101 函数概念
高中数学-函数概念及其性质知识总结
数学必修1函数概念及性质（知识点陈述总结）（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注重：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注重：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注重：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.(3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y= f(x),x∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。
函数的概念与性质
函数的概念与性质函数是数学中常见的一个概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将围绕函数的概念和性质展开详细的讨论，并对其应用进行简要说明。
一、函数的概念函数是一种数学关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的一个元素。
通常，我们用f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，而f(x)是值域中对应的元素。
函数的定义域是所有能够输入到函数中的值的集合，而值域则是函数的输出值所组成的集合。
函数可以通过不同的方式来表示，比如通过数学公式、图形、表格等。
无论如何表示，函数都遵循相同的规则，即每个输入值都对应唯一一个输出值。
这种一对一的对应关系是函数的基本特性，也是函数与其他关系的区别之一。
二、函数的性质1. 定义域和值域函数的定义域和值域是函数的两个重要性质。
定义域是所有能够输入到函数中的值的集合，而值域则是函数的输出值所组成的集合。
函数的定义域和值域可以有不同的性质，比如可以是有限集合、无限集合或者实数集。
2. 单调性函数的单调性描述了函数图像在定义域上的变化趋势。
函数可以是递增的，即随着自变量的增大，函数值也增大；也可以是递减的，即随着自变量的增大，函数值减小。
此外，函数还可以是严格递增或者严格递减的，即在定义域上不存在相等的函数值。
3. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数图像的对称性。
如果对于定义域上的任意x值，有f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果对于定义域上的任意x值，有f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
4. 周期性周期函数是一种具有重复模式的函数，其图像在定义域上以一定的周期重复出现。
周期函数可以表示许多周期性现象，比如正弦函数和余弦函数等。
5. 极限极限是函数的重要性质之一，它描述了函数在某个点上的“趋近”状态。
如果函数f(x)当x无限接近某个值a时，它的函数值也无限接近某个常数L，则称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限，记作lim[x→a]f(x) = L。
三、函数的应用函数在数学中有广泛的应用，同时也在许多其他领域中发挥着重要的作用。
高中数学必修一函数的概念知识点总结
必修一第一章 集合与函数概念二、函数知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域.2》区间和无穷大①设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：{x|a ≤x ≤b}＝[a,b] 叫闭区间； ②{x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间；③{x|a ≤x<b}＝[,)a b ， {x|a<x ≤b}＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.④符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.典例分析题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ）A 、x y x f 21)(=→ B 、x y x f 31)(=→ C 、x y x f 32)(=→ D 、x y x f =→)(例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数：①}{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方；③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。
九年级数学函数的概念与性质
九年级数学函数的概念与性质函数是数学中的一个重要概念，同时也是九年级数学的重点内容之一。
本文将全面介绍函数的概念与性质，帮助学生进一步理解和掌握这一知识点。
概念部分：在数学中，函数是一种特定的关系，它将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）。
函数通常用“f(x)”或“y=f(x)”表示，其中f为函数名，x为自变量，y为因变量。
函数的定义域是所有可能的自变量的集合，值域是所有可能的因变量的集合。
函数的性质部分：1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数最基本的性质。
定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
在实际问题中，定义域和值域可能受到一定限制，需要注意对于函数的适用范围。
2. 单调性：函数的单调性表示函数在定义域上的增减关系。
如果函数在定义域上递增，那么它是一个增函数；如果函数在定义域上递减，那么它是一个减函数。
可以通过函数的导数来判断函数的单调性。
3. 奇偶性：函数的奇偶性与函数的对称性相关。
如果一个函数满足f(-x) = f(x)，则它是一个偶函数；如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，则它是一个奇函数。
奇偶函数通常都有一条对称轴，可以通过对称性质简化计算。
4. 分段函数：分段函数是由多个部分组成的函数，不同部分具有不同的定义域和表达式。
在定义分段函数时，需要根据自变量的取值范围来选择相应的表达式。
分段函数在实际问题中具有很强的适用性，可以更好地描述复杂的关系。
5. 函数的图像与性质：函数的图像是将自变量和因变量的对应关系用平面上的点表示。
通过观察函数的图像，可以得到一些关于函数的性质。
例如，函数的最值、函数的零点、函数的极值等。
函数的图像常常用来解释和验证函数的性质，对于理解函数提供了直观的帮助。
6. 反函数：对于一个函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)，使得g(f(x)) = x，那么g(x)称为f(x)的反函数。
反函数可以通过函数的图像观察得到，通常表示为f^(-1)(x)。
高中数学-必修一-函数第一节(巧妙讲解)
四、区间的概念
设实数 a b :
1）、若 a x b 的实数 x 的集合叫闭区间,表示为： a,b ,集合表示为： x a x b ；
2）、若 a x b 的实数 x 的集合叫开区间,表示为： a,b ,集合表示为： x a x b ；
二、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
图象法：把自变量 x 的值与之对应的 f x 的值通过坐标内的点集表示出来.
