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2020年数学高考一模试题带答案

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2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷(含解析)

2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷(含解析)

2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷一、选择题1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}=()2.2−i1+2iA.1B.−1C.iD.−i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3买名，则不同的安排方法共有() A.120种 B.90种 C.60种 D.30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40∘，则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20∘B.40∘C.50∘D.90∘5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT ，有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →⋅AB →的取值范围是()A.(−2,6)B.(−6,2)C.(−2,4)D.(−4,6)8.若定义在R 的奇函数f (x )在(−∞,0)单调递减，且f (2)=0，则满足xf (x −1)≥0的x 的取值范围是()A.[−1,1]∪[3,+∞)B.[−3,−1]∪[0,1]C.[−1,0]∪[1,+∞)D.[−1,0]∪[1,3]二、多选题9.已知曲线C ：mx 2+ny 2=1.()A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则C 是圆，其半径为√nC.若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√−m n xD.若m =0, n >0，则C 是两条直线10.如图是函数y =sin (ωx +φ)的部分图像，则sin (ωx +φ)=()A.sin (x +π3)B.sin (π3−2x)C.cos (2x +π6)D.cos (5π6−2x)11.已知a >0，b >0，且a +b =1，则()A.a 2+b 2≥12B.2a−b >12C.log 2a +log 2b ≥−2D.√a +√b ≤212.信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X 所有可能的取值为1，2，⋯，n ，且P(X =i)=p i >0(i =1,2,⋯,n)，∑p i n i=1=1，定义X 的信息熵H (X )=−∑p i n i=1log 2p i ，则()A.若n =1，则H (X )=0B.若n =2，则H (X )随着p i 的增大而增大C.若p i =1n (i =1,2,…,n )，则H (X )随着n 的增大而增大D.若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，且P (Y =j )=p j +p 2m+1−j (j =1,2,⋯,m)，则H (X )≤H (Y )三、填空题13.斜率为√3的直线过抛物线C:y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB|=________.14.将数列{2n −1}与{3n −2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________.15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=3，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，5圆孔半径为1，则图中阴影部分的面积为________cm2.16.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60∘，以D1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________.四、解答题17.在①ac=√3，②csinA=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，C=π，________？618.已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8.(1)求{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0,m](m∈N∗)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100.19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？，附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD 与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．21.已知函数f(x)=ae x−1−lnx+lna.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点A(2,1).(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷一、选择题1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}【解答】解：集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B={x|1≤x<4}.故选C.2.2−i1+2i=()A.1B.−1C.iD.−i【解答】解：2−i1+2i =(2−i)(1−2i) (1+2i)(1−2i)=2−4i−i−21+4=−5i5=−i.故选D.3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3买名，则不同的安排方法共有() A.120种 B.90种 C.60种 D.30种【解答】解：由题意可得，不同的安排方法共有C61⋅C52=60（种）.故选C.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40∘，则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20∘B.40∘C.50∘D.90∘【解答】解：如图所示，AB为日晷晷针，∠AOC=40∘，由题意知，∠AOC+∠OAB=90∘，∠DAB+∠OAB=90∘，∴∠DAB=∠AOC=40∘，即晷针与点A处的水平面所成角为40∘.故选B.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%【解答】解：设喜欢足球为A，喜欢游泳为B，由题意知，P(A)=60%，P(B)=82%，P(A∪B)=96%，所以P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=60%+82%−96%=46%.故选C.6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT，有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天【解答】解：3.28=1+r ⋅6得r =0.38，I(t)=e 0.38t ，e 0.38(t+x)=2⋅e 0.38t 得x =ln20.38≈1.8.故选B .7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →⋅AB →的取值范围是()A.(−2,6)B.(−6,2)C.(−2,4)D.(−4,6) 【解答】解：如图：设A(−1,√3)，P (x,y )，B (−2,0)，AP →=(x +1,y −√3)，AB →=(−1,−√3)，则：AP →⋅AB →=−x −√3y +2，令z =−x −√3y +2，由线性规则得，最优解为：C(−1,−√3)和F(1,√3)，代入得z =6或z =−2．故AP →⋅AB →的取值范围是(−2,6).故选A .8.若定义在R 的奇函数f (x )在(−∞,0)单调递减，且f (2)=0，则满足xf (x −1)≥0的x 的取值范围是()A.[−1,1]∪[3,+∞)B.[−3,−1]∪[0,1]C.[−1,0]∪[1,+∞)D.[−1,0]∪[1,3] 【解答】解：根据题意，函数图象大致如图：①当x=0时，xf(x−1)=0成立；②当x>0时，要使xf(x−1)≥0，即f(x−1)≥0，可得0≤x−1≤2或x−1≤−2，解得1≤x≤3；③当x<0时，要使xf(x−1)≥0，即f(x−1)≤0，可得x−1≥2或−2≤x−1≤0，解得−1≤x<0.综上，x的取值范围为[−1,0]∪[1,3].故选D.二、多选题已知曲线C：mx2+ny2=1.()A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为√nC.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√−mnx D.若m=0, n>0，则C是两条直线【解答】解：A，mx2+ny2=1，即x 21 m +y21n=1，∵m>n>0，∴1m <1n，∴此时C是椭圆，且其焦点在y轴上，A选项正确；B，m=n>0时，x2+y2=1n，∴r=√nn，B选项错误；C，mn<0时，可推断出C是双曲线，且其渐近线方程为y=±√−1n1mx=±√−mnx，C选项正确；D，m=0时，C：ny2=1，∴y=±√1n，代表两条直线，D选项正确.故选ACD.如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=()A.sin(x+π3) B.sin(π3−2x) C.cos(2x+π6) D.cos(5π6−2x)【解答】解：由函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，可知，T2=2π3−π6=π2，∴T=π，∴ω=2ππ=2，∴y=sin(2x+φ).将点(π6,0)代入得，0=sin(π3+φ)，∴π3+φ=(2k+1)π(k∈Z).A，当x=π6时，sin(x+π3)=sinπ2=1，不符合题意，故A选项错误；B，当k=0时，φ=2π3，y=sin(2x+2π3)=sin(2x−π3+π3+2π3)=sin(2x−π3+π)=−sin(2x−π3 )=sin(π3−2x)，故B选项正确；C，sin(2x+2π3)=sin(2x+π6+π2)=cos(2x+π6)，故C正确；D，cos(5π6−2x)=cos(2x−5π6)=cos(2x−π2−π3)=sin(2x−π3 )=−sin(2x+2π3)，故D选项错误.故选BC.已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A.a2+b2≥12B.2a−b>12C.log2a+log2b≥−2D.√a+√b≤2【解答】解：A，∵a+b=1,则a2+b2+2ab=1，2ab≤a2+b2，当且仅当a=b时取等号，∴1=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2)，可得a 2+b 2≥12，故A 正确； B ，∵a −b =a −(1−a)=2a −1>−1，∴2a−b >2−1=12，故B 正确；C ，∵ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a =b 时取等号， ∴log 2a +log 2b =log 2(ab)≤log 214=−2，故C 错误；D ，∵a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b 时取等号，∴(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ≤2，即√a +√b ≤√2，则√a +√b ≤2，故D 正确.故选ABD .信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X 所有可能的取值为1，2，⋯，n ，且P(X =i)=p i >0(i =1,2,⋯,n)，∑p i n i=1=1，定义X 的信息熵H (X )=−∑p i n i=1log 2p i ，则()A.若n =1，则H (X )=0B.若n =2，则H (X )随着p i 的增大而增大C.若p i =1n (i =1,2,…,n )，则H (X )随着n 的增大而增大D.若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，且P (Y =j )=p j +p 2m+1−j (j =1,2,⋯,m)，则H (X )≤H (Y )【解答】解：A ，若n =1，则p 1=1，H (X )=−1×log 21=0，故A 正确；B ，若n =2，则H (X )=−[p 1log 2p 1+(1−p 1)log 2(1−p 1)].设f (p )=−[plog 2p +(1−p )log 2(1−p )]，则：f ′(p )=−[log 2p +p ⋅1p⋅ln2−log 2(1−p )+(1−p )−1(1−p )ln2]=−log 2p 1−p =log 21−p p ， 当0<p <12时，f ′(p )>0；当12<p <1时，f ′(p )<0，∴f (p )在(0,12)上单调递增，在(12,1)上单调递减，p 1=12时，H(X)取最大值，故B 错误；C ，若p i =1n (i =1,2，⋯，n ），则H (X )=−∑p i n i=1log 2p i =−n ⋅1n log 21n =log 2n ，所以H(x)随着n 的增大而增大，故C 正确；D ，若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，由P (Y =j )=p j +p 2m+1−j (j =1,2，⋯，m ）知：P (Y =1)=p 1+p 2m ；P (Y =2)=p 2+p 2m−1；P (Y =3)=p 3+p 2m−2；⋯⋯P (Y =m )=p m +p m+1;H (Y )=−[(p 1+p 2m )log 2(p 1+p 2m )+(p 2+p 2m−1)log 2(p 2+p 2m−1)+⋯+(p m +p m+1)log 2(p m +p m+1)]，H (X )=−[p 1log 2p 1+p 2log 2p 2+⋯+p 2m log 2p 2m ]=−[(p 1log 2p 1+p 2m log 2p 2m )+(p 2log 2p 2+p 2m−1log 2p 2m−1)+⋯+(p m log 2p m +p m+1log 2p m+1)]，∵(p 1+p 2m )log 2(p 1+p 2m )−p 1log 2p 1−p 2m log 2p 2m >0，⋯⋯(p m +p m+1)log 2(p m +p m+1)−p m log 2p m −p m+1log 2p m+1>0，所以H (X )>H (Y )，故D 错误．故选AC .三、填空题斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=________.【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，抛物线的焦点为(1,0)，则直线方程为y=√3(x−1)，代入抛物线方程得3x2−10x+3=0，∴x1+x2=10，3.根据抛物线方程得定义可知|AB|=x1+1+x2+1=163.故答案为：163将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________.【解答】解：数列2n−1各项为：1，3，5，7，9，⋯数列3n−2各项为：1，4，7，10，13，⋯观察可知，{a n}是首项为1，公差为6的等差数列，数列{a n}的前n项和为3n2−2n.故答案为：3n2−2n.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与，直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35 BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1，则图中阴影部分的面积为________cm2.【解答】解：由已知得A到DG的距离与A到FG的距离相等，均为5. 作AM⊥GF于M，设AN⊥DG于N.则∠NGA=45∘.∵BH//DG，∴∠BHA=45∘.∵∠OAH=90∘，∴∠AOH=45∘.由tan∠ODC=35，设O到DG的距离为3t，则O到DE的距离为5t，∴{OAcos45∘+5t=7，OAsin45∘+3t=5,解得{t=1, OA=2√2.半圆之外阴影部分面积为：S1=2√2×2√2×12−45∘×π×(2√2)2360∘=4−π，阴影部分面积为：S=12(π⋅(2√2)2−π⋅12)+S1=5π2+4.故答案为：5π2+4.已知直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60∘，以D 1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________.【解答】解：以C 1为原点，C 1B 1→，C 1C →所在直线分别为x 轴、z 轴建立如图1所示的空间直角坐标系O −xyz ，y 轴是平面A 1B 1C 1D 1内与C 1B 1互相垂直的直线，即D 1(1,−√3,0)， 设交线上的点的坐标是(x,0,z )，根据题意可得(x −1)2+3+z 2=5，化简得(x −1)2+z 2=2，所以球面与侧面BCC 1B 1的交线平面如图2所示，即交线长l =14⋅2√2π=√2π2. 故答案为：√2π2. 四、解答题在①ac =√3，②csinA =3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，C=π6，________？【解答】解：选①：∵sinA=√3sinB，C=π6，ac=√3，∴sin(56π−B)=√3sinB，∴12cosB+√32sinB=√3sinB，∴sin(π6−B)=0，∴B=π6.又∵C=π6，∴b=c.由正弦定理可得：a=√3b，又ab=√3解得a=√3, b=1，∴c=1，故满足条件存在△ABC；选②：sinA=√3sinB，C=π6，csinA=3. ∵csinA=3，∴asinC=3，∴a=6.由正弦定理可得：a=√3b，∴b=2√3，∴c2=a2+b2−2abcosC=36+12−24√3×√32=12，∴c=2√3，∴B=π6，A=23π，故满足条件存在△ABC；选③：c=√3b，sinA=√3sinB，C=π6，由①可知，B=π6，故△ABC为等腰三角形c=b，又c=√3b，矛盾.故不存在△ABC满足条件．已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8.(1)求{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0,m](m∈N∗)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100.【解答】解：(1)由题意可知{a n}为等比数列，a2+a4=20，a3=8，+a3q=20，可得a3q得2q2−5q+2=0，(2q−1)(q−2)=0.∵q>1，∴q=2，∵a1×q2=a3，可得a1=2，∴{a n}的通项公式为：a n=2×2n−1=2n.(2)∵b m为{a n}在(0,m](m∈N∗)中的项的个数，当m=2k时，b m=k，当m∈[2k−1,2k)时，b m=k−1，其中k∈N+.可知S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b8+b9+⋯+b15)+(b16+b17+⋯+b31)+(b32+b33+⋯+b63)+(b64+b65+⋯+b100)=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37=480.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？，附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】解：(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为：32+18+6+8=64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，=0.64.且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64100(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：(3)根据(2)的列联表得K2=100×(64×10−16×10)2≈7.484，80×20×74×26由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【解答】(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，故BC⊥CD.又因为PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC，又由于PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC.因为在正方形ABCD中BC//AD，且AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，故BC//平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，且平面PAD与平面PBC的交线为l，故BC//l.因此l⊥平面PDC.(2)解：由已知条件，P−ABCD底面为正方形，PD⊥底面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立D−xyz空间直角坐标系，如图所示：因为PD =AD =1，Q 在直线l 上，设Q (a,0,1)，其中a ∈R ，由题意得，D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，P (0,0,1)，则PB →=(1,1,−1)，DC →=(0,1,0)，DQ →=(a,0,1)，设平面QCD 法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅DC →=0，n →⋅DQ =0,得{y =0,ax +z =0, 令z =−a ，则平面QCD 的一个法向量为：n →=(1,0,−a )，设PB 与平面QCD 成角为θ，则sinθ=|cos <n →,PB →>|=|1+a|√3×√1+a 2 =1√3×√(1+a)21+a 2 =√33×√1+2a 1+a 2，①若a =0，则sinθ=√33， ②若a ≠0，则sinθ=√33×√1+21a+a ， a >0时， ∵1a +a ≥2×√1a ⋅a =2，当且仅当1a =a ，即a =1时，$``="$成立，∴sinθ≤√33×√1+22=√63. 当a <0时，sinθ<√33， ∴当a =1时，sinθ=√63取到最大值．综上所述，PB与平面QCD成角的正弦值的最大值为√63.已知函数f(x)=ae x−1−lnx+lna.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.【解答】解：(1)当a=e时，f(x)=e x−lnx+1，f′(x)=e x−1x，∴k=f′(1)=e−1，f(1)=e+1，∴y−(e+1)=(e−1)(x−1)，即y=(e−1)x+2，∴在y轴上的截距为2，在x轴的截距为21−e，∴S=12×2×|21−e|=2e−1.(2)①当0<a<1时，f(1)=a+lna<1；②当a=1时，f(x)=e x−1−lnx，f′(x)=e x−1−1x，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，所以当x=1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)=1，从而f(x)≥1；③当a>1时，f(x)=ae x−1−lnx+lna≥e x−1−lnx≥1. 综上，a的取值范围是[1,+∞).已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点A(2,1).(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.【解答】(1)解：由题设得4a 2+1b 2=1， a 2−b 2a 2=12，解得a 2=6，b 2=3. ∴C 的方程为x 26+y 23=1.(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为 y =kx +m ，代入x 26+y 23=1得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0. 于是x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2.①由AM ⊥AN 知AM →⋅AN →=0，故(x 1−2)(x 2−2)+(y 1−1)(y 2−1)=0，可得 (k 2+1)x 1x 2+(km −k −2)(x 1+x 2)+(m −1)2+4=0， 将①代入上式可得(k 2+1)2m 2−61+2k 2−(km −k −2)4km 1+2k 2+(m −1)2+4=0，整理得(2k +3m +1)(2k +m −1)=0， 因为A(2,1)不在直线MN 上，所以2k +m −1≠0，故2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k(x −23)−13(k ≠1)， 所以直线MN 过点P(23,−13).若直线MN 与x 轴垂直，可得N(x 1,−y 1). 由AM →⋅AN →=0得(x 1−2)(x 1−2)+(y 1−1)(−y 1−1)=0.又x 126+y 123=1，可得3x 12−8x 1+4=0，解得x 1=2(舍去)，x 1=23， 此时直线MN 过点P(23,−13). 令Q 为AP 的中点，即Q(43,13). 若D 与P 不重合，则由题设知 AP 是Rt △ADP 的斜边，故|DQ|=12|AP|=2√23. 若D 与P 重合，则|DQ|=12|AP|. 综上，存在点Q(43,13)，使得|DQ|为定值.。

