2014年江苏高考数学科考试说明及典型题示例(矫正word版)

2014年江苏省高考说明－数学科一、命题指导思想普通高等学校招生全国统一考试是由合格的高中毕业生和具有同等学历的考生参加选拔性考试.高等学校根据考试考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取.因此，高考试卷应具有较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度.根据普通高等学校对新生文化素质的要求，2014年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题将依据中华人民共和国教育部颁发的《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》，结合江苏普通高中课程教学要求，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所需要（原来是“必须”）的基本能力.1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.2．重视数学基本能力和综合能力的考查数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.（1）空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断.（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性.（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算.（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题.3．注重数学的应用意识和创新意识的考查数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.创新意识的考查要求是:能够综合，灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.二、考试内容及要求数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容主要是选修系列2（删“不含选修系列1”）中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）.对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.具体考查要求如下：三、考试形式及试卷结构（一）考试形式闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟.（二）考试题型1．必做题必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分.2．附加题 附加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题2小题，考查选修系列2（删“不含选修系列1”）中的内容；选做题共4小题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生（删“只须”）从中选2题作答.填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（三）试题难易比例必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中所占分值的比例大致为4：4：2.附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中所占分值的比例大致为5：4：1.四、典型题示例A.必做题部分(一)填空题1. 设复数i 满足(34)43i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的实部是 . 【解析】本题主要考查复数的基本概念,基本运算.本题属容易题. 【答案】452. 设集合}3{},4,2{},3,1,1{2=++=-=B A a a B A ，则实数a 的值为 . 【解析】本题主要考查集合的概念、运算等基础知识.本题属容易题. 【答案】1. 3.【解析本题属容易题.【答案】54. 函数ln(1)()1x f x x +=-【解析】本题主要考查对数函数的定义域等基础知识，本题属容易题. 【答案】,+∞ (-1,1)（1）5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中 随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤 维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间]40,5[中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有_ _根棉花纤维的长度小于mm 20.【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题. 【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于mm 20的频率为 3.0501.0501.0504.0=⨯+⨯+⨯,故频数为301003.0=⨯.6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ． 【解析】本题主要考查等比数列的定义，古典概型.本题属容易题. 【答案】0.6.7. 已知两个单位向量向量a ，b 的夹角为60，(1)=++c ta t b .若0⋅=b c ，则实数t 的值为 .【解析】本题主要考查用坐标表示的平面向量的加、减、数乘及数量积的运算等基础知识.本题属容易题.【答案】232== a b . 8. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 cm 3．【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力和运算能力.本题属容易题.【答案】6.9.设直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值是 .【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法.本题属中等题. 【答案】ln 21-.10．函数ϕωϕω,,(),sin()(A x A x f +=是常数，)0,0>>ωA 的部分图象如图所示，则(0)f = .【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查特殊角的三角函数值．本题属中等题． 【答案DABC1C 1D 1A1B11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项．若12-=-m S ，0=m S ，13+=m S ，则正整数m = .【解析】本题主要考查等差数列的前n 项等基础知识，考查灵活运用有关知识解决问题的能力．本题属中等题．【答案】512．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 . 【解析】本题主要考查圆的方程、圆与圆的位置关系、点到直线的距离等基础知识，考查灵活运用相关知识解决问题的能力．本题属中等题【答案】34 13. 设a 为实数，()=y f x 是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，2()97=++a f x x x,若()1+…f x a 对一切0…x 成立，则a 的取值范围是__ ___. 【解析】本题主要考查函数的奇偶性,简单不等式的解法,以及数形结合与分类讨论的思想；考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力. 本题属难题.【答案】87a -… 14.已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b-+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 .【解析】本题主要考查代数式的变形和转化能力， 考查灵活运用有关的知识解决问题的能力.本题属难题.【答案】[],7e . (二)解答题15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，已知3a =，b =，2B A = .（1）求cos A 值； (2)求c 的值.【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,考查运算求解能力. 本题属容易题.