第9讲 差分模型的求解
(完整版)差分方程的常见解法
(完整版)差分方程的常见解法差分方程的常见解法差分方程是数学中的一种重要方程类型，常用于描述离散事件系统的发展规律。
在求解差分方程时，我们可以采用以下几种常见的解法。
1. 直接求解法直接求解法是最简单且常用的差分方程求解方法之一。
它的基本思想是通过观察差分方程的规律，找到解的形式，并通过代入验证得到确切的解。
举例来说，对于一阶线性差分方程$y_{n+1} = ay_n + b$，我们可以猜测解的形式为$y_n = c\lambda^n$，其中$c$和$\lambda$为待定常数。
将此解代入方程，再通过已知条件解得$c$和$\lambda$的值，从而得到原差分方程的解。
2. 特征方程法特征方程法是一种常用于求解线性齐次差分方程的方法。
对于形如$y_{n+2} = ay_{n+1} + by_n$的差分方程，我们可以通过构造特征方程来求解。
具体步骤是，我们将差分方程中的项移动到一边，得到$y_{n+2} - ay_{n+1} - by_n = 0$。
然后，假设解的形式为$y_n =\lambda^n$，将其代入方程，得到特征方程$\lambda^2 - a\lambda - b = 0$。
解这个特征方程，得到特征根$\lambda_1$和$\lambda_2$，然后通解的形式为$y_n = c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n$，其中$c_1$和$c_2$为待定常数。
3. Z 变换法Z 变换法是一种广泛应用于差分方程求解的方法，特别适用于线性时不变差分方程。
该方法的基本思想是将差分方程转化为代数方程，并利用 Z 变换的性质求解。
对于差分方程$y_{n+1} = ay_n + b$，通过取 Z 变换，我们可以得到转化后的方程$Y(z) = azY(z) + b \frac{1}{1 - z^{-1}}$，其中$Y(z)$代表$y_n$的Z 变换。
然后，将方程整理，求解得到$Y(z)$，再通过反 Z 变换将其转换为差分方程的解$y_n$。
差分方程的求解方法及其应用
差分方程的求解方法及其应用差分方程是数学中一个比较重要的分支，用于描述离散化的动态系统和过程，广泛应用于物理、工程、生态、经济、金融等领域。
通过离散化，可以将连续的问题转化为离散的数值计算问题，从而可以用计算机进行求解。
本文将介绍差分方程的求解方法及其应用，希望能够对读者有所帮助。
一、差分方程的定义差分方程是指包含有未知函数的离散变量的函数方程。
通俗的说，就是说差分方程用来描述离散的数学模型。
一般的差分方程可以写成如下形式：$$y_{n+1} = f(y_n, y_{n-1}, \cdots, y_{n-k+1}, n)$$其中，$y_n$ 是未知函数在 $n$ 时刻的值，$f$ 是一个给定的函数，$k$ 是差分方程中自变量的个数。
当 $k=1$ 时，常常称为一阶差分方程，如下所示：$$y_{n+1} = f(y_n, n)$$此外还有二阶、三阶等高阶差分方程。
差分方程与微分方程相似，都是用来描述某种动态系统的变化规律，只是微分方程是描述连续变化的模型，而差分方程是描述离散变化的模型。
二、差分方程的求解方法差分方程的求解方法可以分为两类，一类是解析解法，即用数学公式直接求解；另一类是数值解法，即用计算机进行数值计算求解。
1. 解析解法对于一些特殊的差分方程，可以用解析解法求出解析解。
解析解法就是通过数学公式直接求解，得到函数在论域上的解析表达式，从而可以对解析表达式进行分析求得有关该函数的很多重要信息。
以一阶线性差分方程为例，即：$$y_{n+1} = ay_n + b, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其中 $y_0$ 是已知值， $a$ 和 $b$ 是常数。
可以通过数学公式得到该差分方程的解析解：$$y_n = a^ny_0 + b\frac{a^n-1}{a-1}, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其它的高阶差分方程可以运用代数学、矩阵论、微积分等方法求解。
2. 数值解法数值解法是一种通过数值计算来求解差分方程的方法。
求解差分方程的通解
求解差分方程的通解差分方程是微分方程的一种离散形式，是一种常见的数学模型。
在实际问题的建模过程中，差分方程可以用来描述离散的变化规律，求解差分方程的通解可以帮助我们了解系统的整体行为。
差分方程的通解指的是能够满足给定差分方程的所有解的集合。
与微分方程不同，差分方程的解是离散的，它们在连续的时间点上定义。
为了求解差分方程的通解，我们需要找到一般解和特解两部分。
我们来看一下一阶线性差分方程的通解求解方法。
一阶线性差分方程的一般形式为：$$y_{n+1} = a \cdot y_n + b$$其中，$a$和$b$是常数，$y_n$表示第$n$个时间点上的解。
为了求解这个差分方程的通解，我们可以使用递推法。
