06第二章 刚体基本运动
刚体的基本运动
v A = v B , a Aτ = a Bτ
又 υ A = R1ω1 , υ B = R2ω2 , a Aτ = R1ε 1 , a Bτ = R2ε 2 R1ω1 = R2ω2 , R1ε 1 = R2ε 2
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第二章 刚体的基本运动
传动比
i12 传动比
ω1 ε 1 R2 i12 = = = ω 2 ε 2 R1
aτ
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第二章 刚体的基本运动
转轴上各点的速度和加速度为零，离转轴愈远的点， 转轴上各点的速度和加速度为零，离转轴愈远的点，其 速度和加速度愈大。 速度和加速度愈大。 矢量表示法
ω o R v M ϖ β A
ε o R
aτ
r
ε
AM βຫໍສະໝຸດ r理论力学电子教程
第二章 刚体的基本运动
§2-3绕定轴转动刚体的问题
v r
ω
(1) 图2-1
υ
v
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第二章 刚体的基本运动
由于每转一周，半径减小b,而当角速度时，半径变化 b dr = − dϕ 2π
dr b dϕ b =− =− ω 故： dt 2π dt 2π
(2)
将(2)式代入(1)式得:
bυ 2 ε= 2πr 3
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第二章 刚体的基本运动
Z4 Z1 Z2 v
v
z1 z3 2πn4 2π 42 25 n4 = × × n1 , ω4 = = ⋅ ⋅ ⋅ 700 = 3.94rad / s z2 z4 60 60 132 148 v = r ⋅ ω 4 = 1× 3.94 = 3.94 rad s
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第二章 刚体的基本运动
2刚体基本运动
R
M
v=R
方向垂直于半径，大小与到转轴的距离成正比 an at
10
加速度(大小) ：
at Rα
方向垂直于半径
2
an R
方向沿半径指向圆心
加速度(大小) ：
方向垂直于半径 方向沿半径指向圆心
at Rα
an R 2
全加速度： a
大小： a
an
a at
at an ;
问题：动系O1 x y z 绕 z轴转动，角速度为
，基矢量为(i , j , k)。求
di ωi dt dj ω j dt dk ωk dt
di ? dt
dj dk ? ? dt dt
泊松公式
14
例：垂直起降机的转动方程= 4t 9.5t 2 ,鼓轮半径R=20cm,求：当 t=4s时重物的速度、加速度，鼓轮的角速度、角加速度。 解: 10t 19t
O1 φ l A O
（+）
O2
解： 荡木作平移
l
vA
M
vM
vM v A
B
aM aA
vA l
其中 则
π π 0 cos t 4 4 π π v A l 0 cos t 4 4
16
方向垂直O1A
π π v A l 0 cos t 4 4
O1 φ O2
1 aB aA 5m / s2 2
aB
60
12
速度与加速度的三维矢量表示法 z
三维定轴 转动刚体
考察三维定轴转动刚体
研究M点速度、加速度 M点速度
O' R
刚体运动学原理理解刚体在运动中的基本行为
刚体运动学原理理解刚体在运动中的基本行为刚体（rigid body）是指在运动过程中形状保持不变的物体。
而刚体运动学是研究刚体在运动中的基本行为和性质的物理学分支。
刚体运动学理论可以帮助我们分析和描述刚体的运动方式、速度、加速度以及与其他物体之间的相互作用等。
一、刚体的定义和基本特性刚体是指一个物体的形状在运动过程中保持不变，即其内部各个点之间的距离和角度不会发生变化。
这就意味着刚体的旋转轴和平动轴是重合的，刚体不会发生形变。
刚体运动学理论的基本特性有：1. 刚体的运动是由物体整体的平动和转动两部分构成的。
平动是指刚体作为一个整体沿直线运动，而转动是指刚体绕一个固定点或固定轴进行旋转。
2. 刚体运动学只考虑刚体的几何特性和其所受到的外部作用力，而不考虑内部的形变和应力等因素。
3. 刚体运动学的分析可以用向量和坐标系等工具进行描述，从而对刚体的位移、速度和加速度等进行量化和计算。
二、刚体的平动运动刚体的平动运动是指刚体作为一个整体沿直线运动，与转动无关。
在刚体平动运动中，刚体的各个点具有相同的位移和速度。
