概率论与数理统计期末考试题库==合集
概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。
解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。
概率论与数理统计期末考试试题(答案)
概率论与数理统计开/闭卷闭卷A/B 卷 A课程编号 2219002801—2219002811课程名称 概率论与数理统计学分 3基本题6小题，每小题5分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分,选错分）。
事件表达式A B 的意思是 ( ） ） 事件A 与事件B 同时发生 (B ） 事件A 发生但事件B 不发生） 事件B 发生但事件A 不发生 （D) 事件A 与事件B 至少有一件发生D ，根据A B 的定义可知。
假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( )） 是不可能事件 (B ） 是可能事件 C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 :选A,这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 （ ） A) 自由度为1的χ2分布 （B ） 自由度为2的χ2分布 ） 自由度为1的F 分布 （D) 自由度为2的F 分布选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的2分布.已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2，4),Y ～N （-2，1), 则（ ） X +Y ～P （4） (B ） X +Y ～U （2，4） （C) X +Y ~N （0,5) （D ） +Y ~N (0,3）C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X ）+E （Y ）D （X +Y )=D (X ）+D （Y )=4+1=5， 所以有X +Y ~N (0，5)。
样本（X 1,X 2，X 3）取自总体X ，E （X ）=μ， D (X ）=σ2， 则有( ） A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B ）1233X X X ++是μ的无偏估计） 22X 是σ2的无偏估计（D ） 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计:选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。
《概率论与数理统计》期末考试题及答案
西南石油大学《概率论与数理统计》期末考试题及答案一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。
P( A ∪B) = 。
2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1） 1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ；2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ二、应用题（20分）1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。
如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。
(完整word版)《概率论与数理统计》期末考试试题及答案
)B =________________.3个,恰好抽到),(8ak ==(24)P X -<= 乙企业生产的50件产品中有四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为\01210.10.20.120.10.2Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么?五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他 求()(),E X D X一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或AB C 2、0.6 3、2156311C C C 或411或0.3636 4、1 5、136、2014131555kX p 7、1 8、(2,1)N -二、解 设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ======== .................. 2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= ............................................ 7分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ⨯=== ................................................................................. 12分三、(本题12分)解 (1)由概率密度的性质知 340391()21224x f x dx kxdx dx k +∞-∞⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰故16k =. ..................................................................................................................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰;当03x <<时, 2011()()612xxF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰; 当34x ≤<时, 320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩.......................................................................................... 9分(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭....................................................................... 12分四、解 (1)由分布律的性质知 01.0.20.10.10.a +++++= 故0.3a = .................................................................................................................................................... 4分(2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为0120.40.30.3X p ........................................................................................................................ 6分120.40.6Y p .................................................................................................................................. 