【高考调研】(新课标)河北省衡水重点中学高考数学课时作业讲解67 理

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《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课件1-3-2

高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
第一章
导数及其应用
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第一章
导数及其应用
高考调研
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1．3 导数在研究函数中的应用
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第一章
导数及其应用
高考调研
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1.3.2
函数的极值与导数
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第一章
导数及其应用
高考调研
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高考调研
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思考题 3
设 a 为实数，函数 f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求 f(x)的极值． (2)当 a 在什么范围内取值时，曲线 y＝f(x)与 x 轴仅有一个交点．
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第一章
1.3 1.3.2
高考调研
【解析】
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(1)f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
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第一章
1.3 1.3.2
高考调研
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探究 2 求函数的极值，按步骤依次进行．在检查 f′(x)＝0 根的两侧 f′(x)的符号时，用列表的方式，显得有条理，直观性强． 8 思考题 2 求函数 y＝2x＋x的极值，并结合单调性、极值作出该函数的图像．
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第一章
第一章
1.3 1.3.2
高考调研
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(2)如果某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？
【解析】可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)＝0 且在 x0 两侧 f′(x)的符号不同．

《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学详解

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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
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探究3
对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于
一些简单算式要知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅 1＋i 1 速简捷、少出错的效果．比如(1± i)2＝± 2i， i ＝－i，＝i， 1－i 1－i a＋bi 1 3 1 3 ＝－i，＝b－ai，(－ ± i)3＝1，( ± i)3＝－1，等 i 2 2 2 2 1＋i 等．
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
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【解析】
i1－i 1＋i 1 1 i 因为z＝＝＝＝＋ i，所以 1＋i 1＋i1－i 1＋1 2 2
1 1 对应点(2，2)在第一象限．故选A.
【答案】 A
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
题型二共轭复数
) 要点2 设z＝a＋bi，那么z的共轭复数 z ＝ a－bi(a，b∈R．
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
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1．复数乘法满足怎样的运算律？
答：①z1· z2＝z2· z1；②(z1· z2)· z3＝z1· (z2· z3)；③z1(z2＋z3)＝z1· z2 ＋z1· z3
复数的乘方
1＋i7 1－i7 3－4i2＋2i3 (1) ＋－； 1－i 1＋i 4＋3i 2＋2i 3 1 (2)(－ 2 －2i)12＋( )8. 1－ 3i
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
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《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学课件

z ∴ z ＝±i.
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第三章 3.2 3.2.2
高考调研
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探究2 涉及共轭复数的题目，要充分利用共轭复数的性质：如z＋ z 等于z的实部的两倍，z·z ＝|z|2等，另外注意复数问题实数化及方程思想的应用．
思考题2 证明|z|＝1⇔z＝ 1 . z
答：(1)|z|＝| z |；(2)z·z ＝|z|2＝| z |2；
(3)z＝ z ⇔z∈R， z ＝－z(z≠0)⇔z为纯虚数；
(4) z1＋z2 ＝ z 1＋ z 2；(5) z1·z2 ＝ z 1·z 2；
(6)(zz12)＝
z z
1(z2≠0)．
2
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第三章 3.2 3.2.2
高考调研
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第三章 3.2 3.2.2
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(3)原式＝2－2i＋33i＋－i3i22－i ＝5＋3i＋2i－i＝10－53i＋＋i2i－i2 ＝113－＋3i i＝113－＋3ii33－－ii ＝33－11i1－0 9i＋3i2 ＝30－1020i＝3－2i.
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第三章 3.2 3.2.2
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1．复数乘法满足怎样的运算律？答：①z1·z2＝z2·z1；②(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；③z1(z2＋z3)＝z1·z2 ＋z1·z3
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第三章 3.2 3.2.2
高考调研
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2．共轭复数有哪些主要性质？
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(3)(2010·陕西卷，文)复数z＝

