可靠性工程
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故障树的定量评价是要求出系统可靠性的定量结果，可
得出如下结果：
1)数值概率。 故障树是以顶事件的定量数据(如故障概率、失效率等)来做 最后评价的。在最小割集确定之后，找出元部件的故障概率， 求出最小割集事件发生的概率，最后计算系统故障概率 ( 即
顶事件发生的概率)。可采用直接分析解答法。
(2)故障树的定量评价—得出三个定量结果
22
例题1
化简后的故障树
有重复故障树
例题2 试用布尔代数化简法和矩阵排列法，求下图故障树的 最小割集，并画出其等效故障树。
化简后的故障树
有重复故障树
习题
试用布尔代数化简法和矩阵排列法，求下图故 障树的最小割集，并画出其等效故障树。
习题
试用布尔代数化简法和矩阵排列法，求下 图故障树的最小割集，并画出其等效故障树。
1、门的符号—7个
逻辑门按照因果关系将各个有关事件连接起来，如下表。 一个门可以有一个或几个输入事件，但只能有一个输出事件。
门的符号
以上只有与门和或门是两种基本类型的 门，其他各种门都是这两种基本门的特殊情 况。
2、事件符号-7种
事件是故障树图形中的主体。按照事件的性质不同，其符号可 大致分为三类：
故障树的对耦树及其最小路集
A B AB A B AB
对偶转换的方法是德· 摩根定律在可靠性问题中的应
用。原故障树中的最小割集就是其对偶树中的最小路集。
成功树的最小路集含义是：最小路集是一组事件的组合， 当事件全都不发生时，顶事件才不发生。“最小”的意 思是这组事件中每一个事件的不发生对顶事件的不发生 都是必要的。成功树顶事件的表达式为：
X1 X 3 X 2 X X X X G X 1 5 3 1 3 5 X1 X 3 X 2 X X X1 X 4 1 4 X1 X 4 X 3 X 5 G5 X 3 X 3 X 5 X 2 X 3 X X 3 5 X3 X5 X5 X3 X3 X5 X4 X3 X5 X4
最小割集为： {X 6},{X1 X 2 X 3},{X 3 X 4},{X 4 X 5}
4、故障树的对耦树及其最小路集
系统可靠性设计中，要求系统在规定条件下和规定时间内能
够可靠地工作，而不希望出现的事件是不成功 ( 即故障 ) 的。
“故障”与“成功”具有对偶的性质。因此，通常每一个 “故障树”都可以找到与其对偶的“成功树”。 如果将故障树中不希望发生的顶事件改为希望能做到的 “成功”顶事件，同时将其中的或门改为与门，与门改为或 门，再将各基本事件都用其对偶事件来表示。把故障树转化 为其对偶树(即成功树，也可以认为是故障树的补)。
左图为消除了重复事件的故障树， P(B)=0.05 ， P(C)=0.15 ， 且 A 、 B 、 C 事件的发生互不相容，求顶事 件发生的概率。
底事件发生的概率为： P(A)=0.02 ，
顶事件概率的计算
设左图为无重复故障树，并假定其中的全部基本事件
都是独立的，且P(Ai)=1/4，i=1,2,…,8，计算顶事件的概率。
(1)故障树的定性评价—得出三个定性结果
(a)故障树的最小割集。这些最小割集是所有可能导致系统故障 (即顶事件发生)的部件故障的组合，它们不仅是定性评价的主要结 果，而且也是定量评价的基础。
24=16种 结果
故障树的定性评价
(b)定性的部件重要度。定性重要度给出每个元部件 对系统发生故障贡献大小的“定性等级”。在求得最小 割集之后，按其阶数(即组成最小割集的基本事件数)从 小到大顺序排列，就可得到有关元部件的定性重要度。 显然低阶割集的定性重要度比高阶割集的要大。如下图 故障树中，最小割集为：E1E2、E3、E4，一阶割集E3或 E4的重要度比二阶割集中E1E2的E1或E2要大。
事件符号