2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)

2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)

2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数3213iz i-+=++，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．QP B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R =3．（5分）若2242(),log 3,log 63a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．（5分）若x ，y 满足约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩则2z x y =+的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．35．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升” )的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为( )立方分米．A ．40B ．853C ．30D ．7336．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为( )A ．314B ．37C ．67D ．13287．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N ．若2MF FN =，则||MF 的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．28．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是( )A ．sin 2sin 2x xy e = B ．cos2cos2x xy e = C ．cos2|cos2|xx y e =D ．cos |cos |xx y e =9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒并测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是( )A ．300 mB ．600 mC ．3003mD ．6003m10．（5分）已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；③函数()f x 的最小正周期为π． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．311．（5分）已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt ACD ∆与Rt BCD)∆组成的三角形，如左图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至△1D AC 处1(D 不在平面ABC 上）．若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(θ )A ．(0,45)θ∈︒︒B ．(0θ∈︒，45]︒C ．(0θ∈︒，60]︒D ．(0,60)θ∈︒︒12．（5分）设符号{min x ，y ，}z 表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数(){|2|f x min x =-，2x ，|2|}x +则下列结论正确的是( )A ．[0x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->B ．[1x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->C ．x R ∀∈，(())()f f x f xD ．x R ∀∈，(())()f f x f x >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．（5分）函数y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 ．14．（5分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，若()()a a b b a b ++-的最大值为1，则向量a ，b 的夹角θ的最小值为 ，|2|a b +的取值范围为 ．15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是16．（5分）已知双曲线C 的方程为2218y x -=，右焦点为F ，若点(0,6)N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ，*n N ∈时，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的中点．（1）求证：//CE 平面BMD ；（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．19．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且||4AB =，椭圆C 3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(1M ，)(0)m m ≠在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AM F ∆面积是BM E ∆面积的5倍，求m 的值．20．（12分）BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高()i cm x166167160173178169158173体重()i kg y57 58 53 61 66 57 50 66（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg ．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考公式：2211()1(nii i n ii yy R y==-=-∑∑．1122211()()ˆ()nnix i yi ix yi i nnixixi i xy x yn bxxn----==--==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．ˆˆˆi i ie y bx a =--． 参考数据：8178880i i i x y ==∑，281226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，821()226i i y y =-=∑．21．（12分）已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈．（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据5:0.223)4ln ≈请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （2）设()||||||||f OA OB OC OD α=+，当63ππα时，求()f α的值域．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =-+-． （Ⅰ）求不等式()4f x 的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，求2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数3213iz i-+=++，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数3(13)2221313i i i z i i i-++=+=+=+++，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)在第一象限． 故选：A ．2．（5分）设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．QP B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R =【解答】解：集合{|||3}{|3P x x x x =>=<-或3}x >，2{|4}{|2Q x x x x =>=<-或2}x >，P Q ∴，故选：B ．3．（5分）若2242(),log 3,log 63a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【解答】解：由 可得49a =，42log 6log c == 则 可知，1bc a >>>， 故选：B ．4．（5分）若x ，y 满足约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩则2z x y =+的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．3【解答】解：由约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩作出可行域如图，化目标函数2z x y=+为直线方程的斜截式，122zy x=-+，由图可知，当直线122zy x=-+过(3,0)A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．故选：D．5．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升”)的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为()立方分米．A．40B．853C．30D．733【解答】解：由三视图还原原几何体如图，要加工成如图所示散斗，则长方体木料长的最小值为4，宽的最小值为4，高的最小值为52， 则则长方体木料的最小体积为544402⨯⨯=立方分米． 故选：A ．6．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为( ) A ．314B ．37C ．67D ．1328【解答】解：不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，基本事件总数2828n C ==，取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数：116212m C C ==，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为123287m p n ===． 故选：B ．7．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N ．若2MF FN =，则||MF 的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【解答】解：由抛物线的方程可得焦点(2,0)F ，准线方程为：2x =-，作MA 垂直于y 轴交于A ，因为2MF FN =，所以可得F 为线段MN 的三等分点，即13NF MN =，由NFO NMA ∆∆∽，所以13OF MA =，即3326MA OF ==⨯=，所以||628MF =+=， 故选：A ．8．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是( )A ．sin 2sin 2x xy e = B ．cos2cos2x xy e = C ．cos2|cos2|xx y e =D ．cos |cos |xx y e =【解答】解：由图象可知，当0x =时，0y ≠，故排除选项A ； 又对任意的x ，函数值0y ，故排除选项B ； 对选项D ，当12x π=>时，0y =，这与图象矛盾，综上，选项C 满足题意． 故选：C ．9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒并测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是( )A ．300 mB ．600 mC ．3003mD ．6003m【解答】解：设AB x =，由图利用直角三角形的性质可得：BC AB x ==，3BD x =， 在BCD ∆中，由余弦定理可得：22236002600cos120x x x =+-⨯︒，化为：23001800000x x --=，解得600x =． 故选：B ．10．（5分）已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；③函数()f x 的最小正周期为π． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3 【解答】解：332cos sin sin 2,[2,2]0,[2,2]2222()2|cos |sin sin 2,2cos sin sin 2,[2,2)2sin 2,[2,2)2222x x x x k k x k k f x x x x k Zx x x x k k x x k k ππππππππππππππππ⎧⎧-+∈++∈++⎪⎪⎪⎪=+==∈⎨⎨⎪⎪+∈-++∈-++⎪⎪⎩⎩，其大致图象如图所示，①()f x 的图象不关于直线4x π=对称，即①错误；②()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增，即②正确； ③()f x 的最小正周期为2π，即③错误． 所以真命题只有②， 故选：B ．11．（5分）已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt ACD ∆与Rt BCD)∆组成的三角形，如左图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至△1D AC 处1(D 不在平面ABC 上）．若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(θ )A ．(0,45)θ∈︒︒B ．(0θ∈︒，45]︒C ．(0θ∈︒，60]︒D ．(0,60)θ∈︒︒【解答】解：作//AP DM ，1AD 可以看成以AC 为轴线，以45︒为平面角的圆锥的母线， 由题意知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时， 1PAD ∠取得最大值，则1PAD ∠的最大值为60︒，此时，1D ∈平面ABC ，1D 不在平面ABC 上，1(0,60)PAD ∴∠∈︒︒，∴在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(0,60)θ∈︒︒．故选：D ．12．（5分）设符号{min x ，y ，}z 表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数(){|2|f x min x =-，2x ，|2|}x +则下列结论正确的是( )A ．[0x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->B ．[1x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->C ．x R ∀∈，(())()f f x f xD ．x R ∀∈，(())()f f x f x >【解答】解：如图所示：由题意可得A 中，2,[0,1]()|2|,(1,)x x f x x x ⎧∈=⎨-∈+∞⎩B 中，当12x 时，120x --，(2)(2)2()f x f x x f x -=--=，当23x <时，021x <-，(2)2()f x x f x --=，当34x <时，122x <-，(2)2(2)42()f x x x x f x -=--=--=，当4x ，22x -，恒有(2)()f x f x -<，所以B 不正确，A 也不正确；C 中，从图象上看，[0x ∈，)+∞，()f x x ，令()t f x =，则0t ，所以()f t t ，即(())()f f x f x ，故C 正确，D 不正确． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．（5分）函数y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 210x y --= ． 【解答】解：1y x nx =+，∴11y x'=+， 1|112x k y =∴='=+=，∴函数1y x nx =+在点(1,1)处的切线方程为12(1)y x -=-，整理，得210x y --=． 故答案为：210x y --=．14．（5分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，若()()a a b b a b ++-的最大值为1，则向量a ，b 的夹角θ的最小值为23π，|2|a b +的取值范围为 ． 【解答】解：设向量a ，b 的夹角为θ，则[0θ∈，]π； 又||2a =，||1b =，所以22()()421cos 12cos 134cos a a b b a b a a b b a b θθθ++-=++-=+⨯⨯+⨯⨯-=+， 即34cos 1θ+， 解得1cos 2θ-； 则向量a ，b 的夹角θ的最小值为23π； 即2[3πθ∈，]π； 所以222(2)444421cos 488cos a b a a b b θθ+=++=+⨯⨯⨯+=+， 又cos [1θ∈-，1]2-，所以88cos [0θ+∈，4]，所以|2|a b +的取值范围是[0，2]． 故答案为：23π，[0，2]． 15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是 124125【解答】解：飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀． 某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45， 则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是： 0033411241()()55125P C =-=． 故答案为：124125．16．（5分）已知双曲线C 的方程为21x =，右焦点为F ，若点(0,6)N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为 2【解答】解：双曲线的标准方程为2218y x -=，设双曲线的左焦点为F '，由双曲线C 可得(3,0)F ，(3,0)F '-，||NF =MNF ∆周长为||||||||||MN MF NF MN MF ++=++，由双曲线的定义可得||||22MF MF a '-==， 即有||||||||2MN MF MN MF '+=++， 当P 在左支上运动到M ，N ，F '共线时，||||MN MF '+取得最小值||NF '=则有MNF ∆周长的最小值为22=．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ，*n N ∈时，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 【解答】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =， 设数列的首项为1a ，公差为d ， 则：1112335a d a d a d+=⎧⎨+=+⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)n a n n =+-=．数列{}n b 满足：2124b b ==，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+．① 所以1122111(24)2n n n a b a b a b n b ---++⋯+=-+．② ①-②得：1(22)(24)n n n n a b n b n b -=---， 由于n a n =， 整理得12nn b b -=（常数）， 所以数列{}n b 是以12b =为首项，2为公比的等比数列． 所以1222n n n b -=⨯=． 由于首项符合通项公式， 所以2n n b =．证明：（2）由（1）得2n n n n a nc b ==， 所以212222n n nT =++⋯+①， 故2311122222n n nT +=++⋯+② ①-②得：211111(1)1111122()112222222212n n n n n n n n n n T +++-=++⋯+-=-=---， 所以112222n n n nT -=--<． 即122n c c c ++⋯+<．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的中点．（1）求证：//CE 平面BMD ；（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：连接ME ，因为点M ，E 分别是PA ，PD 的中点，所以12ME AD =，//ME AD ，所以//BC ME ，BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形， 所以//CE BM ．又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊂/平面BMD ， 所以//CE 平面BMD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则又1(2CQ =-，1-，1)，(1CE =-，0，1)，设平面CEQ 的法向量为(n x =，y ，)z ，列方程组00n CQ n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得：120x y z x z ⎧--+=⎪⎨⎪-+=⎩其中一个法向量为(2n =，1，2)，设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是22sin 3414001θ==++++， 进而求得5cos θ=（15分） 19．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且||4AB =，椭圆C 3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(1M ，)(0)m m ≠在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AM F ∆面积是BM E ∆面积的5倍，求m 的值．【解答】解：（1）由题意可得：222243a ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=；（2）(1,)M m ，(2,0)A -，(2,0)B ，∴直线AM 的斜率3AM m k =， ∴直线AM 的方程为：(2)3my x =+， 联立方程22(2)314m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294E m y m =+， 同理可得2414F my m =+，5AMF BME S S ∆∆=，即()5()ABF ABM ABE ABM S S S S ∆∆∆∆-=-， 54ABF ABE ABM S S S ∆∆∆∴=-，∴22412||5||4||1494m mm m m=-++，又0m ≠， 42161630m m ∴-+=，解得214m =或34， 点M 在椭圆内，∴234m <， ∴214m =， 12m ∴=±．20．（12分）BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg ．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考公式：22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑．1122211()()ˆ()nnix i yi ix yi i nnixixi i xy x yn bxxn----==--==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．ˆˆˆi i ie y bx a =--． 参考数据：8178880i i i x y ==∑，281226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，821()226i i y y =-=∑．【解答】解：（1）由题意知线性回归方程为ˆ0.875.9y x =-， 计算6ˆ570.816975.9 2.3e=-⨯+=-， 7ˆ500.815875.90.5e=-⨯+=-， 8ˆ660.817375.9 3.5e=-⨯+=； 完善下列残差表如下，计算22121()111(0.010.090.81 2.250.25 5.290.2512.25)10.090.90226()nii i n ii yy R yy ==-=-=-⨯+++++++≈-=-∑∑；所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值20.90R ≈． （2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且858y =，由8178880i i i x y ==∑，计算修订后8178880173661735877496i i i x y ='=-⨯+⨯=∑，又281226112i ix ==∑，168x =，修订后1(858.56658)57.58y '=⨯⨯-+=，所以1222177496816857.5ˆ0.6752261128168ni ix yi nixi x yn bxn --=-=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ57.50.67516855.9ay bx ='-=-⨯=-； 所以x 关于y 的线性回归方程是ˆ0.67555.9yx =-． 21．（12分）已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈．（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据5:0.223)4ln ≈【解答】解：（1）设直线y x =与()y f x =相切于点0(P x ，02())ln ax b +， 2()af x ax b '=+， 002()1af x ax b '∴==+，02ax b a ∴+= (0)a >，又点P 在切线y x =上，002()ln ax b x ∴+=， 022ln a x ∴=，02222b a ax a aln a ∴=-=-，因此22222ab a a ln a =-(0)a >，设g （a ）22222a a ln a =-，0a >，g '∴（a ）2422(122)a aln a a ln a =-=-，令g '（a ）0>得，0a <<g '（a ）o <得，a > g ∴（a）在上单调递增，在，)+∞上单调递减， g ∴（a）的最大值为4e g =， ab ∴的最大值为4e ； （2）函数2()(1)(1)()(g x ax a axf x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，等价于方程22(1)(1)(1)ln ax ax a ax +=+++有两个不相等的实根，设1t ax =+，则等价于方程220lnt t at --= (0)t >有两个不同的解，即关于t 的方程22lnt t a t-= (0)t >有两个不同的解， 设22()lnt t h t t -=，则2222()t lnt h t t --'=， 设2()22m t t lnt =--，由0t >可知()m t '=-， ()m t ∴在(0,)+∞上单调递减，又m （1）10=>，575()204164m ln =-<， ∴存在05(1,)4t ∈使得0()0m t =，即200220t lnt --=，∴20022lnt t +=， ∴当0(0,)t t ∈时，()0m t >，()0h t '>，函数()h t 单调递增；当0(t t ∈，)+∞时，()0m t <，()0h t '<，函数()h t 单调递减，∴函数()h t 的极大值为220000000022229()2(,0)10lnt t t h t t t t t --===-∈-， 要使得关于t 的方程22lnt t a t-= (0)t >有两个不同的解，则0()a h t <， 当1a =-时，设2()2p t lnt t t =-+， 则2()21p t t t'=-+，可知()p t在上单调递增，在，)+∞上单调递减， 又p （1）0=，0p >，p （e ）220e e =-+<， ()p t ∴有两个不同的零点，符合题意，a ∴的最大整数值为1-．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程；（2）设()||||||||f OA OB OC OD α=+，当63ππα时，求()f α的值域．【解答】解：（1）1:4cos()3C πρθ=-，即22cos sin ρρθθ=+，化为直角坐标方程为22(1)(4x y -+=把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a -=，因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线20a =经过圆心(1，解得2a =，故2C 的直角坐标方程为0x =．（2）由题意可得，当63ππα时，||4sin OA α=；||4cos()3OB πα=-；||4cos OC α=；||4sin()3OD πα=-， ∴设2()||||||||16sin cos 16cos()sin()8sin 28sin(2)12sin 2)3336f OA OB OC OD ππππαααααααααα=+=+--=--=+=+，当63ππα时，52266πππα+， 383sin(2)836πα+，故()f α的值域为[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =-+-．（Ⅰ）求不等式()4f x 的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，求【解答】解：（Ⅰ）1()42324x f x x ⎧<⎪⇔⎨⎪-+⎩或1124x x ⎧<⎪⎨⎪⎩或1324x x ⎧⎨-⎩， 解得223x -， 故不等式()4f x 的解集为2{|2}3x x -（Ⅱ）132,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=<⎨⎪-⎪⎪⎩，1()2min f x ∴=，即12m =， 又a ，b ，c R +∈且12a b c ++=，z 则2221a b c ++=，设x =yz =， 222x y xy +，2222121222xy x y a b a b +=+++=++，同理：2222yz a c ++，2222xz c a ++，2222222222228xy yz xz a b b c c a ∴++++++++++=，2222()222212121812x y z x y z xy yz xz a b c ∴++=+++++++++++=， 23x y z ∴++，即123，当且仅当16a b c ===时，取得最大值．。