8分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故 {}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠== 所以X 与Y 不相互独立. ............................................................................................................................ 12分 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他求()(),E X D X .解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ................................ 6分122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰................................................................... 9分 221()()[()].6D XE X E X =-= ........................................................................................................ 12分一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： 没有任何人的生日在同一个月份的概率4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= ,分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1）1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ；2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。
概率论与数理统计期末考试试题库及答案
概率论与数理统计期末考试试题库及答案概率论与数理统计概率论试题一、填空题1.设 A、B、C是三个随机事件。
试用 A、B、C分别表示事件1)A、B、C 至少有一个发生 2)A、B、C 中恰有一个发生3)A、B、C不多于一个发生2.设 A、B为随机事件, ,,。
则=3.若事件A和事件B相互独立, ,则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A______________7. 已知随机变量X的密度为,且,则________________8. 设~,且,则 _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为_________10.若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2+x+10有实根的概率是11.设,,则12.用()的联合分布函数F(x,y)表示13.用()的联合分布函数F(x,y)表示14.设平面区域D由y x , y 0 和 x 2 所围成,二维随机变量x,y在区域D上服从均匀分布,则(x,y)关于X的边缘概率密度在x 1 处的值为。
15.已知,则=16.设,且与相互独立,则17.设的概率密度为,则=18.设随机变量X1,X2,X3相互独立,其中X1在[0,6]上服从均匀分布,X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数为3的泊松分布,记YX1-2X2+3X3,则D(Y)19.设,则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有~ 或 ~ 。
特别是,当同为正态分布时,对于任意的,都精确有~ 或~.21.设是独立同分布的随机变量序列,且,那么依概率收敛于22.设是来自正态总体的样本,令则当时~。
23.设容量n 10 的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本均值,样本方差24.设X1,X2,…Xn为来自正态总体的一个简单随机样本,则样本均值服从二、选择题1. 设A,B为两随机事件,且,则下列式子正确的是(A)P A+B P A; (B)(C) (D)2. 以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为 (A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”; (B)“甲、乙两种产品均畅销”(C)“甲种产品滞销”;(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
概率论与数理统计期末考试题及答案
模拟试题填空题(每空3分，共45 分)1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)=P( A U B)=12、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为—,A发生且B不发生的概率与 B9发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：_______________________ ;3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率:;没有任何人的生日在同一个月份的概率I Ae x, X c 04、已知随机变量X的密度函数为：W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2，则常数A=0, x>2分布函数F(x)= ，概率P{—0.5<X <1}=5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若P{X>1} =5/ 9，贝U p =若X与丫独立，则Z=max(X,Y)的分布律:6、设X ~ B(200,0.01), Y - P(4),且X 与丫相互独立，则D(2X-3Y)=COV(2X-3Y , X)=7、设X1,X2,III,X5是总体X ~ N(0,1)的简单随机样本，则当k = 时,丫"⑶；8、设总体X~U(0,巧日：>0为未知参数，X i,X2,lil,X n为其样本, -1nX =—S X i为n i 二样本均值，则日的矩估计量为:9、设样本X i,X2，川，X9来自正态总体N(a,1.44)，计算得样本观察值X = 10，求参数a的置信度为95%的置信区间:计算题(35分)1、(12分)设连续型随机变量X的密度函数为:「1求：1) P{|2X —1|<2} ; 2) Y =X 2的密度函数 S(y) ； 3) E(2X-1);2、（12分）设随机变量（X,Y ）的密度函数为3、（ 11分）设总体X 的概率密度函数为:X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
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《概率论与数理统计》试题(1)判断题(本题共15分，每小题3分。
正确打“V” ，错误打“X” )⑴对任意事件A和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ()⑵ 设A、B是Q中的随机事件,则(A U B)-B=A ()⑶ 若X服从参数为入的普哇松分布，则EX=DX⑷假设检验基本思想的依据是小概率事件原理1 n _⑸ 样本方差S：= —(X i X )2是母体方差DX的无偏估计(n i i、(20分)设A、B、C是Q中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来(1) 仅A发生，B、C都不发生;(2) 代B,C中至少有两个发生；(3) 代B,C中不多于两个发生;(4) 代B,C中恰有两个发生；(5) 代B,C中至多有一个发生。
