《双曲线高考真题》专题
专题22 双曲线(解答题压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
x2 a2
y2 4
1 a
0 的中心为原点 O ，左、右
焦点分别为
F1 、
F2
，离心率为
35 5
，点
P
是直线
x
a2 3
上任意一点，点 Q
在双曲线
E
上，
且满足 PF2 QF2 0 .
（1）求实数 a 的值；
（2）证明：直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值；
（3）若点 P 的纵坐标为1，过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同的两点 M 、N ，在线段
(2)是否存在直线 l，使得 l 与 M 交于 A，B 两点，且弦 AB 的中点为 P 4, 6 ？若存在，求 l
的斜率；若不存在，请说明理由.
②双曲线中的最值问题
1．（2022·全国·高三阶段练习）在一张纸上有一圆 C : (x 2 3)2 y2 36 ，定点 M 2 3, 0 ，
折叠纸片 C 上的某一点 M1 恰好与点 M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 KQ ，设 折痕 KQ 与直线 M1C 的交点T .
专题 22 双曲线（解答题压轴题）
双曲线（解答题压轴题）
①双曲线的中点弦问题 ②双曲线中的最值问题 ③双曲线中定点、定值、定直线问题
④双曲线中向量问题 ⑤双曲线综合问题 ①双曲线的中点弦问题 1．（2022·四川·树德中学高三期中（文））已知抛物线 C ： x2 2 py （ p 0 ）的焦点为 F ， P 为 C 上的动点，Q 为 P 在动直线 y t （ t 0 ）上的投影.当 △PQF 为等边三角形时，其面
曲线 C 的实轴长为 2，焦距为 2 3 ，且点 P（0，-1）到渐近线的距离为 3 . 3
（1）求双曲线 C 的方程；
双曲线离心率如何求——从一道高考真题谈起
双曲线离心率如何求从一道高考真题谈起ʏ河南省禹州市第一高级中学 冯会远求双曲线的离心率,是高考常考题型㊂那么双曲线的离心率该如何求呢?让我们从一道高考真题谈起㊂题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F 1A ңʅF 1B ң,F 2A ң=-23F 2B ң,则双曲线C 的离心率为㊂分析:方法1:利用双曲线的定义与向量数量积的几何意义得到|A F 2|,|B F 2|,|B F 1|,|A F 1|关于a ,m 的表达式,从而利用勾股定理求得a =m ,最后利用余弦定理得到a ,c 的齐次方程,进行得解㊂方法2:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得x 0=53c ,y 0=-23t ,t 2=4c 2,将点A 代入双曲线C 的方程得到关于a ,b ,c 的齐次方程,最后得解㊂图1解析:(方法1)依题意,如图1,设|A F 2|=2m ,则|B F 2|=3m =|B F 1|,|A F 1|=2a +2m ㊂在R t әA B F 1中,9m 2+(2a +2m )2=25m 2,则(a +3m )(a -m )=0,故a =m 或a =-3m(舍去)㊂所以|A F 1|=4a ,|A F 2|=2a ,|B F 2|=|B F 1|=3a ,则|A B |=5a ㊂故c o s øF 1A F 2=|A F 1||A B |=4a 5a =45㊂所以在әA F 1F 2中,c o søF 1A F 2=16a 2+4a 2-4c 22ˑ4a ˑ2a=45,整理得5c 2=9a 2㊂故e =c a =355㊂(方法2)依题意,得F 1(-c ,0),F 2(c ,0),令A (x 0,y 0),B (0,t )㊂因为F 2Aң=-23F 2B ң,所以(x 0-c ,y 0)=-23(-c ,t ),则x 0=53c ,y 0=-23t ㊂又F 1A ңʅF 1B ң,所以F 1A ң㊃F 1B ң=83c ,-23t㊃(c ,t )=83c 2-23t 2=0,则t 2=4c 2㊂又点A 在双曲线C 上,则259c 2a 2-49t 2b2=1,整理得25c 29a 2-4t 29b 2=1,即25c 29a 2-16c29b2=1㊂所以25c 2b 2-16c 2a 2=9a 2b 2,即25c 2(c 2-a 2)-16a 2c 2=9a 2(c 2-a 2)㊂整理得25c 4-50a 2c 2+9a 4=0㊂则(5c 2-9a 2)(5c 2-a 2)=0,解得5c 2=9a 2或5c 2=a 2㊂又e >1,所以e =355或e =55(舍去)㊂故e =355㊂点评:解决过双曲线焦点的三角形的关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a ,b ,c 的齐次方程,从而得解㊂从这道高考真题的解法可以看出,双曲线离心率的求法主要有两种方法:定义法和方程法㊂我们再来看几个变式题㊂变式1:过双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F ,作x 2+y 2=a 2的一条切线,设切点为T ,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ,若F A ң=3F T ң,则双曲线E 的离心率为( )㊂A.3 B .5C .132 D .152分析:取线段A T 中点,根据给定条件,结03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月合双曲线定义及勾股定理解答㊂图2解析:如图2,令双曲线E 的右焦点为F ',半焦距为c ,取线段A T 中点M ,连接O T ,A F ',F 'M ㊂因为F A 切圆x 2+y2=a 2于T ,所以O T ʅF A ,|F T |=|O F |2-|O T |2=c 2-a 2=b ㊂因为F A ң=3F T ң,所以|A M |=|M T |=|F T |=b ,|A F '|=|A F |-2a =3b -2a ㊂而O 为F F '的中点,于是F 'M ʊO T ,即F 'M ʅA F ,|F 'M |=2|O T |=2a ㊂在R t әA F 'M 中,(2a )2+b 2=(3b -2a )2,整理得b a =32㊂所以双曲线E 的离心率e =ca=1+b 2a2=132,选C ㊂点评:本题采用了定义法,关键是应用双曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a 2+b 2=c 2,来求a 与c 的关系式,即双曲线的离心率㊂变式2:已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点M 在双曲线E 上,әF 1M F 2为直角三角形,O 为坐标原点,作O N ʅM F 1,垂足为N ,若2MN ң=3N F 1ң,则双曲线E 的离心率为㊂分析:根据给定条件,确定直角三角形的直角顶点位置,建立方程并结合双曲线定义求出|M F 1|,|M F 2|,再借助相似三角形性质列式求解㊂图3解析:әF 1M F 2为直角三角形,显然øM F 1F 2ʂ90ʎ,否则N 与F 1重合㊂若øF 1M F 2=90ʎ,由O N ʅM F 1,得O N ʊM F 2,则N 为M F 1的中点,与2MN ң=3N F 1ң矛盾㊂于是øM F 2F 1=90ʎ,即M F 2ʅx 轴,如图3㊂令双曲线半焦距为c ,由x =c ,x 2a 2-y 2b2=1,得y 2=b 4a2㊂因此,|M F 2|=b 2a ,|M F 1|=b2a +2a =a 2+c 2a㊂由2MN ң=3N F 1ң,得|N F 1|=25|M F 1|=2(a 2+c 2)5a㊂显然әO N F 1ʐәM F 2F 1,则|N F 1||F 1F 2|=|O F 1||M F 1|,即a 2+c 25a c =a c a 2+c2,整理得a 2+c 2=5a c ㊂则e 2-5e +1=0,解得e =5+12或e =5-12(舍去),所以双曲线E 的离心率为5+12㊂点评:本题采用了方程法,即通过建立关于离心率的方程来求得离心率,解答的关键是充分利用几何图形中相似三角形的对应边成比例建立方程㊂变式3:双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >),过虚轴端点且平行x 轴的直线交双曲线C 于A ,B 两点,F 为双曲线的一个焦点,且A F ʅB F ,则该双曲线的离心率e 为㊂分析:解决本题的落脚点是 A F ʅB F ,对于解决线线垂直问题,高中阶段我们常用的策略有:(1)两条直线垂直且斜率存在,则两条直线斜率之积等于-1;(2)考虑三边边长,利用勾股定理构造直角三角形;(3)转化为向量问题,两条垂线对应向量的数量积为零;(4)利用直角三角形的几何性质㊂解析:(方法1,利用 两条直线垂直且斜率存在,则两直线斜率之积等于-1)如图4,已知A ,B 两点的纵坐标都为b ,将b 代入双曲线方程得x =ʃ2a ,所以A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂13解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月图4设F (c ,0)为双曲线右焦点,则k A F =-bc +2a ,k B F =-bc -2a㊂因为A F ʅB F ,所以k A F ㊃k B F =-b c +2a ㊃-bc -2a=-1,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①易知c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂离心率e =1+ba2=62㊂(方法2,әA F B 是直角三角形,利用勾股定理解题)根据方法1可得A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂设F (c ,0)为双曲线的右焦点,则:|A B |=22a ,|A F |=(c +2a )2+b 2,|B F |=(c -2a )2+b 2㊂因为A F ʅB F ,所以由勾股定理得:|A F |2+|B F |2=|A B |2,即(c +2a )2+b 2+(c -2a )2+b 2=8a 2㊂整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又在双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法3,转化为向量求解)根据方法1可得A F ң=(c +2a ,-b ),B F ң=(c -2a ,-b )㊂因为A F ʅB F ,所以A F ңʅB F ң㊂则(c -2a )(c +2a )+b 2=0,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法4,转化为直角三角形性质求解)由方法2可得|A B |=22a ,如图5,设图5虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|A B |2=2a ㊂即c 2+b 2=2a ,c 2+b 2=2a 2㊂后面过程与前三种方法相同㊂(方法5,转化为双曲线定义求解)图6如图6,设虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|C A |=|C B |=2a ㊂由题意|A F |-|B F |=2a ,|A F |2+|B F |2=8a 2,得|A F |=(3+1)a ,|B F |=(3-1)a ㊂t a n øF A B =|B F ||A F |=(3-1)a(3+1)a=2-3,则t a nøF C B =t a n 2øF A B =33,故øF C B =30ʎ,øF C O =60ʎ㊂因为s i n øF C O =|O F ||C F |,所以s i n 60ʎ=c2a,则e =62㊂点评:双曲线有两个虚轴端点以及两个焦点,本题未明确给出哪个端点哪个焦点,看似让人无从下手,实则增加了问题的灵活性,同学们只需根据双曲线的对称性,任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题㊂方法总结:离心率是双曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式e =ca ;②只需要根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程,解方程即可得离心率e 的值㊂当求双曲线的离心率时一定要注意数形结合思想和双曲线定义的应用㊂(责任编辑 徐利杰)23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月。
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
(完整版)双曲线题型大全-
双曲线题型一双曲线的定义和几何性质1．设双曲线的左、右焦点分别为. 若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是A．B．C．D．2．已知双曲线的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．变式：4．已知点为双曲线的左右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．，则双曲线方程为（）A．B．C．D．7．在下列双曲线方程中，表示焦点在y轴上且渐近线方程为的是A．B．C．D．题型二双曲线的离心率问题8．已知点为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A．B．C．D．9．设、是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（为坐标原点）且则的值为（）A．B．2C．D．310．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于（）A．B．C．D．11．设F1，F2是双曲线(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使()·＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．＋1C．D．＋1变式：12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于、两点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．13．若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（）A．B．C．D．今日作业14．若双曲线的渐近线与圆相切，则的渐近线方程为__________．15．设、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，的面积为，且，则该双曲线的离心率为_____________.10．椭圆的离心率为，其右焦点到椭圆外一点的距离为，不过原点．．．．的直线与椭圆相交于，两点，且线段的长度为．（1）求椭圆C的方程；（2）求面积的最大值.参考答案1．A【解析】【分析】由题意画出图形，不妨设P在第一象限，P点在P1与P2之间运动，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．【详解】△F1PF2为锐角三角形，不妨设P在第一象限，P点在P1与P2之间运动，如图，当P在P1处，∠F1P1F2为=90°，∴S=|F1F2|•|y|=|P1F1|•|P1F2|，由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2，|P1F1|﹣|P1F2|=2，可得|P1F1|•|P1F2|=6，此时|P1F1|+|P1F2|=2，当P在P2处，∠P2F1F2为=90°，x=2，易知y=3，此时|P2F1|+|P2F2|=2|P2F2|+2=8，∴△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是（2，8），【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查等价转化思想方法，属于中档题．2．B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程．与椭圆的方程联立，利用弦长转化求解即可．【详解】双曲线的一条渐近线不妨设为：，则：，可得：一条渐近线截椭圆所得弦长为，可得：，可得，解得．故选：B．【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．属中档题.3．B【解析】【分析】设,则有，利用点差法可得，从而可得结果.因为直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为，所以，，设,则有，，两式相减可化为，可得，，双曲线的离心率为，故选B.【点睛】本题主要考查待定系数法求双曲线的方程与离心率及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.4．A【解析】【分析】由特殊角等腰三角形的三边关系以及双曲线的定义可表示出a、c的关系，对关系式化简，通过离心率公式，对关系式变型，解方程求出离心率.【详解】由题意知：，因为等腰三角形的顶角为，所以根据三角形的性质可求出，由双曲线定义可得：，由离心率公式可得：.故选A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，求离心率有两种方式，一种是由题目中条件求出参数值，根据离心率公式得离心率，另一种是根据条件求得a、c的齐次式，等号两侧同时除以a或等，构造离心率.5．D【解析】【分析】利用双曲线方程求出实轴与虚轴长，列出方程求解即可．【详解】双曲线﹣=1（m＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，可得=，解得m=2，则双曲线的标准方程是：﹣=1．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．6．C【解析】【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出、，即可得到双曲线方程.【详解】双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为，可得，即，解得，所求双曲线方程为：.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.7．C【解析】由题意，该双曲线的焦点在轴上，排除A、B项；又方程的渐近线方程为，而方程的渐近线方程为，故选C.8．D【解析】分析：设的内切圆半径为，由，用的边长和表示出等式中的三角形面积，结合双曲线的定义得到与的不等式，可求出离心率取值范围.详解：设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，由题意得，故，故，又，所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D.点睛：本题主要考查利用双曲线的定义、简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.9．B【解析】【分析】由已知中，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是以直角的直角三角形，进而根据是双曲线右支上的点，及双曲线的性质结合勾股定理构造方程可得的值，进而求出的值.【详解】由双曲线方程，可得，，又，，，，故是以直角的直角三角形，又是双曲线右支上的点，，由勾股定理可得，解得，故，故选B.【点睛】本题主要平面向量的几何运算，考查双曲线的标准方程，双曲线的定义与简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.10．D【解析】分析：运用离心率公式和渐近线方程，结合点到直线的距离公式可得的值，再由的关系即可求得的值，然后求得焦距详解：双曲线的离心率为双曲线的渐近线方程为不妨设，即，则焦点到渐近线的距离为，，解得则焦距为故选点睛：本题考查了双曲线的几何性质，根据题意运用点到线的距离公式进行求解，本题较为基础。
高考数学专题《双曲线》习题含答案解析
专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，b =，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b ，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）练基础A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D |AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）a =（ ）AB ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c = ，=，解得12a = ，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（ ）．A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b的关系，再结合双曲线中22,a b对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】my+=化简得y=，即ba，同时平方得2223ba m=，又双曲线中22,1a m b==，故231m m=，解得3,0m m==（舍去），2223142c a b c=+=+=⇒=，故焦距24c=.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=，解得b=或b=，因为0b>，所以b=.因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为y=.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为( )ABC ．D【答案】B 【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+ ，200(2,)F P x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c=（c =0的一点，则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN V 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=，1=c e a ．1+1. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=|OP |=（ ）ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==，所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。
双曲线历年高考真题100题 解析版
高考真题一、单选题A ．221913x y -=B ．221139x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D 【解析】试题分析：依题意有222{3bac c a b ===+，解得1,a b ==2213y x -=.考点：双曲线的概念与性质． A ．2 B ．C ．D ．1【答案】D 【解析】试题分析：由离心率e =ca 可得:e 2=a 2+3a2=22，解得：a =1．考点：复数的运算 A ．B ．3C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，双曲线C 的标准方程为x 23m −y 23=1．则c 2=3m +3，c =√3m +3，设一个焦点F(√3m +3,0)，一条渐近线l 的方程为y =√3√3m=√m，即x −√my =0，所以焦点F 到渐近线l 的距离为d =√3m+3√m+1=√3，选A ．【考点定位】1、双曲线的标准方程和简单几何性质；2、点到直线的距离公式．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】2=，所以，b a ，双曲线的渐近线方程为y x =，即0x ±=，选A. 考点：椭圆、双曲线的几何性质. A ．B ．C ．D ．3【答案】B 【解析】试题分析：因为P 是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，所以||PF 1|−|PF 2||=2a ，又|PF 1|+|PF 2|=3b所以，(|PF 1|+|PF 2|)2−(|PF 1|−|PF 2|)2=9b 2−4a 2，所以4|PF 1|⋅|PF 2|=9b 2−4a 2 又因为|PF 1|⋅|PF 2|=94ab ，所以有，9ab =9b 2−4a 2，即9(ba )2−9(ba )−4=0 解得：ba =−13（舍去），或ba =43； 所以e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+(b a )2=1+(43)2=259，所以e =53故选B.考点：1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质. A ．(1,3) B ．(]1,3C ．(3,+∞)D ．[)3,+∞ 【答案】B 【详解】可用三角形的两边和大于第三边，及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立，因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a 与c 的关系．A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意,所以，由双曲线的定义，有，∴．A．(√2，2)B．(√2，√5)C．(2，5)D．(2，√5)【答案】B【详解】由题意得，双曲线的离心率e2=(ca )2=a2+(a+1)2a2=1+(1+1a)2，因为1a 是减函数，所以当a>1时，0<1a<1，所以2<e2<5，所以√2<e<√5，故选B.考点：双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得中把双曲线的离心率转化为1a的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题.A ．3B ．C ．D ．【答案】C 【解析】可得双曲线的准线为21a x c =±=±,又因为椭圆焦点为(1=.即b 2=3故b=故C.A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A 【解析】试题分析：先根据双曲线得到其渐近线的方程，再利用圆心到渐近线的距离等于半径，就可求出r 的值．22163x y -=的渐近线方程是2y =±20y ±=，又圆心是(3,0)，所以由点到直线的距离公式可得r =A ．考点：1、双曲线；2、双曲线的渐近线；3、直线与圆相切；4、点到直线的距离．A ．2 BC ．32D ．1【答案】D 【详解】由222123x y c b e a a 可知虚轴-=====，解得a=1，应选D. A ．B ．5C ．D ．【答案】D 【解析】由题意知:双曲线的一条渐近线为,由方程组2{1b y x a y x ==+,消去y,得210bx x a-+=有唯一解,所以△=2()40ba-=,所以2b a =,2c e a a ====故选D. 【考点定位】本小题考查双曲线与抛物线的基本知识,求离心率、直线与抛物线的位置关系等.A ．22124x y -=B ．22142-=x yC ．22146x y -= D ．221410x y -= 【答案】B 【解析】由2e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B.A ．221090x y x +-+=B ．2210160x y x +-+=C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=【答案】A 【详解】圆心为(5,0)，渐近线方程为430x y ±=，所以半径为4545⨯=，所以圆的方程是22(5)16x y -+=，即221090x y x +-+=，选A.A ．B ．12C ．D ．24【答案】B 【解析】试题分析：由已知可得121212|:|3:2,26,4,PF PF PF PF PF PF =-=⇒==又22212121212||||F F PF PF F F PF F =+=⇒∆是直角三角形146122S =⨯⨯=,故选B ．考点：双曲线标准方程及其性质． A．2B．2CD【答案】B 【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000[()]1a PF e x a ex c =--=+=+，22000[)]1aPF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||2PF PF F F PF PF +-，即cos60222=，解得2052x =，所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0y =.A ．√2B ．√3C ．√3+12D ．√5+12【答案】D 【解析】试题分析：设该双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），得点B （0，b ），焦点为F （c ，0），直线FB 的斜率为−bc 由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a 、b 、c 的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率；设该双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），可得它的渐近线方程为y =±ba x ，焦点为F （c ，0），点B （0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为k FB =0−b c−0=−b c ，∵直线FB 与直线y =ba x 互相垂直，∴−bc ×ba =−1，∴b 2=ac,∵b 2=c 2−a 2，∴c 2−a 2=ac ，∴e 2−e −1=0,∴e =1±√52∵双曲线的离心率e ＞1，∴e=√5+12,故选：D考点：双曲线的简单性质A ．By=0 C ．="0" D±y=0【答案】D 【解析】不妨设12(,0),(,0)F c F c -，则11221222OF F P OF F P F P F POP ++++==因为1260F PF ∠=，所以121212cos602F P F PF P F P F P F P ⋅⋅=⋅=，22212121212||||1cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅ 所以2221212||4PF PF PF PF c +=⋅+ 因为P 在双曲线上，所以122PF PF a -=则2222212121212()||244PF PF PF PF PF PF c PF PF a -=+-⋅=-⋅= 所以221244PF PF c a ⋅=-，故122212222F P F PF P F P c a ⋅⋅==-222221212||484PF PF PF PF c c a +=⋅+=-因为OP =，所以1272F P F POP +==故22121212||274F P F P F P F Pa ++⋅=，即222327ca a -=故22237b a a +=，解得b =所以双曲线的渐近线方程为0x a =0y ±=，故选DA ．3B ．3C ．D ．【答案】A 【详解】由点P 到双曲线右焦点的距离是2知P 在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点P 到双曲线，双曲线的右准线方程是3x =，故点P 到y 轴的距离是3．A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >【答案】C 【解析】试题分析：由题可知1a =，b =c =ce a==>1m >，故选C ． 考点：双曲线的离心率．A ．12B ．2C ．1 D【答案】B 【解析】由于对称性，我们不妨取顶点(1,0)A ，取渐近线为0x y -=，所以由点到直线的距离公式可得d ==450得到. 【考点定位】 本题考查了双曲线的渐近线及点到直线的距离公式，如果能画图可简化计算，属于简单题.A ．22182x y +=B ．221126x y +=C ．221164x y +=D ．221205x y +=【答案】D 【详解】由题意，双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上，∴22441a b +=，∵e =∴22234a b a -=，∴224b a =， ∴22205a b ==，∴椭圆方程为：221205x y +=.故选D.考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质. A ．12或32B ．23或2 C ．12或2 D ．