正弦定理导学案
6.4.3.2正弦定理导学案
6.4.3.2 正弦定理（导学案）学习目标1．掌握正弦定理的内容及其证明方法;会初步运用正弦定理解三角形.2．学会运用正弦定理解三角形的方法，领悟数形结合及分类讨论思想在解三角形中的应用.3．体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，并以更加饱满的激情投入到学习中去.学习重点正弦定理及其推导过程，正弦定理的简单应用。
学习难点正弦定理的推导及应用。
【问题导学】：1、 在Rt ABC 中，=c a ， =cb ， 那么=A a sin ， =Bb sin ， 又=C sin ，所以 =A a sin = 那么这个优美的关系式，对其他的三角形成立吗？2、在课本中又是如何证明“正弦定理”的？你还有其他的证明方法吗？AB C a b3、抽象概括正弦定理：在一个三角形中， ，即4、“正弦定理”有什么作用？运用正弦定理能够解决什么样的三角形问题？【合作学习】例1．在ABC ∆中，已知10c =，o 45A =，o 30C =，求,a b B 和。
例2．在∆ABC 中，已知a ，b ，o 45B =，解三角形.练习：1、在∆ABC 中，已知2a =cm ，b ，o 45A =，解三角形.2、01,45,2ABC a b A ∆===中，解三角形.注意： 一般地，已知三角形的任意两边与其中一边的对角解三角形，有可能有两解或一解或无解。
【课后练习】1、在三角形ABC 中，已知A= 45，B= 30,,2=a 解三角形；2、已知在三角形中，,105,8,7===A b a 求解三角形；3、已知在三角形中，,30,6,32===A b a 求解三角形；总结反思（1）正弦定理的表示形式： = = = ；（2）正弦定理的应用范围：① ；② 。
正弦定理导学案(1)
第1章 解三角形【知识结构】正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→⎭⎬⎫ 【重点难点】重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
难点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1.1 正弦定理第1课时 【学习导航】知识网络 直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理学习要求1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题3.利用正弦定理判断解的情况（画图） 【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===Cc B b A a sin sin sin ______, 2．正弦定理可解决两类问题：（1）________________________________（解的情况唯一吗）；（2）_________________________________（解的情况唯一吗）【精典范例】【例1】在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边的解三角形问题，直接运用定理。
【解】【例2】根据下列条件解三角形（难点）：（1）60,1b B c ==︒=；（2）45,2c A a ==︒=．分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角的解三角形问题。
技巧理解：注重分析解的情况，经常使用大边对大角。
如果解的情况不唯一，分类讨论即可。
【例3】根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？有解，解的个数？（画图判断）分析：本题的知识点理解即可（1）5a =，4b =，120A =︒，求B ；（2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）a =b =45A =︒，求B ；（4）a =b =45A =︒，求B ；（5）4a =，3b =，60A =︒，求B ．追踪训练：1．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin =B ，则A sin = （ ） A 43 B 61C 21D 12．在△ABC 中，（1）已知075=A ，045=B ，23=c ，解三角形（2）13=b ，26=a ，030=B ，解三角形3.在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ．。
正弦定理数学教案优秀5篇
正弦定理数学教案优秀5篇《正弦定理》教案篇一《正弦定理》教案一、教学内容分析本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中正弦定理的第一课时，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是坐标法等知识在三角形中的具体运用，是生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。
本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。
因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
二、学情分析对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何，解直角三角形，任意角的三角比等知识，具有一定观察分析、解决问题的能力；但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约。
根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。
三、设计思想：培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面，也是高中新课程改革的主要任务。
如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。
”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不仅是通过教师传授得到的，更重要的是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。
本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。
四、教学目标：1、在创设的问题情境中，让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发，探索和证明正弦定理，体验坐标法将几何问题转化为代数问题的优越性，感受数学论证的严谨性。
