3-2 函数极限的性质
高等数学 函数的极限课件
函数极限的定义可以用数学符号表示为：lim f(x) = A，表示当x趋近 于某个值时，f(x)趋近于A。
函数极限的性质
01
唯一性
函数的极限是唯一的，即如果 lim f(x) = A和lim f(x) = B，则
A = B。
02
有界性
函数的极限是有界的，即存在 一个正数M，使得当x在某点附 近时，f(x)的绝对值小于M。
高等数学 函数的极限课件
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的运算性质 • 无穷小与无穷大 • 函数的连续性 • 极限的应用
01
函数极限的基本概念
函数极限的定义
01
02
函数极限的定义是高等数学中的基本概念，它描述了函数在某一点的 变化趋势。具体来说，如果当自变量趋近于某一值时，函数值无限接 近于一个确定的数，则称该数为函数的极限。
求复合函数极限的方法
通过将复合函数分解为基本初等函数或已知极限的函数，利用极限的四则运算性质和已知极限，求得 复合函数的极限。
反函数的极限
反函数极限的定义
设函数y=f(x)在点x0有定义且f'(x0)=1，其反函数为x=g[f(x)]，如果lim(y→y0) x=lim(y→y0) g[f(x)]，则称反函 数在点y0处存在极限。
03
局部保号性
如果lim f(x) = A且A > 0，则 在某点附近存在一个正数δ， 使得当x满足一定条件时，f(x)
> 0。
函数极限的存在性定理
函数极限的存在性定理是高等数学中一个重要的定理，它给出了函数极限存在的 充分条件。根据这个定理，如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函数在该 点有极限。
连续性的几何意义
函数极限的直观理解
函数极限的直观理解函数极限是微积分中一个非常重要的概念，它在描述函数在某一点附近的表现时起着至关重要的作用。
理解函数极限的概念对于深入学习微积分以及解决实际问题具有重要意义。
在本文中，我们将从直观的角度出发，深入探讨函数极限的含义和性质，帮助读者更好地理解这一概念。
### 什么是函数极限？在介绍函数极限之前，我们先来回顾一下函数的定义。
函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
在数学中，我们通常用符号$f(x)$来表示函数，其中$x$是自变量，$f(x)$是对应的因变量。
函数极限是指当自变量$x$趋向于某个特定的值时，函数$f(x)$的取值趋近于一个确定的值的过程。
具体来说，对于函数$f(x)$，当$x$的取值无限接近于某个数$a$时，如果$f(x)$的取值也无限接近于一个数$L$，那么我们就说函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
这里的$L$可以是一个实数，也可以是无穷大。
函数极限的概念可以帮助我们研究函数在某一点附近的性质，揭示函数的变化规律和趋势。
### 函数极限的直观理解要理解函数极限的概念，我们可以从直观的角度出发，通过几何图形和实例来帮助我们把握这一概念。
首先，我们以一些简单的函数为例，来说明函数极限的直观理解。
#### 例1：$f(x) = x^2$考虑函数$f(x) = x^2$，我们来看当$x$趋近于某个数$a$时，$f(x)$的取值会如何变化。
我们可以通过绘制函数$y=x^2$的图像来直观地观察。
```pythonimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npx = np.linspace(-2, 2, 100)y = x**2plt.plot(x, y)plt.xlabel('x')plt.ylabel('f(x)')plt.title('Graph of f(x) = x^2')plt.grid(True)plt.show()```从图中我们可以看出，当$x$趋近于0时，$f(x)$的取值也趋近于0。
3-2函数极限的性质和函数极限存在条件解读
有f ( x) g ( x), 则A B. （反证法）
推论2.若 lim f ( x) A且A B( A B), 则 0, x : 0 x x0
x x0
有f ( x) B( f ( x) B（取 ). g ( x) B）
特别地，B 0时称函数极限的保号性。
x x0 x x0
x : 0 | x x0 | , 有f ( x) g ( x).
证明：取 A B ， 0，x : 0 x x0 ，有 2 A B f ( x) g ( x). 2
x x0
推论1. 若 lim f ( x) A， lim g ( x) B, 且 0, x : 0 x x0
定理(函数极限的四则运算)若 lim f ( x) A, lim g ( x) B, 则
x x0 x x0
x x0
lim [ f ( x) g ( x)] A B,
x x0
lim f ( x) g ( x) AB ,
f ( x) A lim （B 0） . x x0 g ( x ) B
n
lim xn x0，xn x0，都有 lim f（xn） A.
