第1章+线性规划与单纯形法-第2节-清华大学运筹学第三版课件
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现取 X(1)=［(x1-μα1),(x2-μα2),…,(xm-μαm),0,…，0］ X(2)=［(x1+μα1),(x2+μα2),…,(xm+μαm),0,…，0］ 由X(1),X(2)可以得到X=（1/2）X(1)+（1/2）X(2)， 即X是X(1)，X(2)连线的中点
另一方面，当μ充分小时，可保证
j1
• 因X(1)≠X(2)，所以上式系数不全为零， 故向量组P1,P2,…，Pm线性相关，与假设 矛盾。即X不是基可行解。
引理2 若K是有界凸集，则任何一点X∈K 可表示为K的顶点的凸组合。
• 本引理证明从略，用以下例子说明这引理。
• 例5 设X是三角形中任意一点，X(1),X(2)和X(3) 是三角形的三个顶点，试用三个顶点的坐标 表示X(见图
引理 1 线性规划问题的可行解X=(x1,x2,…，xn)T为
基可行解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向 量是线性独立的。
证: (1) 必要性由基可行解的定义可知。
(2) 充分性若向量P1，P2，…，Pk线性独立，
则必有k≤m；当k=m时，它们恰构成一个基，从而 X=(x1,x2,…,xk,0…0)为相应的基可行解。当k＜m时， 则一定可以从其余的列向量中取出m-k个与
证： 设X(1),X(2)，…，X(k)是可行域的顶点， 若X(0)不是顶点，且目标函数在X(0)处达到 最优z*=CX(0)(标准型是z=max z)。
代入目标函数得
k
k
CX 0C iXi iCX i （1- 10）
i1
i1
在所有的顶点中必然能找到某一个顶点X(m)，使CX(m)是所
有CX(i)中最大者。并且将X(m)代替(1-10)式中的所有X(i)，
P1，P2，…，Pk
构成最大的线性独立向量组，其对应的解恰为X， 所以根据定义它是基可行解。
定理2 线性规划问题的基可行解X对应于可行 D的顶点。
证：不失一般性，假设基可行解X的前m个分量为
正。故
m
Pjx j b j 1
（1-8）
现在分两步来讨论，分别用反证法。
(1) 若X不是基可行解， 则它一定不是可行域D的顶点
2.2 几个定理
• 定理1 域
若线性规划问题存在可行域，则其可行
DX
n
Pjxj
j1
b,
xj 0
• 是凸集
证：为了证明满足线性规划问题的约束条件
n
Pjxj b, xj 0, j1,2,,n
j1
的所有点(可行解)组成的集合是凸集， 只要证明D中任意两点连线上的点必然在D内即可。
设
X1 x1 1,x2 1, , xn 1 T
• 根据引理1，若X不是基可行解，则其正分量 所对应的系数列向量P1，P2，…，Pm线性相关， 即 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 αi,i=1,2,…,m 使 得
• α1P1+α2P2+…+αmPm=0 (1-9)
• 用一个μ＞0的数乘(1-9)式再分别与(1-8)式 相加和相减，。
这样得到 (x1-μα1)P1+(x2-μα2)P2+…+(xm-μαm)Pm=b (x1+μα1)P1+(x2+μα2)P2+…+(xm+μαm)Pm=b
• X=λ［αX(1)+(1-α)X(3)］+(1-λ)X(2) • =λαX(1)+λ(1-α)X(3)+(1-λ)X(2)
令 μ1=αλ,μ2=(1-λ),μ3=λ(1-α)
• 这就得到 • X=μ1X(1)+μ2X(2)+μ3X(3) • ∑iμi=1,0＜μi＜1
定理 3 若可行域有界，线性规划问题的目标函
X的每一个分量是xj xj1 (1)xj2 ，将它代入约束条件，
得到
n
n
Pj xj Pj xj1 1xj2
j1
j1
n
n
n
Pj xj1 Pj xj2 Pj xj2
j1
j1
j1
bbb b
又 因 x j 1 , x j 2 0 , 0 , 1 0 ， 所 以 x j ≥ 0 ， j = 1 , 2 , … , n 。
这就得到
k
k
iCX i iCX mCX m
i1
i1
• 由此得到
X(0)≤CX(m)
数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。
