第六章 组合变形
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Mz
中性轴
y
Mzy Iz
Fz z
F
Fy
My
中性轴
M yz Iy
危险点位置：
右上角角点处
4、提取危险点处应力状态
y
Fz z
单向应力状态 F
Fy
Mz Wy Wz
My
5、中性轴的位置
中性轴上正应力为零；
y
- +
Fz z
(z,y)
++ - +
( z, y )
i i ay , az yF zF
2 z
2 y
ay、az分别与yF,zF符号相反，即中性轴与外力作用点 分别位于截面形心的两侧。对于周边无棱角的截面，可 作两条与中性轴平行的直线与截面周边相切，两切点D1、 D2即为离中性轴最远的点，就可求得最大拉应力和最大 压应力。 中性轴 y D1 对于周边具有棱角 的截面，其危险点必定 F ( yP , z P ) 在截面的棱角处，可根 据变形来确定。
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
（4）求压力F
FN
t .max 667 F t
t 30 106 F
t max
F2 F1l max A 4W
五、强度条件
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件 为:
max [ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立 杆件的抗拉和抗压强度条件.
t max [ t ]
c max [ c ]
0
z x
剪力F （shear force）
s
弯矩 Mz （bending moment）
y
FN
因为剪力Fs引起的切应力较小,故一般不考虑.
四、应力分析
横截面上任意一点 （ z, y） 处的正应 力计算公式为 1.拉伸正应力 ( z,y) Mz
0 z x
（Axial normal stress）
§6-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合
一、受力特点
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力
二、变形特点
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形
示例1 F1 产生弯曲变形 F2 产生拉伸变形 示例2
F2
F1
F2
Fy 产生弯曲变形
Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
三、内力分析
横截面上内力 1.拉(压) :轴力 FN （axial force） 2.弯曲 FS Mz
叠加原理的适用条件
①线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律； ②必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与 叠加计算，且能保证与加载次序无关。 ③杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响； 即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变形 或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可 以忽略）； 组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形的应 力及叠加法为基础。
z
t ,max F F z F F y F c ,max A W y Wz
D2
（
偏心拉、压问题的）截面核心：
当压力作用在此区域内时，中性轴不穿过横截面， 横截面上无拉应力。
ay
截面核心
az
z
中性轴
F ( z P , yP )
y
§6-5 扭转与弯曲的组合
研究对象 受力特点 变形特点 圆截面杆 杆件同时承受转矩和横向力作用 发生扭转和弯曲两种基本变形 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
934 934
128500 N
许可压力为 F 45000 N 45kN
§6–3
平面弯曲：
斜弯曲
外力作用在纵向对称面内，且过形心； 或外力过形心，且与形心主轴方向重合；
F1
F z
F
x
y
P q
hg
水坝
1、研究方法：
将复杂变形分解成基本变形； 独立计算每一基本变形的各自的内力、应力、应变、位移。
叠加
形成构件在组合变形下的内力、应力、应变、位移。
分解
组合变形 基本变形
叠加
组合变形分析
