最新离散数学期末考试题(附答案和含解析3)

最新离散数学期末考试题(附答案和含解析3)2.设集合A={1，2，3}，下列关系R 中不．是等价关系的是（ D ） A.R={<1，1>，<2，2>，<3，3>}； B.R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<3，2>，<2，3>}；C. R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<1，2>，<2，1>，<1，3>，<3，1>，<2，3>，<3，2>}；D. R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<1，2 >}.3．在公式（x ∀）F （x ，y ）→（∃ y ）G （x ，y ）中变元x 是（ B ）A ．自由变元；(前面无∀或∃量词)B ．既是自由变元，又是约束变元；C ．约束变元；(前面有∀或∃量词)D ．既不是自由变元，又不是约束变元.4．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（ C ）A ．1∈A ；B ．{1，2，3}⊆A ；C ．{{4，5}}⊆A ；D ．∅∈A.5.设论域为{l ，2}，与公式)()(x A x ∃等价的是( A )A.A (1)∨A (2)；B. A (1)→A (2)；C.A (1)∧A (2)；D. A (2)→A (1).6.一棵树有5个3度结点，2个2度结点，其它的都是l 度结点，那么这棵树的结点数是( B )A.13 ；B.14 ；C.16 ；D.17 .//设一度结点数为n ，则有：5×3+2×2+n=2[(5+2+n)-1]解得：n=7， 所以这棵树的结点数为：m=5+2+7=14.7．设A 是偶数集合，下列说法正确的是（ A ）A ．<A ，+>是群；B ．<A ，×>是群；C ．<A ，÷>是群；D ．<A ，+>， <A ，×>，<A ，÷>都不是群.8．下列图是欧拉图的是（ D ）10.下面不满足．．．结合律的运算是( C ) A.),min(b a b a = ； B.),max(b a b a = ； C.)(2b a b a +=；D.ab b a 2= 二、填空题12.设f ∶R →R ，f(x)=x+3，g ∶R →R ，g(x)=2x+1，则复合函数=))(g (f x 42+x ， =)x )(f (g 72+x//=))(g (f x f(g(x))=f(2x+1)=(2x+1)+3=2x+4//=))(f (g x =g(f(x))=g(x+3)=2(x+3)+1=2x+7//备注：f g=f g(x)=g(f(x))13．设S 是非空有限集，代数系统<P （S ），∪>中，其中P （S ）为集合S 的幂集，则P （S ）对∪运算的单位元是 φ，零元是 S .14．设<A ，≤>是格，其中A={1，2，3，4，6，8，12，24}，≤为整除关系，则3的补元是 8 . //（注：什么是格？ 即任意两个元素有最小上界和最大下界的偏序）15.命题公式)(Q P P ∧→的成真指派为 00，01，11 ，成假指派为 10 .16.设A={<2，2>，<3，4>，<3，5>}，B={<1，3>，<2，5>，<3，4>}，那么dom (A ∩B)= {3} ， ran (A ∪B)= {2，3，4，5}//关系R 的定义域：domR={∃x|y(<x ，y>∈R)}，即R 中所有有序对的第一元素构成的集合. 关系R 的值域：ranR={∃y|x(<x ，y>∈R)}，即R 中所有有序对的第二元素构成的集合. 关系R 的域：fldR=domR ∪ranR17. 在根树中，若每一个结点的出度 最多为（或≤）m ，则称这棵树为m 叉树.如果每一个结点的出度 都或0，则称这棵树为完全m 叉树.如果这棵树的叶 都在同一层 ，那么称为正则m 叉树.>是一个群，其中Zn={0，1，2，……，n-1}，n y x y x mod )(+=⊕，则在 <Z6， ⊕>中，1的阶是 6 ，4的阶是 3 . //单位元是e =019. n 点完全图记为K n ，那么当 n ≤ 4 时，K n 是平面图，当 n ≥ 5 时，K n 是非平面图.20. 若图中存在 回路 ，它经过图中所有的结点恰好 一次 ，则称该图为汉密尔顿图(哈密顿图) . // 欧拉图三、计算题21. 求命题公式)()(P Q Q P ∨⌝→→⌝的主析取范式.解： )()(P Q Q P ∨⌝→→⌝⇔)()(P Q Q P ∨⌝→∨⇔)()(P Q Q P ∨⌝∨∨⌝⇔)()(P Q Q P ∨⌝∨⌝∧⌝⇔))(())(()(Q Q P Q P P Q P ⌝∨∧∨⌝∧⌝∨∨⌝∧⌝⇔))()()()()(Q P Q P Q P Q P Q P ⌝∧∨∧∨⌝∧⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔))()()(Q P Q P Q P ∧∨⌝∧∨⌝∧⌝=111000m m m ∨∨=∑)3,2,0(22. 