1.4高斯定理
1-4 高斯定理class - 副本
高斯定理 高斯定理的应用
（Gauss’ Law）
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 其步骤为 对称性分析；
根据对称性选择合适的高斯面；
应用高斯定理计算.
1
高斯定理
（Gauss’ Law）
例1
均匀带电球壳的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 Q 的薄 球壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度. 解（1） 0 r R
高斯定理 8 – 4 电场强度通量 高斯定理
第八章静电场
8 – 4 电场强度通量
高斯定理 续32
第八章静电场
三
高斯定理
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量, 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 . （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
1 Φe E dS
r
s2
+ + +
+
S1 +
O
+ + +
R
r
+
+ + +
（2） r
R
Q 2 4π 0R
E
o
R
r
例2：求均匀带电球体的电场分布。已知球体的半径 为R，所带总电量为Q。
1
高斯定理
（Gauss’ Law）
例3 无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即 电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.
3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正.
4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献.
5）静电场是有源场.
1
高斯定理
（Gauss’ Law）
高斯定理公式
高斯定理公式
高斯定理数学公式是：∮F·dS=∫(▽·F)dV。
高斯定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
扩展资料：
高斯定理指出：穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的位置分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。
在真空的情况下，Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。
当存在介质时，Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
高斯定理内容总结
高斯定理内容总结1. 高斯定理的概念高斯定理，也称为“散度定理”或“高斯-奥斯特罗格拉茨基定理”，是一个基本的数学定理，用来描述矢量场在一个闭合曲面上的整体特性。
它是物理中应用广泛的定理之一，可以用来求解电场、磁场和流体力学问题。
2. 高斯定理的表述高斯定理可以表述为：对于一个闭合曲面S，其向外法向量为n，矢量场F，高斯定理给出了矢量场在S上的通量与该矢量场在S包围的体积的关系。
具体表述如下：∮S F·n dS = ∭V ∇·F dV其中，∮代表闭合曲面S上的曲面积分，∭代表闭合曲面S包围的体积积分，F为矢量场，n为曲面S的向外法向量，·表示内积运算，∇表示梯度运算，∇·F表示矢量场的散度。
3. 高斯定理的推导与理解高斯定理可以通过对体积积分进行数学推导得到。
假设有一个闭合曲面S，体积为V，如下图所示：________/ // //_______ /根据高斯定理的表述，我们需要计算矢量场F在曲面S上的通量。
我们将曲面S分成许多小面元，每个小面元上的通量为F·n，其中n为该小面元的法向量。
当我们把曲面S分割为无数个小面元时，可以将曲面S视为由这些小面元组成的连续曲面。
在极限情况下，当每个小面元的面积无限接近于0时，我们可以将曲面S视为无限小的曲面。
此时，我们可以对矢量场F在曲面S上的通量进行积分，得到：∮S F·n dS = lim(S→0) ∑(F·n)dS通过将曲面S分割为无数个小面元，并将每个小面元的通量求和，我们可以得到矢量场F在整个曲面S上的通量。
同时，根据散度的定义，我们知道散度可以表示为矢量场的微分运算。
因此，我们可以将散度运算应用到上述积分中，得到：∮S F·n dS = ∑(∇·F)dV其中，∇·F表示矢量场F的散度，∑表示对整个体积V进行求和。
为了获得正确的结果，我们需要取极限，将小面元的面积趋近于0，体积元的体积趋近于0，从而得到公式的最终形式：∮S F·n dS = ∭V ∇·F dV这就是高斯定理的推导过程。
高斯定理(电磁学)
证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。
§1-4 高斯定理
er en ds
er en cos
d
ds cos ds2
q ds2 4 0 r22
ds1 :
d 1
q ds1 4 0 r12
ds1 ds2 由立体几何可知： r 2 r 2 d （立体角） 1 2
r1
ds1
d d 1
s
E ds