假设我们已经找到了一个特解$y_p$，它满足差分方程。
我们可以将特解代入差分方程中，然后求解出特解的递推关系式。
这个递推关系式可以用来逐步计算出所有时间点上的解。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设我们要求解差分方程$y_{n+1} = 2 \cdot y_n + 1$的通解。
我们猜测一个特解$y_p = k$，其中$k$是一个常数。
将特解代入差分方程中，得到$k = 2k + 1$。
解这个方程可以得到$k = -1$。
所以我们得到了一个特解$y_p = -1$。
接下来，我们可以使用递推法来求解通解。
根据递推法，我们可以得到递推关系式$y_{n+1} = 2 \cdot y_n + 1$。
我们可以从初始条件$y_0 = c$开始，逐步计算出所有时间点上的解。
通过递推关系式，我们可以得到$y_1 = 2 \cdot c + 1$，$y_2 = 2 \cdot (2 \cdot c + 1) + 1$，依此类推。
所以，差分方程$y_{n+1} = 2 \cdot y_n + 1$的通解可以表示为$y_n = -1 + 2^n \cdot (c + 1)$，其中$c$是一个常数。
以上就是求解一阶线性差分方程通解的一般方法。
第九章 差分方法
差分方程模型的理论和方法青岛建筑工程学院胡京爽引言1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。
通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。
实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。
差分方程模型有着非常广泛的实际背景。
在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。
可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。
差分方程求解
差分方程求解什么是差分方程差分方程是离散时间系统模型中常用的数学工具之一。
它描述了在不同时间点上，系统状态之间的关系，其中系统状态是离散的。
差分方程在许多科学领域都有应用，如物理学、工程学和经济学等。
差分方程可以看作是微分方程在离散时间上的等效形式。
微分方程描述了连续时间系统的动态行为，而差分方程描述了离散时间系统的动态行为。
差分方程通常通过递推关系来表示系统状态之间的转移。
差分方程的一般形式差分方程的一般形式可以表示为：x[n+1] = f(x[n], x[n-1], ..., x[n-k])其中，x[n]表示系统在时间点n的状态，f表示系统状态之间的转移函数，k表示系统的阶数。
差分方程的求解方法1. 递推法递推法是一种直接求解差分方程的方法。
通过已知初始条件x[0], x[1], ..., x[k]，可以逐步递推得到系统在任意时间点上的状态。
递推法的步骤如下：1.根据初始条件，求得x[k+1]；2.迭代计算，依次求得x[k+2], x[k+3], ...。
递推法的优点是简单易用，并且不需要求解复杂的代数方程。
但它的缺点是只能求得系统的局部解，无法得到整个系统的行为。
2. 特征根法特征根法是一种求解差分方程的解析方法。
通过求解差分方程的特征方程，可以得到系统的特征根，进而得到系统的解析解。
特征根法的步骤如下：1.将差分方程转化为对应的特征方程；2.求解特征方程，得到系统的特征根；3.根据特征根的性质，推导得到系统的解析解。
特征根法的优点是能够得到系统的全局解，对于高阶差分方程尤为适用。
但它的缺点是求解过程较为繁琐，需要具备一定的数学知识。
差分方程的应用举例差分方程在许多科学领域都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用举例：1. 自然科学中的应用在物理学和工程学等领域中，差分方程常用于描述动态系统的行为。
例如，可以用差分方程描述弹簧振子的运动过程、电路中电流的变化等。
2. 经济学中的应用在经济学中，差分方程常用于描述经济系统的演化过程。
数学建模中的差分方程算法
数学建模中的差分方程算法在数学建模中，差分方程算法是常用的一种方法。
它可以用来模拟各种现象，例如人口增长、物理运动等。
差分方程算法采用差分逼近的方法来解决连续变量的问题。
本文将介绍差分方程算法的基本原理和应用。
一、差分方程算法的基本原理差分方程算法是在连续变量上进行离散化的方法。
它将一个连续变量的函数f(x)离散化为一个由离散节点组成的序列f(x1),f(x2), …, f(xn)。
这些离散节点通常是等间距的。
通过差分逼近的方法，我们可以将f(x)的导数、二阶导数等进行离散化，从而得到相应的差分方程。
一个一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x,y)如果我们将x、y离散化，可以得到以下的形式：(yi+1-yi)/(xi+1-xi) = f(xi, yi)其中，xi和yi表示第i个离散节点上的值，xi+1和yi+1表示第i+1个离散节点上的值。
