第八章 分离变量法
第八章分离变量法_数学物理方法
第八章分离变量法_数学物理方法分离变量法是数学物理方法中的一种重要技术，通常用于求解偏微分方程。
在这一方法中，我们将多元函数表示为一系列单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。
接下来，我将详细介绍分离变量法的思想和应用。
1.分离变量法的思想当我们面对一个多元偏微分方程时，通常很难找到它的解析解。
分离变量法的思想就是将多元函数表示为单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。
具体来说，设有一个n元函数u(x1, x2, ..., xn)，我们希望将其表示为n个单变量函数的乘积形式u(x1, x2, ..., xn) =u1(x1)u2(x2)...un(xn)。
代入偏微分方程后，我们可以得到一系列等式，将等式两边同时除以对应的单变量函数后，得到n个只依赖于一个变量的常微分方程。
然后我们可以分别求解这些常微分方程，得到对应的单变量函数的解析解。
2.分离变量法的应用分离变量法在物理学中有广泛的应用，特别是在描述传热、传质、波动等现象的偏微分方程的求解中。
以下是几个典型的例子：(1)热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
假设物体的温度分布函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
热传导方程可以写成如下形式：∂u/∂t=a²∇²u其中a是热传导系数。
我们可以将温度分布函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入热传导方程，得到两个常微分方程X''/X=T'/a²T。
分别解这两个方程，可以得到温度分布函数的解析解。
(2)线性波动方程线性波动方程是描述波动现象的方程。
假设波动函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
∂²u/∂t²=v²∇²u其中v是波速。
我们可以将波动函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入线性波动方程，得到两个常微分方程X''/X=v²T''/T。
分离变量法
X C1 cos x C2 sin x
而由边界条件
C1 0
C2 sin
因为
l 0
所以 sin
C2 0
l 0
l n
n
2 2
l
2
有
X C2 sin
n
x
l 《数学物理方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ》
n
2
2
l
2
称为本征值
X C2 sin
n l
x
是Furier级数的基本函数族
utt a 2u xx 0 (0 x l , t 0) (4) u x ( x, t ) x 0 0 ，u ( x, t ) x l 0 (t 0) u ( x, t ) t 0 ( x) ，u ( x, t ) t 0 ( x ) (0 x l )
初始条件
u t 0 u0 x / l
驻波的一般式
u ( x, t ) X ( x)T (t )
分离变量
《数学物理方法》
ut a u xx 0
2
边界条件
u ux
x 0 x l
0 0
2
u ( x, t ) X ( x)T (t )
代入泛定方程
X ( x)T ' (t ) a X " ( x)T (t ) 0
T ' (t ) a T (t ) 0
以下求X
（1）、 < 0， = 0
仅得无意义的解
（2）、 > 0
X 0
X " X 0
0
k l
d n l d
《数学物理方法》
数学物理方法课件第八章------分离变量法
由傅里叶正弦级数展开 式系数公式可求出
2 l 2 (2n 1) 32l 2 An ( x 2lx) sin xdx 0 l 2l (2n 1)3 3 Bn 0
故定解问题的最终解为
u( x, t ) 32l 2
3
1 (2n 1)a ( 2n 1 )π cos t sin x 3 2l 2l n 1 (2n 1)
齐次方程+齐次边界条件
非齐次方程+齐次边界条件 非齐次方程+非齐次边界条件
2
8.1 有界弦的自由振动
定解问题1 研究两端固定的弦的自由振动
(0 x l , t 0)
2 泛定方程： utt a uxx 0
边界条件： u( x, t ) 初始条件： u
t 0
x 0
0
u( x, t )
C1 C 2 0
同样只有零解，不合题意；
(3)
0
X ( x) C1 cos x C2 sin x
X (0) C1 0
非零解 C2 0
X (l ) C2 cos l 0
cos l 0
(2n 1) 2 2 则n , 2 4l (n 1,2,...)
第三步：求出全部特解，并叠加出一般解（形式解）； n n n u ( x, t ) (Cn cos at Dn sin at )sin x l l l n 1
第四步：代入初始条件，运用特征函数的正交性确定叠加系数.