通过一闭合面的电通量：
d E ds E cos ds
ｓ
E ds
高斯定理
E
E d S
S
1
0
q
S内
i
均匀带电球面：
q er (r > R) E = 4πε0 r 2 0 ( r < R)
均匀带电球体：
q 4πε r 2 er ( r > R ) 0 E= q r (r < R) 3 4πε0 R
o
E 0
R
r
同理： 由高斯定理：
s
E dS Er 4 r 2 0
12
例二：电荷q均匀分布于半径为R的球体上，求球内外的场强
解：球外
由高斯定理：
2
s
E dS Er 4 r 2
q
E
球内
q 4 0 r
0
qs内
o
r
R
er (r R)
由高斯定理：
0
1
q1
0
i
q2
0
qk
0 0
0
q
7
高斯定理
E
通 过 任意 闭 合 曲面的电通量
高斯定理公式物理
高斯定理公式物理高斯定理是物理学中一个非常重要的定理，它在电磁学等领域有着广泛而深刻的应用。
咱们先来说说啥是高斯定理。
简单来讲，高斯定理说的是通过一个闭合曲面的电通量等于这个闭合曲面所包围的电荷量的代数和除以真空中的介电常数。
哎呀，这听起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢捋一捋。
想象一下，有一个封闭的气球，气球里面放了一些电荷。
那从这个气球表面“流”出去的电场线的数量，就和气球里面的电荷量有关系。
这就好像气球是个神奇的口袋，装的电荷越多，从口袋表面“跑”出去的电场线就越多。
我给您讲讲我之前遇到的一件事儿吧。
有一次我在课堂上讲高斯定理，一个学生就特别迷糊，皱着眉头问我：“老师，这高斯定理到底有啥用啊？感觉好抽象。
”我笑了笑，拿起一个装满水的杯子，然后在杯子的侧面扎了几个小孔。
水从小孔里喷出来，形成了一些水流。
我就跟他说：“你看，这杯子就好比是一个带有电荷的物体，这些水流就像是电场线。
杯子里水越多，水流就越猛，这不就和高斯定理里电荷越多，电场线越多一个道理嘛。
”这学生听了，眼睛一下子亮了起来，好像突然就明白了。
那高斯定理的公式是啥呢？它可以写成Φ = ∑q/ε₀，其中Φ 表示通过闭合曲面的电通量，∑q 表示闭合曲面内所包含的电荷量的代数和，而ε₀是真空中的介电常数。
这个公式看起来简单，可里面的学问大着呢！比如说在计算一个均匀带电球体的电场分布时，咱们就可以巧妙地运用高斯定理。
假设这个球体带的电荷是均匀分布的，那我们就可以根据对称性选取一个合适的高斯面，通过计算通过这个高斯面的电通量，就能得出球体内外的电场强度啦。
再比如在处理平行板电容器的时候，高斯定理也是个大帮手。
通过选取合适的高斯面，就能很方便地得出电容器内部的电场强度和电容之间的关系。
总之啊，高斯定理就像是物理学中的一把神奇钥匙，能帮我们打开很多看似复杂的电磁学问题的大门。
它虽然有点抽象，但只要我们多琢磨、多联系实际，就能发现它的妙处。
希望通过我上面的这些讲解，能让您对高斯定理公式有一个更清晰的认识。
高斯定理表达式及其物理意义
高斯定理表达式及其物理意义
高斯定理：在一个封闭的曲面上，任意一点外部电荷的积分等于曲面内部电荷的积分。
高斯定理是由德国数学家卡尔·马克斯·费马于1813年发现的，它是电动势的基本定理，是研究电场的基础。
它有着极其重要的物理意义，是电磁理论的基础。
高斯定理的物理意义是：在一个封闭的曲面上，任意一点外部电荷的积分等于曲面内部电荷的积分。
高斯定理是一个重要的数学定理，它的公式表达为：∮⃗E⋅d⃗s=q/ε，其中，∮⃗E⋅d⃗s是曲面上某一点外电荷的电场积分，q是曲面内部电荷的总量，ε是介电常数。
这一定理可以用来研究电场及其相关问题，可以用来计算电场的强度、电势等。
换句话说，高斯定理告诉我们，在一个封闭的曲面上，外部电荷的积分等于曲面内部电荷的积分，这一定理是计算电场强度、电势等问题的重要依据。
高斯定理还可以用来研究磁场及相关问题，它可以用来计算磁场的强度、磁势等。
其公式表达为：∮⃗B⋅d⃗s=μq/ε，其中，∮⃗B⋅d⃗s是曲面上某一点外磁荷的磁场积分，μ是磁导率，q是曲面内部磁荷的总量，ε是介电常数。
高斯定理可以用来研究电场、磁场的强度、电势、磁势等，它的物
理意义是：在一个封闭的曲面上，任意一点外部电荷或磁荷的积分等于曲面内部电荷或磁荷的积分。
高斯定理是电磁理论的基础，是研究电磁场的重要依据。
高斯定理知识点
高斯定理知识点高斯定理（也称为散度定理或高斯-奥斯特罗格拉德斯基定理）是微积分的一个重要定理，它描述了一个向外或向内的矢量场的通量与其散度之间的关系。
在本文中，我们将详细介绍高斯定理的各个知识点，并附上相关的公式和示例，以帮助读者更好地理解和应用这一定理。
一、高斯定理的基本概念高斯定理是对矢量场的研究中非常重要的一部分，它描述了一个封闭曲面通过向外或向内通过的矢量场的总通量与该矢量场在曲面上的散度之间的关系。
通量表示了矢量场通过单位面积的流量，而散度则表示了矢量场在某一点上的变化速率。
二、高斯定理的数学表达高斯定理可以用数学表达式来表示：∮S F · dS = ∫∫∫V (∇ · F) dV其中，∮S表示对闭合曲面S进行的面积分，F表示矢量场，dS表示曲面上的微元面积，∫∫∫V表示对闭合曲面S所围成的空间V进行的体积分，∇ · F表示矢量场F的散度。
三、高斯定理的应用高斯定理在物理学、工程学和数学等领域有广泛的应用。
下面我们列举几个常见的应用场景：1. 电场的高斯定理在电学中，高斯定理可以用来计算电场通过一个闭合曲面的总通量。