设A ={1，2，3，4}，给A 上的二元关系R ={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>}，求R的传递闭包.解：由R ={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>}，得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001010010R M ， 从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000101001012MR ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000010110103MR ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000101001014MR ，于是 2R ={<1，1>，<1，3>，<2，2>，<2，4>}，3R ={<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，3>}，4R ={<1，1>，<1，3>，<2，2>，<2，4>}=2R ，故432)(R R R R R t ==｛<1，1>，<1，2>，<1，3>，<1，4>，<2，1>，<2，2>，<2，3>，<2，4>，<3，4>}23.设A={1，2，3，4，6，8，12，24}，R 为A 上的整除关系，试画<A ，R>的哈斯图，并求A 中的最大元、最小元、极大元、极小元.解：<A ，R>的哈斯图如右图所示：A 中的最大元为24、最小元为1、极大元为24、极小元为1.24.求下图所示格的所有5元子格.解：所有5元子格如下：26.用矩阵的方法求右图中结点v 1，v 3之间长度为2的路径的数目.//教材P289、290所以，图中结点v 1，v 3之间长度为2的路径的数目有3条.//备注：邻接矩阵中所有元素之和等于边数.通路（v1->v1，v2，v3，v4…）与回路（v1->v1，v2->v2，v->v3…）四、证明题27. 在整数集Z 上定义：Z ,,1∈∀++=b a b a b a ，证明：<Z ， >是一个群.证明：（1）对于Z b a ∈∀,，有Z 1∈++=b a ba ，所以运算 是封闭的.（2）对于Z c b a ∈∀,,，有 2c b a 1c 1b a c )1()(+++=++++=++= b a c b a ，2c b a 11c b a )1()(+++=+++++=++=c b a c b a ，即)()(c b a c b a =，故运算 是可结合的.（3）1-是单位元，因为Z a ∈∀，a a a=+-=-11)1( ，a a a =++-=-11)1( . （4）Z a ∈∀，由112)2(-=+--=--a a a a ，112)2(-=++--=--a a a a ，可知 a --2是a 的逆元.综上所述，<Z ， >是一个群.28. 设R 为N ×N 上的二元关系，N N d c b a ⨯>∈<><∀,,,，d b d c R b a =>⇔<><,,，证明R 为等价关系.证明：因为N N b a ⨯>∈<∀,，b b =，所以><><b a R b a ,,，故R 具有自反性. N N d c b a ⨯>∈<><∀,,,，若><><d c R b a ,,，则d b =，即b d =，故><><b a R d c ,,，所以R 具有对称性.N N f e d c b a ⨯>∈<><><∀,,,,,，若><><d c R b a ,,，><><f e R d c ,,， 则d b =，f d =从而f b =，故><><f e R b a ,,，所以R 具有对称性.综上所述，R 为等价关系.五、综合应用题29．在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个在学校读书的人都获得知识.所以如果没有人获得知识就没有人在学校读书.（个体域：所有人的集合）证明：设S （x ）:x 是 在学校读书的人， G （x ）：x 是获得知识的人.前提：（x ∀）))()((x G x S →；结论：→∃⌝)()(x G x )()(x S x ∃⌝推理过程如下：（1）（x ∀）))()((x G x S → P（2）)()(c G c S → US （1）（3）)()(x G x ∃⌝ P （附加前提）（4）)()(x G x ⌝∀ T(3)E(5))(c G ⌝ US(4) (6))(c S ⌝ T(2)(5)I (7) )()(x S x ⌝∀ UG(6)(8) )()(x S x ∃⌝ T(7)E。