边形ECBG，HBDF是矩形，∴EC=GB=20，HB=FD．∵点B为CD中点，∴EG=CB=BD=HF．由已知得：∠EAG=90∘−60∘=30∘，∠AFH=45∘，在Rt△AFG中，AG=AB−GB=50−20=30．=10√3．∴EG=AGtan30∘=30×√33在Rt△AHF中，AH=HFtan45∘=10√3．∴FD=HB=AB−AH=50−10√3．答：2号楼的高度为(50−10√3)米．18. 【答案】(1) 由题意得，∠EAD=45∘，∠FBD=30∘，∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45∘+15∘=60∘．∵AE∥BF∥CD，∴∠FBC=∠EAC=60∘．∵∠FBD=30∘，∴∠DBC=∠FBC−∠FBD=30∘．又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，∴∠ADB=15∘．∴∠DAB=∠ADB．∴△ABD为等腰三角形，∴BD=AB=2km．即 BD 之间的距离为 2 km ．(2) 如图，过 B 作 BO ⊥DC ，交其延长线于点 O ，在 Rt △DBO 中，BD =2 km ，∠DBO =60∘，∴ DO =2×sin60∘=√3(km )，BO =2×cos60∘=1(km )．在 Rt △CBO 中，∠CBO =30∘，CO =BOtan30∘=√33(km )， ∴ CD =DO −CO =√3−√33=2√33(km )．即 C ，D 之间的距离 2√33km ．19. 【答案】延长 AD 交 BC 的延长线于 E ，作 DF ⊥BE 于 F ，∵∠BCD =150∘， ∴∠DCF =30∘，又 CD =4，∴DF =2，CF =√CD 2−DF 2=2√3，由题意得 ∠E =30∘， ∴EF =DFtanE =2√3，∴BE =BC +CF +EF =6+4√3， ∴AB =BE ×tanE =(6+4√3)×√33=(2√3+4) 米，答：电线杆的高度为 (2√3+4) 米．20. 【答案】如图，作 DF ⊥AC 于点 F ，∵DF ∥EC ，DE ∥CF ，DE ⊥EC ， ∴ 四边形 DECF 是矩形，∴DF =EC =172 m ，DE =CF =4.2 m ，在 Rt △ADF 中，AF =DF ⋅tan67.3∘≈411.1(m )，在 Rt △BDF 中，BF =DF ⋅tan58∘≈275.2(m )，∴AB =AF −BF =411.1−275.2=135.9(m )，AC =AF +CF =411.1+4.2=415.3(m )．答：桅杆部分 AB 的高度为 135.9 m ，电视塔 AC 的高度为 415.3 m ．21. 【答案】如图，根据题意，得 ∠ADB =64∘，∠ACB =48∘，在 Rt △ADB 中，tan64∘=ABBD ，则 BD =ABtan64∘≈12AB ．在 Rt △ACB 中，tan48∘=ABCB ，则 CB =ABtan48∘≈1011AB ．所以 CD =BC −BD ，6=1011AB −12AB ，AB =1329≈14.7（米）所以建筑物的高度约为14.7米．22. 【答案】延长AB，过点P作PC⊥AB，垂足为C，由已知∠APC=60∘，∠BPC=37∘，且由题意可知AC=120（米）．在Rt△APC中，由tan∠APC=ACPC ，即tan60∘=120PC，得PC=√3=40√3，在Rt△BPC中，由tan∠BPC=BCPC，得BC=PC⋅tan37∘=40√3×tan37∘，所以AB=AC−BC=120−40√3⋅tan37∘≈120−40×1.73×0.75=68.1≈68.答：大楼AB的高度约为68米．23. 【答案】根据题意，可知∠CBE=45∘，∠CAE=60∘，在Rt△AEC中，tan∠CAE=CEAE ，即tan60∘=1500AE，∴AE=1500tan60∘=√3=500√3．在Rt△BEC中，tan∠CBE=CEBE ．即tan45∘=1500BE，∴BE=1500tan45∘=1500．∴AB=BE−AE=1500−500√3≈1500−866=634(m),答：隧道AB的长约为634m．24. 【答案】(1) 如图，过点D作DH⊥AB于点H，DG∥CB交AB于点G，则∠CBG=∠DGH=37∘，∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形．∴DC=GB，GD=BC=11．在Rt△DGH中，DH=DG⋅sin37∘≈11×0.60=6.6，∴点D到直线AB的距离是6.6km．(2) 根据（1）得：GH=DG⋅cos37∘≈11×0.80=8.80，在Rt△ADH中，AD=√2DH≈1.41×6.6≈9.31．AH=DH=6.6，∵两条路线路程之差为AD+DG−AG，∴AD+DG−AG=(9.31+11)−(6.6+8.80)≈4.9(km)．