第三章 运算方法和运算部件(3-3,4,5)

部分积 乘数 00.000000 100111 0 11.011001 11.011001 11.110110 011001 1 01.001110 01.000100 00.010001 000110 0 01.001110 01.011111 00.010111 110001 0
欠位C
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所以，若要得
右移I位即可。
[2 i X ]补
，只要将[X]补连同符号位
(3) 补码的乘法规则 设被乘数为[X]补＝X0.X1X2„.Xn， 乘数[Y]补＝Y0.Y1Y2„.Yn均为任意符号， 则补码乘法算式：[X*Y]补＝[X]补*Y
证明参见(P75-76)。
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3.3 二进制乘法运算
一、定点数一位乘法 1、定点原码一位乘法
用原码实现乘法运算十分方便，在定点运算中，完成两个
原码表示得数相乘时，乘积得符号由两数得符号位按位相 加（异或）得到，而乘积得数值部分则是两个数得绝对值 之积。可以表示为：
被除数 乘 数 乘 积
[X]原=Xs.X1X2„„Xn [Y]原=Ys.Y1Y2„„Yn [Z]原 =(Xs⊕Ys).(0.X1X2„.Xn)(0.Y1Y2„.Yn)
手工方法 法 0.1101(X) ×0.1011(Y) 1101„„P1 1101 1101„„..P2 0000„„„P3 + 1101„„„..P4 10001111„„P ×
机器方 0.1101 0.1011 0.0000
+
0.0001 101 0.0000 00 0.0110 1 0.1000 1111
(4) BOOTH算法 根据相邻两位比较结果决定运算操作的方法称为“比较法 ”，是由BOOTH夫妇提出的，也称BOOTH算法。
BOOTH算法流程：
开始时，部分积为0，即[P0]补＝0，然后每一步都是在前 次部分积的基础上由(Yi+1-Yi)(i=0,1,2„n)决定对[X]补 的操作，再右移一位，得到新的部分积。如此重复n+1步， 最后一步不移位，便得到[X]补*[Y]补。
与一位乘法比较，多出了+2X和3X两种情况。把X左移一位
即得2X；+3X可以用(4X-X)来实现。
原码两位乘法规则(P88表3.4)
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3.3 二进制乘法运算
例，X=0.100111，Y=0.100111，则:[-X]补＝1.011001
+[-X]补 右移2位 +2X 右移2位 +2X 右移2位
2、定点补码一位乘法 原码乘法的主要问题是符号位不能参加运算。补码乘法可以实现 符号位直接参加运算。 (1) 补码与真值的转换关系 设 [X]补=X0.X1X2„„..Xn 当 X>=0时，X0=0（符号位为0）
[ X ]补＝0. X 1 X 2 X n X i 2 i X
i 1
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3.3 二进制乘法运算
将[ P1 ]补 代入[ P2 ]公式中，则： i i
[P2 ]补 {[ P ]补 (Yni 1 Yni ) [ X ]补}21 (Yni Yni 1 )[X ]补}21 i i
{[ P ]补 [Yni 1 Yn1 ] [ X ]补} 2(Yni Yni 1 )[X ]补 22 i
i 1
n
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3.3 二进制乘法运算
(2) 补码的右移 正数右移一位，相当于乘1/2，负数用补码表示，右移一位 也相当于乘1/2。因此在补码运算的机器中，一个数不论其 正负，连同符号位向右移一位，符号位保持不变，就等于 n 乘1/2。 X i 2 i 设[X]补=X0.X1X2„..Xn，因为 X X 0
3.3 二进制乘法运算
2、补码两位乘 根据BOOTH算法，将两步合并成一步，可以推导除编码两位 乘法公式： [ i 上一步部分积： P ]
本步部分积：
[ P 1 ]＝{[ P ]补 ＋(Yni1 Yn1 )[ X ]补 }2 i i
1
下一步部分积：
[ P2 ]补＝ P1 ]补 (Yn1 Yni 1 )[X 补 ]}21 {[ i i
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3.3 二进制乘法运算
令Pi表示第i次的部分积，则上式可写成如下递推公式：
P0=0, P1=2-1(YnX+P0), P2=2-1(Yn-1X+P1), Pi=2-1(Yn-i+1X+Zi-1), Pn=X*Y=2-1(Y1X+Pn-1) 此处的P0,P1„Pn-1为部分积，Pn为最终的乘积P。