注意本征函数问题：
本征值问题 边界条件
X (0) X (l ) 0 X (0) X (l ) 0 X (0) X (l ) 0
分离变量法
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
第八章-分离变量法(1)
d
0
l
定解问题
utt a2uxx 0
u x0 0
u 0 xl
u t0 (x)
ut t0 (x)
答案
u( x, t )
n1
( An
cos
n at
l
Bn
sin
n at
l
) sin
n
l
x
2
An l
l
( )sin
n
d
u u
x0 xl
0 0
方程 边界条件
线性、齐次
叠加原理
u( x, t )
n1
( An
cos
n at
l
Bn
sin
n at
l
) sin
n
l
x
一般解
An，Bn —— 任意常数
确定解？ An，Bn 初始条件
u t0 (x) ut t0 (x)
选取适当的叠加系数 An 和 Bn ，满足初始条件 :
傅里叶 正弦级数
n1
An
sin
n
l
x
(x)
n1
Bn
n
l
a
sin
n
l
x
(x)
0 x l
把右边展开为傅里叶正弦级数，然后比较两边的系数
An
傅里叶系数n
2 l
l
( )sin
n
d
0
l
Bn
l
n
a
傅里叶系数 n
2
数学物理方法：第八章-分离变量法-4
柱坐标系中拉普拉斯方程的一般解为
(,,)()()()
m m n n m u r z R r Z z ϕϕ∞
==Φ∑∑其中对于不同的边界条件函数)的形式不样其中对于不同的边界条件，函数R m (r )Z n (z ) 的形式不一样。
结论：
(1) 如果柱的侧面上是齐次边界条件，由此可以确定出本征值μ，而且径向函数所遵从的方程为贝塞尔方程；
（2）如果两端为齐次边界条件，由此可以确定出本征值μ = -ν 2，而且径向函数所遵从的方程为虚宗量贝塞尔方程。
因此，在求解柱坐标系中的拉普拉斯方程时，首先要分辨清楚是柱侧面为齐次边界条件，还是两端为齐次边界条件，以便确定本征值问题。
思考μ = 0????
方程的一般解：
()(,,,)()()()
m m n nj u r z t R r Z z T t ϕϕ∞
∞
=Φ∑∑∑10n
j m ==可见：对于波动方程在柱坐标系中的定解问题，存在三个本征值，即λ , ν 2，及μ= k 2-ν 2，它们分别由周期性条件，圆柱两端的齐次边界条件和圆柱侧面的齐次边界条件来确定。
对于输运方程，也可以得到类似的解：
()2210
(,,,)()()n
k a t m m n n
j m u r z t R r Z z e
ϕϕ∞
∞
-===Φ∑∑∑。
《分离变量法》课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
8-分离变数法
第八章分离变数法分离变量法的基本思想是,先求出方程具有变量分离形式且满足边界条件的特解, 然后根据叠加原理作出这些解的线性叠加, 最后由其余的定解条件确定待定系数, 得到定解问题的解.分离变量法的特点是把偏微分方程化为常微分方程来处理,使问题化难为简.分离变量法的关键步骤是求解本征值问题,即求解含有参量λ的齐次常微分方程的边值问题.其边界条件分别为齐次边界条件、周期性边界条件和自然边界条件(有界性边界条件)分离变量法适用于波动问题、输运问题和稳定场问题在特殊域矩形、长方体(直角坐标系)圆、圆柱体(柱坐标系)圆球(球坐标系)中的定解问题, 因为这些特殊域正好常常在实际问题中出现, 这是分离变量法有广泛的应用的原因.二阶常系数齐次线性常微分方程及其解法：2122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中∆'''=++∆=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r 的形式，21r r(*)式的通解 两个不相等实根)04(2>-q p x r x r e c e c y 2121+= 两个相等实根)04(2=-q p x r e x c c y 1)(21+=一对共轭复根)04(2<-q p4221p q pi r i r -=-=-=+=βαβαβα，，)sin cos (21x c x c e y x ββα+=§8.1 齐次方程的分离变数法驻波法（一）分离变数法介绍求：两端固定弦的自由振动(p143)。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====<<=-====)3.1.8()(),()2.1.8(0,0)1.1.8()0(00002x u x u u u l x u a u t t t l x x xx tt ψϕ解：定解问题是特点：方程和边界条件都是线性齐次的,初始条件为非齐次的。