23或32【答案】A 【分析】设1122432PF t F F t PF t ===，，，讨论两种情况，分别利用椭圆与双曲线的定义求出,a c 的值，再利用离心率公式可得结果. 【详解】因为1122::PF F F PF 4:3:2=，所以可设1122432PF t F F t PF t ===，，， 若曲线为椭圆则123262a PF PF t c t =+==，，则12c e a ==； 若曲线为双曲线则，324222a t t t a t c t ，，=-===，∴32c e a ==，故选A . 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率以及双曲线的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． A ．2B ．C ．4D ．【答案】C 【解析】2228x y -=可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C.A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】先根据双曲线()222109x y a a -=>求出渐近线方程，再与320x y ±=比较即可求出a 的值． 【详解】由双曲线的几何性质可得，双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为3y x a=±，又因为渐近线方程为320x y ±=，即32y x =±，故2a =，选C ．【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属基础题．ABC ．2D ．3【答案】B 【分析】先设2(,),0aP t t c>，由两直线垂直，结合直线的斜率公式可得221tta a c c c c⋅=-+-，再结合三角形的面积公式可得24ct ab =，然后由双曲线离心率的求法求解即可. 【详解】解: 由P 是准线上一点，设2(,),0a P t t c>,又1(,0)F c -，2(,0)F c ,由12PF PF ⊥,可得221tt aa cc cc⋅=-+-,解得t =因为12·4PF PF ab =, 由三角形的面积公式有24ct ab =,2a =, 即223c a =,即==ce a, 故选:B. 【点睛】本题考查了直线的斜率公式及三角形的面积公式，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题.A.ab B ．22b a + C ．a D ．b 【答案】B 【解析】略A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．D ．【解析】试题分析：由已知得2,2,bb a a=∴=在方程210y x =+中令0y =，得2222225,5,525,5,20,x c c a b a a b =-∴=-∴=+====∴所求双曲线的方程为221520x y -=，故选A ． 考点：1．双曲线的几何性质；2．双曲线方程的求法． A ．（0，）B ．（1，）C ．（，1）D ．（，+∞）【答案】B 【解析】试题分析：求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点A ，B 的坐标；利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出参数a ，b ，c 满足的不等式，求出离心率的范围． 解：渐近线y=±x ． 准线x=±，求得A （）．B （），左焦点为在以AB 为直径的圆内， 得出，，b ＜a ，c 2＜2a 2 ∴，故选B ．点评：本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查园内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率本身要大于1． A ．2B ．2C ．4D ．4【答案】B试题分析：根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2；故选B．点评：本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．A．B．C．D．【答案】A【解析】由双曲线的基本性质对称轴是坐标轴，这时只须考虑双曲线的焦点在x轴的情形．因为有且只有一对相较于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，所以直线A1B1和A2B2，关于x轴对称，并且直线A1B1和A2B2，与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意．可得，即，，所以e＞．同样地，当，即，所以e≤2．所以双曲线的离心率的范围是．故选A．A ．a 2=B ．a 2=3C ．b 2=D ．b 2=2【答案】C 【解析】由题意，C 2的焦点为（±，0），一条渐近线方程为y=2x ，根据对称性易知AB 为圆的直径且AB=2a∴C 1的半焦距c=，于是得a 2﹣b 2=5 ①设C 1与y=2x 在第一象限的交点的坐标为（x ，2x ），代入C 1的方程得：②，由对称性知直线y=2x 被C 1截得的弦长=2x ，由题得：2x=，所以③由②③得a 2=11b 2④ 由①④得a 2=5.5，b 2=0.5 故选CA ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D 【解析】 双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同． 故选D ．A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C 【详解】c e a ===2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±.本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.A ．y=±2xB ．y=C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】B 【解析】双曲线的离心率为a=渐进性方程为b y x a =±，计算得b a =故渐进性方程为y =. 【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质. A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由于对称性，我们不妨取顶点(2,0)A ，取渐近线为20x y -=，所以由点到直线的距离公式可得5d ==【考点定位】本题考查了双曲线的渐近线及点到直线的距离公式，属于简单题．A BC ．2D ．3【答案】B 【详解】通径|AB|=2222b a a =⋅得2222222222233b a c a a c aa c e =⇒-===⇒⇒⇒= BA ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163x y -=【答案】A试题分析：双曲线的渐近线为b y x a=，所以0bx ay -=，22650x y x +-+=变形为()2234x y -+=，所以圆心为()3,0,2r =()222222329435,4b c c a c c a b =∴=∴-==∴==，所以双曲线方程为22154x y -=考点：双曲线方程及性质 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 由已知，取顶点，渐近线，则顶点到渐近线的距离为，解得.A ．B ．2C D ．1【答案】A 【解析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为b ，所以距离为b =考点：双曲线与渐近线． A ．B ．C ．D ．【答案】A试题分析：由题意，得c=√5,ba =12，又a2+b2=c2，所以a=2,b=1，所以双曲线的方程为x24−y21=1，选A.【考点】双曲线【名师点睛】求双曲线的标准方程的关注点：（1）确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【答案】C【解析】试题分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．A B．54C．43D．53【答案】D 【解析】因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴==，（），． 故选D.考点：双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的可设为2222(0)x y a bλλ-=≠；（2）若渐近线方程为b y x a =±，则可设为2222(0)x y a bλλ-=≠；（3） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ；（4） 22221(0.0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为b a ==可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D 【解析】 依题意，，，因为，由于，，，所以当时，，，，，所以12e e <；当时，，，而，所以，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >． 考点：双曲线的性质，离心率．A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -【答案】C 【解析】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．A B ．2C D【答案】D 【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，，过点M 作MN x⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．A ．2 B．C ．4D．【答案】C 【解析】试题分析：设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．考点：双曲线的方程与几何性质 A ．14B ．13C．4D．3【答案】A 【解析】试题分析：由已知设21,2,F A m F A m ==则由定义得12122,2,4,2.F A F A a m a F A a F A a -=∴===122,24.ce F F c a a====在12AF F ∆中，由余弦定理得()()2222222121212124441cos 22244a a a AF F F AF AF F AF F F a a+-+-∠===⋅⨯⨯，故选A ． 考点：1.双曲线的几何性质（焦点三角形问题）；2.余弦定理．A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=【答案】B 【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B. 【考点】 双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程，解方程组求出,a b ，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，（2）与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.A ．13B ．1 2C ．2 3D ．32【答案】D 【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3=±y ，所以||3PF =，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ． 点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得(2,0)F ，结合PF 与x 轴垂直，可得||3PF =，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ） A ．2 BCD【答案】A 【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c===即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．A ．223=144x y -B ．224=143x y -C ．22=144x y -D ．22=1412x y -【答案】D 【解析】试题分析：根据对称性，不妨设(,)A x y 在第一象限，则，∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 【考点】双曲线的渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． ①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1（AB ＜0）．②若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ（λ≠0）．A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x = 【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴=因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，选A. 点睛：已知双曲线方程22221(,0)x y a b a b-=>求渐近线方程：22220x y by x a b a -=⇒=±.A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B 【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得3(,2M N ，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y =和y x =联立，求得3(,2M N，所以3MN==，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线MN的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.A．22139x y-=B．22193x y-=C．221412x y-=D．221124x y-=【答案】A【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为(),0F c（c>0），则A Bx x c==，由22221c ya b-=可得：2bya=±，不妨设：22,,,b bA cB ca a⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay-=，据此可得：21bc bdc-==，22bc bdc+==，则12226bcd d bc+===，则23,9b b==，双曲线的离心率：2cea====，据此可得：23a=，则双曲线的方程为22139x y-=.本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.A ．(√2,+∞)B ．(√2,2)C ．(1,√2)D ．(1,2)【答案】C 【解析】 c 2=a 2+1，e 2=c 2a2=a 2+1a 2=1+1a 2，∵a >1，∴0<1a 2<1 ，1<e 2<2 ，则0<e <√2，选C.A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 603c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==， 双曲线方程为：2213y x -=. 本题选择D 选项.【考点】 双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程，解方程组求出,a b ，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，（2）与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.A ．221412x y -=B ．22179x y -=C ．22188x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【详解】 可得渐近线方程为，将x=a 代入求得．由条件知，半焦距,所以由得，．又因,所以解得，．双曲线C 的方程为221412x y -=故选A ．A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =1【答案】A 【详解】由题意得，双曲线的焦距为10，即22225a b c +==， 又双曲线的渐近线方程为by x a=0bx ay ⇒-=，点1(2)P ，在C 的渐近线上， 所以2a b =，联立方程组可得，所以双曲线的方程为22=1205x y -．考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(⋃D ．(,(2,)-∞+∞【答案】A 【详解】 由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由 BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC 的距离小于a，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ．A ．2B ．C ．4D ．【答案】C 【解析】试题分析：双曲线方程变形为22148x y -=，所以28b b =∴=2b =考点：双曲线方程及性质A．3 B．2 CD【答案】B【详解】M N，是双曲线的两顶点，M O N，，将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故答案选BA．14B．35C．34D．45【答案】C【解析】由x2-y2=2知,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4,∴,c=2.又∵|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|,∴|PF1,|PF2.又∵|F1F2|=2c=4,∴由余弦定理得cos∠F1PF22224+-34. 故选C.二、填空题 【答案】，.【解析】 由题意得：，，，∴焦距为，渐近线方程为.考点：双曲线的标准方程及其性质 【答案】【解析】 因为的方程为，所以的一条渐近线的斜率，所以的一条渐近线的斜率，因为双曲线、的顶点重合，即焦点都在轴上，设的方程为，所以，所以的方程为.考点：双曲线的性质，直线的斜率.【答案】y x = 【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为y x = 考点：双曲线渐近线【答案】22x y 1412-=【解析】 解：由已知得，22,4221412b c c e a a a x y==∴===∴=∴-=双曲线的方程为【答案】16 【分析】根据双曲线的焦点坐标，判断出双曲线焦点所在的坐标轴，再根据222c a b =+列方程，求得m 的值. 【详解】双曲线的焦点坐标为()0,5F ，故焦点在y 轴上，由222c a b =+得259,16m m =+=. 【点睛】本小题主要考查根据双曲线的焦点坐标求双曲线的方程，属于基础题.【答案】44 【详解】由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5，0)， 所以P ，Q 都在双曲线的右支上， 则有6,6FP PA PQ QA -=-=，两式相加，利用双曲线的定义得28FP FQ +=，所以△PQF 的周长为284FP FQ PQ b ++=+=28＋16＝44. 故答案为44.【答案】1) 【详解】因为在12PF F ∆中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，则由已知，得21a c PF PF =，即12aPF cPF =，12c PF PF a=, 由双曲线的定义知212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a-=-=⇒=-,， 由双曲线的几何性质知22222,20,a PF c a c a c ac a c a>->-⇒--<-所以2210,e e --<解得11e <<，又1()e ∈+∞,，故双曲线的离心率1)e ∈【答案】2【解析】设(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以点到直线的距离恒大于直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，因此c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，为2.2=考点：双曲线渐近线，恒成立转化【答案】【分析】根据题意，根据1,,P A F 三点共线，求出直线1AF 的方程，联立双曲线方程，即可求得P 点坐标，则由11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-即可容易求得.【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，12PF a PF =+，∴△APF 的周长为|P A|+|PF|+|AF|=|P A|+12a PF ++|AF|=|P A|+1PF +|AF|+2a ，由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|P A|+1PF 最小，即P 、A 、1F 共线，∵(A ，()13,0F -∴直线1AF的方程为13x +=-，即3x =-代入2218y x -=整理得2960y +-=，解得y =y =-舍)，所以P 点的纵坐标为∴11116622APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-⨯⨯⨯⨯=故答案为：【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题.【答案】2+【详解】双曲线22221x y a b-=的右焦点为(,0)c .不妨设所作直线与双曲线的渐近线b y x a =平行，其方程为()b y x c a =-，代入22221x y a b -=求得点P 的横坐标为222a c x c+=，由2222a c ac +=，得2()410c c a a -+=，解之得2c a =+2c a =1ca>），故双曲线的离心率为2+考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.【答案】2214x y -=【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为224x y λ-=.点M 为该双曲线上的点，16124λ∴=-=.∴该双曲线的方程为：2244x y -=，即2214x y -=.故本题正确答案是2214x y -=.【答案】2y x =± 【解析】||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+= ， 因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⇒⎨⎪=⎩，所以222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =±. 【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为221Ax By +=的形式，当0A >，0B >，A B ≠时为椭圆，当0AB <时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．【答案】2 【解析】222222221,,13c a b a b m e m a a +=====+=，2m =.渐近线方程是y ==.P ，Q ，其焦点是F 1 ，F 2 ，则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是________．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为3y x =±，设(,1010P ，则Q ，1(F ，2F ，则S == 点睛:（1）已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y b y x a b a-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．【答案】48 【解析】根据双曲线方程2222y x a b -＝1知a 2＝16，b 2＝m ，并在双曲线中有a 2＋b 2＝c 2，∴离心率e ＝c a ＝2，22c a＝4＝1616m+，m ＝48.【答案】 【解析】试题分析：222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴==【考点】双曲线性质【名师点睛】本题重点考查双曲线几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键，22221(0,0)x y a b a b-=>>揭示焦点在x 轴，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c =b y x a =±，离心率为c a =【解析】试题分析：根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，∴.考点：双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行 等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来. 【答案】11 【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±， 又因为15PF =，所以2||11PF =.【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =. 【名师点睛】1.已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y b y x a b a-=⇒=±.2.已知渐近线y mx =设双曲线的标准方程为222m x y λ-=.3.双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.【答案】3【解析】 如图所示，由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ， ∵∠MAN=60°， ∴， ∴=设双曲线C 的一条渐近线y=bax 的倾斜角为θ，则tanθ=||||AP OP =． 又tan θ=b a，b a =，解得a 2=3b 2，∴3==．答案：3点睛：求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c的方程或不等式，再根据222b c a=-和cea=转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．【答案】12 y x =±【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214xy-=的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为y=±bxa∴双曲线2214xy-=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±1 2 x【点睛】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想【答案】4【详解】分析：根据离心率公式cea=，及双曲线中,,a b c的关系可联立方程组，进而求解参数a的值.。
高考总复习高中数学高考总复习双曲线习题及详解
高中数学圆锥曲线——双曲线一、选择题1．(文)(2016·山东潍坊)已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是 ( ) A.17 B.15 C.174D.154[答案] C[解析] 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则由题意得，a b ＝4，∴a 2c 2－a2＝16，∴e ＝174.(理)(2016·河北唐山)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 5 C. 2D. 3[答案] C[解析] 如图，FM ⊥l ，垂足为M ，∵M 在OF 的中垂线上，∴△OFM 为等腰直角三角形，∴∠MOF ＝45°， 即ba＝1，∴e ＝ 2. 2．(2010·全国Ⅰ文)已知F 1、F 2为双曲线C x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B[解析] 在△F 1PF 2中，由余弦定理cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1||PF 2|＋1＝－2b 2|PF 1|·|PF 2|＋1， ∵b ＝1，∴|PF 1|·|PF 2|＝4.3．(文)(2016·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.233或2B ．2或 3 C.3或62D.233或62[答案] A[解析] 焦点在x 轴上时，由条件知b a ＝13，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e ＝c a ＝233，同理，焦点在y 轴上时，ba ＝3，此时e ＝2.(理)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1[答案] D[解析] 设线段MF 1的中点为P ，由已知△F 1PF 2为有一锐角为60°的直角三角形， ∴|PF 1|、|PF 2|的长度分别为c 和3c . 由双曲线的定义知：(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝23－1＝3＋1. 4．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x[答案] D[解析] 由题意c 2＝3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2， ∴m 2＝8n 2，∴双曲线渐近线的斜率k ＝±3|n |2|m |＝±34.方程为y ＝±34x .5．(文)(2016·湖南师大附中模拟)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20[答案] B[解析] 由已知，|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，又|AB |＝4，则|AF 2|＋|BF 2|＝16.据双曲线定义，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9，故选B.(理)(2016·辽宁锦州)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－m 2，0，C ⎝⎛⎭⎫m2，0(其中m >0，且m 为常数)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为( )A.16y 2m 2－16x 23m2＝1B.x 216－y 2163＝1 C.16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4)D.16x 2m 2－16y 23m2＝1 [答案] C[解析] 依据正弦定理得：|AB |－|AC |＝12|BC |＝m2<|BC |∴点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支，且a ＝m 4，c ＝m 2，∴b 2＝c 2－a 2＝3m 216∴双曲线方程为16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4)6．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点为F 1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分[答案] D[解析] 延长F 1P 交QF 2于R ，则|QF 1|＝|QR |. ∵|QF 2|－|QF 1|＝2a ，∴|QF 2|－|QR |＝2a ＝|RF 2|， 又|OP |＝12|RF 2|，∴|OP |＝a .7．(文)(2016·温州市十校)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)[答案] B[解析] 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ，E (a,0)，因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝⎝⎛⎭⎫－c －a ，b 2a ·⎝⎛⎭⎫－c －a ，－b 2a >0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2)，故选B.