三、(15分)把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率四、(10分)已知离散型随机变量X的分布列为X 2 1 0 1 31 1 1 1 11P5 6 5 15 302 求Y X的分布列.1五、(10分)设随机变量X具有密度函数f(x) -e|x|, V x V2求X的数学期望和方差•六、(15分)某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14 X 30).七、(15分)设X1 ,X2,L ,X n是来自几何分布k 1P(X k) p(1 p) , k 1,2,L , 0 p 1 ,的样本，试求未知参数p的极大似然估计•X表示在x 0 0.5 1 1.5 2①(x ) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.9772.5 30.994 0.999《概率论与数理统计》试题（1）评分标准⑴ X;（2） X;⑶“；⑷"；（5） X o 解(1) ABC(2)ABU AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC ；(3) AUBUC 或 ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC ； (4) ABC U ABC U ABC ；(5) AB U AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC六解X “ P(14 ^b(k;100,0.20), EX=100 X 0.2=20, DX=100 X 0.2 X 0.8=16.-- --5分 分 30 20 14 20、 X 30) ( --------- )( --------------- ) ------------------ V16 J16 ------10(2.5) ( 1.5)=0.994+0.933—10.927. -------------------------------------n——15分七解n x nL(X 1, L ,x n ；p)p(1 p)x i1 p n(1 p)i1---------5分 -------------------------------------- 10 分每小题4分；解 设A '三段可构成三角形'又三段的长分别为x,y,a x y ,Oxa, 0 ya, Oxy a ，不等式构成平面域S .Aa A 发生 0 x —, 02不等式确定S 的子域A , 所以a a y , x y a2 2------------------------------------ 10A 的面积 1S 的面积 4---------------------------------------- 15则 分分分四 解Y 的分布列为Y 0 1 4 91 7 1 11P — ----- — —5 30 5 30Y 的取值正确得2分， 分布列对一组得 2分； 五 解 EXx 2 凶 dx 0, （因为被积函数为奇函数）2D X EX 22 x 1 |x| 1 —e dx x 2e x dx22 xx e0 2 xe x dx 0------------------------- 4 分 2[ xe x 0e x dx] 2.In L n In p d In L n dp p (X i n )l n(1 p),i 1 X i n @0, --------------------------- 10 分 解似然方程 n n X in i 1 得p 的极大似然估计 ------------------------------------------------------------------- 15 分 《概率论与数理统计》期末试题(2) 与解答一、填空题(每小题 3分，共15分) 1. 设事件 代B 仅发生一个的概率为 0.3，且P(A) P(B) 0.5，则 代B 至少有一个不发 生的概率为 ___________ . 2. __________________________________________________________________________ 设随机变量X 服从泊松分布，且P(X 1) 4P(X 2)，则P(X 3) _______________________ . 23. _______________________ 设随机变量X 在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X 在区间(0,4)内的概率 密度为f Y (y) . 的指数分布，P(X 1) e 2，则4. 设随机变量 X,Y 相互独立，且均服从参数为5._______ , P{min( X ,Y) 1} = ____ 设总体X 的概率密度为 (1)x , 0 x 1, f (x)0, 其它 1.X 1 ,X 2, ,X n 是来自X 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为 ___________解：1. P(AB AB) 0.3即 0.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)2所以 P(AB) 0.1P(A B) P(AB) 1 P(AB) 092.P(X 1) P(X 0) P(X 1) e e , P(X 2) e由 P(X 1) 4P(X 2)知e e2 2e即2 21 0解得1，故P(X3)1 1 e . 63•设丫的分布函数为F Y (y), X 的分布函数为F x (x)，密度为f x (x)则F Y (V ) P(Y y) P(X 2 y) P( ...y X ,y) FxG.y) F x ( ,y) 因为 X ~U (0, 2)，所以 F X ( ,y) 0,即 F Y (y) F X G. y)1.ln x in i 1二、单项选择题(每小题 3分，共15分)1 .设A, B,C 为三个事件，且 A, B 相互独立，则以下结论中不正确的是(A) 若P(C) 1,则AC 与BC 也独立. (B) 若P(C) 1,则AUC 与B 也独立. (C) 若P(C) 0,则AUC 与B 也独立.J(y) F Y (y)1 _2丁x(J)0 y 4, 另解 在(0,2)上函数y 所以 2x 严格单调，反函数为h(y)其它..5f Y (y) Afx(7?)诙4孑 0 ,其它.y 4,4. P(X 1) 1 P(X P{min( X ,Y) 1} 111) eP{min( X,Y) 4 e ・ 1} P(X 1)P(Y 1)5.似然函数为L(X 1 ,L ,X n ；n(i 1n1)Xi(1叽1_ X )解似然方程得 ln L n ln(1)ln x i ln x i i 1@0的极大似然估计为EX X(D )若C B ，则A 与C 也独立• ()2•设随机变量 X~N(0,1), X 的分布函数为(x)，贝U P(|X| 2)的值为(A )2[1 (2)] . ( B )2 (2)1 .(C ) 2(2).( D )1 2 (2).()3•设随机变量 X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是(A ) X 与 Y 独立. (B ) D(X Y) DX DY .(C ) D(X Y) DX DY .(D ) D(XY) DXDY .()4•设离散型随机变量 X 和Y 的联合概率分布为(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) P1 1 1 1 691832. X ~ N(0,1)所以 P(| X | 2) 1 P(| X | 2)1 P(2 X1 (2) ( 2) 1 [2 (2) 1] 2[1 (2)]若X,Y 独立，则 7的值为2 112(A ) -, —(A ) J—99991 15 1 (C ), — (D ) — , . ()6618185 •设总体X 的数学期望为,X 1,X 2丄,X n为来自X 的样本，则下列结论中正确的是(A ) X i 是的无偏估计量 (B ) X i 是 的极大似然估计量(C ) X 1是 的相合(一致)估计量(D ) X i 不是 的估计量.() 解：1.