高一B10：任意性与存在性问题综合

类型一 “x ∀，使得()()f x g x >”与“x ∃，使得()()f x g x >”的

(1)x ∀，使得()()f x g x >，只需()()()min min 0h x f x g x =->⎡⎤⎣⎦. (2)x ∃，使得()()f x g x >，只需()()()max max 0h x f x g x =->⎡⎤⎣⎦.

类型二 “若1122x D x D ∃∈∃∈，，，使得()()12f x g x ＝”与“1122x D x D ∀∈∃∈，，使

()()12f x g x ＝”的辨析

(1) 1122x D x D ∃∈∃∈，，使得()()12f x g x ＝等价于函数()f x 在1D 上的值域A 与()g x 在2D 上的值域B 的交集不是空集，即A B ≠∅，如图③.其等价转化的目标是两个函数有

相等的函数值．

(2) 1122x D x D ∀∈∃∈，，使得()()12f x g x ＝等价于函数()f x 在1D 上的值域A 是()g x 在2D 上的值域B 的子集，即A B ⊆，如图④.其等价转化的目标是函数()y f x =的值域都在函数()y g x =的值域之中．

说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y 轴上的投影．

类型三()(),f x g x 是闭区间D 上的连续函数，“12,x x D ∀∈，使得()()12f x g x >”与“12,x x D ∃∈，使得()()12f x g x >”的辨析

(1) ()(),f x g x 是在闭区间D 上的连续函数且12,x x D ∀∈，使得()()12f x g x >，等价于()()min max f x g x >.其等价转化的目标是函数()y f x =的任意一个函数值均大于函数

()y g x =的任意一个函数值．如图⑤.

(2) 12,x x D ∃∈，使得()()12f x g x >，等价于()()max min f x g x >.其等价转化的目标是函数()y f x =的某一个函数值大于函数()y g x =的某些函数值．如图⑥.

类型四 “1122,x D x D ∀∈∃∈，使()()12f x g x >”与“1122,x D x D ∃∈∀∈，使

()()12f x g x >”的辨析

(1) 1122,x D x D ∀∈∃∈，使()()12f x g x >，等价于函数()f x 在1D 上的最小值大于()g x 在2D 上的最小值，即()()min min f x g x >．其等价转化的目标是函数()y f x =的任意一个函数值大于函数()y g x =的某一个函数值．如图⑦.

(2) 1122,x D x D ∃∈∀∈，使()()12f x g x >，等价于函数()f x 在1D 上的最大值大于()g x 在2D 上的最大值，即()()max max f x g x >.其等价转化的目标是函数()y f x =的任意一个函数值小于函数()y g x =的某一个函数值．如图⑧.

[山西大学附中2014-2015学年高一第一学期12月（总第三次）月数学试题]已知函数

2()365f x x x =--.

(1)设2

()()2g x f x x mx =-+，其中m R ∈，求g()x 在[]1,3 上的最小值；

(2)若对于任意的[]1,2a ∈，关于x 的不等式2()(26)f x x a x a b ≤-+++在区间[]1,3上恒成立，求实数b 的取值范围．

[山西大学附中2017-2018学年高一第一学期12月（总第三次）月数学试题]已知定义在R

上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时， ()224,232,34x x x f x x x x

-+≤≤=+<≤⎧⎪

⎨⎪

⎩，

()1g x ax =+，对任意[]12,0x ∈-，存在[]22,1x ∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取

值范围为________．