【高考调研】(新课标)河北省衡水重点中学高考数学课时作业讲解24 理

课时作业(二十四)1．(2013·沧州七校联考)将函数y ＝f (x )·sin x 的图像向右平移π4个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图像，则f (x )可以是( )A ．cos xB ．2cos xC ．sin xD ．2sin x答案 B2．(2013·济宁模拟)为了得到函数y ＝sin(2x －π6)的图像，可将函数y ＝cos2x 的图像( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度答案 B3．与图中曲线对应的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin|x |C ．y ＝－sin|x |D ．y ＝－|sin x | 答案 C4．(2012·安徽)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos2x 的图像 A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位答案 C解析将y ＝cos2x 的图像向左平移12个单位后即变成y ＝cos2(x ＋12)＝cos(2x ＋1)的图像．5.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图像如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是 ( )A ．－5 AB ．5 AC ．53AD ．10 A答案 A解析由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴ω＝2πT＝100π.∴T ＝10sin(100πt ＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5 A ，故选A.6．如果两个函数的图像平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝2(sin x ＋cos x )；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝2sin x ＋ 2.其中为“互为生成”函数的是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 D解析首先化简所给四个函数解析式：①f (x )＝2sin(x ＋π4)，②f (x )＝2sin(x ＋π4)，③f (x )＝sin x ，④f (x )＝2sin x ＋ 2.可知，③f (x )＝sin x 不能单纯经过平移与其他三个函数图像重合，必须经过伸缩变换才能实现，故③不能与其他函数构成“互为生成”函数，同理，①与②的图像也不能仅靠图像平移达到重合，因此①④可仅靠平移能使其图像重合，所以①④为“互为生成”函数，故选D.7．(2013·衡水调研卷)周期函数f (x )的图像大致如下当0≤x <π时，f (x )＝5cos x2，则f (x )的解析式为：(其中k ∈Z )( )A ．f (x )＝5cos x2，k π≤x <(k ＋1)πB ．f (x )＝5cos(x2＋k π)，k π≤x <(k ＋1)πC ．f (x )＝5cos x ＋k π2，k π≤x <(k ＋1)π D ．f (x )＝5cos x －k π2，k π≤x <(k ＋1)π答案 D8．(2012·新课标全国)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4 B.π3 C.π2D.3π4答案 A解析由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，又0<φ<π，所以φ＝π4.9．(2012·东北三校一模)要得到函数f (x )＝sin(2x ＋π3)的导函数f ′(x )的图像，只需将f (x )的图像( )A ．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍B ．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12C ．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍D ．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍答案 C解析依题意得f ′(x )＝2cos(2x ＋π3)，先将f (x )的图像向左平移π4个单位得到的是y ＝sin[2(x ＋π4)＋π3]＝cos(2x ＋π3)的图像；再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到的是y ＝2cos(2x ＋π3)的图像，因此选C.10．(2011·全国大纲文)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．9答案 C解析依题意得，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的是f (x －π3)＝cos ω(x －π3)＝cos(ωx －ωπ3)的图像，故有cos ωx ＝cos(ωx －ωπ3)，而cos ωx ＝cos(2k π＋ωx －ωπ3)，故ωx －(ωx －ωπ3)＝2k π，即ω＝6k (k ∈N *)，因此ω的最小值是6，故选C.11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝______.答案 3解析由题图可知，T ＝2π3，∴ω＝2πT ＝3.12．将函数y ＝sin(－2x )的图像向右平移π3个单位，所得函数图像的解析式为________．答案 y ＝sin(23π－2x )13．已知f (x )＝cos(ωx ＋π3)的图像与y ＝1的图像的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图像，只需把y ＝sin ωx 的图像向左平移________个单位．答案5π12解析依题意，y ＝f (x )的最小正周期为π，故ω＝2，因为y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin[2(x ＋5π12)]，所以把y ＝sin2x 的图像向左平移5π12个单位即可得到y ＝cos(2x ＋π3)的图像．14．已知将函数f (x )＝2sin π3x 的图像向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得到的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＝1对称，则函数g (x )＝________.答案 2sin π3x ＋2解析将f (x )＝2sin π3x 的图像向左平移1个单位后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]的图像，向上平移2个单位后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]＋2的图像，又因为其与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＝1对称，所以y ＝g (x )＝2sin[π3(2－x ＋1)]＋2＝2sin[π3(3－x )]＋2＝2sin(π－π3x )＋2＝2sin π3x ＋2. 15．函数y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图像恰好关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值是________．答案5π12解析 y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得y ＝sin2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．因其中一条对称轴方程为x ＝π6，则2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．因为φ>0，所以φ的最小值为5π1216．已知函数f (x )＝2sin x cos(π2－x )－3sin(π＋x )cos x ＋sin(π2＋x )cos x .(1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和最值；(2)指出y ＝f (x )的图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于坐标原点对称．答案 (1)T ＝π，最大值52，最小值12(2)左移π12，下移32个单位解析 (1)f (x )＝2sin x sin x ＋3sin x cos x ＋cos x cos x ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＝32＋32sin2x －12cos2x ＝32＋sin(2x －π6)， ∴y ＝f (x )的最小正周期T ＝π，y ＝f (x )的最大值为32＋1＝52，最小值为32－1＝12.(2)将函数f (x )＝32＋sin(2x －π6)的图像左移π12个单位，下移32个单位得到y ＝sin2x 关于坐标原点对称．(附注：平移(－k π2－π12，－32)，k ∈Z 均可) 17．(2012·福建)已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在[0，π2]上的最大值为π－32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明．解析 (1)由已知得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意x ∈(0，π2)，有sin x ＋x cos x >0.当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a <0时，x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，从而f (x )在(0，π2)内单调递减，又f (x )在[0，π2]上的图像是连续不断的，故f (x )在[0，π2]上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a >0，x ∈(0，π2)时，f ′(x )>0，从而f (x )在(0，π2)内单调递增，又f (x )在[0，π2]上的图像是连续不断的，故f (x )在[0，π2]上的最大值为f (π2)，即π2a －32＝π－32，解得a＝1.综上所述，得f (x )＝x sin x －32.(2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而有f (0)＝－32<0，f (π2)＝π－32>0.又f (x )在[0，π2]上的图像是连续不断的，所以f (x )在(0，π2)内至少存在一个零点．又由(1)知f (x )在[0，π2]上单调递增，故f (x )在(0，π2)内有且只有一个零点．当x ∈[π2，π]时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x .由g (π2)＝1>0，g (π)＝－π<0，且g (x )在[π2，π]上的图像是连续不断的，故存在m∈(π2，π)，使得g (m )＝0.由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈(π2，π)时，有g ′(x )<0.从而g (x )在(π2，π)内单调递减．当x ∈(π2，m )时，g (x )>g (m )＝0，即f ′(x )>0，从而f (x )在(π2，m )内单调递增，故当x ∈[π2，m ]时，f (x )≥f (π2)＝π－32>0，故f (x )在[π2，m ]上无零点；当x ∈(m ，π)时，有g (x )<g (m )＝0，即f ′(x )<0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减．又f (m )>0，f (π)<0，且f (x )在[m ，π]上的图像是连续不断的，从而f (x )在(m ，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．18．(2012·湖南)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图像如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．解析 (1)由题设图像知，最小正周期T ＝2×(11π12－5π12)＝π，所以ω＝2πT ＝2.因为点(5π12，0)在函数图像上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0.即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图像上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6]＝2sin2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin2x －2(12sin2x ＋32cos2x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .1．已知函数y ＝f (x )，将f (x )的图像上各点纵坐标乘以3，横坐标乘以2，再将图像向右平移π3，得y ＝sin x 的图像，则原函数解析式为( )A ．y ＝13sin(2x ＋π3)B ．y ＝13sin(2x ＋π6)C ．y ＝13sin(x 2＋π3)D ．y ＝13sin(x 2＋π6)答案 C2．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3答案 A解析 ∵图像过点(0,1)，∴2sin φ＝1，∴sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6，T ＝2ππ3＝6.3．(2012·天津)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.53 D ．2答案 D解析将函数f (x )＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为y ＝sin ω(x －π4)＝sin(ωx －ωπ4)．又因为所得图像经过点(3π4，0)，所以sin(3ωπ4－ωπ4)＝sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z )，即ω＝2k (k ∈Z )，因为ω>0，所以ω的最小值为2.4．(2013·唐山模拟)函数y ＝sin3x 的图像可以由函数y ＝cos3x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位得到B ．向右平移π3个单位得到C ．向左平移π6个单位得到D ．向右平移π6个单位得到答案 D解析 ∵sin3x ＝cos(π2－3x )＝cos(3x －π2)＝cos[3(x －π6)]∴函数y ＝cos3x 图像向右平移π6个单位即可得到y ＝sin3x 图像．5．要得到函数y ＝2sin(3x －π3)的图像，只需要将函数y ＝2sin(3x ＋π6)的图像( )A ．向右平移π6B ．向右平移π2C ．向右平移π12D ．向左平移π2答案 A6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别为( )A ．2,0B ．2，π4C ．2，－π3D ．2，π6答案 D解析由图可知A ＝1，34T ＝1112π－π6＝34π，所以T ＝π.又T ＝2πω，所以ω＝2.又f (π6)＝sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝φ2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，∴φ＝π6，故选D.7．函数y ＝tan(12x －13π)在同一周期内的图像是( )答案 A8．(2013·海淀区期末)函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图像如图所示，那么f (0)＝( )A ．－12B ．－32C ．－1D ．－ 3答案 C解析由图可知，A ＝2，f (π3)＝2，∴2sin(2π3＋φ)＝2. ∴sin(2π3＋φ)＝1，∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )． ∴φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )． ∴f (0)＝2sin φ＝2sin(－π6＋2k π)＝2×(－12)＝－1. 9．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像关于直线x ＝π3对称，且f (π12)＝0，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 A解析由题意得π3ω＋φ＝k 1π＋π2(k 1∈Z )，π12ω＋φ＝k 2π(k 2∈Z )． ∴π4ω＝(k 1－k 2)π＋π2(k 1，k 2∈Z )． ∴ω＝4(k 1－k 2)＋2(k 1，k 2∈Z )．∵ω>0，∴ω的最小值为2.故选A.10．(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．答案 62解析由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT＝2，又函数图像经过点(π3，0)，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以f (0)＝2sin π3＝62. 11．若将函数y ＝sin(ωx ＋5π6)(ω>0)的图像向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin(ωx ＋π4)的图像重合，则ω的最小值为________．答案 74解析依题意，将函数y ＝sin(ωx ＋5π6)(ω>0)的图像向右平移π3个单位长度后，所对应的函数是y ＝sin(ωx ＋5π6－π3ω)(ω>0)，它的图像与函数y ＝sin(ωx ＋π4)的图像重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝74－6k (k ∈Z )．因为ω>0，所以ωmin ＝74.。

《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)1-2-1

题型二
例 3
新课标A版 ·数学 ·必修5
测量角度
某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信
号，我海军护航舰在 A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为 45° ，距离为 10 海里的 C 处，并测得货船正沿方位角为 105° 的方向，以 10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以 10 3 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
第19页
第一章
1.2
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【讲评】
求距离问题一般要注意：
(1)基线的选取要准确恰当(在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例中的 CD)． (2)选定或创建的三角形要确定．
第20页
第一章
1.2
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
探究 1
第22页
第一章
1.2
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【解析】在△ACD 中，∠CAD＝180° －∠ACD－∠ADC＝ 60° ，CD＝6 000，∠ACD＝45° . CDsin45° 根据正弦定理有 AD＝＝ sin60° 2 CD， 3
同理，在△BCD 中， ∠CBD＝180° －∠BCD－∠BDC＝135° ， CD＝6 000，∠BCD＝30° . CDsin30° 2 根据正弦定理有 BD＝ sin135° ＝ 2 CD. 又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90° ，
1.2
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
2．下表是测量高度的基本类型及方案，请你根据所给图形，填写相应结论. 类别点 B 与点 C、D 共线点 B 与 C、D 不共线

