直线与平面垂直的性质优质课件
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
《直线与平面垂直的性质》课件
作。
05 直线与平面直的拓展知 识
直线与平面所成角的概念及求法
直线与平面所成角的概念
当直线与平面相交时，直线与平面所成的角即为直线与平面的法线所成的锐角 或直角。
直线与平面所成角的求法
可以通过向量的点积公式和向量的模长公式来求解，也可以通过三角函数的知 识来求解。
直线与平面所成角的性质及应用
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线垂直于一个平面内的两 条相交直线，那么这条直线就垂直于 这个平面。
如果一条直线平行于一个平面的一条 垂线，那么这条直线也垂直于这个平 面。
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一平面的两条直线互相平行。
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任意一条直线。
实际应用广泛
直线与平面垂直的性质在 实际生活中应用广泛，如 建筑、工程、设计等领域。
培养空间想象能力
通过学习直线与平面垂直 的性质，可以培养学生的 空间想象能力和逻辑思维 能力。
学习目标与要求
01
02
03
04
掌握定义与性质
学生能够准确理解直线与平面 垂直的定义，掌握其相关性质
。
熟练运用判定定理
学生能够熟练运用直线与平面 垂直的判定定理，解决相关问
通过平面内一点到直线的距离证明直线与平面垂直
要点一
平面内一点到直线的距离处处相 等
若平面π内存在一点P，使得点P到直线l的距离处处相等，则 直线l与平面π垂直。
要点二
证明过程
设点P到直线l的垂线为m，垂足为H。由于PH与l垂直，所以 PH的方向向量h与l的方向向量d垂直，即h·d=0。又因为m 在平面π内，所以h也是平面π的一个法向量。根据法向量的 定义，我们知道平面π内任意一点到直线l的距离都等于|h|， 因此直线l与平面π垂直。
05 直线与平面直的拓展知 识
直线与平面所成角的概念及求法
直线与平面所成角的概念
当直线与平面相交时，直线与平面所成的角即为直线与平面的法线所成的锐角 或直角。
直线与平面所成角的求法
可以通过向量的点积公式和向量的模长公式来求解，也可以通过三角函数的知 识来求解。
直线与平面所成角的性质及应用
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线垂直于一个平面内的两 条相交直线，那么这条直线就垂直于 这个平面。
如果一条直线平行于一个平面的一条 垂线，那么这条直线也垂直于这个平 面。
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一平面的两条直线互相平行。
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任意一条直线。
实际应用广泛
直线与平面垂直的性质在 实际生活中应用广泛，如 建筑、工程、设计等领域。
培养空间想象能力
通过学习直线与平面垂直 的性质，可以培养学生的 空间想象能力和逻辑思维 能力。
学习目标与要求
01
02
03
04
掌握定义与性质
学生能够准确理解直线与平面 垂直的定义，掌握其相关性质
。
熟练运用判定定理
学生能够熟练运用直线与平面 垂直的判定定理，解决相关问
通过平面内一点到直线的距离证明直线与平面垂直
要点一
平面内一点到直线的距离处处相 等
若平面π内存在一点P，使得点P到直线l的距离处处相等，则 直线l与平面π垂直。
要点二
证明过程
设点P到直线l的垂线为m，垂足为H。由于PH与l垂直，所以 PH的方向向量h与l的方向向量d垂直，即h·d=0。又因为m 在平面π内，所以h也是平面π的一个法向量。根据法向量的 定义，我们知道平面π内任意一点到直线l的距离都等于|h|， 因此直线l与平面π垂直。
直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质课件
直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____平__行_____
符号语言
a⊥α b⊥α ⇒___a_∥__b______
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
2．平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，则_一__个__平___面__内__垂直于__交__线___的直 线与另一个平面___垂__直____
所以四边形 AMNO 为平行四边形． 所以 ON＝AM． 因为 ON＝12AB， 所以 AM＝12DC＝12AB． 所以 M 是 AB 的中点．
证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平 行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂 直． (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平 行．
(2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN， 则 MN∥EC，且 MN＝12EC． 因为 EC∥BD，BD＝12EC， 所以 MN∥═BD， 所以 N 点在平面 BDM 内． 因为 EC⊥平面 ABC， 所以 EC⊥BN．
又 CA⊥BN，所以 BN⊥平面 ECA． 因为 BN 在平面 MNBD 内， 所以平面 MNBD⊥平面 ECA， 即平面 BDM⊥平面 ECA． (3)由第二问易知 DM∥BN，BN⊥平面 CAE， 所以 DM⊥平面 ECA． 又 DM⊂平面 DEA， 所以平面 DEA⊥平面 ECA．