根据高斯定理，电场的总通量等于闭合曲面内的电荷除以电介质中的介电常数。
2. 磁场的高斯定理在磁学中，高斯定理可以用来计算磁场通过一个闭合曲面的总通量。
根据高斯定理，磁场的总通量为零，即磁场没有起源和终点，它只存在于闭合回路内。
3. 流体力学中的应用在流体力学中，高斯定理可以用来计算流体通过一个闭合曲面的总通量，从而求解流体的质量流率和体积流率。
4. 涡量场的应用在涡量场的研究中，高斯定理可以用来计算涡量场的旋度。
四、高斯定理的重要性和应用前景高斯定理是矢量场研究中的基本工具，它不仅可以解决各种物理学、工程学和数学中的问题，还有很大的应用潜力。
在计算领域，高斯定理可以应用于图像处理、计算流体力学等方面；在物理学领域，高斯定理可以应用于电磁学、热力学等方面；在工程学领域，高斯定理可以应用于建筑结构分析、流体力学等方面。
高斯定理的内容及公式
高斯定理的内容及公式高斯定理高斯定理（也称为散度定理）是微积分中重要的定理之一，它描述了向外流过封闭曲面的矢量场的总流量与该矢量场在曲面内部的散度之间的关系。
高斯定理在物理学、工程学和数学中具有广泛的应用。
定理表述高斯定理可以用数学公式来表示如下：∮F S ⋅n dA=∭∇V⋅F dV其中， - ∮S表示对封闭曲面S进行的积分； - F表示矢量场；- n表示曲面元素dA的外向单位法向量； - dA表示曲面S上的面积元素； - ∭V表示对体积V进行的积分； - ∇⋅F表示矢量场F的散度； - dV表示空间中的体积元素。
该定理表述了一个关键的观察结果：向外流过曲面S的总流量等于该矢量场在曲面内部的散度的体积积分。
例子解释下面通过一个例子来解释高斯定理的应用。
假设有一个电场E，我们想计算通过一个封闭曲面S的电场流量。
根据高斯定理，电场流量可以通过计算电场的散度来得到。
假设电场在空间中的散度为∇⋅E=ρ，其中ρ是电荷密度。
根据高斯定理，我们可以得到以下等式：∮E S ⋅n dA=∭∇V⋅E dV左边表示通过封闭曲面S的电场流量，右边表示电场散度的体积积分。
假设曲面S是一个球面，且电场在球内是均匀的。
此时，由于电场的散度是常数，我们可以简化上述公式为：E⋅4πr2=ρ⋅43πr3其中E表示电场强度，r表示球面的半径。
通过这个例子，我们可以看到高斯定理的应用。
它提供了一种计算封闭曲面内部矢量场的性质（如流量、散度等）的方法，从而使我们能够更好地理解和分析物理现象和数学问题。
总结高斯定理是微积分中的重要定理，它描述了向外流过封闭曲面的矢量场的总流量与该矢量场在曲面内部的散度之间的关系。
通过高斯定理，我们能够更好地理解和计算各种物理场的性质。
其应用范围广泛，包括物理学、工程学和数学等领域。
公式的推导高斯定理的推导过程如下：首先，我们考虑一个封闭曲面S，并给曲面上每一个点选取一个面积元素dA，它的法向量记为n。
我们将n⋅dA称为面积元素dA的矢量，它是法向量乘以面积元素的结果。
大学物理高斯定理
大学物理高斯定理简介大学物理中，高斯定理（也称为电通量定理）是电学领域中的一个重要定理，它描述了电场通过一个封闭曲面的总电通量与该曲面内的电荷量之间的关系。
高斯定理的数学表达式是一个面积分，通过对电场和曲面的特性进行积分计算，我们可以计算得到相应的电通量。
定理表述高斯定理可以用数学公式表述如下：其中， - 表示对封闭曲面 S 的面积分； - 表示电场的向量；- 表示面元矢量； - 是真空中的介电常数（气体中也可近似使用该值）； - 表示电荷密度在封闭曲面内的体积分。
解读根据高斯定理，电通量与环绕其的电荷量成正比。
如果电场线密集，表示电通量会相应增大，而如果电场线稀疏，表示电通量相应减少。
因此，高斯定理为我们提供了一种计算电场分布和电荷分布之间关系的方法。
高斯定理的背后思想是通过找到一个适当的曲面，使得计算曲面上的电场更加容易，从而求得电场的总电通量。
这个曲面可以是球面、柱面、立方体等等，具体选择曲面要与问题的几何特征和对称性相匹配。
应用举例例子1：均匀带电球考虑一个均匀带电球体，电荷密度为，半径为。
我们想通过高斯定理计算球内外的电场。
在这种情况下，由于球具有球对称性，我们选择一个以球心为中心的球面作为高斯曲面。
根据球对称性，球的电场在球面上处处相等，并且与球面的法线垂直。
因此，和在点积后等于，其中是球面上的电场强度。
曲面的面积元等于球的表面积元。
因此，高斯定理可简化为：等式的右边是整个球的表面积，用！表示。
由于电场是球对称的，且垂直于球面，所以电场与面积元相乘的结果在整个球面上是相等的。
由于曲面上的电场都是相等的，整个球面的面积元乘以电场强度后等于电场强度乘以整个球面的面积，所以可以简化为：解得：其中，为球内的总电荷量。
例子2：无限长均匀带电线考虑一个无限长均匀带电线，线密度为。
我们想通过高斯定理计算线外的电场。
在这种情况下，由于线具有柱对称性，我们选择一个以线为轴的柱面作为高斯曲面。
我们将柱面的两个底面分别设为 A 和 B，其中 A 的面积为，B 的面积为。
大学物理Ⅱ 高斯定理
P
l
e
E dS S
E dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得 E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
用高斯定理求场强小结：
1 . 对称性分析
电荷分布对称性→场强分布对称性
点电荷 球对称性 均匀带电球面
均匀带电球壳
球体
轴对称性 柱对称
无限带电直线