《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2课时作业1

课时作业(一)一、选择题1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( ) A ．正方体的棱长和体积 B ．角的弧度数和它的正弦值 C ．速度一定时的路程和时间 D ．日照时间与水稻的亩产量答案 D解析因为相关关系就是两个变量之间的一种非确定性关系，故可由两个变量之间的关系确定答案．A ，B ，C 均确定性关系，即函数关系，而D 中日照时间与亩产量的关系是不确定的．故选D.2．若回归直线方程中的回归系数b ∧＝0，则相关系数( ) A ．r ＝1 B ．r ＝－1 C ．r ＝0 D ．无法确定答案 C解析注意两个系数之间的联系.b ∧＝∑i ＝1nx i y 1－n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，r ＝∑i ＝1nx i y 1－n x y(∑i ＝1nx 2i －nx 2)(∑i ＝1ny 2i －n y 2)，两个式子的分子是一致的，当b ∧＝0时，r 一定为0.故选C.3．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是() A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25答案 A解析相关指数R2的取值范围为[0,1]其中R2＝1，即残差平方和为0，此时预测值与观测值相等，y与x是函数关系，也就是说在相关关系中R2越接近于1，说明随机误差的效应越小，y与x相关程度越大，模型的拟合效果越好．R2＝0，说明模型中x与y根本无关．故选A.4．在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x之间的线性回归方程为()A.y∧＝x＋1B.y∧＝x＋2C.y∧＝2x＋1D.y∧＝x－1答案 A5．在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(x i，y i)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是()A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①答案 D解析根据线性回归分析的思想，可知对两个变量x，y进行线性回归分析时，应先收集数据(x i，y i)，然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回归方程作出解释，因此选D.6．若变量y与x之间的相关系数r＝－0.936 2，则变量y与x之间()A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系C．它们的线性关系还要进一步确定D．不确定答案 B7．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得y∧＝0.577x－0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是() A．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90% D．年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为31.5%答案 C解析当x＝37时，y∧＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估计：年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%.8．(09·海南)对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关答案 C二、填题空9．已知回归直线的斜率的估计值是1.23.样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．答案y∧＝1.23x＋0.08解析由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y∧－5＝1.23(x－4)，即y∧＝1.23x＋0.08.10．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)之间满足y i＝bx i ＋a＋e i(i＝1,2，…，n)，且e i恒为0，则R2为________．答案 1解析由e i恒为0知y i＝y∧i，即y i－y∧i＝0，故R2＝1－∑i＝1n(y i－y∧i)2∑i＝1n(y i－y)2＝1－0＝1.11．(2010·广东)某市居民2005～2009年家庭平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．答案13较强的解析由表中所给的数据知所求的中位数为13，画出x与Y的散点图知它们有较强的线性相关关系．12．为了考察两个变量y与x的线性相关性，测得x，y的13对数据，若y与x具有线性相关关系，则相关指数R2的取值范围是________．答案(0,1)解析相关指数R2＝1－∑i＝1n(y i－y∧i)2∑i＝1n(y i－y)2.R2的取值范围是[0,1]．当R2＝0时，即残差平方和等于总偏差平方和，解释变量效应为0，x与y 没有任何关系；当R2＝1时，即残差平方和为0，x与y之间是确定的函数关系．其他情形，即当x与y是不确定的相关关系时，R2∈(0,1)．13．若某函模型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为0.95，则总偏差平方和为________，回归平方和为________．答案 1 780 1 691解析R2＝1－残差平方和总偏差平方和，0．95＝1－89总偏差平方和，∴总偏差平方和为1 780.回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝1 780－89＝1 691.14．已知两个变量x与y之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下：那么变量y答案y∧＝0.575x－14.9解析由线性回归的参数公式可求得b∧＝0.575，a∧＝－14.9，所以回归方程为y∧＝0.575x－14.9.三、解答题15．某产品的广告费用支出x与销集额y(单位：百万元)之间有如下统计数据：请对上述变量解析由题意可以列表如下：r ＝1 380－5×5×50(145－5×52)(13 500－×5×502)≈0.92，查表得r 0.05＝0.878.因为r >r 0.05，说明广告费用和销售额之间具有显著的线性相关关系．16．一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：(2)如果y 与x 有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？解析 (1)x ＝12.5，y ＝8.25.∑i ＝14x i y i ＝438,4x y＝412.5，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14y 2i ＝291，所以r＝∑i＝14x i y i－4x y(∑i＝14x2i－4x2)(∑i＝14y2i－4y2)＝438－412.5(660－625)×(291－272.25)＝25.5656.25≈25.5025.62≈0.995.因为r>0.75，所以y与x有线性相关关系．(2)y∧＝0.728 6x－0.857 1.(3)要使y∧≤10，即0.728 6x－0.857 1≤10，所以x≤14.901 3.所以机器的转速应控制在14.901 3转/秒以下．17．(07·广东高考)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨标准煤)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y∧＝b∧x＋a∧；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解析 (1)图形如图所示．(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5； y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5； ∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86. ∴b ∧＝∑i ＝14x i y i －4x ·y ∑i ＝14x 2i －4x 2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.5＝0.7，a ∧＝y －b ∧x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴y ∧＝0.7x ＋0.35.(3)现在生产100吨甲产品用煤 y ＝0.7×100＋0.35＝70.35，∴降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．对于x 与y 有如下观测数据：(1)(2)对x 与y 作回归分析； (3)求出y 与x 的回归直线方程；(4)根据回归直线方程，预测y ＝20时x 的值．解析解决有关线性回归问题的一般步骤是：散点图→相关系数→回归方程．答案 (1)作出散点图，如图(2)作相关性检验．x ＝18×(18＋25＋30＋39＋41＋42＋49＋52)＝2968＝37， y ＝18×(3＋5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7，∑i ＝18x 2i ＝182＋252＋302＋392＋412＋422＋492＋522＝11920， ∑i ＝18y 2i ＝32＋52＋62＋72＋82＋82＋92＋102＝428，∑i ＝18x i y i ＝18×3＋25×5＋30×6＋39×7＋41×8＋42×8＋49×9＋52×10＝2257，∑i ＝18x i y i －8x y ＝2257－8×37×7＝185，∑i ＝18x 2i －8x 2＝11920－8×372＝968，∑i ＝18y 2i －8y 2＝428－8×72＝36，∴r ＝∑i ＝18x i y i －8x y(∑i ＝18x 2i －8x 2)(∑i ＝18y 2i －8y 2)＝185968×36≈0.991. 由于r ＝0.991>0.75，因此，认为两个变量有很强的相关关系．(3)回归系数b ∧＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2＝18511920－8×372≈0.191 a ∧＝y －b ∧x ＝7－0.191×37＝－0.067，所以y 对x 的回归直线方程为y ∧＝0.191x －0.067.(4)当y ＝20时，有20＝0.191x －0.067，得x ≈105.因此在y 的值为20时，x 的值约为105.。

《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课件1-3

第12页
第一章
1.3
高考调研
x f′(x) f(x) (－∞，x1) － x1 0 极小值 (x1，x2) ＋ ↘
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
x2 0 极大值
(x2，＋∞) －
由表可知，f(x)取极大值和极小值的点各有一个． 1＋b fx1＝ax ＝－1， 2 x 1 ＋ 1 (2)解析由(1)可知 ax2＋b fx2＝ 2 ＝1 x 2＋1 ⇒
第16页
第一章
1.3
高考调研
【解析】
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
(1)f′(x)＝3x2＋6ax，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x
＝－2a，且 a≠0. 当 x＝0 时，f(x)＝b；当 x＝－2a 时，f(x)＝4a3＋b. y－b x－0 故直线 AB 的方程为 3 ＝ . 4a ＋b－b －2a－0 由于点(1,0)在直线 AB 上，代入上式得 b＝2a2. 又 f(1)＝0，即 1＋3a＋b＝0，与上式联立得 1 a ＝－ 2， a＝－1，或 b＝2 b＝1. 2
第18页
第一章
1.3
高考调研
1 68 φ(－1)＝0，φ(－3)＝－27，φ(1)＝4，
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
68 68 故 φmin(x)＝－，从而 k 的取值范围为(－∞，－ )． 27 27
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第一章
1.3
高考调研
题型三
例3
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
求单调区间
1－a (2010· 山东)已知函数 f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)． x第页第一章1.3
高考调研
5 5 (2)由 a＝2－b>0 知 0<b<2.