例如图 1： y
4
3
2
1
O 1234
x
图1
列表法：把自变量 x 的值与之对应的 f x 的值通过列表的方式表示出来.
例如图 2:
x
1
2
3
4
1
2
3
4
图2
★说明：适用于有限集合；
一确定值 f x 与之对应,那么就称 f x 为从集合 A 到 B 的一个映射,记作 f : A B .其中 B 中的元素中 y 叫作
A 中的元素 x 的象, x 叫作 y 的原象.
★说明：在 f : A B 中.
1） A 中元素在 B 中必有象,并且象唯一； 通俗的说: A 中不能有剩余的元素, 并且 A 中元素不能对应 B 中多个,只能对应 一个.
【例 2】只要抓住两点:（1）集合 A 中任何一个元素都有象；（2）集合 B 中的每一个元素不一定有原象；这两条
就不难发现,C 选项当 x 4 时, y 2 4 8 2 ,即 A 中不是所有元素都有象.故答案：C. 33
【例 3】 抓住：一箭一雕、多箭一雕是函数；一箭双雕、一箭多雕不是函数；（ x 代表箭, y 代表雕）,A、D 是两
2024届新高考一轮复习人教A版 第二章 第1节 函数的概念及其表示 课件(38张)
C )
g(x)=
C.f(x)= 与 g(x)=|x|
0
D.f(x)=1,x∈R 与 g(x)=x
解析:A选项中函数f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为R,定义域不同,不是同
一个函数;B选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义
域不同,不是同一个函数;C选项中函数f(x),g(x)的定义域均为R,对应法则也相同,
2
所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=x -x+3.
义域.
求函数的解析式
1.(2022·黑龙江哈尔滨月考)已知 f( +1)=lg x,则 f(x)的解析式为
解析:令 +1=t(t>1),则 x=
所以 f(t)=lg
所以 f(x)=lg
(t>1),
-
(x>1).
-
答案:f(x)=lg
(x>1)
பைடு நூலகம்-
,
-
.
2.若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为
所以f(x)的定义域为[-5,5],所以f(1-2x)满足-5≤1-2x≤5,所以-2≤x≤3,
所以函数f(1-2x)的定义域为[-2,3].
3.若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(x-1)的定义域为
解析:因为f(x)的定义域为[0,2],
所以0≤x-1≤2,即1≤x≤3,
所以函数f(x-1)的定义域为[1,3].
答案:[1,3]
1-1函数的概念
13-8
1.1.1 函数的定义
2019/10/10
定义1 设 x 和 y 是两个变量， D是一个给定的
数集，如果对于每个数 x D，变量 y按照一定
法则总有确定的数值和它对应，则称 y是 x的函 数，记作 y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当 x0 D 时，称 f ( x0 )为函数在 x0 的函数值.
