第39课柯西不等式 百炼千锤+不等式+命题探秘第二版一题一课

SLABD 十 C△L,CC刀D BD--丫V“a2 十 62 ・ 价2 十己2 ・ sin 0. 由（ac 十庆才）2 一 (a2 十 b2)(c2 十 d2）可得，
a2 c2 十 2abcd 十 b2d2 = a2c2 十“2 矛十 b2 c2 十 b2 d2, a2 矛一 2abcd 十 b2d2 = (ad 一女）2=O ,j = bc, 所以，当且仅当 a,b,c,d 满足条件。d 一 bc 时，等号成立． 另外还可以找出更多的思路，不过，已有的认识告诉我们，二维柯西不等式与代数配 方、复数运算、向量数量积、余弦定理、点到直线距离、二次函数判别式、基本不等式、参数 变换、矩形面积等很多知识都有内在的联系，难怪各种形式的柯西不等式（向量形式、积 分形式、概率形式等）能够成为诸多现代数学理论的出发点． 2. 刀维柯西不等式的理解 设。1，。2 ，・・・ ，。．；西l，吞2 ，…，占”为两组实数，则 恤l占1 十 a2占2 十 ・・・ 十 a,b, )2 镇（武十“；十…十“三）(b：十占置十 ・・・ 十占三）,
西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明；会用参数配方法讨论柯西不
等式的一般情形，能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值”．
柯西不等式是数学分析和数学物理方程研究中的一个非常重要的不等式．柯西不等
式有二维形式、三维形式等，一般形式是刀维形式，它们分别对应着不同维数的向量不等
式，本质上是一致的．
} “ ・ 川，等号成立当且仅当向量共线（线性相关）.
由此可见，二维柯西不等式又来源于余弦函数的有界性（利用这
刀A‘(a口,泊b)、
一点还可以改写为参数变换的形式），并且这里的⑤式还可以理、 解 ～.～口（B‘(c，,d司)
为余弦定理、点与直线的距离等． (4）余弦定理视角 在一坐一 标平”面上取点 A(a,b) ,B(c,d)（参见图 1)，在△ABC 中，由
”
(恤 a1＋ 十“a22 ＋ 十 … ・・・ Hb01 十 b02「十”… ‘一｝
a,)2 ，等号成立当且仅当
0.
b.
一从．时．
变式 2
色 +山 +
设 a, ,b, 不 同 时为零，i = 1,2,",n，则 阮
一瓦
+a,,
(a1 H- a2 十… + a, )2 ，等号成立当且仅当 b1 一占2 一 ・・・ 一占”时 "101 十“202 十…十 a,0,
余弦定理得，
,r 一 图1
cos匕A013 一 0A2+GB2 一 AB2 201A 。门R
(a2 十 b2）十（C2 十 d2）一〔(a 一‘)2 十（b 一 d)2〕 2 、／a2~+b2～、／石厄不 d2-
ac 十 lxi 、/ + b2飞/c2 + d2' 这正是⑤式，变形可得③式，等号成立当且仅当 cos匕AOB=士 1 4='A , 0, B 三点共
、课堂笔记
第 39 课 柯西不等式 百炼千锤
飞典型考题‘
(2017 年高考江苏卷第 21一 D 题）已知“,b,c,d 为实数，且。2 十 b2 = 4,c2 十 d2 = 16，证 明：ac 十 bd 镇 8.
李探本溯源 ‘
在普通高中课程标准实验教科书《数学 ・ 选修 4 一 5.A 版》（人民教育出版社 2007 年
Iar=./ 两- b2一 cos“，「‘ =Jy丁 d2~ cos /9,
、口＝= va 十 o sin"’戈“～ 丫‘～十 a~ sin 户
则（ac ＋阮z)2 一（ Va2+b2 ・ 价2 ＋矛 COS aCOs 月＋ Va2+b2 ・ 价2+d2 sinasinj9)2 镇 (a2 十 b2 ) (c2 十 d2 ) cos2 (a 月）((a2 十夕 ) (c2 十 d2),
等号成立当且仅当 cos2 (a 一刀）= 1. (9）面积视角 北京市朝阳区 2017 一 2018 学年第一学期期末质量检测理科第 13 题： 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问 题．一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形，按以下步骤给出了不等式（ac 十反才）2 镇 (a2 十 b2) (c2 十 d2）的一种“图形证明”．
a
柯西不等式早期只在数学竞赛中出现，但 2003 年颁布的高中数学课程标准选修系列
(4-5《 ) 不等式选讲》里加人了柯西不等式，也就是说柯西不等式已经成为选修学生的日
常教学要求．近年来，高考也相继出现了以柯西不等式为背景的试题．
作为新增内容，2017 年新课程高考《考试大纲》对柯西不等式考查的要求为：“了解柯
证明：对任意实数 a,b,c,d E R，恒有不等式（ac 十 j)2 簇 (a2 十 b2) (c2 十 d2).
