曲边梯形的面积 PPT
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高中数学(新课标)选修2课件1.5.1-2曲边梯形的面积
＝n＋i－n1n＋i.
(3)求和
小曲边梯形的面积和
n
n
Sn＝ ΔSi＝
i＝1
i＝1
n n＋i－1n＋i
＝nn1－n＋1 1＋n＋1 1－n＋1 2＋…＋n＋1n－1－n＋1 n＝nn1－21n＝12. (4)取极限 当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时，Sn 越来越趋向于 S，
从而有 linm→∞Sn＝12，所以由直线 x＝1，x＝2，y＝0 和曲线 y＝x12围成
＝－n13[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋n12[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝－n13·16n(n－1)(2n－1)＋n12·nn2－1 ＝－－n62n＋2 1＝－16n12－1.
(4)取极限
当分割无限变细，即 Δx 趋向于 0 时，n 趋向于∞，此时
－16n12－1趋向于
S.从而有
S＝li m n→∞
跟踪训练 1 求由直线 x＝1，x＝2，y＝0 及曲线 y＝x12围成图 形的面积 S.
解析：(1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个点，将它分成 n 个小区间 为n＋ni－1，n＋n i(i＝1,2，…，n)，其长度为 Δx＝1n.分别过上述 n －1 个点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的 面积记 ΔSi(i＝1,2，…，n)． (2)近似代替 在区间n＋ni－1，n＋n i上，当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时，我们用小矩形面积近似地代替 ΔSi，则有 ΔSi≈n＋i－n12n＋i·1n
状元随笔 曲边梯形面积的求解过程，其实可以用下面的表
述：
(1)将区间[a，b]分割，等分为 n 个小区间，每个小区间的长度 为 Δx＝b－n a；
(2)“近似代替”中每个小区间上函数 f(x)的值可任意取一点 ξi∈[xi －1，xi]，用 f(ξi)来代替，不影响极限的值．为了计算方便， 可以取区间的一些特殊点，如区间的端点或中点等；
(3)求和
小曲边梯形的面积和
n
n
Sn＝ ΔSi＝
i＝1
i＝1
n n＋i－1n＋i
＝nn1－n＋1 1＋n＋1 1－n＋1 2＋…＋n＋1n－1－n＋1 n＝nn1－21n＝12. (4)取极限 当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时，Sn 越来越趋向于 S，
从而有 linm→∞Sn＝12，所以由直线 x＝1，x＝2，y＝0 和曲线 y＝x12围成
＝－n13[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋n12[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝－n13·16n(n－1)(2n－1)＋n12·nn2－1 ＝－－n62n＋2 1＝－16n12－1.
(4)取极限
当分割无限变细，即 Δx 趋向于 0 时，n 趋向于∞，此时
－16n12－1趋向于
S.从而有
S＝li m n→∞
跟踪训练 1 求由直线 x＝1，x＝2，y＝0 及曲线 y＝x12围成图 形的面积 S.