是由下列三个简单函数复合而成的
y 2u , u arctan v, v x2 1．
2019/10/10 13-25
例7
已知
f
(x
1) x
x2
1 x2
,
求
f
(
x).
解
因为
f
(x
1) x
x2
1 x2
(x
1 )2 x
2
故
f ( x) x2 2.
例8 函数 y ln 1 x2 是由哪些函数复合而
x2 1,
x 1 1 x 0
. 0 x 2
x 2
多个函数复合
例如，三个函数
y sin u, u v, v ex 1
产生的复合函数是 y sin( ex 1), x (, ) ．
复合函数的分解
例如，复合函数
y 2arctan(x2 1)
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第1章 函 数
13-1
2019/10/10
预备知识
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM,
高一数学函数概念知识点
高一数学函数概念知识点函数是高中数学中的一个重要内容，它在解决实际问题中具有广泛的应用。
函数概念知识点是我们学习函数的基础，下面我将详细介绍一些高一数学函数概念知识点。
1. 函数的定义函数是一种特殊关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
通常我们用字母表示函数，例如$f(x)$表示函数$f$。
其中$x$称为自变量，$f(x)$称为函数值或因变量。
2. 函数的图像函数的图像是函数在坐标平面上的表示，它可以帮助我们更直观地理解函数的性质和特点。
函数的图像通常由一系列点组成，这些点的坐标满足函数的关系式。
通过绘制图像，我们可以看出函数的增减性、奇偶性、周期性等特征。
3. 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，即使函数有意义的自变量的集合。
函数的值域是因变量的取值范围，即函数在定义域内所有可能的函数值组成的集合。
4. 函数的表示方法函数可以用多种方式进行表示，常见的有解析式、图像和数据表。
解析式是用代数表达式表示函数的关系式，例如$f(x) = x^2$；图像是通过绘制函数的点表示函数的关系；数据表是通过一系列自变量和函数值的对应关系表格表示函数。
5. 基本初等函数基本初等函数是指一些常用的、基本的函数形式，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等。
这些函数在数学和实际问题中都有广泛的应用，通过研究它们的性质和变化规律，可以更好地理解和应用函数。
6. 反函数如果两个函数满足对任意的$x$有$f(g(x))=x$和$g(f(x))=x$，那么我们称$g$是函数$f$的反函数，反之亦然。
反函数的存在与函数的一一对应有关，通过研究反函数可以帮助我们求解一些复杂的函数问题。
7. 复合函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的函数。
例如，如果有函数$f(x)$和$g(x)$，那么复合函数$(f \circ g)(x)$表示首先对$x$应用$g$函数，然后再对结果应用$f$函数。
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因变量 函数 自变量 函数值
国外定义 函数是从自变量的输入值产生出输出值的一 y 种法则或过程 x. 自变量的可能值的集合称为函数的定义域. 因变量的可能值的集合称为函数的值域.
f
一
8/7
⑵函数两要素： 函数的实质是指定义域 D上的对应规则 f， 因此定义域和对应规则是确定函数的两个要素 。 注 : 函数相同 D与f相同, 但f的表达形式可以不同 . 例如：f(x)=lnx2和g(x)=2lnx不同， 但 f(x)=sin2x+ cos2x和g(x)=1相同。 ①定义域Df 函数的定义域既可是使表达式有意义的所有x 构成 的集合，也可根据问题的实际意义来确定。 定义域的求法有根式、分式、对数等具体方法。 ②函数 f: 也即对应法则，也可用F、φ等表示。 如y=F(x) , y= φ(x) 。
x 1 0 0 x 11 1 x 1 3
y
1
o
1
1
2
3
x
③作f(x)的图像
一
15/7
3.2、常见的分段函数 ⑴绝对值函数
y
x0 x 最简单的 y x x x 0 o x 3 x 3 y x3 ( x 3) x 3 ⑵含绝对值的函数 2 x ( x 1) x 1 y 2 x x 1 2 x ( x 1) x 1 3 x 1 x 1 x 1 x 1
0
一
7/7
,高等数学的主要研究对象, 2.2、函数的定义数学中最重要的概念之一 它反映了物质世界中各种量之间的相互依存关系.