）编题揭秘 ‘
一道国外数学名题的研究性学习 （参阅本书作者研究成果《一道国外数学名题的探索与发现》中学教研（数学）2017 年
课堂笔记尸
少
第 4 期）
(1989 年第二届“友谊杯”国际数学邀请赛试题）已知“,b,c> 0，求证：
等式③就是复数的模不会小于它的实部：队日 z川＝=IZ1 Z2} ）凡(} Zl Z2 I) ，等号成立当 且仅当 bc 一 ad 一 0 ，即“ = kc,b::kd.
“复数的模不会小于它的实部”其实也就是“直角三角形的斜边不会小于直角边”，考
虑到复数有坐标形式、向量形式等，这就给我们打开了不等式的坐标视角、几何视觉．
1．二维柯西不等式的理解
二维柯西不等式是：
(ac 十 Id)2 镇（"2 十 b2) (c2 十 d2) ，
y
或
‘a 十民z 毛丫。2 十夕价2 十 d2 ，
z
等号成立当且仅当“一 kc , b 一 kd (k 为非零常数），即 bc 一 ad==0.
②、③式的证明并不复杂，但其与中学数学内容的内在联系却非常广泛，揭示数学表
的任一部分，配平方提供非负项等．这里的④式可以反过来由②式用作差法得到（其推
广就是 n 维柯西不等式的配方证明）．并且②、③、④式可以有广泛的数学理解．
(2）复数视角
记 z1 = a 十 bi,z2 =‘一di，有 Z1Z2 = (a 十 bi)‘( 一 di)=:(ac 十似）十（加一 ad)i，由 此可见，④式实质上就是复数运算“模的乘积等于乘积的模”：阵土日 z2 ｝一 Izizz I ，而不
由这个方法推广可得刀维柯西不等式的简洁证明．
(7）基本不等式视角
由基本不等式得，
口（了
“
\/a2 十 b2 价2 十 d2 Va2 十 b2
“ 一 1 了 2 . '2 、
Vc2+d2 乓“ 2\a2+b2 十‘2+d2 少’
bd
b
/a2 十夕了c2 十 d2 Va2 十 b2
d
_1/ b2
d2 、
线．可见余弦定理在坐标系中与向量数量积的定义是相通的．
(5）距离视角．
在坐标平面上取点 A(a,b) ,B（一 d , c（) 参见图 2) ，一般地，OA 的直
线方程为 bx = ay ，由点 B 到直线。A 的距离 BH 不大于。B 可得，
BH OB +d I ac+bd l=l
I( l
} = '/c2
a
d
b
C
证明思路：
(1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；
(2）左图中阴影区域的面积为 ac 十Id，右图中，设 /BAD =0，右图阴影区域的面积
可表示为
（用含“,b,c,d,0 的式子表示）;
(3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式（‘ a 十Id)2((a2 十 b2 ) (c2 十 d2) ，当且仅
价 Vc22十+d己22冬~；2万、饭。‘2十+b西2 十‘‘ C2十 +d‘ J2 厂 力
t、I I - -= _Is SrI -1..-.
‘之‘ J_ hA
一，-- rtz 口n A目 FX\ _b.
以上两式相加’Va荞b2 异 +d2(1’变形即得③式
(8）参数变换视角
将点 A(a,占）,B(c,d)，写成参数式，则
1月第 2 版）里，介绍了柯西不等式：
设“1 ，。2,"・ ,a, ;bi ,b2 ,・・・ ，占．为两组实数，则
(aibi 十 a2 b2 十…十。”b, )2((a；十 a；十…十“三）(6；十占；十…十 b:) ，
x
当且仅当鱼一鱼一．.．一鱼（约定“：并。，：一 1,2,",n）时取等号．
a1 a2
于 0．作开口向上的二次函数
厂(x) = (ax 十‘)2 十（bx 十 d)2 =（矿十 b2)扩十 2 (ac 十 1d)x 十（c2 十 d2),
由于了(x))0 对一切 xER 恒成立，故有判别式不大于 0，即
4 (ac 十反了）2 一 4(a2 十 b2) (c2 十 d2)(0,
即（a2 十 b2 ) (c2 十 d2))(ac 十反才）2 ，等号成立当且仅当 ax 十‘ =0，且 bx 十 d = 0.
当且仅当舒一黔一会（约定“护。，!= 1,2,",n）时取等号
刀维柯西不等式的证明与二维柯西不等式的证明类似，（读者可仿照上述（3）向量视
角和（6）方程视角）此处从略．下面给出刀维柯西不等式的两个变式：
变式 1
设；任 R,b, > 0(i 一 1,2,... ,。 )，则口蓉l ＋ + 口手 峭一62 2 ＋ + …＋华 口 ）
丝＋丝＋…＋丝李 (x1+12 ＋… 十 工., ) 2,
曰考题解答 ‘