2、叠加原理：
如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 在小变形条件下，组合变形构件的内力，应力，变形等力 学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响 应的叠加; 且与各单独受力的加载次序无关。
压 中性轴 过截面形心、位于2、4象 限的一条斜线
F
6、正应力的分布规律
中性轴 σtmax
x
σcmax
讨论
Iz tan tan Iy
（1）中性轴只与外力倾角及截面的几何形状与 尺寸有关； 拉 y （2）一般情况下，
I y Iz
z
F 压
中性轴
即中性轴并不垂直于外力作用面。
z
Mz
x
My
F y
x
Fy
My
偏心拉伸是拉伸与弯曲的组合变形。按叠加原理求解。
任一横截面n-n上任意点C的正应力由三种内力产生：
M z y FyF y Iz Iz
可得
FN F A A
Myz Iy
FzF z Iy
2 2 y
由
I z Ai z , I y Ai
Fy l 3 3EI z
总挠度：
w wy j wz k
w wy wz
2
wz w
F
大小为：
2
w
y
设总挠度与y轴夹角为 ：
wz Fz I z I z tan tan tan wy Fy I y I y
一般情况下，I y I z
挠曲线平面与荷载作用面不重合，是斜弯曲，而不是平面弯曲。
§6-4 偏心拉伸（压缩）• 截面核心
当外力作用线与杆 的轴线平行但不重合时， 将引起偏心拉伸或偏心 压缩。以横截面具有两 对称轴的等直杆承受偏 心拉力为例，说明偏心 拉伸（压缩）杆件的强 度计算。
将偏心拉力F向轴线简化，得到与轴线重合的拉力 F和力偶矩My、Mz
M y FzF
F z
M z FyF
Myz Iy
Mz y Iz
FLz sin FLy cos Iy Iz z sin y cos FL( ) Iy Iz z sin y cos 0 Iy Iz
-Fy
中性轴的位置
z sin y cos 0 Iy Iz
拉 z
y
y I z sin I z tan z I y cos I y Iz tan tan Iy
M max
F1l 4
FN图
所以跨中截面是杆的危险截面
F1l/4
x
M图
4.计算危险点的应力 F1 F2 l/2 l/2
F2
F2 A
M max W
F2 A
拉伸正应力
M max F1l 最大弯曲正应力 max W 4W
杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为
2.弯曲正应力
FN A
FN
（Bending normal stress）
Mz y Iz
y
FN M z y A Iz
3.危险截面的确定 作内力图 F1 F2 l/2 F2
x
轴力（axial force）
F2
l/2
FN F2
弯矩（bending moment）
F z F z yF y (1 2 2 ) A iy iz
要求最大应力，应先确定中性轴的位置。令中性 轴上各点的坐标为y0,z0 , 由于中性轴上各点的应力等 于零，则有：
zF z0 yF y0 1 2 2 0 iy iz
中性轴方程
可见中性轴是一条不通过截面形心的直线。 若中性轴在y、z轴上的截距分别为ay、az，代 入上式令z0 ＝0，相应的y0即为ay ，同理可得az ：
求：危险截面上的最大正应力
y x z F
1、斜弯曲分解
y Fz z F x
y
Fz z
Fy F
Fy
Fz F sin
Fy F cos
2、分别作各自平面弯曲的内力图，确定危险面 y 危险截面：
Fz
z Mz
x
Fy FyL=FLcos
固定端截面
My FzL=FLsin
3、分析应力分布规律，确定危险点
50 150 50 150
I y 5.31107 mm4 （2）立柱横截面的内力 FN F M F 350 75103 0.425F
A 15000 mm2 z0 75mm z1 125mm
（2）立柱横截面的内力 FN F M 0.425 F
t . max
梁的轴线为形心主惯性面内的一条平面曲线。 斜弯曲： 外力过形心，但不与形心主轴重合。 变形后,梁轴线不在外力作用面内。 z
研究方法：
斜弯曲
分解 平面弯曲
F
y
斜弯曲
分解
平面弯曲
Fz
z xz平面内的平面弯曲
Fz
F
z
y
Fy
y z
xy平面内的平面弯曲
Fy
y
已知：矩形截面梁截面宽度b、高度h、长度l，外载荷 F，与主惯轴y成夹角。
Mechanics of Materials
§6-1 组合变形与叠加原理
§6-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