解析：(1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个点，将它分成 n 个小区间 为n＋ni－1，n＋n i(i＝1,2，…，n)，其长度为 Δx＝1n.分别过上述 n －1 个点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的 面积记 ΔSi(i＝1,2，…，n)． (2)近似代替 在区间n＋ni－1，n＋n i上，当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时，我们用小矩形面积近似地代替 ΔSi，则有 ΔSi≈n＋i－n12n＋i·1n
状元随笔 曲边梯形面积的求解过程，其实可以用下面的表
述：
(1)将区间[a，b]分割，等分为 n 个小区间，每个小区间的长度 为 Δx＝b－n a；
(2)“近似代替”中每个小区间上函数 f(x)的值可任意取一点 ξi∈[xi －1，xi]，用 f(ξi)来代替，不影响极限的值．为了计算方便， 可以取区间的一些特殊点，如区间的端点或中点等；
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用第五节(第一课时)曲边梯形的的面积和定积分的概念(共19张
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
10
S第1个黄色矩形
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
凡 事 都是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看 到 不 同 的 结果 。 若 能 把 一 些 事 看 淡 了 ，就 会 有 个 好 心 境 ， 若 把 很 多事 看 开 了 ， 就 会有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹 如 月 缺 月 圆那 样 寻 常 ， 让 得 失 利 弊 犹 如花 开 花 谢 那 样 自 然 ， 不 计 较， 也 不 刻 意 执 着； 让 生 命 中 各 种 的 喜 怒 哀 乐 ， 就 像 风 儿一 样 ， 来 了 ， 不 管 是 清 风 拂面 ， 还 是 寒 风 凛 冽 ， 都 报 以自 然 的 微 笑 ， 坦然 的 接 受 命 运 的 馈 赠 ， 把 是 非 曲 折 ， 都当 作 是 人
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f
(x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
ba n
f i
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1
《曲边梯形的面积》优秀课件
土地规划中的面积计算
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
曲边梯形的面积
第一节 定积分的概念
一、曲边梯形的面积 二、定积分的概念与几何意义 三、小结 四、练习
第一节 定积分的概念 一、曲边梯形的面积
y
y = f ( x)
曲 边 梯 形
a
b
x
曲边梯形面积的计算
第一节 定积分的概念
一、曲边梯形的面积
第一步： 第一步： 分割． 如下图
y
y = f (x )
a
x1
xi −1 xi
0.07 t
亿桶． 亿桶．试用此式估算从 1970 年到 1990 年间
石油消耗的总量． 石油消耗的总量．
第一节 定积分的概念
二、定积分的概念与几何意义
４.定积分的性质 定积分的性质 性质1 [ f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx 性质
b ∫a b ∫a b ∫a
第一节 定积分的概念
二、定积分的概念与几何意义
1.定积分的定义 定积分的定义
上有界， 设函数 f ( x )在区间 [a , b] 上有界，
(2)近似代替 近似代替
在每个小区间 [ x i −1 , x i ] 内任取一点 ξ i，作 (i 2， 乘积 f (ξ i ) ∆x i， = 1， L， n)．
第一节 定积分的概念
二、定积分的概念与几何意义
1.定积分的定义 定积分的定义
上有界， 设函数 f ( x )在区间 [a , b] 上有界，
(3)求和 求和
记σ = ∑ f (ξ i )∆xi ．
i =1
n
(4)取极限 取极限 怎样分法， 令 λ = max{∆x i }，不论对 [a , b ] 怎样分法，
b ∫a
一、曲边梯形的面积 二、定积分的概念与几何意义 三、小结 四、练习
第一节 定积分的概念 一、曲边梯形的面积
y
y = f ( x)
曲 边 梯 形
a
b
x
曲边梯形面积的计算
第一节 定积分的概念
一、曲边梯形的面积
第一步： 第一步： 分割． 如下图
y
y = f (x )
a
x1
xi −1 xi
0.07 t
亿桶． 亿桶．试用此式估算从 1970 年到 1990 年间
石油消耗的总量． 石油消耗的总量．
第一节 定积分的概念
二、定积分的概念与几何意义
４.定积分的性质 定积分的性质 性质1 [ f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx 性质
b ∫a b ∫a b ∫a
第一节 定积分的概念
二、定积分的概念与几何意义
1.定积分的定义 定积分的定义
上有界， 设函数 f ( x )在区间 [a , b] 上有界，
(2)近似代替 近似代替
在每个小区间 [ x i −1 , x i ] 内任取一点 ξ i，作 (i 2， 乘积 f (ξ i ) ∆x i， = 1， L， n)．
第一节 定积分的概念
二、定积分的概念与几何意义
1.定积分的定义 定积分的定义