第二类为中间事件符号，表中只有一个序号5的长方形 用来表示各种逻辑门输出的结果事件。 第三类为转称符号，表中序号6和7中的三角形均为此 类符号。6中三角形顶角上的一条直线表示输入，7中三角 形侧面的一条横线表示输出。
例题：
2/3表决系统的故障树可用下图表示。
TOP(顶事件) 顶事件
2/3
部件的失效率都是常数； (3) 故障树中没有备份部件，也就
是没有重复事件；(4)基本失效事件是统计独立的。 故障树的或门相当于可靠性中的串联。设或门有 n 个输 入 事 件 ， 其 可 靠 度 均 为 指 数 分 布 ， 失 效 率 为 λ i ， i=1 ， 2，…，n，则或门输出事件的可靠度RS(t)为
2)元部件和最小割集的定量重要度。
定量重要度将给出由特定的最小割集或特定元部件而
引起系统故障次数的百分比。实际上定量重要度即为概 率重要度。
(2)故障树的定量评价—得出三个定量结果
3)元部件的灵敏度。
研究元部件数据变化或模型偏差对顶事件发生概率的影
响。
3、确定故障树最小割集算法
在带有重复事件的故障树中，一般割集多于最小割集，
第六章
故障树分析 事件树分析
故障树分析
1、 故障树图形的标志符号
故障树是一种图示模型，它的构造是使用各 种逻辑门按照系统与元件的因果关系组合而成的， 即从顶事件出发，通过中间事件到各个有关的基 本事件有机地连成一棵倒置的事件树， 可见故 障树本身只是表明一种事件的联系，也就是一个 定性的模型。
在建树之前，我们必须了解和熟悉在故障树 中经常使用的各种符号，它们是建立故障树的基 础。
关系，故障树用逻辑框图表示单元故障与系统故障间关
系。
可靠度是系统完成功能的概率，顶事件发生的概率是系
统故障或某一种故障发生的概率，是从系统功能成功和 失效两个不同的角度，对系统可靠性、安全性的定量描
述，之间存在着必然联系。
可靠性框图和故障树框图基本关系
A R=AB B
成功事件 R=AB
●
不成功事件
需要对其进行化简。可采用布尔代数化简法和矩阵排列 法。 (1)布尔代数化简法 用逻辑运算将复杂故障树化简。
(2)福塞尔法
原理：与门使割集的大小容量增加，或门使割集的数 量增加。
T
.
G1
+
G2
+
G3
X1
G4
X4
.
X3
.
X5
G5
+
X3
X2
X5
21
X 1 G5 X 3 X X X G 1 2 1 4 T G1 G2 G3 G2 X 3 X 5 G5 X 3 X3 X5 X4
独立事件：P( AB) P( A) P( B) 一般：P( A B) P( A) P( B) P( A) P( B) 互不相容事件：P( A B) P( A) P( B)
概率加法公式
R P ( Li )
i 1
n
6、顶事件失效的计算
基于4个假设条件： (1)基本元部件是不可修复的；(2)元
故障树的对耦树及其最小路集
故障树
成功树
故障树的对耦树及其最小路集
A B AB A B AB
成功树
故障树的对耦树及其最小路集
成功树
故障树
成功树
可靠性框图和故障树框图基本关系
从数学角度看，可靠性框图与故障树是等价的，两者分
别从系统正常工作与故障2个角度进行分析工作。
可靠性框图用通路框图表示单元工作与系统工作之间的
故障树分析的步骤
(2) 故障树的建造 故障树实际上就是系统故障的图示模型，绘制故障 树时，首先要按照系统的定义确定一个顶事件，然后使 用有关符号，从顶事件出发，分级分路通过有关逻辑门 及中间事件，直到基本事件，从而给出一棵倒立的树。 必须注意，只能一次走一步，切勿跨越任何中间事件， 否则会带来错误的模型，导致错误结论。 通常，按照元部件的类别，可将故障树分为三种： 初级故障树； 次级故障树； 指令故障树。
初级故障树
凡元部件在设计参数范围内工作而失效时，称为初 级故障。仅用元部件初级可靠性参数建成的故障树，称 为初级故障树。
右图特征：所 有基本事件都 是通过或门达 到顶事件的， 从而任何一个 开关合不上 基本事件发生， 都会导致顶事 件发生。
次级故障树