第八章-分离变量法-1(1119)
n X ( x) X n ( x) Bn sin l
n x n l
2
n 1, 2,3,
n n n u ( x, t ) Cn cos at Dn sin at sin l l l n 1
考虑无限长的弦的自由振动问题 弦很长，考虑波动或者振动在所考虑的时间内没有到达边界， 给定初始位移和速度，没有强迫外力作用。
2 2u u 2 0 x , t 0 t 2 a x 2 0, u ( x, 0) ( x), ) x ut ( x, 0) ( x),
0
l
n l
kπx l
2 l kπx bk f ( x) sin( )d x 0 l l
如果f ( x)是奇函数
f ( x) a0 (ak cos
k 1
kπx kπx bk sin ) l l
ak bk
k l l
1lBiblioteka f ( x) cos(kπx )d x l
驻波的形成
振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相 反方向传播时 叠 反方向传播时，叠加而形成的一种特殊的干涉现象。 形成的 种特殊的 涉 象 当一列波遇到障碍时产生的反射波与入射波叠加可产生驻波。
驻波的形成
u 1 A cos 2 π ( t
x
x u 2 A cos 2 π ( t )
0
l
n l
x dx 0
分离变量法总结
（1）采用分离变量法，即令 u ( x, t ) X ( x)T (t ) ，将原来的偏微分方程转化成 两个常微分方程，同时引入了一个待定的常数 （本征值） 。同时，对边界条件 进行分离变量，给出函数 进行分离变量 给出函数 X ( x) 在 在边界上的取值。 界 的取值 （2）将函数 X ( x) 所满足的常微分方程与其对应的边界条件联立，可以确定 出本征值 n 和本征函数 X n ( x) 。 （3）将本征值 n 代入函数 T (t ) 所满足的常微分方程，确定出该的解 所满足的常微分方程 确定出该的解 Tn (t ) ， 进而确定出特解 un ( x, t ) X n ( x)Tn (t ) 。 （4）将泛定方程的特解进行线性叠加，给出它的一般解，并根据初始条件 确定出一般解中的系数 确定出 般解中的系数 Cn 及 Dn 。
数理方程-分离变量法
第八章 分离变量法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。
特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。
（2）物理上 由叠加原理作保证。
例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。
第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）)()()()(2t T x X a t T x X ''=''变形得)()()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。
《分离变量法》课件
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
分离变量法
1.2
分离变量法的物理意义
令 Nn =
2 A2 n + Bn ,
αn = arctan 混合问题 (1) 的解的每一项可化为 un (x, t) = Nn sin
Bn , An
nπ anπ x sin t + αn . l l
un (x, t) 是振动元素。对于弦上任意一点 x ， un (x, t) 描述了这一 anπ nπ ， 频 率 ωn (x) = ，初 点 的 简 谐 振 动 ， 其 振 幅 an (x) = Nn sin l l l n−1 相位为 αn 。于是 ，当 x = 0, , . . . , l, l 时，振幅 an (x) = 0 ；当 n n l 3l 2n − 1 x= , ,..., l 时，振幅 an (x) = ±Nn 达到最大。因此弦的振动 2n 2n 2n 可以看作一系列具有特定频率的驻波的叠加。 特别地，考虑定解问题 utt − a2 uxx = A (x) sin ωt, (x, t) ∈ (0, l) × (0, +∞) , u (x, 0) = ut (x, 0) = 0, x ∈ [0, l] , u (0, t) = u (l, t) = 0, t ∈ [0, +∞) . x 我们可得