(理)(2016·浙江杭州质检)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM交y 轴于E ，若FM ＝ME ，则该双曲线的离心率为( )A ．3B ．2 C. 3D. 2[答案] D[解析] 由条件知l ：y ＝b a x 是线段FE 的垂直平分线，∴|OE |＝|OF |＝c ，又|FM |＝|bc |a 2＋b2＝b ，∴在Rt △OEF 中，2c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)， ∵e ＝ca>1，∴e ＝ 2.8．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 [答案] D[解析] 直线与双曲线右支相切时，k ＝－153，直线y ＝kx ＋2过定点(0,2)，当k ＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y ＝－x ＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153<k <－1. 9．(文)(2010·福建理)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)[答案] B[解析] 由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点) ∴OP →·FP →≥3＋2 3.故选B.(理)(2010·新课标全国理)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 [答案] B[解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎨⎧x 12a 2－y 12b 2＝1x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2，∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，且k AB ＝－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1，故选B.10．(文)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 的值是( )A.54 B.52 C.32D.54[答案] B[解析] 将x ＝c 代入椭圆方程得，c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y 2＝⎝⎛⎭⎫1－c 2a 2×b 2＝a 2－c 2a 2×b 2＝b 2a 2×b 2，∴y ＝±b 2a. ∴b 2a ＝14a ，∴b 2＝14a 2，e 2＝c 2a 2＝a 2＋14a 2a 2＝54，∴e ＝52，故选B. (理)(2016·福建宁德一中)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 恰好是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B ．1±2C ．1＋ 2D ．无法确定[答案] C[解析] 由题意知p2＝c ，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y 轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是2b 2a ，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p ，∵p ＝2c ，2b 2a＝4c ，∴b 2＝2ac ，∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，∵e >1，∴e ＝1＋ 2. 二、填空题11．(文)(2016·广东实验中学)已知P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________.[答案] 5[解析] 由双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0且b ＝3可得：a ＝1，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|－3＝2，∴|PF 1|＝5.(理)(2010·东营质检)已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．[答案] y ＝±23x[解析] 由题意知9＋a ＝13，∴a ＝4，故双曲线的实半轴长为a ′＝3，虚半轴长b ′＝2， 从而渐近线方程为y ＝±23x .12．(2016·惠州市模考)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．[答案] y ＝±33x[解析] y 2＝8x 焦点是(2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2＝1的半焦距c ＝2，又虚半轴b ＝1，又a >0，∴a ＝22－12＝3， ∴双曲线渐近线的方程是y ＝±33x .13．(2016·北京东城区)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．[答案] 1<e ≤2[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a|PF 1|＝3|PF 2|，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3a |PF 2|＝a ， ∵|PF 1|≥|AF 1|，∴3a ≥a ＋c ， ∴e ＝ca ≤2，∴1<e ≤2.14．下列有四个命题：①若m 是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx －y ＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为35.②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象； ④在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22；类比到空间，若三棱锥S－ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S －ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22. 其中真命题的序号为________．(把你认为是真命题的序号都填上) [答案] ①②④[解析] ①设双曲线方程为m 2x 2－y 2＝1， ∵a 2＝1m 2，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝m 2＋1m2∴e ＝ca ＝m 2＋1<4，∴m <15∴m 取值1、2、3故所求概率为35，故①正确．②根据双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，可得b a ＝3，因此离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋(3a )2a＝2，②正确； ③函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位得y ＝cos2(x －π6)＝cos(2x －π3)＝sin[π2＋(2x －π3)]＝sin(2x ＋π6)的图象，③错误；④将三棱锥S －ABC 补成如图的长方体，可知三棱锥S －ABC 外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长，则R ＝a 2＋b 2＋c 22，④正确．三、解答题15．(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0) (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程． [解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) 则有e ＝ca ＝2，c ＝2，∴a ＝1，则b ＝ 3∴所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)∵直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0) ∴l 的斜率k 一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2) 令x ＝0得M (0,2k )∵|MQ →|＝2|QF →|且M 、Q 、F 共线于l ∴MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF → 当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k∴Q ⎝⎛⎭⎫－43，23k ， ∵Q 在双曲线x 2－y 23＝1上，∴169－4k 227＝1，∴k ＝±212， 当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得， 16－4k 23＝1，∴k ＝±32 5则所求的直线l 的方程为： y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2) (理)(2016·湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围． [解析] (1)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22得，b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中得，(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0， ∴k 2≠13且k 2<1①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2 由OA →·OB →>2得，x A x B ＋y A y B >2， x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3②由①②得13<k 2<1，∴33<k <1或－1<k <－33.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.16．(2016·江苏苏州模拟)已知二次曲线C k 的方程：x 29－k ＋y 24－k ＝1.(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线C k 与直线y ＝x ＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3)m 、n 为正整数，且m <n ，是否存在两条曲线C m 、C n ，其交点P 与点F 1(－5，0)，F 2(5，0)满足PF 1→·PF 2→＝0？若存在，求m 、n 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧9－k >04－k >0，即k <4时，方程表示椭圆．当且仅当(9－k )(4－k )<0，即4<k <9时，方程表示双曲线． (2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 29－k ＋y 24－k ＝1化简得， (13－2k )x 2＋2(9－k )x ＋(9－k )(k －3)＝0 ∵Δ≥0，∴k ≥6或k ≤4(舍)∵双曲线实轴最长，∴k 取最小值6时，9－k 最大即双曲线实轴最长，此时双曲线方程为x 23－y22＝1.解法二：若C k 表示双曲线，则k ∈(4,9)，不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 25－a 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 2a 2－y 25－a 2＝1消去y 得， (5－2a 2)x 2－2a 2x －6a 2＋a 4＝0 ∵C k 与直线y ＝x ＋1有公共点， ∴Δ＝4a 4－4(5－2a 2)(a 4－6a 2)≥0， 即a 4－8a 2＋15≥0，∴a 2≤3或a 2≥5(舍)， ∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y 22＝1.解法三：双曲线x 29－k ＋y 24－k ＝1中c 2＝(9－k )＋(k －4)＝5，∴c ＝5，∴F 1(－5，0)，不妨先求得F 1(－5，0)关于直线y ＝x ＋1的对称点F (－1,1－5)，设直线与双曲线左支交点为M ，则 2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝|MF 2|－|MF |≤|FF 2| ＝(－1－5)2＋(1－5)2＝2 3∴a ≤3，∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y 22＝1.(3)由(1)知C 1、C 2、C 3是椭圆，C 5、C 6、C 7、C 8是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，m ∈{1,2,3}，n ∈{5,6,7,8}则根据椭圆、双曲线定义及PF 1→·PF 2→＝0(即PF 1⊥PF 2)，应有⎩⎨⎧d 1＋d 2＝29－m |d 1－d 2|＝29－n d 12＋d 22＝20，所以m ＋n ＝8.所以这样的C m 、C n 存在，且⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝5.17．(文)(2010·全国Ⅱ文)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)．(1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切． [解析] (1)由题意知，l 的方程为：y ＝x ＋2， 代入C 的方程并化简得， (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1·x 2＝－4a 2＋a 2b 2b 2－a 2① 由M (1,3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，故12×4a 2b 2－a 2＝1 即b 2＝3a 2②故c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴C 的离心率e ＝c a＝2. (2)由②知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2，A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a 22<0， 故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ，|BF |＝(x 1－2a )2＋y 12＝(x 1－2a )2＋3x 12－3a 2＝a －2x 1，|FD |＝(x 2－2a )2＋y 22＝(x 2－2a )2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，|BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a )＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8.又|BF |·|FD |＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17，解得a ＝1，或a ＝－95. 故|BD |＝2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝6连结MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3，从而MA ＝MB ＝MD ，∠DAB ＝90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切， 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．(理)(2016·广东理)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；(2)若过点H (0，h )(h >1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2.求h 的值．[分析] (1)由条件写出直线A 1P 与A 2Q 的方程，两式相乘后消去x 1，y 1得交点E 的方程；(2)l 1，l 2与E 只有一个交点，写出l 1与l 2的方程与曲线E 的方程联立，运用Δ＝0求解．[解析] (1)由条件知|x 1|>2，∵A 1、A 2为双曲线的左、右顶点∴，A 1(－2，0)，A 2(2，0)． A 1P y ＝y 1－0x 1＋2(x ＋2)，A 2Q y ＝－y 1－0x 1－2(x －2)， 两式相乘得y 2＝－y 12x 12－2(x 2－2)，① 而点P (x 1，y 1)在双曲线上，所以x 122－y 12＝1， 即y 12x 12－2＝12，代入①式，整理得， x 22＋y 2＝1.∵|x 1|>2，∴点A 1(－2，0)，A 2(2，0)均不在轨迹E 上，又双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，故过点(0,1)和A 2(2，0)的直线与双曲线仅有一个交点A 2(2，0)，故点(0,1)不在轨迹E 上，同理点(0，－1)也不在轨迹E 上，∴轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2，且x ≠0)． (2)设l 1y ＝kx ＋h ，则由l 1⊥l 2知，l 2y ＝－1k x ＋h . 将l 1y ＝kx ＋h 代入x 22＋y 2＝1得 x 22＋(kx ＋h )2＝1，即(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0， 由l 1与E 只有一个交点知，Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0， ∴1＋2k 2＝h 2.同理，由l 2与E 只有一个交点知，1＋2·1k2＝h 2， 消去h 2得1k2＝k 2， 即k 2＝1，从而h 2＝1＋2k 2＝3，即h ＝ 3. 又分别过A 1、A 2且互相垂直的直线与y 轴正半轴交于点(0，2)，∴h ＝2符合题意，综上知h ＝2或 3.。
高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解
【考点8】椭圆、双曲线、抛物线2021年考题1、〔2021高考〕双曲线1412222222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆〔b ＞0〕的焦点，则b=( )A.3B.5C.3D.2选C.可得双曲线的准线为21a x c=±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、〔2021高考〕“0m n >>〞是“方程221mxny +=〞表示焦点在y 轴上的椭圆〞的( )〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【解析】选C.将方程221mxny +=转化为22111x y m n+=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足110,0,m n>>且11n m >，应选 C.3、〔2021高考〕抛物线28y x =-的焦点坐标是( )A ．〔2，0〕B ．〔- 2，0〕C ．〔4，0〕D ．〔- 4，0〕 【解析】选B.由28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p-=-，应选B. 4、〔2021全国Ⅰ〕椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 假设3FA FB =,则||AF =( )(A)2 (B) 23 (D) 3【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与*轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得222||233BF =⋅=||2AF ∴=5、〔2021高考〕设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 假设12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ．32 B ．2 C ．52D ．3【解析】选B.由3tan623c b π==有2222344()c b c a ==-,则2c e a==,应选B. 6、〔2021高考〕过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，假设1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．33C ．12 D ．13【解析】选B.因为2(,)b P c a-±，再由1260F PF ∠=有232,b a a=从而可得33c e a ==，应选B.7、〔2021高考〕过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．假设12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10【解析】选C.对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，则有22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭， 因222,4,5ABBC a b e =∴=∴=．8、(2021高考)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=*2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A.45B. 5C. 25D.5【解析】选D.双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b xx a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=, 所以2b a =,2221()5c a b b e a a a+===+=,应选D.9、(2021高考)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,假设△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =【解析】选B.抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a ,则直线l 的方程为2()4ay x =-,它与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242a a⋅=,解得8a =±.所以抛物线方程为28y x =±,应选B.10、〔20216( )〔A 〕22124x y -= 〔B 〕22142x y -= 〔C 〕22146x y -= 〔D 〕221410x y -=【解析】选B.由6e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B. 11、〔2021**高考〕设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为〔 〕Ax y 2±= B x y 2±= C x y 22±= D x y 21±= 【解析】选 C.由得到2,3,122=-===b c a c b ，因为双曲线的焦点在*轴上，故渐近线方程为x x a b y 22±=±=. 12、〔2021、高考〕双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为( )〔A 〕3 〔B 〕2 〔C 3 〔D 〕1【解析】选A.双曲线24x -212y =1的焦点(4,0)到渐近线3y x =的距离为34023d ⨯-==选A.13、〔2021、高考〕设抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。
高考数学《双曲线》专题检测试卷(含答案)
高考数学《双曲线》专题检测试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．过点()1,2P -的直线与双曲线2214x y -=的公共点只有1个，则满足条件的直线有（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条2．双曲线E ：2213y x -=的左，右顶点分别为,A B ，曲线E 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则mn =（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-3．双曲线222:1(0)y C x a a-=>的上焦点2F 到双曲线一条渐近线的距离为2a ，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（）A ．4-B ．4C ．2-D ．24．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，右焦点为F ，点E 的坐标为(,b c a b ，则直线OE （O 为坐标原点）与双曲线的交点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过焦点2F 且垂直于x 轴的弦为AB ，若190AF B ∠= ，则双曲线的离心率为（）A ．522B 1-C 1D ．2226．已知双曲线C ：221169x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且6AB =，则1F AB 的周长为（）A ．20B ．22C ．28D ．367．已知点P 是双曲线2211620x y -=右支上的一点，点A B 、分别是圆22(6)4x y ++=和圆22(6)1x y -+=上的点．则PA PB -的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．98．双曲线2222:1(0,0)y x a b a bΓ-=>>的两焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与其一支交于A ，B两点，点B 在第四象限.以1F 为圆心，Γ的实轴长为半径的圆与线段11,AF BF 分别交于M ，N 两点，且12||3||,AM BN F B F B =⊥，则Γ的渐近线方程是（）A．y =B．y x =C．y x =D．y x=二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）9．已知双曲线C ：()2220mx y m -=>，左右焦点分别为12,F F ，若圆()2248x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C的离心率e =B ．若1PF x ⊥轴，则1PF =C ．若双曲线C 上一点P 满足122PF PF =，则12PF F的周长为4+D ．存在双曲线C 上一点P ，使得点P 到C10．已知双曲线2222 :1(0)x y M a b a b-=>>的焦距为4，两条渐近线的夹角为60︒，则下列说法正确的是（）A ．MB ．M 的标准方程为2212x y -=C ．M的渐近线方程为y =D ．直线20x y +-=经过M 的一个焦点11．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为M ，且12π6MF F =∠，双曲线2C 和椭圆1C 有相同的焦点，且双曲线2C 的离心率为2e ，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点．若12π2F PF ∠=，则（）A．21e e =B．12e e =C ．221294e e +=D ．22211e e -=三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F，点)A在双曲线C 上，且满足120AF AF ⋅=，则双曲线C 的标准方程为__________．13．已知双曲线1C ：()22210y x b b-=>与椭圆2C：(2221x y a a +=>有公共的焦点1F ，2F ，且1C 与2C 在第一象限的交点为M ，若12MF F △的面积为1，则a 的值为__________．14．设1F 、2F 为双曲线Γ：()222109x ya a -=>左、右焦点，且Γ，若点M 在Γ的右支上，直线1F M 与Γ的左支相交于点N ，且2MF MN =，则1F N =__________.四、解答题（共5小题，共77分）15．设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>，斜率为1的直线l 与Γ交于,A B 两点，当l 过Γ的右焦点F 时，l 与Γ的一条渐近线交于点(P -．（1）求Γ的方程；（2）若l 过点(1,0)-，求||AB ．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为2（1）求双曲线C 的方程；（2）直线():1,0l y k x k =+>与双曲线C 有唯一的公共点，求k 的值．17．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C 于M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q ．（1）求双曲线C 的方程；（2）证明：MEN 为直角三角形；（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP PB λ= ，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB V 面积的取值范围．18．某高校的志愿者服务小组受“进博会”上人工智能展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如下图：A 、B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为45︒．机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足；接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚08v 秒（注：信号每秒传播0v 米）．在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米．（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？19．已知离心率为72的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B ．（1）求双曲线1C 的方程；（2）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S参考答案15．（1）2214y x -=（2）82316．（1）22124x y -=（2）k =2．17．（1）2213y x -=（2）证明略（3）⎦18．（1）(4,0)（2）没有“被抓”风险19．（1）22143x y -=（2）⎫+∞⎪⎪⎝⎭。
2022版新高考数学总复习真题专题--双曲线(解析版)
