2020年北京市丰台区高三数学一模试卷-202004 答案
2024年北京市丰台区高考数学一模试卷及答案
2024北京丰台高三一模数 学2024.03本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}220A x x x =−≤，{}10B x x =−>，则A B =（ ）A.{}0x x ≥B.{}01x x <≤C.{}1x x >D.{}12x x <≤2.已知公差为d 的等差数列{}n a 满足：5321a a −=，且20a =，则d =（ ） A.1−B.0C.1D.23.已知双曲线222:1x C y a −=（0a >）的离心率为2，则a =（ ）A.2C.2D.124.522x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ）A.80−B.40−C.40D.805.已知向量a ，b 满足()3,1b =，()b a λλ=∈R ，且1a b ⋅=，则λ=（ ）A.14 B.12C.2D.46.按国际标准，复印纸幅面规格分为A 系列和B 系列，其中A 系列以A0，A1，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为 ②将Ai （i 0,1,,9=）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为()A i 1+规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为（ ） A.6B.7C.8D.97.在平面直角坐标系xOy 中，直线1:l ax by +=上有且仅有一点P ，使1OP =，则直线l 被圆22:4C x y +=截得的弦长为（ ）A.1C.2D.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()8k k παπ=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α−是奇函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗.在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2.关于该半正多面体的四个结论：；②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；③表面积为12S =+④外接球的体积为V =. 其中所有正确结论的序号是（ ） A.①②B.①③C.②④D.③④10.已知数列{}n a 满足()()*1*2,,2121,,2nn n a n k k a a n k k +⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪=−∈⎪⎩N N 则（ ）A.当10a <时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立B.当11a >时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M >，使得n a M >恒成立C.当101a <<时，存在正整数0N ，当0n N >时，112100n a −<D.当101a <<时，对于任意正整数0N ，存在0n N >，使得1121000n a −> 第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.12i34i+=−_________.12.在ABC △中，若5b =，4B π=，3cos 5A =，则a =_________. 13.已知F 是抛物线24y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为__________. 14.已知函数()f x 具有下列性质：①当[)12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12121f x x f x f x +=++；②在区间()0,+∞上，()f x 单调递增；③()f x 是偶函数.则()0f =________；函数()f x 可能的一个解析式为()f x =_________.15.目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具.其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道.现有材料科技条件下，对于一个n 级火箭，在第n 级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为()()()1212103ln999n nn a a a v a a a =+++， 其中()1,2,,np jj i i np j ij im m a i n m m m ==+==+−∑∑.注：p m 表示人造天体质量，j m 表示第j （1,2,,j n =）级火箭结构和燃料的总质量.给出下列三个结论： ①121n a a a <；②当1n =时，3ln10v <；③当2n =时，若12ln 2v =6.其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，12CA CB CC ===，D 为AB 中点. （Ⅰ）求证：1AC ∥平面1B CD ；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角1B B C D −−的余弦值. 条件①：1BC AC⊥； 条件②：1B D =注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 17.（本小题14分）已知函数()21cos sin2f x x x x ωωω=−+（0ω>）.（Ⅰ）若2ω=，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，012f π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，求ω的值.18.（本小题13分）某医学小组为了比较白鼠注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验.将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A ，第2组注射药物B.试验结果如下表所示.260mm 的概率；（Ⅱ）从两组皮肤疱疹面积在[)60,80区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数X 的分布列和数学期望EX ；（Ⅲ）用“0k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)30,50区间内，“1k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)50,80区间内（1,2k =），写出方差1D ξ，2D ξ的大小关系.（结论不要求证明）19.（本小题14分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的焦距为，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形的周长为16. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,1S 的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M .是否存在定点D ，使得12DM PQ=？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.20.（本小题15分）已知函数()()e ln 1x f x x x =++−，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l y g x =，记()()()h x f x g x =−.（Ⅰ）当00x =时，求切线l 的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥； （Ⅲ）当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数.（结论不要求证明）21.（本小题15分）已知集合{}*2n M x x n =∈N ≤（n ∈N ，4n ≥），若存在数阵1212n n a a a T b b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足： ①{}{}1212,,,,,,n n n a a a b b b M =；②()1,2,,k k a b k k n −==.则称集合n M 为“好集合”，并称数阵T 为n M 的一个“好数阵”. （Ⅰ）已知数阵6712x y z T w ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是4M 的一个“好数阵”，试写出x ，y ，z ，w 的值； （Ⅱ）若集合n M 为“好集合”，证明：集合n M 的“好数阵”必有偶数个； （Ⅲ）判断()5,6n M n =是否为“好集合”.若是，求出满足条件{}12,,,n n a a a ∈的所有“好数阵”；若不是，说明理由.参考答案第一部分（选择题 共40分）题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ACBADCDABD第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年北京丰台区高三一模数学试卷
2020年北京丰台区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若集合，，（ ）．A. B. C. D.2.已知向量，，满足，则（ ）．A. B. C. D.3.若复数满足，则对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.圆的圆心到直线的距离为（ ）．A.B.C.D.5.已知，，，则（ ）．A.B.C.D.6.“”是“”成立的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于的有（ ）．左视图主视图俯视图A.个B.个C.个D.个8.过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于两个不同的点，（点在轴上方），则的值为（ ）．A.B.C.D.9.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（ ）．A.为偶函数B.C.当时，在上有个零点D.若在上单调递减，则的最大值为10.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）．A.B. C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设数列的前项和为，，则．12.若，则函数的最小值为 ，此时 ．13.已知平面和三条不同的直线，，．给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥．以其中两个论断作为条件，使得成立．这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14.如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换．如：对任意一个实数，变换：取其相反数．因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换．有下列种变换：①对，变换：求集合的补集；②对任意，变换：求的共轭复数；③对任意，变换： （，均为非零实数）．其中是“回归”变换的是 ．15.已知双曲线的渐近线是边长为的菱形的边，所在直线．若椭圆经过，两点，且点是椭圆的一个焦点，则．三、解答题（本大题共6小题，共85分）（1）（2）16.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．当时，求．求的取值范围．17.（1）（2）（3）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面．求证：平面．求证：平面．在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）（2）（3）18.在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动．各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）．参与，，三个社区的志愿者服务情况如下表：社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传心理咨询从上表三个社区的志愿者中任取人，求此人来自于社区，并且参与社区消毒工作的概率．从上表三个社区的志愿者中各任取人调查情况，以表示负责现场值班值守的人数，求的分布列．已知社区心理咨询满意率为，社区心理咨询满意率为，社区心理咨询满意率为，“，，”分别表示，，社区的人们对心理咨询满意，“，，”分别表示，，社区的人们对心理咨询不满意，写出方差，，的大小关系．（只需写出结论）（1）（2）（3）19.已知函数．若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值．当时，求证：．若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围．【答案】解析:集合，集合，∴．故答案选．解析:∵向量，，，∴，解得，故正确．（1）（2）20.已知椭圆离心率为，点在椭圆上，直线与椭圆交于不同的两点，．求椭圆的方程．直线、分别交轴于，两点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．12（1）12（2）21.已知有穷数列，，，， ．定义数列的“伴生数列”，，，，， ，其中，，规定，．写出下列数列的“伴生数列”．，，，，．，，，，．已知数列的“伴生数列”，，，， ，，且满足．若数列中存在相邻两项为，求证：数列中的每一项均为．求数列所有项的和．C1.D2.解析:若复数满足，则，其对应的点为，位于第二象限．故选．解析:由题可知：圆心坐标为，圆心到直线的距离．故选．解析:∵，∴，又，且，∴．故选．解析:∵或，∴或，或，所以是成立的充分而不必要条件，故选．解析:B 3.B 4.C 5.A 6.C 7.由三视图还原几何体如上图．，，平面，，，，故三棱锥的四个面中，面积等于的有个，故选．解析:∵抛物线，∴它的焦点坐标为，∵直线倾斜角为，∴直线的方程为：，即，设直线与抛物线的交点为、，∴，，联立方程组，消去并整理，得，解得，，∴，，∴，的值为，故选：．D 8.D 9.A10.解析:由题意存在非零实数，使得成立，即有解，即有解，设，，①若，则在上恒成立，∴在单调递增，∴，此时不成立，②若，令，，∴在上单调递减，在上单调递增，，，∴使得，故成立，故选．解析:∴数列的前项和为，，，，∴， ，．解析:若，则，，11. ;12.当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，此时．解析:由直线和平面垂直的性质定理可知，若，，则，所以由①④作为条件推出；由平行的传递性可知，若，，则，所以由③⑥作为条件可推出．故答案为①④或③⑥．解析:①由于，所以变换“求集合的补集”是“回归”变换；②由，得，的共轭复数仍是，则变换“求的共轭复数”是一种“回归”变换；③变换连续两次变换后的结果为，则变换不是一种“回归”变换；综上，故答案为：①②．解析:双曲线的渐近线方程为，xyO则，菱形中，边长为，，则，即，焦点为，，又易知，则①④ 或 ③⑥13.①②14.15.（1）（2）（1）（2）．故答案为：．解析:由余弦定理，得，所以．由可知，，即，，因为，所以，故，因此，于是．解析:因为，平面，平面，所以平面．取的中点，连接，（1）．（2）．16.（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）存在；．17.（3）在直角梯形中，易知，且，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理逆定理可知，又因为平面平面，且平面平面，所以平面．取的中点，连接，，所以，因为平面，所以平面.因为，所以．如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，易知平面的一个法向量为，假设在棱上存在一点，使得二面角的大小为，不妨设，所以，设为平面的一个法向量，（1）（2）则 即，令，，所以，从而，解得或，因为，所以，由题知二面角为锐二面角，所以在棱上存在一点，使得二面角的大小为，此时．解析:记“从上表三个社区的志愿者中任取人，此人来自于社区，并且参与社区消毒工作”为事件，，所以从上表三个社区的志愿者中任取人，此人来自于社区，并且参与社区消毒工作的概率为．从上表三个社区的志愿者中各任取人，由表可知：，，三个社区负责现场值班值守的概率分别为，，，的所有可能取值为，，，，，，，，的分布列为：（1）．（2）（3）．18.（3）（1）（2）（3）．解析:因为，所以，由题知，解得．当时，，所以，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以是在区间上的最小值，所以．由（）知，，若，则当时，，在区间上单调递增，此时无极值．若，令，则，因为当时，，所以在上单调递增，因为，而，所以存在，使得，和的情况如下：极小值（1）．（2）证明见解析．（3）．19.（1）（2）因此，当时，有极小值，综上，的取值范围是．解析:由题意，解得，，所以椭圆的方程为．假设存在点使得，设，因为，所以，则，即，所以，因为直线交椭圆于，两点，则，两点关于轴对称，设，，因为，则直线的方程为，令，得，直线的方程为，令，得，因为，所以，又因为点在椭圆上，所以，所以，即，所以存在点使得成立．（1）椭圆的方程为．（2）存在，点．20.12（1）12（2）解析:，，，，．，，，，．由题意，存在，使得．若，即时，，于是，．所以，所以，即，依次类推可得，所以．若，由得，于是，所以，依次类推可得，所以．综上可知，数列中的每一项均为．首先证明不可能存在使得，若存在使得，则，又得与已知矛盾，所以不可能存在，，由此及（）得数列的前三项，，的可能情况如下：（）时，由（）可得，于是，所以所有项的和．（），，时，，此时与已知矛盾．（） ，，时，，，．于是，，12（1），，，，．，，，，．12（2）证明见解析．或（是的倍数）．21.故，，，于是，，，于是，，，且，，，依次类推且恰是的倍数满足题意，所以所有项的和，同理可得，，及，，时，当且仅当恰是的倍数时，满足题意．此时所有项的和．综上，所有项的和或（是的倍数）．。
丰台区2020届高三数学一模试题及答案(word版)
丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ， （点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此πsin()(322C -∈-,.于是sin ()22B C ∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-.所以220202(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分 21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1.…………4分 （Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L .所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.依次类推可得121b b ==.所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1.…………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===.若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K .由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K .于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n nS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时， 当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）。
2020年北京丰台高三一模数学试卷及答案
，此时 x
．
x 1
13. 已知平面 和三条不同的直线 m，n，l .给出下列六个论断：① m ；② m‖ ；③ m‖l ；
④ n ； ⑤ n‖ ； ⑥ n‖l . 以 其 中 两 个 论 断 作 为 条 件 ， 使 得 m‖ n 成 立 . 这 两 个 论 断 可 以
是
．（填上你认为正确的一组序号）
高三数学 参考答案及评分参考
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
B
C
A
C
D
2020．04
9
10
D
A
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．25
12．3 ；2
13．①④（或③⑥）
14. ①②
3 +1
15. 2
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共 14 分）
（C） b a c
（D） b c a
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于 3 的有
（A）1 个 （C）3 个
（B）2 个 （D）4 个
8. 过抛物线 C：y2 2 px( p 0) 的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线与抛物线 C 交于两个不同的点 A， B AF
20.（本小题共 14 分）
已知椭圆 C：ay22
x2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
2 2
，点
2020年北京市高考数学模拟试卷(4月份)