《正弦定理》教案、导学案、课后作业
《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教案第2课时 正弦定理【教材分析】教材开门见山地提出“三角形的边与角之间有什么数量关系呢？”运用由特殊到一般的归纳思想方法，从直角三角形出发，得到，并以等边三角形加以验证，进而提出“对其他三角形是否成立呢？”这样设置符合学生的认知。
教材中对正弦定理的证明采用了构造向量投影相等的思路。
同时设置了两个例题说明正弦定理的应用.【教学目标与核心素养】 课程目标1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题；2、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律；3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美.数学学科素养1.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式；2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，使学生学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律.【教学重点和难点】重点：正弦定理的内容，对正弦定理的证明及基本运用； 难点：正弦定理的探索及证明. 【教学过程】 一、情景导入提问：角与边之间是否存在定量关系？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.C cBbAasin sin sin==二、预习课本，引入新课阅读课本45-48页，思考并完成以下问题 1、直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2、什么是正弦定理？3、正弦定理可进行怎样的变形？4、已知三角形的两边及内角怎样求其面积？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．2．正弦定理的变形(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A .(5)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C. 3．正弦定理应用解三角形(1) 已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；(2)已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．4、三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .四、典例分析、举一反三 题型一 已知两角及一边解三角形例1 在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，a ＝10，求b ，c ，B . 【答案】B ＝45°.b ＝102，c ＝52＋5 6.【解析】因为A ＝30°，C ＝105°，所以B ＝45°. 因为a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以b ＝a sin B sin A ＝10sin 45°sin 30°＝102， c ＝a sin C sin A ＝10sin 105°sin 30°＝52＋5 6.解题技巧（已知两角及一边解三角形问题的基本方法）(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪训练一1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝105°，C ＝45°，c ＝2，则b ＝ ( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.【答案】1、A. 2、102． 【解析】1、在△ABC 中，∵A ＝105°，C ＝45°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b sin 30°＝2sin 45°，解得b ＝1.故选A.2、因为tan A ＝13，所以sin A ＝1010.由正弦定理知AB ＝BCsin A ·sin C ＝10sin 150°＝102. 题型二 已知两边及一边的对角解三角形例2 在△ABC 中，A ＝45°，c ＝6，a ＝2，求b ，B ，C .【答案】 b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. 【解析】 ∵a sin A ＝csin C，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32， ∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1.当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. 解题技巧： (已知两边及一边的对角解三角形的方法) (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．跟踪训练二1．△ABC 中，B ＝45°，b ＝2，a ＝1，则角A ＝________. 2．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝30°，求边c 的长． 【答案】1、30°. 2、1或2.【解析】1、由正弦定理得，1sin A ＝2sin 45°，解得sin A ＝12，所以A ＝30°或A ＝150°.又因b >a ，所以B >A ，则A ＝30°.2、由a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝32. ∵a <b ，∴B >A ＝30°，∴B 为60°或120°. ①当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c ＝ a 2＋b 2＝1＋3＝2.②当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c ＝a ＝1. 综上知c ＝1或2.题型三 正弦定理在边角互化中的应用例3 在△ABC 中，已知b ＋c ＝1，C ＝45°，B ＝30°，则b ＝________. 【答案】2－1. 