2020年高考数学一模试卷(含答案)

2020年高考数学一模试卷(含答案)

2020年高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x≤2} 2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．33．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，1）5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（）A．﹣1B．C．D．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p＝（）A．B．2C．2D．47．在（2x）6的展开式中，常数项是（）A．﹣l60B．﹣20C．20D．1608．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），．则（）A．1B．C．2D．与α有关9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“a n（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：N＝2n（n＞0）lgN N的位数21lg2一位数22lg4一位数23lg8一位数241+lg1.6两位数251+lg3.2两位数261+lg6.4两位数272+lg1.28三位数282+lg2.56三位数292+lg5.12三位数2103+lg1.024四位数………………试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（）A．101B．50C．31D．30二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量，，其中m∈R．若共线，则m等于．12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为．13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于．14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝；a n＝．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cos x，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F 满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．19．已知椭圆C：的离心率为，点A（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x≤2}【分析】利用交集定义能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：D．2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．3【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可解：因为复数z＝i（2+i）＝﹣1+2i，所以|z|，故选：C．3．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】函数y解析式提取变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期．解：函数y＝sin2x+cos2x sin（2x），∵ω＝2，∴T＝π．故选：B．4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，1）【分析】根据f（x）是奇函数即可得出f（﹣1）＝﹣2，从而得出点（﹣1，﹣2）在f（x）的图象上．解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，∴f（﹣1）＝﹣2，∴（﹣1，﹣2）一定在函数f（x）的图象上．故选：B．5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（）A．﹣1B．C．D．1【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出．解：a，3，b，9，c成等比数列，则bc＝81，b2＝27，∴，∴log3b﹣log3c＝log31，故选：A．6．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p＝（）A．B．2C．2D．4【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y2＝2px的焦点坐标（，0），可得2，得p＝4．解：∵双曲线中a2＝3，b2＝1∴c2，得双曲线的右焦点为F（2，0）因此抛物线y2＝2px的焦点（，0）即F（2，0）∴2，即p＝4故选：D．7．在（2x）6的展开式中，常数项是（）A．﹣l60B．﹣20C．20D．160【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：展开式的通项公式为T r+1•（2x）6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r•26﹣r••x6﹣2r，令6﹣2r＝0，可得r＝3，故展开式的常数项为﹣8•160，故选：A．8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），．则（）A．1B．C．2D．与α有关【分析】根据题意，求出向量、的坐标，进而可得的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案．解：根据题意，A（cosα，sinα），．则（cosα，sinα），（cos（α），sin（α）），则有（cosα+cos（α），sinα+sin（α）），故||2＝[cosα+cos（α）]2+[sinα+sin（α）]2＝2+2cosαcos（α）+2sinαsin（α）＝2+2cos3，则||；故选：B．9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】a＞0，b＞0，利用基本不等式的性质可得：a+b≥2，可由ab≥1，得出a+b≥2．反之不成立．解：a＞0，b＞0，∴a+b≥2，若ab≥1，则a+b≥2．反之不成立，例如取a＝5，b．∴“ab≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件．故选：A．10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“a n（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：N＝2n（n＞0）lgN N的位数21lg2一位数22lg4一位数23lg8一位数241+lg1.6两位数251+lg3.2两位数261+lg6.4两位数272+lg1.28三位数282+lg2.56三位数292+lg5.12三位数2103+lg1.024四位数………………试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（）A．101B．50C．31D．30【分析】因为450＝2100，所以N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数．解：∵450＝2100，∴N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30.10＝30+0.10＝30+lg100.10≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量，，其中m∈R．若共线，则m等于6．【分析】因为共线，即，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可．解：若共线，即，∵，，∴1×m＝﹣2×（﹣3），∴m＝6．故答案为：6．12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为1．【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果．解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），所以圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离d1，故答案为：1．13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．如图所示：所以：V．故答案为：．14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝8；a n＝15n﹣7．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）【分析】由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{a n}的公差为15，首项为8．利用通项公式即可得出．解：由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{a n}的公差为15，首项为8．∴a1＝8，a n＝8+15（n﹣1）＝15n﹣7．故答案为：8，15n﹣7．15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cos x，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是①②④．【分析】①由x2≥0，得x2+1≥1，由此得出结论；②由绝对值不等式的性质即可得出结论；③由2x＞0，得2x+1＞1，由此得出结论；④由函数f（x）＝x2+cos x的奇偶性及单调性即可得出结论．解：①∵x2≥0，∴x2+1≥1，故值域为[1，+∞），符合题意；②y＝|x+1|+|x+2|≥|（x+1）﹣（x+2）|＝1，故值域为[1，+∞），符合题意；③∵2x＞0，∴2x+1＞1，故值域为（1，+∞），不合题意；④函数f（x）＝x2+cos x为偶函数，且f′（x）＝2x﹣sin x，f''（x）＝2﹣cos x＞0，故f′（x）在R上单调递增，又f′（0）＝0，故当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递增，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）单调递减，又f（0）＝1，故其值域为[1，+∞），符合题意．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】选①，先利用余弦定理可解得c＝3，从而求得三角形面积为，由此作出判断；选②，先利用余弦定理可得，结合已知条件可知△ABC是A为直角的三角形，进而求得面积为，此时S＞2不成立．解：选①，△ABC的面积S＞2成立，理由如下：当时，，所以c2﹣2c﹣3＝0，所以c＝3，则△ABC的面积，因为，所以S＞2成立．选②，△ABC的面积S＞2不成立，理由如下：当时，，即，整理得，，所以，因a2＝7，b2+c2＝4+3＝7，所以△ABC是A为直角的三角形，所以△ABC 的面积，所以不成立．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可．（Ⅱ）随机变量X的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80＝400人，抽取的老年员工人，中年员工人，青年员工人．（Ⅱ）X的可取值为0，1，2，，，．所以X的分布列为X012P数学期望E（X）．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．【分析】（Ⅰ）只需证明GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E，由线面垂直的判定定理可得证明；（Ⅱ）以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，求得平面AGH的法向量和平面EBHG的法向量．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900），即可得到所求值；（Ⅲ）由，则，由．计算可得所求值．解：（Ⅰ）证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点所以BE⊥AD，所以BE⊥AE．因为∠AEG＝90°，所以GE⊥AE．因为GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E所以AE⊥平面EBHG．（Ⅱ）设菱形ABCD的边长为2，由（Ⅰ）可知GE⊥AE，BE⊥AE，GE⊥BE．所以以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间坐标系可得A（1，0，0），，G（0，0，1），．，设平面AGH的法向量为，所以，即．令x＝1，则．平面EBHG的法向量为．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900）．（Ⅲ）由，则，所以．因为EF∥平面AGH，则．即1﹣2λ＝0．所以．19．已知椭圆C：的离心率为，点A（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率结合b＝1，求出a，得到椭圆方程．（Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），求出AM，AN的方程，求出E的坐标，F的坐标，假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，得到，求出n，即可．说明存在点G坐标为满足条件．解：（Ⅰ）由题意得，b＝1，又a2＝b2+c2解得，所以椭圆方程为．（Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），则直线AM的方程为，直线AN的方程为，则E点坐标为，F点坐标为．假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，即tan∠OGE＝tan∠OFG（也可以转化为斜率来求），即即|OG|2＝|OE||OF|，即所以，所以存在点G坐标为满足条件．20．已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数得到g（x）＝（x﹣a+1）e x+1，通过求解导函数判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣e a﹣2+1，通过a≤2时，当a＞2时，判断函数的单调性，求和函数的最值，推出结果即可．解：（Ⅰ）f'（x）＝（x﹣a+1）e x+1，由题意可知g（x）＝（x﹣a+1）e x+1，所以g'（x）＝（x﹣a+2）e x，当x＞a﹣2时g'（x）＞0，g（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；当x＜a﹣2时g'（x）＜0，g（x）在（﹣∞，a﹣2）上单调递减，所以g（x）在x＝a﹣2处取得极小值，为g（a﹣2）＝﹣e a﹣2+1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣e a﹣2+1当a≤2时f'（x）≥﹣e a﹣2+1＞0，所以f（x）在单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，即a≤2时f（x）＞0在（0，+∞）恒成立．当a＞2时f'（0）＝g（0）＝2﹣a＜0，又f'（a）＝g（a）＝e a+1＞0，又由于f'（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；在（0，a﹣2）上单调递减；所以在（0，a）上一定存在x0使得f'（x0）＝0，所以f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，所以f（x0）＜f（0）＝0，所以在（0，+∞）存在x0，使得f（x0）＜0，所以当a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上不恒成立所以a的取值范围为（﹣∞，2]．21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．【分析】（Ⅰ）由a0＝﹣2.6，代入可得a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣1.2，同理可得：a2，a3．（Ⅱ）由a0＞0，可得[a0]≥0，a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[a i]≥0，i≥1，可得a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≥0，因此[a i]≥0，∀i≥0．又因0≤a i﹣[a i]＜1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≤[a i]，可得[a i+1]≤[a i]，∀i≥0．假设∀i≥0，都有[a i]＞0成立，可得：[a i+1]≤[a i]﹣1，∀i≥0，利用累加求和方法可得[a n]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[a n]≤0，得出矛盾，因此存在k∈一、选择题，[a k]＝0．从而{[a i]}的最小值为0．（Ⅲ）当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[a k]＝0，可得a k+1＝0，[a k+1]＝0，可得a i ＝0，∀i≥k，成立．当a0＜0时，若存在k∈N，a k＝0，则a i＝0，∀i≥k，得证；若a i＜0，∀i≥0，则[a i]≤﹣1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＞[a i]，可得[a i+1]≥[a i]，∀i≥0，可得数列{[a i]}单调不减．由于[a i]是负整数，因此存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[a i]＝c．所以，当i≥m时，a i+1＝c（a i﹣c），转化为，令，即b i+1＝cb i，i≥m．经过讨论：当b m＝0时，得证．当b m≠0时，b i≠0，i≥m，，当i≥m时，[a i]＝c，则a i∈[c，c+1），则{b i}有界，进而证明结论．解：（Ⅰ）∵a0＝﹣2.6，∴a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣3×（﹣2.6+3）＝﹣1.2，同理可得：a2＝﹣1.6、a3＝﹣0.8．………………（Ⅱ）因a0＞0，则[a0]≥0，所以a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[a i]≥0，i≥1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≥0，所以[a i]≥0，∀i≥0．又因0≤a i﹣[a i]＜1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≤[a i]，则[a i+1]≤[a i]，∀i≥0．………………假设∀i≥0，都有[a i]＞0成立，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＜[a i]，则[a i+1]＜[a i]，∀i≥0，即[a i+1]≤[a i]﹣1，∀i≥0，………………则[a n]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[a n]≤0，这与假设矛盾，所以[a i]＞0，∀i≥0不成立，………………即存在k∈N，[a k]＝0．从而{[a i]}的最小值为0．………………（Ⅲ）证明：当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[a k]＝0，所以a k+1＝0，所以[a k+1]＝0，所以a i＝0，∀i≥k，成立．………………当a0＜0时，若存在k∈N，a k＝0，则a i＝0，∀i≥k，得证；………………若a i＜0，∀i≥0，则[a i]≤﹣1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＞[a i]，则[a i+1]≥[a i]，∀i≥0，所以数列{[a i]}单调不减．由于[a i]是负整数，所以存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[a i]＝c．所以，当i≥m时，a i+1＝c（a i﹣c），则，令，即b i+1＝cb i，i≥m．当b m＝0时，则b i＝0，i≥m，则，得证．………………当b m≠0时，b i≠0，i≥m，，因当i≥m时，[a i]＝c，则a i∈[c，c+1），则{b i}有界，所以|c|≤1，所以负整数c＝﹣1．………………∴，则令k＝m，满足当i≥k时，a i＝a i+2．综上，存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．………………。

