安徽省宿州市2017届高三第一次教学质量检测(期末)文数试题 Word版含答案

宿州市2017届高三第一次教学质量检测
数学（文科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}20A x N x =∈-≤，集合{}
220B x x x =--＜，则A B ⋂=（ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1 C ．{}0,1,2 D ．{}1,0,1,2- 2.已知复数3i
z i
=
+，则复数z 在复平面中对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3.若双曲线2
213
x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．3
4.南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率π的值在3.1415926与3.1415927之间，成为世界上第一把圆周率的值精确到7位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间，至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平.我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及其内切圆随机投掷豆子，在正方形中的80颗豆子中，落在圆内的有64颗，则估算圆周率的值为（ ） A ．3.1 B ．3.14 C.3.15 D ．3.2
5.下列四个函数中，是奇函数且在区间()0,1上为减函数的是（ ）
A ．1
y x
=- B ．y x = C.2log 1y x =- D ．sin y x =-
6.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，12a =且11a -，5a ，55a +成等比数列，则2017a =（ ）
A ．1008
B ．1010 C.2016 D ．2017
7.若变量x ，y 满足约束条件13215x y x x y ⎧⎪
⎨⎪+⎩
≥≥≤，则3z x y =+的最大值为（ ）
A ．4
B ．9 C.12 D ．14
8.已知非零向量a 、b 满足a b ⊥，4a b b -=.设b 与b a -的夹角为θ，则cos θ=（ ）
A ．
14 B ．1
4
-
D
．
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．45 B
．45+
1172
D ．60 10.将函数()2sin cos f x x x =的图像向左平移
12
π
个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的
图像.若()()122f x g x =，则122x x +的最小值为（ ） A ．
6π B ．3π C.2π D ．23
π
11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22a =，()1
211n n n a a -++-=，则40S =（ ）
A ．260
B ．250 C.240 D ．230
12.已知函数()()(
)2
2210log 0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨⎪⎩≤＞，若方程()f x k =有四个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．19,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.19,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．9,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数()sin 1f x x x =+-的图像在0x =处的切线方程为 ．
14.执行如图所示的程序框图，若输出5k =，则输入p 的取值范围为 ．
15.在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，1AB BC ==，CD 锥A BCD -的外接球的体积为 ．
16.已知函数()2x f x e ax =+，若当()0,x ∈+∞时，总有()1f x ＞，则实数a 的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C B =+. （Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）若a =2c =，AC 边的中点为D ，求BD 的长.
18. 宿州市教体局为了了解2017届高三毕业生学生情况，利用分层抽样抽取50位学生数学学业水平测试成绩作调查，制作了成绩频率分布直方图，如图所示，其中成绩分组区间是：
[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100.
（Ⅰ）求图中x 的值；
（Ⅱ）根据直方图估计宿州市2017届高三毕业生数学学业水平测试成绩的平均分； （Ⅲ）在抽取的50人中，从成绩在[)50,60和[]90,100的学生中随机选取2人，求这2人成绩差别不超过10分的概率.
19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，且
2PA AB AC ===，BC =.
（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）如果M 是棱PD ⊥上的点，N 是棱AB 上一点，2AN NB =，且三棱锥N BMC -的体积为
16，求PM MD
的值. 20. 设1F 、2F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=＞＞的左、右焦点，P 是椭圆C 上的点，且
2120PF F F ⋅= ，坐标原点O 到直线1PF 的距离是21
3
OF .
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）过椭圆C 的上顶点B 作斜率为()0k k ＞的直线l 交椭圆C 于另一点M ，点N 在椭圆C 上，且BM BN ⊥，求证：存在11,42k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得2BN BM =.
21. 已知函数()1
ln f x a x x
=+
，()g x bx =，a ，b R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）对于任意[]0,1a ∈，任意[]2,x e ∈，总有()()f x g x ≤，求b 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线112:22x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数，t R ∈），曲线22cos 2
:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩
（θ
为参数，[]0,2θπ∈）.
（Ⅰ）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，求曲线2C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 相交于点A 、B ，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲
设函数()2f x x x a =-+-，x R ∈.
（Ⅰ）求证：当1a =-时，不等式()ln 1f x ＞成立；
（Ⅱ）关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值.
试卷答案
一、选择题
1-5:BACDD 6-10:BCADB 11、12：CB
二、填空题
13.21y x =- 14.(]7,15 15.
92
π
16.[)2,-+∞ 三、解答题
17.解：（Ⅰ）cos sin a b C B =
sin sin cos sin A B C C B ∴=
()
sin sin cos sin B C B C C B ∴+=
cos sin sin B C C B ∴=sin 0C ≠
cos tan B B B ∴=⇒=
B 是三角形的内角，6
B π
∴=
（Ⅱ）()
12BD BA BC =+ ()
2
214
BD BA BC ∴=+
BD ∴=
（其他形式解答可酌情给分） 18.解：
（Ⅰ）由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=，得0.018x =； （Ⅱ）由
450.00610550.00610650.0110750.05410850.01810950.0061074
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
所以估计宿州市2017届高三毕业生成绩的平均分为74
（Ⅲ）由题意知道成绩在[)50,60的学生有3个,分别设为1A ，2A ，3A ；成绩在[]90,100的学生有3个,分别设为1B ，2B ，3B .