这个式子就是一个一阶差分方程。
二、差分方程算法的应用差分方程算法可以用来模拟各种现象。
下面将介绍几个常见的应用。
(一) 人口增长人口增长可以用一个简单的模型来描述：每年有一定比例的人口出生，同时有一定比例的人口死亡。
假设出生率为b，死亡率为d，那么人口增长的速率就是(b-d)N，其中N是当前人口数量。
将时间离散化，可以得到以下的差分方程：Nt+1 - Nt = (b-d)Nt这个式子表示，下一年的人口数量等于当前的人口数量加上人口增长的数量。
每一年人口增长的数量是(b-d)N，其中N表示当前的人口数量。
(二) 物理运动物理运动可以用牛顿第二定律来描述：加速度等于力除以质量。
假设物体的质量为m，力为F，速度为v，物体的位置为x，那么可以得到以下的差分方程：v(t+dt) = v(t) + a(t)dtx(t+dt) = x(t) + v(t)dt + 0.5a(t)dt^2a(t) = F(t)/m这三个式子分别表示，下一时刻的速度等于当前速度加上加速度乘以时间变化量dt；下一时刻的位置等于当前位置加上速度乘以时间变化量dt加上1/2的加速度乘以时间变化量的平方；加速度等于力除以质量。
第9讲-有限差分法(二)
i, j i, j
4
1 n 1 2 ( in1, j in, j 1 in h Fi , j ) 1, j i , j 1
ω =1，就退回到高斯-赛德尔迭代法， ω>2，迭代过程变得极 其不稳定，通常1<ω<2，能提高收敛速度。 ω的最佳选择与具 体问题和离散化的情况有关。 对第一类边值问题： 若正方形场域由正方形网格剖分（每 边节点数为p+1），则最佳收敛因子 若长方形场域由正方形网格剖分（两 边节点数分别为p，q，且都大于 15），则最佳收敛因子
离散方程组的系数一般都是有规律的，且各个方 程都很简单，包含的项数不多（取决于差分计算格 式，每个方程待求量的项数不超过5项）。
3
各离散节点上的方程组形式 （节点顺序按坐标先从y轴增 加，再x轴增加，即从下到 上，从左到右，先列后行） 排列。
2 4 h Fi , j 1 i 1, j 1 i, j i 1, j 1 i , j 2 i , j 1 2 i 1, j i , j 1 i 1, j i , j 1 4 i , j h Fi , j 2 i 1, j 1 i , j 2 i 1, j 1 i , j 4 i , j 1 h Fi , j 1
1 4 i 2,... M, j 2,...q 1,q 1,... N 1 4 j 2,...q 1,q 1,... N
对称轴
1, j (2 2, j 1, j 1 1, j 1 )
介质分界面 i ,q 1 (i 1,q 2 i ,q1 i 1,q 2 r i ,q1 )
15
差分法计算公式解读
差分法计算公式解读
差分法是一种常用的数值计算方法，用于求解函数的导数和微分方程。
它是利
用函数在两个相邻点上的函数值之差来近似表示导数的方法。
差分法的计算公式如下：
f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h
其中，f'(x)表示函数f在点x处的导数值，h表示两个相邻点的间距。
这个计算公式可以解读为：函数f在点x处的导数值可以近似等于函数在x+h
处和x处的函数值之差除以间距h。
举个例子来说，如果我们希望计算函数f(x)=x^2在x=3处的导数值，可以使用
差分法来进行估算。
假设我们选择间距h=0.1，那么根据计算公式，我们可以得到：f'(3) ≈ (f(3+0.1) - f(3)) / 0.1
= (9.21 - 9) / 0.1
= 2.1
所以，根据差分法的计算公式，我们可以估算出函数f(x)=x^2在x=3处的导数
值约为2.1。
差分法的基本思想是利用函数值在相邻点上的差分来近似表示导数，通过选择
适当的间距h，我们可以得到较为准确的结果。
然而，需要注意的是，选取的间距
h过大或过小都会影响到近似结果的精度，因此在实际应用中需要进行合理选择。
差分法是一种简单而有效的数值计算方法，在数学和科学工程领域广泛应用。
通过理解差分法的计算公式和原理，我们可以更好地理解和应用该方法，以求解函数的导数或解微分方程。
差分方程和差分方程组的求解方法
差分方程和差分方程组的求解方法差分方程(difference equation)是一类离散时间的数学方程，它的形式是$$f(x_{n}) = g(x_{n-1},x_{n-2},\dots,x_{n-k})$$其中，$f$ 和 $g$ 是给定的函数，$x_n$ 表示第 $n$ 个时间点上的值，$k$ 是差分方程的阶数。
差分方程可以看做是差分格式(discretization scheme)的离散时间版本，它在数学建模中有着广泛的应用，特别是在自然科学、工程科学和金融学等领域。