4
将 u (x, t) ， f (x, t) ， ϕ (x) ， ψ (x) 均按特征函数系展开：
∞
u (x, t) =
n=1 ∞
Tn (t) sin fn (t) sin
n=1 ∞
nπ x, l nπ x, l
f (x, t) = ϕ (x) =
n=1 ∞
ϕn sin ψn sin
n=1
nπ x, l nπ x, l
分离变量法的
分离变量法的
分离变量法是一种统计学理论，它是一种实验设计的常用策略，可以帮助研究
者更好的分析现象中的潜在关系和因果性。
分离变量法的基本原理是将实证研究中的所有变量被系统地组织起来，以便为
研究者提供有效而合理的实验设计，以更加精确地检验每一个变量的影响。
分离变量法是通过安排控制实验来识别变量之间的相互关系。
这种方法有助于研究者发现各种影响及事件的病理机制，从而帮助他们分析解
释一个现象的发展历史，其中包括看不见的因素以及它们之间的相互作用。
而且，通过识别自变量、因变量及其他变量之间的关系，研究者可以鉴定和认识不同文化、不同地域、不同时期但是有着同种现象的拥有相同因素的历史事件。
另外，分离变量法也有助于帮助研究者避免陷入潜在的偶然性结果，这样他们
可以获得有着实证依据的调查结论。
另外，在使用该方法的过程中，也可以有效避免受试者的建议影响，从而使实验能够更加有效地实施和衡量。
从以上可以看出，分离变量法是一种重要而有效的实证研究方法，它是通过对
实验变量的有效且系统化排列，对实验结果带来重要的影响。
它不仅有助于研究者从现象的发展历史中获取有用的信息，还能够帮助他们避免陷入偶然性结果的陷阱，从而使他们获得实证依据的结果。
数学物理方法技巧分离变量法
目录
CONTENTS
• 引言 • 分离变量法的基本原理 • 分离变量法的具体应用 • 分离变量法的注意事项 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的未来发展与展望
01
引言
分离变量法的定义
分离变量法是一种数学物理方法，用 于将多变量问题转化为多个单变量问 题，以便于求解。
它通过将偏微分方程转化为常微分方 程，或者将高阶微分方程转化为一系 列在解决具有多个相互独立变量的物理 问题时，如波动、热传导、流体动力 学等，分离变量法是非常有效的工具 。
它适用于具有周期性边界条件或对称 性边界条件的问题，如无限大区域、 周期性结构等。
THANKS
感谢您的观看
结合其他数值方法进行优化
1 2 3
混合方法
结合分离变量法和有限元法、有限差分法等其他 数值方法，形成混合方法，取长补短，提高求解 精度和效率。
自适应方法
结合分离变量法和自适应方法，根据问题特性和 求解需求，动态调整算法参数和求解精度，实现 高效求解。
无网格方法
结合分离变量法和无网格方法，克服传统数值方 法的网格依赖性，提高求解灵活性。
02
偏微分方程的解需要满足一定的边界条件和初始条件。
03
偏微分方程的解需要满足可解性条件，即解需要是有限个变 量的函数。
分离变量法的步骤
01
将偏微分方程转化为常微分方程。
02 对常微分方程进行求解，得到各个变量的解。
03 将各个变量的解组合起来，得到原偏微分方程的 解。
03
分离变量法的具体
应用
一维波动方程的分离变量法
为了确保数值解法的稳定性，可以采用多种方法，如增加计算步长、使用更精确的数值格式等。同时 ，也需要不断尝试和改进计算方法，以提高数值解法的稳定性和准确性。
第八章 分离变量法
得
b λ 4a
2 4
1 n + π 2 π L = nπ + ,λ = 2 L
2
b2 + 4a4
T n (t ) = c n e u (x , t ) =
a
2 n +1 2 b2 ( π )2 + 2L 4a4
t t
∑
∞
n =1
cne
2 n + 1π 2 b2 + 2L 4a4
第八章 分离变量法
8.1 齐次方程的分离变量法 对线性偏微分方程有一个重要解法—— 分离变量法. 下面我们通过一些实例来介绍此方法. 例1 讨论两端固定的均匀弦的自由振动. 定解问题 : utt -a2uxx =0 ( 0<x<L) u|x=0 =0, u|x=L =0 ( t >0 ) u|t=0 =φ(x),ut|t=0=ψ(x) 解:令 u(x,t )=X(x) T(t) (1) 把(1)式代入原方程得:
