【2013丰台一模】北京市丰台区2013届高三下学期(3月)统一练习(一)文科数学 Word版含答案

丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（文科）一、选择题 1. 复数z=1i i-在复平面内对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 2.若集合A={sin ,}y y x x R =∈,B={-2,-1,0,1,2},则集合(R A ð)B 等于 (A) {-2,-1} (B) {-2,-1,0,1,2} (C) {-2,-1,2} (D) {2,2}-3. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31Sa （ ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4.执行右边的程序框图所得的结果是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ） 6 5. 已知椭圆22212x ya +=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该椭圆的离心率是 （A（B（C ）2（D ）6.已知命题p:(0,),32xxx ∀∈+∞>,命题q:(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是(A ) p q ∧ (B) ()p q ∧⌝ (C) ()p q ⌝∧ (D) ()()p q ⌝∧⌝7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是(A) 2 (B) 4(C) 2(D) 4+8.如果函数y =f (x )图像上任意一点的坐标（x,y ）都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是(A) y =f(x)是区间（0，+∞）上的减函数，且x +y 4≤ (B) y =f(x)是区间（1，+∞）上的增函数，且x +y 4≥ (C) y =f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x +y 4≥ (D) y =f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x +y 4≤ 二．填空题 9. 若3cos ,tan 05x x =<，则sin x = 。

10. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图(如图所示)．则分数在[70,80)内的人数是________11.直线被圆224x y +=截得的弦长为_________。

12．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为________。

13．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E 是CD 的中点， 则CD BE ⋅=.14. 已知实数1222,1,0,()log ,1,x ax x a f x x x ⎧-≤⎪>=⎨>⎪⎩若方程23()4f x a =-有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2，则实数a 的取值范围是 。

三．解答题 15. 已知函数（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在3[,]44ππ上的值域.16． 如图，四棱锥P -ABCD 中， BC ∥AD ，BC =1，AD =3，AC ⊥CD ,且平面PCD ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：AC ⊥PD ；（Ⅱ）在线段PA 上,是否存在点E ，使BE ∥平面PCD？若存在，求PEPA的值；若不存在，请说明理由。

17． 在一次抽奖活动中，有a 、b 、c 、d 、e 、f 共6人获得抽奖的机会。

抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖。

（Ⅰ）求a 能获一等奖的概率；（Ⅱ）若a 、b 已获一等奖，求c 能获奖的概率。

18. 已知函数1()f x x a=+，2()3g x bx x =+. (1)设函数()()()h x f x g x =-，且'(1)(1)0h h ==求a ,b 的值； (2)当a =2且b =4时，求函数()()()g x x f x ϕ=的单调区间，并求该函数在区间（-2，m] （124m -<≤）上的最大值。

19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F(2,0)，且过点P(2直线l 过点F 且交椭圆C 于A 、B 两点。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为M （1,02），求直线l 的方程. 20．设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n （n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：① 1230n a a a a ++++= ；②1231n a a a a ++++= .（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n = ，试证：21≤k S .丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（文科）参考答案一、选择题二．填空题9. 45-； 10. 30 ； 11. ； 12． 2 ； 13． -1 ； 14. 2]. 三．解答题15. （本题13分）已知函数（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在3[,]44ππ上的值域.解：（Ⅰ）2()1sin 22cos )4f x x x x π=+-=-， (3)分∴最小正周期T=π, (4)分单调增区间3[,]()88k k k Z ππππ-+∈， ………………………………………………………7分 （Ⅱ）33,24422x x ππππ≤≤∴≤≤ ，52444x πππ∴≤-≤， ……………………………10分∴()f x 在3[,]44ππ上的值域是[1-. ……………………………………………………13分16． （本题13分）如图，四棱锥P-ABCD 中， BC ∥AD ，BC=1，AD=3，AC ⊥CD,且平面PCD ⊥平面ABCD.（Ⅰ）求证：AC ⊥PD ；（Ⅱ）在线段PA上,是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，求PEPA的值；若不存在，请说明理由。