2020届高考一模数学试卷+参考答案

2020届高考一模数学试卷+参考答案

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1.【答案】C
答案和解析
【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，由于 a＜0＜b，则＜0＜，A 错误； 对于 B，若|a|＜|b|，则-a＜b，B 错误； 对于 C，由于 a＜0＜b，则 a3＜0＜b3，C 正确； 对于 D，若|a|＜|b|，则 a2＜b2，D 错误； 故选：C． 根据题意，依次分析选项中不等式是否正确，综合即可得答案． 本题考查不等式的性质以及应用，关键是掌握不等式的基本性质，属于基础题．
否存在点 P，使得
？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由．
21. 已知无穷数列{an}，{bn}，{cn}满足：对任意的 n∈N*，都有 an+1=|bn|-|cn|，bn+1=|cn|-|an|，
cn+1=|an|-|bn|．记 dn=max{|an|，|bn|，|cn|}（max{x，y，z}表示 3 个实数 x，y，z 中的 最大值）． （1）若 a1=1，b1=2，c1=4，求，b4，c4 的值； （2）若 a1=1，b1=2，求满足 d2=d3 的 c1 的所有值； （3）设 a1，b1，c1 是非零整数，且|a1|，|b1|，|c1|互不相等，证明：存在正整数 k， 使得数列{an}，{bn}，{cn}中有且只有一个数列自第 k 项起各项均为 0．
7.【答案】4π
【解析】解：由题意，半径为 1 的球的表面积是 4π•12=4π． 故答案为 4π． 直接利用球的表面积公式，即可得出结论． 本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．
8.【答案】n2
【解析】解：∵等差数列{an}的首项为 1，公差为 2，
∴该数列的前 n 项和 Sn=n×
9. 函数 f（x）=

2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷及答案解析(23页)

2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷及答案解析(23页)

2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷数学试题一、选择题.1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，则（∁R A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．R D．（1，+∞）2．双曲线﹣y2＝1的焦点到渐近线的距离是（）A．1B．C．D．23．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．4B．8C．D．4．若实数x，y满足不等式组，则x﹣3y（）A．有最大值﹣2，最小值﹣B．有最大值，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值﹣2，无最大值5．在△ABC中，已知A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知a＞0，且a≠1，若log a2＞1，则y＝x﹣的图象可能是（）A．B．C．D．7．已知x1，x2，x3∈R，x1＜x2＜x3，设y1＝，y2＝，y3＝，z1＝，z2＝，z3＝，若随机变量X，Y，Z满足：P（X＝x i）＝P（Y＝y i）＝P（Z＝z i）＝（i＝1，2，3），则（）A．D（X）＜D（Y）＜D（Z）B．D（X）＞D（Y）＞D（Z）C．D（X）＜D（Z）＜D（Y）D．D（X）＞D（Z）＞D（Y）8．如图，三棱锥V﹣ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，则α+β不可能是（）A．B．C．D．9．如图，一系列椭圆∁n：+＝1（n∈N*），射线y＝x（x≥0）与椭圆∁n交于点P n，设a n＝|P n P n+1|，则数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．先递减后递增数列D．先递增后递减数列10．设a∈R，若x∈[1，e]时恒有（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a（其中e＝2.71828……为自然对数的底数），则恒有零点的是（）A．y＝x2+ax+1B．y＝ax2+3x+1C．y＝e x+a﹣1D．y＝e x﹣a+1二、填空题（共7小题）11．函数f（x）＝﹣3sin（πx+2）的最小正周期为，值域为．12．已知i为虚数单位，复数z满足＝1﹣2i，则z＝，|z|＝．13．已知（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，则a6＝，|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝．14．已知函数f（x）＝，若f（﹣1）＝f（1），则实数a＝；若y＝f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为．15．某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有种不同分配方案．（用具体数字作答）16．已知平面向量，，，，满足||＝||＝||＝1，•＝0，|﹣|＝|•|，则•的取值范围为．17．已知a，b∈R，设函数f（x）＝2|sin x+a|+|cos2x+sin x+b|的最大值为G（a，b），则G （a，b）的最小值为．三、解答题（共5小题）18．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，＝．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE是正方形，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，AE＝．（Ⅰ）求证：BC⊥AE；（Ⅱ）求直线AD与平面BCDE所成角的正弦值．20．已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列．数列{b n}满足：b1+ ++……+＝（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：+++……+＜．21．如图，已知点O（0，0），E（2，0），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为线段OE中点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点E的直线交抛物线C于A，B两点，＝4，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且MN⊥y轴，求△ABN面积的最小值．22．已知函数f（x）＝（x+1）e x﹣ax2（x＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：+﹣＞1．（其中t0为f（x）的极小值点）参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，则（∁R A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．R D．（1，+∞）【分析】进行交集和补集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，∴∁R A＝{x|x≤1}，（∁R A）∩B＝{1}．故选：B．2．双曲线﹣y2＝1的焦点到渐近线的距离是（）A．1B．C．D．2【分析】根据双曲线的方程求出啊、焦点坐标和渐近线，利用点到直线的距离公式进行求解即可．解：双曲线﹣y2＝1的渐近线为y＝±x，a2＝3，b2＝1，c2＝a2+b2＝3+1＝4，即C＝2，设一个焦点F（2，0），渐近线方程为x+y＝0，则焦点F到其渐近线的距离d＝＝，故选：A．3．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．4B．8C．D．【分析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积．解：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为S＝22＝4，高为h＝＝；所以该四棱锥的体积是V＝Sh＝×4×＝．故选：C．4．若实数x，y满足不等式组，则x﹣3y（）A．有最大值﹣2，最小值﹣B．有最大值，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值﹣2，无最大值【分析】画出不等式组表示的平面区域，设z＝x﹣3y，则直线x﹣3y﹣z＝0是一组平行线，找出最优解，求出z有最大值，且z无最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；设z＝x﹣3y，则直线x﹣3y﹣z＝0是一组平行线；当直线过点A时，z有最大值，由，得A（2，0）；所以z的最大值为x﹣3y＝2﹣0＝2，且z无最小值．故选：C．5．在△ABC中，已知A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】A＝，则“sin A＞sin B”，利用正弦定理可得：a＞b，A＞B，B＜，C为钝角．反之不成立．可能B是钝角．解：A＝，则“sin A＞sin B”，由正弦定理可得：a＞b⇔B＜，C为钝角，⇒“△ABC是钝角三角形”，反之不成立．可能B是钝角．∴A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．6．已知a＞0，且a≠1，若log a2＞1，则y＝x﹣的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先根据对数不等式求出a的范围，然后利用特殊值验证找出图象．解：∵log a2＞1，∴a＞1．结合图象f（1）＝1﹣a＜0，故排除B，C．又∵f（﹣1）＝﹣1﹣a＜0，故排除A．D选项满足．故选：D．7．已知x1，x2，x3∈R，x1＜x2＜x3，设y1＝，y2＝，y3＝，z1＝，z2＝，z3＝，若随机变量X，Y，Z满足：P（X＝x i）＝P（Y＝y i）＝P（Z ＝z i）＝（i＝1，2，3），则（）A．D（X）＜D（Y）＜D（Z）B．D（X）＞D（Y）＞D（Z）C．D（X）＜D（Z）＜D（Y）D．D（X）＞D（Z）＞D（Y）【分析】计算可得E（X）＝E（Y），进而得到D（X）＞D（Y），同理D（Y）＞D（Z），解：E（X）＝，E（Y）＝（++）＝＝E（X），，，距E（Y），x1，x2，x3较近，所以D（X）＞D（Y），同理D（Y）＞D（Z），故D（X）＞D（Y）＞D（Z），故选：B．8．如图，三棱锥V﹣ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，则α+β不可能是（）A．B．C．D．【分析】由题意，三棱锥V﹣ABC为正三棱锥，过P作PE∥AC，则∠BPE为直线PB 与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，即V﹣AC﹣B的平面角为β，然后利用运动思想分析两角的范围，可得α+β∈（，π），则α+β不可能是，答案可求．解：如图，由题意，三棱锥V﹣ABC为正三棱锥，过P作PE∥AC，则∠BPE为直线PB与直线AC所成角为α，当P无限靠近A时，∠PBE无限接近，但小于，则∠BPE＝∠BEP＝α＞．当棱锥的侧棱无限长，P无限靠近V时，α无限趋于但小于；二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，即V﹣AC﹣B的平面角为β，由三棱锥存在，得β＞0，随着棱长无限增大，β无限趋于．∴α+β∈（，π）．则α+β不可能是．故选：D．9．如图，一系列椭圆∁n：+＝1（n∈N*），射线y＝x（x≥0）与椭圆∁n交于点P n，设a n＝|P n P n+1|，则数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．先递减后递增数列D．先递增后递减数列【分析】取射线y＝x的参数方程，利用参数t的几何意义表示出a n，然后作差法判断其单调性．解：设y＝x的参数方程，代入+＝1（n∈N*）整理得，∴，∴a n＝t n+1﹣t n＝要判断上式增大还是减小，只需研究的值增大或减小即可．将上式通分得＝＝，显然随着n的增大，a n的逐渐减小．故该数列是递减数列．故选：B．10．设a∈R，若x∈[1，e]时恒有（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a（其中e＝2.71828……为自然对数的底数），则恒有零点的是（）A．y＝x2+ax+1B．y＝ax2+3x+1C．y＝e x+a﹣1D．y＝e x﹣a+1【分析】原式变形可得，构造，可得（e﹣1）lnt ≤t﹣1，再构造，利用导数可知，满足g（t）≤0的t∈（0，1]∪[e，+∞），结合x∈[1，e]，可知，由此再逐项判断即可得出结论．解：（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a等价于，令，则（e﹣1）lnt≤t﹣1，令，则，令g′（t）＝0，解得t＝e，∴函数g（t）在（0，e﹣1）单调递增，在（e﹣1，+∞）单调递减，注意到g（1）＝g （e）＝0，作函数g（t）的图象如下，由图可知，g（t）≤0的解集为t∈（0，1]∪[e，+∞），当t∈（0，1]时，，则，此时无解；当t∈[e，+∞）时，，则，对A，取时，y＞0恒成立，不合题意；对B、C，取a→+∞时，y＞0恒成立，不合题意；对D，事实上，，必有a﹣1＞0，因此y＝e x﹣a+1必有零点．故选：D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．函数f（x）＝﹣3sin（πx+2）的最小正周期为2，值域为[﹣3，3]．【分析】利用周期计算公式和y＝sin x的值域直接计算即可．解：由题意最小正周期．因为sin（πx+2）∈[﹣1，1]，所以﹣3sin（πx+2）∈[﹣3，3]，故值域为[﹣3，3]．故答案为：2，[﹣3，3]．12．已知i为虚数单位，复数z满足＝1﹣2i，则z＝3﹣2i，|z|＝．【分析】利用复数的加减法、乘法公式、复数模的计算公式直接计算即可．解：∵＝1﹣2i，∴z+i＝（1﹣2i）（1+i）＝3﹣i．∴z＝3﹣2i．．故答案为：3﹣2i，13．已知（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，则a6＝0，|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝665．【分析】根据其特点可知a6为x6的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令x＝1即可求解．解：因为（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，令x＝1可得：a0+a1+a2+……+a5+a6＝26﹣36＝﹣665．所以：a6＝﹣＝0；∵a0＝﹣26＝﹣63；a1＝﹣25＝﹣186；a2x2+＝﹣24＝﹣225；……a5＝﹣2＝﹣6；a6＝﹣20•＝0；故|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝﹣a0﹣a1﹣a2﹣……﹣a5﹣a6＝665．故答案为：0，665．14．已知函数f（x）＝，若f（﹣1）＝f（1），则实数a＝1﹣；若y＝f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为[﹣1，0）．【分析】（1）根据题意列出关于a的方程即可；（2）在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．解：（1）∵f（﹣1）＝f（1），∴2﹣1＝log2（1﹣a），∴，∴．（2）易知x＜0时，f（x）＝2x∈（0，1）；又x≥0时，f（x）＝log2（x﹣a）递增，故f（x）≥f（0）＝log2（﹣a），要使函数f（x）存在最小值，只需，解得：﹣1≤a＜0．故答案为：1﹣，[﹣1，0）．15．某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有324种不同分配方案．（用具体数字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，将9人分成3组，有A33×种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情况有C42C42种，则有A33×﹣C42C42＝90﹣36＝54种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有A33＝6种情况，则有54×6＝324种不同的分配方案；故答案为：324．16．已知平面向量，，，，满足||＝||＝||＝1，•＝0，|﹣|＝|•|，则•的取值范围为．【分析】根据已知条件，假设各向量的坐标表示，通过转换成三角函数的范围来求解．【解答】解；由题，设．∵|﹣|＝|•|，∴（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝sin2θ．①．．根据①中圆的几何意义，•的取值范围即：，∴•的取值范围为[]．故答案为：．17．已知a，b∈R，设函数f（x）＝2|sin x+a|+|cos2x+sin x+b|的最大值为G（a，b），则G （a，b）的最小值为．【分析】换元t＝sin x∈[﹣1，1]，可知G（a，b）＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b ﹣1|}，分G（a，b）＝|﹣2t2+3t+2a+b+1|及G（a，b）＝|2t2+t+2a﹣b﹣1|讨论，利用绝对值的几何意义两点控制可求得对应的最小值，进而求得G（a，b）的最小值．解：设t＝sin x∈[﹣1，1]，则f（x）＝2|sin x+a|+|1﹣2sin2x+sin x+b|＝|2t+2a|+|﹣2t2+t+b+1|＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b﹣1|}，∴G（a，b）＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b﹣1|}，当G（a，b）＝|﹣2t2+3t+2a+b+1|时，令g（t）＝﹣2t2+3t+2a+b+1，t∈[﹣1，1]，则此时，故＝，由a，b∈R可知，等号能成立；当G（a，b）＝|2t2+t+2a﹣b﹣1|时，令h（t）＝2t2+t+2a﹣b﹣1，t∈[﹣1，1]，则此时，故＝，由a，b∈R可知，等号能成立；综上，G（a，b）的最小值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，＝．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由已知结合正弦定理求得A的正切值，即可求得结论；（Ⅱ）由余弦定理求得边c，进而求得其面积．解：（Ⅰ）∵＝⇒a sin B＝cos A，∵＝⇒a sin B＝b sin A；∵b＝1；所以：cos A＝sin A⇒tan A＝⇒A＝．（三角形内角）（Ⅱ）因为a2＝b2+c﹣22bc cos A⇒c2﹣c﹣3＝0⇒c＝；（负值舍）；∴S△ABC＝bc sin A＝．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE是正方形，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，AE＝．（Ⅰ）求证：BC⊥AE；（Ⅱ）求直线AD与平面BCDE所成角的正弦值．【分析】（I）由BC⊥AB，BC⊥BE，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明结论．（II）过点B作平面ABC的垂线Bz，则BA，BC，Bz两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A（，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，z）．可得•＝0，|BE|＝1，|EA|＝．z＞0，解得E．由＝＝（﹣，0，）．得D坐标．设平面BCDE的法向量为：＝（a，b，c），则•＝•＝0，可得：，利用向量夹角公式即可得出．【解答】（I）证明：∵BC⊥AB，BC⊥BE，AB∩BE＝B，∴BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE．（II）解：过点B作平面ABC的垂线Bz，则BA，BC，Bz两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A（，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，z）．则•＝0，|BE|＝1，|EA|＝．可得：y＝0，x2+z2＝1，+z2＝7．z＞0，解得E（﹣，0，）．由＝＝（﹣，0，）．得D（﹣，1，）．∴＝（﹣，1，）．设平面BCDE的法向量为：＝（a，b，c），则•＝•＝0，可得：﹣x+z＝0＝y，可得：＝（1，0，）．∴cos＜，＞＝＝﹣．∴直线AD与平面BCDE所成角的正弦值为．20．已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列．数列{b n}满足：b1+ ++……+＝（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：+++……+＜．【分析】（Ⅰ）由递推公式可以求出通项公式a n＝2n，b n＝n．（Ⅱ）采用缩放的方法证明当n＝1和n≥2时成立，采用缩放的方法证明．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则a2＝2q，a3＝2q2，a4＝2q3，由a2，a3+2，a4成等差数列，得2（a3+2）＝a2+a4，即2（2q2+2）＝2q+2q3，即（q﹣1）（q2+1）＝0，解得q＝2，所以a n＝2n．当n＝1时，b1＝1，当n≥2时，b1+++…+＝，b1+++…+＝，作差得＝n，所以，b n＝n（n≥2），当n＝1时，b1＝1×＝1也成立，所以b n＝n，综上，a n＝2n，b n＝n．（Ⅱ）因为当n≥2时，＝＜＝，所以，+++…+＜++…+，设T n＝++…+，则T n＝++…+，两式相减得，T n＝+（+…+）﹣＝+﹣＝+（1﹣）﹣＝﹣，所以T n＝﹣，所以T n＜．所以+++……+＜．21．如图，已知点O（0，0），E（2，0），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为线段OE中点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点E的直线交抛物线C于A，B两点，＝4，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且MN⊥y轴，求△ABN面积的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知得焦点F（1，0），所以p＝2，从而求出抛物线C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），与抛物线方程联立，利用△＝0求得，所以直线l的方程为：2x﹣y1y+2x1＝0，由＝4，求得点M的坐标，进而求出点N的坐标，所以S△ABN＝设直线AB的方程为：x＝my+2，与抛物线方程联立，设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），利用韦达定理代入S△ABN，利用基本不等式即可求出△ABN面积的最小值．解：（Ⅰ）由已知得焦点F的坐标为（1，0），∴p＝2，∴抛物线C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）设直线AB的方程为：x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程，消去x得：y2﹣4my﹣8＝0，∴△＝16m2+32＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），联立方程，消去x得：，由相切得：，∴，又，∴，∴，∴，∴直线l的方程为：2x﹣y1y+2x1＝0，由＝4，得，，将代入直线l方程，解得＝，所以S△ABN＝＝＝＝＝，又，所以，当且仅当时，取到等号，所以△ABN面积的最小值为4．22．已知函数f（x）＝（x+1）e x﹣ax2（x＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：+﹣＞1．（其中t0为f（x）的极小值点）【分析】（Ⅰ）先求其导函数，转化为f′（x）≥0，即求g（x）＝•e x﹣2a的最小值即可；（Ⅱ）（ⅰ）结合第一问的结论得f（x）不单调，故a＞；设f′（x）＝0有两个根，设为t1，t0，且0＜t1t0，可得原函数的单调性，把问题转化为f（t0）＜0，即可求解结论．（ⅱ）转化为先证明不等式，若x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，则＜＜．再把原结论成立转化为证x1+x2＜2t0；构造函数r（x）＝f（t0+x）﹣f（t0﹣x）一步步推其成立即可．解：（Ⅰ）由f（x）＝（x+1）e x﹣ax2，得f′（x）＝x（e x﹣2a），设g（x）＝•e x，（x＞0）；则g′（x）＝；由g′（x）≥0，解得x﹣1，所以g（x）在（0，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f′（x）≥0，所以2a≤g（）＝（2+）•e；所以，实数a的取值范围是：（﹣∞，]．（Ⅱ）（i）因为函数f（x）有两个不同的零点，f（x）不单调，所以a＞．因此f′（x）＝0有两个根，设为t1，t0，且0＜t1t0，所以f（x）在（0，t1）上单调递增，在（t1，t0）上单调递减，在（t0，+∞）上单调递增；又f（t1）＞f（0）＝1，f（x）＝（x+1）e x﹣ax2＝a（e x﹣x2）+（x+1﹣a）•e x，当x 充分大时，f（x）取值为正，因此要使得f（x）有两个不同的零点，则必须有f（t0）＜0，即（t0+1）e﹣a•t02＜0；又因为f′（t0）＝（t0+2）e﹣2at0＝0；所以：（t0+2）e﹣•（t0+2）e＜0，解得t0，所以a＞g（）＝•e；因此当函数f（x）有两个不同的零点时，实数a的取值范围是（•e，+∞）．（ⅱ）先证明不等式，若x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，则＜＜．证明：不妨设x2＞x1＞0，即证＜ln＜，设t＝＞1．g（t）＝lnt﹣，h（t）＝lnt﹣，只需证g（t）＜0且h（t）＞0；因为g′（t）＝﹣＜0，h′（t）＝＞0，所以g（t）在（1，+∞）上单调递减，h（t）在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＜g（1）＝0，h（t）＞h（1）＝0，从而不等式得证．再证原命题+﹣＞1．由得；所以＝，两边取对数得：2（lnx2﹣lnx1）﹣[ln（x2+1）﹣ln （x1+1）]＝x2﹣x1；即﹣＝1．因为﹣＜﹣，所以1+＜＜+，因此，要证+﹣＞1．只需证x1+x2＜2t0；因为f（x）在（t0，+∞）上单调递增，0＜x1＜t0＜x2，所以只需证f（x2）＜f（2t0﹣x2），只需证f（x1）＜f（2t0﹣x1），即证f（t0+x）＜f（t0﹣x），其中x∈（﹣t0，0）；设r（x）＝f（t0+x）﹣f（t0﹣x），﹣t0＜x＜0，只需证r（x）＜0；计算得r′（x）＝（x+t0+2）e+（﹣x+t0+2）e﹣4at0；r″（x）＝e[（x+t0+3）e2x+（x﹣t0﹣3）]．由y＝（x+t0+3）e2x+（x﹣t0﹣3）在（﹣t0，0）上单调递增，得y＜（t0+3）e0+（0﹣t0﹣3）＝0，所以r″（x）＜0；即r′（x）在（﹣t0，0）上单调递减，所以：r′（x）＞r′（0）＝2f′（t0）＝0；即r（x）在（﹣t0，0）上单调递增，所以r（x）＜r（0）＝0成立，即原命题得证．。