2020年北京市高考数学模拟试卷（4月份）•选择题（共10小题）1. （ 5分）若复数z 满足z （1 2i ）g ，则复平面内z 对应的点位于（）A . (1 ,2]B . [2 , 4) C[1 , ) D . (1,) 3. ( 5 分) 下列函数中，在 （0,）内单调递增，并且是偶函数的是 () A . y (x 1)2B . y cosx 1 C.y lg | x | 2D .Xy 24. ( 5 分)函数y 2厂1的值域为（ ）A . [0 , )B . [1 , )C .[2 , )D.[2,)0中，过点E （0,1）的最长弦和最短弦分别为A . 6B . 12C . 24D . 366. （ 5分）将函数y sin 2x 的图象向左平移—个单位长度后得到曲线 4C1, 再将G 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C 2 , 则C 2的解析式为（）A . y sin xB . y cosxC . y sin4xD . y cos4x 则四边形ABCD 的面积为（） 7. （ 5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为2的等腰直角三角形,A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限22. (5分)已知集合A {x|x 5x 4 x0} , B {x|2 4}，则 AGB)(. . 2 25.( 5 分)在圆 M :x y 4x 4y 1AC 和 BD ,（ ）正观图 侧视團俯视團A . 2 2C. 2 30 x 18 （ 5分）已知函数f（x） ' ，若不等式f（x）, |x k|对任意的x R恒成立，则实数In x, x Tk 的取值范围是()( )A •必要不充分条件D .既不充分也不必要条件 10. ( 5分)为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师 对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲： “ 7班男生比较壮，7班肯定得第一名”.老师乙： “我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”. 老帅内：“我觉得7班能赢15班”.最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”.那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A . 7班、14班、15班B . 14班、7班、15班C . 14班、15班、7班D . 15班、14班、7班二•填空题(共5小题)2 211. (5分)已知双曲线C:笃每1(a 0,b 0)的左、右焦点和点 P(2a,b)为某个等腰三a b 角形的三个顶点，则双曲线 C 的离心率为 ______ .12. (5分)已知向量a (1,1), b ( 3,m),若向量2a b 与向量b 共线，则实数m _______________ . 13. (5分)如果抛物线y 2 2px 上一点A(4, m)到准线的距离是6，那么m _____________ . 14. (5 分)在四边形 ABCD 中，AB 1 , BC 2 , CD 3 , AD 4，且 ABC 120，则AC ____ , cos BCD _____ .15. (5分)已知定义在 R 上的函数f(x)满足f(x) g(x) g( x)，且f(x)在R 单调递增， 对任意的x , X 2(0,),恒有f(xJgf(X 2) f(X 1 X 2),则使不等式[f 0 m 寸)]2 f (2 m) 0成立的m 取值范围是 ____________ . 三•解答题(共6小题)16. (12分)如图，已知四棱锥P ABCD 的底面是等腰梯形,A • ( , 1]B • [1 , )C . [0 , 1)D . ( 1 , 0] 9. (5分)已{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，则“ 2a 3a 1 a s ”是“ S 2n 10 ”的B .充分不必要条件C .充要条件AD//BC , AD 2 , BC 4 ,ABC 60 , PAD为等边三角形，且点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，点E在线段BC 上，且CE: EB 1:3 . (1)求证：DE 平面PAD .(2 )求二面角 A PC D 的余弦值.17. (14分)已知函数f(x) log k x(k 为常数，k 0且k 1).18. (12分)某大学棋艺协会定期举办 “以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围 棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋” 种比赛中任选两种参与.(1)求甲参加围棋比赛的概率;(2)求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率. 2 219. (12分)已知函数 f(x) a x alnx ，实数a x(1 )讨论函数f(x)在区间(0,10)上的单调性；(I)求椭圆C 的方程:2 2 2过点P 作圆x y a 的两条切线，切点分别为M , N ,(1 )在下列条件中选择一个使数列｛a .｝是等比数列，说明理由;①数列｛f (a .)｝是首项为 2, 公比为2的等比数列; ②数列｛ f (a n )｝是首项为 4, 公差为2的等差数列; ③数列｛f (a n )｝是首项为 2, 公差为2的等差数列的前 n 项和构成的数列.(2 )在(1)的条件下,k 2时，设a n b2n n 4n 21，求数列｛b n ｝的前n 项和T n . 1，不选“国际象棋”，乙同学从四 (2)若存在x (0,)，使得关于x 的不等式f(x)22 a x 成立，求实数a 的取值范围.2X 20. （12 分）椭圆 C ：pa 2y 2 1（ab b 0)的离心率为,它的四个顶点构成的四边形面积 29(II )设P 是直线x a 上任意一点,求证：直线MN恒过一个定点.21. (13分)定义：若数列｛寻｝满足所有的项均由 1 , 1构成且其中1有m个，1有p个(m p-3)，则称｛a n｝为“ (m,p)数列”.(1)a i , a j , a k(i j k)为“ (3,4)数列” 何｝中的任意三项，则使得@a j a k 1的取法有多少种？(2) a , a j, a k(i j k)为“ (m, p)数列” ｛%｝中的任意三项，则存在多少正整数对(m,p)1使得1剟m p? 100，且aa j a k 1的概率为1•22020年北京市高考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析•选择题（共10小题） 1. （ 5分）若复数z 满足z （1 2i ）g ，则复平面内z 对应的点位于A •第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【解答】解：z （1 2i ）g 2故选：D .则 QB [2 ,故选：D .【解答】解：A . y （x 1）2的对称轴为x 1，为非奇非偶函数，不满足条件.B . y cosx 1是偶函数，但在（0,）内不是单调函数，不满足条件.C . y lg |x| 2为偶函数，在（0,）内单调递增，满足条件，D . y 2x , （0,）内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件.故选：C .4. （5分）函数y 2 c 1的值域为（）A . [0 ,）B . [1 ,）C . [2 ,）D . L-2,）【解答】解：Q x 1--0 , 2厂--1 ,z 2 i 在复平面内所对应的点（2, 1）位于第四象限.2. （ 5分）已知集合 A {x|x 25x 40} , B {x|2x 4}，则 AGB)( A . (1 , 2]B . [2 , 4)C . [1 ,)D . (1, 【解答】解:根据题意，集合 A {x|x 2 5x 40} (1,4) , B{x|2x 4}(,2),则 A (e R B) (1 ,)；3. （ 5分）下列函数中，在 （0, ）内单调递增，并且是偶函数的是A . y (x 1)2cosx 1C . y ig|x| 2函数y 2厂1的值域为[2 , ）.5. （5分）在圆M :x2 y2 4x 4y 1 0中，过点E（0,1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD ,则四边形ABCD的面积为（）A . 6B . 12 C. 24 D. 36【解答】解：根据题意，圆M:x2 y2 4x 4y 1 0即（x 2）2（y 2）2 9，其圆心为（2,2）, 半径r 3 ,过点E（0,1）的最长弦AC为圆M的直径，则|AC| 6 ,最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，且|ME| （2 0）2~（2 1）2 5则有| BD | 2 , r2 | ME |2 4 ,又由AC BD ,1则四边形ABCD的面积S 2 S ABC 2 （一AC BE） 12 ；2故选：B .6. （5分）将函数y sin2x的图象向左平移一个单位长度后得到曲线G，再将G上所有点4的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为（）A . y sinx B. y cosx C. y sin 4x D. y cos4x【解答】解：将函数y sin2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线G , G的解析式为4y sin 2（x —） cos2x ,x再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2 , C2的解析式为y COS2% cosx .故选：B .7. （5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）Ox 1 8 ( 5分)已知函数f(x) '，若不等式f(x), |x k |对任意的x R 恒成立，则实数In x, x Tk 的取值范围是()A . (, 1]B . [1 ,)C . [0 , 1)D . ( 1 , 0]0x1【解答】解：作出函数f(x) ' 的图象，ln x, xT由不等式f(x), |x k |对任意的x R 恒成立，可得y f (x)的图象不在y |x k |的图象的 上方，且y |x k|的图象关于直线x k 对称，当k, 0时，满足题意；C . 2 3S ABD ,其中SC 平面 ABCD ;四面体S ABD侧视團【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥 42 2的等边三角形,故选：C .(m,n),当y |x k|的图象与yf (x)的图象相切，即有y x k为切线，设切点为( )A . 必要不充分条件B .充分不必要条件 C. 充要条件D .既不充分也不必要条件【解答】解：设等比数列 {a n }的公比为q(q 0), 由2a 3a 1 a 5 ,得 2&q 24a a 〔q右a 420，则 q 2q 12 20，即（q 1） 0，此式不成立；右a 420，则 q 2q 1[12 n 1]0，即(q 2 1)20，则q 1，此时S 2n1 岂q ]0,充分1 q性成立；反之，a 1，满足S 2n10 ,此时2a 3 a a s ，必要性不成立.a2a s a 1 a 5 ”是“ S 2n 10 ”的充分不必要条件.故选：B •10. （5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师 对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲： “ 7班男生比较壮，7班肯定得第一名”.老师乙： “我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”. 老帅内：“我觉得7班能赢15班”.最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你第8页（共17页）可得切线的斜率为1，则 m 1, n lnm 0, k 1 ,m则0 k, 1时，也满足题意. 综上可得，k 的范围是（，1] •q a 5 ”是“ S 2m 0 ”的r r r12 ( 5分)已知向量a (1,1) ,b ( 3,m)，若向量2a b 与向量b 共线，则实数m _ 3们三人中只有一人预测准确”.那么，获得一、二、三名的班级依次为 (A . 7班、14班、15班B . 14班、7班、15班C . 14班、15班、7班D . 15班、14班、7班【解答】 解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班,则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意.综上，得一、二、三名的班级依次为 14班，15班，7班.故选：C .二•填空题(共5小题)2 2X y11. (5分)已知双曲线 C:—21(a 0,b 0)的左、右焦点和点 P(2a,b)为某个等腰三a b角形的三个顶点，则双曲线 C 的离心率为—2一 _ .—2 —【解答】解：由题意可得左右焦点分别为： F( c,0) , F 2(C ,0), 因为P 在y 轴的右侧，所以相等的两边为 PF RF 2或PF 2 hF 2由题意可得: (2 a C )2 b 2 4C 22 2 22C 4ac 3a 0，即卩 2e 4e 3 0 , e 1 ,解得e或(2 a C )2 b 2 4C 2 可得：2e 24e 3 0, e 1，解得 e1，不符合双曲线的 条件; 综上所述，离 2 10 2故答案为:2 10 2【解答】解：因为向量a (1,1), b(3,m),所以向量2a b (5,2 m);r rQ2a b 与向量b 共线； 5m (2 m) ( 3)0 m 3 ;故答案为：3 •2y 2px 上一点A(4, m)到准线的距离是6,由题意得4 p 6，解得p 4 .22Q 点A(4, m)在抛物线y 2px 上, m 2 2 4 4 , m 4.2 , 故答案为：4.2 ,.BCD所以AC . 7 ；故答案为:13. (5分)如果抛物线那么m 4.2【解答】解：抛物线y 22px 的准线方程为x14.(5分)在四边形ABCD 中，AB 1 , BC CD 3， AD 4，且 ABC 120，贝U则 AC 2 12 22 2 14，且 ABC120 ,又 AC 2 CD 2 16AD所以 ACD90 ；由」B -sin ACBAC sin Bsin ACBsin 1207 3 2.721 ITcos BCDcos( ACB90 ) sin ACB21 14【解答】解：如图所示, 四边形ABCD 中，ABADcos120 7，15.( 5 分) 已知定义在R上的函数 f (x)满足f (x) g(x) g( x),且f(x)在R单调递增,对任意的x , X2 (0,),恒有“為皿区)f(X i X2),则使不等式[f( m 2)】2f(2 m)0成立的m取值范围是_ [0 :,9)_.【解答】解：由于定义在R上的函数f(x) g(x) g(x),所以f( x) g( x) g(x)f(x), 所以函数f(x)为奇:函数；Q对任意的洛,x2(0,)，恒有f(xjgf(x2)f(x X2),1则[f (. m )]2 f (2 m1)；不等式[f( m I)]2f( 22m) 0不等式f (2 . m1) f(m 2),Q f(x)在R单调递增， 2 m 1m 2 ；m 2 m 3 0 ；解得Q m 9 ;故答案为：[0 , 9).三•解答题(共6小题)16.( 12分)如图，已知四棱锥P ABCD的底面是等腰梯形，AD//BC , AD 2 , BC 4 ,ABC 60，PAD为等边三角形，且点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，点E在线段BC 上，且CE: EB 1:3 .(1)求证：DE 平面PAD .【解答】(1)证明：等腰梯形ABCD中，Q点E在线段BC上，且CE: EB 1:3 ,点E为BC上靠近C点的四等分点由平面几何知识可得DE AD . Q点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，连接PG ,PG 平面ABCD . Q DE 平面ABCD, PG DE .又AD I PG G , AD 平面PAD , PG 平面PAD . DE 平面PAD ;(2)解：取BC的中点F，连接GF ,以G为原点，GA所在直线为x轴，GF所在直线为y轴，GP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图.由(1)易知，DE CB , CE 1.又 ABC DCB 60 , DE GF 3 . QAD 2 , PAD 为等边三角形， PG 3 .则 G(0 , 0, 0) , A(1 , 0, 0) , D( 1 , 0, 0) , P(0,0, .3) , C( 2, 3,0). iur _ luff AC ( 3, . 3,0) , AP ( 1,0, 3), uur _ DC ( 1, 3,0), UU TDP (1,0, 3) 设平面APC 的法向量为mn (X 1 , y 1 , Z), r uur 则 m gA C 0 即 3X 1 3*1 则r uuu ，即 L mgAP 0 x 1 3z 1 令 x 1 3，则 * 3, z 1 , ( 3,3,1). 设平面DPC 的法向量为 1n (%，令X 2 3，则y 2Z 21,uui -AP ( 3,1, 1).，则 cosI mgi | |3 3 1| .65 I mn |g n |.13 513 '设平面APC 与平面 DPC 的夹角为 17. (14分)已知函数f (x) log k x(k 为常数, 1). (1 )在下列条件中选择一个 丄使数列｛a n ｝是等比数列，说明理由; ①数列｛f (a n )｝是首项为 2, 公比为2的等比数列; ②数列｛ f (a n )｝是首项为 4, 公差为2的等差数列; ③数列｛f (a n )｝是首项为 2, 公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列.1求数列｛b n ｝的前n 项和T n . 1【解答】解：(1)①③不能使数列｛a n ｝是等比数列，②可以.(2 )在(1)的条件下, k 2时，设a nb n24n0),x由题意 f(a n ) 4 2(n 1) 2n 2，即 log k a 2n 2，可得 a n k 2n 2，且 a 1 k 4 0 ,2 2k ，由常数k 0且k 1,可得k 为非零常数,则｛a n ｝是k 4为首项、k 2为公比的等比数列;18. (12分)某大学棋艺协会定期举办 “以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围 棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋” 种比赛中任选两种参与.(1) 求甲参加围棋比赛的概率；(2) 求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.【解答】解：(1)依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”故甲参加围棋比赛的概率为1. 2(2)记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1 , 2, 3, 4,则所有的可能为：可得a n 4 2、n1k gk ) ,2n 2k,2n 1a n 2n1,a n b n，可得b n 1 24n 1 4n 1 1 1 1 1 1 1 1 -(1 —— —-)-(1(2)由(1)当k 、2时,前n 项和T n(2n 1)(2n 1)2 2n 11n) .2n 1 2n 1a n 1，不选“国际象棋”，乙同学从四 故所求概率p212219. (12分)已知函数 f(x)x2a x alnx ，实数 a 0 .(1 )讨论函数f(x)在区间(0,10)上的单调性; 2n 40),x(1 , 2, 1, 2), (1 , 2, 1, 3), (1 , 2, 1 , 4), (1 , 2, 2, 3), (1 , 2, 2, 4), (1 , 2, 3, 4), (1 , 3, 1, 2), (1 , 3, 1 , 3), (1 , 3, 1, 4), (1 , 3, 2, 3),(1 , 3, 2, 4), (1 , 3, 3,4),其中满足条件的有(1 , 2, 3, 4) , (1 , 3, 2, 4)两种,(2)若存在x (0,)，使得关于x 的不等式f(x)22 a x 成立，求实数a 的取值范围. 【解答】解：(1) f (x)ax 2(ax 2)(ax 1)2.,x令 f (x) 0 ,可得x 1, x 2(舍).a a1 1①当a 丄时，—10 .10 a函数f(x)在区间(0,—)上单调递减，在区间(丄，10)上的单调递增;a a1②当0 a,—时，函数f(x)在区间(0,10)上单调递减.10(2)存在x (0,)，使得不等式f(x) 2 a2x成立存在x (,)，使得不等式—xal nx 2令g(x)2xal nx 2 , (x 0),g(x)2a ax 22x x 2 ，xQ a 0, g(x)20 x , ga(x) 0g(x)在(0,—)递减，在(？,a a)递增,g(x)m in 1g(-)a a a(l n2 lna)2 ,依题意只需a aln2 alna 2 0 即可. 令h(x)x xl n2xlnx 2 , h (x)1In：0成立,20 xah(x)在(0,2)递增，在(2,)递减，且hlnx 1 In 2 Inx 0 ,可得x 2 .(2)实数a的取值范围(0 ,2x 20. (12 分)椭圆C：pa 2)2y_b2(2 ,1(a2b 0)的离心率为—2,它的四个顶点构成的四边形面积2(I)求椭圆C的方程:(II )设P是直线x a2上任意一点，过点P作圆x2y2 a2的两条切线，切点分别为M , N , 求证：直线MN恒过一个定点.2a 2b 2 2【解答】解：(I)由题意可知,a2ab22c21 2(II)证明：方法一：设点 P(2,y °) , M(x i , yj , N(x 2, y 2).2， x 2 y 22，由 PM OM ，PN ON ，(x 1)2 (y 沙12(沙’消去二次项得直线MN 方程为由y °的任意性可知，x 1， y 0，即直线MN 恒过一个定点(1,0). 方法三：由圆的极点极线可知，已知 M(x 0 , y 0)为圆C:(x a)2 (y b)2 R 2外一点， 由点M 引圆C 的两条切线MA , MB ，其中A , B 为切点，则直线AB 的方程为 2 (x ° a)(x a) (y ° b)(y b) R , 特殊地，知M(« , y °)为圆C:x 2 y 2 R 2外一点，由点 M 引圆C 的两条切线MA , MB , 其中A , B 为切点，则直线 AB 的方程为xx ° yy ° R 2 .设点P(2,y °)，由极点与极线可知，直线 MN 的方程2x yy ° 2，即2x yy ° 2 0 , 由y 。
丰台区高三数学一模答案
易知 AN BN CD 2 ，且 CN AB .
在 Rt △ CNB 中，由勾股定理得 BC 2 . 在△ ACB 中，由勾股定理逆定理可知 AC BC . 又因为平面 BCM 平面 ABCD ， 且平面 BCM 平面 ABCD BC ， 所以 AC 平面 BCM . （Ⅲ）取 BC 的中点 O ，连接 OM ， ON . 所以 ON‖ AC ， 因为 AC 平面 BCM ， 所以 ON 平面 BCM . 因为 BM MC ， 所以 OM BC . 如图建立空间直角坐标系 O xyz ，
不妨设 AE AM (0 1) ，
所以 BE BA AE (2 2, 2,) ，
设 n (x,y,z) 为平面 BCE 的一个法向量，
…………3 分 …………7 分