《计算机组成与结构》
——本科生课程教学
《计算机组成原理》 课程组
计算机组成与结构
本课程主要讲授计算机系统的硬件和软件构成方法，包括
硬件系统中运算器、控制器、存储器、输入设备和输出设 备和总线系统的构成原理等；并与当代先进的计算机技术 相结合。是计算机科学与技术本科专业核心课程。

本课程着重计算机系统组成与结构方面的教学和研究。
0000
初始化值
y=1
+ 1101
1101 110 1„„„..P1 + 1101 10011 1 1001 11„„„P2 + 0000 1001 11 100 111„„..P3 + 1101 10001 111 1000 1111„„P4=P
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y=1
y=0
y=1
3.3 二进制乘法运算
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3.3 二进制乘法运算
(6) 实现补码一位乘法的逻辑图(p104图3.9)
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3.3 二进制乘法运算
补码一位乘法逻辑图与原码一位乘法逻辑图的差异：
（1）被乘数、乘数的符号位X0,Y0都参加运算； （2）乘数寄存器有附加位Yn+1，其初始状态为0，并有右移功 能； （3）被乘数寄存器的每一位用原码或反码的多路开关输入， 多路开关由YnYn+1控制； （4）部分积寄存器具有移位功能，其符号位与加法器的符号 位始终一致； （5）当计数器i=n+1时，封锁移位信号，保证最后一步不移位 。
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3.3 二进制乘法运算
符号法则：同号相乘为正(0),异号相乘为负(1)，
(XsYs=00,01,10,11)， 所以积得符号可按“异或” 到。
数值部分运算法则：与普通十进制小数乘法相似。
运算得
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3.3 二进制乘法运算
例，X=0.1101，Y=0.1011，求X*Y=?
{[ P ]补 (Yni 1 Yni 2Yni 1 )[X ]补}22 i
上式表明，产生部分积 [ Pi ]补 之后，可以加上乘数寄存 [X ]补 器最低两位和附加位的组合值与 的积，再右移2位，
可得到 [ Pi 2 ]补
三位组合值的关系参加p89表3.5
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3.3 二进制乘法运算
机器运算与手工运算方法区别在于：
(1) 机器一次只能进行两个数相加，所以P1+P2+P3+P4必 须分步进行：P1+P2; (P1+P2)+P3; [(P1+P2)+P3]+P4。 (2) 每做完一次加运算，把部分积右移一位（相当于把 被加数右移，而不是左移），移出得数码不参加运算，故 机器的位数可以固定。 由此可以分析出机器乘法运算得基本规律。

i 1
所以
n 1 1 1 n 1 1 n X X 0 X i 2 i X 0 X 0 X i 2 i X 0 X i 2 (i1) 2 2 2 i 1 2 2 i 1 i 0
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3.3 二进制乘法运算
1 [ X ]补＝X 0 . X 1 X 2 ........X n 写成补码形式，得： 2
n
尾数部分为真值X
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3.3 二进制乘法运算
当X<0时， X0=1（符号位为1）
[X]补＝1.X1X2„„.Xn=2+X 所以真值X为： X=1.X1X2„..Xn-2 =-1+0.X1X2„„Xn
1 X i 2 i
i 1
n
X X 0 X i 2 i 所以，
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3.3 二进制乘法运算
例，[X]补＝1.0101，[Y]补＝1.0011，求[X*Y]补＝？
解：[-X]补=0.1011，采用双符号位表示后，运算过程如下： 部分积 乘数 操作 00.0000 1.00110 Yn+1=0,YnYn+1=10; + 00.1011 加[-X]补 00.1011 00.0101 110011 YnYn+1=11； + 00.0000 加0 00.0101 00.0010 111001 YnYn+1=01； + 11.0101 加[X]补 11.0111 11.1011 111100 YnYn+1=00； + 00.0000 加0 11.1011 11.1101 111110 YnYn+1=10 + 00.1011 加[-X]补 00.1000 1111 最后一步不移位