2020年广东省高考数学一模试卷答案解析

2020年广东省高考数学一模试卷答案解析

2020年广东省高考数学一模试卷答案解析一、选择题（共12题，共60分）1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，3]C．（0，3）D．（0，3]【解答】解：集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），则A∪B＝（﹣1，3]，故选：B．2．设z＝，则z的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为1．故选：B．3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测．若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（）34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42A．25B．23C．12D．07【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，依次为07，04，08，23，12，则抽取的第5个零件编号为，12，故选：C．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36B．32C．28D．24【解答】解：S6＝＝3×（3+9）＝36．故选：A．5．若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（1，﹣2），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（1，﹣2），∴点（1，﹣2）在直线上，∴．则该双曲线的离心率为e＝．故选：C．6．已知tanα＝﹣3，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为tanα＝﹣3，则＝cos2α＝＝＝＝．故选：D．7．的展开式中x3的系数为（）A．168B．84C．42D．21【解答】解：由于的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r x7﹣2r，则令7﹣2r＝3，求得r＝2，可得展开式中x3的系数为•4＝84，故选：B．8．函数f（x）＝ln|e2x﹣1|﹣x的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：，故排除CD；f（﹣1）＝ln|e﹣2﹣1|+1＝ln（1﹣e﹣2）+lne＝，故排除B．故选：A．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为（）A．B．32πC．36πD．48π【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为三棱锥体A﹣BCD：如图所示：设外接球的半径为r，则：（2r）2＝42+42+42，解得r2＝12，所以：S＝4π×12＝48π．故选：D．10．已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：由椭圆的方程可得焦点在y轴上，a2＝4，即a＝2，由题意可得|NF2|≤|F2M|+|MN|＝|F2M|+|MF1|，当N，M，F2三点共线时取得最大值而|F2M|+|MF1|＝2a＝4，所以|NF2|的最大值为4，故选：B．11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示的Rt△ABC，其中角B为直角，则垂心H与B重合，∵O为△ABC的外心，∴OA＝OC，即O为斜边AC的中点，又∵M为BC中点，∴，∵M为BC中点，∴＝＝＝．故选：D．12．已知定义在[0，]上的函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最大值为，则正实数ω的取值个数最多为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵定义在[0，]上的函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最大值为，∴0＜≤1，解得0＜ω≤3，∴≤ωx﹣≤．①0＜ω≤时，则sin（ω﹣）＝，令g（ω）＝sin（ω﹣）﹣，y＝sin（ω﹣）在（0，]上单调递增，∵g（0）＝﹣＜0，g（）＝1﹣＝＞0，因此存在唯一实数ω，使得sin（ω﹣）＝．②＜ω≤3，sin（ωx﹣）＝1，必须ω＝3，x＝．综上可得：正实数ω的取值个数最多为2个．故选：C．二、填空题（共4题，共20分）13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为﹣3．【解答】解：画出x，y满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数z＝x﹣2y过A时，z取得最小值，由，解得A（1，2），所以z的最小值为z＝1﹣2×2＝﹣3．故答案为：﹣3．14．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2a n﹣n，则a6＝63．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，由于S n＝2a n﹣n，①所以当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣（n﹣1）②，①﹣②得：a n＝2a n﹣1+1，整理得（a n+1）＝2（a n﹣1+1），所以（常数），所以数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，整理得．所以．故答案为：6315．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全．某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”（如0123），已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为．【解答】解：基本事件的总数为，其中该验证码的首位数字是1的包括的事件个数为．∴该验证码的首位数字是1的概率＝＝．故答案为：．16．已知点M（m，m﹣）和点N（n，n﹣）（m≠n），若线段MN上的任意一点P都满足：经过点P的所有直线中恰好有两条直线与曲线C：y＝+x（﹣1≤x≤3）相切，则|m﹣n|的最大值为．【解答】解：由点M（m，m﹣）和点N（n，n﹣），可得M，N在直线y＝x﹣上，联立曲线C：y＝+x（﹣1≤x≤3），可得x2＝﹣，无实数解，由y＝+x的导数为y′＝x+1，可得曲线C在x＝﹣1处的切线的斜率为0，可得切线的方程为y＝﹣，即有与直线y＝x﹣的交点E（0，﹣），同样可得曲线C在x＝3处切线的斜率为4，切线的方程为y＝4x﹣，联立直线y＝x﹣，可得交点F（，），此时可设M（0，﹣），N（，），则由图象可得|m﹣n|的最大值为﹣0＝，故答案为：．三、解答题（共70分）17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2+b2﹣c2＝2S．（1）求cos C；（2）若a cos B+b sin A＝c，，求b．【解答】解：（1）∵a2+b2﹣c2＝2S，所以2ab cos C＝ab sin C，即sin C＝2cos C＞0，sin2C+cos2C＝1，cos C＞0，解可得，cos C＝，（2）∵a cos B+b sin A＝c，由正弦定理可得，sin A cos B+sin B sin A＝sin C＝sin（A+B），故sin A cos B+sin B sin A＝sin A cos B+sin B cos A，所以sin A＝cos A，∵A∈（0，π），所以A＝，所以sin B＝sin（A+C）＝sin（）＝＝，由正弦定理可得，b＝＝＝3．18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在棱C1C，A1A上，且C1M＝2MC，A1N＝2NA．（1）求证：NC1∥平面BMD；（2）若A1A＝3，AB＝2AD＝2，∠DAB＝，求二面角N﹣BD﹣M的正弦值．【解答】解：（1）连接BD，AC交于E，取C1M的中点F，连接AF，ME，由C1M＝2MC，A1N＝2NA，故C1F＝AN，以且C1F∥AN，故平行四边形C1F AN，所以C1N∥F A，根据中位线定理，ME∥AF，由ME⊂平面MDB，F A⊄平面MDB，所以F A∥平面MDB，NC1∥F A，故NC1∥平面BMD；（2）AB＝2AD＝2，∠DAB＝，由DB2＝1+4﹣2×1×2×cos＝3，由AB2＝AD2+DB2，得AD⊥BD，以D为原点，以DA，DB，DD₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，D（0，0，0），B（0，，0），M（﹣1，，1），N（1，0，1），＝（0，，0），＝（﹣1，，1），＝（1，0，1），设平面MBD的一个法向量为＝（x，y，z），由，令x＝1，得＝（1，0，1），设平面NBD的一个法向量为＝（a，b，c），由，得，由cos＜＞＝，所以二面角N﹣BD﹣M为，正弦值为1．19．已知以F为焦点的抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点P（1，﹣2），直线l与C交于A，B两点，M为AB中点，且．（1）当λ＝3时，求点M的坐标；（2）当＝12时，求直线l的方程．【解答】解：（1）将P（1，﹣2）代入抛物线C：y2＝2px方程，得p＝2，所以C的方程为y2＝4x，焦点F（1，0），设M（x0，y0），当λ＝3时，，可得M（2，2）．（2）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由．可得（x0+1，y0﹣2）＝（λ，0），所以y0＝2，所以直线l的斜率存在且斜率，设直线l的方程为y＝x+b，联立，消去y，整理得x2+（2b﹣4）x+b2＝0，△＝（2b﹣4）2﹣4b2＝16﹣16b＞0，可得b＜1，则x1+x2＝4﹣2b，，，所以，解得b＝﹣6，b＝2（舍），所以直线l的方程为y＝x﹣6．方法二：设直线l的方程为x＝my+n，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程组，消去x，整理得y2﹣4my﹣4n＝0，△＝16m2+16n＞0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，则，则M（2m2+n，2m），由．得（2m2+n+1，2m﹣2）＝（λ，0），所以m＝1，所以直线l的方程为x＝y+n，由△＝16+16n＞0，可得n＞﹣1，由y1y2＝﹣4n，得，所以，解得n＝6或n＝﹣2，（舍去）所以直线l的方程为y＝x﹣6．20．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：P（K2≥k0）0.050.0250.010k0 3.841 5.024 6.635，其中n＝a+b+c+d．【解答】解：（1）根据统计数据，计算平均数为＝×（1×85+3×205+5×310+7×250+9×130+11×15+13×5）＝5.4（天）；（2）根据题意，补充完整列联表如下；潜伏期＜6天潜伏期≥6天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200根据列联表计算K2＝＝≈2.083＜3.841，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；（3）根据题意得，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为＝，设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，则X～B（20，），P（X＝k）＝••，k＝0，1，2， (20)由，得，化简得，解得≤k≤；又k∈N，所以k＝8，即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人．21.已知函数f（x）＝e x﹣aln（x﹣1）．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数）（1）若a∈R，求函数f（x）的极值点个数；（2）若函数f（x）在区间（1，1+e﹣a）上不单调，证明：+＞a．【解答】解：（1）易知，①若a≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）无极值点，即此时极值点个数为0；②若a＞0，易知函数y＝e x的图象与的图象有唯一交点M（x0，y0），∴，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（x0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）有较小值点x0，即此时函数f（x）的极值点个数为1；综上所述，当a≤0时，函数f（x）的极值点个数为0；当a＞0时，函数f（x）的极值点个数为1；（2）证明：∵函数f（x）在区间（1，1+e﹣a）上不单调，∴存在为函数f（x）的极值点，由（1）可知，a＞0，且，即，两边取自然对数得1﹣a+e﹣a＞lna，即1+e﹣a﹣lna＞a，要证+＞a，不妨考虑证，又易知e x≥1+x，∴，即，又，∴，∴，即，∴，∴+＞a．22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．即ρ2＝4ρsinθ，可得普通方程：x2+y2＝4y．（2）点P的极坐标为，可得直角坐标为（﹣2，0）．把直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），代入C2方程可得：t2﹣（4cosα+4sinα）t+12＝0，△＝﹣48＞0，可得：sin（α+）＞，或sin（α+）＜﹣，由α为锐角．可得：sin（α+）＞，解得：0＜α＜．则t1+t2＝4cosα+4sinα，t1t2＝12．∴|EF|＝＝4，|PE|+|PF|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝8|sin（α+）|，∴8＝8|sin（α+）|，∴化为：sin（α+）＝1，∴α＝+2kπ，k∈Z．α满足0＜α＜．可得α＝．∴直线C1的参数方程为：，可得普通方程：x﹣y+2＝0．23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）≥9；（2）ac+bc+ab﹣abc≤．【解答】证明：（1）＝，当且仅当时，等号成立；（2）∵a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，∴c＝1﹣a﹣b，1﹣a＞0，1﹣b＞0，1﹣c＞0，∴ac+bc+ab﹣abc＝（a+b﹣ab）c+ab＝（a+b﹣ab）（1﹣a﹣b）+ab＝（b﹣1）（a﹣1）（a+b）＝（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c），∴ac+bc+ab﹣abc≤，当且仅当时，等号成立．。

