高一B10:任意性与存在性问题综合
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类型一 “x ∀,使得()()f x g x >”与“x ∃,使得()()f x g x >”的
(1)x ∀,使得()()f x g x >,只需()()()min min 0h x f x g x =->⎡⎤⎣⎦. (2)x ∃,使得()()f x g x >,只需()()()max max 0h x f x g x =->⎡⎤⎣⎦.
类型二 “若1122x D x D ∃∈∃∈,,,使得()()12f x g x =”与“1122x D x D ∀∈∃∈,,使
()()12f x g x =”的辨析
(1) 1122x D x D ∃∈∃∈,,使得()()12f x g x =等价于函数()f x 在1D 上的值域A 与()g x 在2D 上的值域B 的交集不是空集,即A B ≠∅,如图③.其等价转化的目标是两个函数有
相等的函数值.
(2) 1122x D x D ∀∈∃∈,,使得()()12f x g x =等价于函数()f x 在1D 上的值域A 是()g x 在2D 上的值域B 的子集,即A B ⊆,如图④.其等价转化的目标是函数()y f x =的值域都在函数()y g x =的值域之中.
说明:图③,图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y 轴上的投影.
类型三()(),f x g x 是闭区间D 上的连续函数,“12,x x D ∀∈,使得()()12f x g x >”与“12,x x D ∃∈,使得()()12f x g x >”的辨析
(1) ()(),f x g x 是在闭区间D 上的连续函数且12,x x D ∀∈,使得()()12f x g x >,等价于()()min max f x g x >.其等价转化的目标是函数()y f x =的任意一个函数值均大于函数
()y g x =的任意一个函数值.如图⑤.
(2) 12,x x D ∃∈,使得()()12f x g x >,等价于()()max min f x g x >.其等价转化的目标是函数()y f x =的某一个函数值大于函数()y g x =的某些函数值.如图⑥.
类型四 “1122,x D x D ∀∈∃∈,使()()12f x g x >”与“1122,x D x D ∃∈∀∈,使
()()12f x g x >”的辨析
(1) 1122,x D x D ∀∈∃∈,使()()12f x g x >,等价于函数()f x 在1D 上的最小值大于()g x 在2D 上的最小值,即()()min min f x g x >.其等价转化的目标是函数()y f x =的任意一个函数值大于函数()y g x =的某一个函数值.如图⑦.
(2) 1122,x D x D ∃∈∀∈,使()()12f x g x >,等价于函数()f x 在1D 上的最大值大于()g x 在2D 上的最大值,即()()max max f x g x >.其等价转化的目标是函数()y f x =的任意一个函数值小于函数()y g x =的某一个函数值.如图⑧.
[山西大学附中2014-2015学年高一第一学期12月(总第三次)月数学试题]已知函数
2()365f x x x =--.
(1)设2
()()2g x f x x mx =-+,其中m R ∈,求g()x 在[]1,3 上的最小值;
(2)若对于任意的[]1,2a ∈,关于x 的不等式2()(26)f x x a x a b ≤-+++在区间[]1,3上恒成立,求实数b 的取值范围.
[山西大学附中2017-2018学年高一第一学期12月(总第三次)月数学试题]已知定义在R
上的函数()f x 满足()()22f x f x +=,且当[]2,4x ∈时, ()224,232,34x x x f x x x x
-+≤≤=+<≤⎧⎪
⎨⎪
⎩,
()1g x ax =+,对任意[]12,0x ∈-,存在[]22,1x ∈-使得()()21g x f x =,则实数a 的取
值范围为________.