2022版新高考数学总复习--§10.2双曲线—五年高考—考点1双曲线的定义和标准方程1.(2020浙江,8,4分)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3√4-x2图象上的点,则|OP|= ()A.√222B.4√105C.√7D.√10答案D2.(2020天津,7,5分)设双曲线C的方程为x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为()A.x 24-y24=1 B.x2-y24=1C.x 24-y2=1 D.x2-y2=1 答案D3.(2019课标Ⅲ文,10,5分)已知F是双曲线C:x 24-y25=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为()A.32B.52C.72D.92答案B以下为教师用书专用(1—10)1.(2018天津理,7,5分)已知双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x 24-y212=1 B.x212-y24=1C.x 23-y29=1 D.x29-y23=1答案C本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用.∵双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2,∴e2=1+b 2a2=4, ∴b 2a2=3,即b 2=3a 2,∴c 2=a 2+b 2=4a 2,由题意可设A (2a ,3a ),B (2a ,-3a ),∵b 2a 2=3,∴渐近线方程为y =±√3x ,则点A 与点B 到直线√3x -y =0的距离分别为d 1=|2√3a -3a |2=2√3-32a ,d 2=|2√3a+3a |2=2√3+32a ,又∵d 1+d 2=6,∴2√3-32a +2√3+32a =6,解得a =√3,∴b 2=9.∴双曲线的方程为x 23-y 29=1,故选C .解题关键 利用离心率的大小得出渐近线方程并表示出点A 与点B 的坐标是求解本题的关键. 方法归纳 求双曲线标准方程的方法(1)定义法:根据题目的条件,若满足双曲线的定义,求出a ,b 的值,即可求得方程.(2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条件构造关于a ,b 的方程(组),解得a ,b 的值,即可求得方程.2.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =√52x ,且与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点,则C 的方程为 ( )A.x 28-y 210=1B.x 24-y 25=1C.x 25-y 24=1D.x 24-y 23=1答案 B 本题考查双曲线的方程.由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24-y 25=k (k >0),即x 24k -y 25k=1,∵双曲线与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点,∴4k +5k =12-3,解得k =1,故双曲线C的方程为x 24-y 25=1.故选B .一题多解 ∵椭圆x 212+y 23=1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点,∴a 2+b 2=(±3)2=9①,∵双曲线的一条渐近线为y =√52x ,∴b a =√52②,联立①②可解得a 2=4,b 2=5.∴双曲线C 的方程为x 24-y 25=1.3.(2017课标Ⅰ文,5,5分)已知F 是双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为 ( ) A.13 B.12 C.23 D.32答案 D 本题考查双曲线的几何性质. 易知F (2,0),不妨取P 点在x 轴上方,如图.∵PF ⊥x 轴,∴P (2,3),|PF |=3,又A (1,3), ∴|AP |=1,AP ⊥PF , ∴S △APF =12×3×1=32.故选D .4.(2015安徽理,4,5分)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y =±2x 的是 ( )A.x 2-y 24=1 B.x 24-y 2=1 C.y 24-x 2=1 D.y 2-x 24=1答案 C 由于焦点在y 轴上,故排除A 、B .由于渐近线方程为y =±2x ,故排除D .故选C .5.(2014天津理,5,5分)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :y =2x +10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为 ( )A .x 25-y 220=1 B .x 220-y 25=1 C .3x 225-3y 2100=1 D .3x 2100-3y 225=1答案 A由题意得ba=2且c =5.故由c 2=a 2+b 2,得25=a 2+4a 2,则a 2=5,b2=20,从而双曲线方程为x 25-y 220=1.6.(2014江西文,9,5分)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为 ( ) A .x 24-y 212=1 B .x 27-y 29=1 C .x 28-y 28=1 D .x 212-y 24=1答案 A 由双曲线方程知右顶点为(a ,0),不妨设其中一条渐近线方程为y =ba x ,因此可设点A 的坐标为(a ,b ).设右焦点为F (c ,0),由已知可知c =4,且|AF |=4,即(c -a )2+b 2=16,所以有(c -a )2+b 2=c 2,得a 2-2ac +b 2=0,又知c 2=a 2+b 2,所以得a 2-2ac +c 2-a 2=0,即a =c2=2,所以b 2=c 2-a 2=42-22=12.故双曲线的方程为x 24-y 212=1,故选A .评析 本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学生的运算求解能力和逻辑推理能力.7.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程x 2m 2+n -y 23m 2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,√3)C.(0,3)D.(0,√3)答案 A 解法一:由题意可知:c 2=(m 2+n )+(3m 2-n )=4m 2,其中c 为半焦距,∴2c =2×2|m |=4,∴|m |=1,∵方程x 2m 2+n -y 23m 2-n=1表示双曲线,∴(m 2+n )·(3m 2-n )>0,∴-m 2<n <3m 2,∴-1<n <3.故选A .解法二:∵原方程表示双曲线,且焦距为4, ∴{m 2+n >0,3m 2-n >0,m 2+n +3m 2-n =4,①或{m 2+n <0,3m 2-n <0,-(3m 2-n )-(m 2+n )=4,②由①得m 2=1,n ∈(-1,3).②无解.故选A .知识拓展 对于方程mx 2+ny 2=1,若表示椭圆,则m 、n 均为正数且m ≠n ;若表示双曲线,则m ·n <0.8.(2016天津,6,5分)已知双曲线x 24-y 2b2=1(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ,B ,C ,D 四点,四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为 ( )A.x 24-3y 24=1 B.x 24-4y 23=1 C.x 24-y 24=1 D.x 24-y 212=1答案 D 设A (x 0,y 0),不妨令其在第一象限,由题意得{x 02+y 02=22,y 0=b2x 0, 可得x 02=164+b2,y 02=b 24×164+b2=4b 24+b 2,结合2x 0·2y 0=2b ,可得b 2=12.所以双曲线的方程为x 24-y 212=1.故选D .9.(2015课标Ⅰ文,16,5分)已知F 是双曲线C :x 2-y 28=1的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,6√6).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为 . 答案 12√6解析 由已知得双曲线的右焦点F (3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF |=2a +|PF'|=2+|PF'|.△APF 的周长最小,即|PA |+|PF |最小.|PA |+|PF |=|PA |+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即当A 、P 、F'三点共线时,△APF 的周长最小.设P点坐标为(x 0,y 0),y 0>0,由{x 0-306√6=1,x 02-y 028=1得y 02+6√6y 0-96=0,所以y 0=2√6或y 0=-8√6(舍去).所以当△APF 的周长最小时,该三角形的面积S =12×6×6√6-12×6×2√6=12√6.10.(2015课标Ⅱ文,15,5分)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y =±12x ,则该双曲线的标准方程为 . 答案x 24-y 2=1 解析 根据渐近线方程为x ±2y =0,可设双曲线方程为x 2-4y 2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,√3),所以42-4×(√3)2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为x 24-y 2=1.考点2 双曲线的几何性质1.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分)设O 为坐标原点,直线x =a 与双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于D ,E 两点.若△ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为 ( )A.4B.8C.16D.32 答案 B2.(2020课标Ⅲ理,11,5分)设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为√5.P 是C 上一点,且F 1P ⊥F 2P.若△PF 1F 2的面积为4,则a = ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 A3.(2020课标Ⅰ文,11,5分)设F 1,F 2是双曲线C :x 2-y 23=1的两个焦点,O 为坐标原点,点P 在C 上且|OP |=2,则△PF 1F 2的面积为( )A.72B.3C.52D.2 答案 B4.(2019课标Ⅰ文,10,5分)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( )A.2sin 40°B.2cos 40°C.1sin50° D.1cos50° 答案 D5.(2019课标Ⅲ理,10,5分)双曲线C :x 24-y 22=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点.若|PO |=|PF |,则△PFO 的面积为 ( ) A.3√24B.3√22C.2√2D.3√2答案 A6.(2021新高考Ⅱ,13,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),离心率e =2,则双曲线C 的渐近线方程为.答案 y =±√3x7.(2021全国乙理,13,5分)已知双曲线C :x 2m -y 2=1(m >0)的一条渐近线为√3x +my =0,则C 的焦距为 . 答案 4解题指导 根据题设,由双曲线方程写出其渐近线方程,再结合题设列出关于m 的方程,求解出m ,再求出焦距.8.(2020江苏,6,5分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ,则该双曲线的离心率是 . 答案329.(2020课标Ⅰ理,15,5分)已知F 为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点,A 为C 的右顶点,B 为C 上的点,且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3,则C 的离心率为 . 答案 210.(2020北京,12,5分)已知双曲线C :x 26-y 23=1,则C 的右焦点的坐标为 ;C 的焦点到其渐近线的距离是 . 答案 (3,0);√311.(2019课标Ⅰ理,16,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则C 的离心率为 . 答案 212.(2018北京理,14,5分)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线N :x 2m 2-y 2n 2=1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为 ;双曲线N 的离心率为 . 答案 √3-1;213.(2021新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知点F 1(-√17,0),F 2(√17,0),点M 满足|MF 1|-|MF 2|=2.记M 的轨迹为C. (1)求C 的方程;(2)设点T 在直线x =12上,过T 的两条直线分别交C 于A ,B 两点和P ,Q 两点,且|TA |·|TB |=|TP |·|TQ |,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.解题指导 (1)先判断出M 的轨迹C 为双曲线的右支,并设出双曲线的标准方程,然后结合双曲线的定义,利用待定系数法确定其标准方程;(2)设出T 点坐标和直线AB 的方程,然后联立方程并利用根与系数的关系表示|TA |·|TB |,同理得到|TP |·|TQ |,结合|TA |·|TB |=|TP |·|TQ |得到结果. 以下为教师用书专用(1—22) 1.(2019课标Ⅰ文,10,5分)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( )A.2sin 40°B.2cos 40°C.1sin50°D.1cos50°答案 D 本题主要考查双曲线的性质,同角三角函数的基本关系式及诱导公式;考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力;考查的核心素养是数学运算.由双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)可知渐近线方程为y =±ba x ,由题意知-b a=tan 130°, 又tan 130°=-tan 50°, ∴ba=tan 50°, ∴双曲线的离心率e =c a =√1+b 2a 2=√1+tan 250°=√1+sin 250°cos 250°=√1cos 250°=1cos50°,故选D .方法总结求双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率的常见方法:(1)定义法:e =2c 2a =c a ;(2)公式法:e =√1+b 2a2=√1+tan 2θ(θ为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:利用题中条件得出关于a ,b ,c 的方程,利用b 2=c 2-a 2转化为关于a ,c 的方程,最后利用e =ca 转化为关于e 的方程,从而得出离心率e. 2.(2019北京文,5,5分)已知双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)的离心率是√5,则a = ( ) A.√6 B.4 C.2 D.12答案 D 本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生运算求解的能力以及方程的思想,考查的核心素养为数学运算. 由题意得e =ca =√5,又a 2+b 2=c2,∴b 2a 2=c 2-a 2a 2=e 2-1=4,∵b 2=1,∴a 2=14.∵a >0,∴a =12.易错警示 把双曲线的离心率错认为e =√1-b 2a2而出错. 3.(2018浙江,2,4分)双曲线x 23-y 2=1的焦点坐标是 ( )A.(-√2,0),(√2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-√2),(0,√2)D.(0,-2),(0,2)答案 B 本小题考查双曲线的标准方程和几何性质.∵a 2=3,b 2=1,∴c =√a 2+b 2=2.又∵焦点在x 轴上,∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点 (1)焦点在x 轴上还是y 轴上,容易判断错误;(2)双曲线与椭圆的标准方程中a ,b ,c 的关系式容易混淆.4.(2015课标Ⅰ理,5,5分)已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点.若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,则y 0的取值范围是 ( )A.(-√33,√33) B.(-√36,√36)C.(-2√23,2√23) D.(-2√33,2√33) 答案 A 若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点M 在以原点为圆心,半焦距c =√3为半径的圆上,则{x 02+y 02=3,x 022-y 02=1,解得y 02=13.可知:MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0⇒点M 在圆x 2+y 2=3的内部⇒y 02<13⇒y 0∈(-√33,√33).故选A .5.(2015课标Ⅱ理,11,5分)已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为 ( ) A.√5 B.2 C.√3 D.√2答案 D 设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),则A (-a ,0),B (a ,0),不妨设点M 在第一象限内,则易得M (2a ,√3a ),又M 点在双曲线E上,于是(2a )2a 2-(√3a )2b 2=1,解得b 2=a 2,∴e =√1+b2a 2=√2.6.(2015湖南文,6,5分)若双曲线x 2a 2-y 2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 ( )A.√73B.54C.43D.53答案 D双曲线x 2a 2-y 2b2=1的两条渐近线方程为y =±b a x ,则点(3,-4)在直线y =-b a x 上,即-4=-3b a ,所以4a =3b ,即b a =43,所以e =√1+b 2a 2=53.故选D .7.(2015重庆文,9,5分)设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点是F ,左、右顶点分别是A 1,A 2,过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ,C 两点.若A 1B ⊥A 2C ,则该双曲线的渐近线的斜率为 ( )A.±12 B.±√22 C.±1 D.±√2答案 C 不妨令B 在x 轴上方,因为BC 过右焦点F (c ,0),且垂直于x 轴,所以可求得B ,C 两点的坐标分别为(c ,b 2a ),(c ,-b 2a ),又A 1,A 2的坐标分别为(-a ,0),(a ,0),所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c +a ,b 2a),A 2C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c -a ,-b2a), 因为A 1B ⊥A 2C ,所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(c +a )(c -a )-b 2a ·b 2a =0,即c 2-a2-b 4a2=0,所以b2-b 4a2=0, 故b 2a 2=1,即b a =1,又双曲线的渐近线的斜率为±ba,故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C .8.(2014课标Ⅰ理,4,5分)已知F 为双曲线C :x 2-my 2=3m (m >0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.√3B.3C.√3mD.3m 答案 A由题意知,双曲线的标准方程为x 23m -y 23=1,其中a 2=3m ,b 2=3,故c =√a 2+b 2=√3m +3,不妨设F 为双曲线的右焦点,故F (√3m +3,0).其中一条渐近线的方程为y =1√mx ,即x -√m y =0,由点到直线的距离公式可得d =√3·√m+1|√1+(-√m )=√3,故选A .评析 本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础知识,考查考生对知识的灵活运用能力和运算求解能力. 9.(2014课标Ⅰ文,4,5分)已知双曲线x 2a 2-y 23=1(a >0)的离心率为2,则a = ( )A .2B .√62C .√52D .1答案 D 由双曲线方程知b 2=3,从而c 2=a 2+3,又e =2,因此c 2a 2=a 2+3a 2=4,又a >0,所以a =1,故选D .10.(2013课标Ⅰ理,4,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√52,则C 的渐近线方程为 ( )A.y =±14xB.y =±13xC.y =±12x D.y =±x答案 C ∵ba =√e 2-1=√54-1=12,∴C 的渐近线方程为y =±12x.故选C .11.(2011课标全国理,7,5分)设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为 ( ) A.√2 B.√3 C.2 D.3 答案 B 不妨设双曲线C为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),并设l 过F 2(c ,0)且垂直于x轴,则易求得|AB |=2b 2a,∴2b 2a =2×2a ,b 2=2a 2,∴离心率e =c a =√1+b 2a 2=√3,故选B .12.(2016课标Ⅱ,11,5分)已知F 1,F 2是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1的左,右焦点,点M 在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为 ( ) A.√2 B.32 C.√3 D.2答案 A 解法一:不妨设M 在第二象限,由MF 1⊥x 轴,可得M (-c ,b 2a ),∴|MF 1|=b 2a .由sin ∠MF 2F 1=13,可得cos ∠MF 2F 1=√1-(13)2=2√23,又tan ∠MF 2F 1=|MF 1||F 1F 2|=b2a2c,∴b 2a2c=132√23,∴b 2=√22ac ,∵c 2=a 2+b 2⇒b 2=c 2-a 2,∴c 2-a 2-√22ac =0⇒e 2-√22e -1=0,∴e =√2.故选A .解法二:不妨设M 在第二象限,由MF 1⊥x 轴,得M (-c ,b 2a ),∴|MF 1|=b 2a ,由双曲线的定义可得|MF 2|=2a +|MF 1|=2a +b 2a ,又sin ∠MF 2F 1=|MF 1||MF 2|=b2a 2a+b2a=13⇒a 2=b 2⇒a =b ,∴e =√1+(b a )2=√2.故选A .13.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C 1:x 2m2+y 2=1(m >1)与双曲线C 2:x 2n2-y 2=1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则 ( )A.m >n 且e 1e 2>1B.m >n 且e 1e 2<1C.m <n 且e 1e 2>1D.m <n 且e 1e 2<1 答案 A 在椭圆中,a 1=m ,c 1=√m 2-1,e 1=√m 2-1m.在双曲线中,a 2=n ,c 2=√n 2+1,e 2=√n 2+1n.因为c 1=c 2,所以n 2=m 2-2.从而e 12·e 22=(m 2-1)(n 2+1)m 2·n 2=(m 2-1)2m 2·(m 2-2),令t =m 2-1,则t >1,e 12·e 22=t 2t 2-1>1,即e 1e 2>1.结合图形易知m >n ,故选A .思路分析 根据焦点重合可得m 2与n 2之间的关系,进而建立e 12e 22关于m 的解析式,然后判定范围即可.14.(2018上海,2,4分)双曲线x 24-y 2=1的渐近线方程为 . 答案 y =±12x解析 本题主要考查双曲线的渐近线方程. 解法一:由双曲线x 24-y 2=1知a 2=4,b 2=1,∴a =2,b =1,∴该双曲线的渐近线方程为y =±12x.解法二:令双曲线x 24-y 2=1中的“1”为“0”,即可得到双曲线的渐近线方程,即x 24-y 2=0,∴该双曲线的渐近线方程为y =±12x.15.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F (c ,0)到一条渐近线的距离为√32c ,则其离心率的值是 . 答案 2解析 本题考查双曲线的性质.双曲线的一条渐近线方程为bx -ay =0,则F (c ,0)到这条渐近线的距离为√b 2+(-a )=√32c ,∴b =√32c ,∴b 2=34c 2,又b 2=c 2-a 2,∴c 2=4a 2,∴e =ca =2.16.(2017课标Ⅰ理,15,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点.若∠MAN =60°,则C 的离心率为 .答案2√33解析 本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.不妨设点M 、N 在渐近线y =ba x 上,如图,△AMN 为等边三角形,且|AM |=b ,则A 点到渐近线y =b ax 的距离为√32b ,又将y =b ax 变形为一般形式为bx -ay =0,则A (a ,0)到渐近线bx -ay =0的距离d =√a 2+b =|ab |c ,所以|ab |c =√32b ,即a c =√32, 所以双曲线离心率e =c a =2√33. 17.(2017课标Ⅲ文,14,5分)双曲线x 2a 2-y 29=1(a >0)的一条渐近线方程为y =35x ,则a = .答案 5解析 由题意可得3a =35,所以a =5. 18.(2017北京理,9,5分)若双曲线x 2-y 2m =1的离心率为√3,则实数m = .答案 2解析 本题考查双曲线的性质. 由题意知,a 2=1,b 2=m.∵e =c a =√1+b 2a 2=√1+m 1=√3,∴m =2. 19.(2016山东理,13,5分)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是 . 答案 2 解析由已知得|AB |=|CD |=2b 2a ,|BC |=|AD |=|F 1F 2|=2c.因为2|AB |=3|BC |,所以4b 2a =6c ,又b 2=c 2-a 2,所以2e 2-3e -2=0,解得e =2,或e =-12(舍去).评析 本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB |=3|BC |和b 2=c 2-a 2构造关于离心率e 的方程是求解的关键.20.(2016北京理,13,5分)双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线,点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2,则a = . 答案 2解析 由OA 、OC 所在直线为渐近线,且OA ⊥OC ,知两条渐近线的夹角为90°,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x 2-y 2=a 2.OB 是正方形的对角线,且点B 是双曲线的焦点,则c =2√2,根据c 2=2a 2可得a =2.评析 本题考查等轴双曲线及其性质.21.(2015北京理,10,5分)已知双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)的一条渐近线为√3x +y =0,则a = . 答案 √33解析由双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)知其渐近线方程为y =±1a x ,又因为a >0,所以1a =√3,解得a =√33.22.(2014浙江理,16,4分)设直线x -3y +m =0(m ≠0)与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A ,B.若点P (m ,0)满足|PA |=|PB |,则该双曲线的离心率是 .答案√52解析 由{x -3y +m =0,y =ba x得A (am 3b -a ,bm3b -a ), 由{x -3y +m =0,y =-ba x得B (-am 3b+a ,bm 3b+a ),则线段AB 的中点为M (a 2m 9b 2-a 2,3b 2m 9b 2-a 2).由题意得PM ⊥AB ,∴k PM =-3,得a 2=4b 2=4c 2-4a 2,故e 2=54,∴e =√52.— 三年模拟 — A 组 考点基础题组考点1 双曲线的定义和标准方程1.(2020山东百师联盟测试五,5)已知圆C 1:(x -4)2+y 2=25,圆C 2:(x +4)2+y 2=1,动圆M 与C 1,C 2都外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 24-y 212=1(x <0) B.x 24-y 212=1(x >0)C.x 23-y 25=1(x <0)D.x 23-y 25=1(x >0) 答案 A 2.(2020广东湛江网络教学测试(二),5)椭圆x 26+y 24=1的两焦点分别为F 1,F 2,以椭圆短轴的两端点为焦点,|F 1F 2|为虚轴长的双曲线方程为 ( )A.x 2-y 2=2 B.y 2-x 2=2 C.x 2-y 2=√2 D.y 2-x 2=√2 答案 B3.(2021河北衡水中学全国高三第二次联考,6)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点F (c ,0)到渐近线的距离为√32c ,且点(2,√3)在双曲线上,则双曲线的方程为 ( )A.x 29-y 23=1 B.x 212-y 23=1 C.x 23-y 212=1D.x 23-y 29=1答案 D考点2 双曲线的几何性质1.(2020湖南长沙明德中学月考,10)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,M 为双曲线上一点,若cos ∠F 1MF 2=14,|MF 1|=2|MF 2|,则此双曲线的渐近线方程为 ( ) A.y =±√3x B.y =±√33x C.y =±x D.y =±2x 答案 A2.(多选题)(2021广东揭阳4月联考,9)已知一组直线x ±2y =0,则以该组直线为渐近线的双曲线有 ( ) A.x 2-4y 2=1 B.4y 2-x 2=1 C.x2-y 24=1D.x 24-y 2=1 答案 ABD3.(2021山东济南十一学校联考,6)椭圆与双曲线共焦点F 1,F 2,它们的交点P 对两公共焦点F 1,F 2的张角为∠F 1PF 2=2θ,椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2,则 ( )A.cos 2θe 12+sin 2θe 22=1B.sin 2θe 12+cos 2θe 22=1 C.e 12cos 2θ+e 22sin 2θ=1D.e 12sin 2θ+e 22cos 2θ=1答案 B4.(2021辽宁沈阳市郊联体一模,7)设F 1,F 2是双曲线C :x 24-y 28=1的两个焦点,O 为坐标原点,点P 在C 的左支上,且OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3,则△PF 1F 2的面积为 ( )A.8B.8√3C.4D.4√3 答案 A5.(2019广东佛山二模,11)已知F 为双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点,A ,B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点,AF ⊥BF ,且AF 的中点在双曲线C 上,则C 的离心率为( ) A.√5-1 B.√3+12C.√5+12D.√3+1答案 A6.(2021河北二轮复习联考(一),6)已知双曲线C :x 22-y 2b2=1(b >0)的离心率为e ,若e ∈(√5,√10),则C 的焦点到一条渐近线的距离的取值范围为 ( )A.(1,3√2)B.(√2,+∞)C.(2√2,3√2)D.(√2,3√2) 答案 CB 组 综合应用题组时间:70分钟 分值:85分一、单项选择题(每小题5分,共35分)1.(2021百校大联考(六),8)若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率等于√103,则该双曲线的渐近线方程为 ( )A.y =±3xB.y =±12xC.y =±13x D.y =±2x 答案 C2.(2021湘豫名校4月联考,10)已知双曲线C :x 216-y 29=1的右焦点为F ,过原点O 的直线与双曲线C 交于A ,B 两点,且∠AFB =60°,则△OBF 的面积为( ) A.92B.9√32C.32 D.3√32答案 D3.