注意，此处要求 xn在f（x）之定义域内。
证明“ : ” 0， 0, x : 0 x x0 , 有
f ( x) A , 又已知，对任意xn , 有 lim xn x0 ,
0 0
于是， 0, 0, x : 0 | x x0 | 有 | f ( x) A | . 2 从而，x ', x ": 0 | x ' x f ( x ') f ( x ") || f ( x ') A | | f ( x ") A |
函数的极限(定义及性质)
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
结论：
x x0
lim f ( x ) A
x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0
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例. 给定函数 x 1, f ( x) 0 , x 1 ,
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性. 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x ) 0. ( f ( x ) 0)
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结束
推论 若在
的某去心邻域内 f ( x ) 0 , 且 则 A 0.
( f ( x) 0)
x 0 x 0
显然 f ( 0 ) f ( 0 ) , 所以 lim f ( x ) 不存在 .
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性. 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x ) 0. ( f ( x ) 0)
1. 函数极限的" " 或 " X " 定义 2. 函数极限的性质: 保号性定理 与左右极限等价定理
思考与练习
x x0 x x0
1. 若极限 lim f ( x ) 存在, 是否一定有 lim f ( x ) f ( x0 ) ？
a x2 , x 1 且 lim f ( x ) 存在, 则 2. 设函数 f ( x ) 2 x 1, x 1 x 1 a 3 .
极限的性质与四则运算法则
第四节 极限的性质与四则运算法则教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限； 教学重点：有理函数极限的计算； 教学过程：一、复习无穷大和无穷小的概念及性质 二、讲解新课：一、函数极限的性质 定理1：（保号性）设A x f x x =→)(lim 0，（i ） 若)0(0<>A A ，则0>∃δ，当),(0δ∧∈x U x 时，0)(>x f )0)((<x f 。
（ii ） 若)0)((0)(≤≥x f x f ，必有)0(0≤≥A A 。
证明：（i ）先证0>A 的情形。
取2A =ε，由定义，对此0,>∃δε，当),(0δ∧∈x U x 时，2)(A A x f =<-ε，即0)(232)(220>⇒=+<<-=<x f AA A x f A A A 。
当0<A 时，取2A-=ε，同理得证。
（ii ）(反证法)若0<A ，由(i)0)(<⇒x f 矛盾，所以0≥A 。
当0)(<x f 时，类似可证。
注：(i)中的“>”，“<”不能改为“≥”，“≤”。
在(ii)中，若0)(>x f ，未必有0>A 。
二、极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有εεε=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
高中常见极限知识点总结
高中常见极限知识点总结极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究函数和数列的性质的基础。
在高中数学课程中，极限是一个重要的内容，学生需要深入理解和掌握它，因为它不仅是数学的基础，还在物理、工程、经济学等其他学科中有着广泛的应用。
本文将对高中常见的极限知识点进行总结，希望可以帮助学生更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、极限的概念1. 定义：对于函数f(x)，当x趋于某一数a时，如果当x充分靠近a时，函数值f(x)无限接近于一个定值L，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
2. 极限存在的条件：极限存在的条件是当x充分靠近a时，函数值能够无限接近于一个定值L。
也就是说，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0＜|x－a|＜δ时，都有|f(x)－L|＜ε成立。
3. 极限的表示：极限可以用符号lim表示，写成lim(x→a)f(x)=L，其中x→a表示x趋于a的过程，f(x)表示函数值，L表示极限的定值。
可以理解为，当x趋于a时，函数值f(x)趋于L。
二、极限的性质1. 唯一性：如果函数f(x)当x趋于a的时候极限存在，那么这个极限是唯一的。
2. 有界性：如果函数f(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)在x趋于a的邻域内有界。
3. 保序性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，且有f(x)≤g(x)，那么极限也有lim(x→a)f(x)≤lim(x→a)g(x)。
4. 乘法性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)g(x)当x趋于a 的时候极限也存在，且有lim(x→a)f(x)g(x)=lim(x→a)f(x)·lim(x→a)g(x)。