【参考答案】（1）在ABC ∆中，因为3a =，b =，2B A =，故由正弦定理得3sin sin 2=A A ，所以2sin cos sin 3=A A A故cos 3=A（2）由（1）知cos 3=A ，所以sin 3==A又因为2B A =，所以21cos cos 22cos 13==-=B A A ，从而cos ==B 在ABC ∆中，因为π++=A B C所以sin sin()sin cos cos sin =+=+=C A B A B A B 所以由正弦定理得sin 5sin ==a Cc A16．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1111C A B A =，D E ，分别是棱1,CC BC 上的点（点D 不同于点C ），且⊥AD F DE ,为11C B 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11B BCC ；（2）直线//1F A 平面ADE ．【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的 位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力． 本题属容易题【参考答案】 证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC ， 又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥.又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E = ，， ∴AD ⊥平面11BCC B ,又∵AD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面11BCC B .（2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥. 又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥.又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1111CC B C C = ，∴1A F ⊥平面111A B C . 由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD .又∵AD ⊂平面1, ADE A F ⊄平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE .17. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得D C B A ,,,四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，F E ,在AB 上是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设cm x FB AE ==.（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析】本题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间 想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力．本题属中等题．【参考答案】设包装盒的高为)(cm h ,底面边长为)(cm a .由题设知.300),30(22260,2<<-=-==x x xh x a(1))300(1800)15(8)30(842<<+--=-==x x x x ah S 所以当15=x 时,S 取得最大值(2))30(22232x x h a V +-==,)20(26x x V -=' 由0='V 得0=x (舍)，或20=x .当200<<x 时,V V ,0>'递增；当3020<<x 时, V V ,0<'递减． 所以当20=x 时,V 取得极大值，此时21=a h由题设的实际意义可知20=x 时，V 取得最大值，此时包装盒的高与底面边 长的比值为21. 18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的直线交椭圆12422=+y x于A P ,两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足 为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k .（1）当2=k 时，求点P 到直线AB 的距离； （2）对任意0>k ，求证：PB PA ⊥.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、 直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运 算求解能力、推理论证能力．本题属中等题【参考答案】(1)直线PA 的方程为x y 2=,代入椭圆方程得124422=+x x ,解得32±=x因此)34,32(),34,32(--A P ,于是)0,32(C ,直线AC 的斜率为13232340=++, 故直线AB 的方程为032=--y x .因此，点P 到直线AB 的距离为32211|323432|22=+--.(2)解法一：将直线PA 的方程kx y =代人12422=+y x ,解得2212kx +±=记2212k+=μ,则),(),,(k A k P μμμμ--,于是)0,(μC ,从而直线AB 的斜率为20k k =++μμμ,其方程为)(2μ-=x ky .代入椭圆方程得0)23(2)2(22222=+--+k x k x k μμ,解得222)23(kk x ++=μ或μ-=x .因此)2,2)23((2222k k k k B +++μμ,于是直线PB 的斜率k k k k k k kk kk k k 1)2(23)2(2)23(2222322221-=+-++-=-++-+=μμμμ,因此11-=k k 所以PB PA ⊥解法二：设),(),,(2211y x B y x P ,则),,(,,0,0112121y x A x x x x --=/>>),0,(1x C 且.11k x y =设直线PB ，AB 的斜率分别为.,21k k 因为C 在直线AB 上，所以⋅==----=22)()(0111112kx y x x y k从而1)()(.212112121212211+------=+=+x x y y x x y y k k k k.044)2()2(122212221222121222221222122=--=-+-+=+--=x x x x y x y x x x y y 因此,11-=k k 所以PB PA ⊥19.已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I上单调性一致（1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围； （2）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a -b |的最大值.【解析】本题主要考查函数的概念、性质的基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．本题属难题．【参考答案】（1）因为函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致，所以，''[1,),()()0,x f x g x ∀∈-+∞≥即 [1,),x 0,x ∀∈-+∞≥2（3+a ）(2x+b)即0,[1,),,2;a x b >∴∀∈-+∞≥-∴≥ b 2x（2）当b a <时，因为，函数)(x f 和)(x g 在区间（b,a ）上单调性一致，所以，''(,),()()0,x b a f x g x ∀∈≥即(,),x 0,x b a ∀∈≥2（3+a ）(2x+b)0,(,),20b a x b a x b <<∴∀∈+< ，2(,),3,x b a a x ∴∀∈≤-23,b a b ∴<<-设z a b =-，考虑点(b,a)的可行域，函数23y x =-的斜率为1的切线的切点设为00(,)x y则0001161,,,612x x y -==-=-max 111()1266z ∴=---=； 当0a b <<时，因为，函数)(x f 和)(x g 在区间（a, b ）上单调性一致，所以，''(,),()()0,x a b f x g x ∀∈≥即(,),x 0,x a b ∀∈≥2（3+a ）(2x+b)0,(,),20b x a b x b <∴∀∈+< ，2(,),3,x a b a x ∴∀∈≤-213,0,3a a a ∴≤-∴-≤≤max 1();3b a ∴-=当0a b <<时，因为，函数)(x f 和)(x g 在区间（a, b ）上单调性一致，所以，''(,),()()0,x a b f x g x ∀∈≥即(,),(x 0,x a b ∀∈≥22x+b)（3+a ）0,b > 而x=0时，x 2（3+a ）(2x+b)=ab<0,不符合题意， 当0a b<=时，由题意：(,0),x 0,x a ∀∈≥22x （3+a ）2(,0),x 0,30,x a a a ∴∀∈≤∴+<23+a110,33a b a ∴-<<∴-<综上可知，max 13a b -=.20.