(2020河北衡水中学七调,4)已知双曲线C :x 212-y 24=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为P ,Q ,若△POQ 为直角三角形,则|PQ |= ( ) A.2 B.4 C.6 D.8答案 C4.(2021广东肇庆二模,8)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,O为坐标原点,在双曲线C 上存在点M ,使得2|OM |=|F 1F 2|,设△F 1MF 2的面积为S.若16S =(|MF 1|+|MF 2|)2,则该双曲线的离心率为 ( ) A.√62 B.√32 C.32 D.√3 答案 A5.(2019湖南岳阳二模,11)如图,设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,O 为坐标原点,若双曲线及其渐近线上各存在一点Q ,P ,使得四边形OPFQ 为矩形,则其离心率为 ( )A.√3B.2C.√5D.√6 答案 A6.(2021辽宁沈阳二模,8)已知点F 1,F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b2=1(b >0)的左,右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线C的右支上,且满足|F 1F 2|=2|OP |,tan ∠PF 2F 1≥5,则双曲线C 的离心率的取值范围为 ( )A.(1,√173] B.(1,√264] C.(1,√5] D.(1,√2]答案 B7.(2021江苏南通如皋二模,7)在平面直角坐标系xOy 中,点F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,过点F 1且与直线l :y =-ba x 垂直的直线交C 的右支于点M ,设直线l 上一点N (N 在第二象限)满足F 1N ⊥F 2N ,且(F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线C 的离心率为 ( ) A.√5 B.√3 C.√2+1 D.2 答案 A二、多项选择题(每小题5分,共15分)8.(2020全国统一模拟五,12)设F 1、F 2为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过左焦点F 1且斜率为√157的直线l 与C 在第一象限相交于一点P ,则下列说法正确的是( ) A.直线l 倾斜角的余弦值为78B.若|F 1P |=|F 1F 2|,则C 的离心率e =43 C.若|PF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率e =2 D.△PF 1F 2不可能是等边三角形 答案 AD9.(2021山东烟台一模,10)已知双曲线C :x 2m -y 2m+7=1(m ∈R )的一条渐近线方程为4x -3y =0,则 ( )A.(√7,0)为C 的一个焦点B.双曲线C 的离心率为53C.过点(5,0)作直线与C 交于A ,B 两点,则满足|AB |=15的直线有且只有两条D.设A ,B ,M 为C 上三点且A ,B 关于原点对称,则MA ,MB 斜率存在时其乘积为169 答案 BD10.(2021广东梅州一模,10)下列关于圆锥曲线的命题中,正确的是 ( ) A.设A 、B 为两个定点,k 为非零常数,|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ,则动点P 的轨迹为双曲线 B.过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ,O 为坐标原点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则动点P 的轨迹为椭圆 C.方程2x 2-5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D.双曲线x 225-y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点 答案 CD三、填空题(每小题5分,共20分)11.(2020山东潍坊模拟,15)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点为F 1、F 2,直线y =√3b 与C 的右支相交于点P ,若|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线C 的离心率为 ;若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是√5,则双曲线的方程为 . 答案32;x 24-y 25=1 12.(2021广东广州一模,15)已知圆(x -1)2+y 2=4与双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线相交于四个点,按顺时针排列依次记为M ,N ,P ,Q ,且|MN |=2|PQ |,则C 的离心率为 . 答案2√6313.(2021湖南永州二模,15)已知O 为坐标原点,双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为3√55,从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线,垂足为A ,若△AFO 的面积为√5,则双曲线C 的方程为 .答案x 25-y 24=114.(2021山东日照一模,16)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 24-y 212=1的左,右焦点,E 为双曲线C 的右顶点,过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ,B 两点(其中点A 在第一象限),设M ,N 分别为△AF 1F 2,△BF 1F 2的内心,则|ME |-|NE |的取值范围是 . 答案 (-4√33,4√33)四、解答题(共15分)15.(2021湖南岳阳一模,21)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为√52,点P (4,√3)在C 上.(1)求双曲线C 的方程;(2)设过点(1,0)的直线l 与双曲线C 交于M ,N 两点,问在x 轴上是否存在定点Q ,使得QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数?若存在,求出Q 点坐标及此常数的值;若不存在,说明理由. 解析 (1)由题意得,{ 16a 2-3b 2=1,c a =√52,a 2+b 2=c 2,解得a 2=4,b 2=1.∴双曲线C 的方程为x 24-y 2=1. (2)假设存在定点Q.设定点Q (t ,0), 当直线斜率不为0时,设直线l 的方程为x =my +1,联立{x 24-y2=1,x =my +1,得(m 2-4)y 2+2my -3=0. ∴m 2-4≠0,且Δ=4m 2+12(m 2-4)>0,解得m 2>3且m 2≠4. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), ∴y 1+y 2=-2mm 2-4,y 1y 2=-3m 2-4, ∴x 1+x 2=m (y 1+y 2)+2=-2m 2m 2-4+2=-8m 2-4,x 1x 2=(my 1+1)(my 2+1)=m 2y 1y 2+m (y 1+y 2)+1=-3m 2m 2-4-2m 2m 2-4+1=-4m 2+4m 2-4=-4-20m 2-4.QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-t ,y 1)·(x 2-t ,y 2)=(x 1-t )(x 2-t )+y 1y 2=x 1x 2-t (x 1+x 2)+t 2+y 1y 2=-4-20m 2-4+t ·8m 2-4-3m 2-4+t 2=-4+t 2+8t -23m 2-4, 由QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数, 得8t -23=0,即t =238,此时QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =27364. 当直线l 斜率为0时,QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =27364. ∴在x 轴上存在定点Q (238,0),使得QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数. 方法总结 过x 轴上某一定点的直线方程的设法问题,常设其横截距式直线方程,需要针对其斜率是不是0进行分类讨论,若设其纵截距式直线方程,则需要针对其斜率是否存在进行分类讨论.— 一年原创 —1.(2021 5·3原创题)已知双曲线x 2m -y 2n =1,集合A ={x |x 2-2x -8<0,x ∈Z },若m ,n ∈A ,则焦点在x 轴上的双曲线条数是 ( )A.9B.8C.6D.12答案 A2.(2021 5·3原创题)已知A 1,A 2是椭圆C 1:x 24+y 2=1和双曲线C 2:x 24-y 2b 2=1(b >0)的左,右顶点,M ,N 分别为椭圆和双曲线上不同于A 1,A 2的动点,且O ,M ,N 三点共线,若直线A 1M ,A 2M ,A 1N ,A 2N 的斜率之和为0,则C 2的渐近线方程是( )A.y =±2xB.y =±12xC.y =±23xD.y =±32x答案 B3.(2021 5·3原创题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,左、右焦点分别是F 1、F 2.过F 1的直线l分别交C 的两条渐近线于A ,B 两点(A 与B 不重合),且满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则直线l 的斜率k = .答案 ±√1554.(2021 5·3原创题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是x -2y =0,且双曲线C 过点(2√2,1).(1)求双曲线C 的方程;(2)如图,设直线l 与双曲线C 的右支相切于P 点(P 点不与右顶点重合),且l 分别交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点,O 为坐标原点.问:△MON 的面积是不是定值?如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由.解析 (1)由题意得{b a =12,8a 2-1b 2=1,解得{a 2=4,b 2=1, 所以双曲线C 的方程为x 24-y 2=1. (2)由于直线l 与双曲线C 的右支相切于P 点(P 点不与右顶点重合),因此直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y =kx +m ,由{y =kx +m ,x 24-y 2=1消去y 得(4k 2-1)x 2+8kmx +4m 2+4=0, 由题意得Δ=64k 2m 2-4(4k 2-1)(4m 2+4)=0, 整理得4k 2=m 2+1,① 设l 与x 轴交于点D ,则|OD |=|m k|, S △OMN =S △MOD +S △NOD =12|OD |×|y M -y N |=|m 2k |·|k |·|x M -x N |,双曲线的两条渐近线方程为y =±12x ,联立{y =12x ,y =kx +m ⇒M (2m 1-2k ,m 1-2k ), 联立{y =-12x ,y =kx +m ⇒N (-2m 2k+1,m 2k+1), 则S △MON =|m 2k |·|k |·|2m 1-2k +2m 1+2k |=|m 2k |·|k |·|4m1-4k 2|=12·|m k |·|k |·|4m-m 2|=2(定值).所以△MON的面积为定值2.。
《双曲线》练习试题经典(含答案解析)
《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是(A)A.17B.15C.174 D.1542．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（B）A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（B）A．B．C．或D．4.1（a＞b＞01有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）A B C D5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（A）A．2 B．C．D．7的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ）A B C D8．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为(B)A.3B.62 C.63D.339．已知双曲线221(0,0)x ym nm n-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的，则m等于( D )A ．9B ．4C ．2D ．,310．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( A )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 11．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．4 2B ．83C ．24D ．4812．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C ) A ．28 B ．14－82 C ．14＋8 2D ．8 213．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ D ） A ．﹣=1B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=114．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B |=|F 2A |，则该双曲线的离心率是（ C ） A ． B ．C ．D ．215．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。
高考数学十年真题专题解析—双曲线
双曲线年份题号考点考查内容2011理7双曲线直线与双曲线的位置关系，双曲线的几何性质2012理8文10双曲线抛物线与双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系2013卷1文理4双曲线双曲线的离心率和渐近线2014卷1理4双曲线双曲线的标准方程及其几何性质文4双曲线双曲线的离心率卷2理5双曲线双曲线的标准方程及其几何性质2015卷1文16双曲线双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系卷2理11双曲线双曲线的标准方程及其几何性质文15双曲线双曲线的标准方程的求法，双曲线的渐近线2016卷2理11双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算2017卷1理15双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法文5双曲线双曲线标准方程及其几何性质卷2理9圆、双曲线圆的几何性质，双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算文5双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算卷3理5双曲线双曲线与椭圆的几何性质，待定系数法求双曲线的方程文14双曲线双曲线的渐近线2018卷1理11双曲线双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系卷2理5文6双曲线双曲线的几何性质卷3理11双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法文10双曲线双曲线的离心率、渐近线，点到直线距离公式2019卷1理16双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法文10双曲线双曲线的离心率、渐近线卷2理11文12圆、双曲线直线与圆的位置关系，双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法卷3理10双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质文10双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质2020卷1理15双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质，双曲线离心率的求法文11双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质卷2理8文9双曲线双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系卷3理11双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质文14双曲线双曲线的渐近线、离心率考点出现频率2021年预测考点92双曲线的定义及标准方程23次考2次命题角度：(1)双曲线的定义及应用；(2)双曲线的标准方程；(3)双曲线的几何性质．核心素养：直观想象、数学运算考点93双曲线的几何性质23次考21次考点94直线与双曲线的位置关系23次考5次考点92双曲线的定义及标准方程1．(2017新课标Ⅲ理)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 【解析】由题意可得：52b a =，3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =，则C 的方程为2145x y 2-=，故选B ．2．(2017天津理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=【答案】B 【解析】设(,0)F c -，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由44PF k c c -==-，由题意有4b c a=，又ca=222c a b =+，得b =，a =B ．3．【2017天津文】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为()A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】由题意可得2222tan 603c c a b ba ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=︒=⎩，解得221,3ab ==，故双曲线方程为2213y x -=，故选D ．4．(2016天津理)已知双曲线222=1(0)4x y b b->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为()A ．22443=1y x -B ．22344=1y x -C ．2224=1x y b-D ．2224=11x y -【答案】D 【解析】不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，所以2242x y by x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得224424x b y b ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，故四边形ABCD 的面积为22232442444bxy b b b b =⨯==+++，解得212b =．故所求的双曲线方程为2224=11x y -，故选D ．5．【2016天津文】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为()A ．1422=-y x B ．1422=-y x C ．15320322=-y x D ．12035322=-y x 【答案】A【解析】由题意得2215,2,11241b x yc a b a ==⇒==⇒-=，故选A ．6．(2015安徽理)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C 【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C ．7．(2014天津理)已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=【答案】A 【解析】依题意得22225b a c c a b ìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=．8．(2012湖南文理)已知双曲线C ：22x a -22y b =1的焦距为10，点P(2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =1【答案】A 【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==．又 C 的渐近线为b y x a =±，点P(2，1)在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =．又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1．9．(2011山东文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆C ：22x y +-650x +=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163x y -=【答案】A 【解析】圆22:(3)4C x y -+=，3,c =而32bc=，则22,5b a ==，故选A ．10．(2016北京文)已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________．【答案】1,2a b ==．【解析】依题意有2c b a⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，结合222c a b =+，解得1,2a b ==．11．(2016北京理)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a =______．2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图，∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB π4∠=AOB ，∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a，又∵2228+==a b c ，∴2=a．12．(2015新课标1文)已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为．【答案】2214x y -=【解析】∵双曲线的渐近线方程为x y 21±=，故可设双曲线的方程为22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点)3,4(，∴2244λ-=，∴1λ=，故双曲线的方程为2214x y -=．13．(2015北京理)已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a =．33【解析】因为双曲线()22210x y a a -=>的一条渐近线为y =，所以1a =，故33a =．14．(2011山东文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．【答案】22143x y -=【解析】由题意可知双曲线的焦点(，，即c =心率为274c a =，∴2a =，故23b =，∴双曲线的方程为22143x y -=．考点93双曲线的几何性质15．(2020·新课标Ⅰ文)设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为()A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵121||1||2OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ．16．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点12,F F ，离心率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ∆的面积为4，则=a ()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：ca=c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥ ，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ，又∵5==ace ，∴1=a ．解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．17．【2020年高考浙江卷8】已知点()()()0,0,2,0,2,0O A B -．设点P 满足–2PA PB =，且P 为函数y =图像上的点，则OP =()A．2B．5CD．【答案】D【解析】由条件可知点P 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，并且2,1c a ==，∴23b =，方程为()22103yx x -=>且点P为函数y =上的点，联立方程()22103y x x y ⎧-=>⎪⎨⎪=⎩，解得：2134x =，2274y =，OP ∴==D ．18．【2019·全国Ⅰ文】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为()A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50 cea∴======︒，故选D．19．【2019年高考全国Ⅱ理】设F为双曲线C：22221(0,0)x y a ba b-=>>的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a+=交于P，Q两点．若PQ OF=，则C的离心率为A BC．2D【答案】A【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ x⊥轴，又||PQ OF c==，||,2cPA PA∴=∴为以OF为直径的圆的半径，∴||2cOA=，,22c cP⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P点在圆222x y a+=上，22244c c a∴+=，即22222,22c ca ea=∴==．e∴=，故选A．20．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：2242x y-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF，则△PFO的面积为A ．324B ．322C ．22D ．32【答案】A【解析】由222,2,6,a b c a b ===+=6,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则263222P P b y x a =⋅=⨯=，1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ．【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．21．【2019·全国Ⅲ文】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又453OP OF ==+=，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =，0115532232OPF S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选B ．22．【2019·北京文】已知双曲线2221x y a-=(a>0)的离心率是5，则a=()A 6B ．4C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率c e a ==c =，∴1a=12a =，故选D ．23．【2019·浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()A ．22B ．1C ．D ．2【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为0x y ±=，∴a b =，则c ==，∴双曲线的离心率ce a==C ．24．(2018全国Ⅱ文理)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的离心率为()A ．=yB ．=yC ．2=±y x D ．2=±y x 【答案】A【解析】∵c e a ==，∴2222221312b c a e a a-==-=-=，∴b a =b y x a =±，∴渐近线方程为y =，故选A ．25．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C ．322D ．【答案】D【解析】c e a === 1b a ∴=，∴双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，∴点(4,0)到渐近线的距离d ==，故选D ．26．【2018高考浙江2】双曲线2213x y -=的焦点坐标是()A ．()),0,B ．()()20,0,2,-C ．((0,,0D ．()()0,22,0,-【答案】B【解析】试题分析：根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标．试题解析： 双曲线方程为2213x y -=，∴焦点坐标可设为()0,c ±．222,3142c a b c =+=+== ，∴焦点坐标为()20,±，故选B ．【名师点睛】由双曲线方程()222210,0x y a b a b-=>>可得焦点坐标为()(,0c c ±=，顶点坐标为()0,a ±，渐近线方程为by x a=±．27．【2018高考全国1理11】已知双曲线13:22=-y x C ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN △为直角三角形，则=MN ()A ．23B ．3C ．32D ．4【答案】B【解析】【基本解法1】(直接法)∵双曲线221,(2,0)3x y F -=，∴渐近线方程为33y x =±，倾斜角分别为30,150 ，∴60MON ∠= ，不妨设90MNO ∠= ，∴30,30OMN FON ∠=∠= ，∵2OF =，∴在Rt FON ∆中，3cos3022ON OF =⋅=⨯=，∴在Rt MON ∆中，tan 603MN ON =⋅==．【基本解法2】(直接法)根据题意，可知其渐近线的斜率为()2,0F ，从而得到30FON ∠=︒，∴直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN的方程为)2y x =-，分别与两条渐近线y =和y x =联立，求得(33,,,32M N MN ⎛∴= ⎝⎭，故选B ．28．【2018高考天津文理7】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为()A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为()()00,F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==，则12226bc d d b c +===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ===，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选C ．29．【2017·全国Ⅰ文】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．12C ．23D ．32【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，∴(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，∴3||=PF ，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，故选D ．