5. 加法性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)+g(x)当x趋于a的时候极限也存在，且有lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)。
2.3极限性质、法则
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1） ：（ ）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1： 、推论 ：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理： 若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明： 、 证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,
函数的极限与连续性知识点总结
函数的极限与连续性知识点总结在微积分学里，极限和连续性是两个非常重要的概念。
它们为我们理解函数的性质和行为提供了基础。
本文将对函数的极限与连续性知识点进行总结，旨在帮助读者更好地掌握这些概念和相关的数学技巧。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势。
它可以帮助我们研究函数在某点附近的性质和趋势。
下面是一些关于函数极限的重要知识点：1. 数列的极限：在介绍函数的极限之前，我们首先需要了解数列的极限。
数列的极限是指当数列中的元素趋近于无穷大或无穷小时，数列的极限趋于某个特定值。
这个概念为后续对函数极限的理解奠定了基础。
2. 函数的左极限和右极限：对于函数在某点x=a的极限，我们可以用左极限和右极限来描述。
左极限表示当x趋近于a时，函数的取值趋近于a的左侧值；右极限表示当x趋近于a时，函数的取值趋近于a的右侧值。
3. 函数的极限存在性：函数的极限存在性是指函数在某一点存在极限。
对于一些简单的函数，极限存在性可以通过直接代入法或观察法来确定；而对于一些复杂的函数，我们需要借助极限的定义和性质来判断极限是否存在。
4. 函数的无穷极限：函数的无穷极限是指当自变量趋近于无穷大或无穷小时，函数的极限趋于某个特定值。
无穷极限的研究可以帮助我们了解函数在无穷远处的行为。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点以及其附近的取值的稳定性。
连续性可以通过函数的图像来直观地判断，也可以通过数学定义来推导和证明。
下面是一些关于函数连续性的重要知识点：1. 函数的连续性定义：函数在某一点x=a处连续，意味着函数在x=a的极限存在，且函数在x=a的函数值等于极限值。
这个定义确保了函数在这一点的连续性。
2. 连续函数的性质：连续函数在函数值和自变量之间保持了一定的关系。
例如，两个连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数。
3. 函数的间断点：函数的间断点指的是函数在某一点不连续的情况。
这种不连续可以是可去间断、跳跃间断或无穷间断。
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a 1 ,
1
特别又有
aN 1 .
取
1 N
, 当 0 | x0| 时 ,
1 a
1 N x 1
a aN 1 ,
即 lim a
x 0
x
1 得证 .
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复习思考题
1. 设 lim f ( x ) a 存 在 , lim g ( x ) 不 存 在 , 试 问
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令 min{ 1 , 2 } , 则当 0 | x x 0 | 时 , 满足
A f ( x ) g( x ) B ,
从而有 A B 2 . 因为 是任意正数 , 所以证得
A B.
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定理 3.6（迫敛性）设 lim f ( x ) lim g ( x ) A , 且
由此证得 f ( x ) A r .
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定理 3.5（保不等式性） 设 lim f ( x ) 与 lim g ( x )
x x0 x x0
都存在 , 且在某邻域 U ( x 0 ) 内有 f ( x ) g ( x ) , 则
x x0
lim f ( x ) lim g ( x ).
1 1 解 由取整函数的性质， 1 . 当 x 0 x x x 1 时, 有 1 x x 1 , 由于 lim (1 x ) lim 1 1 , x 0 x 0 x 1 因此由迫敛性得 lim x 1 ; 又当 x 0 时 , 有 x 0 x 1 1 1 x 1 x , 同理得 lim x 1 . 于是求得 x x 0 x 1
由 的任意性，推得 A = B. 这就证明了极限是惟
一的.
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定理 3.3（局部有界性）
若 lim f ( x ) A , 则存在 U ( x 0 ) , f ( x ) 在 U ( x 0 ) 上
x x 0
有界. 证 取 1 , 存在 0 , 当 0 | x x 0 | 时，
arctan x x
x
.
π 2 , lim 1 x 0, 所 以
解 因 为 lim arctan x
x
x
x
lim
arctan x x
lim arctan x lim
x
1 x
x
π 2
0 0.