因为概率为1的事件和概率为 0的事件与任何事件独立，所以( A ), (B ), (C )可见A 与C 不独立.2)应选(A )都是正确的，只能选(事实上由图EX X12 3 P(X 2, Y 2)1 1 1 11— — ■ 1 、69183(- )(-391 1 23321 1丄92 918故应(A).3•由不相关的等价条件知应选(B ) 4•若X,Y 独立则有)P(X 2)P(Y 2)f(o三、(7分)已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求(1) 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2) 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设A ‘任取一产品，经检验认为是合格品’B ‘任取一产品确是合格品’则(1) P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.P(AB) 0.9 0.95 (2) P(B| A) 0.9977 .P(A) 0.857四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为k2 k3 3 kP(X k) cf(5)k(5)3kX 0 1 2即P27 54 36 125 125 12X的分布函数为0 , x 0,27125 ,0 x 1,F(x )81 1 x 2, 125117 2 x3, 1251 , x 3.2 6 EX3 --5 5DX c 2 3 183 --5 5 25五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域 D匀分布.求(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度;38125{(x,y)|x 0, y 0, x y 1}上服从均(2)Z X Y的分布函数与概率密(1) (X ,Y)的概率密度为f(x, y) 2, (x, y) D 0,其它.k 0,1,2,3.2 2x, 0 x 1f(x，y)dy0 ,其它(2)利用公式f Z(z) f (x, z x)dx其中f(x,z x) 2, 0 x 1,0 z x 1 x0,其它2, 0 x 1, x z 1.0,其它.当z 0 或z 1 时f z (z) 0z的分布函数为z z0 z 1 时f z(z) 2 q dx 2x02z 故Z的概率密度为f z(z)2z, 0 z 1,0,其它.0, z 0 0, z 0,fZ⑵z zf Z(y)dy 02ydy,0 z 1 2z , 0 z 1,1,1 z 1.z 1或利用分布函数法0 , z 0,F Z(Z) P(Z z) P(X Y z) 2dxdy, 0 z 1D11 , z 1.0 , z 0,2z , 0 z 1,1 , z 1.f z (z) F z⑵2z,0 ,0 z 1,其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N（0,22）分布.求（1）命中环形区域D ｛（ x, y） |1 x2 y2 2｝的概率；（2）命中点到目标中心距离Z X Y2的数学期望.D (1)P{X,Y) D} f(x,y)dxdyDx28dxdy 8rdrdf x(X)4 41 2 -8re 8 rdrd1 e 8 r 2dr 8 04 0r2re 丁r 2e T dr 02冷dr阪七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位： cm ） X 〜N （ , 2），今抽取容量为样本，测得样本均值 X 10,样本方差s 2 0.16. （ 1）求的置信度为0.952区间；（2）检验假设H 。
概率论与数理统计期末试卷含答案
概率论与数理统计期末试卷含答案一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1．设表示三个随机事件，则表示------------------------- （ C ） (A)都发生 (B)都不发生 (C)不都发生 (D)中至少有一个发生2. 同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为---------- ( C ) (A).0.125 (B)0.25 (C)0.375 (D)0.50 3．设，，其中、为常数，且，则 ----------------------------------------------------------（ D ）； ； ；4．设随机变量X 的概率密度为，则P(0.2<X<0.8)= ( A )(A)0.3 (B)0.6 (C)0.66 (D)0.75．设是一随机变量，则下列各式中错误的是----------------------- ( B ) (A) (B) (C) +1 (D)6．设总体，其中已知，未知，为来自的一个样本，则下列各式不是统计量的是-------------------------------（ D ） (A)(B)(C)(D)7．设总体，未知，为来自的样本，样本均值为，样本标准差为，则的置信水平为的置信区间为--（ C ） (A) (B)(C)(D)8．总体中已知，是其样本均值，是其样本方差，则假设检验问题所取的检验统计量为----------------------（ A ）(A) (B) (C) (D) 二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1．已知P （A ）=3/4，P （B ）=1/4，B A ，则有P （B|A ）=1/3 2．设随机变量X ~B ，则P{X 1}=3．设随机变量X 的数学期望是方差为 则根据切比雪夫不等式4．设是来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从 ,,A B C ABC ,,A B C ,,A B C ,,A B C ,,A B C ()2,~σμN X b aX Y -=a b 0≠a ~Y ()A ()222,b a b a N +-σμ()B ()222,b a b a N -+σμ()C ()22,σμa b a N +()D ()22,σμa b a N -⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<=其它021210)(x x x xx f X )(5)5(X E X E -=-)()5(X D X D -=-)(5)15(X E X E =+)()5(X D X D =+2~(,)X N μσμ2σ12,,,n X X X X ∑=ni iX11()nii Xμ=-∑1()nii XX =-∑221()ni i X σ=-∑2~(,)X N μσ2,μσn X X X ,,,21 X X S μα-1),(22αασσZ nX Z n X +-22((1),(1))X n X n αα---))1(),1((22-+--n t ns X n t ns X αα))(),((22n t nsX n t ns X αα+-)2(,)N μσ2σX 2S 0010:,:H H μμμμ=≠XX 22(1)n S σ-211()1n i i X n μ=--∑⊂⎪⎭⎫⎝⎛31,3≥2719μ2σ{||2}P X μσ-≤≥41n X X X ,,,21 ),(~2σμN X 11n i i X X n ==∑),(2nN σμ三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1．设是样本空间中的两个事件，且 求（1） ；（2） 解：-------- （1） -------- （2） -------- 2．设离散型随机变量X 的分布律为且已知E （X ）=0.3，试求：（1）p 1 p 2;（2）D （-3X +2）；（3）X 的分布函数F （x ）解： -------- （2）--------(3) --------3、设随机变量的概率密度为求（1）常数； （2）解：（1） ∴ --------（2）. --------4、设总体X 的概率密度为其中>0为未知参数，x 1 x 2 … x n 为来自总体X 的样本，试求的最大似然估计。