随机选取两人有12A A ，13A A ，23A A ,12B B ，13B B ，23B B ，11A B ，12A B ，13A B ,21A B ，22A B ，23A B ,31A B ，32A B ，33A B 共15种情况.这2人成绩差别不超过10分的情况为两人都在一个区
域，而2人成绩都在[)50,60的有12A A ，13A A ，23A A ，3种情况，2人成绩都在[]90,100的有12B B ，13B B ，23B B ，3种情况，故概率为
332
155
+=. 19.解：
（Ⅰ）连结AC ，在ABC ∆中，2AB AC ==，BC =222BC AB AC ∴=+， AB AC ∴⊥．因为AB CD ∥，所以AC CD ⊥．
又因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为AC PA A = ， CD ∴⊥平面PAC ，
CD ⊆ 面PCD
∴平面PCD ⊥平面PAC
（Ⅱ）设M 点到面ABCD 的距离为d 则12
23
BNC s BN CA ∆=
⋅= 由1136N BMC M BNC BNC V V s d --∆===得3
4d =
3
8d DM MD PA PD PM MD ===+ 5
3
PM MD ∴
= 20.解：
（Ⅰ）P 是椭圆C 上的点，且2120PF F F ∙= ，所以2,b P c a ⎛⎫
⎪⎝⎭，又()1,0F c -,
直线1PF 的方程2220b x acy b c -+=
坐标原点O 到直线
1PF 的距离是21
3OF .213c = 42242520c a c a ∴-+=，即422520e e -+=
解方程得e =
e =
（Ⅱ）22
22:12x y C b b
+=，上顶点()0,B b 故直线的方程y kx b =+
()2
22220x kx b b ++-=解得2
412M kb x k =-
+
所以2
412kb
BM k +，
22
144||2112b
b k BN k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==+⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
∵2BN BM =
22
44122
kb b k k ∴++即3222410k k k -+-= 记()322241f x x x x =-+-，
又104f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＜，102f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＞，所以函数的零点在区间11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
∴存在11,42k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得2BN BM =.
21.解：
（Ⅰ）()1ln f x a x x =+
则()()2211
0a ax f x x x x x
-'=-=＞ 当0a ≤时，()0f x '≤恒成立，即()f x 递减区间为()0,+∞，不存在增区间；
当0a ＞时，令()0f x '＞得1x a ＞，令()0f x '＜得1
0x a
＜＜，
∴()f x ∴递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递增区间1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭；
综上：当0a ≤时，()f x 递减区间为()0,+∞，不存在增区间； 当0a ＞时，()f x 递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递增区间1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；
（Ⅱ）令()1ln g a a x bx x =+
-，由已知得只需()10g ≤即1
ln 0x bx x +-≤ 若对任意[]2,x e ∈，1ln 0x bx x +-≤恒成立，即2ln 1
x b x x
+≥ 令()[]()2ln 12,x h x x e x x =
+∈，则()3
ln 2
x x x h x x --'=
设()[]()ln 22,m x x x x x e =--∈，则()1(1ln )ln 0m x x x '=-+=-＜
∴()m x ∴在[]2,e 递减，()()22ln 20m x m =-≤＜即()0h x '＜ ∴()h x ∴在[]2,e 递减∴()()max ln 21224h x h ∴==+即ln 21
24
b +≥ b ∴的取值范围为ln 21,24⎡⎫
++∞⎪⎢⎣⎭
.
22.解（Ⅰ）由2cos 2
2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩消去参数后得到其普通方程为2240x x y -+=，把cos x ρθ=，
sin y ρθ=代入可得4cos ρθ=.
（Ⅱ）由1222x t
y t =+⎧⎨=-⎩
消去参数后得到其普通方程为30x y +-=，而曲线2C 是以()2,0为圆心，
以2为半径的圆.圆心到直线1C
=
，所以弦长2AB ==. 解法2：把112:22x t C y t
=+⎧⎨=-⎩代入2240x x y -+=得281210t t -+=，所以有1232t t +=，121
8t t =，
则
12t t -，
根据直线方程的参数几何意义知12AB t =-.
23.解：（Ⅰ）证明：当1a =-时，()21,1
|2||1|3,1221,2x x f x x x x x x -+-⎧⎪
=-++=-⎨⎪-⎩
≤＜＜≥的最小值为3，则
()ln f x 的最小值为ln 3ln 1e =＞，所以()ln 1f x ＞成立．
（Ⅱ）由绝对值不等式可得()()()222f x x x a x x a a =-+----=-≥，再由不等式()f x a ≥在R 上恒成立，可得2a a -≥，解得1a ≤，故a 的最大值为1.。