无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面
无限大平面 面对称性 无限大平板
若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。
+ q+ +
+
0
R
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时 ，
E ds E ds
E 4r2
s
s
r
q
0
4 r3
3
0
q
4 R3
4 r3330E qr4 0R3
R
高斯面
高斯定理的应用
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
高斯定理内容
高斯定理内容高斯定理是电磁学中的一项重要定理，它描述了电场与电荷分布之间的关系。
高斯定理是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初提出的，被广泛应用于电磁学、静电学和电动力学等领域。
高斯定理的核心思想是通过计算电场通过一个闭合曲面的总通量来求解电荷分布。
通量是指电场线通过一个曲面的总数，它是一个矢量量。
根据高斯定理，闭合曲面的总通量正比于该曲面内的电荷总量，即通量与电荷的比例关系是恒定的。
这个比例常数就是电场介质的电容率。
高斯定理的数学表达方式是：Φ = ∮E·dA = Q/ε0其中，Φ表示电场通过曲面的总通量，E表示电场强度矢量，dA表示曲面上一个微小面元的面积矢量，Q表示曲面内的电荷总量，ε0表示真空中的电容率。
根据高斯定理，当电荷分布具有对称性时，可以通过选取合适的闭合曲面来简化计算。
例如，当电荷分布具有球对称性时，可以选择一个以球心为中心的球面作为闭合曲面。
由于球对称性，球面上每个微小面元的面积矢量与电场强度矢量的夹角相同，从而简化了计算。
这种简化计算的方法被称为高斯球面法。
高斯定理的应用非常广泛。
在静电学中，可以利用高斯定理求解电场分布。
例如，可以通过高斯定理计算一根无限长直导线产生的电场强度分布。
在电动力学中，高斯定理可以用于求解电场与电荷分布之间的关系。
例如，可以通过高斯定理推导出库仑定律，即两个点电荷之间的电场强度与它们之间的距离的平方成反比。
高斯定理还可以用于计算电场的散度。
散度描述了电场在空间中变化的趋势。
根据高斯定理，电场的散度与电荷分布之间存在直接的关系。
当电荷分布较为均匀时，电场的散度较小；当电荷分布不均匀时，电场的散度较大。
通过计算电场的散度，可以揭示电荷分布的特征。
高斯定理是电磁学中的一项重要定理，它描述了电场与电荷分布之间的关系。
通过计算电场通过一个闭合曲面的总通量，可以求解电荷分布的特征。
高斯定理的应用范围广泛，可以用于求解电场分布、推导库仑定律以及计算电场的散度等。
1.4高斯定理
v ds1
v ˆ er ( E ) v v dser ( E ) ˆ θ
ˆ n
现在又以q为中心， 为半径作球面S 现在又以 为中心，r2为半径作球面 2，与锥体截出 为中心 v 面元为 ds2，如图。 如图。
v v 都非常小， 认为有： 因为面元 ds 和ds2 都非常小，故认为有：
ds 2 = ds cosθ
代数和除以 ε 0。数学表达式为： 数学表达式为：
1、定义及数学表达式（P18） 、定义及数学表达式（ ）
v v 1 ∫∫ E ⋅ ds =
(S )
ε0
∑)q (
S内
i
（4.1） ）
或
v v 1 ∫∫ E ⋅ ds =
(S )
ε0
∫∫∫ ρdV
(V )
（4.1′） ）
由库仑定律及场强叠加原理证明其正确性。 由库仑定律及场强叠加原理证明其正确性。
S1
ˆ n1
L
ˆ′ n3
φE + φE = 0 ⇒ φE = 0
1 3 S
ˆ n3
（正负电荷都有此结果） 正负电荷都有此结果） （4）推广 ）
ˆ n2
根据场强叠加原理将上述结论进行推广。 根据场强叠加原理将上述结论进行推广。 内有q 个点电荷， ①面S内有 1、q2、……qn个点电荷，且它们可正 内有 可负 v v v v
锥体分成这样一对对面元， 面的电通量等于S 锥体分成这样一对对面元，故S面的电通量等于 1面 面的电通量等于 面是球面，故有： 的电通量， 的电通量，而S1面是球面，故有：
2 2 2 1
v v v 通量， 面及S 面及 即ds1和ds 有相等的 E 通量，而S面及 1面可用许多
v v φE = ∫∫ E ⋅ ds =
高斯定理物理表达式
高斯定理物理表达式
高斯定理是物理学中一项重要的基础定理，也被称为高斯通量定理。
该定理表达了电场、磁场等物理场在闭合曲面内外的通量之间的关系。
以下是高斯定理的物理表达式以及相关概念的解释：
1. 高斯定理的物理表达式：
高斯定理的物理表达式可以用数学公式表示为：
∮S E·dA = Q/ε0，其中∮S表示对闭合曲面S所围体积的积分，E表示
电场强度，dA表示面积微元，Q表示闭合曲面内固定的电荷总量，ε0
表示真空中的介电常数。
2. 闭合曲面的概念：
闭合曲面是一个在三维空间中完全封闭的曲面，可以看成是由许多面
积微元组成的。
高斯定理是针对闭合曲面内外的物理场通量之间的关
系而言的。
3. 电场强度：
电场强度是指在任意一点处，单位电荷所受的电力的大小和方向。
在
高斯定理中，电场强度是重要的物理量之一，用来衡量电场的强度和方向。
4. 电荷总量：
电荷总量指的是一个闭合曲面内的所有电荷的代数和，可以是正的、负的或零，也可以是分布式电荷或点电荷。