概率论和数理统计期末考试题库
概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6、已知随机变量(X,Y)的分布律为：且X 与Y 相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2( ()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？ )4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立.(4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。
《概率论与数理统计》期末考试试题与解答
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1．设事件A, B仅发生一个的概率为0.3，且P( A)P(B)0.5 ，则 A, B 至少有一个不发生的概率为 __________.答案： 0.3解：P( AB AB)0.3即0.3 P( AB ) P( AB) P(A) P( AB) P(B) P( AB) 0.52P( AB)所以P( AB) 0.1P( A B ) P( AB ) 1 P( AB) 0.9.2．设随机变量X服从泊松分布，且P ( X1) 4 P( X2) ，则P(X3)______.答案：1 e16解答：2P( X1)P( X0)P( X1)e e,P( X2)e2 2e 2由 P( X 1)4P( X 2) 知e e即 2 2 1 0解得1，故1 e1P(X3)63．设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X 2在区间(0,4)内的概率密度为 f Y ( y)_________.答案：11,0 y4,f Y ( y)F Y ( y)f X ( y ) 4 yy20, 其它 .解答：设 Y 的分布函数为F Y( y),X 的分布函数为F X ( x) ，密度为 f X ( x) 则F Y ( y)P( Y y)2X y)P(y X)y X F()y F()yP(X因为 X ~ U (0,2) ，所以F X(y )0 ，即 F Y ( y)F X (y )故11,0 y 4,f Y ( y) F Y ( y) 4 yf X ( y )2y0,其它 .另解在 (0, 2) 上函数 y x2严格单调，反函数为h( y)y所以11,0 y 4,f Y ( y) f X ( y) 4 y2y,其它 .4．设随机变量X ,Y 相互独立，且均服从参数为的指数分布，P( X 1) e 2，则_________ ，P{min( X ,Y)1} =_________.答案： 2 ，P{min( X ,Y)1} 1 e-4解答：P( X 1) 1 P( X 1) e e 2，故2P{min( X ,Y ) 1} 1P{min( X ,Y )1}1P( X1)P(Y1)1e 4.5．设总体X的概率密度为f ( x)(1) x , 0x1,0,其它1.X1 , X 2 , , X n是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为 _________.答案：111 nln x in i1解答：似然函数为n1)n ( x1 , , x n )L( x1 , , x n ; )(1)x i (i1nln L n ln(1)ln x ii 1d ln L n nln x i 0d1i 1解似然方程得的极大似然估计为11.1nln x in i 1二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1．设A, B,C为三个事件，且A, B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ A ）若P(C )1，则AC与BC也独立.（ B）若P(C )1，则A C 与 B 也独立.（ C）若P(C )0 ，则A C 与 B 也独立.（ D）若C B ，则 A 与C也独立.（）答案：（ D） .解答：因为概率为1的事件和概率为0 的事件与任何事件独立，所以（ A ），（ B），（C）都是正确的，只能选（D） .事实上由图S可见 A 与 C 不独立 .A BC2．设随机变量X ~ N (0,1),X 的分布函数为( x) ，则 P(| X |2) 的值为（ A ）2[1(2)] .（ B）2(2) 1 .（ C）2(2) .（ D ）12(2) .（）答案：（ A ）解答：X ~ N (0,1)所以 P(| X |2) 1P(| X | 2) 1 P( 2 X 2) 1( 2 )( 2 ) 1 [ 2( 2 )1] 2 [ 1应选（ A） .3．设随机变量X 和 Y 不相关，则下列结论中正确的是（ A ）X与Y独立 .（B）D ( X Y) DX DY .（ C）D ( X Y) DX DY .（D）D ( XY )DXDY .（）答案：（ B）解答：由不相关的等价条件知，xy0cov（ x， y） 0D ( X Y ) DX DY +2cov（ x， y）应选（ B ） .4．设离散型随机变量X 和 Y 的联合概率分布为( X ,Y ) (1,1)(1,2)(1,3)(2,1) (2, 2) (2,3)1111P91836若 X ,Y 独立，则,的值为（ A ） 2 ,1.（ A ）99（ C）1,1（ D ）661 ,2.995 ,1.（）1818答案：（ A ）解答： 若 X ,Y 独立则有1 2 3P( X2, Y 2) P(X2)P(Y 2)11 1 119183(1)(1)2 ( 1)6 11 393 9232131 1 1，992918故应选（ A ） .5．设总体X 的数学期望为 , X 1 , X 2 , , X n 为来自 X 的样本，则下列结论中正确的是 （ A ） X 1 是 的无偏估计量 .（ B ） X 1 是 的极大似然估计量 . （ C ） X 1 是的相合（一致）估计量. （ D ） X 1 不是 的估计量 . （）答案：（ A ）解答：EX 1 ，所以 X 1 是 的无偏估计，应选（ A ） .三、（ 7 分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（ 1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（ 2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解： 设 A ‘任取一产品，经检验认为是合格品’B ‘任取一产品确是合格品’则（ 1） P( A)P( B)P(A | B) P( B)P( A | B)0.90.95 0.1 0.02 0.857.（ 2） P( B | A)P( AB) 0.9 0.950.9977 .P( A)0.857四、（ 12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设 X 为途中遇到红灯的次数，求 X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.解： X 的概率分布为P( X k )C 3k( 2) k( 3)3 kk 0,1,2,3.55X0 1 2 3 即P2754368125125125125X 的分布函数为0 , x 0,27 , 0 x 1,125F ( x)81 1 x2,,125117 , 2x 3,1251 ,x 3.EX3 2 6 ,5 5DX 32 3 1 85 5.2 5五、（ 10 分）设二维随机变量(X , Y) 在区域 D {( x, y) | x 0, y0, x y 1} 上服从均匀分布 . 求（ 1） ( X ,Y) 关于 X 的边缘概率密度； （ 2） Z X Y 的分布函数与概率密度 .解： y（1） ( X ,Y ) 的概率密度为12, ( x, y) Df ( x, y)x+y=10, 其它 .DD 1xf X ( x)2 2x, 0 x 1 z1f ( x, y)dy0 ,其它x+y=z（ 2）利用公式 f Z (z) f (x, z x)dx2, 0 x 1,0 z x 1 x 2, 0 x 1, x z1.