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1 例 2 求 lim x . x 0 x
定理 3.7（四则运算法则）若 lim f ( x ) , lim g ( x )
x x0 x x0
都存在, 则 f g , f g 在点 x0 的极限也存在, 且
(1 ) lim [ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) ;
| f ( x) A | 1 .
由此得
| f ( x) | | A | 1 .
这就证明了 f ( x ) 在某个空心邻域 U ( x 0 , ) 上有界.
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注： (1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一 比较； (2) 有界函数不一定存在极限；
( 3 ) lim 1 x
2
,
(1)
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| f ( x) B |
2
.
(2) (1) 式与
令 min{ 1 , 2 } , 当 0 | x x 0 | 时 ,
(2) 式均成立，所以
| A B | | A f ( x) | | f ( x) B | .
x x0 x x0
极 限 lim f ( x ) g ( x ) 是 否 必 定 不 存 在 ?
x x0
2. 设 lim g ( x ) u 0 , lim f ( u ) A , 这 时 是 否 必 有
x x0 u u0
x x0
lim f ( g ( x )) A ?
1 lim x 1. x x 0
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例 3 求极限 lim ( x tan x 1) .
x π 4
解 因为
π sin x 4 lim tan x lim π 1, π π cos x x x cos 4 4 4 sin
所以
lim ( x tan x 1)
对一切 x U ( x 0 ) , 有
f ( x) r 0 ( 或 f ( x) r 0 ) .
证 不妨设 A 0 . 对于任何 r (0, A ), 取 A r ,
存在 0 , 当 0 | x x 0 | 时， 有
| f ( x) A | .
x x0
lim
f (x) g( x )
x x0
lim f ( x ) lim g ( x ) .
x x0
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这些定理的证明类似于数列极限中的相应定理, 这
里将证明留给读者. 在下一节学过归结原则之后, 就可以知道这些定理是显然的.
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二、范例
例1 求 lim
§2 函数极限的性质
在前面一节中引进的六种类型的函数 极限，它们都有类似于数列极限的一些 为代表叙述 性质. 这里仅以 并证明这些性质，至于其它类型的性 质与证明，只要相应作一些修改即可.
一、
二、范例
的基本性质
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一、lim
x x0
f ( x) A
的基本性质
定理3.2 ( 惟一性 ) 若 lim f ( x ) 存在, 则此极限惟一.
x x0 x x0 x x0
( 2 ) lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x ) ;
x x0 x x0 x x0
f ( 3 ) 又若 lim g ( x ) 0 , 则 g 在点 x0 的极限也存在, x x0
并有
x x0 x x0
在 x 0 的某个空心邻域
U ( x 0 ) 内有
f ( x ) h ( x ) g ( x ).
那么 lim h ( x ) A .
x x0
证 因为 lim f ( x ) lim g ( x ) A , 所以对于任意
x x0 x x0
0 , 存在 0 , 当 0 | x x 0 | 时 , 有
x x0
证 不妨设 lim f ( x ) A 以及 lim f ( x ) B .
x x0 x x0
由极限的定义，对于任意的正数 , 存在正数 1 ,
2 , 当 0 | x x0 | 1 时 ,
| f ( x) A |
当 0 | x x0 | 2 时 ,
x 1
1, 但
1 x
在 ( 0 , 2 ) 上并不是有界的
. 这
说明定理中 “局部” 这两个字是关键性 的.
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定理3.4（局部保号性）若xlim f ( x ) A 0 ( 或r A ) , 存在 U ( x 0 ) , 使得
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A f (x) A , A g( x ) A .
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再由定理的条件，又得
A f ( x ) h( x ) g ( x ) A .
这就证明了 h ( x ) 在点 x 0 的极限存在，并且就是 A .
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x x0
证 设 lim f ( x ) A , lim g ( x ) B , 那么对于任意
x x0 x x0
0, 分别存在正数 1 , 2 , 使当 0 | x x 0 | 1
时, 有
f ( x) A ;
而当 0 | x x 0 | 2 时 , 有 g ( x ) B .
x π 4
π 4
1 1
π 4
1.
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例4 求证 lim a x 1 ( a 1 ) .
x 0
证 因为 lim
n
n
a 1 , lim
1
n
1 n
n
a
1 , 所以 0 , N ,
1 n
当 n N 时, 有 1 a
1 a