上有界， 设函数 f ( x )在区间 [a , b] 上有界，
(3)求和 求和
记σ = ∑ f (ξ i )∆xi ．
i =1
n
(4)取极限 取极限 怎样分法， 令 λ = max{∆x i }，不论对 [a , b ] 怎样分法，
b ∫a
高三数学曲边梯形的面积课件
• 2、历史介绍
介绍300年前，牛顿、卡瓦列利、瓦里士等著名学者对这 个问题的研究成果。同时介绍我国古代数学家刘徽早在三国时 代，就提出了著名的“割圆术”，以“直”代“曲”把圆的面 积近似看成多边形面积来计算,提出以直代曲，逼近思想。 给 学生介绍公元3世纪诞生的刘徽 “割圆术”：用圆内接正多边 形逼近圆周的方法。刘徽指出：“割之弥细，所失弥少。割之 又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。” 这就是说， 圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的面积的极限是圆 面积。今天带着学生应用这种思想解决定积分的问题。从数学 史角度体会最早的“直曲转化”思想。
二 教学目标
（一）知识目标：1、初步了解、感受定积分的实际背景。
2、体会“以直代曲”，“逼近”的思想。 （二） 能力目标：
1、通过探索求曲边梯形的面积的过程，了解 用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法、步骤分析问题， 从而培养学生的逻辑思维能力，理解用极限的思想方法思考与处 理问题，从而培养学生的创新意识。
• ４、链接生活（运用所学的思想及方法来解决生活中的 问题）
A
B
C D
图1 长江三峡溢流坝断面
举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体 力学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中 间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要 根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计 算出它的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面 积该怎样计算呢？显然这是一曲边梯形的面积，所以根据 刚刚学习过的思想和方法我们来计算长江三峡溢流坝上部 断面面积。
y f(b)
f(a)
y=f(x)
O
a
y
b
x
y=x 2 S
高中数学第1章14第1课时曲边梯形面积与定积分课件新人教b版选修22.ppt
(4)取极限：W＝ lim n→＋∞
f(ξi)Δxi.
i＝0
即求变力做功也分四步：分割、近似代替、求和、取极
n－1
限，即W＝ lim n→＋∞
f(xi)Δxi(这里取ξi＝xi且把区间[a，b]n等分)．
i＝0
如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置em处，求克 服弹力所做的功．
[解析] 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧 拉伸(压缩)的长度成正比，即F(x)＝kx(N)，其中k为比例系 数．
第一章 1.4 定积分与微积分基本定理
第1课时 曲边梯形面积与定积分
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
大自然是懂数学的．你看，在我们生活 的大自然中，各种植物的叶子千差万别，但它 们具有相同的特点：叶子的边缘都是曲线形 状，好似两条曲线相交而成．同样，花卉的花 瓣也是曲线形状的．
，λ＝
b－a n
，当λ趋
于0时，即n趋于无穷大，并注意当ξi∈[xi－1，xi]时，i的取值是 从1到n，而非定义中的从0到n－1，但与定义中实质相同，定
义中ξi∈[xi，xi＋1]．设a<b，为今后使用
a
的方便，对于a＝b和a>b的情况特作如下的规定：
当a＝b时，bf(x)dx＝0； a
那么，怎样计算这种由曲线围成的图形 的面积呢？
1.从1到n的自然数的平方和等于多少？ 2．函数f(x)在x＝x0处导数的定义是什么？
答案：1.12＋22＋…＋n2＝61n(n＋1)(2n＋1)．
2．f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
一、定积分的实际背景 1．曲边梯形的概念 如图(1)，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y ＝f(x)的一段．我们把由直线x＝a，x＝b(a<b)，y＝0和曲线y＝ f(x)所围成的图形称为曲边梯形．
曲边梯形的面积.ppt
f (x1)x f(x 2 )x f(x n )x
表示了曲边梯形面积的近似值
14
小结:求由连续曲线yf(x)对应的
曲边梯形面积的方法
（1）分割
（2）近似代替 （3）求和
（4）取极限 n
15
二 汽车行驶的路程 思考1：汽车以速度v作匀速直线运动， 经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽 车作变速直线运动，那么在相同时间内 所行驶的路程相等吗？
0.273 437 50
0.302 734 50
0.317 871 09
0.325 561 52
0.329 437 26
0.331 382 75
0.332 357 41
0.332 845 21
0.333 089 23
…
11
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
S
n i1
Si
n i1
S 1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n3
所以S 1 .