【解析】 由正弦定理知b sin B ＝csin C，所以，b ＋c sin B ＋sin C ＝b sin B ，b ＝b ＋c sin B ＋sin C ·sin B ＝sin 30°sin 45°＋sin 30°＝2－1.例4 在△ABC 中，cos A a ＝cos B b ＝cos Cc，试判断△ABC 的形状；【答案】等边三角形.【解析】 (化边为角)根据正弦定理，得到cos A sin A ＝cos B sin B ＝cos C sin C ，整理为1tan A ＝1tan B ＝1tan C. ∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形． 解题技巧（正弦定理应用技巧）利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理，这是正弦定理的一种重要作用，也是处理三角形问题的重要手段．正弦定理的变形有多种形式，要根据题目选择合适的变形进行使用．再判断三角形形状时(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ．跟踪训练三1、在△ABC 中，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( ) A ．1 B.12 C ．－1D ．－122．在△ABC 中，a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，判断△ABC 的形状． 【答案】1、A. 2、等腰三角形.【解析】1、由正弦定理，可得sin A cos A ＝sin 2B ，即sin A cos A ＝1－cos 2B ，所以sin A cos A ＋cos 2B ＝1.2、法一：(化角为边)∵a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R .∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． 法二：(化边为角)∵a cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，∴a sin A ＝b sinB.由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B (A ＋B ＝π不合题意舍去)， 故△ABC 为等腰三角形. 题型四 与三角形面积有关问题例5 在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． 【答案】23或 3.【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32， 又AB ·sin B <AC <AB ，故该三角形有两解：C ＝60°或120°. ∴当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.∴△ABC 的面积为23或 3.解题技巧（三角形面积公式应用技巧）(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．跟踪训练四1．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A 的大小为( )A ．60°或120°B ．60°C ．120° D．30°或150°2．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，A ＝30°，c ＝3，则△ABC 的面积为________．【答案】1、A. 2、34. 【解析】1、由S △ABC ＝12bc sin A 得32＝12×2×3×sin A ，所以sin A ＝32，故A ＝60°或120°，故选A.2、在钝角△ABC 中，由a ＝1，A ＝30°，c ＝3，利用正弦定理可知C ＝120°，得到B ＝30°，利用面积公式得S △ABC ＝12×1×3×12＝34.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本48页练习，52页习题6.4的7、10题. 【教学反思】通过本节课的学习，从学生的情况来看，效果较好，学生能够根据以前学过的相关知识，在老师的指引下证明出正弦定理，能掌握正弦定理的计算方法，能够理解够理解公式中不同量的意义，但是在运用过程中我们发现，学生往往容易忽略解的情况问题，很多学生的出来两个解，但是没用通过以前学的知识“大边对大角”来舍去不符合题意的情况。
正弦定理导学案
姓名：教学过程学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习重点难点：正弦定理的证明与应用一、引入新课1．如右图，ABC Rt ∆中的边角关系：=A sin ______ _______；=B sin ______________；=C sin _________ ___；边=c _________=_________=_________． 2．那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：（1）当∆ABC 是锐角三角形时，（2）当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试推导.思路：3．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 ．4. 正弦定理的证明过程体现了由 的数学思维规律.5. 一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做 ．6. 理解定理（1）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C． （2）a:b:c= ．（3）正弦定理的基本作用：①已知两角与任一边,求其他 和 ；②已知两边与其中一边的对角，求另一边的 （从而进一步求出其他的 和 ）．二、学以致用例、在△ABC 中,已知A=60°,B=45°，c= 4，求a 。
C AB b c a三、巩固提升变式训练：已知a=16， b=316 ， A=30°， 解三角形。
四、归纳小结：正弦定理： ．利用正弦定理解以下两类斜三角形：（1） ．（2） ．五、课后作业1．在ABC ∆中，（1）已知︒=75A ，︒=45B ，23=c ，求a ，b ；（2）已知︒=30A ，︒=120B ，12=b ，求a ，c ．2．根据下列条件解三角形：（1）26=a ，326=b ，︒=30A ；（2）26=a ，13=b ，︒=30A ．。
正弦定理(导学案)
正弦定理班级： 姓名： 小组：【教学目标】1. 让学生了解并证明正弦定理；2. 引导学生从已有知识出发，探究在任意三角形中边与对角比值的关系；3. 通过学生与学生，师生之间的交流合作，调动学生的主动性和积极性，激发学生学习的兴趣。