《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课件2-1-2

2x－1 思考题3 求证：函数y＝ x 是奇函数，且在定义域上是 2 ＋1 增函数．
第28页
第二章
2.1 2.1.2
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
【证明】
2x＋1－2 2 y＝ x ＝1－ x ，所以定义域为R. 2 ＋1 2 ＋1
2 2 f(－x)＋f(x)＝1－－x ＋1－ x 2 ＋1 2 ＋1 2 2 2· 2x 2 ＝2－( －x ＋ )＝2－( x ＋ ) 2 ＋1 2x＋1 2 ＋1 2x＋1 2· 2x＋1 ＝2－ x ＝0， 2 ＋1
课时学案
课后巩固
课时作业
第 4页
第二章
2.1 2.1.2
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
要点1 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下
的结
论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由
一般到特殊的推理．它的基本模式是“三段论”．
第 5页
第二章
2.1 2.1.2
高考调研
第23页
第二章
2.1 2.1.2
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
例3 数．
用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函
【思路分析】
证明本例所依据的大前提是增函数的定
义，即函数y＝f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1、 x2，若x1<x2，则有f(x1)<f(x2)．小前提是f(x)＝x3＋x，x∈(－∞，＋∞)上满足增函数的定义，这是证明本例的关键．
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
(5)不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立．(大前提) 2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)．(小前提) 所以，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(结论) 证明通常简略地表述为 a∈R，b∈R⇒(a－b)2≥0 ⇒a2＋b2≥2ab 同理b2＋c2≥2bc c2＋a2≥2ca

《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-3课时作业1

《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-3课时作业1课时作业(一)1．衡水二中高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有的安排方法种数是() A．8B．6C．14 D．48答案 C解析一共有14个班，从中选1个，∴共有14种．2．教学大楼共有四层，每层都有东西两个楼梯，由一层到四层共有的走法种数是()A．32B．23C．42D．24答案 B解析由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择，∴23＝8.3．小冉有3条不同款式的裙子，5双不同款式的靴子，某日她要去参加聚会，若穿裙子和靴子，则不同的穿着搭配方式的种数为() A．7种B．8种C．15种D．125种答案 C解析不同的穿着搭配方式分两步完成，由分步乘法计数原理知共有3×5＝15种，故选C.4．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，共可组成()A．7队B．8队C．15队D．63队答案 D解析第一步选男同学，有9种选法；第二步选女同学有7种选法，根据分步乘法计数原理，可得共有7×9＝63(种)组成方式．5．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有()A．12对B．24对C．36对D．48对答案 B解析把六棱锥所有棱分成三类：第1类：底面上的六条棱所在的直线共面，故每两条之间不能构成异面直线．第2类：六条侧棱所在的直线共点，故每两条之间也不能构成异面直线．第3类：结合右图可知，只有底面棱中1条棱所在直线与和它不相交的4条侧棱所在的4条直线中1条才能构成一对异面直线，再由分步计数原理得，可构成异面直线6×4＝24(对)．6．某运动会组委会派小张、小赵、小李、小罗，四人从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张只能从事前两项工作，其余3人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有() A．12种B．36种C．18种D．48种答案 A解析分四步．第一步：先安排小张，有选法2种；第二至四步安排剩余三人，分别有不同选法3种，2种，1种，则由分步乘法计数原理得，不同的选派方案有12种．7．从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲、乙两型号各一台，则不同的取法共有()A．140种B．80种C．70种D．35种答案 C解析分为两类：①选2台甲型电视机，1台乙型电视机，2台甲型电视机有6种选法，1台乙型电视机有5种选法，共有6×5＝30(种)选法；②选2台乙型电视机，1台甲型电视机，2台乙型电视机有10种选法，1台甲型电视机有4种选法，共有10×4＝40(种)选法．故选C.8．某同学去逛书店，喜欢三本书，决定至少买其中的一本，则购买方案有________种．答案7解析分类：第一类：买其中的一本，方法有3种；第二类：买其中的两本，方法有3种；第三类：三本书全买，方法有1种．由分类加法计数原理知，N＝3＋3＋1＝7种购买方案．9．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有________个．答案36解析第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．10．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则x·y可表示不同的值的个数是________．答案9解析因为按x、y在各自的取值集合中各选一个值去做积这件事，可分两步完成：第一步，x在集合{2,3,7}中任取一个值有3种方法；第二步，y在集合{－31，－24,4}中任取一个值有3种方法．根据分步计数原理得，有3×3＝9种不同的值．11．若x、y分别在0,1,2，…，10中取值，则P(x，y)在第一象限的个数是________．答案100解析要完成这件事，需分两步：横坐标x可从1,2,3，…，10个数字中任取一个．共有10种方法；因为数字可重复，所以纵坐标y 也有10种方法，由乘法原理共有10×10＝100(个)．12．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y －b)2＝r2可表示不同的圆的个数有________个．答案24解析圆方程由三个量a、b、r确定，a，b，r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．13．在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着2件学习用品，2件生活用品，1件娱乐用品，若他可抓其中的两件物品，则他抓的结果有________种．答案10解析设学习用品为a1，a2，生活用品为b1，b2，娱乐用品为c，则结果有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)(a2，b2)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，c)，(b2，c)，共10种．14．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有________个．答案162个解析一位数8个，两位数8×9＝72个．3位数有9×9＝81个，另外1个(即200)，共有8＋72＋81＋1＝162个．15．某工厂的三个车间的工人举行了劳动技能比赛活动，第一车间有2人胜出，第二车间有3人胜出，第三车间有2人胜出，厂长要求每个车间选出一人进入厂技能领导小组，有多少种不同的选法？解析(定义法)本题可分三步完成．第一步，从第一车间中选1人有2种选法；第二步，从第二车间中选1人有3种选法；第三步，从第三车间中选1人有2种选法，根据分步乘法计数原理知一共有N ＝2×3×2＝12种选法．16．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件和70元的盒装磁盘．根据需要，软件至少买3张，磁盘至少买2盒．则不同的选购方式共有多少种？解析可设购买60元的单片软件和70元的盒装磁盘分别为x片、y 盒，依照所用资金不超过500元，来建立数学模型，从而解决问题．设购买单片软件x片，盒装磁盘y盒，则依题意有60x＋70y≤500(x，y∈N*，有x≥3，y≥2)，按购买x片分类：x＝3，则y＝2,3,4，共3种方法；x＝4，则y＝2,3，共2种方法；x＝5，则y＝2，共1种方法；x＝6，则y＝2，共1种方法．依分类计数原理不同的选购方式有N＝3＋2＋1＋1＝7(种)．答：不同的选购方式有7种．点评本题主要考查分类计数原理的灵活运用，在解题中要特别注意知识的联想和应用．重点班选做题17．如下图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字，表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的网线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________．答案19解析因信息可以分开沿不同的路线传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种办法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.18．圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________．答案2n(n－1)解析这2n个等分点可确定n条直径，每条直径可确定(2n－2)个直角三角形，∴共有n(2n－2)＝2n(n－1)个直角三角形．19．电视台在“快乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解析抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑．分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．。

河北衡水中学高考调研内部学案(数学)

课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 ·高三数学（理）
(2)已知 a∈R，求函数 f(x)＝x2·eax 的单调区间与极值．
【解析】 f′(x)＝(x2)′eax＋x2(eax)′ ＝(ax＋2)·x·eax， ①当 a＝0 时，f′(x)＝2x， ∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)，在 x＝0 处取极小值．
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研 3．函数的最值的概念
新课标版 ·高三数学（理）
设函数 y＝f(x)在 [a，b]上连续，在 (a，b) 内可导，函数 f(x)
在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数 y＝f(x)的最
大(最小)值．
4．求函数最值的步骤
设函数 y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，
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高考调研请注意！
新课标版 ·高三数学（理）
极值与最值也是高考中的重中之重，每年必考，并且考查形式较多.
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高考调研
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1．函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x) < f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x) > f(x0)，那么 f(x0) 是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．

《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课件1-1-2

课时学案
课后巩固
课时作业
第 4页
第一章
1.1 1.1.2
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
要点 1 瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近于 0 时，
ft0＋Δt－ft0 Δt 函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率趋近于常
(2)2
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第一章
1.1 1.1.2
高考调研
题型三
例3
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
转化与化归
若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求
fa＋Δx－fa－Δx li m . 2 Δx Δx→0 【思路分析】已知函数 f(x)在 x＝a 处导数为 A，要求所给极限的值，必须将已给极限式转化成导数的意义．
数，这个常数称为 t0 时刻的瞬时速度．
第 5页
第一章
1.1 1.1.2
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
要点 2 瞬时变化率函数 f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限，即 Δy lim Δx＝ Δx→0
fx0＋Δx－fx0 lim Δx Δx→0
称为 f(x)在 x0 处的瞬时变化率．
【解析】 1 2 运动方程为 s＝ at . 2
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1 1 2 1 2 因为 Δs＝2a(t0＋Δt) －2at0＝at0Δt＋2a(Δt)2， Δs 1 Δs 所以 Δt ＝at0＋2aΔt，所以lim Δt ＝at0. Δt→0 因为 a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，所以 at0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s.