3
10
我们还可以 从数值上可 以看出这一 变化趋势 （请见表）
区间[0，1] 的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S的近似值 Sn
0.125 000 00
0.218 750 00
5
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形
的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的
面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
表示了曲边梯形面积的近似值
14
小结:求由连续曲线yf(x)对应的
曲边梯形面积的方法
（1）分割
（2）近似代替 （3）求和
（4）取极限 n
15
二 汽车行驶的路程 思考1：汽车以速度v作匀速直线运动， 经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽 车作变速直线运动，那么在相同时间内 所行驶的路程相等吗？
0.273 437 50
0.302 734 50
0.317 871 09
0.325 561 52
0.329 437 26
0.331 382 75
0.332 357 41
0.332 845 21
0.333 089 23
…
11
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
S
n i1
Si
n i1
S 1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n3
所以S 1 .
3
10
我们还可以 从数值上可 以看出这一 变化趋势 （请见表）
区间[0，1] 的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S的近似值 Sn
0.125 000 00
0.218 750 00
5
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形
的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的
面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
曲边梯形面积及汽车行驶的路程
曲边梯形面积还可以用于评估不同路况对汽车行驶的影响。 例如，在雨天或雪天行驶时，路面湿滑可能会导致车辆打滑 或失控，曲边梯形面积的计算可以帮助驾驶员更好地理解路 面的复杂性和危险性。
曲边梯形面积与汽车行驶路程的未来发展
随着科技的不断进步和人们对环保的日益重视，未来汽车行业将更加注重节能减排和可持续发展。曲 边梯形面积的计算可以帮助设计师更好地理解汽车的能耗和排放情况，从而优化设计，降低对环境的 影响。
的长度和方向。
在某些情况下，曲边梯形面积 的大小可能会影响汽车行驶的 路程长度，例如在弯曲的道路
或坡道行驶时。
曲边梯形面积对汽车行驶路程的影响
在弯曲的道路中，曲边梯形面积的大小会影响汽车行驶的路程长度。
当道路弯曲时，汽车需要沿着曲线路径行驶，曲边梯形面积的大小决定了曲线的长 度，进而影响汽车行驶的路程长度。
感谢您的观看
曲边梯形面积还可以用于评估汽车内部空间布局的合理性。通过计算曲边梯形面 积，可以确定车内座椅、方向盘等部件的合理位置，以提高乘客的舒适度和驾驶 安全性。
曲边梯形面积在汽车行驶路程规划中的应用
在汽车行驶路程规划中，曲边梯形面积可以帮助驾驶员更好 地理解行驶路线的复杂性和行驶难度。例如，在山区行驶时 ，曲边梯形面积可以用于评估道路的陡峭程度和弯道数量， 从而帮助驾驶员选择合适的行驶路线和驾驶方式。
实际应用
在日常生活中，可以根据给定的速度 和时间，计算汽车行驶的路程；或者 根据已知的路程和时间，计算汽车的 速度。
不同行驶状态下的路程计算
变速行驶
变速行驶时，汽车的速度会发生变化，因此需要分段计算路程， 然后累加得到总路程。
曲线行驶
曲线行驶时，需要将曲线分成若干段直线，然后分别计算每段直线 的路程，最后将各段路程相加得到总路程。
曲边梯形面积与汽车行驶路程的未来发展
随着科技的不断进步和人们对环保的日益重视，未来汽车行业将更加注重节能减排和可持续发展。曲 边梯形面积的计算可以帮助设计师更好地理解汽车的能耗和排放情况，从而优化设计，降低对环境的 影响。
的长度和方向。
在某些情况下，曲边梯形面积 的大小可能会影响汽车行驶的 路程长度，例如在弯曲的道路
或坡道行驶时。
曲边梯形面积对汽车行驶路程的影响
在弯曲的道路中，曲边梯形面积的大小会影响汽车行驶的路程长度。
当道路弯曲时，汽车需要沿着曲线路径行驶，曲边梯形面积的大小决定了曲线的长 度，进而影响汽车行驶的路程长度。
感谢您的观看
曲边梯形面积还可以用于评估汽车内部空间布局的合理性。通过计算曲边梯形面 积，可以确定车内座椅、方向盘等部件的合理位置，以提高乘客的舒适度和驾驶 安全性。
曲边梯形面积在汽车行驶路程规划中的应用
在汽车行驶路程规划中，曲边梯形面积可以帮助驾驶员更好 地理解行驶路线的复杂性和行驶难度。例如，在山区行驶时 ，曲边梯形面积可以用于评估道路的陡峭程度和弯道数量， 从而帮助驾驶员选择合适的行驶路线和驾驶方式。
实际应用
在日常生活中，可以根据给定的速度 和时间，计算汽车行驶的路程；或者 根据已知的路程和时间，计算汽车的 速度。
不同行驶状态下的路程计算
变速行驶
变速行驶时，汽车的速度会发生变化，因此需要分段计算路程， 然后累加得到总路程。
曲线行驶
曲线行驶时，需要将曲线分成若干段直线，然后分别计算每段直线 的路程，最后将各段路程相加得到总路程。
曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 课件
思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？ (归纳主要步骤)