如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BAC ＝90°，BC1⊥AC，则 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在直线____________上．
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____平__行_____
符号语言
a⊥α b⊥α ⇒___a_∥__b______
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
2．平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，则_一__个__平___面__内__垂直于__交__线___的直 线与另一个平面___垂__直____
所以四边形 AMNO 为平行四边形． 所以 ON＝AM． 因为 ON＝12AB， 所以 AM＝12DC＝12AB． 所以 M 是 AB 的中点．
证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平 行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂 直． (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平 行．
(2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN， 则 MN∥EC，且 MN＝12EC． 因为 EC∥BD，BD＝12EC， 所以 MN∥═BD， 所以 N 点在平面 BDM 内． 因为 EC⊥平面 ABC， 所以 EC⊥BN．
又 CA⊥BN，所以 BN⊥平面 ECA． 因为 BN 在平面 MNBD 内， 所以平面 MNBD⊥平面 ECA， 即平面 BDM⊥平面 ECA． (3)由第二问易知 DM∥BN，BN⊥平面 CAE， 所以 DM⊥平面 ECA． 又 DM⊂平面 DEA， 所以平面 DEA⊥平面 ECA．
如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BAC ＝90°，BC1⊥AC，则 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在直线____________上．
课件4： 2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质
跟踪训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上， PC⊥平面BDE. (1)证明：BD⊥平面PAC (2)若PA=1，AD=2，求二面角B－PC －A的正切值
（1）证明 ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BD. ∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD. 又∵PA PC=P，BD 平面PAD. ∴BD⊥平面PAC. （2）解 设AC与BD交于点O,连接OE, ∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥OE. 又∵BO⊥平面PAC，∴PC⊥BO. ∴PC⊥平面BOE.∴PC⊥BE.
所以Rt△AEB≌Rt△BEP，
所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形．
由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面积S＝2.
因为PC⊥平面AEB，
1
8
所以三棱锥P–ABC的体积V＝ 3 ·S·PC＝ 3 .
自测自评
1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有( D )
A．b∥α
B．b⊂α
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1D1
解析 ∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C， ∴BD⊥平面A1ACC1， ∴BD⊥CE.
谢 谢！
跟踪训练1 已知，如图，直线a⊥α，直线b⊥β，且 AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c. 证明 过点B引直线a′∥a， a′与b确定的平面设为γ， ∵a′∥a，AB⊥a，∴AB⊥a′， 又AB⊥b，a′∩b＝B，∴AB⊥γ. ∵b⊥β，c⊂β，∴b⊥c① ∵a⊥α，c⊂α，∴a⊥c. 又a′∥a，∴a′⊥c② 由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，∴AB∥c.
如图，取AB中点D，连接PD、CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，又因为PD∩CD＝D，
8-4直线与平面垂直的判定及其性质课件共120张PPT
(3)[解] 当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下： 取PC的中点F，连接DE，EF，DF. 在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE. 而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B， 所以平面DEF∥平面PGB. 因为BG⊥平面PAD，PG⊂平面PAD，所以BG⊥PG. 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G， 所以PG⊥平面ABCD.