§6-3 斜弯曲 §6-4 偏心拉伸（压缩）.截面核心 §6-5 扭转与弯曲的组合
§6-1
基本变形 组合变形：
组合变形与叠加原理
构件只发生一种变形； 轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
构件在外载的作用下，同时发生两种或两种以上基本变形。 F2 M
1.5ｍ
0, Fcy 18kN, Fcx 24kN
12kN .m
24kN
例6.2图
按弯曲强度条件可得：
12103 3 W 120cm 6 10010 M
查型钢表，可选用16号钢， W 141cm3 , A 26.1cm2 ， 按弯压组合强度条件，可知C点左侧截面下边缘各点压应 力最大：
例6.1 图a所示起重机的最大吊重F=12kN，许用应 力 100MPa ，试为横梁AB选择合适的工字钢。
解：根据横梁AB的受力图，由 平衡方程可得：
M
A
做弯矩图和轴力图，危险截面 为C点左侧截面。
2ｍ 1ｍ
注意：求工字钢截面几何尺 寸时，因为A、W不可能同时 获得，所以不能同时考虑弯 矩与轴力条件，可先按弯曲 强度条件试算，再按弯压组 合进行强度校核。
FN M max c max 94.3 MPa A W
说明所选工字钢合适。
例6.2 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，
材料的许用拉应力[t]＝30MPa，许用压应力[c]＝ 120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。
F F
350
F
350
y1
z0
y
FN
z1
解：（1）计算横截面的形心、 面积、惯性矩 A 15000 mm2 z0 75mm M z1 125mm
叠加法的主要步骤为：
1）将组合变形按基本变形的加载条件或相应内力分量分解为 几种基本变形；
2）根据各基本变形情况下的内力分布，确定可能危险面；
3）根据危险面上相应内力分量画出应力分布图，由此找出可 能的危险点；根据叠加原理，得出危险点应力状态； 4）根据构件的材料选取强度理论，由危险点的应力状态， 写出构件在组合变形情况下的强度条件，进而进行强度计算。
讨论
（3）当截面为圆形、正方形、正三角形或正多边形时，
I y Iz ,
所有通过形心的轴均为主轴，且惯性矩相等;
中性轴垂直于外力作用面;
z F
y
中性轴
即外力无论作用在哪个纵向
中性轴 α y
Fz l wz 3EI y
3
wy
B A C
L
一、 内力分析
设一直径为d 的等直圆杆AB, B F
B A C
端具有与AB成直角的刚臂. 研究AB 杆的内力.
将力 F 向 AB 杆右端截面的形
l
心B简化得
横向力 F （引起平面弯曲） 力偶矩 M= Fa （引起扭转） AB 杆为弯曲与扭转局面组合 变形
A B
M
Mz 0 FN Iy A
I y 5.31107 mm4 （3）立柱横截面的最大应力
F
350
M
FN
425 10 3 F 0.075 F 5.3110 5 15 10 3 667 F Pa Mz1 FN c. max Iy A
t .max
中性轴
y
Mzy Iz
Fz z
F
Fy
My
中性轴
M yz Iy
危险点位置：
右上角角点处
4、提取危险点处应力状态
y
Fz z
单向应力状态 F
Fy
Mz Wy Wz
My
5、中性轴的位置
中性轴上正应力为零；
y
- +
Fz z
(z,y)
++ - +
( z, y )
i i ay , az yF zF
2 z
2 y
ay、az分别与yF,zF符号相反，即中性轴与外力作用点 分别位于截面形心的两侧。对于周边无棱角的截面，可 作两条与中性轴平行的直线与截面周边相切，两切点D1、 D2即为离中性轴最远的点，就可求得最大拉应力和最大 压应力。 中性轴 y D1 对于周边具有棱角 的截面，其危险点必定 F ( yP , z P ) 在截面的棱角处，可根 据变形来确定。
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
（4）求压力F
FN
t .max 667 F t
t 30 106 F
t max
F2 F1l max A 4W
五、强度条件
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件 为:
max [ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立 杆件的抗拉和抗压强度条件.
t max [ t ]
c max [ c ]
0
z x
剪力F （shear force）
s
弯矩 Mz （bending moment）
y
FN
因为剪力Fs引起的切应力较小,故一般不考虑.