5. 真空中介电常数：
真空中的介电常数是一个比例系数，用于描述真空中电场强度与电荷密度之间的关系。
在高斯定理中，介电常数是一个常量，用来计算电荷总量与电场强度之间的关系。
6. 高斯定理的意义：
高斯定理是重要的物理学原理之一，对于电场、磁场等物理场的研究有着重要的意义。
它可以帮助我们更好地理解、描述和计算物理场的性质和变化规律，特别是在电场强度和电荷分布较为复杂的情况下，能够简化计算过程。
同时，高斯定理也为物理学中的其他定理和理论提供了重要的基础。
高斯定理的解释和公式
高斯定理的解释和公式
高斯定理，也称为散度定理，是数学中的一个重要定理。
它描述了一个向量场通过一个封闭曲面的总量。
高斯定理在物理学和工程学的许多领域中都有广泛的应用，如电磁学、流体力学和热传导等。
高斯定理的数学表达形式如下：
对于一个平滑的三维矢量场F=(Fx,Fy,Fz)，定义一个封闭曲面S来围绕一个具有体积V的区域D。
那么，高斯定理可以写作：
∬S F·dS = ∭D ∇·F dV
其中，F·dS表示向量场F在曲面元dS上的点积积分，∇·F表示向量场F的散度，dV表示体积元。
这个定理的物理解释是，对于一个流经封闭曲面的流体量，其发散性（流出和流入区域的总和）等于其在包围该区域的体积中的源和汇的总量。
高斯定理的应用非常广泛。
在电磁学中，它可以用来计算通过一个闭合曲面的电场强度和磁场强度的总量。
在流体力学中，它可以用来计算液体或气体通过一个封闭曲面的流量。
在热传导中，它可以用来计算热量通过一个封闭曲面的扩散量。
总之，高斯定理提供了一个非常强大的工具，用于计算向量场通过封闭曲面的总量。
它在物理和工程学中的应用使得我们能够更好地理解和分析各种自然现象和工程问题。
第一章 高斯定理
ˆ dS = dSn
大小等于面元的面积，方向取其法线方向 大小等于面元的面积，方向取其法线方向. 因此电通量 电通量: 因此电通量
dφ = EdS⊥ = EdS cosθ = E ⋅ dS
2. 穿过任意曲面的电通量φ
φ = ∫∫S dφ = ∫∫SE ⋅ dS
= ∫∫ EdS cosθ
S
dφ
dS
E
高斯面
定理表述: 静电场中任一闭合曲面 任一闭合曲面的电通量等于该曲面 定理表述: 静电场中任一闭合曲面的电通量等于该曲面 内电荷的代数和除以 与面外电荷无关) 内电荷的代数和除以ε0 (与面外电荷无关) 与面外电荷无关 证明: 证明:
φ = ∫∫ E ⋅ dS =
S
1
ε0
∑q
内
1.通过包围点电荷q 1.通过包围点电荷q的同心球面的电通量 通过包围点电荷 穿过面元的电通量 dφ = E ⋅ dS = EdS cos θ 穿过球面的电通量 φ = ∫∫ EdS cos θ 球面上各点E大小相等 球面上各点 大小相等 E // dS , cosθ = 1
φ = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ E ⋅ dS + ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫SE ⋅ dS = ∫∫SEdS cos θ = E ∫∫SdS
S S1 S2
2 2
2
而另一部分(S 各点的场强大小相等 各点的场强大小相等, 而另一部分 2)各点的场强大小相等 方向与高斯面法线方向一 致 目的: 目的 将E从积分号中提出 从积分号中提出
不会在无电荷处中断； 电 荷(或“∞”远) , 不会在无电荷处中断； 或 为非闭合曲 2) 电力线密处场强大 疏处场强小 线 电力线密处场强大, 疏处场强小; 3) 电力线方向为电势降低的方向；U B < U A 电力线方向为电势降低的方向；
高 斯 定 理
1.3 高斯定理
静电场是由电荷所激发的，通过电场空间某一给定闭合 曲面的电通量与激发电场的场源电荷必定有确定的关系。德 国科学家高斯通过缜密运算论证了这个关系，并提出了著名 的高斯定理。该定理给出了通过任何曲面S的电通量φe与闭 合曲面内部所包围的电荷之间的关系。下面就以点电荷为例 来讨论。
（3）利用高斯定理解出场强E。
【例7-4】求点电荷Q的电场强度的分布情况。
S
0
由此可见，通过此球面的电通量等于球面内的电荷量q除以 真空电容率ε0 ，与球面半径无关。
（2）一个正点电荷q，被任意闭合曲 面S′和球面S同时包围，如下图所示。根 据电力线的连续性可知，凡是通过球面S 的电力线都一定通过曲面S′。所以通过闭 合曲面S′的电通量等于通过球面S的电通 量，均为 q/ε0 。
物理学
高斯定理
1.1 电场线
电场线是空间中一系列假想的曲线，主要反映电场的特
征，描述电场中各点场强E的大小和方向。为此，对电场线作
如下规定：
（1）电场线上每一点的切线方向与该点场强E的方向一
致。这样，电场线的方向就反映了场强方向的分布情况。
（2）在任一场点，使通过垂直于场强E的单位面积的电
场线数目（称为电场线密度），正比于该点处场强E的大小。
2．非均匀电场的电通量
在非均匀电场中，为了求出通过任意曲面S的电通量φe， 可以把曲面S分成无限多个面元dS，如下图所示。此时，面元 dS可以近似看成一个平面，并且在面元的范围内电场强度可 以近似看成大小相等、方向相同的匀强电场。
1.4高斯定理
在介绍高斯定理之前，首先引入一个基本概念， 通量是矢量场的共性，并且它总是和一 叫“通量”。 个假想的面联系在一起的。 ˆ n 一 任意矢量场的通量 S ˆ n 任意矢量场 A 中有闭合 ds 合面S，将它分成许多无限 A ds 小面元ds，ds很小，以致每 个面元上的场矢量 A 可视为 常量。