丰台区高三数学综合练习（一）参考答案 2 / 7
则
n
BC
n BE
0, 0,
2 y 0, 即 (2 2)x
所以 f (1) 0 是 f (x) 在区间 (0,+) 上的最小值.
所以 f (x) 0 .
（Ⅲ）由（Ⅰ）知， f '(x) ln x a x ln x+a .
x
x
若 a 0 ，则当 x (1,+) 时， f '(x) 0 ， f (x) 在区间 (1,+) 上单调递增，
此时无极值. 若 a 0 ，令 g(x) f '(x) ，
为3. 37
…………4 分
（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人，由表可知：A，B，C 三个社区负责现场值班值守
的概率分别为 3 ，1 ，1 . 10 3 3
北京市2020年4月高考数学模拟试卷(答案解析)
北京市2020年4月高考数学模拟试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|30M x x x =-<，{}|17N x x =≤≤，则M N =I （ ）A ．{}|13≤<x xB ．{}3|1x x <<C ．{}|07x x <<D ．{}|07x x <≤【答案】A 【解析】集合{}{}{}2|30|(3)0|03M x x x x x x x x =-<=-<=<<，故{}|13M N x x =≤<I .故选A ． 2．已知复数32(1)iz i =-，则z 在复平面内对应点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】()322(1)21i i z i i i ==---()()111i i i +=-+-1122i =--，则1122z i =-+， z 在复平面内对应点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第二象限故选B ．3．曲线方程2240x y Ex y ++-+=表示一个圆的充要条件为（ ） A ．15E >B ．15E ≥C ．215E >D ．215E ≥【解析】表示圆的充要条件是()221440E +--⨯>，即215E >.故选C ． 4．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12-D ．12【答案】B【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数，得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ），∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 5．不等式（a －2）x 2+2(a －2)x -4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．（-∞,2]B ．（-2,2]C ．（-2,2）D ．（-∞,2) 【答案】B【解析】因为不等式（a －2）x 2+2(a －2)x -4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则对二次项系数是否为零，分为两种情况来解得，求解得到a 的取值范围是（-2,2] ，故选B ． 6．若二项式22()nx x+的展开式，二项式系数之和为16，则展开式中x 的系数为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】由展开式中二项式系数之和为16，即216n =，得4n =.展开式中44314422()2r rr r r r r T C xC x x--+== ， 令431r -=，得1r =，故x 的系数为11428C =，故选C ． 7．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72 D ．120【答案】C【解析】A 参加时参赛方案有31342348C A A = (种)，A 不参加时参赛方案有4424A = (种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C ．8．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–20【解析】根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，由134,,a a a 成等比数列，可得2314a a a =，∴1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-.∴22(1)981829()224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--.根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-.故选D ． 9．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A ．116B ．316C ．14D ．1316【答案】D【解析】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为111111111322222222216111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯，所以灯泡亮的概率为31311616-=,故本题选D ． 10．箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A 表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A 的概率为（ ） A ．16B ．13C ．15D ．25【答案】B【解析】分别设3双手套为：121212a a b b c c 、、，111a b c 、、分别代表左手手套，222a b c 、、分别代表右手手套；从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：n 6636=⨯=，共有36个基本事件；事件A 包含：()()()()()122112212112a b b a a c c a a b b a ，、，、，、，、，、，、()()()()()()211212212112a c c a b c c b b c c b ，、，、，、，、，、，一共12个基本事件，故事件A 的概率为()121P 363A ==，故选B ． 第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．11．向量a b r r ，的夹角为120°，且1,2a b ==r r ，则a b -rr 等于______． 【答案】【解析】Q 1||||cos12012()12a b a b ⋅==⨯⨯-=-or r r r∴2222||22(11)27a b ab b a -=-+=-⨯-+=r r r r r r故答案为．12．以下说法正确的是_______．（填写所有正确的序号）①若两非零向量,a b r r ，若0a b ⋅>r r ，则,a b r r 的夹角为锐角；②若a b ⊥r r ，则0a b ⋅=r r ，反之也对；③在ABC ∆中，若a b >，则sin sin A B >，反之也对； ④在锐角ABC ∆中，若2B A =，则,.64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 【答案】③④【解析】对于①，a r 与 b r 同向时，若0a b ⋅>r r ，夹角为0o ，不是锐角，故①错误；对于②，若0a rr=时，则0a b ⋅=rr ，a r与 b r平行，故②错误；对于③，由正弦定理得，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B >⇔>⇔>,故③正确；对于④，由02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，可得64A ππ<<，即,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故④正确，故答案为③④.13．若函数()f x 的图象上存在不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中1122,,,x y x y 使得222212121122x x y y x y x y +++0，则称函数()f x 是“柯西函数”．给出下列函数： ①()ln (03)f x x x =<<； ②1()(0)f x x x x=+>； ③2()28f x x =+ ④2()28f x x =-其中是“柯西函数”的为 ___．（填上所有正确答案的序号） 【答案】① ④设()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v ，由向量的数量积的可得||||||OA OB OA OB ⋅≤⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ，当且仅当向量OA OB u u u v u u u v ，共线（,,O A B 三点共线）时等号成立．故222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0时，当且仅当,,O A B 三点共线时成立．所以函数()f x 是“柯西函数”等价于函数()f x 的图象上存在不同的两点,A B ，使得,,O A B 三点共线． 对于①，函数()ln (03)f x x x =<<图象上不存在满足题意的点； 对于②，函数()1(0)f x x x x=+>图象上存在满足题意的点； 对于③，函数()228f x x =+图象上存在满足题意的点； 对于④，函数()228f x x =-图象不存在满足题意的点．故函数① ④是“柯西函数”．14．已知函数2()x f x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________. 【答案】2 -0e x y = 【解析】设切点坐标为()2,tt e，()2xf x e=Q ，()22xf x e '∴=，()22tf t e '=，则曲线()y f x =在点()2,tt e处的切线方程为()222tty e ex t -=-，由于该直线过原点，则222t t e te -=-，得12t =，因此，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为2y ex =，故答案为20ex y -=． 15．函数()142(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是______．【答案】()1,6【解析】令x ﹣1=0，解得：x=1，此时y=4+2=6，故函数恒过定点（1，6），四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）105. 【解析】（1）连接ME ，1B CM Q ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C =,又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C =//ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE //MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O =I ，11111A C B D O ⋂=由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD Q 四边形ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)A，()0,1,2M，)14A ，D （0，-1,0）1,,222N ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则1,022F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭Q 四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠=o BAD ∴∆为等边三角形DF AB ∴⊥又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD 1DFAA ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMA DF ∴u u u r为平面1AMA 的一个法向量，且3,,022DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r 设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =r ，又)11,2MA =-u u u u r，3,022MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu ur 120302n MA y z n MN y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩u u u u v ru u u u v r，令x =1y =，1z =-)1n ∴=-rcos ,5DF n DF n DF n ⋅∴<>===⋅u u u r ru u u r r u u u rr sin ,5DF n ∴<>=u u u r r ∴二面角1A MA N --的正弦值为5 17．（本小题14分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）（1）212n na -=；（2）2n S n =.【解析】(1)因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，32216a a =+，12a =，所以令数列{}n a 的公比为q ，2231=2a a q q =，212a a q q ==，所以22416q q =+，解得2q =-(舍去)或4，所以数列{}n a 是首项为2、公比为4的等比数列，121242n n n a --=⨯=．(2)因为2log n n b a =，所以21n b n =-，+121n b n =+，12n n b b +-=，所以数列{}n b 是首项为1、公差为2的等差数列，2.2)112(n n n n S n =+-=18．（本小题14分）2019年“非洲猪瘟”过后，全国生猪价格逐步上涨，某大型养猪企业，欲将达到养殖周期的生猪全部出售，根据去年的销售记录，得到销售生猪的重量的频率分布直方图（如图所示）.（1）根据去年生猪重量的频率分布直方图，估计今年生猪出栏（达到养殖周期）时，生猪重量达不到270斤的概率（以频率代替概率）；（2）若假设该企业今年达到养殖周期的生猪出栏量为5000头，生猪市场价格是8元/斤，试估计该企业本养殖周期的销售收入是多少万元；（3）若从本养殖周期的生猪中，任意选两头生猪，其重量达到270斤及以上的生猪数为随机变量Y ，试求随机变量Y 的分布列及方差.【答案】(1)0.25 (2)1222.4万元(3)见解析【解析】（1）估计生猪重量达不到270斤的概率为(0.00050.002)400.005300.25+⨯+⨯=. （2）生猪重量的平均数为1800.022200.082600.23000.323400.24⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3800.1+⨯+4200.04⨯305.6=（斤）.所以估计该企业本养殖周期的销售收入是305.685000⨯⨯1222.4=（万元）. （3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到270斤及以上的概率为310.254-=， 由题意可得随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2，则3~(2,)4Y B ， ∴022311(0)C ()()4416P Y ==⨯⨯=， 1112313(1)C ()()448P Y ==⨯⨯=， 2202319(2)C ()()4416P Y ==⨯⨯=， ∴随机变量Y 的分布列为 Y 01 2 P11638916∴随机变量Y 的方差313()2448D Y =⨯⨯=． 19．（本小题15分）已知函数()e 1xf x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 【答案】(1) a=212e ；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析. 【解析】（1）f （x ）的定义域为()0+∞，，f ′（x ）=aex –1x ．由题设知，f ′（2）=0，所以a=212e． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-．当0<x<2时，f ′（x ）<0；当x>2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a≥1e 时，f （x ）≥e ln 1e x x --．设g （x ）=e ln 1ex x --，则()e 1'e x g x x =-．当0<x<1时，g′（x ）<0；当x>1时，g′（x ）>0．所以x=1是g （x ）的最小值点．故当x>0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1a e≥时，()0f x ≥． 20．（本小题14分）在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=- ， （1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()F 作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程．【答案】(1) 22142x y +=（0y ≠）(2) 07x y -+=或07x y +=【解析】（1）由题意，设(),C x y ，则12y k x =+，22y k x =-，又由2122142y k k x ==--，整理得22142x y +=，由点,,A B C 不共线，所以0y ≠，所以点C 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，易知直线MN 不与x 轴重合，设直线:MN x my =22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得得()22220m y +--=，易知>0∆，且12y y +=，122202y y m -=<+由2MAB NAB S S =V V ，故122y y =，即122y y =-，从而()2212122122141222y y y y m y y m y y +-==++=-+，解得227m =，即7m =±，所以直线MN的方程为07x y -=或07x y ++=． 21．（本小题14分） 对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g . (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2n k =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n =【解析】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2nk =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=. (Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <；当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是11 每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”，故n n f g ≤.综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==；当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3故442f g ==； 当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =.。
丰台区2019—2020学年度第二学期4月份高三数学综合练习试卷(含答案)
丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ， （点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+13sin cos 22C C =-πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-. 因此π33sin()()322C -∈-,. 于是33sin 3cos (,)22B C -∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,，=(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx -.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分 20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意22221122.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M .直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-. 所以22022(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分21．（本小题共14分） 解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1. …………4分（Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==. 于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===. 依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L . 所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==. 于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==. 依次类推可得121b b ==. 所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1. …………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===.若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K .由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K .于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,.于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,.依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233nnS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时，当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2020年北京市丰台区高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年北京市丰台区高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z=的共轭复数是（）A. B. C. 1+i D. 1-i2.已知集合A={-2，3，1}，集合B={3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）A. {1}B. {}C. {1，-1}D. {}3.设命题p：∀x∈（0，+∞），ln x≤x-1，则￢p为（）A. ∀x∈（0，+∞），ln x＞x-1B. ∃x0∈（0，+∞），ln x0≤x0-1C. ∀x∉（0，+∞），ln x＞x-1D. ∃x0∈（0，+∞），ln x0＞x0-14.执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，输出的S=15，那么判断框内的条件可以为（）A. k＜6B. k≤6C. k＞6D. k＞75.下列函数中，同时满足：①图象关于y轴对称；②∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0的是（）A. f（x）=x-1B. f（x）=log2|x|C. f（x）=cos xD. f（x）=2x+16.已知α和β是两个不同平面，α∩β=l，l1，l2是与l不同的两条直线，且l1⊂α，l2⊂β，l1∥l2，那么下列命题正确的是（）A. l与l1，l2都不相交B. l与l1，l2都相交C. l恰与l1，l2中的一条相交D. l至少与l1，l2中的一条相交7.已知F1，F2为椭圆M：=1和双曲线N：-y2=1的公共焦点，P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（）A. B. 1 C. D.8.在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若△ABC是格点三角形，其中A（0，0），B（4，0），且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（）A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知平面向量=（1，-3），=（-2，m），且∥，那么m=______．10.从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，那么不同的选派方案种数为______．11.直线y=kx+1与圆（α为参数）相交于M，N两点，若|MN|=2，则k=______．12.若△ABC的面积为2，且A=，则=______．13.已知函数f（x）=cos（2x+φ）（-＜φ＜0）．①函数f（x）的最小正周期为______；②若函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，则φ的值是______．14.已知数列{a n}对任意的n∈N*，都有a n∈N*，且a n+1=，①当a1=8时，a2019=______②若存在m∈N*，当n＞m且a n为奇数时，a n恒为常数p，则p=______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a（a∈R），且f（）=0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上是单调函数，求m的最大值．16.随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为s12，月平均期望薪资对应数据的方差为s22，判断s12与s22的大小．（只需写出结论）17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，∠BAA1=60°，AB=AA1=2BC=2CD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D-AA1-B的余弦值；（Ⅲ）在线段DB1上是否存在点M，使得CM∥平面DAA1？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．18.已知函数f（x）=（x-2）e x-ax3ax2．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a≤e时，求证：x=1是函数f（x）的极小值点．19.已知抛物线C：y2=2px过点M（2，2），A，B是抛物线C上不同两点，且AB∥OM（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q．（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）求证：直线PQ与x轴平行．20.设n∈N*且n≥2，集合S n={（x1，x2…，x n）||x1|=1，|x i+1|=2|x i|（i=1，2…，n-1）}．（Ⅰ）写出集合S2中的所有元素；（Ⅱ）设（a1，a2，…a n），（b1，b2，..b n）∈S n，证明“a i=b i”的充要条件是“a i=b i（i=1，2，3，…n）”；（Ⅲ）设集合T n={x i|（x1，x2，..x n）∈S n}，求T n所有正数之和．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：复数===-i，∴复数的共轭复数是+i，故选：A．先利用两个复数的除法法则化简复数，再依据共轭复数的定义求出复数的共轭复数．本题考查两个复数代数形式的混合运算法则以及共轭复数的概念．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题.若B⊆A，则m2=1，即可求解满足条件的m【解答】解：∵A={-2，3，1}，B={3，m2}，若B⊆A，则m2=1∴m=1或m=-1实数m的取值集合为{1，-1}故选：C．3.答案：D解析：【分析】本题考查含有一个量词的命题的否定．是基本知识的考查．全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题p：∀x∈（0，+∞），ln x≤x-1，则￢p是：￢p：∃x0∈（0，+∞），ln x0＞x0-1．故选：D．4.答案：A解析：解：若a=1，第一次条件成立，S=1，a=-1，k=2，第二次条件成立，S=1-4=-3，a=1，k=3，第三次条件成立，S=-3+9=6，a=-1，k=4，第四次条件成立，S=6-16=-10，a=1，k=5，第五次条件不成立，S=-10+25=15，a=-1，k=6，此时k=6不满足条件．输出S=15，即k=5不成立，k=6不成立，则条件k＜6，故选：A．根据程序框图进行模拟计算，确定k终止的条件即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．5.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义以及判断方法．【解答】解：根据题意，若f（x）的图象关于y轴对称，则函数f（x）是偶函数，若；②∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；据此分析选项：对于A，f（x）=x-1，为奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=log2|x|，为偶函数，则在（0，+∞）上，f（x）=log2x，为增函数，符合题意；对于C，f（x）=cos x，为偶函数，但在区间（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=2x+1，为非奇非偶函数，不符合题意；故选：B．根据题意，分析可得要求函数是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数；据此分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合可得答案．6.答案：A解析：解：∵l1∥l2，∴l1∥β，又l1⊂α，α∩β=l，∴l1∥l，同理l2∥l，故选：A．由线面平行的性质易得三线互相平行．此题考查了线面平行的性质，难度不大．7.答案：B解析：解：∵F1，F2为椭圆M：=1和双曲线N：-y2=1的公共焦点，∴m2-2=n2+1，∵P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，∴（不妨设m＞0，n＞0）．解得：m=2，n=1，⇒c2=m2-2=n2+1=2，∴椭圆M和双曲线N的离心率之积为．故选：B．利用m2-2=n2+1，（不妨设m＞0，n＞0）．求得m，n即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：设三角形的高为h，则三角形的面积S=4h=8，即h=4，即C点的纵坐标为4，若C（4，4）或（0，4）时，则三角形边边界上的格点个数为12个，若C（2，4），则三角形边边界上的格点个数为8个，若C（1，4）或（3，4），则三角形边边界上的格点个数为6个，则不可能的为10个，故选：C．根据条件设三角形的高为h，结合三角形的面积得到高h=4，即顶点C在直线y=4上，结合C的整点坐标，利用数形结合进行排除即可．本题主要考查合情推理的应用，结合条件求出三角形的高即顶点A的位置，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键．9.答案：6解析：解：∵∥，∴1×m-（-3）×（-2）=0，解得m=6．故答案为：6．根据两个向量平行的坐标表示可得．本题考查了平面向量共线的坐标表示．属于基础题．10.答案：12解析：【分析】本题考查排列组合的实际应用，属于基础题．根据分步计数原理即可求出．【解答】解：从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，则有C21•C42=12种，故答案为：12．11.答案：解析：解：圆（α为参数）转换为直角坐标方程为：x2+（y-3）2=4，则：点（0，3）到直线的距离d==，所以：，解得：k=，故答案为：．首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12.答案：4解析：解：由△ABC的面积为2，得：||×|×sin=2，所以||||=8，所以=||||cos=8×=4，故答案为：4．由三角形面积公式得：△ABC的面积为2，得：||×|×sin=2，所以||||=8，由平面向量的数量积运算：=||||cos=8×=4，得解．本题考查了三角形面积公式及平面向量的数量积运算，属中档题．13.答案：π -解析：解：①函数f（x）=cos（2x+φ）（-＜φ＜0）．函数f（x）的最小正周期T==；②由x∈[]，可得2x+φ∈[φ，+φ]，根据函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，可得解得：∴φ=；故答案为：π，①根据周期公式T=，可得答案；②根据x∈[]，求解内层函数的范围，结合余弦函数的图象可得φ的值．本题考查了余弦函数的性质的应用，属于基础题14.答案：2 1解析：解：①由题意，可知：a1=8，，，，a5=3×a4+1=3×1+1=4，…∴数列{a n}：8，4，2，1，4，2，1，…即数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列．∵（2019-1）÷3=672 (2)∴a2019=2．②由①可知，a n为奇数的只有奇数1，∴p=1．本题第一题主要考查数列的奇偶问题，通过枚举法可发现数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列，即可得到a2019的值；第二题主要考查对题意的理解a n为奇数的只有奇数1，从而p=1．本题第一题主要考查周期数列的判定，第二题主要针对题意的理解．本题属基础题．15.答案：解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a，=，=，且f（）=0．解得：a=1．所以：f（x）=．（Ⅱ）由于：f（x）在区间[0，m]上是单调函数，故：①当函数为单调递增时，（k∈Z），解得：（k∈Z），所以：m，②当函数为单调递减时，（k∈Z），解得：，综上所述：m的最大值为．解析：（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换和函数的值求出函数的关系式．（Ⅱ）利用函数的关系式和函数的单调性的应用求出m的最大值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.答案：解：（Ⅰ）设该生该月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A，∵15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，∴该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率P（A）==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为，低于8500元的概率为，∴X～B（2，），P（X=0）=（）2=，P（X=1）==，P（X=2）==，P 0 1 2XE（X）=2×．（Ⅲ）．解析：（Ⅰ）求出15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，由此能求出该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率．（Ⅱ）推导出X～B（2，），由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅲ）．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，交线为AB，∴BC⊥平面ABB1A1，∵AA1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AA1．（Ⅱ）∵BC⊥平面ABB1A1，∠BAA1=60°，解：AB=AA1=2BC=2CD=2．∴以B为原点，在平面ABB1A1中，过B作BB1的垂线为x轴，BB1为y轴，BC为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，-1，0），B（0，0，0），A1（，1，0），D（，-，1），=（0，2，0），=（-，1，0），=（-，，1），设平面AA1D的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，），平面AA1B的法向量=（0，0，1），设二面角D-AA1-B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角D-AA1-B的余弦值为．（Ⅲ）假设在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，B1（0，2，0），C（0，0，1），设M（a，b，c），=λ，λ∈[0，1]．则=，∴（a-，b+，c-1）=（-），解得M（，，1-λ），∴=（，，-λ），∵CM∥平面DAA1，平面DAA1的法向量=（2，0，），∴=-=0，解得，∴在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，且=．解析：（Ⅰ）由AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，交线为AB，得BC⊥平面ABB1A1，由此能证明BC⊥AA1．解：（Ⅱ）以B为原点，在平面ABB1A1中，过B作BB1的垂线为x轴，BB1为y轴，BC 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-AA1-B的余弦值．（Ⅲ）设M（a，b，c），=λ，λ∈[0，1]．则=，求出=（，，-λ），平面DAA1的法向量=（2，0，），利用向量法能求出在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，且=．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与示法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=（x-2）e x，f′（x）=（x-1）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增；（Ⅱ）f′（x）=（x-1）（e x-ax），①当时，对任意的,都有e x-ax＞0恒成立，所以当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在x=1处取得极小值，符合题意；②当时，设g(x)=e x-ax，依然取，则g'(x)=e x-a，令g'(x)=0，得x=ln a,所以g(x)在（0，ln a）上单调递减，在（ln a，+∞）上单调递增，所以g(x)min=g(ln a)=a（1-ln a）,因为，所以g(x)min=a（1-ln a）≥0（当且仅当a=e时，等号成立，此时x=1）所以对任意的,都有e x-a≥0恒成立，所以当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在x=1处取得极小值，符合题意；综合①②可知，当a≤e时，x=1是函数f（x）的极小值点．解析：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于较难题．（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，分类讨论，根据函数的单调性证明即可．19.答案：解：（Ⅰ）抛物线C：y2=2px过点M（2，2），∴4=4p，即p=1，∴抛物线C的准线方程x=-=-，证明（Ⅱ）∵M（2，2），AB∥OM，∴k AB=k OM=1，设直线AB的方程为y=x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得y2-2y+2m=0，∴△=4-8m＞0，即m＜且m≠0，∴y1+y2=2，y1y2=2m，∵线段AB的中点为Q，∴y Q=（y1+y2）=1，∵直线OA的方程为y=•x=•x，①直线BM的方程为y-2=（x-2）=（x-2）=（x-2），②，由①②解得y===1，∴y p=1∴直线PQ的方程为y=1，故直线PQ与x轴平行解析：（Ⅰ）把点代入即可求出p的值，可得抛物线C的准线方程，（Ⅱ）由题意可设直线AB的方程为y=x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理定理可得y1+y2=2，即可求出点Q的纵坐标，在再分别求出直线OA，BM的方程，求出点P的纵坐标，即可证明本题考查了抛物线的方程，直线和抛物线的位置关系，韦达定理，直线方程，考查了运算求解能力，属于中档题20.答案：解：（1）依题意，|x1|=1，|x2|=2|x1=2，∴x1=±1，x2=±2，|∴集合S2中的所有元素为：（1，2），（1，-2），（-1，2），（-1，-2）共四个元素．（2）证明：①充分性，当a i=b i时，显然a i=b i成立．②必要性，依题意，，其中p i∈{-1，1}，所以a i=，其中p i∈{-1，1}，下面证明的符号与最后一项的符号相同．且不为0．当p n=1时，=+2n-1=2n-1-=2n-1-=1＞0，即当p n=1时，＞0，当p n=-1时，=-2n-1≤-2n-1=-2n-1=-1＜0，即当p n=-1时，＜0．a i=b i成立时，假设a i≠b i，且他们有k项不相同（k≥1，k∈N），则a i-b i为这k项的二倍的和或差，将这k项按绝对值从小到大排列起来，分别记作p1c1，p2c2，……，p k c k，p i∈{-1，1}，则a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k，设绝对值最大项c k=，若p k=1，a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k≥+2m＞0，若p k=-1，a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k≤-2m＜0，这与a i=b i矛盾，故假设错误，即当a i=b i时，有a i=b i（i=1，2，3，…n），充分性成立．综上“a i=b i”的充要条件是“a i=b i（i=1，2，3，…n）．（3）T n={x i|（x1，x2，..x n）∈S n}，故T n可以记作：T n=，p i∈{-1，1}，由（2）知，要使T n取正值，需要最后一项系数p n=1，而前n-1项的系数可以任意选取，则前n-1项的系数取-1的有=2n-1项，前n-1项的系数取1的也有=2n-1项，且它们相加为0．故T n所有正数之和为2n-1个2n相加，故T n所有正数之和为2n-1×2n=22n-1．解析：（1）根据题意，直接列出即可（2）利用以a i=不为零这个特性，结合反证法可以证明．（3）根据计数原理，T n为正时，最后一项的系数必为正数，再看前n-1项的情况，数出个数相加即可．本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
北京市丰台区2020届高三下学期一模考试数学试题 Word版含答案
丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）2020丰台一模 高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ，（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆 22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1；（ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =-πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此π33sin()()322C -∈-,. 于是33sin 3cos (,)22B C -∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. XP1445491990130…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx -.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分 20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-. 所以22022(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分21．（本小题共14分） 解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1. …………4分（Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==. 于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===. 依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L . 所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==. 于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==. 依次类推可得121b b ==. 所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1. …………8分（ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===. 若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===， 则111k k k c c c -+===.11 又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K . 由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K . 于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n nS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时， 当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京市丰台区2020届高三数学一模试题(word版含答案)
北京市丰台区2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ， （点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此πsin()(322C -∈-,.于是sin ()22B C ∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-.所以220202(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分 21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1.…………4分 （Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L .所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.依次类推可得121b b ==.所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1.…………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===.若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K .由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K .于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =， 此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,， 于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233nnS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时， 当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意. 此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分。
2020年丰台高三一模数学试题及答案
为3. 37
…………4 分
（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人，由表可知：A，B，C 三个社区负责现场值班值守
的概率分别为 3 ，1 ，1 . 10 3 3
X 的所有可能取值为 0，1，2，3.
ak 1，(k ak 1
1,2,K
,n) ，规定 a0 an ,an1 a1 .
（Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：
1 1，2，3，4，5； 2 1，−1，1，−1，1.
（Ⅱ）已知数列 B 的“伴生数列” C ： c1,c2,L ,ck ,L ,cn ，且满足 bk ck 1(k 1,2,K ,n) . （i）若数列 B 中存在相邻两项为 1，求证：数列 B 中的每一项均为 1； （ⅱ）求数列 C 所有项的和.
，此时 x
．
x 1
13. 已知平面 和三条不同的直线 m，n，l .给出下列六个论断：① m ；② m‖ ；③ m‖l ；
④ n ； ⑤ n‖ ； ⑥ n‖l . 以 其 中 两 个 论 断 作 为 条 件 ， 使 得 m‖ n 成 立 . 这 两 个 论 断 可 以
是
．（填上你认为正确的一组序号）
（Ⅰ）当 b 2 时，求 a ；
（Ⅱ）求 sin B 3 cos C 的取值范围.
17.（本小题共 14 分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 M ABCD 中， AB‖CD ， ADC BM C 90 ，
M B M C ， AD DC 1 AB 2 ，平面 BCM 平面 ABCD . 2
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丰台区 2019~2020 学年度第二学期综合练习（一）
高三数学 参考答案及评分参考
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
2023北京丰台高三一模数学+答案解析(附后)
2023北京丰台高三一模数学1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 设，且，则( )A. B. C.D.3. 已知圆与y 轴相切，则( )A. B. C. 2D. 34. 已知是定义在R 上的奇函数，当时，，则( )A.B. 0C. 1D. 25. 在平面直角坐标系xOy 中，若角以x 轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，则的一个可能取值为( )A. B.C.D.6. 在中，若，则该三角形的形状一定是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7.设无穷等差数列的前n 项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知抛物线的顶点是坐标原点O ，焦点为F ，A 是抛物线C 上的一点，点A 到x 轴的距离为过点A 向抛物线C 的准线作垂线、垂足为若四边形ABOF为等腰梯形，则p 的值为( )A. 1B. C. 2 D.9. 已知函数的定义域为R ，存在常数，使得对任意，都有，当时，若在区间上单调递减，则t 的最小值为( )A. 3B.C. 2D.10. 如图，在直三棱柱中，，，，，点D 在棱AC 上，点E 在棱上，给出下列三个结论：①三棱锥的体积的最大值为；②的最小值为；③点D到直线的距离的最小值为其中所有正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 若复数是纯虚数，则________.12.已知正方形ABCD的边长为2，则________.13. 从，，1，2，3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件A，“两数均为负数为事件则________.14. 设函数若存在最小值，则a的一个取值为_______；a的最大值为________.15. 三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家约前后借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则①双曲线H的离心率为________；②若，，CE交AB于点P，则________.16. 已知函数的部分图象如图所示．求的解析式；若函数，求在区间上的最大值和最小值．17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，，点E是棱PA的中点，连接OE，求证：平面PCD；若平面PAC 与平面PCD 的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP 的长．条件①：平面平面ABCD ；条件②：注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18. 交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI 越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI 的公式为：，并按TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI 不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP 1的统计数据如下图：从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数记为X ，求X 的分布列及数学期望；把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI 依次记为，将2022年同期TPI 依次记为，记，请直接写出取得最大值时i 的值．19. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为求椭圆E 的方程；过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线点B ，C在直线l的两侧垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．20. 已知函数求函数的极值；若函数有两个不相等的零点，求a的取值范围；证明：21. 已知集合，对于集合的非空子集若中存在三个互不相同的元素a，b，c，使得，，均属于A，则称集合A是集合的“期待子集”．试判断集合，是否为集合的“期待子集”；直接写出答案，不必说明理由如果一个集合中含有三个元素x，y，z，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质对于集合的非空子集A，证明：集合A是集合的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P；若的任意含有m个元素的子集都是集合的“期待子集”，求m的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】略2.【答案】D【解析】略3.【答案】C【解析】略4.【答案】A【解析】略5.【答案】B【解析】略6.【答案】A【解析】略7.【答案】A【解析】略8.【答案】C【解析】略9.【答案】B【解析】略10.【答案】C【解析】略11.【答案】【解析】略12.【答案】4【解析】略13.【答案】【解析】略14.【答案】0；1【解析】略15.【答案】2；【解析】略16.【答案】解：如图所示，可得，所以，又因为，所以，又因为过点，，所以，所以依题意因为，所以，所以，当，即时取最大值，最大值为，当，即时，取最小值，最小值为【解析】略17.【答案】解：证明：因为底面ABCD是菱形，所以O是AC的中点，因为E是PA的中点，所以，因为平面PCD，平面PCD所以平面选择条件①因为，O是BD的中点，所以，因为平面平面ABCD，平面平面，平面PBD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以，又，所以OB，OC，OP两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，因为菱形的边长为2，，所以，，所以，，设，所以，，设为平面PCD的一个法向量，由得所以取，则，所以，因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为，因为平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值，所以，即，所以，即，因为，所以所以线段OP的长为选择条件②因为在菱形ABCD中，，因为平面PBD，平面PBD，，所以平面PBD，因为平面PBD，所以，因为，所以OB，OC，OP两两垂直.以下同条件②【解析】略18.【答案】解：年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”有2天.设事件“从2022年元旦及前后共7天中任取1天，这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为‘拥堵'”，则的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P【解析】略19.【答案】解：由已知得：，因为，所以，所以，椭圆E的方程为：由已知得：直线BC的斜率存在，且点B，C在x轴的同侧.设直线BC的方程：，点，，不妨设则，由得：，所以，，，因为，，所以，要使，，总成等比数列，则应由解得：所以，存在常数，使得，，总成等比数列.【解析】略20.【答案】解：，，当时，由得，，x，，的变化情况如下表：x-0+单调递减极小值单调递增所以的极小值为有两个零点的必要条件是，即0;当时，，，，所以在区间上有且仅有一个零点，又因为时，，所以在区间上有且仅有一个零点，所以有两个零点时，a的取值范围是，不妨设，可知，即，所以，等价于，因为，所以等价于，即2，令2，因为，所以，，所以在区间上单调递增，所以，所以【解析】略21.【答案】解：集合是集合的“期待子集”，集合不是集合的“期待子集”.先证明必要性：当集合A是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的a，b，，使，，，不妨设，则，，;则，即条件P中的①成立；又，所以，即条件P中的②成立;因为，所以是偶数，即条件P中的③成立.所以集合A满足条件再证明充分性：当集合A满足条件P时，有，y，，满足①，②③为偶数，记，，，由③得：a，b，，由①得：，得：，所以a，b，，因为，，，所以，，均属于A，即集合A是集合的“期待子集”.的最小值为理由如下：一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由知，M不是的“期待子集”;当时，对于集合从中任取三个不同元素，若不含有2，则不满足条件P中的③若三个元素中含有2，则另两数必都是奇数，因为任意两个奇数之差都不小于2，故不满足条件P中的②，所以M 不是的“期待子集”;所以另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”：当时，对于集合的任意含有6个元素的子集，记为B，当4，6，8三个数中恰有1个属于B时，则，因为数组3，4，5、3，5，6、5，7，8都满足条件P，所以此时集合B是集合的“期待子集”;当4，6，8三个数恰有两个属于集合B，则3，5，7中至少有两个属于集合B，因为数组3，4，5、3，5，6、3，6，7、3，7，8、5，6，7、5，7，8都满足条件P，当4，6，8三个数都属于集合B，因为数组4，6，8满足条件P，所以此时集合B集合的“期待子集”;所以集合B必是集合的“期待子集”;所以当时，的任意含有6个元素的子集都是集合的“期待子集”.假设当时，结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集C，分成两类：①若，，至多有1个属于C，则C中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立;②若，，则集合C中恰含的个元素，此时，当C中只有一个奇数时，则集合C中包含中的所有偶数，此时数组，，2k符合条件P，结论成立;当集合C中至少有两个奇数时，则必有一个奇数c不小于3，此时数组c，，2k符合条件P，结论成立;所以时，结论成立根据知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，所以m的最小值为【解析】略。
丰台区2024届高三一模数学试题答案
北京市丰台区2023～2024学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案第一部分（选择题 共40分）题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ACBADCDABD第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）12i55−+（12）42 （13）3（14）1−，()||1f x x =−（答案不唯一）（15）②③注：（15）题给出的结论中有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或错选得0分，其他得3分．三、解答题共6小题，共85分。
（16）（本小题14分）解：（Ⅰ）证明：连接1BC ，设11BC B C E =，连接DE ，在三角形1ABC 中，D 、E 分别为AB 、1BC 的中点，所以1AC ∥DE ． 因为1AC ⊄平面1B CD ，DE ⊂平面1B CD ，所以1AC ∥平面1B CD ．…………………4分（Ⅱ）选择条件①：1BC AC ⊥在直三棱柱111ABC A B C −中，1CC ⊥底面ABC ，zyxEDBACA 1C 1B 1所以1CC CA ⊥，1CC CB ⊥， 因为1BC AC ⊥，111CC AC C =，所以BC ⊥面11ACC A ，所以BC AC ⊥．如图建立空间直角坐标系C xyz −，因为12CA CB CC ===， 所以1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2)C A B B ． 因为D 为AB 中点，所以(1,1,0)D ． 易知(1,0,0)=m 是平面1BCB 的法向量． 在平面1CDB 内，1(1,1,0),(0,2,2)CD CB ==． 设(,,)x y z =n 是平面1CDB 的法向量， 因为CD ⊥n ，1CB ⊥n ， 所以0CD ⋅=n ，10CB ⋅=n ，即0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1,1y z =−=，所以(1,1,1)=−n ．因为cos ,⋅<>===m n m n m n ， 因为二面角1B B C D −−为锐二面角，所以二面角1B B C D −−．选择条件②：1B D =在直三棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥底面ABC ， 所以1BB AB ⊥．因为2221111,2,BB BD B D BB B D +===所以BD =因为D 为AB中点，所以AB = 所以222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥．因为1CC ⊥底面ABC ，故可如图建立空间直角坐标系C xyz −． 以下同解法1．………………14分（17）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为2ω=，所以211()cos sin 633322f ππππ=−+=．………………4分（Ⅱ）21()cos sin 2f x x x x ωωω=−+1cos21222sin(2)6x x x ωωω−=−+π=+因为()f x 在区间[,]62ππ上单调递减，所以2263T πππ≥−=，即3T ω2π2π=≥， 所以03ω<≤．因为()012f π−=， 所以()sin()01266f ωπππ−=−+=，即16()k k ω=+∈Z ， 所以1ω=． ………………14分（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件C =“被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm 2”，则8612()101025P C ． ………………4分（Ⅱ）X 的可能取值为1,2,3.2124361(1)5C C P X C ， 1224363(2)5C C P X C ， 34361(3)5C P X C ，X1311232555EX．………………11分 （Ⅲ）12DD ．………………13分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意得22216,2.c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2212,4.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆E 的方程为221124x y +=． ………………5分（Ⅱ）若存在定点D ，使得12DM PQ =，等价于以PQ 为直径的圆恒过定点D ． 当直线l 的斜率不存在时，PQ 为直径的圆的方程为224x y +=①， 当直线l 的斜率为0时，令1y =，得3x =±，因此PQ 为直径的圆的方程为()2219x y +−=②．联立①②得0,2,x y =⎧⎨=−⎩猜测点D 的坐标为()0,2−．设直线l 的方程为1y kx =+，由221,1,124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2231690k x kx ++−=．设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122269,3131k x x x x k k +=−=−++． 所以()()1122,2,2DP DQ x y x y ⋅=+⋅+()()()()()()()121212122121222222331399613931310x x y y x x kx kx k x x k x x k k k k k =+++=+++=++++⎛⎫⎛⎫=+−+−+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=．