证 设X(1),X(2)，…，X(k)是可行域的顶点，若 X(0)不是顶点，且目标函数在X(0)处达到最优 z*=CX(0)(标准型是z=max z)。
因X(0)不是顶点，所以它可以用D的顶点线性表 示为
k
k
X0 ixii ,i 0, i 1
i1
i1
定理3的证明：
• 使 X=αX(1)+(1-α) X(2) ， 0＜α＜1 • 设 独 于X立X(是1。)，基当X可(j2＞)行是m解可时，行，对域有应的xj向两=x量点j(1。组)=x应Pj1(…满2)=P足0m线，性由
m
m
Pjxj1 b 与 Pjxj2 b
j1
j1
将这两式相减，即得
m Pj xj1 xj2 0
X2 x1 2,x2 2, ,xn 2 T
是D内的任意两点；X(1)≠X(2)。
则有
n
Pjxj1 b,xj1 0, j1,2,,n
j1
n
Pjxj2 b,xj2 0, j1,2,,n
j1
令X=(x1，x2，…，xn)T为x(1),x(2)连线上的任意一点，即 X=αX(1)+(1-α)X(2) (0≤α≤1)
• xi±μαi≥0，i=1,2,…,m • 即X(1)，X(2)是可行解。 • 这证明了X 不是可行域 D 的顶点。
(2) 若X不是可行域D的顶点，则它一 定不是基可行解
因为X不是可行域 D 的顶点，故在可行域D 中可找到不同的两点 • X(1)=(x1(1),x2(1),…,xn(1))T • X(2)=(x1(2),x2(2),…,xn(2))T
解 任选一顶点X(2)，做一条连线XX(2)；并延长交于 X(1)、X(3)连接线上一点X′。因X′是X(1)、X(3)连线
上一点，故可用X(1)、X(3)线性组合表示为
• X′=αX(1)+(1-α)X(3) 0＜α＜1 • 又因X是X′与X(2)连线上的一个点，故
• X=λX′+(1-λ)X(2) 0＜λ＜1 • 将X′的表达式代入上式得到
另一方面，当μ充分小时，可保证
j1
• 因X(1)≠X(2)，所以上式系数不全为零， 故向量组P1,P2,…，Pm线性相关，与假设 矛盾。即X不是基可行解。
引理2 若K是有界凸集，则任何一点X∈K 可表示为K的顶点的凸组合。
• 本引理证明从略，用以下例子说明这引理。
• 例5 设X是三角形中任意一点，X(1),X(2)和X(3) 是三角形的三个顶点，试用三个顶点的坐标 表示X(见图
引理 1 线性规划问题的可行解X=(x1,x2,…，xn)T为
基可行解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向 量是线性独立的。
证: (1) 必要性由基可行解的定义可知。
(2) 充分性若向量P1，P2，…，Pk线性独立，
则必有k≤m；当k=m时，它们恰构成一个基，从而 X=(x1,x2,…,xk,0…0)为相应的基可行解。当k＜m时， 则一定可以从其余的列向量中取出m-k个与
证： 设X(1),X(2)，…，X(k)是可行域的顶点， 若X(0)不是顶点，且目标函数在X(0)处达到 最优z*=CX(0)(标准型是z=max z)。
代入目标函数得
k
k
CX 0C iXi iCX i （1- 10）
i1
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在所有的顶点中必然能找到某一个顶点X(m)，使CX(m)是所
有CX(i)中最大者。并且将X(m)代替(1-10)式中的所有X(i)，
P1，P2，…，Pk
构成最大的线性独立向量组，其对应的解恰为X， 所以根据定义它是基可行解。
定理2 线性规划问题的基可行解X对应于可行 D的顶点。
证：不失一般性，假设基可行解X的前m个分量为
正。故
m
Pjx j b j 1
（1-8）
现在分两步来讨论，分别用反证法。
(1) 若X不是基可行解， 则它一定不是可行域D的顶点
2.2 几个定理
• 定理1 域
若线性规划问题存在可行域，则其可行
DX
n
Pjxj
j1
b,
xj 0
• 是凸集
证：为了证明满足线性规划问题的约束条件
n
Pjxj b, xj 0, j1,2,,n
j1
的所有点(可行解)组成的集合是凸集， 只要证明D中任意两点连线上的点必然在D内即可。
设
X1 x1 1,x2 1, , xn 1 T