③ E 通量中的场强，是闭合曲面内外所有电荷共同
激发的，即是说，闭合面S上任一点的场强，是S内外 所有电荷在该点产生的场强的矢量和，而高斯定理数 学表达式右端的电荷量，只是闭合面内的净电荷量。
若点电荷恰好位于闭合面上，它对这个闭合面的 带电体 E 通量有没有贡献呢？
当带电体与闭合面相交时，带电 体不能被看成点电荷。实际上，闭合 面把带电体A分成两部分A1和A2，根 据高斯定理，只有位于闭合面内的那 部分A2才对整个闭合面的电通量有 贡献。 ④总 E 通量的三个无关
S1
ˆ n1
L
ˆ n3
E E 0 E 0
1 3 S
ˆ n3
（正负电荷都有此结果） （4）推广
ˆ n2
根据场强叠加原理将上述结论进行推广。 ①面S内有q1、q2、……qn个点电荷，且它们可正 可负
E E ds Ei ds
带电圆柱面内部各点场强等于零。
例4：求均匀带电球面内外的电场。
P21例2 电场分布具有球对称性 高斯面取球面 P22例3 结论：
E
E
q
E
例5：求均匀带电球体内外的电场。
E
① 用高斯定理求场强的关键，在于分析电场的对 称性 习题：1.4.5；1.4.8； ②应选取适当的高斯面 1.4.9； 1.4.10 ③对于非对称电场，虽然不能用高斯定理求出场 强，但定理仍然是成立的。
电场的高斯定理
§ 1．4 电场的高斯定理 GAUSS， LAW (教材p45)1.电场线（Electric Field Lines）大家已经知道，电场强度E 是空间坐标的矢量函数.为了形象地描述电场，我们设想电场中分布着一族曲线，并规定这些曲线每一点上的切线方向，与该点电场强度E 的方向一致. 我们把这些曲线称为电场线，简称E 线.下图示出几种情形下静电场的E 线分布.从上述例子我们看到，静电场的E 线有如下性质(1)静电场的E 线始发于正电荷而终止于负电荷，所以静电场的E 线不形成闭合曲线；在没有电荷存在的点上，E 线连续通过，也有可能 E=0 （试从上图找出这样的点）.(2)在任何客观存在的电场中，每一点上的试探点电荷在同一时刻只能受到一个确定的作用力，因此每一点上的E只能有一个确定的值，因而E 必定是空间坐标的单值函数，故任何两条E 线都不可能相交.2.电通量 ( Electric Flux )按上述图象，通过某处单位截面的 E 线条数，即“E 线密度”，决定于该处的场强E。
也就是说，E值大处，“E 线密度”大,反之, “E 线密度”小（见上图）.现在,我们引入“电通量”概念.设想电场中有一非闭合曲面S，dS 是S上某点P附近一个无限小面积元矢量，并规定dS 的方向沿曲面在该点的法向，即我们称d = E · dS = EdScos（1.4-1）为通过该面元的电通量，单位为伏特·米（Vm）. 显然，当0≤θ< /2 , d > 0 (正值)/2 <θ≤ , d < 0 (负值)θ=/2， d = 0 （E 线仅从该面元掠过）通过整个S面的总电通量为（1.4-2）这是一个面积分（二重积分）对于闭合曲面，规定面元矢量dS 沿曲面各点的外法线方向.于是，通过任意闭合曲面的总电通量：3.电场的高斯定理高斯定理：通过任意闭合曲面 S 的电通量，正比于S内包含的总电量(净电量)，与S外的电荷分布无关.即（1.4-4a）右方求和因子表示S内的总电量.[证明]（1）一个点电荷q 处于S 内的情形以q为中心作任意半径r 的球面，此球面任一点的电场强度为而球面面元矢量于是，q 产生的电场通过该球面的总通量显然，当q为正电荷，F为正值；当q为负电荷，F为负值.对于包围点电荷q 的任意曲面S，由于其上任一个无限小的面积元dS，，与该处相应的球面元对q所在点张开的立体角元相等，因此S 对q所在点张开的立体角也是4 , 故上式仍成立.(2)当点电荷q 处于闭合曲面S外，由于E线必定连续通过S包围的区域，即穿入S 的通量 = 穿出S 的通量，于是有（当S 内 q = 0）(3)S 内有n个点电荷，S 外有点电荷q n+1时，据电场叠加原理，曲面上任一点的场强为E = E1 +E2 +….+ E n + E n+1于是，通过S 的总电通量（4）上述结果可推广至电荷连续分布的情况设某区域V内电荷体密度函数为 ，则通过包围V的任意曲面S 的总电通量是（1.4-4b）其中是V内的总电量，右方的体积分遍及曲面S 包围的体积V 。
EM1-4高斯定理
电磁学
例15 均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。
解 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
E d S E 4 π r2
q
S
0
E q
4 π0r2
(1) rR时，高斯面无电荷，
E0
++
+ +
+R
+q
r
+ +
+
+
+
+
+++ +
17
电磁学
(2) rR时，高斯面包围电荷q
绝对值相等而符号相反。
dS1
E1
q
E2
S1
+ S2 dS2
12
电磁学
4. 点电荷系的电场
E dS S
S E1 dS
S E2 dS
S En dS
Φ1 Φ2 Φn
Φiout 0
Φiin
1 ε0
qiin
E dS
S
1 ε0
n
qiin
i 1
E
dS
电磁学
1.4 高斯定理
一、电通量(电场强度通量)
通过电场中某一个面的电场线数目称为通过该面的电场强
度通量。用符号 Φ 表示.