对此问题我们 要求的是非平凡解——即u≠0 情况,也就是有振动情况. XT ' ' a 2 X ' 'T = 0 .(2 )
X '' T '' = 2 = λ , X a T X ' ' + λ X = 0 .(3 ) T
''
+ λ a 2 T = 0 .(4 ),
对第一类齐次边界条件
(3 )当 λ
l
l
l
1 1 A0 = ∫ (ξ )dξ , B0 = ∫ψ (ξ )dξ . l0 l0 2 nπξ 2 nπξ An = ∫ (ξ ) cos dξ , Bn = ∫ψ (ξ )cos l dξ .(15) l 0 l nπa 0
第八章分离变量法
x
振
幅
n an N n sin x l
频
率
an n l
初相位 n
7
8
前面介绍利用分离变量法处理第一类齐次边 界条件的定解问题，第二类边界条件的定解问题 以及混合边界条件的定解问题呢？
9
第二类边界条件定解问题
utt a 2u xx 0, x (0, l ), t 0 u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), x [0, l ] u (0, t ) u (l , t ) 0, t 0 x x
a 2 (n 1 )2 2 (n 1 ) 2 2 u ( x, t ) An exp t sin l2 l n 0
x
系数由初始条件确定
2 l (n 1 ) 2 An ( )sin d l 0 l
分离变量 u( x, t ) X ( x)T (t )
X ( x) X ( x) 0 X (0) X (l ) 0
n X ( x) cos l
2
x,
n , n 0,1, 2,3, l T (t ) a2T (t ) 0
物理解释： 一根长为 l 的均匀细杆，其右端保持绝热，左 端保持零度，给定杆内的初始的温度分布，在 没有热源的情况下杆在任意时刻的温度分布
13
X ( x) X ( x) 0 X (0) X (l ) 0
n 1 2 X ( x) sin l
n n , l n 1 2 X n ( x) cos l n 0,1, 2,3,
8. 分离变量法
第八章分离变量法•§8.1 齐次方程的分离变量法•§8.2 非齐次方程：振动和输运方程•§8.3 非齐次边界条件的处理•§8.4 非齐次方程：泊松方程•§8.5 小结•适用于大量的定解问题。
其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中一些常微分方程有附加条件而构成本征值问题。
再通过傅里叶级数展开法，求解方程。
•本章内容将限于本征函数为三角函数的情形，以后几章将讨论非三角函数的情形。
•傅里叶级数法适用于系统的边界具有矩形对称形状，即当方程的解用平面波展开时，自然地满足边界的对称性。
其它本征函数展开法适用于相应的边界条件。
•内容：（1）齐次方程齐次边界条件的定解；（2）非齐次方程齐次边界条件的定解、冲量定理法；（3）齐次方程非齐次边界条件问题；（4）泊松方程。
b a π⎟⎠其中选取a=1,b=1/2,U=1§8.2 非齐次方程：振动和输运方程•前面讨论的都是齐次线性方程，即没有外源时的运动方程的定解问题。
当有外源时，方程是非齐次的。
本节讨论如果边界条件是齐次的，如何处理非齐次线性方程。
我们通常采用傅里叶级数法和冲量定理法。
•下一届我们还要继续讨论边界条件也是非齐次的微分方程的处理方法。
（一）傅里叶级数法•用傅里叶级数结合分离变量法求解非齐次偏微分方程，该方法是直接求解非齐次方程的定解问题，其思路如下：•假设方程的解具有形式：u(x,t)=∑n T n (t)X n (x). 其中，基本函数族X n (x)为该定解问题的齐次方程在所给的齐次边界条件下的本征函数。
T n (t)被视作待定的“系数”。
•处理问题的思路是，我们把T n (t)当做函数，将u(x,t)代入泛定方程，以便分离出T n (t)所满足的常微分方程，从而得到其具体的函数形式。
思考：1.如果上述非齐次方程右边的余弦函数改写成一般的函数f(x)sin ωt ，是否可以用本方法进行求解？2.如果方程右边的非齐次项具有一般的函数形式f(x,t)能否用现有方法求解？•本方法的实质是将原来的齐次线性方程的分离变量u(x,t)=X(x)T(t)做细分，即取u(x,t)=∑n X n (x)T n (t)，其中X n (x)具有齐次线性方程的本征函数的形式。
微积分-分离变量法 (1)