其中 f (x, z x)其它0, 其它.0,当 z0 或 z 1时 f Z (z) 0zzz=x0 z 1时 f Z ( z) 2z2z0 dx 2x 0故 Z 的概率密度为2z, 0 z1,f Z ( z)0 , 其它.Z 的分布函数为0,z00 ,z0,z zf Z ( y)dy z 1z2 ,0z 1,f Z (z)2ydy, 01 ,z 1.1,z1或利用分布函数法0,z0 ,F Z ( z) P( Z z) P( X Y )z 2 d x d, y 0z1 ,D11,z 1.0,z0,z2,0z 1,1,z 1.f Z ( z)F Z2z,0z1, (z),其它.六、（ 10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标 Y 相互独立，且均服从 N (0, 22 ) 分布.求（1）命中环形区域 D {( x, y) |1x2y22} 的概率；（ 2）命中点到目标中心距离Z X 2Y 2的数学期望 .解： y（ 1）P{ X ,Y)D} f (x, y) dxdyD1x2 y212r 2e dxdy28e 8 rdrdD2481012xr 22r 2211 2r ) e 8 e 8 e 2；e 8 d (181x2y2（ 2）EZ E(X 2Y 2 )x2y 2 1 e8 dxdy812r 21r 2re 8 rdrd e8 r 2dr8040r 2r 22 1 r 2re8e 8dre 8dr 2 .22七、（ 11 分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ） X ~ N ( , 2) ，今抽取容量为 16 的样本，测得样本均值x 10 ，样本方差 s 20.16 . （ 1）求 的置信度为 0.95 的置信区间；（ 2）检验假设 H 0 :20.1（显著性水平为 0.05） .（附注） t 0.05 (16) 1.746, t 0.05 (15) 1.753, t 0.025 (15)2.132,2 (16) 26.296,2 (15) 24.996,2 (15) 27.488.0.050.050.025解：（ 1） 的置信度为 1下的置信区间为( X t /2 (n 1) s , X t /2 ( n 1) s)n nX 10, s0.4, n 16, 0.05, t 0.025 (15) 2.132所以的置信度为 0.95 的置信区间为（ 9.7868， 10.2132）（ 2） H 0 :20.1的拒绝域为22(n 1) .215S 2 15 1.6 24 ， 02.05 (15)24.9962 0.102.05 (15) ，所以接受 H 0 .因为24 24.996《概率论与数理统计》期末考试试题（A ）专业、班级：姓名： 学号：一、单项选择题 (每题 3 分 共 18 分 )1．D 2．A 3．B 4． A 5． A 6．B题 号一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二总成绩得 分一、单项选择题 (每题 3 分共 18 分 )（1）若事件 A、B 适合 P( AB) 0, 则以下说法正确的是().(A) A 与 B 互斥 (互不相容 );(B) P(A) 0 或 P( B) 0;(C) A 与 B 同时出现是不可能事件 ;(D) P( A) 0 , 则 P (B A)0.（ 2）设随机变量X其概率分布为X -1012P0.20.30.1 0.4则 P{ X 1.5} （）。
概率论与数理统计期末考试试题及解答
《概率论与数理统计》期末试题一、填空题(每小题3分，共15分)1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0。
3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.9解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案:161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________。
答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==-因为~(0,2)X U，所以(0X F =,即()Y X F y F =故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调,反函数为()h y所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP，则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________.答案：2λ=,-4{min(,)1}1eP X Y≤=-解答：2(1)1(1)P X P X e eλ-->=-≤==，故2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y≤=->1(1)(1)P X P Y=->>41e-=-.5．设总体X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,1,)1()(xxxfθθ1->θ。
概率论和数理统计期末考试题库
数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。
2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。
3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。
5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。
6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。
8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。
10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。
1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。
4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
P( X 2, Y 2) P(X 2)P(Y 2)
1
1
21
(
)( ) ( )
3
9
39
2
1
，
9
9
故应选（ A ） .
5．设总体 X 的数学期望为
正确的是
, X1 , X 2 , , X n 为来自 X 的样本，则下列结论中
（ A ） X1 是 的无偏估计量 .
（ B） X1 是 的极大似然估计量 .
（ C） X1 是 的相合（一致）估计量 . （ D） X1 不是 的估计量 . （ ）
的指数分布， P( X 1) e 2 ，则
_________ ， P{min( X ,Y ) 1} =_________.
答案：
2 ， P{min( X ,Y ) 1} 1 e-4
解答：
P(X 1) 1 P( X 1) e e 2 ，故
2
P{min( X ,Y ) 1} 1 P{min( X ,Y ) 1}
事实上由图
S AB
C
可见 A 与 C 不独立 .
A ），（ B），（C）
2．设随机变量 X ~ N (0,1), X 的分布函数为 ( x) ，则 P (| X | 2) 的值为
（ A ） 2[1 (2)] .
（ B） 2 (2) 1 .
（ C） 2 (2) .
（ D ） 1 2 (2) .
（）
答案：（ A ）
（ C） P( A) P( A1 A2 )
（ D） P( A) P( A1 ) P( A2 ) 1
（ 4）
设随机变量 X ~ N ( 3 , 1), Y ~ N ( 2, 1), 且 X 与 Y 相互独 立 , 令 Z X 2 Y 7 , 则 Z ~ ( ). (A) N (0, 5); (B) N ( 0, 3); (C) N ( 0 , 46 ); (D) N ( 0 , 54).