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．25. 【答案】过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，则四边形DNCM是矩形．∵DA=6，斜坡FA的坡比i=1:√3，∴DN=12AD=3．AN=3√3．设大树BC的高度为x米．在Rt△BAC中，∠BAC=48∘，tan∠BAC=BCAC，∴tan48∘=BCAC =xAC≈1.11．∴AC≈x1.11．∴DM=NC=AN+AC=3√3+x1.11．由题意得∠BDM=30∘，在Rt△BDM中，tan∠BDM=BMDM，∴BM=DMtan30∘=√33DM=√33(3√3+x1.11)．又∵BM=BC−MC=x−3，∴x−3=√33(3√3+x1.11)．∴x≈12.5．答：大树BC的高度约为12.5米．26. 【答案】根据题意得：AB=18，DE=18，∠A=30∘，∠EBC=60∘，在Rt△ADE中，AE=DEtan30∘=√33=18√3，所以BE=AE−AB=18√3−18，在Rt△BCE中，CE=BE⋅tan60∘=(18√3−18)×√3=54−18√3，所以CD=CE−DE=54−18√3−18≈5（米）．27. 【答案】设AB=x米，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∠C=45∘，∠ADB=60∘，∴CB=x，BD=√33x，又CD=31.45，∴CD=BC−BD=x−√33x=31.45，解得：x≈74.4．答：塔高AB约为74.4米．28. 【答案】过B作BE⊥AC，BF⊥DC，E，F为垂足，根据题意，有∠DAC=45∘，∠BAC=30∘，∠DBF=58∘，AB=200．∵BE⊥AC，BF⊥DC，DC⊥AC，∴四边形BECF是矩形．∴BF=EC，BE=FC．设BF=x，则CE=BF=x．在Rt△ABE中，sin∠BAE=BEAB ，cos∠BAE=AEAB，∴BE=ABsin∠BAE=200⋅sin30∘=100，AE=ABcos∠BAE=200⋅cos30∘=100√3≈173.2．在Rt△DBF中，tan∠DBF=DFBF，∴DF=BFtan∠DBF=x⋅tan58∘≈1.60x．在Rt△DAC中，∠DAC=45∘，∴AC=DC，即AE+EC=DF+FC．∴173.2+x=100+1.60x．解得，x=122.0．∴DC=AC≈173.2+122.0=295.2．山高约为295.2m．29. 【答案】BC=48×1560=12（千米），在Rt△ADB中，sin∠DAB=DBAB =√22，∴AB=√22=16√2（千米）．如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，在Rt△AHB中，∠BAH=∠DAC−∠DAB=75∘−45∘=30∘,tan∠BAH=BHAH =√33，∴AH=√3BH，在Rt△ABH中，由勾股定理得BH2+AH2=AB2，∴BH2+(√3BH)2=(16√2)2，∴BH=8√2，∴AH=8√6，在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，∴CH=4，∴AC=AH−CH=8√6−4≈15.6（千米）．答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为15.6千米．30. 【答案】∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45∘，∴AD=CD，∵AD=AB+BD，∴BD=AD−AB=CD−112，∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDCD，∠BCD=90∘−∠CBD=36∘，∴tan36∘=BDCD，∴BD=CD⋅tan36∘，∴CD⋅tan36∘=CD−112，∴CD=1121−tan36∘≈1121−0.73≈415(m)．答：天塔的高度CD约为415m．31. 【答案】(1) 23.5(2) 设PQ=x cm．在Rt△PMQ中，tan∠PMQ=PQMQ=1.4，∴MQ=x1.4．在Rt△PNQ中，tan∠PNQ=PQNQ=3.3，∴NQ=x3.3．∵MN=MQ−NQ=40，即x1.4−x3.3=40，解得x≈97．答：解放桥的全长约为97m．【解析】(1) ∵点C是AB的中点，∴ACʹ=12AB=23.5m．32. 【答案】过点C作CD⊥AB于D，则DB=9，在Rt△CBD中，∠BCD=45∘，∴CD=BD=9．在Rt△ACD，∠ACD=37∘，∴AD=CD×tan37∘≈9×0.75=6.75，∴AB=AD+BD=6.75+9=15.75，(15.75−2.25)÷45=0.3（米/秒）．∴国旗以0.3米/秒的速度匀速上升．33. 