2020年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷 全国新高考Ⅰ卷 (含答案)

2020年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷 全国新高考Ⅰ卷 (含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1 B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅2．已知数据x1，x2，x3，...，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，...，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3， (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．定义min，则由函数f（x）的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．39．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥N﹣PAC与三棱锥D﹣PAC的体积比为（）A．1：2 B．1：8 C．1：6 D．1：310．已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）A．k≥2 B．k≥4 C．0＜k≤2 D．0＜k≤4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为_______．12．二项式的展开式中，常数项等于_______（用数字作答）．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM 为等腰直角三角形，则f（x）=_______．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是_______．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是_______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．2020年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出全集中y的值确定出U，再由B利用补集的定义求出B的补集，找出A与B 补集的交集即可．【解答】解：由全集U中y=log2x，x=，1，2，16，得到y=﹣1，0，1，4，即全集U={﹣1，0，1，4}，∵A={﹣1，1}，B={1，4}，∴∁U B={﹣1，0}，则A∩（∁U B）={﹣1}，故选：B．2．已知数据x1，x2，x3，...，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，...，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3， (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与中位数的定义，分析这组数据，即可得出正确的结论．【解答】解：根据题意得，数据x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，而中位数有可能不变，如：按大小顺序排列后，第25、26个数据相等时，其中位数相等．故选：B．3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；函数的零点；古典概型及其概率计算公式．【分析】函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，可得ξ＞1，根据随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，∴△=4﹣4ξ＜0，∴ξ＞1∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于直线x=1对称∴P（ξ＞1）=故选C．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】要判断“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的条件，我们可先构造函数y=|x﹣2|+|x|并求出函数的值域，然后转化为一个恒成立的判断与性质问题，最后结合充要条件的定义，进行判断．【解答】解：函数y=|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞）则当a＜1时，|x﹣2|+|x|＞a恒成立反之若，|x﹣2|+|x|＞a，则说明a小于函数y=|x﹣2|+|x|的最小值2恒成立，即a＜2故“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的充分不必要条件故选：A．5．定义min，则由函数f（x）的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据题目给出的函数定义，写出分段函数f（x）=min{x2， }，由图象直观看出所求面积的区域，然后直接运用定积分求解阴影部分的面积．【解答】解：由=x2，得：x=1，又当x＜0时，＜x2，所以，根据新定义有f（x）=min{x2， }=，图象如图，所以，由函数f（x）的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分，其面积为S=x2dx+dx=|+lnx|=+ln2，故选：C．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用余弦定理可得|PF1|=2c，再由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得|PF2|=|F1F2|=2c，∠PF2F1=120°，即有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2F1=4c2+4c2﹣2•4c2•（﹣）=12c2，即有|PF1|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，即有c=a，可得e==．故选：A．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求2n cosnπ的和，n从1取到100，利用等比数列求和公式即可计算得解．【解答】解：通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π，由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+...+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣ (2100)=．故选：C．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x ﹣z 经过点A 时，z 取得最大值，此时z 最大．即A （﹣2，﹣2），代入目标函数z=|x +2y |得z=2×2+2=6故选：C ．9．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB=2PN ，则三棱锥N ﹣PAC 与三棱锥D ﹣PAC 的体积比为（ ）A ．1：2B ．1：8C ．1：6D ．1：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据两个棱锥的底面和高与棱锥P ﹣ABC 的底面与高的关系得出两棱锥的体积与棱锥P ﹣ABC 的关系，得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S △ABC =S △ACD ．∴V D ﹣PAC =V P ﹣ACD =V P ﹣ABC ．∵NB=2PN ，∴NB=PB ，∴V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ，∴V N ﹣PAC =V P ﹣ABC ﹣V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ．∴．故选：D ．10．已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）A．k≥2 B．k≥4 C．0＜k≤2 D．0＜k≤4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），运用向量的数量积的坐标表示，由换元法可得二次方程，由判别式大于等于0和两根非负的条件，运用韦达定理，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由y=k（k＞0），代入抛物线x2=4y，可得x=±2，可设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），由，可得（2﹣m，k﹣）•（﹣2﹣m，k﹣）=0，即为（2﹣m）（﹣2﹣m）+（k﹣）2=0，化为m4+m2（1﹣）+k2﹣4k=0，可令t=m2（t≥0），则t2+t（1﹣）+k2﹣4k=0，可得△=（1﹣）2﹣（k2﹣4k）≥0，即1≥0恒成立，由韦达定理可得﹣（1﹣）≥0，k2﹣4k≥0，解得k≥4．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式．【解答】解：m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，可得m=2，n=﹣2，====﹣i．它的共轭复数为i．故答案为：i．12．二项式的展开式中，常数项等于1215（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：展开式的通项公式为，由6﹣3k=0得k=2，所以常数项为，故答案为1215．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM为等腰直角三角形，则f（x）=cosπx．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的最值求出A，由函数的奇偶性求出φ的值，由周期求出ω，可得函数的解析式．【解答】解：由题意可得A=，φ=2kπ+，k∈Z，再结合0＜φ＜π，可得φ=，函数f（x）=sin（ωx+）=cosωx．再根据•=，可得ω=π，函数f（x）=cosπx，故答案为：cosπx．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是2+3．【考点】基本不等式．【分析】化简可得=++3，从而利用基本不等式求解即可．【解答】解：=2+++1=++3≥2+3，（当且仅当=，即a=b时，等号成立）；故答案为：2+3．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=+﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2] =，|x1﹣x2|≤|1﹣2|=1，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|≤=，由于|≤K恒成立，∴，∴K的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）化简f（x），根据对称轴求出ω，得出f（x）的解析式，利用周期公式计算周期；（2）由f（A）=解出A，利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式得出面积的最大值．【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx﹣[﹣cos（2ωx﹣）]=cos（2ωx﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx﹣）．令2ωx﹣=+kπ，解得x=．∴f（x）的对称轴为x=，令=π解得ω=．∵＜w＜1，∴当k=1时，ω=．∴f（x）=sin（x﹣）．∴f（x）的最小正周期T=．（2）∵f（）=sin（A﹣）=，∴sin（A﹣）=．∴A=．由余弦定理得cosA===．∴b2+c2=bc+1≥2bc，∴bc≤1．∴S△ABC==≤．∴△ABC面积的最大值是．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元．…都付0元的概率为P1==，都付40元的概率为P2==，都付80元的概率为P3=（1﹣）（1﹣）=，故所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=．（Ⅱ）由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0，40，80，120，160，P（ξ=0）==，P（ξ=40）==，P（ξ=80）=+=，P（ξ=120）=+=，P（ξ=160）=（1﹣）（1﹣）=，∴ξ的分布列为：ξ0 40 80 120 160P数学期望E（ξ）=+=80．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CD∥l；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）取CD的中点H，∵AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，∴AH⊥CD，∠CAH=∠CAB=45°，即∠BAH=90°，即四边形ABCH是矩形，则AB∥CH，AB∥CD∵CD⊄面PAB，AB⊂面PAB，∴CD∥面PAB，∵CD⊂面PCD，面PAB∩面PCD=l，∴根据线面平行的性质得CD∥l．（Ⅱ）∵AC=2，∴AB=BC=AH=，DH=，建立以A为原点，AH，AB，AP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），B（0，，0），C（，，0），P（0，0，2），E（0，0，1），D（，﹣，0），=（﹣，﹣，1），=（，0，0），=（0，﹣2，0）设平面BPC的一个法向量为=（x，y，z），则，则x=0，令y=，则z=2，即=（0，，2），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），，则y=0，令x=，则z=2，=（，0，2），则cos＜，＞====，即二面角B﹣CE﹣D的余弦值是．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）由，可得=T1+2=22，解得a1．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，S n．可得2n+1=T n+2，利用递推关系可得b n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．可得：c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．n≥3，W n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵，∴=T1+2=2+2=4=22，∴+1=2，解得a1=1．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴S n==n2．∴2n+1=T n+2，+2）=b n，∴当n≥2时，2n+1﹣2n=T n+2﹣（T n﹣1∴b n=2n，当n=1时也成立．∴b n=2n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．∴c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．∴n≥3，W n=﹣c1﹣c2+c3+…+c n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，2Q n=1×22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣Q n=2（2+22+…+2n）﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=2×﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴Q n=（2n﹣3）•2n+1+6．∴W n=．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，运用直线斜率公式和斜率之积为﹣1，可得m，再由直线MA与椭圆求得交点P；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，运用韦达定理，解得P的坐标；同理求得Q的坐标，运用直线的斜率公式可得PQ的斜率，由点斜式方程可得PQ的方程，再由恒过定点思想，即可得到所求定点．【解答】解：（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，可得k BH•k MA=﹣1，即有•=﹣1，可得m=，由MA的方程：y=（x+2），代入椭圆方程，可得8x2+4x﹣48=0，解得x=﹣2，或，即有P（，）；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，可得（36+m2）x2+4m2x+8m2﹣288=0，由﹣2x P=，可得x P=，y P=（x P+2）=；又MB：y=（x﹣2），代入椭圆方程，可得（4+m2）x2﹣4m2x+8m2﹣32=0，由2+x Q=，可得x Q=，y Q=（x Q﹣2）=﹣，即有直线PQ的斜率为k==，则直线PQ：y﹣=（x﹣），化简即有y=（x﹣1），由x﹣1=0，解得x=，y=0．故直线PQ恒过定点（，0）．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出a的范围即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式求出h（x）的单调区间，从而求出h（x）的最大值即可；（Ⅲ）构造函数f（x）=ln（1+x）﹣x，利用导数法可证得ln（1+x）≤x（当x≠0时，ln（1+x）＜x），令x=，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣ax，f′（x）=cosx﹣a，若对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，即a＜cosx在（0，1）恒成立，故a≤0；（Ⅱ）a=1时，h（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）=﹣1=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴h（x）的最大值是h（1）=0；证明：（Ⅲ）构造函数g（x）=ln（1+x）﹣x，则g′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；所以，当x=0时，g（x）=ln（1+x）﹣x取得极大值，也是最大值，所以，g（x）≤g（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．令x=，则ln（1+）=ln（n+1）﹣lnn＜，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln（n﹣1）＜，ln（n+1）﹣lnn＜，以上n个不等式相加得：ln（n+1）﹣ln1＜1+++…+，即．2020年9月9日。

2020年高考一模数学试题及答案(数学)

2020年高考一模数学试题及答案(数学)

(Ⅰ)试估计在这 50 万青年学生志愿者中,英语测试成绩在 80 分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人,记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X,求 的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000),并在每组中随机选取 个人 作为联络员,要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成绩在 70 分以上的概率大于 90%.根据图表中数据,以频率 作为概率,给出 的最小值.(结论不要求证明)
.
2/5
14.函数 吠h ⸶ .
h吠 h的最小正周期为
;若函数 吠h在区间 ㄱㄠ h上单调递增,则 的最大值为
15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有 100 名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为 70%,女生成绩的优秀 率为 50%;乙校男生成绩的优秀率为 60%,女生成绩的优秀率为 40%.对于此次测试,给出下列三个结论:
第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.在 吠 吠 h 的展开式中,常数项为
.(用数字作答)
12.若向量 ⸶ 吠hㄠhhㄠ ⸶ ㄠ吠h满足 ㄰ 㸴,则实数 吠 的取值范围是
.
13.设双曲线吠h t
h
h⸶
t ㄱh的一条渐近线方程为
⸶
h h
吠,则该双曲线的离心率为
h,设 ㄠ hㄠ ㄠ h是 的一个“正整数分拆”,
且 ⸶ h,求 的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数 ,证明: 쳌 ;并求出使得等号成立的 的值.
(注:对于 的两个“正整数分拆” ㄠ hㄠ ㄠ h与 ㄠ hㄠ ㄠ h,当且仅当 ⸶ 且 ⸶ ㄠ h ⸶ hㄠ ㄠ ⸶ 时, 称这两个“正整数分拆”是相同的.)