【研学流程】一、【学】1、正弦定理R Cc B b A a 2sin sin sin ===的证明 2、正弦定理的变形边：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===角：Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 二【交】交流以下问题：1、有哪些方法可以证明正弦定理2、什么情况下可以利用正弦定理3、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，情况有几种三【展】1、学生通过讨论用三种方式证明的正弦定理；2、通过正弦定理解决相关的练习题四【导】1、创设情境，引入课题现实生活中有许多测绘问题，如：测量楼高、隧道长等，往往由于地形条件的制约，有一些量不易被直接测量。
这时就需要能够根据其它易测量的数据来计算。
如下面一例：如图在河岸一侧有B A ,两点，现要测量这两点距河对岸点C 处的距离。
现可以测量AB 的长以及图中角A 和角B 的大小，如何利用这三个条件去求BC AC ,间的长度呢？上述问题实际上是：利用边和角去求另外的边和角的解三角形问题。
若上述条件放在什么样的三角形中可以解决。
3、正弦定理的证明现在我们来研究三角形边与角之间的关系：在初中我们学过解直角三角形．在ABC Rt ∆中，角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,， 90=C ，A c b B c a sin ,sin ==，所以c Bb A a ==sin sin 又因1sin =C ，所以C c B b A a sin sin sin == 当ABC ∆是锐角三角形时，设BC 边上的高是AD ，根据三角函数的定义：B c AD sin =，C b AD sin =所以C b B c sin sin =，得到C c B b sin sin = 同理可得Aa Bb sin sin = 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：Cc B b A a sin sin sin == 正弦定理还可以利用三角形的外接圆的性质进行证明：已知☉O 是ABC ∆的外接圆，过O 点连接BO 并延长交☉O 于A '，连接A C A B '',B AC？？则C A B BAC '∠=∠ 90='∠CB AR B A BAC BC C A B BC 2sin sin ='=∠='∠（R 为三角形外接圆半径）即：R Aa 2sin = 同理：R Cc B b 2sin sin == 可得正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === 注：（1）正弦定理可以解决下列三角问题：①已知两角和任一边，求另两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（2）正弦定理变形：边：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===角：Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们的对边c b a ,,叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
正弦定理导学案
§1。
1。
1 正弦定理(一）导学案学习目标：1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题;3、通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力,培养学生用数学的方法解决实际问题的能力，激发学生对数学学习的热情。
教学重点:正弦定理的证明及基本运用。
教学难点:正弦定理的探索和证明及灵活应用。
一、预习案： “我学习,我主动,我参与，我收获！”1、预习教材P45-—-482、基础知识梳理：(1)正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的_______________的比相等，即在ABC ∆中,___________=__________=____________=2R 。
，（其中2R 为外接圆直径)（2）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===可以得到哪些变形公式？（3）三角形常用面积公式：对于任意ABC ∆，若a ，b ，c 为三角形的三边，且A,B ，C 为三边的对角，则三角形的面积为：①1_____(2ABC a a S h h ∆=表示a 边上的高）.②11sin sin ____________22ABC S ab C ac B ∆===。
3、预习自测：（1）有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形;③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在ABC ∆中，sin :sin :sin ::A B C a b c =。
其中正确的个数是( ）A 、1B 、2C 、3D 、4(2）在ABC ∆中,一定成立的等式是( ）．A ． a sin A = b sinB B . a cos A = b cos BC . a sin B = b sin AD . a cos B = b cos A（3）在ABC ∆中,sin sin A C =,则ABC ∆是（ )A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形（4) 在ABC ∆中，三个内角A,B ，C 的对边分别为a,b,c ，已知A:B ：C=1:2：3,则a ：b ：c=_____________________。
正弦定理导学案及其答案