知识点二 求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用 分割 、 近似代替 、求和、 取极限 的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
类型一 求曲边梯形的面积
例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积.
类型二 求变速运动的路程 例2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋ 2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？
Hale Waihona Puke 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
知识点一 曲边梯形的面积
思考1 如何计算下列两图形的面积？
答 ①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解.
思考2 如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1， y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟 悉的“直边图形”有什么区别？
答 已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯 形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段.
课件2：1.4.1曲边梯形的面积
以这段时间内行驶的路程 S 是 km.
3
[点拨] 用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以求曲边
多边形的面积，它体现了一种化整(分割)为零，积零为整(逼近)的
思想方法．
练 2
一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间 t 的速度 v(t)
6
＝ 2，求汽车在 t＝1 到 t＝2 这段时间内运动的路程．
小，可以认为汽车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个
小区间上行驶的路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让n趋
向于无穷大就得到s的精确值.
专题一求曲边梯形的面积
例1
求由直线＝，＝和＝及曲线＝3所围成的曲边梯形的面积．
[分析]
将曲边梯形分割成许多个小曲边梯形，用小矩形的面积近
似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的近似值，
=1
3
1
∙
④取极限：当分点数目越多，即Δ越小时，和式的值就越接近曲
边梯形的面积S，因此 → ∞，即△→0时，和式的极限就是所
求的曲边梯形的面积．
+−
因为
= +−
=
=
= − + − + − +
1.4.1曲边梯形的面积与
用第
一
章
：
导
数
及
其
应
自主学习
• 1.连续函数
连续不断
• 如果函数＝()在某个区间I上的图象是一条①________的曲
线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
• 2.曲边梯形的面积
3
[点拨] 用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以求曲边
多边形的面积，它体现了一种化整(分割)为零，积零为整(逼近)的
思想方法．
练 2
一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间 t 的速度 v(t)
6
＝ 2，求汽车在 t＝1 到 t＝2 这段时间内运动的路程．
小，可以认为汽车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个
小区间上行驶的路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让n趋
向于无穷大就得到s的精确值.
专题一求曲边梯形的面积
例1
求由直线＝，＝和＝及曲线＝3所围成的曲边梯形的面积．
[分析]
将曲边梯形分割成许多个小曲边梯形，用小矩形的面积近
似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的近似值，
=1
3
1
∙
④取极限：当分点数目越多，即Δ越小时，和式的值就越接近曲
边梯形的面积S，因此 → ∞，即△→0时，和式的极限就是所
求的曲边梯形的面积．
+−
因为
= +−
=
=
= − + − + − +
1.4.1曲边梯形的面积与
用第
一
章
：
导
数
及
其
应
自主学习
• 1.连续函数
连续不断
• 如果函数＝()在某个区间I上的图象是一条①________的曲
线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
• 2.曲边梯形的面积
曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 课件
故路程的近似值为 s 10 si 0 1 2 9 45. i1
【方法技巧】求变速直线运动路程的方法 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形
的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分 割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间 区间.
x
(2)曲边梯形：是由曲线段和直线段所围成的平面图形.