我们通过以下几个要素来描述刚体的平动运动：1. 位移（displacement）：位移是指刚体从一个位置移动到另一个位置的偏移量。
在刚体平动运动中，各个点的位移是相等的。
2. 速度（velocity）：速度是指单位时间内刚体的位移量。
在刚体平动运动中，各个点的速度也是相等的。
3. 加速度（acceleration）：加速度是指单位时间内速度的变化量。
在刚体平动运动中，刚体的加速度是常量，各个点的加速度也是相等的。
三、刚体的转动运动刚体的转动运动是指刚体绕一个固定点或固定轴进行旋转。
在刚体转动运动中，刚体的各个点具有不同的位移和速度。
我们通过以下几个要素来描述刚体的转动运动：1. 角位移（angular displacement）：角位移是指刚体绕固定点或固定轴从一个角度位置转动到另一个角度位置的偏移量。
大学物理_第二章_刚体
2rdr
m
R2
2
rdr
(2) 求 d J
利用上题结果 dJ = r2 dm
r 0
(3) 求 J
dr
J
r 2dm
m
Rr2
0
m
R2
2
rdr
1 mR 2 2
J 1 mR 2
2
例3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量
对质心轴 （1） dm dx m dx
l
mO
在半径为r、宽度为dr的面积元dS上的质元
0
具有相同的线速度v。则dS上阻力的大小为:
dF f dS f 2 r dr
考虑盘的上下表面，故阻力矩大小为
dM 2 r dF
总阻力矩
R
M dM 0 (2r f 2 r)dr
m
R
0 (2r kv 2 r)dr
与力的作用点的位置和方向都有关。即，只有力矩才
能改变刚体的转动。当M=0时，刚体匀速转动或静止
r
f11 f
f⊥
m
M
r
f
M r f11 f rf11 r f
对转动没影响 M r f r f
大小f：应 M 理 r解f s为 in在方转向动：平沿面r 内f
2
1 3
mL2
又如求均匀圆盘对于通过其边缘一点 O 的平行
轴的转动惯量:
JO JC md2
Jo
1 2
mR2
mR2
3 mR2 2
第二章 刚体的基本运动x
A
第二节 刚体的定轴转动及体内各点的速度、加速度点的运动学
加速度的两个分量
vM aM φ O an α at M
at r 0.36 m s－2
an r 2 0.648 m s－2
总加速度 aM 的大小和方向
aM at an 0.741 m s－2
2 2
ω
首先根据滑轮的转动规律，求 解：
vM M O α ω
得它的角速度和角加速度
0.45t 2
代入
0.9t
t =2s， 得
1.8 rad s－1 －2 1.8 rad s
轮缘上 M 点上在 t =2s 时 的速度为 vM r 0.36 m s－1
ω1 α1 ω2
Ⅱ
r2
M1 M2 O2 α2
时主动轮 Ⅰ 的角速度为 ω1 ，角加速 度为 α1 ，试求该瞬时从动轮 Ⅱ 的角
速度 ω2 和角加速度 α2 ，为简便起
见，本例的ω1，ω2，α1，α2都代表绝 对值。
第二节 刚体的定轴转动及体内各点的速度、加速度点的运动学
齿轮传动可简化为两轮以节圆相切并在切点处无相对滑动， 解： 因而两轮的啮合点M1与M2恒具有相同的速度与切向 加速度。即
π 0l 16
an (m· s－ 2 )
π2 2 0 l （铅直向上） 16
0
0
第二节 刚体的定轴转动及体内各点的速度、加速度点的运动学
第二节 刚体的定轴转动及 体内各点的速度、加速度
第二节 刚体的定轴转动及体内各点的速度、加速度点的运动学
第二节 刚体的定轴转动及体内各点的速度、加速度点的运动学
tan 2 0.556,
理论力学 第二章 刚体的基本运动
0
nπ 式中n为转速 单位：转/ 分(r/min) 。 山东大学 土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带 轮传动同样适用。 在一些复杂轮系（如变速器） 中包含有几对齿轮。可将每一对 齿轮的传动算出后，将它们连乘 起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M
O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解 ： AB 杆 为 平 移 ， O1A 为 定 轴 转 动 。 根 据 平移的特点，在同一瞬 时，M、A两点具有相同 的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动
刚体运动的描述
60
rad/s；t
20s时, t
0.