综上，存在定点D ()0,2−，使得12DM PQ =． ………………14分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(1,)−+∞，当00x =时，0()(0)1f x f ==；1'()e 11x f x x =+−+，0'()'(0)1f x f ==； 故切线l 的方程为1y x =+．………………5分（Ⅱ）()()()e ln(1)(1)e ln(1)21xxh x f x g x x x x x x =−=++−−+=++−−，1(1)e 21'()e 211x xx x h x x x +−−=+−=++．解法1：令()(1)e 21x m x x x =+−−，则'()(2)e 2xm x x =+−．当(1,0)x ∈−时，2(1,2)x +∈，e (0,1)x ∈，故(2)e 212xx +<⨯=，'()0m x <， 因此，当(1,0)x ∈−时，()m x 单调递减，()(0)0m x m >=；当(0,)x ∈+∞时，22x +>，e 1x >，故(2)e 212xx +>⨯=，'()0m x >， 因此，当(0,)x ∈+∞时，()m x 单调递增，()(0)0m x m >=； 综上，()0m x ≥恒成立，也就是'()0h x ≥恒成立， 所以()h x 在(1,)−+∞上单调递增．又因为(0)0h =，故函数()h x 有唯一零点0x =．且当(1,0)x ∈−时，()0h x <；当(0,)x ∈+∞时，()0h x >； 因此当(1,0)x ∈−时，()0xh x >；当(0,)x ∈+∞时，()0xh x >； 故()0xh x ≥； 解法2：1'()e 21xh x x =+−+， 令1()e 21xg x x =+−+，则21'()e (1)x g x x =−+． 当(1,0)x ∈−时，1(0,1)x +∈，211(1)x >+，e 1x <，故'()0g x <， 因此，当(1,0)x ∈−时，()g x 单调递减，()(0)0g x g >=； 当(0,)x ∈+∞时，11x +>，211(1)x <+，e 1x>，故'()0g x >， 因此，当(0,)x ∈+∞时，()g x 单调递增，()(0)0g x g >=； 综上，()0g x ≥恒成立，也就是'()0h x ≥恒成立， 以下同解法1． ………………13分 （Ⅲ）2．………………15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）解：8,5,4,3x y z w ==== ．………………4分（Ⅱ）证明：当集合n M 为“好集合”时，设1212n n aa a Tb b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是n M 的一个“好数阵”，构造数阵：1212212121212121n n n b n b n b n a n a n a +−+−+−⎡⎤⎢⎥+−+−+−⎣⎦，记为T ．因为T 是“好数阵”，所以当1,2,,k n =时，(21),(21)k n k n n b M n a M +−∈+−∈，且{}{}121221,21,,2121,21,,21n n n n b n b n b n a n a n a M +−+−+−⋃+−+−+−=．因为(21)(21)(1,2,,)k k k k n b n a a b k k n +−−+−=−==，所以1212212121212121n n n b n b n b T n a n a n a +−+−+−⎡⎤=⎢⎥+−+−+−⎣⎦也是n M 的一个“好数阵”，一方面，因为(21)(21),(21)(21)(1,2,,)k k k k n n a a n n b b k n +−+−=+−+−==，所以T T =.另一方面，假设2221n b a +−=，因为222,a b −=所以22212n b b +−=+， 所以2212n b −=，与2n b M ∈矛盾，所以T T ≠， 故集合n M 的“好数阵”必有偶数个； ………………9分（Ⅲ）假设1212n n aa a Tb b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是集合n M 的一个“好数阵” 由题意得：2111nnni i i i i a b i ===+=∑∑∑，111nnni i i i i a b i ===−=∑∑∑，相加得：2111(12)2(1)(53)2222nnni i i i n n n n n n a i i ===+⨯+⨯+=+=+=∑∑∑， 即1(53)4ni i n n a =+=∑ 当6n =时，616339942i i a =⨯==∑，与61*i i a N =∈∑矛盾；所以6M 不是“好集合”. 当5n =时，51528354i i a =⨯==∑，若{}123455,,,,a a a a a ∈， 因为{}1234510,,,,a a a a a ∈，{}123451,,,,a a a a a ∉，所以{}12345,,,,a a a a a 只有以下两种可能：{}10,5,9,8,3和{}10,5,9,7,4（1）若{}{}12345,,,,10,5,9,8,3a a a a a =，则{}{}12345,,,,1,2,4,6,7b b b b b =，使5k k a b −=的只有94−，使4k k a b −=的有两种可能：514,1064−=−=或情形一：514−=时，只有1073,862,321−=−=−=，可得138105926714T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 情形二：1064−=时，只有523,312,871−=−=−=，可得283510971264T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）若{}{}12345,,,,10,5,9,7,4a a a a a =，则{}{}12345,,,,1,2,3,6,8b b b b b =，使5k k a b −=的只有72−，使4k k a b −=的有两种可能：514,1064−=−=或情形一：514−=时，只有963,1082,431−=−=−=，可得341095738612T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 情形二：1064−=时，只有413,532,981−=−=−=，可得495410783162T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦综上，6M 不是“好集合”；5M 是“好集合”，且满足{}123455,,,,a a a a a ∈的好数阵有四个：138105926714T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，283510971264T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，341095738612T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 495410783162T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.………………15分。
北京市丰台区2020届高三数学一模试题(含解析)
北京市丰台区2020届高三一模数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合{}12A x x =∈-<<Z ，{}220B x x x =-=，则A B =（ ）A. {}0B. {}0,1C. {}0,1,2D.1,0,1,2【答案】C化简集合，再求并集即可. 【详解】{0,1},{0,2}A B =={0,1,2}A B ∴=故选：C【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.2.已知向量(),2a x =，()2,1b =-，满足//a b ，则x =（ ） A. 1 B. 1-C. 4D. 4-【答案】D由向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】向量(),2a x =，()2,1b =-，//a b ，2(2)4x ∴=⨯-=-故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数，属于基础题. 3.若复数z 满足1zi i=+，则z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】利用复数的四则运算化简复数z ，确定对应复平面的点，即可得出答案. 【详解】(1)1z i i i =+=-+，其对应复平面的点为(1,1)-，在第二象限 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题. 4.圆()2212x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（ ）A. 2B.C. 1D.2【答案】B由圆的方程得出圆心坐标，利用点到直线的距离公式得出答案. 【详解】圆()2212x y -+=的圆心坐标为(1,0)则圆心(1,0)到直线10x y ++=的距离d ==故选：B【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，属于中档题. 5.已知132a =，123b =，31log 2c =，则（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D.b c a >>【答案】C利用对数函数和幂函数的单调性求解即可.【详解】66121342372⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0a b ∴<<331log log 021c =<= b a c ∴>>故选：C【点睛】本题主要考查了利用对数函数和幂函数的单调性比较大小，属于中档题. 6.“ x >1”是“1x<1”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A先解分式不等式可得：11x<等价于1x >或0x <，再由“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件，即可得解. 【详解】解：因为11x<等价于10x x ->等价于1x >或0x <， 又“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件， 即“ x >1”是“1x<1”的充分而不必要条件， 故选A.【点睛】本题考查了分式不等式的解法及充分必要条件，属基础题.7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于3的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C根据三视图得出该几何体的直观图，根据三角形的面积公式，即可得出结论. 【详解】该几何体对应直观图如下图所示12332ABCS=⨯=12332ABDS =⨯= 222(3)7AC =+=，22(3)7AD =+=12332BCDS∴=⨯=2212(7)162ACD S ∆=⨯-=33个 故选：C【点睛】本题主要考查了根据三视图求直观图的面积，属于中档题.8.过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60︒的直线与抛物线C 交于两个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则AFBF的值为（ ）A.13B.43C.3 D. 3【答案】D根据几何关系以及抛物线的定义得出2AF p =，由直角三角形的边角关系得出A y ，再由直线AB 和抛物线的方程联立，结合韦达定理得出B y ，结合BFQ AFN ∆∆，对应边成比例，即可得出答案.【详解】设(,),(,)A A B B A x y B x y ，过点A 分别作准线和x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作x 轴的垂线，垂足于点Q ，直线AB 与准线交于点D ，准线与x 轴交于点E 直线AB 的倾斜角为60︒，30MDA ︒∴∠=，即2AD AM = 由抛物线的定义知，AM AF =，则2AD AF =，即点F 为AD 中点由于//AM EF ，则22AM EF p ==，即2AF p =，则2sin603A y p =︒= 设直线AB 的方程为32p y x ⎫=-⎪⎭，即32p x y ⎫=+⎪⎪⎝⎭ 并代入22y px =中，得：22230p y y p -=，即2A B y y p =-，则233B p y p -== 由于BFQ AFN ∆∆，则||33||3A B y AF BF y p===-故选：D【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，属于中档题. 9.将函数()sin f x x ω=（0>ω）的图象向左平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =，下列说法错误．．的是（ ） A. ()g x 为偶函数 B. 02g π-=⎛⎫⎪⎝⎭C. 当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点D. 若()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为9 【答案】D由平移变换和两角和的正弦公式化简得出函数()g x 的解析式，利用定义得出奇偶性，进而判断A 选项；将2x π=-代入函数()g x 的解析式，即可判断B 选项；由余弦函数的性质判断C ，D.【详解】由题意得()sin 2g x x πωω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由(0)sin12g πω==，得出cos02πω=则()sin sin coscos sincos 222g x x x x x ππωπωωωωωω⎛⎫=+=⋅+⋅= ⎪⎝⎭对A 项，函数()g x 的定义域为R ，()cos()cos ()g x x x g x ωω-=-==，则函数()g x 为偶函数对B 项，cos cos 0222g πππωω⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对C 项，当5ω=时，()cos5g x x =，由5,2x k k Z ππ=+∈得：,105k x k Z ππ=+∈ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，x 可以取3,,10102πππ，即当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点对D 项，由22,k x k k Z πωππ≤+∈，解得22,,k k x k Z πππωωω⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦ 则函数()g x 在区间0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 因为()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以5ππω≤，解得05ω<≤即ω的最大值为5 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换求解析式，余弦函数性质的应用，在求余弦型函数的单调性时，利用整体法将余弦型函数的单调性化归为余弦函数的单调性来处理问题，属于中档题.10.已知函数()e 1,0,,0.x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k的取值范围是（ ） A. (),1-∞- B. (],1-∞-C.1,0D. [)1,0-【答案】A将方程的有解问题转化为函数图象的交点问题，利用导数，即可得出实数k 的取值范围. 【详解】不妨设00x >当0k ≥时，()00=e 10xf x ->，()000f x kx -=-≤，不存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则0k ≥不满足题意当k 0<时，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则方程00e 1xkx -=-有非零的正根，即函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点先考虑函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切的情形设切点为11(,)x y ，则11111e 1x x k e y kx y ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，整理得()111e 10xx -+=令()()1e 1,0xg x x x =-+≥，则()0e xg x x '=≥，即函数()g x 在[)0,+∞上单调递增则()(0)0g x g ≥=，所以方程()111e 10xx -+=的根只有一个，且10x =，即1k -=则函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切时，切点为原点所以要使得函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点，则1k ->，即1k <-所以实数k 的取值范围是(),1-∞- 故选：A【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，导数研究方程的根，属于中档题.第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =-，则5S =______. 【答案】25由等差数列的求和公式求解即可.【详解】()15555(19)2522a a S ++===故答案为：25【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题. 12.若1x >，则函数()11f x x x =+-的最小值为______，此时x =______. 【答案】 (1). 3 (2). 2将()11f x x x =+-化为1()111f x x x =-++-，再由基本不等式求解即可. 【详解】1()112(1)131f x x x x =-++-=- 当且仅当111x x -=-，即2x =时，取等号 即函数()11f x x x =+-的最小值为3，此时2x = 故答案为：3；2【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.13.已知平面α和三条不同的直线m ，n ，l .给出下列六个论断：①m α⊥；②//m α；③//m l ；④n α⊥；⑤//n α；⑥//n l .以其中两个论断作为条件，使得//m n 成立.这两个论断可以是______.（填上你认为正确的一组序号） 【答案】①④（或③⑥）根据空间中直线，平面的位置关系进行判断即可.【详解】对①④，由线面垂直的性质定理可知，若m α⊥，n α⊥，则//m n ，故可填①④ 对①⑤，若m α⊥，//n α，则m n ⊥；对①⑥，若m α⊥，//n l ，则无法判断,m n 的位置关系； 对②④，若//m α，n α⊥，则m n ⊥；对②⑤，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，平行或异面； 对②⑥，若//m α，//n l ，则无法判断,m n位置关系；对③④，若//m l ，n α⊥，则无法判断,m n 的位置关系； 对③⑤，若//m l ，//n α，则无法判断,m n 的位置关系；对③⑥，由平行的传递性可知，若//n l ，//m l ，则//m n ，故可填③⑥ 故答案为：①④（或③⑥）【点睛】本题主要考查了判断空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题. 14.如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换.有下列3种变换：①对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ②对任意z C ∈，变换：求z 的共轭复数；③对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k ，b 均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是______. 【答案】①②由集合的运算性质，复数的性质结合题意，进行判断即可. 【详解】对①，集合A 的补集为集合RA ，集合RA 的补集为集合A ，故①为“回归”变换对②，设z a bi =+，,a b ∈R ，复数z 的共轭复数为z a bi =-，复数z 的共轭复数为()a b i a bi z --=+=，故②为“回归”变换对③，当0x =时，00k b b →⨯+=，b kb b →+，由于k ，b 均为非零实数，则kb b +不一定为0，则③不是“回归”变换 故答案为：①②【点睛】本题主要考查了集合的运算以及共轭复数的定义，属于中档题.15.已知双曲线M ：2213y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直线.若椭圆N ：22221x y a b+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______.由双曲线渐近线的斜率得出60AOB ∠=︒，进而得出点A 的坐标，根据题意得出椭圆N 的半焦距，再由椭圆的定义，即可得出a 的值.【详解】因为OA 为双曲线2213y x -=的渐近线，所以OA k =60AOB ∠=︒所以sin 602AD AO ︒==，1cos602OD AO ︒=⋅=，则1,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭因为21OB OD ==，所以椭圆N 的半焦距1c = 设椭圆N 的左焦点为1F ，则1(1,0)F -，连接1AF 由椭圆的定义可得12AF AB a +=即22 221313101022222a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+-+-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得31a+=故答案为：312+【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质以及椭圆的基本性质，其中利用定义求a是解题的关键，属于中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4c=，3Aπ=.