概率论和数理统计期末考试题库完整
概率论和数理统计期末考试题库完整数理统计练习⼀、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。
2、某射⼿对⽬标独⽴射击四次，⾄少命中⼀次的概率为8180，则此射⼿的命中率32。
3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。
5、⼀次试验的成功率为p ，进⾏100次独⽴重复试验，当=p 1/2_____时，成功次数的⽅差的值最⼤，最⼤值为 25 。
6、（X ，Y ）服从⼆维正态分布),,,,(222121ρσσµµN ，则X 的边缘分布为 ),(211σµN 。
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。
8、随机变量X 的数学期望µ=EX ，⽅差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b µ+；)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独⽴。
设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。
10、θθθ是常数21? ,?的两个⽆偏估计量，若)?()?(21θθD D <，则称1?θ⽐2?θ有效。
1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。
概率论与数理统计期末考试题及答案
模拟试题一一、 填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。
P( A ∪B) = 。
2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、 计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ；2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
概率论与数理统计期末考试试题及解答
概率论与数理统计期末考试试题及解答概率论与数理统计》期末试题一、填空题（每小题3分，共15分）1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.9.解：由题意可得P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1-e^(-6)。
解：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)，P(X=2)=λ^2e^(-λ)/2，且P(X≤1)=4P(X=2)，可得λ=1，因此P(X=3)=λ^3e^(-λ)/3!=1-e^(-6)。
3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.解：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=P(-y≤X≤y)=F_X(y)-F_X(-y)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(-y)=0，即F_Y(y)=F_X(y)。
又因为f_Y(y)=F_Y'(y)=f_X(y)，所以f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.另解：在(0,2)上函数y=x严格单调，反函数为h(y)=y，所以f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1/2，0<y<2；f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1，2<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-2)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-2)。
概率论和数理统计期末考试题库
数理统计练习一、填空题1、设A、B为随机事件,且P（A)=0。
5,P(B）=0.6，P(B|A）=0.8，则P（A+B）=__ 0.7 __.2、某射手对目标独立射击四次,至少命中一次的概率为，则此射手的命中率。
3、设随机变量X服从[0,2]上均匀分布，则 1/3 。
4、设随机变量服从参数为的泊松（Poisson）分布,且已知＝1，则___1____。
5、一次试验的成功率为，进行100次独立重复试验,当1/2_____时，成功次数的方差的值最大,最大值为 25 .6、（X,Y)服从二维正态分布，则X的边缘分布为。
7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数，则E（X）=。
8、随机变量X的数学期望，方差，k、b为常数，则有= ；=。
9、若随机变量X ～N（－2，4），Y ～N（3，9）,且X与Y相互独立。
设Z＝2X－Y＋5，则Z ～ N（-2, 25）。
10、的两个无偏估计量，若,则称比有效。
1、设A、B为随机事件，且P(A）=0.4，P（B）=0.3， P(A∪B)=0。
6，则P(）=_0。
3__。
2、设X~B（2，p）,Y~B（3，p),且P{X ≥ 1}=,则P｛Y≥ 1｝=。
3、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y =3X —2，则E(Y)=4 。
4、设随机变量X服从［0，2］上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。
5、设随机变量X的概率密度是:，且，则=0。
6 。
6、利用正态分布的结论，有1 。
7、已知随机向量（X,Y）的联合密度函数，则E(Y）= 3/4 。
8、设（X，Y)为二维随机向量，D（X)、D(Y）均不为零。
若有常数a>0与b使,则X与Y的相关系数-1 。
9、若随机变量X ～N（1,4），Y ～N (2，9）,且X与Y相互独立.设Z＝X－Y＋3，则Z ~ N （2, 13) 。
10、设随机变量X~N (1/2，2)，以Y表示对X的三次独立重复观察中“”出现的次数，则= 3/8 。
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数理统计练习题一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。
2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。
3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。
5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。
6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。
8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。
10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。
1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。
4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。
5、设随机变量X 的概率密度是：⎩⎨⎧<<=其他103)(2x x x f ，且{}784.0=≥αX P ，则α=0.6 。
6、利用正态分布的结论，有⎰∞+∞---=+-dx e x x x 2)2(22)44(21π1 。
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (Y )= 3/4 。
8、设（X ，Y ）为二维随机向量，D (X )、D (Y )均不为零。
若有常数a >0与b 使{}1=+-=b aX Y P ，则X 与Y 的相关系数=XY ρ-1 。
9、若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。
10、设随机变量X ～N (1/2，2)，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“2/1≤X ”出现的次数，则}2{=Y P = 3/8 。
1、设A ，B 为随机事件，且P (A)=0.7，P (A －B)=0.3，则=⋃)(B A P 0.6 。