2020年河南省焦作市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年河南省焦作市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2|B．•=2 C．﹣与垂直 D．∥4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．88．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． +C．D．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6C．4+D．611．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B．C．D．112．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|=．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10（Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．2020年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（2x+1）（x﹣3）＞0，解得：x＜﹣或x＞3，即B={x|x＜﹣或x＞3}，∵A={x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}，故选：D．2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，可得z==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1），在复平面内z的共轭复数对应的点（1，1）．故选：A．3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2|B．•=2 C．﹣与垂直 D．∥【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，对选项中的命题进行分析判断即可．【解答】解：∵向量=（2，0），=（1，1），∴||=2，||===2，||=||，A正确；•=2×1+0×1=2，B正确；（﹣）•=（1，﹣1）•（1，1）=1×1﹣1×1=0，∴（﹣）⊥，C正确；2×1﹣0×1≠0，∴∥不成立，D错误．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣1，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣1﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣1﹣4﹣9，i=4；∴S0﹣1﹣4﹣9=﹣4，解得S0=10故选：D．5．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故选B．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：∵|x|≥0，∴若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，∴0＜a＜1，当x＞0时，数y=log a|x|=log a x，为减函数，当x＜0时，数y=log a|x|=log a（﹣x），为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故选D．8．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【分析】由题意知函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值，从而可得（•+ a）2=3+a2，从而解出f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），从而确定单调增区间．【解答】解：∵函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=，∴函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值；∴（•+a）2=3+a2，解得，a=1；故f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），故2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，故2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故选：C．9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． +C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，=1+3（k﹣1）=3k﹣2，a2k=2+3（k﹣1）=3k﹣1．且a2k﹣1则当n为偶数时，设2k=n，数列{a n}的前n项和S n=+=3k2=．故选：C．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6C．4+D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，∴几何体底面弧长为=．圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中，AB=AB′=2，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，AC=AD=4，．∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=．∴∠BAB′=120°．∴BB′==6．故选D．11．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B．C．D．1【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，利用转化思想方法求得OQ=a，又OQ=2b，得a=2b，进一步得到a，e与b的关系，然后利用基本不等式求得的最小值．【解答】解：如图，由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，延长F2Q交F1P延长线于M，得PM=PF2，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PM=MF1=2a，连接OQ，知OQ是三角形F1F2M的中位线，∴OQ=a，又OQ=2b，∴a=2b，则a2=4b2=4（a2﹣c2），即c2=a2，∴===2b+≥2=．当且仅当2b=，即b=时，有最小值为．故选：C．12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．【考点】数列与函数的综合．【分析】根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=f （x），从而f（x+2n）=f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在[2n﹣2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n}的前n项和为S n．【解答】解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），∴f（x+2）=f（x），∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f（x+4）=f（x），…f（x+2n）=f（x）设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n∴a n=22﹣n∴{a n}表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n}的前n项和为S n==故选B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|=2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d，再由弦长公式可得弦长．【解答】解：圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d==1，半径r=2，故|AB|=2=2，故答案为：2．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为1．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2y﹣3，化为直线方程的斜截式，利用线性规划知识求出t的范围，取绝对值得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=x+2y﹣3，则，由图可知，当直线过O时，直线在y轴上的截距最小，t有最小值为﹣3；直线过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最大值为﹣1．∴z=|x+2y﹣3|的最小值为1．故答案为：1．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为5．【考点】类比推理．【分析】f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，∴f（x）=+的最小值为=5．故答案为：5．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是6π．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】审题后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．【解答】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SD•BDcos∠SDB=3+1﹣2×=2，满足SB2=SD2﹣BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c ﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得：cosA．（II）f（x）=sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，可得＜B+＜，即可得出．【解答】解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）f（x）==sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，∴＜B+＜，∴∈，∴f（B）的取值范围是．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10（Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由统计数据能作出频率分布直方图，利用频率分布直方图能估算这100学生的数学平均成绩．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由统计数据作出频率分布直方图如下：∴估算这100学生的数学平均成绩：=10（85×0.002+95×0.008+105×0.03+115×0.03125×0.02+135×0.01）=113.8．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，∴ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2PEξ==．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据四点F、B、C、E共面，以及三角形相似建立方程关系进行求解；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵AF∥DE，AB∥CD，AF∩AB=A，DE∩DC=D，∴平面ABF∥平面DCE，∵平面ADEF⊥平面ABCD，∴FB∥CE，∴△ABF～△DCE，∵AB=a，∴ED=a，CD=2a，AF=，由相似比得，即，得x=4（Ⅱ）连接BD，设AB=1，则AB=AD=1，CD=2，可得BD=，取CD的中点M，则MD 与AB平行且相等，则△BMD为等腰直角三角形，则BC=BD=，∵BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．∵平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，BC⊥DE，又∵ED∩BD=D，∴BC⊥平面BDE．又∵BC⊂平面BCE，∴平面BDE⊥平面BEC．（III）建立空间坐标系如图：设AB=1，∵x=2，∴CD=2，则F（1，0，1），B（1，1，0），E（0，0，1），C（0，2，0），=（1，0，0），=（1，1，﹣1），=（0，2，﹣1），设平面EF的一个法向量为=（x，y，z），则由得，则取=（0，1，1），设平面EBC的法向量为=（x，y，z），则，得，令y=1，则z=2，x=1，即=（1，1，2），则cos＜，＞===，则＜，＞=30°，∵二面角F﹣EB﹣C是钝二面角，∴二面角F﹣EB﹣C的大小为150°．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）利用垂径定理和勾股定理列方程解出p即可得出抛物线方程；（II）联立方程组，由根与系数的关系得出A，B纵坐标的关系，假设存在符合条件的P点，则k PA+k PB=0，代入斜率公式化简即可求出x0，y0．【解答】解：（I）设抛物线的准线方程为x=﹣．圆O的半径r=2，由垂径定理得=4，解得p=2．∴抛物线方程为y2=4x．（II）联立方程组得y2+4y﹣4m=0，∴△=16+16m＞0，解得m＞﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4m．若抛物线上存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称，则k PA+k PB=0，∴+=+==0，∴y0=﹣=2，x0==1．∴存在点P（1，2），只要m＞﹣1，直线PA，PB关于直线x=1对称．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（Ⅱ）求导，根据中点坐标公式得到=﹣（x1+x2）+a+，①，分别把两个零点x1，x2，代入到F（x）中，转化，分离参数得到a﹣（x1+x2）=，再代入得到= [ln+]，换元，构造函数得到h（t）=lnt+，根据导数求出h（t）的最大值，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x+a﹣=，令f′（x）＞0，得x＞，f′（x）＜0，得0＜x＜，∴函数f（x）在（，+∞）为增函数，在（0，）为减函数，（Ⅱ）由已知g（x）=f（x）+2lnx，∴F（x）=3g（x）﹣2xg′（x）=﹣x2+ax+3lnx﹣2，∴F′（x）=﹣2x+a+，即：=﹣（x1+x2）+a+，①∵函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，∴﹣x12+ax1+3lnx1﹣2=0，②﹣x22+ax2+3lnx2﹣2=0，③②﹣③得﹣（x12﹣x22）+a（x1﹣x2）+3（lnx1﹣lnx2）=0可得（x1﹣x2）[a﹣（x1+x2）]+3ln=0，∴a﹣（x1+x2）=，代入①得：=+= [ln+]= [ln+]，令=t，则0＜t＜1，∴h（t）=lnt+，∴h′（t）=+=﹣=≥0∴h（t）在（0，1）上为增函数，∴h（t）＜h（1）=0，∵x1＜x2，∴＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知中DE2=EF•EC，我们易证明，△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，结合相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=12，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DE2=EF•EC，∴=，又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及相交弦定理得：PE•EF=AE•ED=12，又BE•EC=AE•ED=12，∴EC=4，EF==，PE=，PB=，PC=PB+BE+EC=，由切割线定理得PA2=PB•PC=×=，所以PA=为所求…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【考点】一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．2020年8月1日。

2020年兰州市数学高考一模试题(及答案)

2020年兰州市数学高考一模试题(及答案)