dxdy dx x 5=y dy dxy 5=x dy dx5=y x y 分离变量法分离变量法是是一个特别的解微分方程方法微分方程 是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dy dx5=微分方程（导数）yx 例子：有函数 y 和其导数的方程 dy dx什么时候可以用？在以下的情形可以应用分离变量法：所有 y 项（包括 dy）可以被移到方程的一边，所有 x 项（包括 dx）可以被移到另一边。
方法方法有三步：一、把所有 y 项（包括 dy）移到方程的一边，把所有 x 项（包括 dx）移到另一边。
二、把一边对 y 积分，另一边对 x 积分。
不要忘了 "+ C" （积分常数）。
三、简化例子：解（k 是常数）dydx= ky 一、分离变量：把所有 y 项移到方程的一边，把所有 x 项移到方程的另一边。
每边乘以 dx： dy = ky dx每边除以 y：dyy= k dx 二、每边分开来求积分：积分符号放在前面：∫ dy y= ∫k dx求左边的积分： ln(y) + C = ∫k dx 求右边的积分：ln(y) + C = kx + DC 是积分常数。
用D 来代表另一个（不同的）积分常数。
三、简化合并两个常数为一个(a=D−C):ln(y) = kx + ae(ln(y)) = y，所以我们取每边的幂：y = e kx + ae kx + a = e kx e a，所以这是：y = e kx e ae a 是个常数，我们用 c 来代替它y = ce kx解了：y = ce kx这是个一般的一阶微分方程，在很多不同的实际情况下都会出现。
在上面我们用了 y 和 x，用其他的名字来代表变量也是可以的：例子：兔子！有越多兔子就会越多小兔子，小兔子长大后又会生小兔子。
这样，兔子的数量会增长得越来越快！重要的信息是：在任何时间 t 时兔子的数量 N增长率 r数量变化率 dN dt在任何时间的变化率是增长率乘以在那一刻的数量：dN= rNdt慢着！这和上面 例子是同一个方程，只不过字母不同：是 N， 不是 y是 t， 不是 x是 r， 不是 k所以解是（同上）：N = ce rt举个例子，这是 N = 0.3e2t 的图：指数式增长还有其他类似的方程，例如 连续复利。
分离变量法的适用条件
分离变量法的适用条件分离变量法是微积分中的一种常用方法，用于求解含有多个未知变量的方程。
它适用于具有一定特殊结构的方程，这种结构可以使得方程可以通过分离变量的方式进行求解。
下面我们将详细介绍分离变量法的适用条件及其应用。
分离变量法适用于含有多个未知变量的方程，并且这些未知变量可以通过分离变量的方式分开求解。
换句话说，方程中的未知变量可以通过对两边同时求积分的方式，将其分离开来，从而得到单个未知变量的解。
这要求方程中的未知变量可以相对独立地进行分离。
分离变量法适用于方程中的每一个未知变量都可以表示为该变量自身的函数与其他未知变量的函数的乘积。
这样的分离结构使得我们可以将方程两边的未知变量分离开来，并通过求积分的方式求解。
分离变量法还要求方程中的每一个未知变量的函数关系都是已知的，即我们可以准确地表示出每个未知变量与其他未知变量之间的关系。
这样才能确保我们在分离变量时不会引入错误的结果。
值得注意的是，分离变量法并非适用于所有的方程，只有符合上述条件的方程才能使用该方法进行求解。
因此，在应用分离变量法时，我们需要先对方程进行分析，判断是否满足适用条件。
下面我们来看一个具体的例子，以更好地理解分离变量法的应用。
假设我们要求解如下的微分方程：dy/dx = x^2 * y我们可以观察到方程中的未知变量y只与自变量x有关，而且可以表示为y和x的乘积。
因此，我们可以将方程进行变形，将含有y 的项移到方程的一边，含有x的项移到方程的另一边：dy/y = x^2 dx接下来，我们对方程两边同时进行积分。
对于左边的积分，我们可以使用ln函数进行求解。
对于右边的积分，我们可以使用幂函数的积分公式来求解。
经过积分后，我们得到：ln|y| = (1/3) * x^3 + C其中，C为常数。
最后，我们可以将上式转化为指数形式，得到最终的解：y = e^((1/3) * x^3 + C)通过以上的例子，我们可以看到分离变量法的应用过程。
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x
c2 e
x
c1 c2 0 c1e l c2e
l
0
b
a
n ( x ) ( x )dx 0 ，
* m
m n,
b
a
n ( x ) ( x )dx n ( x ) dx 1,
* n b 2 a
正交归一关系可记为：
b
a
n ( x ) ( x )dx mn
* m
0, 1,
m n, m n.