【高考调研】(新课标)河北省衡水重点中学高考数学课时作业讲解17 理

课时作业(十七)1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643答案 A解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]只有x ＝1. 比较f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103. 可知最小值为－173.2.已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图像如图所示，则 ( )A ．f (x )在x ＝1处取得极小值B ．f (x )在x ＝1处取得极大值C ．f (x )在R 上的增函数D ．f (x )在(－∞，1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数答案 C解析由图像易知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上是增函数．3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对答案 A解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上增，(0,2)上减，∴x ＝0为极大值点，也为最大值点，∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3.∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37，选A.4．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝ ( )A.1ln2B ．－1ln2C ．－ln2D ．ln2答案 B解析由y ＝x ·2x ，得y ′＝2x ＋x ·2x·ln2. 令y ′＝0，得2x(1＋x ·ln2)＝0. ∵2x＞0，∴x ＝－1ln2.5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则 ( )A ．0＜b ＜1B ．b ＜1C ．b ＞0D ．b ＜12答案 A解析 f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0.∴b ＞0，f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的范围为0＜b ＜1.6．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( )A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2)<f (－1) C ．f (－a 2)≥f (－1)D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定答案 A解析由题意可得f ′(x )＝32x 2－2x －72.由f ′(x )＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x <－1时，f (x )为增函数；当－1<x <73时，f (x )为减函数．所以f (－1)是函数f (x )在(－∞，0]上的最大值，又因为－a 2≤0，故f (－a 2)≤f (－1)．7．函数f (x )＝e －x·x ，则( )A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )＝－e －x·x ＋12x ·e －x ＝e －x (－x ＋12x )＝e －x·1－2x 2x . 令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f (12)＝1e·12＝12e. 8．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________. 答案－23 －16解析 y ′＝a x＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝－16.9．设m ∈R ，若函数y ＝e x＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．答案 m <－12解析因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，所以y ′＝e x＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12. 10．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)，则极小值为________．答案 0解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由题知f ′(1)＝3－2p －q ＝0. 又f (1)＝1－p －q ＝0，联立方程组，解得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝1或x ＝13.经检验知x ＝1是函数的极小值点． ∴f (x )极小值＝f (1)＝0.11．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝±2a3(a >0，否则函数y 为单调增函数)．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则2a 3<1，∴0<a <32. 12．已知函数f (x )＝e x＋a ln x 的定义域是D ，关于函数f (x )给出下列命题： ①对于任意a ∈(0，＋∞)，函数f (x )是D 上的减函数； ②对于任意a ∈(－∞，0)，函数f (x )存在最小值；③存在a ∈(0，＋∞)，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )>0成立； ④存在a ∈(－∞，0)，使得函数f (x )有两个零点．其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．答案 ②④解析由f (x )＝e x＋a ln x 可得f ′(x )＝e x＋ax，若a >0，则f ′(x )>0，得函数f (x )是D 上的增函数，存在x ∈(0,1)，使得f (x )<0，即得命题①③不正确；若a <0，设e x＋a x＝0的根为m ，则在(0，m )上f ′(x )<0，在(m ，＋∞)上f ′(x )>0，所以函数f (x )存在最小值f (m )，即命题②正确；若f (m )<0，则函数f (x )有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.13．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与极值．解析由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1. 于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π或x ＝3π2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.14．已知函数f (x )＝x 2－1－2a ln x (a ≠0)．求函数f (x )的极值．解析因为f (x )＝x 2－1－2a ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －2ax＝x 2－ax. 当a <0时，因为x >0，且x 2－a >0，所以f ′(x )>0对x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )无极值；当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝a ，x 2＝－a (舍去)．所以当x >0时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x 1－a ln a . 综上，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上无极值．当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －1－a ln a . 15．(2013·衡水调研卷)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋ln x . (1)若f (x )无极值点，但其导函数f ′(x )有零点，求a 的值；(2)若f (x )有两个极值点，求a 的取值范围，并证明f (x )的极小值小于－32.解析 (1)首先，x >0，f ′(x )＝2ax －2＋1x ＝2ax 2－2x ＋1x，f ′(x )有零点而f (x )无极值点，表明该零点左右f (x )同号，故a ≠0，且2ax 2－2x ＋1＝0的Δ＝0.由此可得a ＝12.(2)由题意，2ax 2－2x ＋1＝0有两不同的正根，故Δ>0，a >0.解得0<a <12.设2ax 2－2x ＋1＝0有两根为x 1，x 2，不妨设x 1<x 2，因为在区间(0，x 1)，(x 2，＋∞)上，f (x )>0，而在区间(x 1，x 2)上，f (x )<0，故x 2是f (x )的极小值点．因f (x )在区间(x 1，x 2)上f (x )是减函数，如能证明f (x 1＋x 22)<－32.由韦达定理，x 1＋x 22＝12a ，f (12a )＝a (12a )2－2(12a )＋ln 12a ＝ln 12a －32·12a. 令12a ＝t ，其中t >1.设g (t )＝ln t －32t ＋32，利用导数容易证明g (t )．当t >1时单调递减，而g (1)＝0，因此g (t )<0，即f (x )的极小值f (x 2)<0. (2)另证：实际上，我们可以用反代的方式证明f (x )的极小值均小于－32.由于两个极值点是方程2ax 2－2x ＋1＝0的两个正根，所以反过来，a ＝2x 2－12x 22(用x 1表示a 的关系式与此相同)，这样f (x 2)＝ax 22－2x 2＋ln x 2＝即f (x 2)＝ln x 2－x 2－12，再证明该式小于－32是容易的(注意x 2≠1，下略).16．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在[1，a ]上的最大值；(3)设函数g (x )＝f (x )－bx ，在(2)的条件下，若函数g (x )恰有3个零点，求实数b 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)是增函数， ∴f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即 3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立．则必有a3≤1，且f ′(1)＝－2a ≥0.∴a ≤0.(2)依题意，f ′(－13)＝0，即13＋23a －3＝0，∴a ＝4. ∴f (x )＝x 3－4x 2－3x . 令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.则当x 变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表∴f (x )(3)函数g (x )有3个零点⇔方程f (x )－bx ＝0有3个不相等的实根．即方程x 3－4x 2－3x ＝bx 有3个不等实根． ∵x ＝0是其中一个根，∴只需满足方程x 2－4x －3－b ＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋＋b ，－3－b ≠0.∴b >－7且b ≠－3.故实数b 的取值范围是b >－7且b ≠－3.1．(2013·石家庄模拟)设函数f (x )在R 上要导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )答案 C解析由f (x )在x ＝－2处取得极小值可知当x <－2时，f ′(x )<0，则xf ′(x )>0，当x >－2时，f ′(x )>0，则当－2<x <0时，xf ′(x )<0，当x >0时，xf ′(x )>0.2．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c . 