⑴定义 设D为一非空实数集，若存在一对应规则 f, 使得对每一x∈D ，都能由f 惟一地确定一个实数 y, 则称f 的为定义在D上的一个函数，通常简记为:
y f ( x ), x D,
超出2.5公里部分 设x为里程， y为车费
1 、 当0 x 2.5时, y 5
1.2 元 公里
2、 当 x 2.5时， y 5 1.2( x 2.5)
综上所述： 5 y 5 1.2( x 2.5)
一
0 x 2.5 x 2.5
13/7
⑵要点 ①定义域：并集。 ②函数值的计算：自变量在哪个范围采用 相应的表达式计算。 ③作图：通过图象了解函数的性质。 - x 1 x 0 2 例1 设 f ( x ) x 0 x1 1 1 x 3 求①定义域；②f(0.5), f(2), f (x+1)；③作图。 解 ① D (,0] (0,1) [1,3]
2/7
一、常量与变量
1.1、量的分类 1.2、量的相对性
四、小结
1、理解函数的概念、会 求函数的定义域和值域; 2、会求函数的表达式.
二、函数的概念
2.1、引例 2.2、函数的定义 2.3、函数值的求法 2.4、函数表达式的确定
课堂练习：第6页 6.第9页 4.
思考题 作业:第7~8页3.5⑵ 第32页 1.⑵⑷.
一
18/7
2006年元月，我国的个人所得税法调整规定，月收 入在1600元以内(含1600元)不必纳税，月收入超过 1600元时应缴纳个人所得税。应纳税所得额(即月收 入减去1600元后的余额)与税率如下表所示：
个人收入 应纳税所得额
1600~2100元 2100~3600元 3600~6600元 ……
一
9/7
⑶函数值的要点
f在x处的值 y f ( x ), x D ①函数值表示 f ( x0 ), y x x0
例如：已知 f ( x ) x 2 1，求f (2)
y ?
②两个记号：定义域
f (2) x 1 2 1 2 2 f (2) ( x 1) x2 2 1 5
t/min 1 2 3 4 … 60
n/r· min- 2011 1
2081
2998
3001
…
3002
上表给出了时间t与n转速之间的依赖关系。从它可 以查出 t 取1，2，…,60 等整数时转速n的值。
一
6/7
例3 右图是气温自动记录仪描出 T 的某一天气温的变化曲线，它给 T 出了时间t 与气温T 之间的依存 关系：对任意t∈[0,24]，图中都 t o 6 t 0 12 18 24 可以找到此时刻对应的气温。 例4 某工厂每日最多生产产品1200件,固定成本为200元, 且每生产一件产品, 总成本增加9元, 则每日的总成本y 与日产量x之间有如下关系: y =9x+200（元） 当x取[0,1200]中任一整数时，日总成本y就有唯一确定 的值与之对应。 总结：以上四个例子中变量的实际意义不同，但都表 达了两个变量间共同的相依关系，由这种相依关系我 们可建立如下的函数概念
例如：讨论某产品的总成本，可分成两部分： ①固定成本:它由折旧费、企业管理费等构成，这些费 用不随产量的增减而变化，故为常量； ②可变成本:它由原材料费、动力费和直参产工人工资 等构成，这些费用是随产量的增减而增减的，故为变量。
一
4/7
1.2、量的相对性 在研究一些特定自然现象时，同一个量在这一 现象中是常量，而在另一现象中却是变量。 例如⑴速度是一个量, 在匀速运动中是常量, 在匀加速运
动中是变量； ⑵商品的价格在短期内可以看成是常量, 而在一个较 长的时期内就是一个变量。
★注意：一个量把它看作是常量还是变量，是与所 研究的问题的具体情况有关。 例如：气温的变化，会引起机器上的轴长的微小变化，由