（1）当2b=时，求a；（2）求sin3B C的取值范围.【答案】（1）3a=2）33sin3,22B C∈-⎛⎫⎪⎪⎝⎭（1）由余弦定理，即可得出a 的值；（2）由23B Cπ=-，结合三角恒等变换得sin3B C sin3Cπ=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由C的范围确定3Cπ-的范围，最后由正弦函数的性质即可得出结论.【详解】解：（1）由余弦定理2222cosa b c bc A=+-，得22224224cos123aπ=+-⨯⨯⋅=.所以3a=（2）由3A π=可知，23B C π+=，即23B C π=-. 2sin 3cos sin 3cos 3B C C C π-=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin 3cos 22C C C =+- 13sin cos 22C C =-sin 3C π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为23B C π+=，所以20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故,333C πππ-∈-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因此33sin ,322C π-∈-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是33sin 3cos ,22B C -∈-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用以及与三角函数性质结合的应用，属于中档题. 17.如图，在四棱锥M ABCD -中，//AB CD ，90ADC BM C ∠=∠=，M B M C =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（1）求证：//CD 平面ABM ； （2）求证：AC ⊥平面BCM ；（3）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π？若存在，求出AEAM 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；23AE AM=（1）由线面平行判定定理证明即可；（2）由勾股定理得出2BC =，进而得AC BC ⊥，再由面面垂直的性质定理即可证明AC ⊥平面BCM ；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】证明：（1）因为AB CD ∥，AB 平面ABM ，CD ⊄平面ABM ，所以CD ∥平面ABM .（2）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中， 易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥.在Rt CNB △中，由勾股定理得2BC =. 在ACB △中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM .（3）取BC 的中点O ，连接OM ，ON . 所以ON AC ∥， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =，所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1M ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()2,1,0A -，()2,1,1AM =-，()0,2,0BC =-，()2,2,0BA =-.易知平面BCM 的一个法向量为()1,0,0m =.假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π. 不妨设AE AM λ=（01λ≤≤）， 所以()22,2,BE BA AE λλλ=+=--， 设(),,n x y z =为平面BCE 的一个法向量，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()20,220,y x z λλ-=⎧⎨-+=⎩ 令x λ=，22z λ=-，所以(),0,22n λλ=-.从而2cos ,2m n m nm n ⋅==⋅.解得23λ=或2λ=. 因为01λ≤≤，所以23λ=. 由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π， 此时23AE AM=.【点睛】本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题. 18.在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（1）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率；（2）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（3）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=，1B ξ=，1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=，0B ξ=，0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）【答案】（1）337（2）详见解析（3）()()()A C B D D D ξξξ>> （1）利用古典概型概率公式求解即可；（2）先求出A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率，得出X 的所有可能取值，并计算出相应的概率，即可得出分布列； （3）根据方差的意义进行判断即可.【详解】解：（1）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，()30310012015037P D ==++.所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. （2）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为310，13，13. X 的所有可能取值为0，1，2，3.()7222814010339045P X ==⨯⨯==，()3227127214041103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==， ()31232171119210331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， ()31131310339030P X ==⨯⨯==. X 的分布列为：（3）()()()A C B D D D ξξξ>>【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列，属于中档题. 19.已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（2）当0a =时，求证：()0f x ≥； （3）若函数()f x 在区间1,上存在极值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a =（2）证明见解析（3）,0（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用导数得出函数()f x 的单调性，进而得出其最小值，即可证明()0f x ≥； （3）分类讨论a 的值，利用导数得出()f x 的单调性，结合题意，即可得出实数a 的取值范围.【详解】解：（1）因为()()ln 1f x a x x x =+-+， 所以()ln a f x xx '=+.由题知()e ln e 1eaf '=+=， 解得0a =.（2）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以()ln f x x '=. 当()0,1x ∈时，0f x ，()f x 在区间0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 在区间1,上单调递增；所以()10f =是()f x 在区间0,上的最小值.所以()0f x ≥.（3）由（1）知，()ln ln a x x af x xxx +'=+=.若0a ≥，则当()1,x ∈+∞时，0f x，()f x 在区间1,上单调递增，此时无极值.若0a <，令()()g x f x '=，则()21a g x x x '=-. 因为当()1,x ∈+∞时，0g x ，所以()g x 在1,上单调递增.因为()10g a =<， 而()()eee 10aaa g a a a -=-+=->，所以存在()01,eax -∈，使得()00g x =.fx 和()f x 的情况如下：x因此，当0x x =时，()f x 有极小值()0f x . 综上，a 的取值范围是(,0)-∞.【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式，导数几何意义的应用等，属于中档题.20.已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>）的离心率为2，点1,0P 在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A ，B. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212y x +=（2）存在；点()Q【解析】（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，求解即可； （2）假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=，根据几何关系得出tan tan OQN OMQ ∠=∠，进而得到2OQ ON OM =，设出直线PA ，PB 的方程，得出,M N 的纵坐标，进而得到22201y m x =-，结合()220021y x =-，解出m 的值，求出点Q 的坐标.【详解】解：（1）由题意222211b ca abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，21b =.所以椭圆C 的方程为2212y x +=.（2）假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(),0Q m因为2OQN OQM π∠+∠=，所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQ OM=，所以2OQ ON OM =. 因为直线0y y =交椭圆C 于A ，B 两点，则A ，B 两点关于y 轴对称. 设()00,A x y ，()00,B x y -（01x ≠±）， 因为1,0P ，则直线PA 的方程为：()0011y y x x =--. 令0x =，得001M y y x -=-. 直线PB 的方程为：()0011y y x x -=-+.令0x =，得001M y y x =+. 因为2OQ ON OM =，所以22201y m x =-. 又因为点()00,A x y 在椭圆C 上，所以()220021y x =-.所以()20222121x m x-==-.即m =.所以存在点()Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立.【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及椭圆中存在定点满足条件的问题，属于中档题. 21.已知有穷数列A ：12,,,,,k n a a a a （*n ∈N 且3n ≥）.定义数列A 的“伴生数列”B ：12,,,,,k n b b b b ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠⎧=⎨=⎩，，（1,2,,k n =），规定0n a a =，11n a a +=.（1）写出下列数列的“伴生数列”： ①1，2，3，4，5； ②1，1-，1，1-，1.（2）已知数列B 的“伴生数列”C ：1c ，2c ，…，k c ，…，n c ，且满足1k k b c =+（1k =，2，…，n ）.（i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.【答案】（1）①1，1，1，1，1②1，0，0，0，1（2）（i ）证明见解析（ⅱ）所有项的和0S =或23n S =（n 是3的倍数）【解析】（1）根据“伴生数列”的定义求解即可； （2）（i ）设存在{}1,2,,1k n =-，使得11k k b b +==，讨论1k =和21k n ≤≤-，结合“伴生数列”的定义证明即可；（ⅱ）利用反证法得出不可能存在110k k k b b b -+===，{}2,,1k n ∈-，再对数列{}n b 的前三项1b ，2b ，3b 的值进行讨论，当1231b b b ===时，得出所有项的和0S =；当11b =，20b =，31b =时，得出220b c +=与已知矛盾；当11b =，20b =，30b =时，结合“伴生数列”的定义得出所有项的和23n S =，同理可以得出当10b =，21b =，30b =及10b =，20b =，31b =时，所有项的和23n S =.【详解】解：（1）①1，1，1，1，1； ②1，0，0，0，1.（2）（i ）由题意，存在{}1,2,,1k n =-，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==. 于是21n b b ==，131b b ==.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===. 依次类推可得11k k b b +==（2k =，3，…，1n -）. 所以1k b =（1k =，2，…，n ）.若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==. 于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==. 依次类推可得121b b ==. 所以1k b =（1k =，2，…，n ）. 综上可知，数列B 中的每一项均为1. （ⅱ）首先证明不可能存在{}2,,1k n ∈-使得110k k k b b b -+===.若存在{}2,,1k n ∈-使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}2,,1k n ∈-.- 21 -由此及（ⅰ）得数列{}n b 的前三项1b ，2b ，3b 的可能情况如下：当1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =（1k =，2，…，n ）.于是0k c =（1k =，2，…，n ）0k c =.所以所有项的和0S =.当11b =，20b =，31b =时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.当11b =，20b =，30b =时，10c =，21c =，31c =.于是20n b b ==，241b b ≠=.故1n c =，40c =，530b b ==于是110n b b -≠=，51c =，60b =，于是14b b =，25b b =，36b b =，且21n b -=，10n b -=，0n b =.依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233nnS n =-=.同理可得10b =，21b =，30b =及10b =，20b =，31b =时，当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意. 此时所有项的和23nS =.综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.【点睛】本题主要考查了求数列的前n 项和，涉及了反证法的应用，考查学生逻辑推理和计算的能力，属于难题.。
最新2020年北京市丰台区中考数学一模试卷(4月份)含解析
绝密★启用前2020年北京市丰台区中考数学一模试卷（4月份）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用2B铅笔填涂一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．圆锥C．圆柱D．三棱柱2．（2分）为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（）A．116×106B．11.6×107C．1.16×107D．1.16×1083．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞b B．a＝b＞0C．ac＞0D．|a|＞|c|4．（2分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2分）如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A．6B．11C．12D．186．（2分）如果a+b＝2，那么代数（a﹣）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．﹣7．（2分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18°B．36°C．41°D．58°8．（2分）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示点A的坐标为（1，﹣1），表示点B的坐标为（3，2），则表示其他位置的点的坐标正确的是（）A．C（﹣1，0）B．D（﹣3，1）C．E（﹣2，﹣5）D．F（5，2）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是．10．（2分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C均在格点上，则∠BAC+∠BCA＝°．11．（2分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是．甲乙丙丁7887 s21 1.20.9 1.812．（2分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝°．13．（2分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为．14．（2分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣图象上的两点，若x1＜x2＜0，则y1与y2之间的关系是．15．（2分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F．若△BEF的面积为1，则△AED的面积为．16．（2分）完全相同的3个小球上面分别标有数﹣2、﹣1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是负数的概率是．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使PQ∥l．作法：如图2，①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A、B两点；②连接P A，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线PQ；所有直线PQ就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．（2）完成下面的证明：证明：连接PB、QB．∵P A＝QB，∴＝．∴∠PBA＝∠QPB（）（填推理的依据）．∴PQ∥l（）（填推理的依据）．18．（5分）计算：．19．（5分）解不等式组：20．（5分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB ＝，BD＝2，求OE的长．22．（6分）为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100成绩x学校甲41113102乙6315142（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：学校平均分中位数众数甲74.2n85乙73.57684根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是校的学生（填“甲”或“乙”），理由是；（3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与函数y＝（k≠0）的图象交于A，B 两点，且点A的坐标为（1，a）．（1）求k的值；（2）已知点P（m，0），过点P作平行于y轴的直线，交直线y＝x+2于点C，交函数y＝（k ≠0）的图象于点D．①当m＝2时，求线段CD的长；②若PC＞PD，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．24．（6分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O是BC的中点，到点O的距离等于BC的所有点组成的图形记为G，图形G与AB交于点D．（1）补全图形并求线段AD的长；（2）点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与图形G有且只有一个交点？请说明理由．25．（5分）如图，C是上的一定点，D是弦AB上的一定点，P是弦CB上的一动点，连接DP，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PD′，射线PD′与交于点Q．已知BC＝6cm，设P，C两点间的距离为xcm，P，D两点间的距离为y1cm，P，Q两点间的距离为y2cm．小石根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm 4.29 3.33 1.65 1.22 1.50 2.24y2/cm0.88 2.84 3.57 4.04 4.17 3.200.98（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数据所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ，当△DPQ为等腰三角形时，PC的长度约为cm．（结果保留一位小数）26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx ﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（7分）已知△ABC为等边三角形，点D是线段AB上一点（不与A、B重合）．