第四节 直线与平面垂直的判定及其性质
[复习要点] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命 题．
理清教材•巩固基础
知识点一 直线与平面垂直 1．定义：直线l与平面α内的__任__意____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相 垂直．
易/错/问/题
类比思维的应用：注意由平面到空间的思维的变化． (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为_平__行__、__相__交__或__异__面_． (2)已知直线a和平面α，β，若α⊥β，a⊥β，则a与α的位置关系为a_∥__α_或__a_⊂__α__．
通/性/通/法
(4)面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一个平面(常用方法)；
(5)面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条 直线也垂直于另一个平面(客观题常用)；
(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平 面(客观题常用)．
(2)如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角．
(3)如果一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角为0°的角． (4)直线和平面所成角的范围是___0_，__π2_ _．
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
课件11：2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质
【答案】MN⊥AB
要点阐释 1．直线与平面垂直的其他性质 (1)如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任
一条直线垂直． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于
这个平面．
(3)若 l⊥α 于 A，AP⊥l，则 AP⊂α. (4)垂直于同一条直线的两个平面平行． (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于 另一个平面．
2．平面与平面垂直的性质 (1)性质定理可简述为：面面垂直，则线面垂直． (2)性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题 中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互 转化，是我们立体几何中求解(证)问题的重要思想方法． (3)平面与平面垂直性质定理的推论 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于 第二个平面的直线，在第一个平面内．
求证：B C ⊥AB .
证明: 在平面 PAB 内，作 AD⊥PB 于 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC 且平面 PAB∩平面 PBC=PB, ∴AD⊥平面 PBC.又 BC⊂平面 PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴PA⊥BC.又 PA∩AD=A,∴BC⊥平面 PAB. 又 AB⊂平面 PAB， ∴BC⊥AB.
PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD．
证明：
(1)因为平面 PAD⊥平面 ABCD 且 PA 垂直于两个平面的交线 AD, 所以 PA⊥底面 ABCD．
(2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点,所以 AB∥DE 且 AB=DE．所以 ABED 为平行四边形.所以 BE∥AD
要点阐释 1．直线与平面垂直的其他性质 (1)如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任
一条直线垂直． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于
这个平面．
(3)若 l⊥α 于 A，AP⊥l，则 AP⊂α. (4)垂直于同一条直线的两个平面平行． (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于 另一个平面．
2．平面与平面垂直的性质 (1)性质定理可简述为：面面垂直，则线面垂直． (2)性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题 中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互 转化，是我们立体几何中求解(证)问题的重要思想方法． (3)平面与平面垂直性质定理的推论 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于 第二个平面的直线，在第一个平面内．
求证：B C ⊥AB .
证明: 在平面 PAB 内，作 AD⊥PB 于 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC 且平面 PAB∩平面 PBC=PB, ∴AD⊥平面 PBC.又 BC⊂平面 PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴PA⊥BC.又 PA∩AD=A,∴BC⊥平面 PAB. 又 AB⊂平面 PAB， ∴BC⊥AB.
PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD．
证明：
(1)因为平面 PAD⊥平面 ABCD 且 PA 垂直于两个平面的交线 AD, 所以 PA⊥底面 ABCD．
(2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点,所以 AB∥DE 且 AB=DE．所以 ABED 为平行四边形.所以 BE∥AD
直线与平面垂直的性质-PPT课件
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：②、④是真命题．
练习2．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则 这条直线和另一个平面的位置关系是__相__交__、__平__行__、__在__平__面__内__．
例2 如图，已知α∩β=l,EA⊥α于点
A,EB⊥β于点B, a α, a⊥AB.
作业布置:
习题2.3 A组第5题 B组第3题
A1
B1
E
D
C
A
F
B
情景导入
若在两个平面互相垂直的条件下，又会得 出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一 条与地面垂直的直线？
平面与平面垂直的性质定理
两观个察平实面验垂直,则一个平
面观内察垂两垂直直于平交面线中的,一直线 与个另平一面内个的平直面线垂与直另.
l
一符个号平表面示的：有哪些位
b
置关系?