凡是超出基本元部件失效以外所发生的故障，都属于 次级故障范畴。
故障树的定性评价
(c) 共因 ( 或共模 ) 故障的敏感性。阶数高的最小割集， 如果各个元部件共因故障敏感性高，则其重要度就不一 定比其阶数低的最小割集的重要度小，部件的重要度与 共因故障的敏感性相关。如下图中 E1E2相乘失效率高于
E3或E4，说明E1E2的共因敏感性高。
(2)故障树的定量评价—得出三个定量结果
顶事件失效的计算
i
1 Z 1 e t
顶事件失效的计算
p (t ) 2(Z 1) /(Z 2 1)
Z
1 1 e t 求左图中故障树顶事件的失效率。
已知系统工作到 t=1000h ，基本事件
百度文库
的 失 效 率 为 λ1=λ2=λ3=λ4=λ5=0.0001/h 。
T 3 4 5 0.0002 T 1 1 2 0.0002
第一类为初级事件符号，初级事件是指那些不需要再分解或由 于种种原因不能再做进一步分解的事件。序号1中的圆形表示基示 事件，它不需再做进一步分析；序号2中的菱形表示未做进一步分 解的事件，这是由于事件本身不明或缺少有关信息；序号3中的椭 圆形表示条件事件，常用作逻辑门(如禁止门)的特定条件；序号4中 的房形为外部事件(触发事件)，它是用来表示期望发生的事件。
于多态事件较难处理；
(5)处理共因故障的工作量大，对于从属和相依故障则难以处 理； (6)在一般条件下，对待机储备和可修系统难以分析。
A
B
可靠性框图中的“串联”转换为故障树中的“或门”，可靠性框图 中的“并联”转换为故障树中的“与门”。
可靠性框图和故障树框图基本关系
A C B D
0.03
5、顶事件概率的计算
求得故障树的最小割集或消除了割集中的重复事件，
可以估算顶事件发生的概率，对“或门”的处理利用一 般概率加法公式，对“与门”的处理利用概率乘法公式。
提供一种修改设计和故障诊断的有效工具；
(5)故障树便于人们对系统进行定性或定量评价，且有选 择评价目标 ( 如可靠度、重要度 ) 和方法 ( 定性或定量 ) 的自由。
故障树分析的优缺点
缺点：
(1)工作量大，既不经济又费时间；
(2)容易疏忽或遗漏某些有用信息，另一方面，某些失效数据 又不能充分利用； (3)得到的结果不容易检查； (4)由于一般只考虑系统和元部件的成功与故障两种状态，对
表决门
E1
E2
E3
基本事件
2、故障树分析的步骤
故障树分析首先是定义系统对象，并提出待解决的 问题；其次是建立模型；然后再进步分析。具体可分为 下列三大步骤。 (1)定义系统的对象与边界条件 所谓系统，是为了完成某一特定功能，由若干个彼 此有联系而且又能相互协调工作的单元所组成的综合体。 系统的基本特征是一个由具有相互作用的分离元部件构 成的统一体。 系统中各个分离元件都完成相应的功能，一个系统 可以用功能图表示。为了画出合适的故障树，首先要确 定系统的边界条件，其中最重要的边界条件就是顶事件， 即主要的系统故障，相对的边界条件是可能导致顶事件 发生的基本事件，其他边界则视具体情况而定。
Z 1/(1 e
t
)
T 2 2 ( Z 1) /(Z 2 1)
T 0 T 1 T 2
7、故障树分析的优缺点
优点： (1)通过建树的过程可以全面了解系统的组成及工作情况，
并且能专门研讨某些系统特殊的故障问题；
(2)一切外部环境影响及人为失误等故障事件都可以都虑 在故障中； (3)可以利用演绎法帮助人们寻找故障原因所在； (4)故障树的图示模型可以给设计、使用和维修管理人员
未作进一步分 解事件符号
指令故障树
指令故障往往是由于操作失误造成的。一般是属于 基本事件到顶事件不同级之间的中间事件。
故障树的评价
建立故障树之后，就可以根据故障树对整个 系统进行评价，并从中得到定性和定量的结果。
评价故障树的最好办法是利用它的最小割集。 一个割集定义为一组事件的集合，当这些事件全 发生时，顶事件必然发生。一个不能再进一步简 化的割集，称为最小割集。在一个最小割集中， 若缺少任何一个事件发生，就不能促使顶事件的 发生。
