CH1 索罗增长模型

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数学证明
dY K d ln Y d ln y K dK Y d ln K d ln k y2 d ln y ln y2 ln y1 ln y1 ln X d ln y ln X k2 1 K d ln k ln X ln K K k1 k2 1 K X k1
资本的边际产出
有效劳动的边际产出
MPAL
F ( K , AL ) f (k ) kf (k ) AL
劳动的边际产出
F ( K , AL ) MPL A[ f (k ) kf (k )] L
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出。 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)。

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F ( K , AL) K ( AL)1 f (k ) k f ( k ) k 1 y (1 ) / ln f ( k ) ln 1
1 d ln f ( k ) 0 d ln y f ( k 2 ) 1 y2 ln ln f ( k1 ) y1
一国若想从最低级的野蛮状态 过渡到最高程度的丰饶，所需要的 仅仅是和平、轻松的税收和可以容 忍的公正原则的执行，其他一切都 可以从事物的自然进程中产生。 ——亚当.斯密
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一、索罗模型简评


几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 索罗模型的主要结论： 长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的 巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大 差距。 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因 而无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存 在（如资本产生正的外部性）。
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以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡 结构： 家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自 主决策。 企业雇佣投入品进行生产。 家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。

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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
索罗模型关注四个变量：产出Y、资本K、劳 动L，以及知识或劳动的有效性A。 生产函数： Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中t表示时间。 AL被称为有效劳动。 以劳动力增加的形式引入的技术进步被称为 劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中 性。
Y L K L K ( ) R Y L K L
生产率增长率等 于产出增长率减 去劳动力增长率
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九、绝对收敛与条件收敛
资本的边际产出递减意味着有着更低人均 资本的经济趋于在人均项上更快的增长。 绝对收敛：穷国有着更快的人均增长率， 因此穷国趋于追上富国。 条件收敛：一个经济离其自身的稳态值越 远，增长越快。 巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。
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(n+g+δ)k f(k) c1 *
cg *
k
动态无效率区域
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五、在长期内对产出的影响
稳态时，人均资本和人均产出不变
y* f (k*)
储蓄率变化 对产出的长 期影响
变化得到产出 的储蓄率弹性 产出的资 本弹性
y * f (k *) k * k * f (k *) s k * s s
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因此，储蓄 的显著变化 只会对平衡 路径上的产 出产生中度 的影响。
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六、收敛速度
每单位效率工 人资本变化： 围绕k*的一阶 泰勒展开式： 上式的解析解 意味着k与稳 态值k*之间的 距离以λ的速 度减少。
sf (k ) ( x n )k k k (k k*) (k k*) k k k k* t k (t ) k * k (0) k * e

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2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(nK,nAL)=nF(K,AL) 第三，稻田条件：
K 0 L 0
lim FK lim FL
K
满足这三个条件的 生产函数被称为新 古典生产函数。
因此，索罗增长模 型又被称为新古典 增长模型。
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假设的含义
根据规模报酬不变假设可以得到 生产函数的紧凑形式：
f(k) c
f(k)


y=f(k)
y=Y/AL单位有效劳动的产出 k=K/AL 单位有效劳动的资本 稻田条件意味着，在资本存量充 分小时资本的边际产出十分大， 当资本存量很大时，其会变得很 小。其作用在于确保经济的路径 不发散。 根据假设1得到： f (0) 0
(1 )( x n )
在稳态的邻域内，产出和资本具有相 同的增长速度。
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七、索罗模型与增长理论的核心问题



索罗模型中人均产出(Y/L)差别的两个来源： 人均资本（K/L）的差异 劳动效率或技术A的差异 索罗模型的核心结论：资本积累的差异不能解释收 入的巨大差别。 直接解释：如果两国人均产出差别为X倍，则人均 资本差别为Xα倍。这与现实不符。 间接解释：在竞争市场，资本的收入等于其边际产 出，人均资本的差别意味着资本报酬的巨大差别， 即穷国的资本报酬远远高于富国，资本将流向穷国。 这与现实不符。
k 0
sf(k) A
k*
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k
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索洛－斯旺模型
3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变：
y* f (k*)
结论：索罗模 型意味着，无 论起点在何处， 经济总会收敛 于一个平衡增 长路径：模型 中的每个变量 都以一个不变 的速率增长。
根据单位有效 工人产出的定 义可以计算出 总产出的增长 速度：
y * s K (k*) s y 1 K (k *)
在多数国家， 支付给资本 的收入份额 约为1/3。则 产出的储蓄 率弹性约为 0.5。
Y K K (k*) K Y
k * f (k*) k k * f (k*)
产出的资本弹性等于资本收入在总收入 中所占的份额。
k (t ) 0 k (t ) 0
k增加 k下降 k不变
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k (t ) 0
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2、稳态
单位有效劳动资 本存量的变化： f(k)
k (t ) sf (k (t )) (n g )k (t )
(n＋g+δ)k f(k) 在A点，实际投资与 持平相等，资本存量 不变，经济达到稳态： 单位有效劳动的 k*,y*,c*固定不变。 消费： c*＝f(k*)-sf(k*) =f(k*)-(n+g+δ）k*
劳动增长 率为n： 技术进步 率为g：
L(t ) n L(t )
t时劳动力：
L(t ) L(0)e
nt
A(t ) g A(t )
t时技术存量：
A(t ) A(0)e
gt
产出在消费和投资之间分割， 那么储蓄等于投资。储蓄率s为 外生且不变，资本折旧率为δ。 资本变化＝投资－折旧。 2012-12-15
sf(k)
f(k)
sf(k)
0 新古典生产函数
k

f (k ) 0 f (k ) 0
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曲线的斜率即为资本的边际 产出。递减的斜率反映了递 减的资本边际报酬。
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3、生产投入的演化

资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。 瞬时增长率的定义： g dx / dt x d ln x x x x dt
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1、对产出的影响 储蓄率变化只具备水平 效应，而不具备增长效 应。 2、对消费的影响 在稳态，c*= f(k*)(n+g+δ）k* 当MPK= n+g+δ时，消费 达到最大。 使消费达到最大化的资 本存量被称为资本的黄 金律。
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黄金律和动态无效率
过度储蓄的经济 被称为动态无效率， 因为降低储蓄率不 仅提高了稳态消费， 也提高了转移过程 中的消费，即原来 的人均消费路径在 所有时点都位于另 一条可行的路径之 下。
1 ( k 2 ) f y2 ( ) f ( k1 ) y1
ln y
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八、增长因素分析法
对生产函 数进行全 微分可以 得到产出 增长率的 决定公式
Y (t ) F ( K (t ), A(t ) L(t )) Y K L K L R R为索罗残值 Y K L K L 1
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lim FK lim FL 0
L
练习：推导劳动和资本的 边际产出。
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边际产出
由规模报酬不 变可以得到
F ( K , AL) AL F ( K / AL,1) AL f ( K / AL)
F ( K , AL ) ALf ( K / AL ) MPK f (k ) K K
资本增长率
y* Y / AL Y y * AL
ln Y ln y * ln A ln L
Y L A n g Y L A
k* K / AL K k * AL
K n g K
消费C=（1-s）Y，因此，消费和产出具有相同 的增长率，等于n+g。 同样方法可以计算出每个工人的产出Y/L、人均 资本K/L和人均消费C/L具有相同的增长率：g。