30．【2017·全国Ⅱ文】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是()A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)【答案】C【解析】由题意得222222111c a e a a a+===+，∵1a >，∴21112a <+<，则1e <<C ．31．(2017新课标Ⅱ理)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为()A ．2B C D ．233【答案】A 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为2b d c==，圆心(2,0)到弦的距离也为d ==，所以2b c =，又222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2ce a==，选A ．32．(2016全国I 理)已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1，3)B ．(–1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)【答案】A 【解析】由题意得22()(3)0m n m n +->，解得223m n m -<<，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得M 2234m n m n ++-=，即21m =，所以13n -<<．33．(2016全国II 理)已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为()A B ．32C D ．2【答案】A 【解析】设1(,0)F c -，将x c =-代入双曲线方程，得22221c y a b -=，化简得2by a=±，因为211sin 3MF F ∠=，所以222212112||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac-∠=====122224c a e a c e -=-=，所以22102e e --=，所以e =A ．34．(2016浙江理)已知椭圆1C ：2221x y m +=(1m >)与双曲线2C ：2221x y n -=(0n >)的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <【答案】A 【解析】由题意知2211m n -=+，即222m n =+，222221222221111()2m n n n e e m n n n -+++=⋅=⋅+4242422111122n n n n n n ++==+>++，∴121e e >．故选A ．35．(2015湖南文)若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点(3,4)-，则此双曲线的离心率为A．3B ．54C ．43D ．53【答案】D 【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为by x a=±，点(3,4)-在渐近线上，∴43b a =，又222a b c +=，∴2222162599c a a a =+=，∴53c e a ==．36．(2015四川文理)过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则||AB ＝A．3B ．C ．6D ．【答案】D 【解析】双曲线2213y x -=的右焦点为(2,0)，渐近线方程为y =，将2x =代入y =得y =±，∴||AB =．37．(2015福建理)若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于()A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．38．(2015湖北理)将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D【解析】由题意1e a ==，2e ==∵()()b b m m b a a a m a a m +--=++，由于0m >，0a >，0b >，所以当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22(()b b m a a m+<+，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，22((b b m a a m+>+，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >．39．(2015重庆文)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于,BC 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为A ．12±B ．22C ．1±D．【答案】C 【解析】由题意，得12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，将x c =代入双曲线方程，解得2b y a =±．不妨设2(,)b B c a ，2(,)b C c a -，则1222,A BA C b b a a k k c a c a-==+-，根据题意，有221b b a a c a c a -⋅=-+-，整理得1b a=，∴双曲线的渐近线的斜率为1±．40．(2015重庆理)设双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC的距离小于a ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-∪B ．(,1)(1,)-∞-+∞∪C．∪D．(,1))-∞-+∞∪【答案】A 【解析】由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a -，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC ⊥得221b b a a c x a c -⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a ⇒<<，而双曲线的渐近性斜率为b a±，所以双曲线的渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)- ，故选A ．41．(2014新课标1文理)已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为AB ．3CD ．3m【答案】A 【解析】双曲线方程为22133x y m -=，焦点F到一条渐近线的距离为b =，故选A ．42．(2014广东文理)若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等【答案】A 【解析】∵09k <<，∴90,250k k ->->，本题两条曲线都是双曲线，又25(9)(25)9k k +-=-+，∴两双曲线的焦距相等，故选A ．43．(2014重庆文理)设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为A ．34B ．35C ．49D ．3【答案】B 【解析】由双曲线的定义得12||||||2PF PF a -=，又12||||3PF PF b +=，∴22221212(||||)(||||)94PF PF PF PF b a +--=-，即124||||9PF PF ab =，因此22949b a ab -=，即299()40b b a a --=，则(31b a +)(34ba-)=0，解得41(33b b a a ==-舍去)，则双曲线的离心率251()3b e a =+=．44．(2013新课标1文理)已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0a b >>)的离心率为52，则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±【答案】C 【解析】由题知，52c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a=14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ．45．(2013湖北文理)已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D 【解析】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是()222sin 1tan 1sin cos e θθθθ+==，故选D ．46．(2012新课标文理)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为()A ．2B ．22C ．4D ．8【答案】C 【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B --得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=47．(2012福建文理)已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于A ．31414B ．324C ．32D ．43【答案】C 【解析】∵双曲线22215x y a -=的右焦点为(3，0)，∴2a +5=9，∴2a =4，∴a =2，∵c =3，∴32c e a ==，故选C ．48．(2011安徽文理)双曲线x y 222-=8的实轴长是()A ．2B ．22C ．4D ．42【答案】C 【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =．故选C ．49．(2011湖南文理)设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =．50．(2011天津文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2，-1)，则双曲线的焦距为()A ．23B ．25C ．43D ．45【答案】B 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为by x a =±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得22p -=-，即4p =，又∵42pa +=，∴2a =，将(－2，－1)代入by x a=得1b =，∴225c a b =+=，即225c =．51．【2020年高考全国Ⅰ理15】已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为．【答案】2【思路导引】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【解析】依题可得，3BFAF =，而2b BF a=，AF c a =-，即23b a c a=-，变形得22233c a ac a -=-，化简可得，2320e e -+=，解得2e =或1e =(舍去)．故答案为：2．52．【2020年高考江苏6】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =，则该双曲线的离心率是．【答案】32【解析】由22205x y a -=得渐近线方程为5y x a =±，又0a >，则2a =，2259c a =+=，3c =，得离心率32c e a ==．53．【2020年高考北京卷12】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是__________．【答案】(3,0)【解析】∵双曲线22163x y -=，∴26a =，23b =，222639c a b =+=+=，∴3c =，∴右焦点坐标为(3,0)，∵双曲线中焦点到渐近线距离为b，∴b =．54．【2019·江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲．【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，∵0b >，∴b =．∵1a =，∴双曲线的渐近线方程为y =．55．【2018·北京文】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为52，则a =________________．【答案】4【解析】在双曲线中c ==，且2c e a ==，∴2a a =，即216a =，∵0a >，∴4a =．56．(2018北京理14)已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．12-；【解析】设椭圆的右焦点为(,0)F c ，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知(,22c A ，由点A 在椭圆M 上得，22223144c c a b +=，∴22222234b c a c a b +=，222b a c =-，∴22222222()34()a c c a c a a c -+=-，∴4224480a a c c -+=，∴428+40e e -=椭椭，∴24e =±椭，∴1e =椭(舍去)或1e =椭，∴椭圆M 1，∵双曲线的渐近线过点3(,22c A ，渐近线方程为y =，故双曲线的离心率2e ==双．57．【2018高考江苏8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点(),0F c 到一条渐近线的距离为32，则其离心率的值是▲．【答案】2【解析】试题分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率．试题解析：∵双曲线的焦点(),0F c 到渐近线by x a=±即0bx ay ±=的距离为bcb c==，2b c ∴=，因此222222311244,,2a c b c c c a c e =-=-===．【名师点睛】双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a ．58．【2018高考上海2】双曲线2214x y -=的渐近线方程为．【答案】2x y =±【解析】由已知得24,1a b ==，渐近线方程为2x y =±．【考点分析】双曲线简单的几何性质，考查运算求解能力59．(2017新课标Ⅰ理)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若MAN ∠=60°，则C 的离心率为________．【答案】233【解析】如图所示，AH MN ⊥，AM AN b ==，MAN ∠=60°，所以30HAN ∠= ，又MN 所在直线的方程为by x a=，(,0)A a 到MN的距离AH =在Rt HAN ∆中，有cos HA HAN NA =，所以32=，即2=，因为222c a b =+，得2a c =，所以3c e a ==．60．(2017新课标Ⅲ文)双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a =．【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =．61．(2017山东文理)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为．【答案】22y x =±【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=，∵22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，∴222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为22y x =±．62．(2017北京文理)若双曲线221y x m-=的离心率为m =_________．【答案】2【解析】∵221,a b m ==，∴11c a ==2m =．63．【2016浙江文】设双曲线x 2–23y=1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．【答案】(27,8)．【解析】由已知得1,3,2a b c ===，则2ce a==，设(,)P x y 是双曲线上任一点，由对称性不妨设P 在双曲线的右支上，则12x <<，121PF x =+，221PF x =-，12F PF ∠为锐角，则2221212PF PF F F +>，即222(21)(21)4x x ++->，解得72x >，∴722x <<，则1247,8)PF PF x +=∈．64．(2016山东文理)已知双曲线E ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是．【答案】2【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==，作出图象如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a ==65．(2015新课标1文)已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(0,66)A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为．【答案】C ：2218y x -=的右焦点为(3,0)F ，实半轴长1a =，左焦点为(3,0)M -，∵P 在C 的左支上，∴ΔAPF 的周长|||||l AP PF AF =++||||||||PF AF AM PM ++-≥=||||21515232AF AM a ++=++=，当且仅当,,A P M 三点共线且P 在,A M 中间时取等号，此时直线AM的方程为13x =-，与双曲线的方程联立得P的坐标为(2,-，此时，ΔAPF的面积为116622⨯⨯-⨯⨯=．66．(2015山东文)过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为．【答案】2【解析】设直线方程为()b y x c a =-，由22221()x y a b b y x c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222a c x c +=，由2222a c a c+=，ce a =，解得2e =+(2e =-舍去)．67．(2015山东理)平面直角坐标系xOy 中，双曲线1C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的渐近线与抛物线2C ：22x py =(0p >)交于,,O A B ，若△OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______．32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线为by x a =±，则2222(,)pb pb A a a ，2222(,)pb pb B a a -，22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ，则22222AFpb pa a k pb b a-==，即2254b a =，2222294c a b a a +==，32c e a ==．68．(2014山东文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为．【答案】y x =±【解析】抛物线的准线2p y =-，与双曲线的方程联立得2222(1)4p x a b =+，根据已知得2222(1)4p a c b +=①，由||AF c =得2224p a c +=②，由①②得22a b =，即a b =，∴所求双曲线的渐近线方程为y x =±．69．(2014浙江文理)设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是．【答案】2【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程b y x a =±可解得交点为(,)33am bmA b a b a--，(,33am bmB b a b a-++，而13ABk =，由||||PA PB =，可得AB 的中点3333(,)22am am bm bmb a b a b a b a -+-+-+与点)0,(m P 连线的斜率为-3，可得224b a =，∴52e =．70．(2014北京文理)设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．【答案】221312x y -=2y x =±【解析】设与2214y x -=具有相同渐近线的双曲线C 的方程为224y x k -=，将点()2,2代入C 的方程中，得3k =-．∴双曲线的方程为221312x y -=，渐近线方程为2y x =±．71．(2014湖南文理)设F 1，F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_________．1+【解析】由已知可得，12cos30PF c ==，22sin 30PF c c == ，由双曲线的定义，2c a -=，则1c e a ===．72．(2013辽宁文理)已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ ，则PQF ∆的周长为．【答案】44【解析】由题意得，||||6FP PA -=，||||6FQ QA -=，两式相加，利用双曲线的定义得||||28FP FQ +=，∴PQF ∆的周长为||||||44FP FQ PQ ++=．73．(2013陕西理)双曲线221169x y -=的离心率为．45【解析】所以离心率为45,45162516922222=⇒==⇒=e ac e a b 74．(2012辽宁文理)已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为．【答案】121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+= 75．(2012天津文理)已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C的右焦点为F ，则a =b =．【答案】1，2【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-b y a x 的渐近线为x a by ±=，∴有2=a b，a b 2=，又双曲线12222=-by a x 的右焦点为)0,5(，∴5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，∴2,1,12===b a a ．76．(2012江苏文理)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为．【答案】2【解析】由题意得m ＞0，∴a =m ，b =,4,422++=∴+m m c m 由e =5=a c得542=++mm m ，解得m =2．77．(2011北京文理)已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b =．【答案】2【解析】由2221(0)y x b b -=>得渐近线的方程为2220y x b-=，即y bx =±，由一条渐近线的方程为2y x =得2b =．考点94直线与双曲线的位置关系78．(2020·新课标Ⅱ文理8)设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D EODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B【思路导引】∵()2222:10,0x y C a b a b-=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a =±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE ∆的面积为8，可得ab值，根据2c =结合均值不等式，即可求得答案．【解析】∵2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE ∆面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c =≥==，当且仅当a b ==取等号，∴C 的焦距的最小值：8，故选B ．79．(2020·浙江卷)已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P 满足|PA|–|PB|=2，且P 为函数y=图像上的点，则|OP|=()A ．222B ．4105CD．【答案】D【解析】∵||||24PA PB -=<，∴点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得132332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==80．(2019天津文理)已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =(O 为原点)，则双曲线的离心率为()ABC ．2D【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±，则有(1,(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24b a =，2b a =，∴c e aa===D ．【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度．解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．81．【2018高考全国2理5】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为()A．y =B．y =C ．22y x =±D ．32y x =±【答案】A【解析】试题分析：根据离心率得,a c 关系，进而得,a b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果．试题解析：222222,12,c b c a b e e a a a a-==∴==-=∴= ．∵渐近线方程为,by x a=±∴渐近线方程为y =，故选A ．【名师点睛】已知双曲线方程222210,0x y a b a b -=>>求渐近线方程：22220x y by x a b a-=⇒=±．【考点】双曲线的简单几何性质(离心率、渐近线方程)82．【2018高考全国3理11】设12F F ，是双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：,的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为()AB ．2CD【答案】C【解析】试题分析：由双曲线性质得到2PF b =，PO a =，然后在2Rt POF △和在12Rt PF F △中利用余弦定理可得．试题解析：由题可知22,PF b OF c ==，PO a ∴=．在2Rt POF △中，222cos P O PF bF OF c ∠==，22221212212||||||cos P O 2||||PF F F PF b F PF F F c ∠+-=∴=，222224(6),322b c bc a b c c+-∴=∴=⋅，e ∴=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．83．(2018天津文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为()A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得2by a=±，不妨设2(,)b A c a ，2(),b B c a -，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21d ==2bc b c -，222bc b d c +==，则12226bc d d b c +===，则3b =，29b =，双曲线的离心率2c e a ====，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选A ．84．(2014天津文)已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=【答案】A 【解析】依题意得22225b a c c a b ìï=ïïï=íïïï=+ïî，∴25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=．85．(2013重庆文理)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是A．(,2]3B．[,2)3C．(,)3+∞D．[,)3+∞【答案】A 【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba必须满足33b a <，∴21(33b a <≤，241()43ba <+≤，既有23<，又双曲线的离心率为。
高中数学双曲线练习题
高中数学双曲线练习题一、选择题1. 双曲线的标准方程为 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 分别表示什么？A. 焦点间距离的一半B. 横轴和纵轴的半轴长C. 横轴和纵轴的全轴长D. 渐近线与横轴的夹角2. 双曲线的焦点到渐近线的距离等于：A. \( a \)B. \( b \)C. \( c \)D. \( \sqrt{a^2 + b^2} \)3. 双曲线 \( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \) 的焦距是：A. 10B. 8C. 6D. 54. 双曲线 \( \frac{x^2}{4} - y^2 = 1 \) 上的点 \( P(x, y) \) 到右焦点的距离与到左焦点的距离之差为：A. 2B. 4C. 6D. 85. 双曲线 \( \frac{x^2}{4} - y^2 = 1 \) 的一条渐近线方程是：A. \( x + 2y = 0 \)B. \( x - 2y = 0 \)C. \( y = \frac{x}{2} \)D. \( y = -\frac{x}{2} \)二、填空题6. 若双曲线的中心在原点，焦点坐标为 \( (±c, 0) \)，且 \( c = 5 \)，则 \( a \) 的值为______。
7. 双曲线 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 的一个顶点坐标为 \( (a, 0) \)，若 \( a = 3 \)，则 \( b \) 的值为______。
8. 已知双曲线 \( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \) 上的点\( M(3, -4) \) 到其一条渐近线的距离为______。
9. 若双曲线 \( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \) 上的点\( P \) 到右焦点的距离为 \( 10 \)，则 \( P \) 到左焦点的距离为______。
专题23 双曲线(解答题压轴题)(学生版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题23 双曲线（解答题压轴题）
目录
①双曲线的弦长问题 (1)
②双曲线的中点弦问题 (2)
③双曲线中的参数及范围问题 (4)
④双曲线中的最值问题 (6)
⑤双曲线中面积问题 (8)
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题 (10)
⑦双曲线中向量问题 (12)
⑧双曲线综合问题 (13)
①双曲线的弦长问题
②双曲线的中点弦问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是3.(1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点P ，Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由．
(1)求点N的轨迹方程；
(2)记点N的轨迹为曲线Γ，过点
31
,
22
P⎛⎫
⎪
⎝⎭
是否存在一条直线l，
线段CD中点．
③双曲线中的参数及范围问题
（1）求双曲线E 的方程；
（2）若直线:1l y kx =-与双曲线P ，Q 两点，求
MN
PQ
的取值范围．
④双曲线中的最值问题
⑤双曲线中面积问题
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线AP，AQ的斜率分别为
(3)证明：直线MN过定点.