【答案】如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线由题意∠ACH=75∘，∠BCH=30∘，AB∥CH∴∠ABC=30∘，∠ACB=45∘∵AB=4×8=32m∴AD=CD=AB⋅sin30∘=16mBD=AB⋅cos30∘=16√3m∴BC=CD+BD=16+16√3m∴BH=BC⋅sin30∘=8+8√3m34. 【答案】(1) 过点C作CD⊥AB于点D，如图，∵AC=50千米，∠CAB=25∘，∴CD=sin∠CAB⋅AC=sin25∘×50≈0.42×50=21（千米），AD=cos∠CAB⋅AC=cos25∘×50≈0.91×50=45.5（千米），∵∠CBA=45∘，∴BD=CD=21（千米），BC=CDsin∠CBA =21sin45∘≈29.7（千米），∴AB=AD+BD=45.5+21=66.5（千米）．(2) ∵AC=50千米，BC=29.7千米，∴公路改直后该段路程比原来缩短50+29.7−66.5=13.2（千米）．35. 【答案】如图，过点C作CE⊥AB于点E．根据题意，∠CAE=45∘，∠CBE=33∘，AB=188．∴AE=CE．在Rt△CBE中，tan∠CBE=CEEB，∴CE=(CE+188)⋅tan33∘．CE=188×tan33∘1−tan33∘=188×0.651−0.65≈349.1≈349(m)．在Rt△CBE中，sin∠CBE=CEBC．∴ BC =CE sin33∘=349.10.54≈646(m ) 或 BC =CE sin33∘=188×0.651−0.650.54≈647(m )．答：这段流域的河宽约为 349 m ，BC 的长约为 646 m （或 647 m ）．36. 【答案】根据题意，有 ∠ACB =45∘，∠ADB =60∘，CD =31.45．∵ 在 Rt △ABC 中，∠ACB =∠CAB =45∘，有 AB =CB ．又 CB =CD +DB =31.45+DB ， ∴ AB =31.45+DB ．∵ 在 Rt △ABD 中，tan∠ADB =ABDB ， ∴ tan60∘=ABDB ，得 AB =DB ⋅tan60∘，于是，31.45+DB =DB ⋅tan60∘， ∴ DB =31.45tan60∘−1≈42.96(m )． ∴ AB =CD +DB ≈74.4(m )．答：塔的高度 AB 约为 74.4 m ．37. 【答案】如题图，根据题意，有 ∠CAD =45∘，∠CBD =54∘，AB =112．因为在 Rt △ACD 中，∠ACD =∠CAD =45∘，有 AD =CD ．又 AD =AB +BD ，所以 BD =AD −AB =CD −112．因为在 Rt △BCD 中，tan∠BCD =BDCD ，∠BCD =90∘−∠CBD =36∘，所以 tan36∘=BDCD ，得 BD =CD ⋅tan36∘ , 于是有 CD ⋅tan36∘=CD −112．所以 CD =1121−tan36∘≈1121−0.73≈415(m )．答：天塔的高度 CD 约为 415 m ．38. 【答案】过 A 作 AD ⊥BC 于 D ，则 AD 的长度就是 A 到岸边 BC 的最短距离．在 Rt △ACD 中，∠ACD =45∘，设 AD =x ，则 CD =AD =x ，在 Rt △ABD 中，∠ABD =60∘，由 tan∠ABD =ADBD ，即 tan60∘=xBD ，所以 BD =xtan60∘=√33x ，又 BC =4，即 BD +CD =4，所以 √33x +x =4，解得x=6−2√3．答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为(6−2√3)公里．39. 【答案】如图，过C作CE⊥AB，垂足为E．根据题意，∠ACE=42∘，∠CBD=31∘，CD=12．可得四边形CDBE为矩形，∴EB=CD，CE=DB．∵在Rt△CBD中，tan∠CBD=CDDB，∴CE=DB=CDtan31∘．∵在Rt△ACE中，tan∠ACE=AECE，∴AE=CE⋅tan42∘．∴AE=CDtan31∘⋅tan42∘≈12×0.900.60=18．∴AB=AE+EB≈12+18=30．答：楼的高约为30m．40. 【答案】根据题意得DE=1.56，EC=21，∠ACE=90∘，∠DEC=90∘．过点D作DF⊥AC于点F．则∠DFC=90∘，∠ADF=47∘，∠BDF=42∘．∵四边形DECF是矩形．∴DF=EC=21，FC=DE=1.56，在直角△DFA中，tan∠ADF=AFDF，∴AF=DF⋅tan47∘≈21×1.07=22.47(m)．在直角△DFB中，tan∠BDF=BFDF，∴BF=DF⋅tan42∘≈21×0.90=18.90(m)，则AB=AF−BF=22.47−18.90=3.57≈3.6(m)．BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5(m)．答：旗杆AB的高度约是3.6m，建筑物BC的高度约是20.5米．。