在实际问题中，常常会遇到包含多个变量的复杂差分关系，这时候就需要考虑差分方程组(difference equation system)，它可以写成如下形式：$$\mathbf{x}_n = \mathbf{g}(\mathbf{x}_{n-1},\mathbf{x}_{n-2},\dots,\mathbf{x}_{n-k})$$其中，$\mathbf{x}_n$ 是一个 $m$ 维列向量，表示第 $n$ 个时间点上所有变量的取值，$\mathbf{g}$ 是一个$m$ 维列向量函数，它的每个分量 $g_i$ 表示与 $\mathbf{x}$ 的第 $i$ 个分量有关的函数。
如果差分方程组是非线性的，那么它的求解通常需要使用数值方法，比如欧拉法(Euler method)、龙格-库塔方法(Runge-Kutta method)、辛普森法(Simpson's rule)等数值积分方法。
接下来我们将介绍这些常用的求解方法。
欧拉法欧拉法(Euler method)是一种初值问题的数值解法，它的核心思想是将连续的问题离散化，然后用迭代的方式在离散时间上逐步逼近真实解。
对于一阶差分方程$$y_n = f(y_{n-1},t_{n-1},\Delta t)$$欧拉法的迭代公式可以写成如下形式：$$y_{n+1} = y_n + \Delta t f(y_n,t_n,\Delta t)$$其中，$\Delta t$ 表示时间间隔，它可以取足够小的正数以保证求解精度。
差分方程求解
差分方程求解什么是差分方程？差分方程是一种求解离散时间系统的数学工具。
与常微分方程相似，差分方程也是描述系统变化的方程，只不过它适用于离散时间点上的模型。
差分方程的核心思想是通过比较相邻时间点上的状态值来描述系统的变化规律。
差分方程可以用来对许多现实世界中的问题建模，例如人口增长模型、物理系统的离散模拟等等。
对差分方程进行求解，可以得到系统随时间变化的解析解或数值解。
差分方程的一般形式差分方程的一般形式可以表示为：x(t+1) = f(x(t))其中，x(t)表示系统在时间点t的状态，x(t+1)表示系统在时间点t+1的状态，f为状态转移函数，描述了系统从t到t+1的映射关系。
差分方程的求解方法差分方程的求解方法可以分为解析解法和数值解法。
解析解法解析解法通过对差分方程进行变换、代换和求解等数学方法，得到其解析解。
解析解通常是对问题的一种精确描述，可以给出系统在任意时间点上的状态。
常见的解析解法包括递推法、特征方程法和变换法等。
递推法通过逐个计算时间点上的状态值，从而得到整个系统的演化过程。
特征方程法则将差分方程转化为线性代数方程组，通过求解特征值和特征向量得到解析解。
变换法通过对差分方程进行变换，将其转化为已知的方程形式，从而简化求解过程。
数值解法数值解法通过离散化差分方程，近似求解系统的状态值。
数值解法通常需要选择合适的离散化方法和数值计算算法，同时需要注意误差控制和稳定性等问题。
常见的数值解法有欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过近似计算状态转移函数的值，从而得到系统在每个时间点上的状态。
数值解法的结果通常是离散的，需要对结果进行插值和拟合等处理，以得到系统在连续时间上的状态。
结论差分方程是一种描述离散时间系统变化的数学工具。
对差分方程进行求解，可以得到系统在不同时间点上的状态。
解析解法和数值解法是求解差分方程的主要方法。
解析解法通过数学变换和求解，得到系统的精确解析解；数值解法通过近似计算，得到系统的数值解。
差分法的原理
差分法的原理差分法是一种用来求解差分方程的数值方法，它通过将连续函数的微分近似为离散函数的差分，从而将微分方程转化为差分方程。
差分法在科学计算中具有广泛的应用，尤其在数值计算和数值模拟领域。
差分法的基本原理是将函数的微分近似为函数在某个点上的差分。
函数的微分表示了函数在某一点上的变化率，通过差分法，我们可以用函数在相邻点上的函数值之差来近似函数的变化率。
差分法的基本思想是将自变量按照一定的步长进行离散化，然后用离散点上的函数值之差来近似函数的导数。
差分法的具体实现包括以下几个步骤：1. 确定离散化的步长：在差分法中，需要将自变量按照一定的步长进行离散化。
步长的选择需要满足一定的条件，比如步长不能太大，否则会引入较大的误差；步长也不能太小，否则计算量会增大。
2. 计算差分点的函数值：根据离散化的步长，将自变量离散化为一系列的点，然后计算这些点上的函数值。
函数的具体形式需要根据实际问题来确定。
3. 计算差分近似值：根据差分法的原理，可以利用离散点上的函数值之差来近似函数的导数。
常见的差分近似方法包括前向差分、后向差分和中心差分。
4. 求解差分方程：通过差分近似值，将微分方程转化为差分方程。
差分方程通常采用递推的方式进行求解。
差分法的优点是简单易懂，可以有效地近似连续函数的导数，并将微分方程转化为差分方程进行求解。
差分法的缺点是精度相对较低，特别是在离散化步长较大的情况下。
此外，差分法只能处理均匀网格上的问题，对于非均匀网格上的问题则无法有效应用。