练习3 如图： , l, AB , AB l, BC , DE , BC DE.求证：AC DE
A
B
l
D
C
E
练习4.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都 为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内 找一点，使AE⊥面BCD,并说明理由
解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点 E， 连结AE，则AE为BD的中线 ∴又A∵E面⊥BBCDD∩面ABD=BD,
2.3.3-2.3.4
直线与平面、平面与平面垂直的性质
情景导入
问题：若一条直线与一个平面垂直，则 可得到什么结论？若两条直线与同一个 平面垂直呢？
知识探究：直线与平面垂直的性质定理
如图，长方体ABCD-A‘B’C‘D’中，棱AA‘、BB’、 CC'、DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间 是有什么位置关系？
直线与平面垂直的判定定理与性质定理ppt课件
24
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
直线与平面垂直课件(共22张PPT)
请你动手操作并思考：
（1）折痕AD与桌面垂直吗?
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？
探究：如图8.6-10，准备一块三角形的纸片ABC，过∆ABC 的顶点A翻折纸片， 得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC 与桌面接触）.
请你动手操作并思考：
（1）折痕AD与桌面垂直吗? （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？ 追问2：如何验证折痕AD与桌面垂直？
BD,CD
m= DB DC 则 m AD = DB AD DC AD =0 即 AD m ，所以 AD
2.线面垂直的判定定理：一条直线与平面内的两条相交直线垂直, 那么直线与该平面垂直.
l
①图形语言：
P
mn
lm
②符号语言： l n
mn P
l
m , n
③本质：线线垂直→线面垂直
垂直，则直线垂直于(×平)面.
1.线面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 则直线l与平面α互相垂直，
记作l⊥α.
追问2：临江门大桥的斜拉索所在直线与桥面垂直吗？
结论 1：平面 内存在一条直线与直线 l 不垂直 则直线 l 与平面 不垂直.
1.线面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 则直线l与平面α互相垂直，
古希腊数学家欧几里得《几何原本》中线面垂直的定义： 若一条直线垂直于平面上与该直线相交的所有直线，则该直线与平面垂直.
A
α
B
B
追问1：地面上不经过点B的直线与旗杆所在直线
满足垂直关系吗？
1.线面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，
则直线l与平面α互相垂直，
记作l⊥α.
平面的垂线
（1）折痕AD与桌面垂直吗?
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？
探究：如图8.6-10，准备一块三角形的纸片ABC，过∆ABC 的顶点A翻折纸片， 得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC 与桌面接触）.
请你动手操作并思考：
（1）折痕AD与桌面垂直吗? （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？ 追问2：如何验证折痕AD与桌面垂直？
BD,CD
m= DB DC 则 m AD = DB AD DC AD =0 即 AD m ，所以 AD
2.线面垂直的判定定理：一条直线与平面内的两条相交直线垂直, 那么直线与该平面垂直.
l
①图形语言：
P
mn
lm
②符号语言： l n
mn P
l
m , n
③本质：线线垂直→线面垂直
垂直，则直线垂直于(×平)面.
1.线面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 则直线l与平面α互相垂直，
记作l⊥α.
追问2：临江门大桥的斜拉索所在直线与桥面垂直吗？
结论 1：平面 内存在一条直线与直线 l 不垂直 则直线 l 与平面 不垂直.
1.线面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 则直线l与平面α互相垂直，
古希腊数学家欧几里得《几何原本》中线面垂直的定义： 若一条直线垂直于平面上与该直线相交的所有直线，则该直线与平面垂直.
A
α
B
B
追问1：地面上不经过点B的直线与旗杆所在直线
满足垂直关系吗？
1.线面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，
则直线l与平面α互相垂直，
记作l⊥α.
平面的垂线
直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质课件
(2)取 BC 的中点 N，连接 AN， ∵AB＝AC，∴AN⊥BC.8 分 取 DE 的中点 M，连接 MN，AM， ∴MN⊥BC.又 AN∩MN＝N， ∴BC⊥平面 AMN，∴AM⊥BC.10 分 又 M 是 DE 的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE. 又∵DE 与 BC 是平面 BCDE 内的相交直线， ∴AM⊥平面 BCDE.11 分 ∵AM⊂平面 ADE， ∴平面 ADE⊥平面 BCDE.12 分
图 2－3－31 (1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB.