• 根据引理1，若X不是基可行解，则其正分量 所对应的系数列向量P1，P2，…，Pm线性相关， 即 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 αi,i=1,2,…,m 使 得
• α1P1+α2P2+…+αmPm=0 (1-9)
• 用一个μ＞0的数乘(1-9)式再分别与(1-8)式 相加和相减，。
这样得到 (x1-μα1)P1+(x2-μα2)P2+…+(xm-μαm)Pm=b (x1+μα1)P1+(x2+μα2)P2+…+(xm+μαm)Pm=b
• X=λ［αX(1)+(1-α)X(3)］+(1-λ)X(2) • =λαX(1)+λ(1-α)X(3)+(1-λ)X(2)
令 μ1=αλ,μ2=(1-λ),μ3=λ(1-α)
• 这就得到 • X=μ1X(1)+μ2X(2)+μ3X(3) • ∑iμi=1,0＜μi＜1
定理 3 若可行域有界，线性规划问题的目标函
X的每一个分量是xj xj1 (1)xj2 ，将它代入约束条件，
得到
n
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Pj xj Pj xj1 1xj2
j1
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n
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n
Pj xj1 Pj xj2 Pj xj2
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bbb b
又 因 x j 1 , x j 2 0 , 0 , 1 0 ， 所 以 x j ≥ 0 ， j = 1 , 2 , … , n 。
这就得到
k
k
iCX i iCX mCX m
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i1
• 由此得到
X(0)≤CX(m)
数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。
证 设X(1),X(2)，…，X(k)是可行域的顶点，若 X(0)不是顶点，且目标函数在X(0)处达到最优 z*=CX(0)(标准型是z=max z)。
因X(0)不是顶点，所以它可以用D的顶点线性表 示为
k
k
X0 ixii ,i 0, i 1
i1
i1
定理3的证明：
• 使 X=αX(1)+(1-α) X(2) ， 0＜α＜1 • 设 独 于X立X(是1。)，基当X可(j2＞)行是m解可时，行，对域有应的xj向两=x量点j(1。组)=x应Pj1(…满2)=P足0m线，性由
m
m
Pjxj1 b 与 Pjxj2 b
j1
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将这两式相减，即得
m Pj xj1 xj2 0
X2 x1 2,x2 2, ,xn 2 T
是D内的任意两点；X(1)≠X(2)。
则有
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Pjxj1 b,xj1 0, j1,2,,n
j1
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Pjxj2 b,xj2 0, j1,2,,n
j1
令X=(x1，x2，…，xn)T为x(1),x(2)连线上的任意一点，即 X=αX(1)+(1-α)X(2) (0≤α≤1)
• xi±μαi≥0，i=1,2,…,m • 即X(1)，X(2)是可行解。 • 这证明了X 不是可行域 D 的顶点。
(2) 若X不是可行域D的顶点，则它一 定不是基可行解
因为X不是可行域 D 的顶点，故在可行域D 中可找到不同的两点 • X(1)=(x1(1),x2(1),…,xn(1))T • X(2)=(x1(2),x2(2),…,xn(2))T
解 任选一顶点X(2)，做一条连线XX(2)；并延长交于 X(1)、X(3)连接线上一点X′。因X′是X(1)、X(3)连线
上一点，故可用X(1)、X(3)线性组合表示为
• X′=αX(1)+(1-α)X(3) 0＜α＜1 • 又因X是X′与X(2)连线上的一个点，故
• X=λX′+(1-λ)X(2) 0＜λ＜1 • 将X′的表达式代入上式得到