得出如下结果：
1)数值概率。 故障树是以顶事件的定量数据(如故障概率、失效率等)来做 最后评价的。在最小割集确定之后，找出元部件的故障概率， 求出最小割集事件发生的概率，最后计算系统故障概率 ( 即
顶事件发生的概率)。可采用直接分析解答法。
(2)故障树的定量评价—得出三个定量结果
22
例题1
化简后的故障树
有重复故障树
例题2 试用布尔代数化简法和矩阵排列法，求下图故障树的 最小割集，并画出其等效故障树。
化简后的故障树
有重复故障树
习题
试用布尔代数化简法和矩阵排列法，求下图故 障树的最小割集，并画出其等效故障树。
习题
试用布尔代数化简法和矩阵排列法，求下 图故障树的最小割集，并画出其等效故障树。
1、门的符号—7个
逻辑门按照因果关系将各个有关事件连接起来，如下表。 一个门可以有一个或几个输入事件，但只能有一个输出事件。
门的符号
以上只有与门和或门是两种基本类型的 门，其他各种门都是这两种基本门的特殊情 况。
2、事件符号-7种
事件是故障树图形中的主体。按照事件的性质不同，其符号可 大致分为三类：
故障树的对耦树及其最小路集
A B AB A B AB
对偶转换的方法是德· 摩根定律在可靠性问题中的应
用。原故障树中的最小割集就是其对偶树中的最小路集。
成功树的最小路集含义是：最小路集是一组事件的组合， 当事件全都不发生时，顶事件才不发生。“最小”的意 思是这组事件中每一个事件的不发生对顶事件的不发生 都是必要的。成功树顶事件的表达式为：
X1 X 3 X 2 X X X X G X 1 5 3 1 3 5 X1 X 3 X 2 X X X1 X 4 1 4 X1 X 4 X 3 X 5 G5 X 3 X 3 X 5 X 2 X 3 X X 3 5 X3 X5 X5 X3 X3 X5 X4 X3 X5 X4
最小割集为： {X 6},{X1 X 2 X 3},{X 3 X 4},{X 4 X 5}
4、故障树的对耦树及其最小路集
系统可靠性设计中，要求系统在规定条件下和规定时间内能
够可靠地工作，而不希望出现的事件是不成功 ( 即故障 ) 的。
“故障”与“成功”具有对偶的性质。因此，通常每一个 “故障树”都可以找到与其对偶的“成功树”。 如果将故障树中不希望发生的顶事件改为希望能做到的 “成功”顶事件，同时将其中的或门改为与门，与门改为或 门，再将各基本事件都用其对偶事件来表示。把故障树转化 为其对偶树(即成功树，也可以认为是故障树的补)。
左图为消除了重复事件的故障树， P(B)=0.05 ， P(C)=0.15 ， 且 A 、 B 、 C 事件的发生互不相容，求顶事 件发生的概率。
底事件发生的概率为： P(A)=0.02 ，
顶事件概率的计算
设左图为无重复故障树，并假定其中的全部基本事件
都是独立的，且P(Ai)=1/4，i=1,2,…,8，计算顶事件的概率。
(1)故障树的定性评价—得出三个定性结果
(a)故障树的最小割集。这些最小割集是所有可能导致系统故障 (即顶事件发生)的部件故障的组合，它们不仅是定性评价的主要结 果，而且也是定量评价的基础。
24=16种 结果
故障树的定性评价
(b)定性的部件重要度。定性重要度给出每个元部件 对系统发生故障贡献大小的“定性等级”。在求得最小 割集之后，按其阶数(即组成最小割集的基本事件数)从 小到大顺序排列，就可得到有关元部件的定性重要度。 显然低阶割集的定性重要度比高阶割集的要大。如下图 故障树中，最小割集为：E1E2、E3、E4，一阶割集E3或 E4的重要度比二阶割集中E1E2的E1或E2要大。
事件符号
第二类为中间事件符号，表中只有一个序号5的长方形 用来表示各种逻辑门输出的结果事件。 第三类为转称符号，表中序号6和7中的三角形均为此 类符号。6中三角形顶角上的一条直线表示输入，7中三角 形侧面的一条横线表示输出。