t
0t
1 2
t2
600
rad
N
t 2
300 r
(2) t 0 t 60 3 10 30 rad/s
(3) t 10s时：
线速度：v r 0.5 30 47.1 m/s
切向加速度：at r 0.5 (3 ) 4.71 m/s2 法向加速度：an r 2 0.5 (30 )2 4.44 103 m/s2
刚体运动的描述
一、 刚体及其运动形式 1. 刚体 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体. (1) 刚体是任意两质点间距离均保持不变的特殊质点系; (2) 刚体是一种理想的力学模型.
2. 刚体的运动形式 平动
刚体的基本运动形式 转动
1. 刚体的平动 刚体运动时，若刚体内任意两点间的连线总是平行于
小结
本节课我们讲解了刚体的定义及其基本运动形式； 重点讲述了刚体定轴转动过程中的角坐标、角位移、 角速度和角加速度的概念以及刚体定轴转动的公式。
这部分内容是学习后面课程的基础，希望同学们课后 好好复习，熟练掌握。
其角加速度为负值；
方向: 与角速度增量的方向一致.
当与同号时，刚体加速转动；当与异号时，刚体减速转动.
3. 刚体定轴转动公式
(1) 角量和线量的关系
刚体上离转轴距离为 r 的质点的线速度与刚体的角速度之间
的关系为：v r
该点的切向加速度和法向加速度与刚体的角加速度和角速度
之间的关系分别为：at r an r 2
它们的初始位置间的连线，则刚体的这种运动叫做平动.
B A
B A
B A
平动的特点：
1) 刚体中各质点的 运动情况完全相同; 2) 刚体的平动可用 质点的运动来表示.
大学物理之刚体的基本运动
五、刚体的定轴转动程英豪5-1 刚体运动的基本概念一、刚体模型刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。
（物体内任意两点的距离不变）二、刚体的运动平动：刚体运动时，其内部任何一条直线，在运动中方向始终不变（各点位移、速度、加速度均相同，可视为质点，刚体质心的运动代表了刚体平动中每一质元的运动）转动：刚体的各个质点都绕同一直线(转动轴)作圆周运动。
质心轴：通过质心的转动轴。
定轴转动：转轴固定不动的转动。
旋进(进动)：转轴上一点静止，转轴方向变化。
平面平行运动：刚体内所有运动点都平行于某一平面(参考平面)。
刚体的一般运动：可以视为平动以及转动的合成。
三、转动惯性的量度（转动惯量）1、转动惯量定义：∑∆=iiizrmI2——对z轴的转动惯量连续分布有：⎰=dmrIz2刚体的转动动能：221ωz kI E =转动惯量的物理意义：Iz 表示刚体转动时惯性的大小。
转动惯量Iz 的大小决定于：1)刚体的质量：同形状的刚体，ρ越大，Iz 就越大；(2)质量的分布：质量相同，dm 分布在 r 越大的地方，则Iz 越大； (3)刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的Iz 。
2、、平行轴定理2mdJ J C +=——平行轴定理3、薄板的垂直轴定理z 轴与x 轴、y 轴两两垂直。
4、常见刚体的转动惯量5-2 刚体定轴转动的运动学规律1、角量与线量之间的关系对刚体上的质元 Pi ，2、角速度矢量5-3 刚体定轴转动的动力学规律一、刚体定轴转动定律dtd I M zz ω=（Mz ：总外力矩，各外力对转轴对z 轴的力矩代数和） Mz=0 时，刚体将保持静止或匀速(匀角速度)转动。
二、刚体定轴转动的动量矩定理 守恒定律 1.刚体定轴转动的动量矩 刚体对定轴 z 的动量矩：2.刚体定轴转动的动量矩定理I 可变化的质点系或非刚体的定轴转动⎰-=tt z z z I I dt M 00ωω3、刚体定轴转动动量矩守恒注意：（1）守恒条件为M=0；（2）内力矩不改变系统的动量矩；（3）动量矩守恒定律是自然界的一个基本定律。
02刚体的基本运动
a
a2
a2 n
0.42 0.82 m s2 0.894m s2
全加速度与半径的夹角为
tan 0.5
26 34'
2
因为 与 的正负号相反，因此，v与a 的指向也相反，可见
刚体在t=1s时是做减速转动。因绳不可伸长，且设轮与绳间无相对
滑动，故物体A的速度和加速度应等于轮缘上点M的速度和切向加
设轮Ⅰ是主动轮，轮Ⅱ是从动轮，传动比用来表示，则
Rz
i12
1
2
1
2
2
R1
2
z1
(2-16)
式(2-16)也适用于圆锥齿轮传动、摩擦轮传动等。
有些场合为了区分轮系中各轮的转向，对各轮都规定统一的转