于这种变化对机器精度的影响微不足道，为了简化研究过程， 故可把它当常量处理；但如果对精密仪器而言，即使轴长变 化很小也会影响仪器的精度，应把它当变量处理。所以
不超过500元 超过500~2000元 超过2000~5000元 ……
税率（%） 5 10 15 …
已知某企业职工月收入最高不超过5000元，若以x 表 示该企业某职工的月收入，试将其应缴纳个人所得 税y表示为x的函数。
一
④字母习惯：自变量和因变量用什么字母表示无关紧要。 如: y x2 和 s t2 y s
o
x
o
t
★注：y说成x的函数只是一种习惯。
一
11/7
2.3、函数值的求法 ——代入法 例如 设f ( x ) x 2＋2 x 3，求f (1), f ( x 1) f (1) 12＋2 1 3 6， f ( x 1) ( x 1)2＋2( x 1) 3 x 2 4 x 6 2.4、函数表达式的确定
一
x
16/7
⑶取整函数 定义： x 称为取整函数，
表示不超过 x 的最大整数
y 4 1.9 1 2.08 2 0.54 0 3 3.4 4 2 1 o -1 1 2 3 4 5 x -4 -3 -2 -1 1 1 x 2 -2 -3 y x 0 0 x1 -4
例如 已知f ( x＋1) x 3－x 1, 则f ( x ) ?
令x＋ 1 t则x t 1 代入原表达式
f (t ) (t 1)3－(t 1) 1 t 3－3t 2 2t 1 f ( x) x 3－3 x 2 2 x 1
一
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3.1、分段函数定义 ——用分段表示法表示的函数 ⑴引例 出租车 2.5公里 5元
1 - 1 x 0
阶梯曲线
一
17/7
取整函数的应用非常广泛：
如：邮局寄信 设x为重量， y为邮费 0 x 20 1.20 2.40 20 x 40 y 40 x 60 3.60 x x x 0且 是 整 数 1.20 20 20 利用取 y x x 整函数 1.20 （ ＋ 1） x 0且 不 是 整 数 20 20 另如电话收费、火车票价都可以用取整函数来表示。
2 2
值域zf ：函数值全体组成的数集.
Df
z f { y | y f ( x ), x D}
一
10/7
③不同函数的表示法： y f ( x ), y g( x ), y h( x ),
y F ( x ), y G( x ), y H ( x ),
y f1 ( x), y f 2 ( x), y f 3 ( x),
f
( ,3]
一
14/7
②
1 f ( ) x2 2
x 1 2
1
4f ( 2) 1 Nhomakorabea- ( x 1) 1 f ( x 1) ( x 1) 2 1 - x 2 ( x 1) 2 1 x 1 -1 x 0 0 x2
三、分段函数
3.1、分段函数 定义 3.2、常见的分段函数
一
3/7
1.1、量的分类 自然界的现象无一不在变化之中，我们在观察 自然现象、研究某些实际问题或从事生产过程时， 总会遇到许多量：长度、面积、体积、时间、速度、 温度、价格、销售量、折旧费、利率等等。 ⑴常量：在过程进行中保持不变的量。 常用a、b、c、α、β、…等字母表示。 ⑵变量：在过程进行中不断变化的量。 常用x、y、z、u、v、…等字母表示。
★结论：常量和变量具有相对性.
一
5/7
2.1、引例 现实世界中各种不同变化着的量不是孤立的，而 是相互联系、并遵循一定的规律变化着的。 例1 圆的周长C与半径r之间的关系由公式C=2πR给定。 当半径r 取定某一正数时，圆的周长C 也就有一个 确定的值。 例2 下表是一台发电机启动后一小时内每分钟的转速 记录：