例题：
2/3表决系统的故障树可用下图表示。
TOP(顶事件) 顶事件
2/3
部件的失效率都是常数； (3) 故障树中没有备份部件，也就
是没有重复事件；(4)基本失效事件是统计独立的。 故障树的或门相当于可靠性中的串联。设或门有 n 个输 入 事 件 ， 其 可 靠 度 均 为 指 数 分 布 ， 失 效 率 为 λ i ， i=1 ， 2，…，n，则或门输出事件的可靠度RS(t)为
2)元部件和最小割集的定量重要度。
定量重要度将给出由特定的最小割集或特定元部件而
引起系统故障次数的百分比。实际上定量重要度即为概 率重要度。
(2)故障树的定量评价—得出三个定量结果
3)元部件的灵敏度。
研究元部件数据变化或模型偏差对顶事件发生概率的影
响。
3、确定故障树最小割集算法
在带有重复事件的故障树中，一般割集多于最小割集，
第六章
故障树分析 事件树分析
故障树分析
1、 故障树图形的标志符号
故障树是一种图示模型，它的构造是使用各 种逻辑门按照系统与元件的因果关系组合而成的， 即从顶事件出发，通过中间事件到各个有关的基 本事件有机地连成一棵倒置的事件树， 可见故 障树本身只是表明一种事件的联系，也就是一个 定性的模型。
在建树之前，我们必须了解和熟悉在故障树 中经常使用的各种符号，它们是建立故障树的基 础。
关系，故障树用逻辑框图表示单元故障与系统故障间关
系。
可靠度是系统完成功能的概率，顶事件发生的概率是系
统故障或某一种故障发生的概率，是从系统功能成功和 失效两个不同的角度，对系统可靠性、安全性的定量描
述，之间存在着必然联系。
可靠性框图和故障树框图基本关系
A R=AB B
成功事件 R=AB
●
不成功事件
需要对其进行化简。可采用布尔代数化简法和矩阵排列 法。 (1)布尔代数化简法 用逻辑运算将复杂故障树化简。
(2)福塞尔法
原理：与门使割集的大小容量增加，或门使割集的数 量增加。
T
.
G1
+
G2
+
G3
X1
G4
X4
.
X3
.
X5
G5
+
X3
X2
X5
21
X 1 G5 X 3 X X X G 1 2 1 4 T G1 G2 G3 G2 X 3 X 5 G5 X 3 X3 X5 X4
独立事件：P( AB) P( A) P( B) 一般：P( A B) P( A) P( B) P( A) P( B) 互不相容事件：P( A B) P( A) P( B)
概率加法公式
R P ( Li )
i 1
n
6、顶事件失效的计算
基于4个假设条件： (1)基本元部件是不可修复的；(2)元
故障树的对耦树及其最小路集
故障树
成功树
故障树的对耦树及其最小路集
A B AB A B AB
成功树
故障树的对耦树及其最小路集
成功树
故障树
成功树
可靠性框图和故障树框图基本关系
从数学角度看，可靠性框图与故障树是等价的，两者分
别从系统正常工作与故障2个角度进行分析工作。
可靠性框图用通路框图表示单元工作与系统工作之间的
故障树分析的步骤
(2) 故障树的建造 故障树实际上就是系统故障的图示模型，绘制故障 树时，首先要按照系统的定义确定一个顶事件，然后使 用有关符号，从顶事件出发，分级分路通过有关逻辑门 及中间事件，直到基本事件，从而给出一棵倒立的树。 必须注意，只能一次走一步，切勿跨越任何中间事件， 否则会带来错误的模型，导致错误结论。 通常，按照元部件的类别，可将故障树分为三种： 初级故障树； 次级故障树； 指令故障树。
初级故障树
凡元部件在设计参数范围内工作而失效时，称为初 级故障。仅用元部件初级可靠性参数建成的故障树，称 为初级故障树。
右图特征：所 有基本事件都 是通过或门达 到顶事件的， 从而任何一个 开关合不上 基本事件发生， 都会导致顶事 件发生。
次级故障树
凡是超出基本元部件失效以外所发生的故障，都属于 次级故障范畴。
故障树的定性评价