45=4 45=45=45=sin45==2,60,C=1802=2sin(4545sin15=2sin(4545.2跟踪训练3-2．已知△ABC 中，b sin B ＝c sin C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．解析：设正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ，则sin A ＝a k ，sin B ＝b k ，sin C ＝ck ，∴b ·⎝⎛⎭⎫b k ＝c ·⎝⎛⎭⎫c k ，⎝⎛⎭⎫a k 2＝⎝⎛⎭⎫b k 2＋⎝⎛⎭⎫c k 2.∴b 2＝c 2，a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 为等腰直角三角形． 题型四 运用正弦定理求有关三角形的面积问题ABC ∆的面积C ab S sin 21==________=______________ 【例4】已知在△ABC 中，c ＝22，a >b ，C ＝π4，tan A ·tan B ＝6，试求三角形的面积．[解析] 因为tan A ·tan B ＝6，又C ＝π4，所以A ＋B ＝3π4.所以tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )·(1－tan A ·tan B )＝－tan C ·(1－6)＝－tan π4×(－5)＝5. 所以tan A >0, tan B >0，即A ，B 皆为锐角，且a >b ，则tan A >tan B ，所以tan A ＝3，tan B ＝2. 所以sin A ＝31010，sin B ＝255.由正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝22×3101022＝6105，b ＝c sin B sin C ＝22×25522＝855. 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6105×855×22＝245.跟踪训练4-1在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．[解析] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32.又∵AB >AC ，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.∴△ABC 的面积为23或 3.1、在△ABC 中，a ＝15，b ＝12，A ＝60°，则cos B ＝________.[辨析] ∵a >b ，∴A >B ，因此cos B >0. [正解]135 由正弦定理，得15sin60°＝12sin B ，∴sin B ＝12×sin60°15＝235，∵a >b ，∴A >B ，∴B 为锐角， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝135.课后练习：1.在△ABC 中,下列关系一定成立的是( )(A)a>bsin A (B)a=bsin A (C)a<bsin A (D)a ≥bsin A 解析:由正弦定理知a=sin sin b A B ,在△ABC 中,∵0<sin B ≤1,∴1sin B≥1,∴a ≥bsin A.故选D. 2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若c=2,b=6,B=120°,则a 等于( )(A)6 (B)2 (C)3 (D)2=sin120则sin A。
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§1.1.1 正弦定理(一)导学案
学习目标:
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；
2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题；
3、通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法解决实际问题的能力，激发学生对数学学习的热情。
教学重点:正弦定理的证明及基本运用。
教学难点:正弦定理的探索和证明及灵活应用。
一、预习案: “我学习，我主动，我参与，我收获！”
1、预习教材P45---48
2、基础知识梳理：
(1)正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的_______________的比相等，即在ABC ∆中,___________=__________=____________=2R. ，(其中2R 为外接圆直径)
（2）由正弦定理
2sin sin sin a b c R A B C
===可以得到哪些变形公式？
（3）三角形常用面积公式：
对于任意ABC ∆，若a ，b ，c 为三角形的三边，且A,B,C 为三
边的对角，则三角形的面积为：
①1_____(2ABC a a S h h ∆=表示a 边上的高）.
②11sin sin ____________22
ABC S ab C ac B ∆===. 3、预习自测：
（1）有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于直角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在ABC ∆中，sin :sin :sin ::A B C a b c =。
其中正确的个数是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
（2）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．
A ． a sin A = b sin
B B . a cos A = b cos B
C . a sin B = b sin A
D . a cos B = b cos A
（3）在ABC ∆中,sin sin A C =,则ABC ∆是（ ）
A 、直角三角形
B 、等腰三角形
C 、锐角三角形
D 、钝角三角形
(4) 在ABC ∆中，三个内角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
A:B:C=1:2:3,则a ：b ：c=_____________________.
我的疑惑:__________________________________________
二、探究案: “我探究，我分析，我思考，我提高！”
探究一、叙述并证明正弦定理。
探究二、在ABC ∆中，已知30,ABC B AB ∆∠==面积S 试求BC 。
探究三、已知ABC ∆中，sin sin b B c C =,且222sin sin sin ,A B C =+试判断ABC ∆的形状。
合作探究后谈谈你的解题思路。
规律方法总结：_________________________________________
训练案：“我实践，我练习，我开窍，我聪慧！”
1、在
ABC ∆中，1,,,AB AC B A C ==∠∠∠且成等差数列，求ABC ∆的面积。
2、在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，且
cos cos cos a b c A B C
==，试判断ABC ∆的形状。
我的收获
-----反思静悟 体验成功
-----请写出本堂课学习中，你认为感悟最深的一至两条收获。