差分法在科学计算中有广泛的应用。
例如，在数值微分中，可以利用差分法来近似函数的导数和高阶导数；在数值求解微分方程中，可以使用差分法来将微分方程转化为差分方程，然后用数值方法求解。
此外，差分法还可以用于数值模拟中的离散化处理，如有限元方法、有限差分法等。
总之，差分法是一种重要的数值方法，通过将函数的微分近似为离散函数的差分，可以将微分方程转化为差分方程进行求解。
数学建模方法之差分方程模型
数学建模方法之差分方程模型差分方程模型是数学建模中常用的一种方法，它基于差分方程来描述问题，并用差分方程来求解问题。
所谓差分方程，是指用差分代替微分的方程，它是一种离散的模型。
在实际问题中，很多情况下，并不能直接通过微分方程来描述问题，而差分方程模型则可以通过离散化的方法来近似地描述问题。
差分方程模型的优点之一是可以适用于离散化的数据，对于实际问题的离散化模型建立是非常有帮助的。
差分方程模型的另一个优点是可以通过数值方法来求解，不需要进行繁琐的解析推导，因此适用于复杂问题的求解。
差分方程模型的基本形式为：yn+1 = fn(yn, yn-1, ..., yn-k)其中，yn表示第n个时刻的解，fn是一个给定的函数，表示通过前k个时刻的解来计算第n+1个时刻的解。
这个方程是离散的，通过已知的初始条件来逐步递推获得结果。
差分方程模型的适用范围非常广泛，可以用于描述和预测各种动态过程。
例如，差分方程模型可以用来描述人口增长模型、生态系统模型、传染病模型等等。
在这些例子中，差分方程模型可以通过已知的数据和初始条件来预测未来的发展趋势。
差分方程模型的建立步骤主要包括以下几个方面：1.确定问题的描述和目标：明确问题的背景和目标，确定需要建立差分方程模型的原因和用途。
2.确定模型的变量和参数：根据实际问题，确定需要用到的变量和参数。
3.确定差分方程的形式和函数：根据问题的特点和要求，选择合适的差分方程形式和函数。
这部分需要结合实际问题和数学方法来确定。
4.确定初始条件和边界条件：确定差分方程模型的初始条件和边界条件。
这部分是求解差分方程的前提条件。
5.差分方程的求解和分析：通过数值方法求解差分方程，得到数值解，并对结果进行分析和解释。
数学建模差分法求解优化问题
数学建模差分法求解优化问题
数学建模中的优化问题可以用差分法求解。
差分法又分为有限差分法和无限差分法两种。
有限差分法是将优化问题离散化为网格的形式，通过有限差分近似计算函数的导数，从而求解极值点。
主要步骤如下：
1. 将优化问题的变量范围离散化为网格形式，得到离散节点。
2. 在离散节点上计算目标函数的值。
3. 在离散节点上计算目标函数的一阶导数值。
4. 利用差分近似法，计算目标函数的二阶导数值。
5. 利用一阶导数和二阶导数信息，通过牛顿法或拟牛顿法等算法求解极值点。
无限差分法是将优化问题转化为泛函方程，通过差分逼近近似计算泛函的导数，从而求解泛函的极值。
主要步骤如下：
1. 将优化问题转化为泛函方程形式。
2. 在泛函方程上进行差分逼近，得到近似的泛函导数。
3. 利用泛函导数信息，通过求解泛函导数为零的方程，求解泛函的极值点。
需要注意的是，差分法求解优化问题是一种近似方法，其精度受离散化和差分逼近的影响，可能存在误差。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的差分方法和参数，以及结合其他优化算法来提高求解精度和效率。
第9讲 差分模型的求解
x1 (k 1) 0.6 x1 (k ) 0.2 x2 (k ) 0.1x3 ( k ) x2 (k 1) 0.3 x1 (k ) 0.7 x2 (k ) 0.3 x3 (k ) x (k 1) 0.1x (k ) 0.1x (k ) 0.6 x (k ) 1 2 3 3
线性常系数差分方程组 汽车租赁公司的运营 一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便 顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任 意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租 赁期内在A市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为 0.6,0.3,0.1;在B市租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1;C市 租赁的归还比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将 600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽车 数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后 的变化趋势。
X2=p*(x1); for k=3:n