设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立.【解析】本题以等差数列、等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理能力．本题属难题．【参考答案】（1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式. 解析：（1）1112111,1,2(),2()n n n n n n k n S S S S S S S S +-++=∴∀>+=+∴+=+ 即：212n n n a a a +++=所以，n>1时，{}n a 成等差，而22=a ，23211353,2()7,4,8;S S S S S a a ==+-=∴=∴= （2）由题意：3334443,2(),(1);4,2(),(2)n n n n n n n S S S S n S S S S +-+-∀>+=+∀>+=+， 421353144,2(),(3);5,2(),(4);n n n n n n n S S S S n S S S S +-++-+∀>+=+∀>+=+当5n ≥时，由（1）（2）得：4342,(5)n n a a a +--= 由（3）（4）得： 5242,(6)n n a a a +--= 由（1）（3）得：4212,(7);n n n a a a +-++= 由（2）（4）得：5312,(8);n n n a a a +-++=由（7）（8）知：412,,,n n n a a a ++-成等差，513,,,n n n a a a ++-成等差；设公差分别为：12,,d d由（5）（6）得：532442222,(9)n n n n n a a d a a d a+-++-=+=-+= 由（9）（10）得：54214122321,2,;n n n n a a d d a d d a a d d ++---=-=+-=-{}a (2)n n ∴≥成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：121222+6a 152(255),452;a d a a d a d +=++-=-即 1212228282(279),351a a d a a d a d ++=++-=-即 23,2,2 1.n a d a n ∴==∴=-B ．附加题部分1．选修14- 几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线 交AB 的延长线于点C ,若DC DA =,求证:.2BC AB =【解析】本题主要考查三角形与圆的一些基础知识，如三角形的外接圆、圆的切线性质等,考查推理论证能力．本题属容易题．【参考答案】连结BD OD ,,因为AB 是圆O 的直径， 所以OB AB ADB 2,90=︒=∠ 因为DC 是圆O 的切线，所以︒=∠90CDO ,又因为.DC DA =所以.C A ∠=∠于是ADB ∆≌.CDO ∆从而.CO AB = 即.2BC OB OB +=得.BC OB =故.2BC AB =2．选修24-矩阵与变换 已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵B A 1-. 【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力．本题属容易题．【参考答案】设矩阵A 的逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--d c b a 22 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ， 故a=-1，b=0，c=0，d=21∴矩阵A 的逆矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-=-210011 A , ∴B A 1-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-21001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6021 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅--30213．选修44-坐标系与参数方程 在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线sin 32ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力.本题属容易题．【参考答案】∵圆C圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，∴在sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中令=0θ，得1ρ=.∴圆C 的圆心坐标为（1，0）. ∵圆C 经过点()4Pπ，，∴圆C 的半径为PC .∴圆C 经过极点.∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ.4．选修54-不等式选讲已知b a ,是非负实数，求证：⋅+≥+)(2233b a ab b a【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法. 考查推理论证能力，本题属容易题． 【参考答案】由b a ,是非负实数，作差得))())(((()()(55222233b a b a a b b b b a a a b a ab b a --=-+-=+-+当b a ≥时，,b a ≥从而,)()(55b a ≥得0))())(((55≥--b a b a当b a <时，b a <,从而,)()(55b a <得.0))())(((5>--b a b a s所以).(2233b a ab b a +≥+5. 如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，1,21==AB AA ，点N 是BC 的中点， 点M 在1CC 上，设二面角M DN A --1的大小为θ.（1）当090θ=时，求AM 的长； （2）当cos θ=时，求CM 的长. 【解析】本题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间 向量解决问题的能力．本题属中等题．【参考答案】建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -.设)20(≤≤=t t CM ，则各点的坐标为),1,0(),0,1,21(),2,0,1(),0,0,1(1t M N A A 所以DN )0,1,21(=，),,1,0(t DM =DA 1)2,0,1(=.设平面DMN 的法向量为),,(1111z y x n =，则0,011=⋅=⋅DM n DN n ,即0,021111=+=+tz y y x ，令11=z ,则.2,11t x t y =-= 所以)1,,2(1t t n -=是平面DMN 的一个法向量.设平面DN A 1的法向量为),,(2222z y x n =,则0,0212=⋅=⋅n n 即02,022222=+=+y x z x ,令12=z ,则1,222=-=y x 所以)1,1,2(2-=n 是平面DN A 1的一个法向量,从而1521+-=⋅t n n (1)因为90=θ,所以01521=+-=⋅t n n解得51=t ,从而)51,1,0(M所以⋅=++=551)51(1122AM (2)因为||1n ,152+=t 6||2=n所以||||,cos 212121n n n n >=<156152++-=t t因为θ>=<21,n n 或θπ-,所以66156152±=++-t t ,解得0=t 或21=t . 根据图形和(1)的结论可知21=t ,从而CM 的长为21.6. 设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=； 当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1=ξ． （1）求概率)0(=ξp ；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望)(ξE ．【解析】本题主要考查概率分布、数学期望等基础知识，考查运算求解能力．本题属中等题， 【参考答案】（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，而过正方体的任意1个顶点恰有3条棱，所以共有238C 对相交棱, 因此11466388)0(21223=⨯===C C p ξ.（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故212661(6611P C ξ===，于是416(1)=1(0)(=111111P P P ξξξ=-=-=--, 所以随机变量ξ的分布列是：因此, 112611121161)(+=⨯+⨯=ξE .。