例：①
1,cos n x,sin n x
(n 1,2)
为定义在[-T/2, T/2]上的正交函数系. ②
1 , 2 cos n x , 2 sin n x T T T 1 e in x T
(n 1, 2)
和
(n 0, 1, 2)
为定义在[-T/2, T/2]上的正交归一函数系.
l
l
步骤三. 求出特解 2 2 n 2 将 n 2 代入 T '' a T 0 l n a n a 得： Tn ( t ) an cos t bn sin t l l
n a n a n un ( x , t ) An cos t Bn sin t sin x l l l n a n 2 2 An Bn sin( t n ) sin x l l
n x 由初始条件: u t 0 ( x ) An sin l n 1 n a n ut t 0 y ( x ) Bn sin x l l n 1 2 l n 待定系数为： An 0 ( x )sin l x dx l 2 l n Bn 0 y ( x )sin l x dx n a
线性方程组系数行列式不为0
c1 c2 0
X ( x) 0
即 0 时，为平凡解.
2. 若 0 , 得通解为： 由 X (0) X ( l ) 0 即
X ( x ) c1 c2 x
c1 c2 0
0 时，仍为平凡解.
X (0) 0 X (l ) 0
0 xl l x0
再作周期延拓, 可展为傅氏余弦级数. 此时, f '(0) = 0
若，先作奇延拓:
f ( x ), f1 ( x ) f ( x ),
0 xl l x0
再作周期延拓, 可展为傅氏正弦级数. 此时, f (0) = 0
注: 在 x0 点作偶延拓, 则 f '( x0 ) 0; 作奇延拓, 则 f ( x0 ) 0 . 需根据题意，作适当的延拓. 例8.2 将函数 f ( x ) x, x (0, l )展开成傅里叶级数， 并使 . f '(0) 0, f ( l ) 0 y
§8.2 一般混合问题的简化 §8.5 齐次化原理
utt a 2 uxx f1 ( x , t ) (0 x l , t 0) 例： ( t 0) u x 0 u1 ( t ), u x l u2 ( t ) u t 0 1 ( x ), ut t 0 y 1 ( x ) (0 x l )
上的正交函数系 作展开. How: 由傅里叶级数正交关系, 计算展开系数? ◆ 物理意义：周期信号可分解为直流成分、
1,cos n x,sin n x
( n 1, 2)
基波成分 () 和高次谐波 (n) 成分之和
◆ 若T = 2l ，则
a0 n x n x f ( x ) (an cos bn sin ) 2 n 1 l l
n ( x) n ( x)
(n 1, 2,)
例: 对正交函数系 1,cos n x,sin n x ，归一化得:
1 2 2 , cos n x , sin n x ( n 1, 2) T T T
■
正交函数系展开
[a, b]上的函数 f (x), 由正交函数系 n ( x) 展开为:
f ( x ) C n n ( x )
n
则展开系数为：
Cn
1
n ( x) ( x )dx
* n ( x) 已归一化，则 Cn a f ( x )n ( x )dx ★ 若 b
二. 傅里叶级数
狄利克莱定理 设函数 f (x) 以 T 为周期, 在
O
l
x
Tips: 同一个函数可以延拓为不同周期的函数，
进而给出函数的不同的级数表达式. 对有限区间上函数的傅里叶级数展开, 首先应注意 延拓的周期 T；亦即，要注意所采用的正交函数系
是定义在哪个区间上的.