又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c ，则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立，所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9.因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3(x －2＋3)(x －2－3)．当x ∈(－∞，2－3)时f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－3)上单调增加；当x ∈(2－3，2＋3)时f ′(x )＜0，f (x )在(2－3，2＋3)上单调减少；当x ∈(2＋3，＋∞)时f ′(x )＞0，f (x )在(2＋3，＋∞)上单调增加．综上，f (x )的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3[(x －a )2＋1－a 2]．当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故f (x )无极值点；当1－a 2＜0时，f ′(x )＝0有两个根，x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1.由题意知，2＜a －a 2－1＜3，① 或2＜a ＋a 2－1＜3.② ①式无解．②式的解为54＜a ＜53.因此a 的取值范围是(54，53)．4．(2013·沧州七校联考)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋1－ln x . (1)若f (x )在(0，12)上是减函数，求a 的取值范围；(2)函数f (x )是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析 (1)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，∵f (x )在(0，12)上为减函数，∴x ∈(0，12)时－2x ＋a－1x <0恒成立，即a <2x ＋1x恒成立．设g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2.∵x ∈(0，12)时1x 2>4，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，12)上单调递减，g (x )>g (12)＝3，∴a ≤3.(2)若f (x )既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0必须有两个不等的正实数根x 1，x 2，即2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根．故a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－8>0，a >0⇒a >22，∴当a >22时，f ′(x )＝0有两个不等的实数根．不妨设x 1<x 2，由f ′(x )＝－1x (2x 2－ax ＋1)＝－2x(x －x 1)(x －x 2)知，0<x <x 1时f ′(x )<0，x 1<x <x 2时f ′(x )>0，x >x 2时f ′(x )<0，∴当a >22时f (x )既有极大值f (x 2)又有极小值f (x 1)．5．已知a 是实数，求函数f (x )＝x 2(x －a )在区间[0,2]上的最大值．解析令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而 f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而 f (x )max ＝f (0)＝0.当0<2a 3<2，即0<a <3时，f (x )在[0，2a 3]上单调递减，在[2a3，2]上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，0<a ≤2，0，2<a <3.综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a ≤2，0，a >2.6．“我们称使f (x )＝0的x 为函数y ＝f (x )的零点．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是连续的、单调的函数，且满足f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上有唯一的零点”．对于函数f (x )＝6ln(x ＋1)－x 2＋2x －1.(1)讨论函数f (x )在其定义域内的单调性，并求出函数极值；(2)证明连续函数f (x )在[2，＋∞)内只有一个零点．解析 (1)f (x )＝6ln(x ＋1)－x 2＋2x －1的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝6x ＋1－2x ＋2＝8－2x2x ＋1，f ′(x )＝0⇒x ＝2(－2舍去)．∴当x ＝2时，f (x )的极大值为f (2)＝6ln3－1.(2)证明：由(1)知f (2)＝6ln3－1>0，f (x )在[2,7]上单调递减．又f (7)＝6ln8－36＝18(ln2－2)<0， ∴f (2)·f (7)<0.∴f (x )在[2,7]上有唯一零点．当x ∈[7，＋∞)时，f (x )≤f (7)<0. 故x ∈[7，＋∞)时，f (x )不为零． ∴y ＝f (x )在[7，＋∞)上无零点．∴函数f (x )＝6ln(x ＋1)－x 2＋2x －1在定义域内只有一个零点． 7．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．思路本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值，题目中需注意应先比较f (2)和f (－2)的大小，然后判定哪个是最大值从而求出a .解析 (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x )<0，解得x <－1或x >3.∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，∴f (2)>f (－2)．∵在(－1,3)上f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1,2]上单调递增．又由于f (x )在[－2，－1)上单调递减， ∴f (－1)是f (x )的极小值，且f (－1)＝a －5.∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2.∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2. ∴f (－1)＝a －5＝－7，即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7.8．已知函数g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ∈R 且a ≠0)，g (－1)＝0，且g (x )的导函数f (x )满足f (0)f (1)≤0.设x 1、x 2为方程f (x )＝0的两根．(1)求b a的取值范围；(2)若当|x 1－x 2|最小时，g (x )的极大值比极小值大43，求g (x )的解析式．解析 (1)∵g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，∴g (－1)＝－a ＋b －c ＝0，即c ＝b －a .又f (x )＝g ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f (0)f (1)≤0，得c (3a ＋2b ＋c )≤0，即(b －a )(3b ＋2a )≤0.∵a ≠0，∴(b a －1)(3·b a ＋2)≤0，解得－23≤ba≤1.又∵方程f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0(a ≠0)有两根，∴Δ≥0.而Δ＝(2b )2－4×3a ×c ＝4b 2－12a (b －a )＝4(b －32a )2＋3a 2>0恒成立，于是，b a 的取值范围是[－23，1]．(2)∵x 1、x 2是方程f (x )＝0的两根，即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2， ∴x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝c 3a ＝b －a 3a ＝b 3a －13.∴|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－2b 3a )2－4(b 3a －13)＝49·(b a )2－43·b a ＋43＝49(b a －32)2＋13.∵－23≤b a ≤1，∴当且仅当b a ＝1，即a ＝b 时，|x 1－x 2|2取最小值，即|x 1－x 2|取最小值．此时，g (x )＝ax 3＋ax 2，f (x )＝3ax 2＋2ax ＝ax (3x ＋2)．令f (x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝0.若a >0，当x 变化时，f (x )、g (x )的变化情况如下表：由上表可知，g (x )的极大值为g (－23)＝427a ，极小值为g (0)＝0.由题设，知427a －0＝43，解得a ＝9，此时g (x )＝9x 3＋9x 2；若a <0，当x 变化时，f (x )、g (x )的变化情况如下表：由上表可知，g (x )的极大值为g (0)＝0，极小值为g (－3)＝27a .由题设知0－427a ＝43，解得a ＝－9，此时g (x )＝－9x 3－9x 2.点评本题的难点是第(2)问，有两处值得思考：①|x 1－x 2|取得最小值时，会有怎样的结论？②怎样求出g (x )的极大值、极小值？在问题的求解过程中，由根与系数的关系建立|x 1－x 2|2关于b a 的函数关系式，由第(1)问中b a ∈[－23，1]求得|x 1－x 2|2取最小值，即|x 1－x 2|取得最小值时的条件是a ＝b .然后在求g (x )的极大值、极小值时，需要对a 分a >0、a <0进行讨论，得到相应的极大值、极小值．9．已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0，设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ；(2)求F (x )＝f (x )－g (x )的极值； (3)求b 的最大值．解析 (1)设y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(x 0，y 0)． ∵f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a2x，由题意f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)．即12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a 2x 0. 由x 0＋2a ＝3a2x 0，得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .(2)F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x＝x －ax ＋3a x(x >0)．所以F (x )在(0，a )上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数．于是函数F (x )在x ＝a 时有极小值，F (x )极小＝F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0，F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)无极大值．(3)由(1)知令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )．当t (1－3ln t )>0，即，h ′(t )>0；当t (1－3ln t )<0，即时，h ′(t )<0.故h (t )在()为增函数，在()为减函数．于是h (t )在(0，＋∞)上的极大值即为最大值：.即b 的最大值为.。