动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而传动比也取代数值，
即
i 1 1 R2 z2
i13
n1 n3
n1 n2
n2 n3
z2 z1
z4 z3
i12 i23
故传动系统的总传动比等于各级传动比的连乘积。各轴的转向
如图2.11所示。由上式可得
i13
n 1
● 2.1 刚体的平动
刚体在运动时，若刚体上任意一直线始终与其初始位置 保持平行，则刚体的这种运动称为平行移动，简称平动。例 如，摆式输送机的送料槽的运动[见图2.1(a)]，车身在直线轨 道上的运动[见图2.1(b)]等，都具有上述的共同特点，因而都 是平动。
BA
设刚体相对于定坐标系作平动，在刚体上任取两点和，任意时 刻它们的位置分别由矢径和确定(见图2.2)。以矢径表示该两点的运 动方程分别为
刚体运动知识点总结
刚体运动知识点总结刚体运动是物理学中的一个重要研究领域，它涉及到力学、动力学等多个方面的知识。
在学习刚体运动的过程中，我们需要了解刚体的运动方式、刚体的平动和转动运动、刚体的运动方程、刚体动力学等知识点。
下面将针对这些知识点进行详细的总结和讨论。
一、刚体的运动方式刚体可以进行平动运动和转动运动。
在平动运动中，刚体上所有的点都以相同的速度和相同的方向运动。
在转动运动中，刚体绕着固定轴线旋转，使得刚体上的各个点绕着这个轴线做圆周运动。
刚体的平动运动可以分为匀速直线运动和变速直线运动两种情况。
在匀速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都保持不变；在变速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都在不断地变化。
刚体的转动运动可以分为定轴转动和不定轴转动两种情况。
在定轴转动中，刚体绕着固定的轴线旋转，而在不定轴转动中，刚体绕着移动的轴线旋转。
二、刚体的平动运动在学习刚体的平动运动时，我们通常关心刚体上各点的速度、加速度和位移等动力学量。
1. 速度：刚体上任意一点的速度可以表示为该点的瞬时线速度，即该点的位矢对时间的导数。
刚体上不同点的速度大小和方向可以不同，但它们的速度矢量之间满足相对运动关系。
2. 加速度：刚体上任意一点的加速度可以表示为该点的瞬时线加速度，即该点的速度对时间的导数。
刚体上不同点的加速度大小和方向可以不同，但它们的加速度矢量之间满足相对运动关系。
3. 位移：刚体上任意一点的位移可以表示为该点的位矢的变化量。
刚体上不同点的位移可以通过相对位移关系来描述。
刚体的平动运动可以通过运动方程来描述，其中包含了刚体上不同点的速度、加速度和位移之间的关系。
在解决刚体平动问题时，我们通常会使用牛顿运动定律和动量定理等知识来进行分析和求解。
三、刚体的转动运动在学习刚体的转动运动时，我们需要了解刚体绕着固定轴线旋转的运动规律，以及刚体上各点的角速度、角加速度和角位移等动力学量。
1. 角速度：刚体上任意一点的角速度可以表示为该点的瞬时角位置对时间的导数。
大物刚体知识点总结
大物刚体知识点总结一、刚体的定义1. 刚体是指物体的形状和体积在力作用下不发生变化的物体。
在刚体下，物体各质点的相对位置和方向保持不变，即不发生变形。
二、刚体的运动1. 刚体的平动运动：平动运动是指刚体的质心随时间变化的运动。
在平动过程中，刚体的形状保持不变，但质心的位置会随时间而发生改变。
2. 刚体的转动运动：转动运动是指刚体沿着固定轴线进行的运动。
在转动过程中，刚体的质点围绕着轴线作圆周运动，形成了转动运动。
三、刚体的运动学1. 刚体的位移：刚体的位移是指刚体在运动过程中位置的变化。
对于平动运动的刚体，位移是指质心位置的变化；对于转动运动的刚体，位移是指刚体围绕轴线旋转的角度。
2. 刚体的速度：刚体的速度是指刚体在单位时间内的位移变化量。
在平动运动中，刚体的速度等于质心的速度；在转动运动中，刚体的速度等于刚体围绕轴线旋转的角速度。
3. 刚体的加速度：刚体的加速度是指刚体速度在单位时间内的变化量。
在平动运动中，刚体的加速度等于质心的加速度；在转动运动中，刚体的加速度等于刚体围绕轴线旋转的角加速度。
四、刚体的动力学1. 刚体的力：刚体受到外力时会发生平动运动或转动运动。
外力可以分为两种：切向力和法向力。
切向力可以使刚体产生转动运动，而法向力可以使刚体产生平动运动。
2. 刚体的力矩：力矩是指外力在刚体上产生转动效果的力。
力矩的大小等于力的大小乘以力臂的长度，方向由右手螺旋定则确定。