四、应力分析
横截面上任意一点 （ z, y） 处的正应 力计算公式为 1.拉伸正应力 ( z,y) Mz
0 z x
（Axial normal stress）
§6-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合
一、受力特点
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力
二、变形特点
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形
示例1 F1 产生弯曲变形 F2 产生拉伸变形 示例2
F2
F1
F2
Fy 产生弯曲变形
Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
三、内力分析
横截面上内力 1.拉(压) :轴力 FN （axial force） 2.弯曲 FS Mz
叠加原理的适用条件
①线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律； ②必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与 叠加计算，且能保证与加载次序无关。 ③杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响； 即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变形 或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可 以忽略）； 组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形的应 力及叠加法为基础。
z
t ,max F F z F F y F c ,max A W y Wz
D2
（
偏心拉、压问题的）截面核心：
当压力作用在此区域内时，中性轴不穿过横截面， 横截面上无拉应力。
ay
截面核心
az
z
中性轴
F ( z P , yP )
y
§6-5 扭转与弯曲的组合
研究对象 受力特点 变形特点 圆截面杆 杆件同时承受转矩和横向力作用 发生扭转和弯曲两种基本变形 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
934 934
128500 N
许可压力为 F 45000 N 45kN
§6–3
平面弯曲：
斜弯曲
外力作用在纵向对称面内，且过形心； 或外力过形心，且与形心主轴方向重合；
F1
F z
F
x
y
P q
hg
水坝
1、研究方法：
将复杂变形分解成基本变形； 独立计算每一基本变形的各自的内力、应力、应变、位移。
叠加
形成构件在组合变形下的内力、应力、应变、位移。
分解
组合变形 基本变形
叠加
组合变形分析
2、叠加原理：
如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 在小变形条件下，组合变形构件的内力，应力，变形等力 学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响 应的叠加; 且与各单独受力的加载次序无关。
压 中性轴 过截面形心、位于2、4象 限的一条斜线
F
6、正应力的分布规律
中性轴 σtmax
x
σcmax
讨论
Iz tan tan Iy
（1）中性轴只与外力倾角及截面的几何形状与 尺寸有关； 拉 y （2）一般情况下，
I y Iz
z
F 压
中性轴
即中性轴并不垂直于外力作用面。
z
Mz
x
My
F y
x
Fy
My
偏心拉伸是拉伸与弯曲的组合变形。按叠加原理求解。
任一横截面n-n上任意点C的正应力由三种内力产生：
M z y FyF y Iz Iz
可得
FN F A A
Myz Iy
FzF z Iy
2 2 y
由
I z Ai z , I y Ai
Fy l 3 3EI z
总挠度：
w wy j wz k
w wy wz
2
wz w
F
大小为：
2
w
y
设总挠度与y轴夹角为 ：
wz Fz I z I z tan tan tan wy Fy I y I y
一般情况下，I y I z
挠曲线平面与荷载作用面不重合，是斜弯曲，而不是平面弯曲。
§6-4 偏心拉伸（压缩）• 截面核心
当外力作用线与杆 的轴线平行但不重合时， 将引起偏心拉伸或偏心 压缩。以横截面具有两 对称轴的等直杆承受偏 心拉力为例，说明偏心 拉伸（压缩）杆件的强 度计算。
将偏心拉力F向轴线简化，得到与轴线重合的拉力 F和力偶矩My、Mz
M y FzF
F z
M z FyF
Myz Iy
Mz y Iz
FLz sin FLy cos Iy Iz z sin y cos FL( ) Iy Iz z sin y cos 0 Iy Iz
-Fy
中性轴的位置
z sin y cos 0 Iy Iz
拉 z
y
y I z sin I z tan z I y cos I y Iz tan tan Iy
M max
F1l 4
FN图
所以跨中截面是杆的危险截面
F1l/4
x
M图
4.计算危险点的应力 F1 F2 l/2 l/2
F2
F2 A
M max W
F2 A
拉伸正应力
M max F1l 最大弯曲正应力 max W 4W
杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为
2.弯曲正应力
FN A
FN
（Bending normal stress）
Mz y Iz
y
FN M z y A Iz
3.危险截面的确定 作内力图 F1 F2 l/2 F2
x
轴力（axial force）
F2
l/2
FN F2
弯矩（bending moment）
F z F z yF y (1 2 2 ) A iy iz
要求最大应力，应先确定中性轴的位置。令中性 轴上各点的坐标为y0,z0 , 由于中性轴上各点的应力等 于零，则有：
zF z0 yF y0 1 2 2 0 iy iz
中性轴方程
可见中性轴是一条不通过截面形心的直线。 若中性轴在y、z轴上的截距分别为ay、az，代 入上式令z0 ＝0，相应的y0即为ay ，同理可得az ：
求：危险截面上的最大正应力
y x z F
1、斜弯曲分解
y Fz z F x
y
Fz z
Fy F
Fy
Fz F sin
Fy F cos
2、分别作各自平面弯曲的内力图，确定危险面 y 危险截面：
Fz
z Mz
x
Fy FyL=FLcos
固定端截面
My FzL=FLsin
3、分析应力分布规律，确定危险点
50 150 50 150
I y 5.31107 mm4 （2）立柱横截面的内力 FN F M F 350 75103 0.425F
A 15000 mm2 z0 75mm z1 125mm
（2）立柱横截面的内力 FN F M 0.425 F
t . max
梁的轴线为形心主惯性面内的一条平面曲线。 斜弯曲： 外力过形心，但不与形心主轴重合。 变形后,梁轴线不在外力作用面内。 z
研究方法：
斜弯曲
分解 平面弯曲
F
y
斜弯曲
分解
平面弯曲
Fz
z xz平面内的平面弯曲
Fz
F
z
y
Fy
y z
xy平面内的平面弯曲
Fy
y
已知：矩形截面梁截面宽度b、高度h、长度l，外载荷 F，与主惯轴y成夹角。
Mechanics of Materials
§6-1 组合变形与叠加原理
§6-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
§6-3 斜弯曲 §6-4 偏心拉伸（压缩）.截面核心 §6-5 扭转与弯曲的组合
§6-1
基本变形 组合变形：
组合变形与叠加原理
构件只发生一种变形； 轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
构件在外载的作用下，同时发生两种或两种以上基本变形。 F2 M
1.5ｍ
0, Fcy 18kN, Fcx 24kN
12kN .m
24kN
例6.2图
按弯曲强度条件可得：
12103 3 W 120cm 6 10010 M
查型钢表，可选用16号钢， W 141cm3 , A 26.1cm2 ， 按弯压组合强度条件，可知C点左侧截面下边缘各点压应 力最大：
例6.1 图a所示起重机的最大吊重F=12kN，许用应 力 100MPa ，试为横梁AB选择合适的工字钢。
解：根据横梁AB的受力图，由 平衡方程可得：
M
A
做弯矩图和轴力图，危险截面 为C点左侧截面。
2ｍ 1ｍ
注意：求工字钢截面几何尺 寸时，因为A、W不可能同时 获得，所以不能同时考虑弯 矩与轴力条件，可先按弯曲 强度条件试算，再按弯压组 合进行强度校核。
FN M max c max 94.3 MPa A W
说明所选工字钢合适。
例6.2 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，
材料的许用拉应力[t]＝30MPa，许用压应力[c]＝ 120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。
F F
350
F
350
y1
z0
y
FN
z1
解：（1）计算横截面的形心、 面积、惯性矩 A 15000 mm2 z0 75mm M z1 125mm
叠加法的主要步骤为：
1）将组合变形按基本变形的加载条件或相应内力分量分解为 几种基本变形；
2）根据各基本变形情况下的内力分布，确定可能危险面；
3）根据危险面上相应内力分量画出应力分布图，由此找出可 能的危险点；根据叠加原理，得出危险点应力状态； 4）根据构件的材料选取强度理论，由危险点的应力状态， 写出构件在组合变形情况下的强度条件，进而进行强度计算。
讨论
（3）当截面为圆形、正方形、正三角形或正多边形时，
I y Iz ,
所有通过形心的轴均为主轴，且惯性矩相等;
中性轴垂直于外力作用面;
z F
y
中性轴
即外力无论作用在哪个纵向
中性轴 α y
Fz l wz 3EI y
3
wy
B A C
L
一、 内力分析
设一直径为d 的等直圆杆AB, B F
B A C
端具有与AB成直角的刚臂. 研究AB 杆的内力.
将力 F 向 AB 杆右端截面的形
l
心B简化得
横向力 F （引起平面弯曲） 力偶矩 M= Fa （引起扭转） AB 杆为弯曲与扭转局面组合 变形
A B
M
Mz 0 FN Iy A
I y 5.31107 mm4 （3）立柱横截面的最大应力
F
350
M
FN
425 10 3 F 0.075 F 5.3110 5 15 10 3 667 F Pa Mz1 FN c. max Iy A
t .max