匀强电场 ，
S
E垂直平面时.
en E
Φ ES
1
电磁学
匀强电场 E ， 与平面夹角为 θ .
通过平面的电场强度通量
S
Sθ
en
E
Φ E cos S EnS
一般情况，电场是不均匀的而且所取的几何面 可S以是
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φ E + φ E = 0 φ E = 0 (正负电荷都有此结果) 正负电荷都有此结果)
1 3 S
根据场强叠加原理将上述结论进行推广. 根据场强叠加原理将上述结论进行推广. (4)推广 ) 内有q 个点电荷, ①面S内有 1,q2,……qn个点电荷,且它们可正 内有 可负
总 E 通量与闭合面内电荷的分布无关. 通量与闭合面内电荷的分布无关. 总 E 通量与闭合面 的形状,大小无关. 通量与闭合面S的形状 大小无关. 的形状, 总 E 通量与 面外的电荷无关. 通量与S面外的电荷无关 面外的电荷无关. 四 用高斯定理求场强 1,解题步骤 ,
注 意 理 解
1) (1)分析电场的对称性 (2)根据电场不同的对称性,选取相应的适当的高 )根据电场不同的对称性, 斯面(高斯面是闭合曲面) 斯面(高斯面是闭合曲面) (3)分别计算通过高斯面的电通量和高斯面内的净 ) 电荷量,根据高斯定理列出方程,求出场强的大小. 电荷量,根据高斯定理列出方程,求出场强的大小. (4)讨论 ) 2,举例 ,
场 具 有 轴 l 对 称 性 r dq1
例1(补充):求均匀带正电的无限长细棒的电场 补充)
dE2 r P dE O dE1 dq2
高斯面
由叠加原理, 点的总场强必然垂直于棒而离开棒 点的总场强必然垂直于棒而离开棒. 由叠加原理,P点的总场强必然垂直于棒而离开棒.
根据场强具有轴对称性的特点, 根据场强具有轴对称性的特点,选取与细棒同轴 的半径为r的封闭圆柱面为高斯面 设柱面高l, 的封闭圆柱面为高斯面, 的半径为 的封闭圆柱面为高斯面,设柱面高 ,通过 高斯面的电通量为: 高斯面的电通量为:
∫∫) E ds = ε (∑)q (
S 0 S内
1
i
(4.1) )
或
∫∫ E ds =
(S )
1
ε0
∫∫∫ ρdV
(V )
(4.1′) )
由库仑定律及场强叠加原理证明其正确性. 由库仑定律及场强叠加原理证明其正确性.
2,证明 , (1)包围点电荷 的闭合曲面为球面 )包围点电荷+q的闭合曲面为球面 在正点电荷q的电场中, 为中心, 在正点电荷 的电场中,以+q为中心,作半径为 的 的电场中 为中心 作半径为r的 的通量: 球面, 球面,在球面上任取一面元 ds , 通过面元 ds 的通量:
§1.4 高斯定理
在介绍高斯定理之前,首先引入一个基本概念, 在介绍高斯定理之前,首先引入一个基本概念, 通量是矢量场的共性, 通量是矢量场的共性,并且它总是和一 通量" 叫"通量". 个假想的面联系在一起的. 个假想的面联系在一起的. n′ α ′ 一 任意矢量场的通量 S n 任意矢量场 A 中有闭合 α 合面S, 合面 ,将它分成许多无限 ds′ A 小面元ds, 很小 以致每 很小, 小面元 ,ds很小,以致每 ds 个面元上的场矢量 A 可视为 常量. 常量. 定义面元矢量: 定义面元矢量:
φE = ∫∫
(S )
∑q E ds =
ε0
内
=0
③电荷为连续分布的任意带电体 把带电体分为点电荷的集合,再利用叠加原理, 把带电体分为点电荷的集合,再利用叠加原理, (4.2)式仍成立,只是这时面内净电荷量 )式仍成立, 积分, 积分,即:
∑)q 改成 (
i S内
φE = ∫∫ E ds =
θ= π
时,通量为零. 通量为零. 2
E
θ1
n1
对于闭合曲面, 对于闭合曲面,通常规定自内 向外的方向为面元法线的正方向, 向外的方向为面元法线的正方向, 对非闭合曲面, 对非闭合曲面,应根据情况事先规 定好法线方向. 定好法线方向.