【高考调研】(新课标)河北省衡水重点中学高考数学课时作业讲解74 理

课时作业(七十四)1．某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为( ) A．C26C25C28B．C26＋C25＋C28C．A26A25A28D．C219答案 B解析依题意，高一比赛有C26场，高二比赛有C25场，高三比赛有C28场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C26＋C25＋C28，选B.2．将正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面染色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻的两个面不能染同一颜色，则不同的染色方法有( ) A．256种B．144种C．120种D．96种答案 D解析①只用3种颜色，则对面相同，共有A34＝24.②用4种颜色，有一组对面，颜色不同，A44C13＝72.共有N＝72＋24＝96(种)．3．6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有A．40种B．48种C．60种D．68种答案 B解析4,2分法：A22(C46－1)＝14×2＝28，3,3分法：C36C33＝20，∴共有48种．4．从8个不同的数中选出5个数构成函数f(x)(x∈{1,2,3,4,5})的值域，如果8个不同的数中的A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为A．C28A36B．C17A47C．C16A47D．无法确定答案 C解析自变量有5个，函数值也是5个不同的数，因此自变量与函数值只能一一对应，不会出现多对一的情形．因为A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，故先从余下6个数中选出与5对应的函数值，有C16种方法，再从其它7个数中选出4种排列即可，故不同选法共有C16A47种．5．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有A．120个B．80个C．40个D．20个答案 C解析百十个44A233A222×不行1×不行共有A25＋A24＋A23＋A22＝40.6．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是( )A．120 B．84C．60 D．48答案 B解析法1：无2 A44，无5 A44，有2和5：C23A22A23，∴共有A44＋A44＋C23A22A23＝84.法2：A45－A22C23A33＝84.7．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加上海世博会公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有( ) A．40种B．60种C．100种D．120种答案 B解析分两步：先从5人中选两人参加星期五的活动，有C25种方法，再从剩下的3人中选两人参加星期六、星期日的活动，有A23种方法，故不同的选派方法共有C25A23＝60种，故选B.8．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法种数为( ) A．2 520 B．2 025C．1 260 D．5 040答案 A解析C210A28＝2 520.9．8个色彩不同的球已平均分装在4个箱子中，现从不同的箱子中取出2个彩球，则不同的取法共有( ) A．6种B．12种C．24种D．28种答案 C解析从8个球中任取2个有C28＝28种取法，2球位于同一箱子中有C14＝4种取法，2球位于不同箱子的取法有28－4＝24种．10．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( ) A．10 B．20C．30 D．40答案 B解析安排方法可分为3＋2及2＋3两类，则共有C25×A22＝20种分法，故选B.11．(2013·安徽合肥质检)中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有( ) A．C941B．C938C．C940D．C939答案 D解析首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台象排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空．对这39个空进行插空，比如说用9面小旗子隔开，就可以隔成10部分了．所以是在39个空里选9个空进行插空，所以是C939.12．每天上午有4节课，下午有2节课，安排5门不同的课程，其中安排一门课两节连在一起上，则一天安排不同课程的种数为( ) A．96 B．120C．480 D．600答案 C解析两节连上的取法有(3＋1)·C15＝20种，其他4门课排法有A44＝24种，∴共20×24＝480种．13．圆周上有8个点，将圆周等分，那么以其中的3个点为顶点的直角三角形的个数为( )A ．12B ．16C ．24D ．48答案 C解析以8个点为直径的端点共有4种取法，每种取法可作出6个三角形， ∴共有4×6＝24个．14．7位身高各不相同的同学排成一排，要求正中间的最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，这样的排法共有________种？答案 20解析最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C 36种，则剩下三位同学的位置已定．故共有C 36＝20种．15．某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A 不分配到甲班的分配方案种数是________．答案 100解析 A 的分配方案有2种，若A 分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C 34＋C 24C 22A 22)A 22＝14；若A 分配到的班级再分配一名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C 14C 13A 22＝24；若A 分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C 24A 22＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.16．已知一组抛物线y ＝12ax 2＋bx ＋1，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中抽取两条，它们在与直线x ＝1交点处的切线恰好相互平行的情况有多少种？解析 ∵y ′＝ax ＋b ， ∴y ′| x ＝1＝a ＋b .若a ＋b ＝5有两条抛物线，从中取出两条，有C 22种取法，若a ＋b ＝7有三条抛物线，从中取出两条，有C 23种取法，若a ＋b ＝9有四条抛物线，从中取出两条，有C 24种取法，若a ＋b ＝11有三条抛物线，从中取出两条，有C 23种取法，若a ＋b ＝13有两条抛物线，从中取出两条，有C 22种取法．由分类加法计数原理知任取两条，它们在与直线x ＝1交点处的切线恰好平行的情形共有C 22＋C 23＋C 24＋C 23＋C 22＝14种．17．三个工程队要承包5项不同的工程，每队至少承包一项，问共有多少种不同的承包方案．解析方法一承包方式分两类．第一类，三个工程队分别承包1,1,3项工程，共有C 35·A 33＝60种承包方案．第二类，三个工程队分别承包2,2,1项工程，共有C 25·C 23·A 33A 22＝90种承包方案．所以共有60＋90＝150种不同的承包方案．方法二第一类，三个承包队中有一队承包3项工程，其余两队分别承包1项工程只有C 13·C 35·C 12＝60种承包方案．第二类，设三个工程队分别为甲、乙、丙三队，其中有一队承包一项工程，其余两队承包两项工程，共有C 13C 15·C 24＝90种承包方案．综上可知共有60＋90＝150种不同的承包方案．1．一条铁路原有m 个车站，为适应客运需要新增加n 个车站(n >1)，则客运车票增加了58种(注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同车票)，那么原有车站A ．12个B ．13个C ．14个D ．15个答案 C解析增加n 个车站后，增加的车票种数为 A 2n ＋C 1m C 1n A 22＝n (2m ＋n －1)种． 58＝2×29，∴有⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，2m ＋n －1＝29或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝29，2m ＋n －1＝2.m ＝14或－13(舍)．2．离心率e ＝log p q (其中1≤p ≤9,1≤q ≤9，且p ∈N ，q ∈N )的不同形状的椭圆的个数为( )A ．25B ．26C ．27D ．28答案 B解析 ∵0<e <1，∴p ≠1，q ≠1.从2～9中选p ，q 且p >q ，共7＋6＋5＋…＋1＝28个．∵log 93＝log 42，log 32＝log 94， ∴共有28－2＝26个．3．两个三口之家，拟乘两艘不同的游艇一起水上游，每艘游艇最多只能坐4个人，其中两个小孩(另4个为两对夫妇)不能独坐一艘游艇，则不同的乘坐方法共有________种．答案 48解析 ①两船分别坐2人、4人， C 46·C 22·A 22－C 22·A 22＝28种． ②两船分别坐3人、3人， C 36·C 33A 22·A 22＝20种．共48种．4．教委派5名教研员到3所学校去调研学生课业负担问题，每校至少1人，有多少种不同的选派方法？解析先分组，再分配．先把5个人分成3组，有两种分法： ①一组3人，另两组各1人，有C 35C 12C 11A 22种分法；②一组1人另两组各2人，有C 15C 24C 22A 22种分法．再分配到三所学校去有A 33种分法． ∴共有(C 35C 12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22)A 33＝150种方法．5．一次数学考试的第一大题有11道小题，其中第(1)～(6)小题是代数题，答对一题得3分；第(7)～(11)题是几何题，答对一题得2分．某同学第一大题对6题，且所得分数不少于本题总分的一半，问该同学有多少种答题的不同情况？解析依题意可知本题的总分的一半是14分，某同学在11题中答对了6题，则至少答对两道代数题，至多答对4道几何题，因此有如下答题的情况：(1)代数题恰好对2道，几何题恰好对4道，此时有C 26C 45＝75种情况； (2)代数题恰好对3道，几何题恰好对3道，此时有C 36C 35＝200种情况； (3)代数题恰好对4道，几何题恰好对2道，此时有C 46C 25＝150种情况； (4)代数题恰好对5道，几何题仅对1道，此时有C 56C 15＝30种情况； (5)代数题全对，几何题全错，此时有C 66C 05＝1种情况．由分类计数原理所有可能的答题情况有456种．。

【高考调研】(新课标)河北省衡水重点中学高考数学课时作业讲解58 理

课时作业(五十八)1．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 ( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4答案 A解析 ∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.2．直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是 ( )A.7 B ．－77C.77D ．－7答案 A解析画出图形，根据对称性分析两直线的倾斜角之间的关系，再判断其斜率之间的关系．如图所示，显然直线l 2的斜率为7.3．若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 答案 B解析 k PQ ＝－1b －00－1a＝ab <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.4．已知直线l 的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝15，则直线l 的斜率是( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．±43答案 A解析 ∵α为倾斜角，∴0≤α＜π.∵sin α＋cos α＝15，∴sin α＝45，cos α＝－35.∴tan α＝－43.5．两直线x m －y n ＝1与x n －y m＝1的图像可能是图中的哪一个( )答案 B6．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是 A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－12答案 D解析当2m 2＋m －3≠0时，得m ≠1且m ≠－32.在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0. ∴m ＝2或m ＝－12.7．若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于 A ．4 B ．2 C ．1 D ．0答案 A解析 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a ，∴1a －1b＝1.∴a －b ＝(a －b )(1a －1b )＝2－b a －a b ＝2＋[(－b a )＋(－ab)]≥2＋2＝4.(当a ＝－b ＝2时取等号)．8．过点M (1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0答案 B解析设P (x 0,0)，Q (0，y 0)，∵M (1，－2)为线段PQ 中点， ∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1.即2x －y －4＝0.9．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0答案 B解析方法一直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ，又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.方法二设方程为x a ＋y b＝1，将(1,4)代入得1a ＋4b＝1.a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋(b a ＋4ab)≥9，当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小． ∴直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.10.已知直线l 1，l 2的方程分别为x ＋ay ＋b ＝0，x ＋cy ＋d ＝0，其图像如图所示，则有( )A ．ac <0B ．a <cC ．bd <0D ．b >d答案 C解析直线方程化为l 1：y ＝－x a －b a ，l 2：y ＝－x c －d c. 由图像知，－1c <－1a <0，－b a>0>－dc，a >c >0，b <0，d >0.11．直线l 过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则k cos α的取值范围为________．答案 (0,1)解析由题意可得α∈(π2，π)，∴k ·cos α＝tan α·cos α＝sin α∈(0,1)．12．直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值为________．答案 1解析方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a >0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，故a 的值为1.13．已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得到的直线l ′的方程．答案 x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0 解析在3x －y ＋3＝0中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)． ∵直线l 的斜率k ＝3， ∴其倾斜角θ＝60°.若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x ＝－ 3.若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan30°＝33. 故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0.14．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．答案 2x ＋5y ＋9＝0 解析 k AC ＝－2，k AB ＝23.∴AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －3＝0，3x ＋2y －3＝0，得C (3，－3)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，x －2y ＝0，得B (－2，－1)．∴BC ：2x ＋5y ＋9＝0.15．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＝2m －6. 根据下列条件分别确定实数m 的值． (1)在x 轴上的截距是－3； (2)斜率是－1.解析 (1)令y ＝0，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3. ②由①式，得m ≠3且m ≠－1.由②式，得3m 2－4m －15＝0.解得m ＝3或m ＝－53.∵m ≠3，∴m ＝－53.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0， ③m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④由③式，得m ≠－1且m ≠12.由④式，得3m 2－m －4＝0.解得m ＝－1或m ＝43.∵m ≠－1，∴m ＝43.16．如图，过点P (1,2)作直线l ，与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解析设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，令y ＝0，得x ＝k －2k，令x ＝0，得y ＝2－k . ∴A 、B 两点坐标分别为A (k －2k，0)，B (0,2－k )． ∵A 、B 是l 与x 轴、y 轴正半轴的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k －2k >0，2－k >0.∴k <0.S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·k －2k ·(2－k )＝12(4－4k－k )．由－4k>0，－k >0，得S △AOB ≥12(4＋2－4k－k )＝4.∴S △AOB 最小值为4，方程为2x ＋y －4＝0.1．(2013·衡水调研卷)设s ，t 为正整数，直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0和l 2：t2s x －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n >1)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线l 与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，则数列{x n }的通项公式为x n ＝( )A.2sn ＋1 B.sn ＋1C.3s n ＋1D.4s n ＋1答案 A解析直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0和l 2：t 2s x －y ＝0的交点是(s ，12t )，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线l 的方程为y ＝－tx n －1x ＋t ，与l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧t 2s x －y ＝0，y ＝－tx n －1x ＋t ，可得1x＝12s ＋1x n －1，即1x n ＝12s ＋1x n －1，所以1x n －1x n －1＝12s. 因此数列{1x n }是首项为1s ，公差为12s 的等差数列，则1x n ＝1s ＋(n －1)12s ＝n ＋12s ，故x n ＝2sn ＋1. 2．(2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝ ( )A ．2B ．4C ．5D ．10答案 D 解析如图，以C 为原点，CB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，则D (b 2，a 2)，P (b 4，a 4)，由两点间的距离公式可得|PA |2＝b 216＋9a216，|PB |2＝9b 216＋a 216，|PC |2＝b 216＋a 216.所以|PA |2＋|PB |2|PC |2＝1016a 2＋b 2a 2＋b 216＝10. 3．若直线l ：y ＝kx －1与直线x ＋y －1＝0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 y ＝kx －1恒过C (0，－1)点．x ＋y －1＝0，令x ＝0，y ＝0，得A (0,1)，B (1,0)．只需l 与线段AB 有交点即可(不含A 、B )，而k CA 不存在，k 2＝k CB ＝1，∴k ∈(1，＋∞)．。