2 周期 T 展开频率： T T T 常用展开区间： [ , ] 2 2 2 展开系数计算中的常数： T
2
1 a 例8.1 将函数 f ( x ) (a 1) 2 1 2a cos x a
展开为傅里叶级数，并写出复数形式.
三. 有限区间上函数的傅里叶展开
对定义在有限区间[ 0, l ] 上的函数 f (x),可先
将函数延拓为周期函数, 再展为傅里叶级数.
例：先作偶延拓:
f ( x ), f1 ( x ) f ( x ),
每一个特解对应于弦上的一个驻波. 特解
特解只满足边界条件(本征解), 不满足初始条件.
步骤四. 叠加得通解,并由初始条件确定待定系数
该问题的通解为：
n a n a n u( x , t ) An cos t Bn sin t sin x l l l n 1
两端固定的弦的振动形成驻波.
驻波可表示成空间变量函数 X (x) 与
时间变量函数 T (t) 之积. 即
u( x , t ) X ( x )T ( t )
步骤一. 分离变量
令 u( x , t ) X ( x )T ( t ) 1. 对泛定方程： X T '' a X ''T 0
2
T '' X '' 2 aT X
T '' a 2T 0 即： X '' X 0
2. 对边界条件：
X (0)T ( t ) 0, X ( l )T ( t ) 0 X (0) 0, X ( l ) 0
步骤二. 求解本征值问题 X '' X 0 X (0) 0, X ( l ) 0
u( x , t ) A0 B0t n a n a n An cos t Bn sin t cos x l l l n1
Compare: 两端固定的弦的自由振动问题
n a n a n u( x , t ) An cos t Bn sin t sin x l l l n1
n ( x ) ( x )dx
* n
b
a
n ( x ) dx
2
m , n n ( x ) ( x )dx 0, a
* m
(m n)
n 1
Schwartz不等式
b
a
n ( x ) ( x )dx m
* m
2
2
n
2
☆ 对正交函数系 n ( x) ，作归一化(单位化)得 正交归一函数系：
例：两端自由的弦的自由振动问题及其通解
utt a 2uxx 0 (0 x l , t 0) ( t 0) ux x 0 0, ux x l 0 u t 0 ( x ), ut t 0 y ( x ) (0 x l )
◆ 若傅里叶级数的正交函数系选为复函数
e in x ( n 0, 1, 2)
则有复数形式的傅里叶级数：
f ( x)
其中，
n
c
n
exp in x
1 cn T
T /2
T / 2
f ( x )exp in x dx ( n 0, 1, 2)
区间 [-T/2,T/2] 上满足狄利克莱条件, 即在该
区间上，至多存在有限个第一类间断点和极限点，
则 f (x) 可展开为傅里叶级数:
a0 f ( x ) (an cos n x bn sin n x ) 2 n 1
其中,
2 T /2 an T T / 2 f ( x )cos n x dx 2 T /2 b n T / 2 f ( x )sin n x dx T
c1 0
c2 sin l 0 c2 0, sin l 0
3. 若 0 , 通解为： X ( x ) c1 cos x c2 sin x 由
要得非零解，则
l n , ( n 1, 2,) n n2 2 本征值： n 2 本征函数： X n ( x ) cn sin x
内积
x, y x1 y1 x2 y2 xn yn xT y
长度(范数) x 正交 归一
x, x
2 2 2 x1 x2 xn
x, y 0,
x 1
[ x, y] arccos x y 2
Schwartz不等式 基的单位化
§8.3 分离变量法的解题步骤