解：（Ⅰ）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD, AC⊥CD , AC⊂平面ABCD ,∴AC⊥平面PCD, ...........................4分∵PD⊂平面PCD ,∴AC⊥PD. .................................6分（Ⅱ）线段PA上,存在点E，使BE∥平面PCD, ......7分∵AD=3，∴在△PAD中，存在EF//AD（E,F分别在AP,PD上），且使EF=1,又∵ BC∥AD，∴BC∥EF，且BC=EF,∴四边形BCFE是平行四边形, ...................................................9分∴BE//CF,，∴BE∥平面PCD, ..............................................................11分∵EF =1，AD=3，∴13EF PEAD PA==. ..............................................................13分17．（本题13分）在一次抽奖活动中，有a、b、c、d、e、f 共6人获得抽奖的机会。

抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖。

（Ⅰ）求a能获一等奖的概率；（Ⅱ）若a、b已获一等奖，求c能获奖的概率。

解：（Ⅰ）设“a能获一等奖”为事件A,事件A等价于事件“从6人中随机取抽两人，能抽到a”.从6人中随机抽取两人的基本事件有（a、b）、（a、c）、（a、d）、（a、e）、（a、f）、（b、c）、（b、d）、（b、e）、（b、f）、（c、d）、（c、e）、（c、f）、（d、e）、（d、f）、（e、f）15个，………………………………………………………4分包含a 的有5个，所以，P （A ）=51153=, 答：a能获一等奖的概率为13. …………………………………………………………6分 （Ⅱ）设“若a 、b 已获一等奖，c 能获奖”为事件B,a 、b 已获一等奖，余下的四个人中，获奖的基本事件有（c ，c ）、（c 、d ）、（c 、e ）、（c 、f ）、（d ，c ）、（d 、d ）、（d 、e ）、（d 、f ）、（e ，c ）、（e 、d ）、（e 、e ）、（e 、f ）、（f ，c ）、（f 、d ）、（f、e）、（f、f）16个, …………………………………………………………………………………………11分其中含有c 的有7种，所以，P(B)=716, 答:若a、b已获一等奖，c能获奖的概率为716. …………………………………………………13分 18. （本题14分） 已知函数1()f x x a=+，2()3g x bx x =+.(1)设函数()()()h x f x g x =-，且'(1)(1)0h h ==求a,b 的值； (2)当a=2且b=4时，求函数()()()g x x f x ϕ=的单调区间，并讨论该函数在区间（-2，m] （124m -<≤）上的最大值。

解：(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x ≠-a}，……………………………………………………………1分 则21()()()23()h x f x g x bx x a '''=-=---+，………………………………………………………3分因为(1)(1)0.h h =⎧⎨'=⎩所以2130,11230.(1)b ab a ⎧--=⎪+⎪⎨⎪---=+⎪⎩解得，0,2,a b =⎧⎨=-⎩或4,36.a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ……………………6分(Ⅱ)记ϕ(x)=()()g x f x ，则ϕ(x)=(x+a)(bx 2+3x)(x ≠-a) ,因为a=2，b=4，所以2()(2)(43)x x x x ϕ=++(x ≠-2), ………………………………………7分2()122262(23)(31)x x x x x ϕ'=++=++,令()0x ϕ'=，得32x =-，或13x =-, ……………………………………………………………8分当32x <-，或13x >-时，()0x ϕ'>，当3123x -<<-时，()0x ϕ'<，∴函数()x ϕ的单调递增区间为31(,2),(2,),(,)23-∞----+∞，单调递减区间为31(,)23--, …………………………………………………………………………10分 ①当-2<m<32-时，ϕ(x)在（-2，m ）上单调递增，∴其最大值为ϕ(m)=324116m m m ++， ………………………………………………………12分②当32-≤m ≤14时，ϕ(x)在（-2，32-）上单调递增，在（32-，-13）上单调递减，在（13-，m ）上单调递增，而ϕ(32-)=ϕ(14)=94，∴ϕ(x)的最大值为94. ……………………………………………………………………………14分19．（本题13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F(2,0)，且过点(2直线l 过点F 且交椭圆C 于A 、B 两点。