信号与线性系统分析 第五章 连续系统的S域分析5-2

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解 f (t) = e ε (t) 2
−αt
0,α > 0 , f (∞) = 1 α = 0 ∞,α < 0
f (0+ ) =1
第
s 例 已 F(s) = 11 知 , 求 (0+ ), f (∞) f s +1 s2 解 f (0+ ) = lim sF(s) = lim =∞ s→∞ s→ s +1 ∞ s2 f (∞) = lim sF(s) = lim =0 s→0 s→0 s +1 1 −t F(s) =1− f (t) = δ (t) − e ε (t) s +1 f (0+ ) = −1 s 例 已 F(s) = 2 12 知 , 求 (∞) f s +1 s2 解 f (∞) = lim sF(s) = lim 2 =0 s→0 s→0 s +1
−αt
解 2
2 t e ε (t) ↔ 3 (s +α)
2 −αt
2 t ε (t ) ↔ 3 s
2
第
九．初值定理
t →0+
已 F(s), 求 (0+ ) 知 f
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若f (t) ↔ F(s), Re[s] > σ0 ,则
f (0+ ) = lim f (t) = lim sF(s)
s→∞
f ′(0+ ) = lim s[sF(s) − f (0+ )]
Re[s] > σ1 +σ2 1 c+ j∞ f1(t ) ⋅ f2 (t ) ↔ ∫c− j∞ F1(η)F2 (s −η)dη,σ1 < c < Re[s] −σ2 2πj
第
八．s域微分和积分
若f (t) ↔ F(s), Re[s] > σ0 ,
dF(s) (−t) f (t) ↔ ds d n F(s) (−t)n f (t) ↔ , Re[s] > σ0 n ds ∞ f (t) ↔ ∫ F(η)dη, Re[s] > σ0 s t 1 ε (t) ↔ s
β sin( βt)ε (t) ↔ (s +α)2 + β 2
s −2 e cos(3t)ε (t) ↔ (s − 2)2 + 9 2 t e sin( 2t)ε (t) ↔ (s −1)2 + 4
2t
s 例 已 f (t) ↔ F(s) = 2 7 知 , s +1 求 1(t) = e−t f (3t − 2)ε (3t − 2)的 函 。 f 象 数
m=0 n−1
证明
第
六．时域积分特性
t
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F(s) 若f (t) ↔ F(s), Re[s] > σ0 , ∫0− f (x)dx ↔ s 注意 t F(s) f (−1) (0− ) f (−1) (t) = ∫ f (x)dx ↔ + −∞ s s 1 例 已 ε (t) ↔ , 求 nε (t)的 函 。 8 知 t 象 数 s 1 t 解 ∫ ε ( x) dx = tε (t ) ↔ 2 0 s t t 1 1 2 2 (∫ ) ε ( x)dx = ∫ xε ( x)dx = t ε (t ) ↔ 3 0 0 2 s t t 1 1 3 2 x ε ( x)dx = t 3ε (t ) ↔ 1 (∫ ) ε ( x)dx = ∫ 0 0 2 2×3 s4 1 t 1 n n (∫ ) ε ( x) dx = t ε (t ) ↔ n+1 0 n ! s n!