2.求曲边梯形面积的思想及注意事项 (1)思想：利用无限逼近的思想方法，“以直代曲”将曲边梯 形分成很多个小曲边梯形，将曲边近似地看成直边求其面积， 然后求和即得曲边梯形面积的近似值，对和求极限得面积的精 确值. (2)注意事项： ①在分割过程中，分割得越细，近似代替后所求面积的和越接 近曲边梯形的面积，也可以不是等分.
曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
1.连续函数与曲边梯形的概念 (1)连续函数：如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是一条 _连__续__不__断__的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数. (2)曲边梯形：由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线_y_=_f_(_x_)_所 围成的图形(如图阴影所示).
割得到的，因此其面积和为S.所以A正确，B，C，D错误，故
应选A.
(2)选D.在［0，t］上等间隔插入n-1个分点，把区间［0，t］
等分成n个小区间，每个小区间的长度均为 t，故第i-1个区间
n
为[ t(i 2)，t](，i 故1) 选D.
n
n
(3)分割：
在区间［1，2］上等间隔地插入n-1个点，将区间［1，2］等
【即时练】
汽车运动速度与时间的关系为v(t)=t2，运动时间为2小时，将
运动时间区间分割为200等份，则汽车在第i个时间区间上的运
【方法技巧】求变速直线运动路程的方法 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形
的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分 割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间 区间.
x
(2)曲边梯形：是由曲线段和直线段所围成的平面图形.
2.求曲边梯形面积的思想及注意事项 (1)思想：利用无限逼近的思想方法，“以直代曲”将曲边梯 形分成很多个小曲边梯形，将曲边近似地看成直边求其面积， 然后求和即得曲边梯形面积的近似值，对和求极限得面积的精 确值. (2)注意事项： ①在分割过程中，分割得越细，近似代替后所求面积的和越接 近曲边梯形的面积，也可以不是等分.
曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
1.连续函数与曲边梯形的概念 (1)连续函数：如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是一条 _连__续__不__断__的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数. (2)曲边梯形：由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线_y_=_f_(_x_)_所 围成的图形(如图阴影所示).
割得到的，因此其面积和为S.所以A正确，B，C，D错误，故
应选A.
(2)选D.在［0，t］上等间隔插入n-1个分点，把区间［0，t］
等分成n个小区间，每个小区间的长度均为 t，故第i-1个区间
n
为[ t(i 2)，t](，i 故1) 选D.
n
n
(3)分割：
在区间［1，2］上等间隔地插入n-1个点，将区间［1，2］等
【即时练】
汽车运动速度与时间的关系为v(t)=t2，运动时间为2小时，将
运动时间区间分割为200等份，则汽车在第i个时间区间上的运
曲边梯形的面积 汽车行驶的路程 课件
(3)求和 因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做 匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间[0，t0]范围内物体 运动的距离s就可以用这一物体分别在n个小区间上做n个匀速 直线运动的路程和近似代替，
n
n
即s＝Δsi≈v(ξi)Δt.①
i＝1
i＝1
(4)取极限
当所分时间区间愈短，即Δt＝
n
n
S＝ ΔSi≈ |f(ξi)|Δx
i＝1
i＝1
n
＝
i＝1
i－n 11－i－n 1·1n
＝
1 n2
[0＋1＋2＋…＋(n－1)]－
1 n3
[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]
＝n12·nn－2 1－n13·16n(n－1)(2n－1)
＝161－n12.
(4)取极限：当分割无限变细，即Δx无限趋近于0时，n无 限趋近于＋∞，此时161－n12无限趋近于S.从而有：
(3)求曲边梯形的面积，通常采用分割、近似代替、求 和、取极限的方法．
(4)由于f(ξi)为负值，故以|f(ξi)|为一边构造小矩形．
求变速运动的路程
已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v是时 间t的函数v(t)，求物体在t＝0到t＝t0这段时间内所经过的路程s.