【高考调研】(新课标)河北省衡水重点中学高考数学课时作业讲解48 理

课时作业(四十八)1．下列命题中，正确的是( )A ．若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体B ．若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体C ．若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体D ．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台答案 C解析 A 错，如球．B 错，如平放的圆柱．C 正确．D 错．如正四棱台．2．(2012·新课标全国)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案 B解析由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB ＝6，CD ＝3，PC ＝3，CD 垂直平分AB ，且PC ⊥平面ACB ，故所求几何体的体积为13×(12×6×3)×3＝9. 3．(2011·新课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )答案 D解析根据分析，只能是选项D 中的视图．故选D.4．(2013·衡水调研)一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．1 C.23 D.13答案 C解析由三视图知，该几何体是一棱锥，其底面四边形的对角线互相垂直，且长都为2，棱锥高为1，所以，该几何体的体积为V ＝13×2×12×2×1＝23.5．(2011·江西文)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )答案 D解析被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D 符合．6. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如右图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )答案 C解析空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”，故正视图的高一定是2，正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的正视图可能是C.7．一个空间几何体的三视图如图所示，其主(正)视图是正三角形，边长为1，左(侧)视图是直角三角形，两直角边分别为32 和12，俯视图是等腰直角三角形，斜边为1，则此几何体的体积为( )A.32 B.33 C.312D.324答案 D解析根据三视图可知此空间几何体为三棱锥，其底面面积为S ＝12×1×12＝14，三棱锥的高为h ＝32，所以几何体的体积为V ＝13Sh ＝13×14×32＝324. 8．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )答案 A解析由作法规则可知O ′A ′＝2，在原图形中OA ＝22，O ′C ′∥A ′B ′，OC ∥AB ，选A.9.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为( )A ．上面为棱台，下面为棱柱B ．上面为圆台，下面为棱柱C ．上面为圆台，下面为圆柱D ．上面为棱台，下面为圆柱答案 C10．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )答案 C解析选项A 得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除1；而选项B 、D 所得几何体的体积都与π有关，排除B 、D ；易知选项C 符合．11．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为( )答案 B解析这个空间几何体的直观图如图所示，由题知，这个空间几何体的侧视图的底面一边长是3，故其侧视图只可能是选项B 中的图形．12．在几何体①圆锥；②正方体；③圆柱；④球；⑤正四面体中，自身三视图完全一样的几何体的序号是________．答案 ②④解析正方体的三视图都是正方形，球的三视图都是圆．13．下面是长方体积木堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块积木堆成．答案 414．等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．答案22解析 ∵OE ＝22－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24.∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.15．已知一几何体的三视图如下，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号)________．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．答案 ①③④⑤解析由三视图知，几何体是正四棱柱．所以从该几何体上任意选择4个顶点，它们所构成的几何图形只可能是：①③④⑤.16．(2012·辽宁)已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若PA ＝26，则△OAB 的面积为________．答案 3 3解析如图所示，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC .故可知PC 为球O 直径，则PC 的中点为O ，取AC 的中点为O ′，则OO ′＝12PA ＝ 6.又∵AC ＝32＋32＝26，PA ＝26，∴PC ＝62＋62＝4 3.∴球半径R ＝23，故OC ＝OA ＝OB ＝2 3. 又∵AB ＝23， ∴△OAB 为等边三角形．∴S △OAB ＝12×23×23×sin60°＝3 3.17.如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．解析 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图，如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正棱锥的高，则AD ＝3a .所以该平面图形(侧视图)的面积为S ＝12×3a ×3a ＝32a 2.18．如图是某几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．解析 (1)该几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体．由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)(cm 2)．所以几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．1．(2012·安徽)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．答案 ②④⑤ 解析如图所示，四面体ABCD 中，AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则△ABC ≌△CDA ≌△DCB ≌△BAD ，故②正确；∵△ABC ≌△CDA ≌△BAD ， ∴∠BAD ＝∠ABC ，∠CAD ＝∠ACB .∴∠BAC ＋∠CAD ＋∠BAD ＝∠BAC ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°，故③错；取AB ，BC ，CD ，DA 的中点M ，N ，P ，Q ，连接MN ，NP ，PQ ，MQ ，由此得，MN ＝QP ＝12AC ，NP ＝MQ ＝12BD .∵BD ＝AC ，∴MN ＝QP ＝MQ ＝NP . ∴四边形MNPQ 为菱形．∴对角线相互垂直平分，故④正确，①错误；而⑤正确，如AB ，AC ，AD 可作为△ABC 的三边．2．(2010·北京)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )答案 C解析结合正视图和侧视图可知，该空间几何体如图所示，故其俯视图为选项C 中的图形．3. (2011·山东文)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0答案 A解析把直三棱柱的一个侧面放在水平面上，当这个直三棱柱的底面三角形的高等于放在水平面上的侧面的宽度就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上即可满足要求，故命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，故命题③是真命题．4．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是( ) A．①②B．②③C．③④D．①④答案 B解析根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．5．(2013·杭州模拟)如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④答案 C6．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是( )答案 D解析通过分析正视图和侧视图，结合该几何体的体积为13，可知该几何体的底面积应为1，因此符合底面积为1的选项仅有D 选项，故该几何体为一个四棱锥，其俯视图为D.7．(2012·合肥调研)已知某一几何体的主视图与左视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为( )A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．①②③④答案 D解析因几何体的主视图和左视图一样，所以易判断出其俯视图可能为①②③④. 8.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，则所截得的图形可能是下图中的________．(把所有可能的图的序号都填上)答案 ①③9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图(或称正视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解析由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V －ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64； (2)该四棱锥有两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋822＝4 2.另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝42＋622＝5，因此 S 侧＝2(12×6×42＋12×8×5)＝40＋24 2. 10．已知正三棱锥V －ABC 的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积．解析 (1)如右图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴左视图中VA ＝42－23×32×232＝2 3.∴S △VBC ＝12×23×23＝6.。