2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51，则密码能被译出的概率是 11/24 。
3、射手独立射击8次，每次中靶的概率是0.6，那么恰好中靶3次的概率是53384.06.0⨯⨯C ＝0.123863 。
4、已知随机变量X 服从[0, 2]上的均匀分布，则D (X )= 1/3 。
5、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}423===X P XP ，则λ= 6 。
6、设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则{}=<2X P 0.6247 。
7、随机变量X 的概率密度函数1221)(-+-=x xe xf π，则E (X )= 1 。
8、已知总体X ~ N (0, 1)，设X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的简单随机样本，则∑=ni iX12~)(2n x 。
9、设T 服从自由度为n 的t 分布，若{}αλ=>T P ，则{}=-<λT P 2a 。
10、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,),(y x xy y x f ，则E (X )= 4/3 。
1、设A ，B 为随机事件，且P (A)=0.6, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 0.4 。
2、设随机变量X 与Y 相互独立，且5.05.011P X -，5.05.011P Y-，则P (X =Y )=_ 0.5_。
3、设随机变量X 服从以n , p 为参数的二项分布，且EX =15，DX =10，则n = 45 。
4、设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数644261)(+--=x x ex f π，则μ= 2 。
5、设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DXEX X Y/)(-=，则D Y= 1 。
6、设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，Y 服从5=λ的指数分布，且X ，Y 相互独立，则(X , Y )的联合密度函数f (x ,y )= ⎩⎨⎧≥≤≤-其它,505y x e y。
7、随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。
8、设n X X X ,,,21 是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本，则∑=-ni iX X12)(服从的分布为)1(2-n x 。
9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为31,41,51，则目标能被击中的概率是3/5 。
10、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度⎩⎨⎧>≤≤=-其它0,10,4),(2y x xe y x f y ，则E Y = 1/2 。
1、设A,B 为两个随机事件，且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3，则P(AB )=__0.6 __。
2、设随机变量X 的分布律为21211pX ，且X 与Y 独立同分布，则随机变量Z ＝max{X ,Y }的分布律为434110PZ。
3、设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝0.3，则P {X < 0}＝0.2 。
4、设随机变量X 服从2=λ泊松分布，则{}1≥X P =21--e 。
5、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为)2(21yf X -。
6、设X 是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则=)(X D 2.4 。
7、X 1，X 2，…，X n 是取自总体()2,σμN 的样本，则212)(σ∑=-ni iX X～)1(2-n x 。
8、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度⎩⎨⎧>≤≤=-其它0,10,4),(2y x xe y x f y ，则E X = 2/3 。
9、称统计量θθ为参数ˆ的 无偏 估计量，如果)(θE =θ。
10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理。
1、设A 、B 为两个随机事件，若P (A)=0.4，P (B)=0.3，6.0)(=⋃B A P ，则=)(B A P 0.3 。
2、设X 是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则=)(2X E 18.4 。
3、设随机变量X ～N (1/4，9)，以Y 表示对X 的5次独立重复观察中“4/1≤X ”出现的次数，则}2{=Y P = 5/16 。
4、已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P(X =2)=P(X =4)，则λ=32。
5、称统计量θθ为参数ˆ的无偏估计量，如果)(θE =θ 。
6、设)(~),1,0(~2n x Y N X ，且X ，Y 相互独立，则~n YXt(n) 。
7、若随机变量X ～N (3，9)，Y ～N (－1，5)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝X －2Y ＋2，则Z ～ N (7，29) 。
8、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度⎩⎨⎧>≤≤=-其它0,10,6),(3y x xey x f y，则E Y = 1/3 。
9、已知总体n X X X N X ,,,),,(~212 σμ是来自总体X 的样本，要检验202σσ=：o H ，则采用的统计量是202)1(σS n -。
10、设随机变量T 服从自由度为n 的t 分布，若{}αλ=>T P ，则{}=<λT P 21a-。
1、设A 、B 为两个随机事件，P (A)=0.4, P (B)=0.5，7.0)(=B A P ，则=)(B A P 0.55 。
2、设随机变量X ~ B (5, 0.1)，则D (1－2X )＝ 1.8 。
3、在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为6437，则每次射击击中目标的概率为 1/4 。
4、设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望E X = 2.3。
5、将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于－1。
6、设(X , Y )的联合概率分布列为－14－2 1/9 1/3 2/911/18a b若X 、Y 相互独立，则a = 1/6 ，b = 1/9 。
7、设随机变量X 服从[1，5]上的均匀分布，则{}=≤≤42X P 1/2 。
8、三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为31,41,51，则密码能被译出的概率是3/5 。
9、若n X X X N X ,,,),,(~2121 σμ是来自总体X 的样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差，则SnX )(μ-~ t (n-1) 。
10、θθθ是常数21ˆ,ˆ的两个无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ 有效 。
1、已知P (A)=0.8，P (A －B)=0.5，且A 与B 独立，则P (B) ＝ 3/8 。
2、设随机变量X ～N (1，4)，且P{ X ≥ a }= P{ X ≤ a }，则a ＝ 1 。
3、随机变量X 与Y 相互独立且同分布，21)1()1(=-==-=Y P X P ，21)1()1(====Y P X P ，则()0.5P X Y ==。
4、已知随机向量(X , Y )的联合分布密度⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它010,104),(y x xy y x f ，则EY = 2/3 。