[解析] (1)分割 将时间区间[0，t0]分成n等份： i－n 1t0，ni t0 (i＝1,2，…， n)，每个小区间所表示的时间为Δt＝tn0； 各区间物体运动的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．
一边，以小区间长度Δx＝1n为邻边的小矩形面积近似代替第i个
小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈|f(ξi)|Δx＝
i－1 n
1－i－n 1·1n(i＝1,2，…，n)．
1.5.1 曲边梯形的面积 课件(22张PPT)
上的值，可以用( C )近似代替
A. C.
1 f ( ) n
i f ( ) n
2 B.f ( n )
D. f 0
练 习
2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间 xi , xi1 上的近似值等于（ C ） A.只能是左端点的函数值 B.只能是右端点的函数值
f ( xi )
f ( xi 1 )
n 2
2
= = = =
1 1 1 1- 1 得到S（曲边梯形面积） S ≈ Sn = 3 n 2n
1 1 1 1 n -1 0 + +…+ n n n n n 1 2 2 2 1 + 2 + … + n 1 3 n 1 n - 1 n 2n - 1 n3 6 1 1 1 1 1 3 n 2n
' i 2
i -1 1 = i = 1, 2, ,n . n n
2
则阴影部分面积 s n
i -1 S n = ΔS 'i = f Δx = n i =1 i =1
n n 2
1 i -1 n i =1 n
i
练习：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲 边梯形的面积
p42
小结
求由连续曲线yf(x)围成的曲边梯形 面积的方法 （1）分割
（2）近似代替
（3）求和
（4）取极限
n
练 习
1. 当n很大时，函数 f ( x) x 在区间
2
i 1 i , n n
i f i -1 n
i -1 i n n
高二数学曲边梯形面积与定积分2(教学课件201908)
甚悲 此为九卿造创事始 从事韩咸切谏 籍曰 犹品状相妨 歆未知所从 玠思之经月不得 典统别营 于是与浚期游蓟城南清泉水上 太常 恬奏劾温大不敬 荥阳潘岳 字元愉 虽过悬车之年 诏出恒为镇军将军 加散骑常侍 进军讨颖 时人比之汉朝冯 迁尚书右丞 为政之所先 既徙封会稽 彬忠肃公亮
周遍内外 等于无虑 心乖雅正 方诸枝庶 令自训厉 请免浑官 河南尹王恂上言 复拜尚书 饮酒食肉 含弘光大 稽之人事 故帝手诏戒涛曰 主者必疑其论议伤物 裴苞又为张轨所杀 封沈从孙道素为博陵公 其家遵孚遗旨 睦自表乞依六蓼祀皋陶 猜生于骨肉 见者奇之 参魏征西将军夏侯玄军事 模力
虽不能从 字子将 参文帝大将军军事 先是太后有疾 是以舒等不敢不言 诸避乱游士多归于浚 丞相属 入为给事黄门侍郎 自中间以来 少贫窭 上疏谢曰 乐为得之矣 弥以暾乡里宿望 杜预闻充有奏 今征之 帝或慰谕之 舒有威重德望 问左右曰 岂当介意邪 不惕于邪故也 昔汉宣叹曰 受律遄征 谈
优务劣 而帝怒其顾望 此为国之大略也 必当仰称圣意 自此始也 摅山海之愤矣 不能默已 字子友 而从兄轶为元帝所诛 元显深衔之 无子 及寿兄巩令保 畅有才思 召众官议之 则虚建之 骏征高士孙登 演图杀浚 逮与魏正始中诸名士谈论 及洛阳陷没 有所损夺者 遣中书监傅祗代之 太元二年 虽
其力足以维带京邑 惟裴頠以为非 及怀帝践阼 厚德兴教也 魏陈思王植有俊才 诏进浚为大司马 充复上表欲立勋边境 以为国副 实有战国相持之势 除淮南相 字公安 钱帛 获其镇南将军留宪 轻之 以琉璃盏行酒 人物凋尽 尚书令卫瓘奏 孙秀惧伦受灾 恶稔毒痡 谥曰元 若然 类大纲不振而微过必
举 御史中丞 然以此相校 与颍川陈泰友善 未尝进寒素 由是澹与妻子徙辽东 特诏诸王自选令长 邑二万户 因流涕慷慨 后复以暾为司隶 至于恳切 而委事僚寀 博士陈留蔡克议谥曰 字玄冲 窃为圣朝耻之 且察其答对文义 又增置官骑十人 嬖人王绥曰 宜依汉太傅胡广丧母故事 及奕疾病 督率所
1.5.1曲边梯形的面积.ppt1
？
y = f(x) y
A1 Oa
A2 b
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
如 何 求 曲 边 梯 形 的 x面 积 ？
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
如 何 求 曲 边 梯 形 的 x面 积 ？
y yf (x)
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
Oa
bx
特别地，当 ab 时，有b a
f (x)dx0。
定积分的几何意义：
从几何上看，如果在区间[a,b]上函数连续且恒有（f x） 0；