(c) 共因 ( 或共模 ) 故障的敏感性。阶数高的最小割集， 如果各个元部件共因故障敏感性高，则其重要度就不一 定比其阶数低的最小割集的重要度小，部件的重要度与 共因故障的敏感性相关。如下图中 E1E2相乘失效率高于
E3或E4，说明E1E2的共因敏感性高。
(2)故障树的定量评价—得出三个定量结果
顶事件失效的计算
i
1 Z 1 e t
顶事件失效的计算
p (t ) 2(Z 1) /(Z 2 1)
Z
1 1 e t 求左图中故障树顶事件的失效率。
已知系统工作到 t=1000h ，基本事件
百度文库
的 失 效 率 为 λ1=λ2=λ3=λ4=λ5=0.0001/h 。
T 3 4 5 0.0002 T 1 1 2 0.0002
第一类为初级事件符号，初级事件是指那些不需要再分解或由 于种种原因不能再做进一步分解的事件。序号1中的圆形表示基示 事件，它不需再做进一步分析；序号2中的菱形表示未做进一步分 解的事件，这是由于事件本身不明或缺少有关信息；序号3中的椭 圆形表示条件事件，常用作逻辑门(如禁止门)的特定条件；序号4中 的房形为外部事件(触发事件)，它是用来表示期望发生的事件。
于多态事件较难处理；
(5)处理共因故障的工作量大，对于从属和相依故障则难以处 理； (6)在一般条件下，对待机储备和可修系统难以分析。
A
B
可靠性框图中的“串联”转换为故障树中的“或门”，可靠性框图 中的“并联”转换为故障树中的“与门”。
可靠性框图和故障树框图基本关系
A C B D
0.03
5、顶事件概率的计算
求得故障树的最小割集或消除了割集中的重复事件，
可以估算顶事件发生的概率，对“或门”的处理利用一 般概率加法公式，对“与门”的处理利用概率乘法公式。
提供一种修改设计和故障诊断的有效工具；
(5)故障树便于人们对系统进行定性或定量评价，且有选 择评价目标 ( 如可靠度、重要度 ) 和方法 ( 定性或定量 ) 的自由。
故障树分析的优缺点
缺点：
(1)工作量大，既不经济又费时间；
(2)容易疏忽或遗漏某些有用信息，另一方面，某些失效数据 又不能充分利用； (3)得到的结果不容易检查； (4)由于一般只考虑系统和元部件的成功与故障两种状态，对
表决门
E1
E2
E3
基本事件
2、故障树分析的步骤
故障树分析首先是定义系统对象，并提出待解决的 问题；其次是建立模型；然后再进步分析。具体可分为 下列三大步骤。 (1)定义系统的对象与边界条件 所谓系统，是为了完成某一特定功能，由若干个彼 此有联系而且又能相互协调工作的单元所组成的综合体。 系统的基本特征是一个由具有相互作用的分离元部件构 成的统一体。 系统中各个分离元件都完成相应的功能，一个系统 可以用功能图表示。为了画出合适的故障树，首先要确 定系统的边界条件，其中最重要的边界条件就是顶事件， 即主要的系统故障，相对的边界条件是可能导致顶事件 发生的基本事件，其他边界则视具体情况而定。
Z 1/(1 e
t
)
T 2 2 ( Z 1) /(Z 2 1)
T 0 T 1 T 2
7、故障树分析的优缺点
优点： (1)通过建树的过程可以全面了解系统的组成及工作情况，
并且能专门研讨某些系统特殊的故障问题；
(2)一切外部环境影响及人为失误等故障事件都可以都虑 在故障中； (3)可以利用演绎法帮助人们寻找故障原因所在； (4)故障树的图示模型可以给设计、使用和维修管理人员
未作进一步分 解事件符号
指令故障树
指令故障往往是由于操作失误造成的。一般是属于 基本事件到顶事件不同级之间的中间事件。
故障树的评价
建立故障树之后，就可以根据故障树对整个 系统进行评价，并从中得到定性和定量的结果。
评价故障树的最好办法是利用它的最小割集。 一个割集定义为一组事件的集合，当这些事件全 发生时，顶事件必然发生。一个不能再进一步简 化的割集，称为最小割集。在一个最小割集中， 若缺少任何一个事件发生，就不能促使顶事件的 发生。