⑦双曲线中向量问题
⑧双曲线综合问题
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线
积恒为8，试探究：是否存在总与直线若不存在，说明理由.。
高二数学双曲线试题(有答案)
高二数学双曲线试题一：选择题1．双曲线()2210x y mn m n -=≠的离心率为2，有一个焦点与椭圆2211625x y +=的焦点重合，则m 的值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A2．以112422-=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ） A ．1121622=+y x B ．1161222=+y x C ．141622=+y x D ．116422=+y x 【答案】A3．设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且123||4||PF PF =，则12PF F ∆的面积等于（ ）（A ）45（B ）315（C ）53（D ）210【答案】B4.已知双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为F 1（﹣，0），F 2（，0），点P 是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=4，该双曲线的标准方程是（ ） A ．B ．C ．D ．解：设双曲线的方程为：﹣=1， ∵两焦点F 1（﹣，0），F 2（，0），且•=0，∴⊥，∴△F 1PF 2为直角三角形，∠P 为直角； ∴+===28；①又点P 是此双曲线上的一点， ∴||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，∴+﹣2|PF1|•|PF2|=4a2，由||•||=4得|PF1|•|PF2|=4，∴+﹣8=4a2，②由①②得：a2=5，又c2==7，∴b2=c2﹣a2=2．∴双曲线的方程为：﹣=1，故选C．5.已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k FN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．6.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D7.已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣y2=1解：设双曲线的方程为，渐近线方程为∵双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，∴，=1∴b=1，a=∴双曲线的方程为﹣y2=1故选A．8.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线相交于A，B两点，点F是抛物线的焦点，若双曲线的一条渐近线方程是，且△FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．解：依题意知抛物线的准线x=﹣2．代入双曲线方程得y=±．双曲线的一条渐近线方程是，∴则不妨设A （﹣2，），F （2，0）∵△FAB 是等腰直角三角形， ∴=4，解得：a=，b=4∴c 2=a 2+b 2=2+16=20， ∴双曲线的标准方程是故选C9..已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心学率为3.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为23，所以23==a c e ，2243a c =，222243b a ac -==，所以2241a b =，即224b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ，所以b x b x 52,5422±==，2254b y =，b y 52±=，则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ，所以四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，所以52=b ，所以椭圆方程为152022=+y x ，选D. 10.设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．解：设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中2a=|AF 1|﹣|AF 2|=2，，∴离心率，故选B ．11.设双曲线的﹣个焦点为F ；虚轴的﹣个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．解：设双曲线方程为，则F （c ，0），B （0，b ）直线FB ：bx+cy ﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b 2=ac所以c 2﹣a 2=ac ，即e 2﹣e ﹣1=0， 所以或（舍去）12．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值围是( C )A.33(,)33- B.(3,3)- C.33[,]33- D.[3,3]-13.如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.33 B 。
高三数学双曲线试题答案及解析
高三数学双曲线试题答案及解析1.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )A．B．2C．4D．8【答案】C【解析】设C：－＝1．∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的实轴长为4．2.已知双曲线左、右焦点分别为，若双曲线右支上存在点P 使得，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．(0，)B．(，1)C．D．(，)【答案】【解析】由已知及正弦定理知，即.设点的横坐标为，则，所以，，，即，解得，选.【考点】双曲线的几何性质，正弦定理，双曲线的第二定义.3.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线右支上的一点，轴交于点A，的内切圆在上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设，由图形的对称性及圆的切线的性质得，因为,所以,所以，所以又，所以，，所以故选B.【考点】1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质；3、圆的切线的性质.4. (2014·咸宁模拟)双曲线-=1的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线离心率为() A．B．C．2D．3【答案】C【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0,依题意,直线bx±ay=0与圆x2+(y-2)2=1相切,设圆心(0,2)到直线bx±ay=0的距离为d,则d===1,所以双曲线离心率e==2.5.双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【答案】【解析】由－y2＝1知顶点(2,0)，渐近线x±2y＝0，∴顶点到渐近线的距离d＝＝.6.已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )A．2B．C．D．【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为，即，又，代入得，解得，即，故选．【考点】双曲线的标准方程与几何性质.7.已知，则双曲线：与：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】D【解析】双曲线的离心率是，双曲线的离心率是，故选D8.已知双曲线的两个焦点分别为，以线段直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为.则此双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，，∴①，又双曲线的渐近线为，因此②，则①②解得，∴双曲线方程为，选A．【考点】双曲线的标准方程与性质．9.在平面直角坐标系中，定点，两动点在双曲线的右支上，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，当直线MA、MB与双曲线相切时，∠AMB最大，此时最小，设过点M的双曲线切线方程为：代入整理得，，则△==0，解得=，即=，∴==，故选D.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.二倍角公式；3.数形结合思想；4.转化与化归思想10.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】在直角三角形中，设则，因此离心率为【考点】双曲线定义11.已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．【答案】x2＝16y【解析】∵双曲线C1：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.12.已知双曲线C：＝1的焦距为10，P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为________．【答案】＝1【解析】∵＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2，b＝.＝113.根据下列条件，求双曲线方程．(1)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；(2)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)．【答案】（1）＝1.（2）＝1【解析】解法1：(1)设双曲线的方程为＝1，由题意，得解得a2＝，b2＝4.所以双曲线的方程为＝1.(2)设双曲线方程为＝1.由题意易求得c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为＝1.解法2：(1)设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入得λ＝，所以双曲线方程为＝.(2)设双曲线方程为＝1，将点(3，2)代入得k＝4，所以双曲线方程为＝1.14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()A．2B．2C．4D．4【答案】B【解析】双曲线左顶点为A(-a,0),1渐近线为y=±x,抛物线y2=2px(p>0)焦点为F（,0）,准线为直线x=-.由题意知-=-2,∴p=4,由题意知2+a=4,∴a=2.∴双曲线渐近线y=±x中与准线x=-交于(-2,-1)的渐近线为y=x,∴-1=×(-2),∴b=1.∴c2=a2+b2=5,∴c=,∴2c=2.故选B.15.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为 .【答案】 -=1【解析】由双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x得=,∴b= a.∵抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),∴c=4.又∵c2=a2+b2,∴16=a2+(a)2,∴a2=4,b2=12.∴所求双曲线的方程为-=1.16.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.【答案】x2-=1【解析】由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2,==2,a=1,b=.所以双曲线方程为x2-=1.17.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1【答案】B==1,【解析】∵kAB∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为-=1.故选B.18.若双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得F1(-c,0),F2(c,0),抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F(,0),依题意=.即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,解得c= a.故双曲线的离心率为=.19.若双曲线-=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为()A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】【思路点拨】实数m(m-2)>0还不足以确定m的值,还要确定抛物线的焦点(双曲线的左焦点).解:抛物线y2=-8x的焦点(-2,0)也是双曲线-=1的左焦点,则c=2,a2=m,b2=m-2,m+m-2=4即m=3.20.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M, N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设双曲线的方程为-=1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为+=1(a2>0,b2>0),由于M,O,N将椭圆长轴四等分,所以a2=2a1,又e1=,e2=,所以==2.21.P(x0,y)(x≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.【答案】(1)(2) λ=0或λ=-4【解析】【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.解：(1)由点P(x0,y)(x≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.由题意又有·=,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e==.(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则设=(x3,y3),=λ+,即又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,所以-5=5b2,-5=5b2.又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.22.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】把双曲线的方程化为标准形式：．故选B．【考点】双曲线的简单的几何性质．23.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为________．【答案】-2【解析】由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5，∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，取最小值－2.24.点到双曲线的渐近线的距离为______________.【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为：，点到渐近线的距离.【考点】双曲线的标准方程.25.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．【答案】2【解析】由题意，得e＝＝＝＝226.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2]【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.27.P为双曲线＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值为________．【答案】9【解析】设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时PM－PN＝(PF1＋2)－(PF2－1)＝6＋3＝928.双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．【答案】(1，)【解析】双曲线＝1的一条渐近线为y＝x，点(1,2)在该直线的上方，由线性规划知识，知：2＞，所以e2＝1＋2＜5，故e∈(1，)．29.已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为________．【答案】＋1【解析】由题意知：B，A(a,0)，F(c,0)，则2a＝c－，即e2－2e－1＝0，解得e＝＋1.30.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.31.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()．A．5x2－y2＝1B．＝1C．＝1D．5x2－y2＝1【答案】D【解析】由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝132.抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()．A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线C1：y＝x2的标准方程为x2＝2py，其焦点为F；双曲线C2：－y2＝1的右焦点F′为(2,0)，其渐近线方程为y＝±x.由y′＝x，所以x＝，得x＝p，所以点M的坐标为.由点F，F′，M三点共线可求p＝.33.双曲线＝1(m>0)的离心率为，则m等于________．【答案】9【解析】由题意得c＝，所以＝，解得m＝9.34.分别是双曲线的左右焦点，是虚轴的端点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】直线的方程为，由得：；由得：，的中点为.据题意得，所以.【考点】直线与圆锥曲线.35.已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()．A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点在x轴上．设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)，即＝1，则a2＝λ，b2＝3λ，∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，∴c2＝a2＋b2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为＝136.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】根据双曲线的渐近线的方程知即，所以此双曲线的离心率.【考点】双曲线的标准方程、渐近线方程和离心率.37.已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，双曲线的右顶点为，，则双曲线的离心率为 .【答案】【解析】∵，∴，而∵，∴，∴，∴，∴，在中，，，，即.【考点】1.平面几何中角度的换算；2.双曲线的离心率.38.点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设左焦点为，则，设，则有，即，由定义有：，∴，由得.【考点】1.双曲线的定义；2.焦点三角形求离心率的方法.39.设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为（）A．或B．或C．1或D．或【答案】D【解析】如图所示，，又即，即，所以渐近线的斜率为或.【考点】双曲线的定义、渐近线等基础知识.40.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为．【答案】6【解析】双曲线的右焦点是抛物线的焦点，所以，，.【考点】双曲线的焦点.41.已知实数,,构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】,,构成一个等比数列，双曲线为，【考点】等比数列及双曲线性质点评：若成等比数列，则，在双曲线中有，离心率42.设双曲线的焦点为，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为双曲线双曲线的焦点为，所以，又，所以，由得所求选A.【考点】双曲线的性质点评：主要是考查了双曲线的渐近线方程的求解，属于基础题。
高考双曲线部分真题
1. 双曲线221102x y -=的焦距为( ) 2. 双曲线22291y m x -=(0)m >的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m 等于( ) 3. 设ABC 是等腰三角形，120ABC ? ，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为( ) 4. 若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=则双曲线的离心率为( )5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在Y 轴上，一条渐近线的方程为20x y -=，则它的离心率为( )6. 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( ) 7. 设P 为双曲线22112y x -=上的一点，1F 、2F 是该双曲线的两个焦点。
若12||:||3:2PF PF =，则12PF F 的面积为( )8. 曲线221106x y m m+=--(6)m <与曲线 22159x y n n+=--(59)n <<的( )A. 焦距相同B. 离心率相同C. 焦点相同D. 准线相同9. 双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) 10. 已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )11. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x = ，则该双曲线的离心率为( )12. 设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程是320x y -=，1F 、2F 分别是双曲线的左右焦点，若1||3PF =，则2||PF 等于( )13. 若双曲线22221x y a b -=(0a b >>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )14. 已知双曲线22221x y a b-=(0a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ^，12||||4PF PF ab = ，则双曲线的离心率是( )15. 若双曲线221x y m-=上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13，则m 的值为( )16. 已知圆C ：226480x y x y +--+=。
最新高考专题 双曲线(解答题压轴题)(解析版)(全国通用版)
专题20 双曲线（解答题压轴题）1．（2021·沙坪坝·重庆八中高三模拟预测）如图，已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，若点P 为双曲线C 在第一象限上的一点，且满足128PF PF +=，过点P 分别作双曲线C 两条渐近线的平行线PA 、PB 与渐近线的交点分别是A 和B .（1）求四边形OAPB 的面积；（2）若对于更一般的双曲线()2222:10,0x y C a b a b '-=>>，点P '为双曲线C '上任意一点，过点P '分别作双曲线C '两条渐近线的平行线P A ''、P B ''与渐近线的交点分别是A '和B '.请问四边形OA P B '''的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用a 、b 表示该定值）；若不是定值，请说明理由. 【答案】（12）是，且定值为12ab .【详解】（1）因为双曲线22:13y C x -=，由双曲线的定义可得122PF PF -=，又因为128PF PF +=，15PF ∴=，23PF =，因为124F F ==，所以，2222121PF F F PF +=，2PF x ∴⊥轴， ∴点P 的横坐标为2P x =，所以，22213P y -=，0P y >，可得3P y =，即点()2,3P ，过点P且与渐近线y =平行的直线的方程为)32y x -=-，联立)32y y x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，解得132x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点312B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线OP 的方程为320x y -=，点B 到直线OP的距离为d ==且OP OAPB的面积为2OAPBOBP SS OP d ==⋅=△ （2）四边形OA P B '''的面积为定值12ab ，理由如下：设点()00,P x y '，双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为b y x a =±，则直线P B ''的方程为()00by y x x a-=--， 联立()00b y y x x ab y x a ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得00002222x a x y by b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即点0000,2222x y a b B y x b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭'， 直线OP '的方程为0y y x x =，即000y x x y -=， 点B '到直线OP '的距离为d ==22=，且OP '因此，22OA P B OB P abSS OP d ''''''==⋅△（定值）.2．（2021·全国高三专题练习）已知双曲线222:1(0)x C y a a -=>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在双曲线C 上.当BF AF ⊥时，BF =. （1）求双曲线C 的方程.（2）设P 为双曲线上一点，点M ，N 在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P 恰为线段MN 的中点，试判断MON ∆的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.【答案】（1）2214x y -=；（2）是定值，2.【详解】（1）由题意，易得(c,0)F ，2,b B c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，则由BF =，可得2)b a c a =+，)22220c ac ∴-=，即)2220e e -.又1c e a =>，解得e =222254c a a b ∴==+， 解得2244a b ==，∴双曲线C 的方程为2214x y -=. （2）由（1）可知双曲线Ｃ的渐近线方程为12y x =±，设(2,)M m m ，(2,)N n n -，其中0m >，0n >. P 为线段MN 的中点，,2m n P m n -⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得22()()144m n m n +--=，解得1mn =.设2MON θ∠=，则1tan 2θ=. 又sin 1tan cos 2θθθ==，22sin cos 1θθ+=，02πθ<<，sin θ∴=cos θ=4sin 22sin cos 5θθθ∴==.又OM =，ON =， 114sin 222225MON S OM ON mn θ∴=⋅⋅=⋅==△， MON ∴△的面积为定值2.3．（2021·江苏南京·高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>过点(3,1)D ，且该双曲线的虚轴端点与两顶点12,A A 的张角为120︒． （1）求双曲线E 的方程；（2）过点(0,4)B 的直线l 与双曲线E 左支相交于点,M N ，直线,DM DN 与y 轴相交于,P Q 两点，求||||BP BQ +的取值范围．【答案】（1）22162x y -=；（2）-⎝. 【详解】 （1）由已知22222222269111622a a x y a b b c a b ⎧=⎪⎧=⎪-=∴∴-=⎨⎨=⎩⎪⎪=+⎩（2）设直线方程为()()11114,,,,y kx M x y N x y =+， 直线DM 的方程为1111(3)3y y x x --=--，可得()11310,13y P x -⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 直线DN 的方程为2211(3)3y y x x --=--，可得()22310,13y Q x -⎛⎫- ⎪-⎝⎭联立224162y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y ，整理得()221324540k x kx ---=．()222122122244135402401354013k k k x x k x x k ⎧∆=+⨯-⨯>⎪⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪=>⎪-⎩3k()()12123131||||44633M N y y BP BQ y y x x --+=-+-=++-- ()()()()()()12211213136333y x y x x x --+--=+⨯--()()()()()()12211233336333kx x kx x x x +-++-=+⨯--()()121212122(33)186339kx x k x x x x x x +-+-=+⨯-++222254242(33)181313635424391313kk k k k kk k -⨯+-⨯---=+⨯--⨯+--222460362436483853535k k k k k k k +++===-++++3k，所以||||BP BQ +的范围是-⎝. 4．（2021·江苏高三专题练习）如图，曲线τ的方程是21x y y -=，其中,A B 为曲线τ与x 轴的交点，A点在B 点的左边，曲线τ与y 轴的交点为D ．已知1(,0)F c -，2(,0)F c ，0c >，1DBF ∆122．（1）过点B 作斜率为k 的直线l 交曲线τ于,P Q 两点（异于B 点），点P 在第一象限，设点P 的横坐标为P x 、Q 的横坐标为Q x ，求证：P Q x x ⋅是定值；（2）过点2F 的直线n 与曲线τ有且仅有一个公共点，求直线n 的倾斜角范围；（3）过点B 作斜率为k 的直线l 交曲线τ于,P Q 两点（异于B 点），点P 在第一象限，当113F P FQ ⋅=+时，求|||||AP AQ λ=成立时λ的值．【答案】（1）证明见解析；（2）3[,]44ππ；（3）答案见解析.【详解】（1）设直线方程(1)y k x =-，联立方程组22(1)1(0)y k x x y y =-⎧⎨-=≥⎩，解得2211P k x k +=-， 联立方程组22(1)1(0)y k x x y y =-⎧⎨+=≤⎩，解得2211Q k x k -=+， 所以1P Q x x =.（2）因为1DBF △122，可得11(1)2c ⨯⨯+=c =设过点F 2，直线n的方程为(y m x =，则22(10y m x x y y ⎧=⎪+=⎨⎪≤⎩只有一个交点，故方程222(1x m x +=只有一个解，亦即2222(1)210m x x m +-+-=， 由22284(1)(21)0m m m ∆=-+-=，解得1m =， 显然直线n的方程为x由图可知，当(y m x =与双曲线221x y -=的渐近线y x =-平行时，1m =-， 此时仅有一个交点，所以直线n 的倾斜角的取值范围为3[,]44ππ；（3）由11(2,),()P P Q Q F P x y FQ x y =+=,所以22211((1))()2P Q P Q P Q P Q F P FQ x x y y k x x k x x k ⋅=++++++ 因为4422,11P Q P Q k x x x x k ++==-所以42211422(32))31k F P FQ k k k +⋅=++⋅=+-2k所以33|40P Q x x AP =+=-=||8AQ =-，则3λ==+5．（2021·宝山·上海交大附中高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2212723x y +=的右焦点为双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的右顶点，直线210x y ++=与C 的一条渐近线平行.（1）求C 的方程；（2）如图，1F ､2F 为C 的左右焦点，动点()00,P x y ()01y ≥在C 的右支上，且12F PF ∠的平分线与x 轴､y 轴分别交于点()(,0M m m <､N ，试比较m 的大小，并说明理由；（3）在（2）的条件下，设过点1F ､N 的直线l 与C 交于D ､E 两点，求2F DE △的面积最大值.【答案】（1）2214x y -=；（2）m ≤3）最大值【详解】 解：（1）椭圆2212723x y +=的右焦点为(2,0)为双曲线2222:1(x y C a b-=0a >，0b >)的右顶点，2a ∴=，直线210x y ++=与C 的一条渐近线平行，12ba∴-=-，1b ∴=，∴双曲线的方程为2214x y -=， （2）2m ，理由如下：1F 、2F 为C的左右焦点，1(F ，0)，2F 0)， 直线1PF方程为y x ，直线2PF方程为y x ，即直线1PF方程为000(0y x x y -=， 直线2PF方程为000(0y x x y -=， 由点(,0)M m 在12F PF ∠由m <01y >，以及220114y x =-，解得022x ，2222000005(42)4y x x ∴+=++=+，∴04m x =，结合022x ，则0402x <2m ∴；（3）由（2）可知：直线PM 的方程为：000004()4y y x x x x ----， 令0x =，得0200414y y x y =-=--，故点01(0,)N y -，10()k --=由2214y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去x 得2200(54)1010y y y y -++=， ∆2220001004(54)80160y y y =--=+>，设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则012201054y y y y +=--，1220154y y y =-，120||y y -由01y ，0122010054yy y y +=-<-，12201054y y y =>-，10y ∴<，20y <，△2F DE的面积12121212011||||22F EF F DF S SSF F y y=-=⨯-=⨯设2545y -=，1t ，则△2F DE的面积S == 1t ∴=时，即P 为1)时，△2F DE 的面积最大值为6．（2021·广东高三开学考试）设双曲线C ：2213x y -=，其右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点.（1）求直线l 倾斜角θ的取值范围；（2）直线l 交直线32x =于点P ，且点A 在点P ，F 之间，试判断FB ABFA PA→→→→-是否为定值，并证明你的结论.【答案】（1）5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）是定值，证明见解析.