s→0
条 ： = 0在 (s)的 敛 内 件 s sF 收 域
第
1 例 已 F(s) = 10 知 , R s] > −α, 求 (0+ ), f (∞) e[ f s +α s =1 解 f (0+ ) = lim sF(s) = lim 1 s→∞ s→∞ s +α s f (∞) = lim sF(s) = lim =0 s→0 s→0 s +α
2
β
2
， s] > 0 Re[
n! t ε (t ) ↔ n+1 s
附录六
第
拉氏变换的基本性质
线性 尺度变换
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∑k f (t)
i =1 i i
n
∑k .LT[ f (t)]
i=1 i i
n
f (at )
f (t − t0 )ε (t − t0 )
2 − s 3
第
五．时域微分特性
若f (t) ↔ F(s), Re[s] > σ0 ,
则f (1) (t) ↔ sF(s) − f (0− )
d n f (t) f (n) (t) = dt n
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f (2) (t) ↔ s2F(s) − sf (0− ) − f (1) (0− )
f (n) (t) ↔ sn F(s) − ∑sn−1−m f (m) (0− )
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则 1 f1(t) + a2 f2 (t) ↔a1F (s) + a2F2 (s) a 1
Re[s] > m σ1,σ2 ) ax(
e jβt + e− jβt cos(βt)ε (t) = ε (t) ↔ 2 1 1 1 s ( + )= 2 2 s − jβ s + jβ s + β2
e jβt − e− jβt sin βt)ε (t) = ( ε (t) ↔ 2j
t − 0s a
, a > 0, t0 ≥ 0
1 例 sin( t)ε (t) ↔ 2 ,Re[s] > 0 1 s +1 π π π sin( t)ε (t − ) = cos(t − )ε (t − ) ↔
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s sin( t − )ε (t) = −cos(t)ε (t) ↔ − 2 2 s +1 π − s π π 1 sin( t − )ε (t − ) ↔ 2 e 2 2 2 s +1
第
“周期”信号的拉普拉斯变换 周期” 周期
f 0 (t )ε (t ) ↔F 0 (s) f (t − nT)ε (t − nT) ↔e
0 LT −nTs LT
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第一周期的拉氏变换
F 0 (s)
利用时移特性
f 0 (t − nT)ε (t − nT) ∑0
n=
∞
利用等比序列求和
F 0 (s) ↔F 0 (s)∑0 e−nTs = 1 −Ts −e n=
s→∞
f ′′(0+ ) = lim s[s2F(s) − sf (0+ ) − f ′(0+ )]
s→∞
条 ： (s)为 分 件 F 真 式
十．终值定理
t →∞
已 F(s), 求 (∞) 知 f
若f (t) ↔ F(s), Re[s] > σ0 ,σ0 < 0,则
f (∞) = lim f (t) = lim sF(s)
§5.2 拉普拉斯变换的性质
西安邮电学院电子与工程学院 2010.5
第
性质： 性质：
• • • • • • • • • 线性 尺度变换 时移特性 复频移特性 时域微分特性 时域积分特性 卷积定理 时域卷积） （时域卷积） s域微分和积分 域微分和积分 初值定理与终值定理
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第
一．线性
若f1(t) ↔ F (s) , Re[s] > σ1 ; 1 f2 (t) ↔ F2 (s), Re[s] > σ2. 且a1, a2为常数
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例：
1 1 tε (t ) ↔ ( )′ = 2 − s s
第
例 求 (t) = t e ε (t)的 函 。 9 f 象 数
2 −αt
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1 解 1 e ε (t) ↔ s +α 1 1 −αt te ε (t) ↔ −( )′ = (s +α)2 2 = 3 (s +α) (s +α)
τ
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例 f1(t) = sin( πt)[ε (t) −ε (t − 2)] 3
= sin( πt)ε (t) − sin[ π (t − 2)]ε (t − 2) π −2s F (s) = 2 (1− e ) 1 2 s +π f2 (t) = sin( πt)[ε (t) −ε (t −3)] π F (s) = 2 (1+ e−3s ) 2 2 s +π
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注意
f (t) = cos(t)ε (t)
f (∞)不 在 存
注意
小结
F(s) = ∫ f (t )e−st dt
0−
∞
0 f (t ) = 1 σ + j∞ F(s)estds σ 2πj ∫ − j∞
1
1 s
t <0 t >0
δ (t )
R e[s] > −∞
ε (t )
Re[ s] > 0
1 1 1 β ( − )= 2 2 j s − jβ s + jβ s + β2
Re[ s] > 0
第
二．尺度变换
若 (t) ↔ F(s), Re[s] > σ0 , 且 为 实 数 f a 正 常 ， 1 s 则 (at ) ↔ F , Re[s] > aσ0 f a a
F (s) 1 0 ∑δ (t − nT) ↔1− e−Ts = 1− e−Ts n=0
第
2 例 已 F(s) = 5 知 , Re[s] > 0,画 f (t)的 形 9页 出 波 。 −s 1− e