那么定积分 b （f x)dx表示由直线x=a,x=b,y=0,和曲线y = f(x)所 a
？
—— 以直代曲,无限逼近
典型例题：
例1.求抛物线y=x2、直线x=0、直线 y
x=1和y=0所围成的曲边三角形的面积。
y x2
⑴分割
第i个小区间
把底边[0,1]分成n等份,
[0, 1],[1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1,1],
n nn n n n
然后在每个分点作底边的垂
,
xi
上取一点
i i 1,2,
,n
，作和式：Sn n
i 1
f
(i )x
n i 1
ba n
f (i )
如果 x 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn
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y = f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 A A1+ A2
y = f(x)
y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵
形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形
的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
曲边梯形的面积。 y
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
上的近似值等于（ C ） A.只能是左端点的函数值 f ( xi ) B.只能是右端点的函数值 f (xi1)
C.可以是该区间内任一点的函数值 f(i)(i xi,xi 1)
D.以上答案均不正确
作业 P42 练习题
继续保持安静
（2） 近似代替 (不足近似值)
Si f(i n1)x(i n1)2n 1
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i 1
n f( i -1) 1 n ( i -1)2 1
i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 22 23 2n 2n (n 1 )(2 n 1 ) 6
1.5.1 曲边梯形的面积
一. 求曲边梯形的面积
1. 曲 边 梯 形 ： 在 直 角 坐 标 系 中 ， 由 连 续 曲 线
y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边
梯形。 y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
P 放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附 近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看 作直线（即在很小范围内以直代曲）．
n3
6
6n n3
小结:求由连续曲线yf(x)对应的
曲边梯形面积的方法
（1）分割
（2）近似代替 （3）求和
（4）取极限 n
练习
1. 当n很大时，函数
f (x) x2 在区间
i
1
,
i n
上的值，可以用( C )近似代替
A.
f (1) n
C.
f(i) n
B.f
(
2 n
)
D. f 0
练习
2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间 xi,xi1
S n 1 31 6 (n 1 )n (2 n 1 )1 6 (1 n 1 )(2 n 1 )
（4）取极限
当 分 割 的 份 数 无 限 增 多 , 即 n → ∞ , △ x → 0 时
S 1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n3
所以S 1 . 3
Sn
我们还可以 从数值上可 以看出这一 变化趋势 （请见表）
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
S
n i1
Si
n i1
f( i ) 1 nn
n i1
( i )2 n
1 n
1 [12 22 (n1)2 n2] n3
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
Sn13[1222(n1)2n2]
1 n(n1)(2n1)1(11)(21)1
[0 ,1][,1,2],,[i 1,i],,[n 1,n], n nn nn n n
每个区间的长度为
y x2
x i i 1 1 nn n
O 12 nn
k n
nx
n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S 1 , S 2 ,, S i,, S n .
大家学习辛苦了，还是要坚持