将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE．连结DE、BE．（1）依题意补全图1并判断AD与BE的数量关系．（2）过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．用等式表示线段EB、DB与AF之间的数量关系并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足r，则称点P为⊙O的“随心点”．（1）当⊙O的半径r＝2时，A（3，0），B（0，4），C（﹣，2），D（，﹣）中，⊙O的“随心点”是；（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r＝2时，直线y＝﹣x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．圆锥C．圆柱D．三棱柱【解答】解：俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱，故选：D．2．（2分）为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（）A．116×106B．11.6×107C．1.16×107D．1.16×108【解答】解：将116000000用科学记数法表示应为1.16×108．故选：D．3．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞b B．a＝b＞0C．ac＞0D．|a|＞|c|【解答】解：根据数轴的性质可知：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|；所以a＞b，a＝b＞0，ac＞0错误；|a|＞|c|正确；故选：D．4．（2分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．5．（2分）如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A．6B．11C．12D．18【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷30°＝12，故选：C．6．（2分）如果a+b＝2，那么代数（a﹣）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【解答】解：∵a+b＝2，∴原式＝•＝a+b＝2故选：A．7．（2分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18°B．36°C．41°D．58°【解答】解：由图象可得，该函数的对称轴x＞且x＜54，∴36＜x＜54，故选：C．8．（2分）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示点A的坐标为（1，﹣1），表示点B的坐标为（3，2），则表示其他位置的点的坐标正确的是（）A．C（﹣1，0）B．D（﹣3，1）C．E（﹣2，﹣5）D．F（5，2）【解答】解：根据点A的坐标为（1，﹣1），表示点B的坐标为（3，2），可得：C（0，0），D（﹣3，1），E（﹣5，﹣2），F（5，﹣3），故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．10．（2分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C均在格点上，则∠BAC+∠BCA＝45°．【解答】解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D，则AD＝BD，∵∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠BAC+∠BCA＝∠ABD＝45°，故答案为：45．11．（2分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是丙．甲乙丙丁7887 s21 1.20.9 1.8【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．故答案为：丙．12．（2分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝40°．【解答】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB＝∠D＝40°．故答案为40．13．（2分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为．【解答】解：根据题意得：；故答案为：．14．（2分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣图象上的两点，若x1＜x2＜0，则y1与y2之间的关系是y2＞y1＞0．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣2＜0，∴函数图象的两个分支位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0，∴y2＞y1＞0．故答案为：y2＞y1＞0．15．（2分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F．若△BEF的面积为1，则△AED的面积为9．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OD，AD∥BC，∴△BEF∽△DEA，∴，∵E是OB的中点，∴，∴＝，∴＝，∵△BEF的面积为1，∴△AEB的面积为3，∵，∴＝，∴△AED的面积为9，故答案为：9．16．（2分）完全相同的3个小球上面分别标有数﹣2、﹣1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是负数的概率是．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知共有9种等可能结果，其中两次摸到的球上数之和是负数的有6种结果，所以两次摸到的球上数之和是负数的概率为＝，故答案为：．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使PQ∥l．作法：如图2，①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A、B两点；②连接P A，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线PQ；所有直线PQ就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．（2）完成下面的证明：证明：连接PB、QB．∵P A＝QB，∴＝．∴∠PBA＝∠QPB（等弧所对圆周角相等）（填推理的依据）．∴PQ∥l（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）．【解答】解：（1）如图所示：（2）证明：连接PB、QB．∵P A＝QB，∴＝．∴∠PBA＝∠QPB（等弧所对圆周角相等）．∴PQ∥l（内错角相等，两直线平行）．故答案为：，等弧所对圆周角相等，内错角相等，两直线平行．18．（5分）计算：．【解答】解：原式＝＝．19．（5分）解不等式组：【解答】解：解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥﹣，∴原不等式组的解集为﹣5≤x＜2．20．（5分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤；（2）由（1）可知a≤，∴a的最大整数值为4，此时方程为x2﹣3x+2＝0，解得x＝1或x＝2．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2．22．（6分）为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：成绩x50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100学校甲41113102乙6315142（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：学校平均分中位数众数甲74.2n85乙73.57684根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是甲校的学生（填“甲”或“乙”），理由是甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分，；（3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．【解答】解：（1）这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，所以中位数n＝＝72.5；（2）甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分，所以该学生在甲校排在前20名，在乙校排在后20名，而这名学生在所属学校排在前20名，说明这名学生是甲校的学生．故答案为：甲，甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分．（3）在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为14+2＝16．假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与函数y＝（k≠0）的图象交于A，B 两点，且点A的坐标为（1，a）．（1）求k的值；（2）已知点P（m，0），过点P作平行于y轴的直线，交直线y＝x+2于点C，交函数y＝（k ≠0）的图象于点D．①当m＝2时，求线段CD的长；②若PC＞PD，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝x+2上，∴a＝1+2＝3，∴点A的坐标为（1，3），代入函数y＝中，得∴k＝1×3＝3．（2）①当m＝2时，P（2，0）．∵直线y＝x+2，反比例函数的解析式为y＝．∴C（2，4），D（2，），∴CD＝4﹣＝．②如图，解得或，∴B（﹣3，﹣1），由图象可得：当m＜﹣3，或m＞1时，PC＞PD．24．（6分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O是BC的中点，到点O的距离等于BC的所有点组成的图形记为G，图形G与AB交于点D．（1）补全图形并求线段AD的长；（2）点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与图形G有且只有一个交点？请说明理由．【解答】解：（1）如图所示，在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5cm；连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°；∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴＝，∴AD＝＝；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD；∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD；∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°；∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切．25．（5分）如图，C是上的一定点，D是弦AB上的一定点，P是弦CB上的一动点，连接DP，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PD′，射线PD′与交于点Q．已知BC＝6cm，设P，C两点间的距离为xcm，P，D两点间的距离为y1cm，P，Q两点间的距离为y2cm．小石根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm 4.29 3.33 1.65 1.22 1.50 2.24y2/cm0.88 2.84 3.57 4.04 4.17 3.200.98（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数据所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ，当△DPQ为等腰三角形时，PC的长度约为 1.3或5.7cm．（结果保留一位小数）【解答】解：（1）观察图象发现规律可知：表格数据为：2.44；（2）如图所示：即为两个函数y1，y2的图象；（3）观察图象可知：两个图象的交点的横坐标即为△DPQ为等腰三角形时，PC的长度，两个交点的横坐标为1.3和5.7．故答案为：1.3或5.7．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx ﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将x＝5代入抛物线得y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．27．（7分）已知△ABC为等边三角形，点D是线段AB上一点（不与A、B重合）．将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE．连结DE、BE．（1）依题意补全图1并判断AD与BE的数量关系．（2）过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．用等式表示线段EB、DB与AF之间的数量关系并证明．【解答】解：（1）补全图形如图1所示，AD＝BE，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝60°，由旋转的性质得：∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）EB+DB＝AF；理由如下：由（1）得：△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD＝60°，∴∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBE＝60°，∵AF⊥EB，∴∠AFB＝90°，在Rt△ABF中，＝sin60°＝，∴AB＝AF＝AF，∵AD+DB＝AB，∴EB+DB＝AB，∴EB+DB＝AF．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足r，则称点P为⊙O的“随心点”．（1）当⊙O的半径r＝2时，A（3，0），B（0，4），C（﹣，2），D（，﹣）中，⊙O的“随心点”是A，C；（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r＝2时，直线y＝﹣x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．【解答】解：（1）∵⊙O的半径r＝2，∴＝3，＝1，∴1≤d≤3，∵A（3，0），∴OA＝3，在范围内∴点A是⊙O的“随心点”，∵B（0，4），∴OB＝4，而4＞3，不在范围内，∴B是不是⊙O的“随心点”，∵C（﹣，2），∴OC＝，在范围内，∴点C是⊙O的“随心点”，∵D（，﹣），∴OD＝＜1，不在范围内，∴点D不是⊙O的“随心点”，故答案为：A，C．（2）∵点E（4，3）是⊙O的“随心点”∴OE＝5，即d＝5若，∴r＝10，若＝5，∴，∴；（3）∵如图a∥b∥c∥d，⊙O的半径r＝2，随心点范围，∴1≤d≤3，∵直线MN的解析式为y＝x+b，∴OM＝ON，①点N在y轴正半轴时，当点M是⊙O的“随心点”，此时，点M（﹣1，0），将M（﹣1，0）代入直线MN的解析式y＝x+b中，解得，b＝1，即：b的最小值为1，过点O作OG⊥M'N'于G，当点G是⊙O的“随心点”时，此时OG＝3，在Rt△ON'G中，∠ON'G＝45°，∴GO＝3∴在Rt△GNN’中，NN'＝＝，b的最大值为3，∴1≤b≤3，②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出﹣3≤b≤﹣1．综上所述，b的取值范围是：1≤b≤3或﹣3≤b≤﹣1．。
北京市2020高三数学一模分类汇编4数列理
2020 北京市高三一模数学理分类汇编 4：数列【 2020 北京市丰台区一模理】 10．已知等比数列 { a n } 的首项为 1，若 4a 1, 2a 2 , a 3 ，成等差数列，则数列 { 1} 的前 5 项和为。
a n【答案】3116【 2020 北京市房山区一模理】 13. 设 f (x) 是定义在 R 上不为零的函数，对随意 x, y R ，都有 f ( x) f ( y)f ( x y) ，若 a 11 ,a nf n n N * ) ，则数列 { a n }的前 n 项和的取值2( )(范围是 .【答案】1,12【 2020 北京市海淀区一模理】 （ 2）在等比数列 { a n } 中， a 1 = 8， a 4 = a 3a 5 ，则 a 7 =（A ）1（B ）1（C ）1（D ）116 84 2【答案】 B【 2020 年北京市西城区高三一模理】 7．设等比数列 { a n } 的各项均为正数，公比为 q ，前 n 项和为 S n ．若对 n N * ，有 S 2n3S n ，则 q 的取值范围是（）（ A ） (0,1] （ B ） (0, 2) （ C ） [1,2) （ D ） (0, 2)【答案】 A【分析】若 q 1 ，S 2n 2na 1 ,3S n3na 1 ，因此恒有 S 2 n 3S n ，因此 q 1 ，建立。
当 q 1 ，由 S 2 n3S n 得 a 1 (1q 2 n) 3a 1 (1q n ) ， 若 0 q 1 ，则有1q 2 n3(1 q n ) ， 即1 q1 q(q n )2 3q n2 0，解得 0 q n1，或 q n2 （舍去），此时 0 q 1。
若 q 1 ，由a 1 (1 q 2 n) 3a 1 (1 q n ) ，得 1 q 2n 3(1 q n ) ，即 (q n )2 3q n 2 0 ，解得 1 qn 2 ， 1 q 1 q 明显当 q 2, n 2 时，条件不建立， 综上， 知足条件的 q 的取值范围是 0 q 1，答案选 A.【 2020 北京市门头沟区一模理】 2．在等差数列 a n 中， a 1 3， a 3 2 ，则此数列的前 10项之和 S 10 等于(A) 55.5 (B) 7.5 (C) 75 (D)15【答案】 B【 2020 北京市旭日区一模理】 3. 已知数列{a n } 的前 n 项和为S n，且 S 2a 1(n N ) ，n n则 a5A. 16B. 16C. 31D. 32【答案】 B【 2020 北京市东城区一模理】（ 6）已知x，y，z R，若 1 ， x ，y， z ， 3 成等比数列，则 xyz 的值为（A）3 （B）3 （C）33 （D）33【答案】 C【 2020 北京市石景山区一模理】 10．等差数列a n 前 9 项的和等于前 4 项的和．若a4 a k 0 ，则 k =________ ．【答案】 10【分析】法 1：有题意知S9 S4,即 a5 a6 a7 a8 a9 0 ，所以 a7 0 ，又a4 a k 0 2a7，因此 4 k 14, k 10 。
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丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =-πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此πsin()(322C -∈.于是sin ()22B C ∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减； 当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增. 因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意2222112.b c a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-. 所以22022(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分21．（本小题共14分） 解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1. …………4分（Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==. 于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===. 依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L . 所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==. 于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==. 依次类推可得121b b ==. 所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1. …………8分（ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===. 若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===， 则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K . 由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下： (1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K . 于是0k c =(12)k n =,,,K . 所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =， 此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,. 故4531,0,0n c c b b ==== 于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n n S n =-=.同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时， 当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23n S =.综上，所有项的和0S =或23n S =（n 是3的倍数）. …………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。