3. 刚体的转动惯量：转动惯量是描述刚体对转动运动的惯性大小的物理量。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布和转动轴的位置，通常用I表示。
4. 刚体的角动量：刚体的角动量是描述刚体旋转速度和转动惯量之间的关系的物理量。
角动量的大小等于刚体的转动惯量与角速度之积，通常用L表示。
五、刚体的静力学1. 刚体的平衡：刚体在受力作用下处于平衡状态时，受力点所受的合力和合力矩均为零。
平衡状态分为稳定平衡、不稳定平衡和中立平衡。
2. 刚体的支反力：刚体在受力作用下，支持刚体静止的力叫做支持力，与支持力相抵消的力叫做反力。
刚体基本运动
即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小， 等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的 at 方向与速度垂直并指向轴线。
w
a
M
r a n
j
s
M0
O
2.3 转动刚体内各点的速度和加速度
点的全加速度为：
a
at
j
a at 2 an2 R a 2 w 4 at a tan 2 an w
2.1 刚体的平行移动
如果在物体内任取一直线段，在运动过程 中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种 运动称为平行移动，简称平动。
此处有影片播放
2.1刚体的平行移动
C
D
A
摆式输送机的料槽 筛分机构
B
直线行驶的列车车厢
2.1刚体的平行移动
在刚体上任取两点，令A的矢径为rA, B的矢径为rB,两条 矢端曲线是两点的轨迹。
动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。
r dr v lim dt t 0 t
动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿 动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。
1.1 矢量法
3. 加速度 点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加 速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。 点
1.3 自然法
全加速度为at和an的矢量和
a a t an
全加速度的大小和方向由下列二式决定：
v
大小：
at
a a t an
2
2
M
方向：
| at | tan an
an
a
例2：下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O 转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R＝16cm，料斗沿铅垂提 升的运动方程为y＝2t2，y以cm记，t 以s计。求卷筒边缘一点M在 t＝4s时的速度和加速度。
06 刚体的基本运动
3 1 ln 3 1 3 0 t
6.4 已知轮 I、II、III 的半径分别为 r1＝30cm，r2＝75cm，r3＝40cm，轮 I 的转速 n1＝ 100rpm。求物块 M 的上升速度，胶带 AB、BC、CD、DA 各段上点的加速度的大 小。 B A
r3
r2
n1
O1 DБайду номын сангаас
r1
2
O2
1
C
v
I
当 d＝r=5cm 时，
II
50 50 2 2 (rad/s2) 2 r 5 2n I II 20 (rad/s) 60
所以，当 d＝r 时，轮 II 边缘上的一点的全加速度的大小
2 4 a R II II 15 (2 )2 (20 )4 59218 (cm/ s2 )
a A a
n n aM aA a 2 ,
M 点：∵AB 杆作曲线平动，∴ vM v A a , 6.3
a M a A a
如图所示，一飞轮绕固定轴 O 转动，其轮缘上任一点 M 的全加速度在某运动 过程中与轮半径的交角恒为 60o。当运动开始时，其转角 0 0 ，角速度为0。求 飞轮的转动方程以及角速度与转角的关系。
M
解：
1
n1
30
， 2
1 r1
r2
AB 和 CD 之间各点作匀速直线运动， AD 和 BC 之间各点作匀速圆周运动，所以
a AD r112 32.9 (cm/s2)
2 a BC r2 2 13.16 (cm/s2)
aAB aCD 0 ， 物块 M 的上升速度 v M r3 2 1.676 (cm/s)
02 刚体的基本运动.