【思路探究】 (1)由题中平面 PAD⊥平面 ABCD，只需 要证明 BG 垂直于两平面的交线即可．
(2)转化为证 AD⊥平面 PBG 即可．
【自主解答】 (1)∵在菱形 ABCD 中，G 为 AD 的中点， ∠DAB＝60°，
2．平面与平面垂直的其他性质 (1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直 于第二个平面的直线在第一个平面内． (2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面 垂直于另一个平面． (3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于 另一个平面或在另一个平面内．
线线、线面、面面垂直的综合应用 如图 2－3－31 所示，在四棱锥 P－ABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，且∠DAB＝60°，侧面 PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面 ABCD.
1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理， 另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直， 故可考虑面面垂直的性质定理．
2．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要 注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平 面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．
直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件(优质课)
在工程设计中的应用
机械设计
在机械设计中，直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质对于确保机械部件的稳定性和精 确性至关重要。例如，在制造精密仪器或高精度机械设备时，需要严格控制各个部件之间 的垂直关系。
电子设备
在设计和制造电子设备如电视、电脑和手机时，需要利用直线与平面垂直、平面与平面垂 直的性质来确保设备的稳定性和可靠性。
C. 平行于同一条直线的两条直线一定 平行
基础习题
4、题目：下列说法正确的是( )
A.垂直于同一平面的两直线平行 B.平行于同一平面的两直线平行
C.若直线$a$不垂直于平面$beta$内的无数条直线，则$a$也不垂直于平 面$beta$ D.若直线$a$不垂直于平面$beta$，则直线$a$与平面$beta$ 有斜交
解析：根据空间线面位置关系的定义及判定定理得D正确．在A中，过 $a$上任一点 $P$作直线 $c/backslash/$ $a$，则 $c,b$相交或为异面直线，故A错误；在B中， 可取 $a/backslash/b$判断B错误；在C中，可取 $a,b$都垂直于第三个平面判断C 错误．故选D．
THANKS
直线与平面垂直的性质定理
性质定理一
如果一条直线与平面垂直， 那么这条直线与平面内的任 意一条直线都垂直。
性质定理二
如果一条直线与平面垂直， 那么这条直线上任意一点到 平面的距离都相等。
性质定理三
如果两条直线分别与同一 个平面垂直，那么这两条 直线平行。
Part
02
平面与平面垂直的性质
平面与平面垂直的定义
A. 若直线与平面有两个公共点，则该直线在平面内
进阶习题
B. 若直线 l 上有无数个点不在 平面 α 内，则 l ∥ α
课件3：2.3.3 直线与平面垂直的性质
∴BC⊥AE.又SB⊥AE，SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC． ∵ SC⊂平面SBC，∴AE⊥SC．
又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.
∴AF⊥SC．
典例详解
(2) ∵SA⊥平面AC， ∴SA⊥DC． 又AD⊥DC，SA∩AD＝A， ∴DC⊥平面SAD．
∵AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF.
面AB1C，BD1⊥平面AB1C．
典例详解
典例详解
规律总结：当题中垂直条件很多，但 又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平 面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转 化．
典例详解
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上
一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：(1)MN∥AD1； (2)M是AB的中点．
当堂检测
2．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能 推出a∥b的是( ) A．b∥α B．b⊂α C．b⊥α D．b∩α＝A 【答案】 C
当堂检测
3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个 说法中正确的是( ) ①α∥β⇒l⊥m； ②α⊥β⇒l∥m； ③l∥m⇒α⊥β； ④l⊥m⇒α∥β. A．②④ B．①② C．③④ D．①③ 【答案】D
预习自测
【证明】 ∵AA1⊥AB，AA1⊥AD，且AB∩AD＝A， AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴AA1⊥平面ABCD．
又∵EF⊥平面ABCD， ∴EF∥AA1.
