§4-5 傅里叶级数逼近

试将f(x)展开成傅里叶级数。 解：
T 2
a0 an 1

1



f ( x)dx
1



xdx 1


2
1 x cos nxdx x sin nx n

0




f ( x) cos nxdx


0
0


0
sin nxdx
2 , 2 cos n 2 2 2 n 2 n n n n 0，

2
f ( )
又 f ( x)在(-,+)上除(x , 3 , )外处处连续且在[ , )分段单调, 由收敛定理，得f ( x)的傅里叶级数展开式为
f ( x)

4

2 1
2
cos x sin x
1 2
sin 2 x
2 3
2
cos 3x
3 [ , )单调增加，由收敛定理，得
2 sin x 3 18 3


x
3 2 x 2 bn 2 sin sin nxdx 0 3
在( , )是奇函数，an 0
(n 0,1, 2, )


0
1 1 cos( n) x cos( n) x dx 3 3
1 1 sin(n ) sin( n ) 6 3 3 3n 1 3n 1
n 1
称为f(x)的傅里叶级数，记为
f ( x) a0 2 (an cos nx bn sin nx)
n 1
5

(5)
特别地：如f(x)在[-,]上是奇函数，则
1 a n b 2 n




f ( x ) cos nxdx 0
a0 2
(an cos nx bn sin nx)
n 1

(2)
…………………………………………………三角级数 预备工作： 三角函数系： 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，cosnx，sinnx，… （3） 三角函数系的性质： 性质1：（正交性）任意两个不相同的函数的乘积在[-, ]上的 积分都等于零，即
§4-5 傅里叶级数逼近 一、傅里叶级数的概念和收敛定理 引言：周而复始的运动在自然界和工程技术中经常会遇到，例 如：电动机的运转、交流电路中电流、电压的变化以及心电图 波谱分析，…….，等，反映到数学上，就是通常所说的函数 的周期性，正弦型函数是其中最简单的周期函数。为了研究周 期函数，联想到用幂级数来表示和讨论函数，我们自然会想到 将周期为2的函数f(x)用一系列三角函数 Ansin(nx+n) （n=1,2,3,……）之和来表示。记为：
1 1 sin( n ) x sin( n ) x 2 3 3 1 1 n n 3 3

0
13
1 1 sin(n ) sin( n ) 6 3 3 3n 1 3n 1

3 3 cos n cos n 6 2 2 3n 1 3n 1
收敛性及其和函数 周期函数展开成三角级数
首先讨论第二个问题： 设f(x)的周期是2，如果f(x)可以展开成三角函数（2），即
f ( x) a0 2 ( an cos nx bn sin nx)
n 1
为确定系数a0，an，bn，我们假定上式右端可逐项积分
3
由



f ( x )dx


bn sin nx cos kxdx)

得
a


cos kx cos kxdx ak
ak bk 1

1



f ( x) cos kxdx f ( x) sin kxdx
k 1, 2,
k 1, 2,
同理可得




4
由以上讨论可知，如果周期为2 的周期函数f(x)在[-, ]上可 积，则系数a0，an，bn完全由f(x)所确定，并且是唯一的。 定义6：设f(x)是以2为周期的周期函数，如果
1
1
(1)
n
1
n为奇数 n为偶数
(n 1, 2, )
11
1 bn f ( x) sin nxdx x sin nxdx x cos nx 0 cos nxdx n 0 0 1 , n是奇数 n 1 n 1 1 ( 1) cos n 2 sin nx ( n 1, 2, ) n n n 0 1 , n是偶数 n
18 3 ( 1) n 1 n 2 9n 1
(n 1, 2, )
f ( x)的傅里叶级数为
18 3


n 1

( 1)
2
n 1
n
9n 1
sin nx
又f ( x) 2 sin
x
在( ,+)上除x , 3 , 外处处连续且在
8
例1 设f(x)是以2π为周期的周期函数，它在[-, ]上为
( x 2 ) f ( x) x
2
x 0 0 x
试给出以2为周期的傅里叶级数的和函数s(x)。 解：因为f(x)在[-, ]上除x=0点外处处连续，所以满足狄利克雷 充分条件
s (0) f (0 0) f (0 0) 2
1