X(k)=p*(xk-1)+q*(xk-2);
end
K=(0:20)’; Y1=zwfz(100,21,0.18);
Y2=zwfz(100,21,0.19);
Y3=zwfz(100,21,0,20); Round([k,y1’,y2’,y3’]) Plot(k,y1,k,y2,’:’,k,y3,’o’), Gtext(‘b=0.18’),gtext(‘b=0.19’),gtext(‘b=0.20’)
第九讲 差分模型的求解
基础教研部：夏冰
用Matlab求解差分方程问题
一阶线性常系数差分方程
高阶线性常系数差分方程 线性常系数差分方程组
例1、 某种货币1年期存款的年利率是r ，现存入 M元，问年后的本金与利息之和是多少？
差分方程求模和相位
差分方程是一种数学表达式，用于描述信号在不同时间点上的变化情况。
在信号处理中，差分方程常用于描述周期性信号的变化，例如正弦波、余弦波等。
对于差分方程的模和相位，可以通过以下步骤进行计算：
1、差分方程求导：首先，对差分方程进行求导，得到一个新的方程，这个新的方程就是原差分方程的导数。
2、求导后的方程求模：对求导后的差分方程再次求导，得到的新方程就是原差分之间的差分。
这个差分就是模，它表示的是信号的幅度或强度。
3、求导的方程求幅角：对求导后的差分方程再次求导，得到的新方程就是原差分之间的差分。
这个差分就是幅角，它表示的是信号的相位或角度。
4、模和相位的计算：根据上述步骤，可以得到差分方程的模和相位。
模是信号幅度的变化情况，相位是信号在不同时间点上的角度变化情况。
请注意，这只是一个基本的差分方程求模和相位的计算方法，实际应用中可能需要根据具体情况进行调整。
同时，对于复杂的差分方程，可能需要使用更高级的数学工具或算法来进行求解。
第九章 偏微分方程差分方法
第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。
由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。
偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。
差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。
本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。
当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。
椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。
满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。
差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性常系数差分方程组 汽车租赁公司的运营 一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便 顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任 意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租 赁期内在A市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为 0.6,0.3,0.1;在B市租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1;C市 租赁的归还比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将 600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽车 数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后 的变化趋势。
模型求解
A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6]; >> n=10; >> for k=1:n x(:,1)=[200,200,200]';
x(:,k+1)=A*x(:,k);
end >> round(x)
作图观察数量变化趋势
300
plot(k,y2,':') >> plot(k,y2,'--')
>> plot(k,y2,'r')
>> plot(k,y2,'y') >> plot(k,y2,'y',k,y1,':') >> plot(k,y2,k,y1,':')
高阶线性常系数差分方程
如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决于第k时段变 量Xk，而且与以前时段变量有关，就要用高阶差分 方程来描述.