规律总结：证明线线平行可转化为线面垂直， 即转化为证明这两条直线同时垂直于一个平面．
知识拓展
三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的
典例详解
又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.
∴AF⊥SC．
典例详解
(2) ∵SA⊥平面AC， ∴SA⊥DC． 又AD⊥DC，SA∩AD＝A， ∴DC⊥平面SAD．
∵AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF.
面AB1C，BD1⊥平面AB1C．
典例详解
典例详解
规律总结：当题中垂直条件很多，但 又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平 面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转 化．
典例详解
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上
一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：(1)MN∥AD1； (2)M是AB的中点．
当堂检测
2．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能 推出a∥b的是( ) A．b∥α B．b⊂α C．b⊥α D．b∩α＝A 【答案】 C
当堂检测
3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个 说法中正确的是( ) ①α∥β⇒l⊥m； ②α⊥β⇒l∥m； ③l∥m⇒α⊥β； ④l⊥m⇒α∥β. A．②④ B．①② C．③④ D．①③ 【答案】D
预习自测
【证明】 ∵AA1⊥AB，AA1⊥AD，且AB∩AD＝A， AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴AA1⊥平面ABCD．
又∵EF⊥平面ABCD， ∴EF∥AA1.
规律总结：证明线线平行可转化为线面垂直， 即转化为证明这两条直线同时垂直于一个平面．
知识拓展
三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的
典例详解
02 教学课件_ 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
两个平面垂直，则_一__个__平__面__内__垂直于_交__线___的直线与 文字语言
另一个平面_垂__直__
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，_a_⊂_α_，_a_⊥__l__⇒a⊥β
图形语言
类型一 直线与平面垂直的性质定理 例1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD， AD ＝ AP ， E 是 PD 的 中 点 ， M ， N 分 别 在 AB ， PC 上 ， 且 MN⊥AB ， MN⊥PC.证明：AE∥MN. 解 因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB， 又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
类型三 线线、线面、面面垂直的综合问题 例 3 如 图 ， 在 四 面 体 ABCD 中 ， 平 面 ABC⊥ 平 面 BCD ， AB⊥AC ， DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.
跟踪训练3 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证： (1)DE＝DA； 证明 设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F， 则CF＝DB＝a.因为CE⊥面ABC， 所以BC⊥CF，DF⊥EC， 所以 DE＝ EF2＋DF2＝ 5a. 又因为 DB⊥面 ABC，所以 DA＝ DB2＋AB2＝ 5a， 所以DE＝DA.
第二章 § 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
学习目标
1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理； 2.能运用性质定理解决一些简单问题； 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相 互联系.
另一个平面_垂__直__
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，_a_⊂_α_，_a_⊥__l__⇒a⊥β
图形语言
类型一 直线与平面垂直的性质定理 例1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD， AD ＝ AP ， E 是 PD 的 中 点 ， M ， N 分 别 在 AB ， PC 上 ， 且 MN⊥AB ， MN⊥PC.证明：AE∥MN. 解 因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB， 又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
类型三 线线、线面、面面垂直的综合问题 例 3 如 图 ， 在 四 面 体 ABCD 中 ， 平 面 ABC⊥ 平 面 BCD ， AB⊥AC ， DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.
跟踪训练3 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证： (1)DE＝DA； 证明 设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F， 则CF＝DB＝a.因为CE⊥面ABC， 所以BC⊥CF，DF⊥EC， 所以 DE＝ EF2＋DF2＝ 5a. 又因为 DB⊥面 ABC，所以 DA＝ DB2＋AB2＝ 5a， 所以DE＝DA.
第二章 § 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
学习目标
1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理； 2.能运用性质定理解决一些简单问题； 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相 互联系.
直线与平面垂直的性质 课件
2.3.3 直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线_平__行__ 文字语言
符号语言
a⊥α,b⊥α⇒a∥b
图形语言
思考:一个平面的垂线有多少条?这些直线有什么关系? 提示:一个平面的垂线有无数条.这些直线是互相平行的.