ds
θ2
n2
三 高斯定理 1,定义及数学表达式(P18) ,定义及数学表达式( ) 在真空中的任何静电场中, 在真空中的任何静电场中,场强 E 通过任意闭合 曲面的 E 通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的 代数和除以 ε 0.数学表达式为: 数学表达式为:
q dφ E1 = 4πε r 2 0 1 dφ E = E ds q = 2 4πε 0 r2 q = 2 4πε 0 r2
ds1
ds1
S1
r1 +q r2
er ( E ) ds2
er nds
S S2
n ds
θ
ds cos θ (θ = n, er )
现在又以q为中心, 为半径作球面S 现在又以 为中心,r2为半径作球面 2,与锥体截出 为中心 面元为 ds2,如图,因为面元 ds 和ds2 都非常小,故 如图, 都非常小, 认为有: 认为有:
(S )
二
E(电)通量
dφE = E ds = E nds = E cos αds
电场中的场矢量是电场强度矢量 E ,故 E 电) ( 通量为: 通量为: 对闭曲面: 对闭曲面:
φ E = ∫∫ E ds
(S )
对开曲面: 对开曲面: 说明
φ E = ∫∫ E ds
(S )
标量, 1, E 通量是标量,但它 不是点函数,只能说 , 不是点函数, 通量. 某面元或某曲面的 E 通量而不能说某点的 E 通量. ). 2, E 通量是代数量(即可正可负).在场强 , 通量是代数量( 可正可负).在场强 一定时,其正负取决于面元法向的选取.如图: 一定时,其正负取决于面元法向的选取.如图: 两种取法,通量等值异号. 两种取法,通量等值异号.
通量中的场强, ③ E 通量中的场强,是闭合曲面内外所有电荷共同 上任一点的场强, 激发的,即是说,闭合面S上任一点的场强 内外 激发的,即是说,闭合面 上任一点的场强,是S内外 所有电荷在该点产生的场强的矢量和, 所有电荷在该点产生的场强的矢量和,而高斯定理数 学表达式右端的电荷量,只是闭合面内的净电荷量. 学表达式右端的电荷量,只是闭合面内的净电荷量. 若点电荷恰好位于闭合面上, 若点电荷恰好位于闭合面上,它对这个闭合面的 带电体 通量有没有贡献呢? E 通量有没有贡献呢? A1 当带电体与闭合面相交时, 当带电体与闭合面相交时,带电 A2 体不能被看成点电荷.实际上, 体不能被看成点电荷.实际上,闭合 S 面把带电体A分成两部分 分成两部分A 面把带电体 分成两部分 1和A2,根 据高斯定理, 据高斯定理,只有位于闭合面内的那 部分A 部分 2才对整个闭合面的电通量有 贡献. 贡献. ④总 E 通量的三个无关
ds 2 = ds cosθ
由立体几何知: 由立体几何知:
ds 2 r22 = 2 ds1 r1
qds2 ds cos θ ds2 = ds cos θ ∴ dφ E = 2 2 4πε 0 r2 4πε 0 r2
q
ds2 r q = ds1 = dφ 2 E1 ds1 r 4πε 0 r1
n1
L
′ n3
再以L为边线作一个非闭合曲 再以 为边线作一个非闭合曲 分别与S 面S2,使S2分别与 1和S3组成 闭合曲向并包围了q,这时: 闭合曲向并包围了 ,这时: (利用步骤(2)的结果) 利用步骤( )的结果)
n3
n2
q φE1 + φE 2 = ε 0 φ + φ ' = q φ φ = q E2 E2 E3 E3 ε0 ε0
∫∫)E ds = ε (
S1
q
0
即包围点电荷q的曲面为任意曲面时,仍能得到( ) 即包围点电荷 的曲面为任意曲面时,仍能得到(4.1) 的曲面为任意曲面时 式的结果(既高斯定理仍然成立). ).q是负电荷的情 式的结果(既高斯定理仍然成立). 是负电荷的情 况同理可以证明,只需将q换为 即可. 换为-q即可 况同理可以证明,只需将 换为 即可. 在任意闭合曲面S之外 (3)点电荷 在任意闭合曲面 之外 )点电荷q在任意闭合曲面 任意闭合曲面S, 任意闭合曲面 , 在S面上选一闭合曲 面上选一闭合曲 分成S 线L,把S分成 1和S3 , 分成 两部分(非闭合). 两部分(非闭合). S=S1+S3 S2 q S3 S1
分布, 分布,该棒上线电荷密度为 η . 细棒无限长,其上任一点都可视为中点, 解:细棒无限长,其上任一点都可视为中点,图中 点为中点, 点上下的对称位置, 取O点为中点,在O点上下的对称位置,取任一对等 点为中点 点上下的对称位置 量的电荷元: 量的电荷元:dq1 = ηdl1和dq 2 = ηdl 2
φ E = ∫∫ E ds =
φE =
∫∫ E ds + ∫∫ E ds + ∫∫ E ds
侧面 上底 下底
侧面
∫∫ E ds = E ∫∫ ds = 2πrlE
侧面
高斯面内的净电荷量为: 高斯面内的净电荷量为:
∑)q (
S内
i
Байду номын сангаас
= ηl
根据高斯定理列方程得: 根据高斯定理列方程得: 2πrlE = ηl / ε 0 无限长细棒外任一点P的总场强: 无限长细棒外任一点 的总场强: 的总场强 其方向垂直于棒而离开棒. 其方向垂直于棒而离开棒.
φE = ∫∫ E ds = ∫∫ ∑ Ei ds (S ) (S ) i
φE = ∑ ∫∫ Ei ds =
(S )
1
ε 0 ( S内)
∑q
i
(4.2) )
即多个点电荷的 E 通量等于它们单独存在时 E 通量 的代数和. 的代数和. ②闭合曲面S外有多个点电荷 闭合曲面 外有多个点电荷
ds = dsn
通量定义为: 矢量 A 通过面元 ds 的通量定义为:
dφ A = A ds = A nds = A cos αds
对整个闭合面的通量: A 对整个闭合面的通量: φ A = ∫∫ A ds = ∫∫ A cos αds