记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r，则 第k+1年鹤的数量为 Xk+1=(1+r)Xk k=0,1,2··· ··· 已知X0=100, 在较好，中等和较差的自然环境 下 r=0.0194, －0.0324,和－0.0382,利用Matlab编程， 递推20年后观察沙丘鹤的数量变化情况.
模型求解 首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n X(k+1)=a*X(k); end
x1 ( k 1) 0.6 x2 (k 1) 0.3 x ( k 1) 0.1 3
0.2 0.7 0.1
0.1 x1 ( k ) 0.3 x2 ( k ) 0.6 x3 ( k )
用矩阵表示 x (k 1) 0.6 0.2 0.1 x ( k ) 1 1
x2 (k 1) 0.3 0.7 0.3 x2 ( k ) x (k 1) 0.1 0.1 0.6 x ( k ) 3 3
X2=p*(x1); for k=3:n
X(k)=p*(xk-1)+q*(xk-2);
end
K=(0:20)’; Y1=zwfz(100,21,0.18);
Y2=zwfz(100,21,0.19);
Y3=zwfz(100,21,0,20); Round([k,y1’,y2’,y3’]) Plot(k,y1,k,y2,’:’,k,y3,’o’), Gtext(‘b=0.18’),gtext(‘b=0.19’),gtext(‘b=0.20’)
Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
假设X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20
Function x=zwfz(x0,n,b) C=10;a1=0.5;a2=0.25; p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;
X1=x0;
可见充分长时间后3个城市汽车数量趋于180，300，120
思考：
结果与初始条件是否有关?
600
x(:,1)=[600,0,0]; round(x'); plot(k,x),grid
500
400
300
200
100Biblioteka 0012
3
4
5
6
7
8
9
10
若最开始600辆汽车都在A市，充分长时间后， 各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关。
自然界的伟大的书是用数学语言写成的。
——伽利略
模型建立 记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬 天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活 过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽 率a1，2岁种子发芽率a2； 设c,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件； 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关， 由Xk-1决定的部分是 a1bcXk-1, 由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2 Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
在command窗口里调用sqh函数
k=(0:20)'; >> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])
plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下画图
第九讲 差分模型的求解
基础教研部：夏冰
用Matlab求解差分方程问题
一阶线性常系数差分方程
高阶线性常系数差分方程 线性常系数差分方程组
例1、 某种货币1年期存款的年利率是r ，现存入 M元，问年后的本金与利息之和是多少？
解：Xk+1=(1+r)Xk , k = 0 , 1 , 2
·· ·· ·
以k=0时X0=M代入，递推n次可得n年后本息为
0.1 A 0.3 0.6 0.7 B C
A
0.2
B
0.1
C
假设在 每个租 赁期开 始能把 汽车都 租出去， 并都在 租赁期 末归还
A
B
0.3
0.6
C
0.1
模型建立 记第k个租赁期末公司在ABC市的汽车数量分别 为x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1个租赁期开始各个城 市租出去的汽车数量），很容易写出第k+1个租赁期 末公司在ABC市的汽车数量为(k=0,1,2,3·· ·)
k=0:10; plot(k,x) ，grid gtext('x1(k)'), gtext('x2(k)'),
280 260 240 220 200 180 160 140 120
x2(k)
gtext('x3(k)')
x1(k)
x3(k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
一年生植物的繁殖
一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种， 没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活过 冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花， 产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过 一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然 后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年， 而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建 立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能 一直繁殖下去的条件。
xn 1 r M
n
例2、污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低 一个固定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低 一半？ 解：记第k天的污水浓度为Ck, 则第k+1天的污水浓度为
ck+1=(1－q)ck,k=0,1,2,·· ··
从k=0开始递推n次得
cn (1 q) c0
n
以Cn=C0 2代入即求解。
/
一阶线性常系数差分方程 濒危物种的自然演变和人工孵化问题
Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环 境下，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环 境下年均增长率分别为 －3.24% 和－3.82%，如果 在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数 量变化规律的模型，并作数值计算。
模型建立
x1 (k 1) 0.6 x1 (k ) 0.2 x2 (k ) 0.1x3 ( k ) x2 (k 1) 0.3 x1 (k ) 0.7 x2 (k ) 0.3 x3 (k ) x (k 1) 0.1x (k ) 0.1x (k ) 0.6 x (k ) 1 2 3 3