【知识点拨】 对线面垂直的性质定理的两点说明 (1)作用 ①证明两条直线平行,即线面垂直⇒线线平行. ②构造平行线 (2)本质 ①以平面为桥梁,实现了“平行”与“垂直”之间的相互转化. ②同一平面的垂线方向是相同的,平面位置确定后其垂线的方 向也就确定了.
2.(1)设AC与BD相交于点F.因为四边形ABCD是菱形,所以 AC⊥BD. 又因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC,而 PD∩BD=D,所以AC⊥平面PDB. 因为E为PB上任意一点,所以DE⊂平面PBD,所以AC⊥DE.
(2)连接EF.由(1),知AC⊥平面PBD,
EF⊂平面PBD,所以AC⊥EF.
【误区警示】
【防范措施】 1.重视“平行”与“垂直”的相互转化 线面垂直的判定和性质是将线面平行和垂直,面面平行和垂直 联系起来的关键.例如本题(2)利用面面平行和线面垂直推出新 的线面垂直.
2.重视平面几何、立体几何知识的综合应用 随着所学知识的增多,需要及时对知识进行总结,并在解题时进 行灵活应用.如本例中,三角形全等的证明;等边三角形的中心的 概念;异面直线所成的角;线面垂直的性质等知识的综合应用.
【拓展提升】 1.共面直线垂直的证明方法 (1)利用等腰三角形“三线合一”的性质证明，即等腰三角形 底边上的中线(或顶角平分线)是底边上的高. (2)利用矩形的四个角是直角证明. (3)利用菱形的对角线互相垂直平分证明. (4)利用直径所对的圆周角是直角证明. (5)利用勾股定理的逆定理证明.
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线_平__行__ 文字语言
符号语言
a⊥α,b⊥α⇒a∥b
图形语言
思考:一个平面的垂线有多少条?这些直线有什么关系? 提示:一个平面的垂线有无数条.这些直线是互相平行的.
【知识点拨】 对线面垂直的性质定理的两点说明 (1)作用 ①证明两条直线平行,即线面垂直⇒线线平行. ②构造平行线 (2)本质 ①以平面为桥梁,实现了“平行”与“垂直”之间的相互转化. ②同一平面的垂线方向是相同的,平面位置确定后其垂线的方 向也就确定了.
2.(1)设AC与BD相交于点F.因为四边形ABCD是菱形,所以 AC⊥BD. 又因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC,而 PD∩BD=D,所以AC⊥平面PDB. 因为E为PB上任意一点,所以DE⊂平面PBD,所以AC⊥DE.
(2)连接EF.由(1),知AC⊥平面PBD,
EF⊂平面PBD,所以AC⊥EF.
【误区警示】
【防范措施】 1.重视“平行”与“垂直”的相互转化 线面垂直的判定和性质是将线面平行和垂直,面面平行和垂直 联系起来的关键.例如本题(2)利用面面平行和线面垂直推出新 的线面垂直.
2.重视平面几何、立体几何知识的综合应用 随着所学知识的增多,需要及时对知识进行总结,并在解题时进 行灵活应用.如本例中,三角形全等的证明;等边三角形的中心的 概念;异面直线所成的角;线面垂直的性质等知识的综合应用.
【拓展提升】 1.共面直线垂直的证明方法 (1)利用等腰三角形“三线合一”的性质证明，即等腰三角形 底边上的中线(或顶角平分线)是底边上的高. (2)利用矩形的四个角是直角证明. (3)利用菱形的对角线互相垂直平分证明. (4)利用直径所对的圆周角是直角证明. (5)利用勾股定理的逆定理证明.