【详解】解：（1）由双曲线22:13x C y -=得2314c =+=，则右焦点()2,0F ，显然直线l 的斜率不为0， 设直线l 的方程为2x my =+，由22132x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()223410,m y my -++= 因为直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点， 设()()1122,,,A x y B x y ，()2212122241Δ16430,,33m m m y y y y m m -=-->+=⋅=-- 则()()()()2212121212Δ1643040220m m x x m y y x x my my ⎧=-->⎪⎪+=++>⎨⎪⋅=++>⎪⎩解得m < 当0m =时，直线l 倾斜角2πθ=，当0m ≠时，直线l的斜率k >k < 综上，直线l 倾斜角θ的取值范围为5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭. （2）由2,32x my x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得()31,0,22P m m ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭ 不妨假设120y y <<，则2211112y FBAB y y y y FAPAm→→→→-=--+- 2212211122211111122221122y y y y y y y y m m y y y y m m --+--==⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 又()121214y y y y m=-+， 代入上式，得FBAB FAPA→→→→-()2211221122111111122211122y y y y y y m m m y y y y m m++-+===++所以FBAB FAPA→→→→-为定值1.7．（2021·江苏昆山·周市高级中学高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到点()2,0F 的距离与它到直线32x =P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ．1l 交曲线C 于A ，B 两点，2l 交曲线C 于S ，T 两点，线段AB 的中点为M ，线段ST 的中点为N ．证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）2213x y -=（2）直线MN 过定点()3,0，证明见解析.【详解】（1）设(),P x y=，322x -两边同时平方整理可得：2213x y -=，所以曲线C 的方程为：2213x y -=；（2）若直线1l ，2l 斜率都存在且不为0，设1l ：()2y k x =-，则2l ：()12y x k=--， 由()22233y k x x y ⎧=-⎨-=⎩可得：()222231121230k x k x k --++=， 当2310k -=时，即213k =，方程为470x -+=，此时只有一解，不符合题意，当2310k -≠时，()()()42221444311231210k k k k ∆=--+=+>，由韦达定理可得：21221231k x x k +=-，所以点M 的横坐标为()212216231M k x x x k =+=-，代入直线1l ：()2y k x =-可得：()22262223131M Mk ky k x k k k ⎛⎫=-=-= ⎪--⎝⎭， 所以线段AB 的中点22262,3131k k M k k ⎛⎫⎪--⎝⎭,用1k -替换k 可得22266331N k x k k ==--，2222331Nk k y k k --==--， 所以线段ST 的中点2262,33k N k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭，当1k ≠±时，()()()()()2222222222222232312313666363131313MNk k k k k k k k k k k k k k k k k ---+---===-------， 直线MN 的方程为：()2222263331k k y x k k k ⎛⎫+=- ⎪---⎝⎭， 整理可得：()()22222262333131k k k y x kk k k =-⋅----- ()()()()2222222226229313331313131k k k k k x x k k k k k k ⎛⎫- ⎪=-+=- ⎪------⎝⎭()()22331k x k =--， 此时直线MN 过定点()3,0， 若1k =±时，则()3,1M ，()3,1N -，或()3,1M -，()31N ,，直线MN 的方程为3x =， 此时直线MN 也过点()3,0，若直线1l ，2l 中一个斜率不存在，一个斜率为0，不妨设1l 斜率为0，则1l ：0y =，2l ：2x =，此时直线MN 的方程为0y =，此时直线MN 也过点()3,0，综上所述：直线MN 过定点()3,0，8．（2021·湖南雁峰·衡阳市八中高三模拟预测）已知双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点分别为12,F F ，(P （1）求双曲线C 的方程（2）过1F 的两条相互垂直的交双曲线于,A B 和,C D ，,M N 分别为,AB CD 的中点，连接MN ，过坐标原点O 作MN 的垂线，垂足为H ，是否存在定点G ，使得||GH 为定值，若存在，求此定点G .若不存在，请说明理由.【答案】（1）221168x y -=；（2）存在，()G -.【详解】 （1）由题可知：22222222163281824c e a a b a b c c a b ⎧==⎪⎧⎪=⎪⎪-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩， 双曲线C 的方程是221168x y -=.（2）存在定点()G -，使得||GH 为定值，理由如下： 由题意可知，若直线AB 和CD 其中一条没有斜率，则H 点为()0,0， 直线MN 的方程为0y =， 当直线AB 和CD 都有斜率时，因为点()1F -，设直线AB的方程为：(y k x =+ 设(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),M M M x y ，联立方程组(221168y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩得：()()22221216310k x x k ---+=所以A B x x +=()22163112A B k x x k-+=-，故M M x y k ==+⎝， 设直线CD的方程为：(1y x k=-+设(),C C C x y ，(),D D B x y ，(),N N N x y ，同理可得C D x x +=()221632C D k x x k -+=-，故1N N x y k ==-⎝所以()2121M N MNM N k k y y k k x x k ++-===---， 所以直线MN的方程为()221k y k x k ⎛-+=- -⎝⎝⎭，化简得：()21221ky x k ⎛=-+ -⎝，可知直线MN过定点()P -又因为OH MN ⊥，所以点H的运动轨迹是以点()-为圆心，以OP =直径的圆，所以存在定点()G -，使得||GH为定值9．（2021·安徽蚌埠·高三三模（理））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的虚轴长为4，直线20x y -=为双曲线C 的一条渐近线. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左､右顶点分别为A ，B ，斜率为正的直线l 过点()2,0T ，交双曲线C 于点M ，N (点M 在第一象限)，直线MA 交y 轴于点P ，直线NB 交y 轴于点Q ，记PAT ∆面积为1S ，QBT ∆面积为2S ，求证：12S S 为定值. 【答案】（1）2214y x -=；（2）证明见解析.【详解】解：（1）由题意可得2b =， 因为一条渐近线方程为2y x =， 所以2ba=，解得1a =， 则双曲线的方程为2214y x -=； （2）证明：可得()1,0A -，()10B ,，设直线l ：2x ny =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 联立22142y x x ny ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得()224116120n y ny -++=， 可得1221641n y y n +=--，1221241y y n =-， 即有()121234ny y y y =-+， 设直线MA ：11(1)1y y x x =++，可得110,1y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 设直线NB ：22(1)1y y x x =--，可得220,1y Q x ⎛⎫⎪-⎝⎭， 又3AT =，1BT =，所以()()1121122122311331y y ny x S S y ny y x ++==+-()()12112112212234333334y y y ny y y ny y y y y y -+++==+-++12123339y y y y -=-+1=.10．（2021·江苏鼓楼·南京市第二十九中学高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，点A 为C 上位于第二象限的动点，（1）若点A 的坐标为(-2，3)，求双曲线C 的方程；（2）设,B F 分别为双曲线C 的右顶点､左焦点，是否存在常数λ，使得.AFB ABF ∠λ∠=如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）2213y x -=；（2）存在，2λ=. 【详解】解：（1）离心率2,2ce c a a==∴=，又22223,b c a a =-=∴双曲线方程2222:13x y C a a-=，把点()2,3A -代入双曲线方程得2249,1,3a a-=解得21a =， 故双曲线C 的方程为22: 1.3y x -=（2）由（1）知：双曲线方程2222:1,3x y C a a-=()(),0,2,0,B a F a ∴-①当直线AF 的斜率不存在时，则290,3,3b AFB FB a AF a a∠====， 45,ABF ∠∴=此时 2.λ=②当直线AF 的斜率存在时，设()00,,,,AFB ABF A x y ∠α∠β==其中00,0x a y <-> 因为2,e =故2,,c a b ==故渐近线方程为:y =， 所以20,,0,,33ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又0000tan ,tan 2y yx a x aαβ==-+-， 所以()()000222000022tan21y y x a x ax a y y x a β----==--⎛⎫- ⎪-⎝⎭()()()()()00002222220000222331y x a y x a x x a x a x a a a ----==⎛⎫------ ⎪⎝⎭()()00000232y y x a x a x a -==--++tan tan2αβ∴=又2,20,,23παβαβ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭综上：存在常数2λ=满足:2.AFB ABF ∠∠=11．（2021·江苏省如皋中学高三开学考试）已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；（3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.【答案】（1）2213x y -=；（2）(,(3,)-∞+∞；（3）证明见解析【详解】解：（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==，又焦距为4，则224a b+=， 解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>， 又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--， 即2233503m m--<-m 或m <即实数m 的取值范围(,(3,)m ∈-∞+∞.（3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -. 设00(,)Dx y ，由（1）得点B ， 又点P是线段BD 的中点，则点0)2y P ，直线BD，直线AD ，又BD PQ ⊥，则直线PQ的方程为002y y x -，即20000322x y y x y -++， 又直线AD的方程为y x =，联立方程20000322x y y x y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 消去y化简整理，得2220003)22x y x x x -++=，又220013x y =-，代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x -+=，即1(3x x -=+，则024x x +=， 即点Q则p q x x -==故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值. 12．（2021·上海徐汇·位育中学高三开学考试）设复平面上点Z 对应的复数z x yi =+(,)x y ∈∈R R （i 为虚数单位）满足|22|6z z ++-=，点Z 的轨迹方程为曲线1C . 双曲线2C :221y x n-=与曲线1C 有共同焦点，倾斜角为4π的直线l 与双曲线2C 的两条渐近线的交点是A 、B ，2OA OB ⋅=，O 为坐标原点.（1）求点Z 的轨迹方程1C ； （2）求直线l 的方程；（3）设PQR ∆三个顶点在曲线1C 上，求证：当O 是PQR ∆重心时，PQR ∆的面积是定值.【答案】(1)22195x y +=；(2)y x =(3)证明见解析.试题解析：（1）【方法一】由题意知，点Z 的轨迹为椭圆. ∵3,2a c == ∴25b =∴点Z 的轨迹方程1C 为22195x y +=.6=，,整理得22195x y +=. ∴点Z 的轨迹方程1C 为22195x y += （2）【方法一】∵1C 与2C 有共同焦点 ∴241c n ==+，即3n =∴双曲线2C 的方程为2213y x -= ∴双曲线2C的渐近线方程y = 设直线l 的方程为y x t =+.联立方程y y x t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得,A B ⎛⎛. 22322t t OA OB -∴⋅=+，22t =，即直线l的方程为y x =±. 【方法二】∵1C 与2C 有共同焦点 ∴241c n ==+，即3n =.∴双曲线2C 的方程为2213yx -=设直线l 的方程为y x t =+，联立方程2203y x y x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得到22220x tx t --=. ∴122122x x t t x x +=⎧⎪⎨⋅=-⎪⎩()()()12121212221212121212122122222OA OB x x y y x x x t x t x x t x x t t OA OB x x y y x x x x t ⋅=+=+++=+++==⋅=+==-==又（也可）∴t =l的方程为y x =±（3）【方法一】设()()()1122333cos ,3cos ,3cos P Q R θθθθθθ,[)123,,0,2θθθπ∈. ∵O 为PQR ∆的重心123123++=0+sin +0cos cos cos sin sin θθθθθθ⎧∴⎨=⎩ ()()()122331111cos ,cos ,cos 222θθθθθθ∴-=--=--=-11223cos 11333cos 12001PQR OPQ S S θθθθ∆∆∴==()2132θθ=-=（()()()1122213213333cos 1113cos 1=223cos 1PQR S θθθθθθθθθθθθ∆∴=---=也可不妨设123θθθ>>,则122313224=,=,=333πππθθθθθθ+++. ()()()122331sin sin sin θθθθθθ⎧-=⎪⎪⎪⎪∴-⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩【方法二】设()11,P x y 、()22,Q x y 、()33,R x y ，则有：12331212331200x x x x x x y y y y y y ++==--⎧⎧⇒⎨⎨++==--⎩⎩，代入椭圆方程得：1212101845x x y y +=-.所以()()221212184510y y x x =+ 221212274x x x x ⇒++=. 1221332PQR POQ S S x y x y ∆∆==- ()2221212454PQR S x x x x ∆∴=++PQR S ∆∴=13．（2021·福建漳州三中高三三模）已知复数(),z x yi x y R =+∈在复平面内对应的点为(),M x y ，且z 满足222z z +--=，点M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）设()1,0A -，()10B ,，若过()2,0F 的直线与C 交于P ，Q 两点，且直线AP 与BQ 交于点R .证明： （i ）点R 在定直线上；（ii ）若直线AQ 与BP 交于点S ，则RF SF ⊥.【答案】（1）221(0)3y x x -=>；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【详解】（12=，所以点M 到点()12,0F -与到点()22,0F 的距离之差为2，且1224F F <=， 所以动点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线的右支，设其方程为()222210,0,0x y x a b a b -=>>>，其中22a =，24c =，所以1a =，2c =，所以2223b c a =-=，所以曲线C 的方程为221(0)3y x x -=>.（2）（i ）设直线PQ 的方程为2x ty =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，其中1>0x ，20x >. 联立22213x ty y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，可得()22311290t y ty -++=，由题意知2310t -≠且()()22214436313610t t t ∆=--=+>，所以1221231t y y t -+=-，122931y y t =-. 直线AP ：11(1)1y y x x =++，直线BQ ：22(1)1y y x x =--①，由于点()11,P x y 在曲线C 上，可知()221131y x =-，所以()1111311x y x y -=+， 所以直线AP ：()1131(1)x y x y -=+②. 联立①②，消去y 可得()121231(1)(1)1x yx x y x -+=--， 即()()12123(1)111y y x x x x +=---，所以()()()121221212123(1)1111y y y y x x ty ty t y y t y y +==-+++++，所以2223(1)99191231x x t t t +==---+-，所以12x =， 所以点R 在定直线12x =上. （ii ）由题意，与（i ）同理可证点S 也在定直线12x =上. 设1,2R r ⎛⎫⎪⎝⎭，1,2S s ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于R 在直线AP ：11(1)1y y x x =++上，S 在直线AQ ：22(1)1yy x x =++上，所以11321y r x =⋅+，22321y s x =⋅+，所以()()()()1212121299411433y y y y rs x x ty ty =⋅=⋅++++ ()()1222221212999943944936931y y t y y t y y t t t =⋅=⋅=-+++-+-， 又因为3,2FR r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3,2FS s ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以904FR FS rs ⋅=+=，所以RF SF ⊥. 14．（2021·江苏鼓楼·南京市第二十九中学高三月考）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，双曲线C 的左、右准线与其一条渐近线2y x =的交点分别为A ，B ，四边形12AF BF 的面积为4. （1）求双曲线C 的方程；（2）已知l 为圆224:3O x y +=的切线，且与C 相交于P ，Q 两点，求OP OQ ⋅. 【答案】（1）2214y x -=；（2）0.【详解】（1）设122F F c =，由直线2y x =是双曲线C 的一条渐近线，得2ba=①， 因为双曲线C 的准线方程为2a x c=±，由22a x c y x⎧=⎪⎨⎪=⎩得22a y c =，所以222,a a B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由双曲线的对称性，得21222124442BOF AF BF a S S c a c==⨯⋅=△四边形，由四边形12AF BF 的面积为4，可得244a =，即1a =，结合①得，2b =，所以双曲线C 的方程为2214y x -=.（2）①当直线l 的斜率存在时，对于圆224:3O x y +=，不妨考虑:l x则由221,4x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P，Q ， 所以0OP OQ ⋅=.②当直线l 的斜率不存在时，设:l y kx m =+， 因为直线l 与C 相交于P ，Q 两点，所以2k ≠±. 因为直线PQ 与圆O 相切，()22413m k=+（*），设()11,P x y，()22,Q x y，由22,1,4y kx myx=+⎧⎪⎨-=⎪⎩消y得()()2224240(2)k x kmx m k---+=≠±，结合（*），有()()()222216(2)4441603km k m k∆=+-+=+>，所以12224kmx xk+=-，212244mx xk+=--，所以()()12121212OP OQ x x y y x x kx m kx m⋅=+=+++，()()2212121k x x km x x m=++++()()222222214244k m k mmk k++=-++--()2223414m kk-+=-.结合（*），得()()22243141304k kOP OQk⨯+-+⋅==-.综上，0OP OQ⋅=.15．（2021·上海黄浦·格致中学高三三模）在平面直角坐标系xOy中，过方程221(,,,0)mx ny m n m n+=∈≠R所确定的曲线C上点()00,M x y的直线与曲线C相切，则此切线的方程001mx x ny y.（1）若41m n==，直线l过2)点被曲线C截得的弦长为2，求直线l的方程；（2）若1m=，13n=-，点A是曲线C上的任意一点，曲线过点A的切线交直线1l y-=于M，交直线2l y+=于N，证明：0MA NA+=；（3）若14m=，12n=，过坐标原点斜率0k>的直线3l交C于,P Q两点，且点P位于第一象限，点P在x 轴上的投影为E，延长QE交C于点R，求PQ PR⋅的值.【答案】（1）x =2y x +；（2）证明见解析；（3）0. 【详解】 （1）当41m n ==时，曲线C 的方程为224x y +=,这是以原点为圆心，r =2为半径的圆， 直线l过点)2,当直线l 的斜率不存在时，直线l的方程为x =代入圆的方程得21y =,1y =±，∴直线l 被圆所截得弦长为2，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ,则直线l的方程为(2y k x -=，即20kx y -+=, 由弦长为2，半弦长为1，圆的半径为2，所以圆心到直线l==解得k =所以直线l的方程为：74y x =+；（2）当11,3m n ==-时 ，设()00,A x y ,则过A 点的切线方程为：001mx xny y,即00113x x y y -=,由直线l 1的方程得y =,代入切线方程得到001x y x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 设()11,M x y ,()22,N x y ,则0011x y x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,同理0021x y x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 在曲线C 上，2200113x y ∴-=,12022002213x x x x x y ∴+====-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以A 为线段MN 的中点，所以0MA NA +=;（3）设()()1122,,,P x y R x y ,则()111,,(,0Q x y E x --), 则直线EQ :()111,2y y x x x =- 代入曲线C 的方程221mx ny +=并整理得：()222222************mxny x ny x x nx y x +-+-=,Q ，R 的横坐标12,x x -是这个方程的两实数根，∴21121221124ny x x x mx ny -=+,∴()3112212211124y ny y x x x mx ny =-=+,21121221144mx y y y mx ny -=-+,()()()()1121211211212,2,2[PQ PR x y x x y y x x x y y y =--⋅--=--+-⋅ ()222222111111222222111111224242444x y n m ny x mx y mx ny mx ny mx ny -⎡⎤=--=-⎢⎥+++⎣⎦, 由于11,,2411042m n n m ==∴-=-=,∴0PQ PR ⋅=16．（2021·上海高三模拟预测）已知A 、B 为椭圆22221x y a b +=（0a b >>）和双曲线22221x y a b -=的公共顶点，P 、Q 分为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且满足()(),1AP BP AQ BQ R λλλ+=+∈>，设直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k .（1）求证：点P 、Q 、O 三点共线； （2）求1234k k k k +++的值；（3）若1F 、2F 分别为椭圆和双曲线的右焦点，且12//QF PF ，求22221234k k k k +++的值. 【答案】（1）见解析；（2）0；（3）8. 【详解】 （1）A 、B 为椭圆()222210x y a b a b +=>>和双曲线22221x y a b-=的公共顶点，P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且()AP BP AQ BQ λ+=+，即22OP OQ λ=⋅，即OP OQ λ=， 因此，点P 、Q 、O 三点共线； （2）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则21111111122222222111112222y y x y x y x b k k a x a x a x a a y y a a b +=+===⋅+--+-， 同理可得2234222x b k k a y +=-⋅，//OP OQ ，1221x y x y ∴=，则1212x x y y =，因此，212123421220x x b k k k k a y y ⎛⎫+++=-= ⎪⎝⎭；（3）OP OQ λ=，212111x x y y λλ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，2222221x y a b +=，2221122x y a b λ∴+=，又2211221x y a b -=，解得222122211212x a y b λλ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 又12//QF PF ，21OF OF λ∴=⋅，则()22222a b a b λ+=-，则22222a ba bλ+=-.222412224111x a a y b b λλ+∴=⋅=-，()2444211242441444x b b a k k a y a b ∴+=⋅⋅=⋅⋅=， 同理可得()2344k k +=，21111222111y y y k k x a x a x a =⋅=+--且2211221x y a b -=，2222112a x a y b ∴-=，2122b k k a∴=，同理可得2342b k k a=-，因此，()()()22222212341234123428k k k k k k k k k k k k +++=+++-+=.。
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《双曲线高考真题》专题2018年（ ）月（ ）日 班级 姓名从善如登,从恶如崩。
——《国语》1．(2018浙江)双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，B ．(2,0)-，(2,0)C ．(0,，D ．(0,2)-，(0,2)2．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a bA ．=yB ．=yC ．2=±y x D ．2=±y x3．(2018全国卷Ⅲ)已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C ．2D ．4．（2017新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)．则APF ∆的面积为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．325．（2017新课标Ⅱ）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．C ．D ．(1,2)6．（2017天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2213x y -= D ．2213y x -= 7．（2016天津）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为A ．1422=-y xB ．1422=-y x C ．15320322=-y x D ．12035322=-y x 8．（2015湖南）若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点(3,4)-，则此双曲线的离心率为A B ．54 C ．43 D ．539．（2015四川）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则||AB ＝A ．3B ．C ．6D ．10．（2014新课标1）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B ．3 C D ．3m11．（2013新课标1）已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>）的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =± 12．（2012福建）已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于A ．14B ．4C ．32D ．4313．(2018北京)若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_________．14．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ，则其离心率的值是 ． 15．（2017新课标Ⅲ）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ．16．（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 ．17．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中 ，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是1F ，2F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ．18．（2016年北京）已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________．19．（2016年山东）已知双曲线E ：22x a–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______． 20．（2015新课标1）已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为 ．21．（2015山东）过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为 ．22．（2015新课标1）已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当APF ∆ 周长最小时，该三角形的面积为 ．23．（2014浙江）设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是____．24．（2014北京）设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．25．（2014湖南）设F 1，F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点．若在C上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_________．26．（2011广东）设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y +=+=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P的坐标．双曲线的几何性质答案1.B2.C3.B4.B5.A6.C [设动圆M 的半径为r ，依题意有|MB |＝r ，另设A (4,0)，则有|MA |＝r ±4，即|MA |－|MB |＝±4.亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB |，因此动点M 的轨迹为双曲线，且c ＝4,2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，故轨迹方程是x 24－y 212＝1.]7.18 8.(1,3) 9.x 24－y 2＝1 10.49x 2－491y 2＝1 (x ≤－32) 11.解 以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示：则B ⎝⎛⎭⎫－m2，0， C ⎝⎛⎭⎫m 2，0.设点A 的坐标为(x ，y )，由题设，得|sin C －sin B |＝12|sin A |.根据正弦定理，得||AB |－|AC ||＝12m .可知点A 在以B 、C 为焦点的双曲线上.这里2a ＝12m ，∴a ＝m4.又c ＝12m ，∴b 2＝c 2－a 2＝m 24－m 216＝316m 2.故所求点A 的轨迹方程为16x 2m 2－16y 23m 2＝1(y ≠0).12.解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 点在右支上， 则有|MF 1|－|MF 2|＝23， 又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23， 又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长， 而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角， 故△MF 1F 2为钝角三角形.13.解 如图所示，以直线BA 为x 轴，线段BA 的垂直平分线为y轴建立坐标系，则B (－3,0)、A (3,0)、C (－5,23)，∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上. ∵k BC ＝－3，BC 的中点D (－4，3)，∴直线PD ：y －3＝13(x ＋4)①又|PB |－|P A |＝4，故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上.设P (x ，y )，则双曲线方程为x 24－y 25＝1 (x ≥2)②联立①、②式，得x ＝8，y ＝53，所以P (8,53).因此k P A ＝538－3＝3，故A应沿北偏东30°方向炮击P地.。