1

f ( x)的傅里叶级数为：

4

2 1
2
cos x sin x
1 2
sin 2 x
2 3
2
cos 3 x
1 3
sin 3 x
1 4
sin 4 x

当x 时，f ( x)的傅里叶级数收敛于
f ( 0) f ( 0) 2
1 3
sin 3x
1 4
sin 4 x
12 ( x 且x , 3 , )
例3 周期为2的周期函数f ( x) 2 sin 级数逼近。 4-5 （3） 1
x 3
( x )用傅里叶
解：
-3
-
y
0

3
x
f ( x) 2 sin
第 步：画出f ( x)的图形； 1
第2步：求f ( x)的傅里叶系数 an bn 1

1



f ( x) cos nxdx
n 0,1, 2, n 1, 2,




f ( x ) sin nxdx
第3步：写出f ( x)的傅里叶级数 f ( x) a0 2 ( an cos nx bn sin nx)
2 2 ,
s ( )
f ( 0) f ( 0) 2


2
2
( x 2 ) 2 2 s ( x) x 2 2
2
x 0 x0
0 x
x
9
二、周期为2的函数的傅里叶级数展开式
n 1
第4步：按收敛定理，可得f ( x)在连续点x处的傅里叶级数 展开式为 f ( x) a0 2 ( an cos nx bn sin nx)
n 1
10
例2 周期为2的脉冲电压（或电流）函数f(x)在[-π,π)的表示式为
0 f ( x) x x 0 0 x
f ( x) f ( x 0) f ( x 0) s ( x) 2 f ( 0) f ( 0) 2 x是f ( x )的连续点
x是f ( x)的间断点
x
当f(x)在[-, ]如能用傅里叶级数逼近时，这个级数也称为f(x) 的傅里叶展开式。
A0 An sin( nx n )
n 1
(1)
An sin(nx n ) An sin n cos nx An cos n sin nx a0 令A0 ，An sin n an，An cos n bn (n 1, 2, 3, ) 2 a0 则 ( an cos nx bn sin nx) (2) 1 2 n 1
an
bn
1

1



f ( x) cos nxdx
f ( x) sin nxdx
n 0,1, 2,
(4) n 1, 2, 3,




存在，则称为f(x)的傅里叶系数，并把级数
a0 2 ( an cos nx bn sin nx)
6
总结前面的讨论：定义在(-∞,+∞)上的周期为2的周期函数f(x) 如果在[-, ]上可积，则系数a0，an，bn完全由f(x)所确定，并且 是唯一的。由此可以得到f(x)的傅里叶级数
f ( x)
1 a n 其中 b 1 n

a0 2
( an cos nx bn sin nx)
n 0,1, 2,


f ( x) sin nxdx
n 1, 2, 3,
0
f ( x)
b
n 1
n
sin nx..................................正弦级数
如f(x)在[-,]上是偶函数，则
2 a n b 1 n


f ( x) cos nxdx

n 0,1, 2,
0



f ( x) sin nxdx 0
n 1, 2, 3,
f ( x)
a0 2
an cos nx..........................余弦级数
n 1
7
定理13（收敛定理----狄里克雷充分条件）：若周期为2的周 期函数f(x) 它在一个周期[-, ]内满足： （1）逐段连续（即只有有限个第一类间断点）； （2）分段单调（即只有有限个极值点或可把[-, ]分成有限 个子区间，使函数在每个子区间上单调）。 则f(x)的傅里叶级数在[-, ]上收敛，且其和函数为



a0 2 1
dx (
n 1



an cos nxdx


bn sin nxdx) a0
得
再由
a0




f ( x)dx



f ( x) cos kxdx




a0 2
k
cos kxdx (
n 1



an cos nx cos kxdx
cos nxdx sin nxdx 0， cos mx cos nxdx 0 (m n)




sin mx sin nxdx 0 (m n)， cos mx sin nxdx 0



(m, n 1, 2, )
n 1



f ( x) cos nxdx
n 0,1, 2, n 1, 2, 3,



f ( x) sin nxdx
反过来（即第一个问题）：定义在(-∞,+∞)上的周期为2的周 期函数f(x)如果在[-, ]上可积，f(x)的傅里叶级数一定存在，f(x) 的傅里叶级数是否收敛？如果收敛，其和函数是否等于f(x)？ 以下的定理回答了该问题。
上述性质通常称为三角函数系（3）在[-, ]上具有正交性。
2
性质2：任意二个相同函数的乘积在[-, ]上的积分都不等于零， 即



1 dx 2， cos nxdx sin nxdx
2 2 2
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(m, n 1, 2, )
对三角级数(2)，仍需讨论两个问题