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我们再来学习直线和平面的距离的定义：
一条直线和一个平面平行，这条直 线上任意一点到平面的距离，叫做这条 直线和平面的距离．
本例题的证明，实际上是把立体几何中直线上的点 到平面的距离问题转化成平面几何中两条平行直线的 距离问题．这种把立体几何的问题转化成平面几何的 问题的方法，是解决立体几何问题时常常用到得法．
1
D1
垂直
B1 C
A1
D
平行
A
B 你能得出什么结论？
已知：a⊥α， b⊥α 求证：a∥b．
分析：a、b是空间中的两条直线， 要证明它们互相平行，一般先证明它 们共面，然后转化为平面几何中的平 行判定问题，但这个命题的条件比较 简单，想说明a、b共面就很困难了， 更何况还要证明平行． 证明：假定b与a不平行 设b∩α ＝O，b′是经过点O与直线a平行的直线， ∵ 我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不 a∥b′，a⊥α ， 平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法． ∴b′⊥α ． 经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α 是不 您知道用反证法证明命题的一般步骤吗？ 可能的．因此，a∥b．
α A
β
B
平面与平面垂直的性质1： 两平面垂直的性质：如果两个平面互 相垂直，那么过其中一个平面内一点 作一条直线和另一个平面垂直，则这 条直线垂直交线 α
l , m, l ml
l β m
平面与平面垂直的性质2：
如果两个相交平面都垂直于另一个平面， 那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
A E B C
D
作业: P73练习：1，2.（做书上） P73习题2.3A组：2. P74习题2.3B组：3.
平面与平面垂直的性质定理
复习：
直线和平面垂直的判定定理是：如果
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面．
直线和平面垂直的定义 :一条直线和平面
内的任何一条直线都垂直，我们说这两条直线和这 个平面互相垂直．
知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理
思考1:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1 中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线 与底面ABCD的位置关系如何？它们 彼此之间具有什么位置关系？ C
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α γ β
l, , l
理论迁移
如图，已知 ⊥β ，l⊥β ， l ，试判断直线l与平面 的位 置关系，并说明理由. 例
α a m β l
练习： 如图，四棱锥P-ABCD的底面 BC 是矩形，AB=2， 2 ，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB⊥底面 ABCD. （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角. （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； P
α
β
平面与平面垂直的性质定理 定理：若两个平面互相垂直，则在一个平 面内垂直交线的直线与另一个平面垂直.
l , m, l ml
说明：1面面垂直
符号语言：
图形语言： α
l
β
2.关键是找到两个互相垂直的平面。
m
线线垂直；
知识探究（三）平面与平面垂直的性质探究
思考4:若α ⊥β ，过平面α 内一点A 作平面β 的垂线，垂足为B，那么点 B在什么位置？说明你的理由.
否定结论→推出矛盾→肯定结论
直线和平面垂直的性质定理； 两条直线同时垂直于同一个 平面，那么这两条直线平行．
学习了直线与平面垂直的判定定理和性 质定理，我们再来看看点到平面的距离的 定义：
从平面外一点引一个平面的垂线，这个 点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的 距离．
已知：一条直线l和一个平面α行． 求证：直线l上各点到平面α的距离 相等．
证明：过直线l上任意两点A、B分别引平面α 的垂线AA1、
BB1，垂足分别为A1、B1 ∵ AA分析：首先，我们应该明确，点到平面 1⊥α ，BB1⊥α ， 的距离定义。在直线l上任意取两点A、B， ∴ AA1∥BB1（直线与平面垂直的性质定理）． 设经过直线AA1和BB1的平面为β ， 并过这两点作平面α的垂线段，现在只要证 β ∩α ＝A1B1． 明这两条垂线段长相等即可． ∵ l∥α ，∴ l∥A1B1． ∴ AA1=BB1（直线与平面平行的性质定理）即直线上各点到 平面的距离相等．
知识探究（二）平面与平面垂直的性质定理
思考2:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中， 平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为 AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且 都与交线AD垂直，这两条直线与平面 C1 D1 ABCD垂直吗？
B1 C B A A1 D
思考3:黑板所在平面与地面所在平 面垂直，在黑板上是否存在直线与 地面垂直？若存在，怎样画线？