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3.3 二进制乘法运算
二、定点数二位乘法 1、原码两位乘 两位乘数有四种可能组合及相应的操作： 00－相当于0*X；部分积Pi+X，右移2位； 01－相当于1*X；部分积Pi+X，右移2位； 10－相当于2*X；部分积Pi+2X，右移2位； 11－相当于3*X；部分积Pi+3X，右移2位。
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3.3 二进制乘法运算
上述乘法运算的递推算法可用流程图来表示：(P83图3.6)
开始
Pi=0, i=0
N
Yn=1 Pi+0 Pi+X
Y
Pi,Y右移一位,i=i+1
N
i=n? Y 结束
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3.3 二进制乘法运算
实现原码一位乘法的逻辑电路图(P82图3.5)。
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3.3 二进制乘法运算
计算机结构定义为系统程序员所能见到的计算机硬件特性； 计算机组成是指计算机硬件的具体实现。
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第三百度文库 运算方法和运算部件
数据的表示方法和转换 带符号数的表示方法及加减运算 二进制乘法运算
二进制除法运算
浮点数的运算方法
运算部件
数据校验码
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3.3 二进制乘法运算
部分积 明 0000000000 11001110 0 组合值为100,+2[-X]补 1110011010 1111100110 10110011 1 右移2位,组合值为111 1111111001 10101100 1 右移2位,组合值为 001,+[X]补 0000110011 0000101100 0000001011 00101011 0 右移2位,组合值为110,+[X]补 1111001101 1111011000 1111110110 00001010 右移1位 计算机学院 运算结果为：11111011000001010 即为：－0.00100111110110 乘数 附加位 说
3.3 二进制乘法运算
例，两位补码乘法，假设X=+0110011,Y=-0110010
则：[X]补=00110011，[Y]补=11001110； [-X]补=11001101， 2[X]补=01100110， 2[-X]补=10011010；
其两位补码乘法实现过程如下：
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3.3 二进制乘法运算
参见流程图。
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3.3 二进制乘法运算
(5) 补码一位乘法的运算规则 根据BOOTH算法流程图，可得到补码一位乘法的运算规则。

运算规则： 如果Yn=Yn+1，部分积[Pi]加0，再右移一位； 如果YnYn+1=01，部分积加[x]补，再右移一位； 如果YnYn+1=10，部分积加[-X]补，再右移一位。 如此重复进行n+1步，最后一步不移位；包括一位符号位， 所得乘积为2n+1位，其中n为尾数位数。
一般而言，设被乘数X，乘数Y都是小于1的n位定点正数：
X=0. X1 X2„„„. Xn Y=0. Y1Y2„„„. Yn 其乘积为： X*Y=X(0. Y1Y2„„Yn) =X(Y12-1+Y22-2+„„.+Yn2-n) =2-1(Y1X+2-1(Y2X+2-1(„„+2-1(Yn-1X+21(Y X+0))„„))) n
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3.3 二进制乘法运算
原码机器乘法规律：
当所乘得乘数为1时，则上次所得的部分积（最初为0）加 被乘数右移一位，而得新的次一部分积；若所乘的乘数为0 时，则上次所得的部分积加0右移一位后就是新的次一部分 积。如此反复，直到乘数各位都乘完为止。
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3.3 二进制乘法运算
例，X=0.1101，Y=0.1011，求X*Y=?机器算法如下：