v R
2
21/24
3、图示刚体上各点的速度和加速度的大小和方向对否？
22/24
本章小结
重点： 刚体平动概念及特性
难点： 刚体定轴转动位置角、 角速度、角加速度 刚体转动时其上各点 的速度、角速度、加 速度、角加速度
23/24
作 业
第2-2，2-3，2-6题。
24/24
vB
A、当刚体平动时，必有 A B。
B、当 A B 时，刚体必作平动。 C、当物体作平动时，必有 A B , 但 A 与 B 的方向 可能不同 。 A 与 B 的方向必然相同，但有可 D、当物体作平动时， 能 A B
t
ds vA L0 cos t dt 4 4
2 L0 dv a sin t dt 16 4
v 2 2 L0 2 2 an cos t L 16 4
6/24
§2－2刚体的定轴转动
定轴转动: 刚体运动时,刚体内或外某一直线 Z 始终保持不动.
14/24
因绳不可伸长，且设轮与绳间无相对滑动，
故物体A的速度和加速度应等于轮缘上点M的速度和切向加速度，
vA vM 0.4m s
可见物体减速下降。
aA aM 0.4m s 2
15/24
【思考题】
1. 是非题 (1)某瞬时,刚质上有两点的轨迹相同,则刚体做平动。 （ ） (2)平动刚体上任一点的运动轨迹不可能是空间曲线 （ ） (3)如果刚体上任一点的轨迹都是圆曲线,则刚体 一定作定轴转动。 （ ）
v R 0.4 mR 2 0.8m s 2
点M的全加速度的大小为
06第二章 刚体基本运动
0 53
vx vy vz 10 3 15 10
75 3i 200 j 75k
a
at
an
( 15π 2
75
3)i 200 j 75k
例 设有一组坐标系 O x y z 固结在刚体T 上，并随同
该刚体绕固定轴 z 以角速度 转动，如图所示。试证明:
di ω i , dj ω j , dk ω k
A B
j
j 是代数量，用右手螺旋定则来确定转角的正负号
从 z 轴的正向往负向看去，逆时针转向为正，反之为负。
2、角速度和角加速度
角速度:
v
j rad/s
角加速度:
j rad/s2
A
角速度和角加速度也是代数量.
B 角速度和角加速度同号时，加速转动.
j
在工程中，可以用转速 n 来表示转动快慢程度.
