1.1.2弧度制2010.3.4

弧度制
在平面几何中研究角的度量,当时是用度做 在平面几何中研究角的度量, 单位来度量角, 的角是如何定义的? 单位来度量角,1 的角是如何定义的?
我们把用度做单位来度量角的制度叫做 角度制, 角度制,在数学和其他许多科学研究中还要 经常用到一种度量角的制度—弧度制 弧度制, 经常用到一种度量角的制度 弧度制,它是 如何定义呢? 如何定义呢?
写出一些特殊角的弧度数
角 度 弧 度
0
30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
0
π π 6 4
3π π π 2π 3π 5π π π 2 2π 3 2 3 4 6
正角 零角 负角 正实数 零 负实数
练习3:用弧度表示: 练习 :用弧度表示: (1)终边在 轴上的角的集合 终边在x轴上的角的集合 终边在 轴上的角的集合;
1 360
所对的圆心角(或该弧) 所对的圆心角(或该弧)
小结
π ( 2)"角化弧"时,n 乘以 ) 角化弧" 将 180 180
将 α乘以 (3)弧长公式:l = a r )弧长公式: (1) 180 ) 弧度; = π 弧度; ;"弧化角"时, 弧化角"
π
;
1 1 2 扇形面积公式: 扇形面积公式: = lr = r α(其中 l为圆心角α 所 S 2 2
例1把67°30′化成弧度. (1)精确值 (2)精确到0.001 的近似值
例2 把 3.14 rad化成 度.(精确到0.001)
练习1:把下列角度化为弧度: 练习 :把下列角度化为弧度: (1)22030'; (2)-2100
练习2: 把下列弧度化为度: π 4π (1) ; (2) 12 3
是半径, 是弧长, 0 其中R是半径, l是弧长, α( < α < 2π) 为圆心角, 为圆心角, S是扇形面积.
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以"弧度"为单位度量角的制度,角度制 弧度制是以"弧度"为单位度量角的制度, 是以" 为单位度量角的制度; 是以"度"为单位度量角的制度; ②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧) 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角( 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角 或该弧) 的大小, 的大小,而 1 是圆的 的大小; 的大小; 不论是以"弧度"还是以" ③不论是以"弧度"还是以"度"为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值. 个与半径大小无关的定值.
弧度制定义
我们把等于半径长 我们把等于半径长 圆弧所对的 所对的圆心 的圆弧所对的圆心 叫做1弧度的角 的角. 角叫做1弧度的角.
为什么可以用弧长与 其半径的比值来度量 角的大小呢? 角的大小呢?即这个 比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢? 的半径大小无关呢?
弧度制—— 弧度制
一种新的度量角的单位制
B
2r=AB B
A O A
B
2r=AB 2r=AB2r=AB=AB 2r
B
B
2r=AB
r
O
O
A
A O
O A O
AO
A O
A
O
O A
A
A
AБайду номын сангаас
角度制与弧度制的换算
正角的弧度数是一个正数, 正角的弧度数是一个正数,负角 数是一个负数, 的弧度 数是一个负数,零角的弧 度数是0. 度数是0.
l α= r 正负
l | α |= r
角度制与弧度制的换算
用"弧度"与"度"去度量每一个角 弧度" 除了零角以外, 时,除了零角以外,所得到的量数都 是不同的, 是不同的,但它们既然是度量同一个 角的结果,二者就可以相互换算. 角的结果,二者就可以相互换算.
若弧是一个整圆,它的圆心角是周角,其弧 若弧是一个整圆,它的圆心角是周角, 度数是 2π ,而在角度制里它是360 , 因此 360 = 2π rad .
{α α = kπ , k ∈ Z }
(2)终边在 轴上的角的集合. 终边在y轴上的角的集合 终边在 轴上的角的集合.
{α α =
π
2
+ kπ , k ∈ Z }
例3.利用弧度制证明下列关于扇形的 利用弧度制证明下列关于扇形的 公式: 公式:
(1)l = αR; 1 2 ( 2 ) S = αR ; 2 1 ( 3 )S = lR. 2
对的弧长, 为圆心角的弧度数, 对的弧长,α 为圆心角的弧度数, 为圆半径.) r 为圆半径.)
�
B
定义: r 定义:长度等于半 r r r r r=ABr=AB r r=ABr rr r r=AB r=AB 径长的弧长所对 2rad r=AB 1rad r r rr rA r r O r r r Or r r 的圆心角为1 的圆心角为1弧度 的角. 的角.
r r
B B B B B
B
r=AB
O
B