lj0
sin
π 4
t
o1
jl
A
o
o2
l
M
B
vM
vA
ds dt
π 4
lj0
cos
πt 4
aMt
aAt
dvA dt
π2 16
lj0
sin
πt 4
t=2s时:
vM 0
aMt
π2
16
lj0
aMn
aAn
vA2 lBiblioteka π2 16lj02
cos2
πt 4
aMn 0
§2-2 刚体的定轴转动
第二章 刚体的基本运动
ω
角加速度矢ε
dω d (ωk ) ε εk dt dt
结论：角加速度矢ε为角速度矢ω对时间的一阶导数。 二、点的速度和加速度
点的速度矢
v = ×r 结论：绕定轴转动的刚体内任
M
R
z
O
v = ×r
一点的速度矢等于刚体的角速
度矢与该点矢径的矢积。
r A
点的加速度矢
dv d (ω r ) dω dr a r ω ε r ω v dt dt dt dt at= ×r ——切向加速度
φ(t ) φ(0) ωt
角速度ω（rad/s）与转 速n（r/min）的关系：
ε t2 φ(t ) φ(0) ω(0)t 2
由上述两式消去t得
2 ( t ) (0) 2 [ (t ) (0)] 2
2πn ω 0.1n 60
【例2-1】图示机构中套筒A套在摇杆O2B上并与曲柄 O1A以销钉连接。当O1A转动时通过套筒A带动O2B 杆 左右摆动。设O1A杆长为 r并以匀角速转动。设t=0 时O1A杆位于铅垂位置，写出O2B杆的转动方程并求 出其角速度及角加速度。 O1 【解】1）求O2B杆的转动方程 B 在三角形O1O2A中，由正弦定理知 l A r sin θ sin φ sin[π (φ θ )] φ arct an r l l r cos θ r sin ωt O2 arct an l r cos ωt 2）求O2B杆的角速度
它是一个代数量。
2
弧度/秒，用符号rad/s表示。 若ε与ω同号，表示加 速转动，异号则表示 它是一个代数量，符号规 减速转动。 定与转角符号规定一致。
四、两类特殊转动
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若角速度为常量（匀速转动）：
常量 0 j j0 t
二、转动刚体内各点的速度、加速度
1、定轴转动刚体上点的运动方程
s Rj
2、速度
M
v
v s Rj R
s
j
R M0
3、加速度 切向加速度
at v R R
法向加速度
s
at M an
j
a R M0
当有n级传动时，总传动比为各级传动比的乘积。
i16 i12 i34 i56
例：减速箱由四个齿轮构成，z1=36，z2 =112，z3 =32，z4=128。 如主动轴I的转速n1=1450 r/min,试求从动轮IV的转速n4。
V
n
解： i12 i34
aB
B
C O
aC
a
O
思考
判断下面的说法是否正确 平移刚体的角速度不一定等于零. 错误
若刚体上所有的点的运动轨迹都为一个圆，则该刚体
一定作定轴转动
错误
课堂讨论
若 vA=vB, AB 杆作什么运动? 平移？定轴转动？
A
vA
B
vB
例 摩擦传动机构的主动轴I的转速为 n 600 r/min 。轴I的
ω
dt
0 角速度矢与k 同向
k
0 角速度矢与k 反向
z
ω
k
2、角加速度矢量
α k
式中： & j&&
z
z
α d k dω
dt dt
α
α
0 角加速度矢与k 同向
k
k
0 角加速度矢与k 反向
3、转动刚体内点的速度的矢积表示
z
v RM
在转轴上任取一点O为原点， 刚体内M点的矢径为r，则有
轮盘与轴Ⅱ的轮盘接触，接触点按箭头A所示的方向移动。距
离d 的变化规律为 d 100 5t ，其中 d 以mm计，t 以s计。 已知 r 50 mm ，R 150 mm 。
求：（1）以距离 d 表示轴II的角加速度；
（2）当 d r 时，轮 Ⅱ 边缘上一点的全加速度。
解 （1）求以距离 d 表示轴 II 的角加速度；
n1 n2 n3 n4
z2 z1 z4 z3
z1=36，z2 =112，z3 =32，z4=128
V
n
i14
i12 i34
n1n3 n2n4
z2 z4 z1 z3
n2 n3
i14
n1 n4
z2 z4 z1 z3
12.4
n4
n1 i14
αr ω
O
ω v v sin 90o v R2 an
ω v 方向与点M的法向加速度相同。 an ω v
结论：
v ωr at α r an ω v
转动刚体上任一点的速度矢等于刚体的角速度矢与 该点的矢径的矢积。
转动刚体上任一点的切向加速度矢等于刚体的角加 速度矢与该点的矢径的矢积。
an v2 / R
(R)2 / R R 2
a an2 at2 (R )2 (R 2 )2 R 2 4 tan at / an /2
定轴转动刚体上点的速度分布规律
vA A
v
B
vB
O
O
vC C
定轴转动刚体上点的加速度分布规律
A at an aA
转动刚体上任一点的法向加速度矢等于刚体的角速 度矢与该点速度的矢积。
例 刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O，角速度
矢为 ω 5sin πt i 5cos πt j 5 3k 。求 t＝1s 时，刚体上
2
2
点M（0，2，3）的速度矢和加速度矢。
解：
i
j
k
i jk
v ω r x
dt
dt
dt
αr ω
O
由于 α dω , v dr dt dt
故有 a αr ωv
a αr ωv
z
式中： at α r
证明：
an ω v
α r rsin R at
α r 方向与点M的切向加速度相同。
at α r
at RM an
2d 1r
故
2
r d
1
50 100
5t
π
600 30
1000π 100 5t
rad/s
2
d2
dt
d dt
1000π 100 5t
5000π
100 5t2
5000π d2
rad/s2
n 600 r/min d 100 5t
（2）求当 d r 时，轮 Ⅱ 边缘上一点的全加速度。
2
r d
1
1
20π
rad/s
2
5
10 d2
3π
5 10 3π r2
2π
rad/s 2
a R 22 24
150 (2π)2 (20π)4 300π 1 40 000π2 592 000 mm/s2 592 m/s2
度。
o1
jl
A
o
o2
l
M
B
解： j
j0
sin
π 4
t
A点的运动方程为：
s
lj
lj0
sin
π 4
t
o1
jl
A
o
o2
l
M
B
vM
vA
ds dt
π 4
lj0
cos
πt 4
aMt
aAt
dvA dt
π2 16
lj0
sin
πt 4
t=2s时:
vM 0
aMt
π2
16
lj0
z
v
转角：j
j f t ——转动方程
单位: 弧度(rad)
A B
j
j 是代数量，用右手螺旋定则来确定转角的正负号
从 z 轴的正向往负向看去，逆时针转向为正，反之为负。
2、角速度和角加速度
角速度:
v
j rad/s
角加速度:
j rad/s2
A
角速度和角加速度也是代数量.
B 角速度和角加速度同号时，加速转动.
j
在工程中，可以用转速 n 来表示转动快慢程度.
转速 n的单位：转/分 (rpm) 2πn / 60 πn / 30
若角加速度为常量（匀变速转动）:
常量
0 t
j
j0
0t
1t2
2
2 02 2 (j j0 )
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平行移动
1、定义 刚体在运动过程中，体内任一直线始终保持与初始位置平行，
这种运动称为平行移动，简称平移或平动。
直线平动 曲线平动
2、刚体平动的特点
z
vA
A1 A2
A
aA
O
rA rAB rB
B
vB
B1
aB
B2
y
x
rA rB rAB 求导
vA vB
t ＝1s 时 α 5π j 2
i jk i j
at α r x
y
z 0
5π 2
xyz 02
k
0 15π i 2
3
ω 5i 0 j 5 3k,
v 10 3i 15 j 10k,
at
15π 2
i
i jk
i
jk
an ω v x y z 5
i rA rO
di
dt
drA drO dt dt
vA vO
T
y x A i j
vA ω rA, vO ω rO
di
dt
ω rA ω rO
ω (rA rO )
rA k O
ω
rO
z
O
di ω i
i12
1 2
R2 R1
Z2 Z1
n1 n2
对简单的问题，可标出各轮的角速度方向，上式中只计角 速度的大小。对复杂问题，常规定正的转向（如逆时针为 正）, 则上式中角速度为代数量。
1
2
R1
o1 A B o2 R2
R1
R2
1 o1 o2
外啮合 i<0
2
内啮合 i>0
dt
dt
dt
其中i′, j′, k′ 为沿坐标轴 x′, y′, z′正向的单位矢量。
z
x
ω
T
y i j
O k
z
di
dt
dj
dt
ω i ω j
dk
dt
ω
k
称为泊桑公式
O
证明: di ω i
dt
从固定点O作到O′点和到i′端点 A 的矢径rO′和rA z