2020年兰州市数学高考一模试题(及答案)一、选择题1．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件2．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ．49B ．29C ．12D ．133．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．19B ．29C ．49D ．7184．已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥（–），则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8B ．9，5，6C ．7，5，9D ．8，5，76．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤7．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） ABCD ．48．设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．8010．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．011．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒> B ．22a b a b >⇒> C ．33a b a b >⇒>D ．22a b a b >⇒>12．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ）A ．{}22x x -≤<B ．{}2x x ≥-C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<二、填空题13．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则xz y 2=-+的最小值为______．15．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．16．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC 的面积为______．17．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．18．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 19．计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____． 20．()sin 5013tan10+=________________.三、解答题21．如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，∠BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．22．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，BA BP =.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.23．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.24．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --6，求PF 的长度. 25．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，5π224⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．26．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【解析】 试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系2．C解析：C 【解析】 【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果. 【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122P A B ==，故选C. 【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.3．C解析：C 【解析】试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369p == 考点：古典概型的计算.4．B解析：B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||122||a bb b a b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．5．B解析：B 【解析】 【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数. 【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为2011005=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，12555⨯=，20956--=.故选：B【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.6．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.7．A解析：A 【解析】本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A ．8．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义9．C解析：C 【解析】分析：写出103152rrr r T C x -+=，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrr r r rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令103r 4-=,则r 2= 所以22552240rr C C =⨯=故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意） 1．（5分）已知集合{1A =，2，3}，{|(1)(2)0B x x x =+-<，}x Z ∈，则(A B = )A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2，3}D ．{1-，0，1，2，3}2．（5分）已知复数1322i ω=+，i 为虚数单位，则2ω的实部为( ) A ．1B ．12C ．32-D ．12-3．（5分）已知锐角α满足3sin()23πα+=，则tan 2(α= )A ．2-B ．22-C ．22D ．24．（5分）国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目．已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测．现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图．下列描述正确的是( )A ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐B ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐C ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐D ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐5．（5分）已知圆222:(0)C x y r r +=>直线:2l x =，则“13r <”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）若函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(4,0)F ，点(0,3)Q -，P 为双曲线左支上的动点，且PQF ∆周长的最小值为16，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．43C ．32D ．528．（5分）已知51log 2a =，52log 2b =，7log 3c =，则( )A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．（5分）关于函数22()|cos sin |1f x x x =-+，下列说法正确的是( ) A ．函数()f x 以π为周期且在()2k x k Z π=∈处取得最大值B ．函数()f x 以2π为周期且在区间(,)42ππ单调递增 C ．函数()f x 是偶函数且在区间(,)42ππ单调递减D ．将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+10．（5分）函数()[()]g x y f x =在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到()()lny g x lnf x =，然后两边同时求导得()()()()()y f x g x lnf x g x y f x ''='+，于是()()[()][()()()]()g x f x y f x g x lnf x g x f x ''='+，用此法探求11(1)(0)x y x x +=+>的递减区间为()A ．(0,)eB ．(0,1)e -C ．(1,)e -+∞D ．(,)e +∞11．（5分）淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科．若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有( )（同一半天如果有两科考试不计顺序） A ．648B ．1728C ．864D ．32412．（5分）已知等差数列{}n a 满足225910a a +，则12345a a a a a ++++的最大值为( ) A ．55 B ．20 C ．25 D ．100二、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13．（5分）在边长为2的正ABC ∆中，D 为BC 中点，则AB AD = ．14．（5分）从抛物线24y x =图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线焦点为F ，则PFM ∆的面积为 ．15．（5分）设函数2019,0()2020,0x e x f x x -⎧+=⎨>⎩，则满足2(3)(2)f x f x --的x 取值范围是 ．16．（5分）已知直线m 与球O 有且只有一个公共点，从直线m 出发的两个半平面α、β截球O 所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角m αβ--的平面角为120︒，则球O 的表面积等于 ．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S =． （1）求22sin cos 5sin 222A AA --的值； （2）若角A ，B ，C 成等差数列，||4CB CA -=，求ABC ∆的面积S ．．18．（12分）在直角梯形ABCD （如图1)，90ABC ∠=︒，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==，M 为线段AD 中点．将ABC ∆沿AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到几何体B ACD-（如图2)．（1）求证：CD ⊥平面ABC ；（2）求AB 与平面BCM 所成角θ的正弦值．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，等比数列{}n b 的公比(1)q q >，且34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令211n n n c b a =+-，{}n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m 对一切*n N ∈成立，求实数m 的最大值．20．（12分）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a 、b 、c 表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标a b c λ=++的值评定石榴的等级，若4λ则为一级；若23λ则为二级；若01λ则为三级．f 近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(1,1)M ．（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值．22．（12分）已知函数()sin (1)f x x aln x =-+，a R ∈，()f x '是()f x 的导函数． （1）若2a =，求()f x 在0x =处的切线方程； （2）若()f x 在[,]42ππ上单调递增，求a 的取值范围；（3）求证：当20(1)2a π<<+时()f x '在区间(1,)2π-内存在唯一极大值点．2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意） 1．（5分）已知集合{1A =，2，3}，{|(1)(2)0B x x x =+-<，}x Z ∈，则(A B = )A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2，3}D ．{1-，0，1，2，3}【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：{1A =，2，3}，{|12B x x =-<<，}{0x Z ∈=，1}，{1}AB ∴=．故选：A ．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知复数12ω=，i 为虚数单位，则2ω的实部为( )A ．1B ．12C ．D ．12-【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由12ω=+，得221131()2442ω==-=-， 2ω∴的实部为12-．故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知锐角α满足sin()2πα+=，则tan 2(α= )A ．B ．-C ．D【分析】由已知利用诱导公式可求cos α，利用同角三角函数基本关系式进而可求sin α，tan α的值，进而根据二倍角的正切函数公式即可求解tan2α的值．【解答】解：锐角α满足sin()2πα+=，cos α∴=sin α=，sin tan cos ααα=22tan tan 2221tan ααα∴==--． 故选：B ．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．（5分）国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目．已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测．现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图．下列描述正确的是( )A ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐B ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐C ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐D ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐 【分析】根据茎叶图所反映出数据的分布情况进行判断即可． 【解答】解：通过茎叶图数据可知： 甲品种的平均高度为：192021232529373332312710x +++++++++==甲，乙品种的平均高度为：101410262730444646473010x +++++++++==乙，所以乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但是乙品种的10株高度在分散，没有甲品种10株的高度集中，都集中在25左右， 故乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐． 故选：D ．【点评】本题考查了茎叶图比较平均数和方差的大小，属于基础题．5．（5分）已知圆222:(0)C x y r r +=>直线:2l x =，则“13r <”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据圆的性质和点到直线的距离和充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：圆222:(0)C x y r r +=>，直线:2l x =，C 上恰有两个不同的点到l 的离为1，则13r <<．∴ “13r <”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”必要不充分条件．故选：C ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）若函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k 的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．【解答】解：函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上是奇函数， (0)0f ∴= 2k ∴=，又()x x f x a a -=-为减函数，所以10a >>， 所以()log (2)a g x x =+ 定义域为2x >-，且递减， 故选：A ．【点评】本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．7．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(4,0)F ，点(0,3)Q -，P 为双曲线左支上的动点，且PQF ∆周长的最小值为16，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．43C ．32D ．52【分析】求出双曲线的左焦点坐标，利用已知条件推出2a =，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的右焦点为(4,0)F ，4c =，点(0,3)Q -，P 为双曲线左支上的动点，且PQF ∆周长的最小值为16， 因为P 在双曲线上，所以||2||PF a PF =+'， 则||||||||2||29PQ PF PQ PF a QF a +=+++=， 因为(0,3)Q ，(4,0)F ，所以||5QF =，则24a =，即2a =， 所以双曲线的离心率为：2e =． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是中档题．8．（5分）已知12a =，52logb =，7log 3c =，则( )A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：551log log 32log log 22a b ==>=，5512log log 22b log ==<=，71log 32c log =>，571log 3log 32a c ===>=，a cb ∴>>．故选：A ．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）关于函数22()|cos sin |1f x x x =-+，下列说法正确的是( )A ．函数()f x 以π为周期且在()2k x k Z π=∈处取得最大值B ．函数()f x 以2π为周期且在区间(,)42ππ单调递增 C ．函数()f x 是偶函数且在区间(,)42ππ单调递减D ．将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+ 【分析】可将原函数变成()|cos2|1f x x =+，从而得出()f x 的周期为2π，并且可看出()f x 在(,)42ππ上单调递增，从而判断出选项B 正确，并且可判断选项D 错误． 【解答】解：22()|cos sin |1|cos2|1f x x x x =-+=+， ()f x ∴的周期为2π，且在(,)42ππ上单调递增，B ∴正确， 将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(22)|1g x x =-+，D ∴错误． 故选：B ．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式，函数|cos()|y A x ωϕ=+周期的求法，熟悉()|cos2|f x x =的图象，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）函数()[()]g x y f x =在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到()()lny g x lnf x =，然后两边同时求导得()()()()()y f x g x lnf x g x y f x ''='+，于是()()[()][()()()]()g x f x y f x g x lnf x g x f x ''='+，用此法探求11(1)(0)x y x x +=+>的递减区间为()A ．(0,)eB ．(0,1)e -C ．(1,)e -+∞D ．(,)e +∞【分析】先根据已知定义求解出函数的导数，然后结合导数与单调性的关系即可求解． 【解答】解：因为11(1)(0)x y x x +=+>，所以11(1)(1)1x ln x lny ln x x ++=+=+， 两边同时求导可得，21(1)(1)y ln x y x '-+=+，则1121(1)(1)(1)x ln x y x x +-+'=++， 令0y '<可得(1)1ln x +>， 解可得，1x e >-，故函数的单调递减区间为(1,)e -+∞． 故选：C ．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，解题的关键是根据已知定义求解出函数的导数．11．（5分）淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科．若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有( )（同一半天如果有两科考试不计顺序） A ．648B ．1728C ．864D ．324【分析】此问题可分两步解决，第一步把六科按要求分为四组，再排到四个半天中去，由计数原理即可得出总的不同方案．【解答】解：先对六科进行分组，共有222264342227C C C C A -=种，再把这四组分到四个半天共有4424A =种分法，由分步乘法计数原理得，此次考试不同安排方案的种数2724648⨯=， 故选：A ．【点评】本题考查排列组合及计数原理应用问题，属于计数中的基本题，中档题，解答此类问题的关键是确定合乎实际情况的解决方案以及熟练掌握计数原理与排列组合的符号的使用．12．（5分）已知等差数列{}n a 满足225910a a +，则12345a a a a a ++++的最大值为( )A ．B ．20C ．25D ．100【分析】设数列{}n a 的公差为d ，由225910a a +化为关于d 的一元二次不等式，利用判别式△0求出3a 的取值范围，即可得出12345a a a a a ++++的最大值．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由225910a a +， 得2233(2)(6)10a d a d +++， 即223320850d a d a ++-； 由△2233(8)420(5)0a a =-⨯⨯-，化简得2325a ， 解得355a -，所以123453525a a a a a a ++++=， 即12345a a a a a ++++的最大值为25． 故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项与求和公式应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．二、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13．（5分）在边长为2的正ABC ∆中，D 为BC 中点，则AB AD = 3 ． 【分析】易得3AD =，30BAD ∠=︒．即可求解cos30AB AD AB AD =︒．【解答】解：如图，边长为2的正ABC ∆中，D 为BC 中点，3AD ∴=，30BAD ∠=︒．∴3cos302332AB AD AB AD =︒=⨯⨯=． 故答案为：3．【点评】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．14．（5分）从抛物线24y x =图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线焦点为F ，则PFM ∆的面积为 10 ． 【分析】设0(P x ，0)y ，通过0||2pPM x =+，求出P 的坐标，然后求解三角形的面积． 【解答】解：抛物线24y x =中2p =，设0(P x ，0)y ，则0||2p PM x =+，即051x =+，得04x =，所以04y =±，所以01||||102PFM S PM y ∆==． 故答案为：10．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．15．（5分）设函数2019,0()2020,0x e x f x x -⎧+=⎨>⎩，则满足2(3)(2)f x f x --的x 取值范围是(,[1,)-∞+∞ ．【分析】先判断函数()f x 的单调性，再求出()f x 的值域，然后根据2(3)(2)f x f x --解出不等式即可．【解答】解：当0x 时，1()2019()2019x x f x e e -=+=+，此时()f x 单调递减，∴01()(0)()20192020f x f e=+=，∴当2(3)(2)f x f x --时，22203032x x x x -⎧⎪-⎨⎪--⎩或22030x x -⎧⎨->⎩或22030x x -⎧⎨-⎩，∴13x或x >3x -，x ∴的取值范围为(,[1,)-∞+∞．故答案为：(,[1,)-∞+∞．【点评】本题考查了分段函数的应用和不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题． 16．（5分）已知直线m 与球O 有且只有一个公共点，从直线m 出发的两个半平面α、β截球O 所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角m αβ--的平面角为120︒，则球O 的表面积等于1123π ． 【分析】过P 与O 作直线l 的垂面，画出截面图形，设出球的半径，通过解三角形，利用转化思想求出球的半径的平方，然后求出球的表面积． 【解答】解：过P 与O 作直线l 的垂面，画出截面图形，如图 设球的半径为r ，作OE QP ⊥，OF PM ⊥，则1EP =，2PF =， 设OPE α∠=，23OPF πα∠=-， 所以cos 122cos()3r r απα=-，即sin αα=，22sin cos 1αα+=解得 21cos 28α=所以2283r =； 所以球的表面积为：2281124433r πππ=⨯=． 故答案为1123π【点评】本题是中档题，考查二面角的有关知识，考查转化思想的应用，空间想象能力，计算能力．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S =． （1）求22sin cos 5222A AA -的值； （2）若角A ，B ，C 成等差数列，||4CB CA -=，求ABC ∆的面积S ．．【分析】（1）可得1cos sin 2bc A bc A =，sin 2cos 0A A =>．可得5cos A =25sin A ．即可计算22sin cos 5222A AA -的值（2）可得060B =．sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 由正弦定理可得sin sin b c B C =⇒sin sin c B b C =．即可得1sin 2bc A =， 【解答】解：（1）cos 1sin 2AB AC bc A SS bc A ⎧==⎪⎨=⎪⎩．∴1cos sin 2bc A bc A =． sin 2cos 0A A ∴=>．可得A 为锐角，结合22sin cos 1A A +=，可得5cos A =25sin A =． 则225sin cos 52cos 52sin cos 522A A A A A A -=--== （2）角A ，B ，C 成等差数列，2B A C ∴=+，3A B C B π∴++==，可得060B =． 251532515sin sin()sin cos cos sin 2C A B A B A B +=+=+==由正弦定理可得sin sin b cB C =⇒sin 203sin 2515c B b C ==+． ABC ∆的面积1120325sin 4323482252515S bc A ==⨯⨯⨯=-+． 【点评】本题考查了三角函数、正弦定理、三角形面积计算，属于中档题．18．（12分）在直角梯形ABCD （如图1)，90ABC ∠=︒，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==，M 为线段AD 中点．将ABC ∆沿AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到几何体B ACD-（如图2)．（1）求证：CD ⊥平面ABC ；（2）求AB 与平面BCM 所成角θ的正弦值．【分析】（1）利用勾股定理证明CD AC ⊥，再结合面面垂直，证明线面垂直；（2）取AC 的中点O 连接OB ，根据题意，以O 为原点，以OM ，OC ，OM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0A ，2-0)，(0B ，0，2)，(0C ，20)，(22M ，0，0)，求出平面BCM 的法向量，再利用夹角公式求出即可．【解答】解：（1）由90ABC ∠=︒，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==， 所以42AC =42CD =，8AD =， 所以222AD CD AC =+，CD AC ⊥，又平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⋂平面ACD AC =， 所以CD ⊥平面ABC ；（2）取AC 的中点O 连接OB ，根据题意，以O 为原点， 以OM ，OC ，OM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0A ，22-0)，(0B ，0，2)，(0C ，220)，(22M 0，0)，所以(0CB =，22-，22)，(22CM =，22-，0)，(0BA =，22-，22)-， 设平面BCM 的法向量为(,,)m x y z =， 2222022220m CB y z m CM x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，得(1,1,1)m =， 所以|2222|26sin |cos ,|3433m BA θ--=<>===．【点评】考查线面垂直，面面垂直，考查向量法求法向量，夹角公式求线面角的余弦值，中档题．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，等比数列{}n b 的公比(1)q q >，且34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令211n n n c b a =+-，{}n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m 对一切*n N ∈成立，求实数m 的最大值．【分析】（1）运用数列的递推式：1n =时，112a S ==，2n 时，1n n n a S S -=-，可得n a ；再由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到所求n b ；（2）求得11122111111222()141(21)(21)22121n n n n n n c b a n n n n n ---=+=+=+=+----+-+，再由数列的分组求和、裂项相消求和，化简整理可得所求和n T ，判断单调性可得最小值，结合恒成立思想可得所求最大值．【解答】解：（1）数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+， 可得1n =时，112a S ==，2n 时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，对1n =也成立，则2n a n =，*n N ∈；等比数列{}n b 的公比(1)q q >，由34528b b b ++=，可得23411128b q b q b q ++=， 由42b +是3b 和5b 的等差中项，可得43542(2)28b b b b +=+=-，即3418b b q ==， 解得11b =，2q =， 则12n n b -=，*n N ∈； （2）11122111111222()141(21)(21)22121n n n n n n c b a n n n n n ---=+=+=+=+----+-+， 1111111121111(122)(1)(1)22335212112221242n n n n T n n n n --=++⋯++-+-+⋯++-=+-=---+-++， 由11{2}242n n --+为自然数集上的增函数，可得1n =时，112242n n --+取得最小值43， 若2n T m 对一切*n N ∈成立，可得83m ， 则实数m 的最大值为83．【点评】本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的分组求和、裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20．（12分）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a 、b 、c 表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标a b c λ=++的值评定石榴的等级，若4λ则为一级；若23λ则为二级；若01λ则为三级．f 近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）根据题中的表格统计出12块种植地的综合指标，找出等级为一级的石榴种植园的频率，即可得解；（2）由（1）中统计的表格，得出样本中二级和三级石榴种植园的数量，再分别求出ξ的每个取值所对应的概率即可得解．【解答】解：（1）计算12块种植地的综合指标，如下表所示：由表可知，等级为一级的有5个，其频率为512， 用样本的频率估计总体的频率，可估计等级为一级的石榴种植园的数量为51205012⨯=． （2）所取样本中二级和三级石榴种植园共有527+=块，三级石榴种植园有2块，则ξ的所有可能取值为0，1，2，02252710(0)21C C P C ξ===；11252710(1)21C C P C ξ===；2025271(2)21C C P C ξ===．所以随机变量ξ的分布列如表所示： 数学期望101014()0122121217E ξ=⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生对数据分析的能力，属于基础题．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(1,1)M 离心率为22．（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值．【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程组，求解即可得到椭圆的方程；（2）设直线1:AC y k x =，直线2:BD y k x =．联立方程组推导出21213|||||121OA OC k k ===++．212113||||121OB OD k k ==++，写出菱形ABCD 的面积2||||S OA OB =，由此利用均值定理能求菱形ABCD 的面积最小值． 【解答】解：（1）由题意，222221112a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2233,2a b ==．∴椭圆Γ的方程为222133x y +=；（2）菱形ABCD 内接于椭圆Γ，由对称性可设直线1:AC y k x =，直线2:BD y k x =．联立22123x y y k x⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得方程221(21)30k x +-=，∴2221321A C x x k ==+，21213||||121OA OC k k ∴=++同理，2223||||21OB OD k ==+又AC BD ⊥，23||||21OB OD ∴==+，其中10k ≠．从而菱形ABCD 的面积S 为： 2122113132||||2112211S OA OB k k k ==++++，整理得4S =，其中10k ≠．当且仅当111k k =时取“=”， ∴当11k =或11k =-时，菱形ABCD 的面积最小，该最小值为4．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查菱形面积最小值的求法，训练了直线与椭圆位置关系的综合应用及利用基本不等式求最值，是中档题．22．（12分）已知函数()sin (1)f x x aln x =-+，a R ∈，()f x '是()f x 的导函数． （1）若2a =，求()f x 在0x =处的切线方程； （2）若()f x 在[,]42ππ上单调递增，求a 的取值范围；（3）求证：当20(1)2a π<<+时()f x '在区间(1,)2π-内存在唯一极大值点．【分析】（1）对函数进行求导，利用导数的几何意义进行求解即可；（2）求函数进行求导，让导函数大于或等于零，进行常变量分离，构造新函数，然后利用导数求出新构造函数单调性，最后求出a 的取值范围；（3）对()f x '再求导，求出该函数的单调性，进而证明函数有唯一极大值点即可． 【解答】解：（1）当2a =，2()cos 1f x x x '=-+，(0)1f '=-，又(0)0f =， 所以()f x 在0x =处的切线方程为0x y +=； （2）由()cos 01af x x x '=-+， 所以(1)cos a x x +，令()(1)cos h x x x =+，[,]42x ππ∈，则()cos (1)sin h x x x x '=-+，第21页（共21页）因为2cos 2x，2(1)sin (1)24x x π++，所以()0h x '<， ()h x 在[,]42ππ递减，所以()()02h x h π=，0a ； （3）因为()cos 1a f x x x '=-+， 令()cos 1a g x x x =-+，x ∈，2()sin (1)a g x x x '=-++， 显然()g x '单调递减，又20(1)2a π<<+， 得2()102(1)2a g ππ'=-+<+，取01x =-，则000()sin 4sin 0g x x x '=-=->，故存在(1,)2m π∈-，使得()0g m '=， (1x ∈-，)()m g x 单调递增，(,)2x m π∈单调递减， m 为()g x 的唯一极大值点，故命题成立． 【点评】本题考查了利用导数求函数的切线，考查了利用导数研究函数的极值问题，考查了数学运算能力，中档题．。

2020年广东省高考数学一模试卷(理科) (解析版)

2020年广东省高考数学一模试卷(理科) (解析版)

2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A ＝{1，2，3，4}，则满足A ∩∁U B ＝{1，2}的集合B 可以是（ ） A ．{1，2，3，4} B ．{1，2，7}C ．{3，4，5，6}D ．{1，2，3}2．复数z =4+3i3−4i（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．﹣1B ．2C ．5D ．13．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为（ ）A ．﹣7B ．3C ．5D ．74．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t （0＜t ≤2）左侧的图形的面积为f （t ），则y ＝f （t ）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．将函数f （x ）＝cos （2x ﹣1）的图象向左平移1个单位长度，所得函数在[0，12]的零点个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个或以上6．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ）A．1920003cm3B．1600003cm3C．160003cm3D．640003cm37．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名8．已知(1+xm)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，若a1＝3，a2＝4，则m＝（）A．1B．3C．2D．49．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，且∠PAQ=5π6，则该双曲线的离心率为（）A．√2B．√3C．√213D．√1310．设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足2√S n=a n+1，则数列{a n﹣7}的前n项和T n的最小值为（）A．−494B．−72C．72D．﹣1211．已知三棱锥P﹣ABC满足PA＝PB＝PC＝AB＝2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为（）A．3227√3πB．323πC．329√3πD．163π12．已知f（x）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f（1）＝0，且当x∈（0，π2）时，f（x）+f′（x）tan x＞0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，π2）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（−π2，﹣1）∪（1，π2）D．（−π2，﹣1）∪（0，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f（x）＝mx2lnx，若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线ex+y+2020＝0平行，则m ＝ ．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2a n ，若数列{b n }满足b n •S n ＝1，则b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10= ．15．已知A （3，0），B （0，1），C （﹣1，2），若点P 满足|AP →|=1，则|OB →+OC →+OP →|最大值为 ．16．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 过点F 且倾斜角为5π6．若直线l 与抛物线C在第二象限的交点为A ，过点A 作AM 垂直于抛物线C 的准线，垂足为M ，则△AMF 外接圆上的点到直线2√2x ﹣y ﹣3＝0的距离的最小值为 ． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 满足√3sin(B +C)=2sin 2A2． （1）求内角A 的大小；（2）若AB ＝5，BC ＝7，求BC 边上的高．18．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，D 是AB 的中点，E 是C 1C 的中点，且AB ＝1，AA 1＝2．（1）证明：CD ∥平面A 1EB ； （2）求二面角B ﹣A 1E ﹣D 的余弦值．19．已知椭圆C ：x 24+y 22=1，A ，B 分别为椭圆长轴的左右端点，M 为直线x ＝2上异于点B 的任意一点，连接AM 交椭圆于P 点． （1）求证：OP →⋅OM →为定值；（2）是否存在x 轴上的定点Q 使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点． 20．已知函数f （x ）＝e x +（m ﹣e ）x ﹣mx 2．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间（0，1）内存在零点，求实数m的取值范围．21．一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为a（0＜a＜0.4）．每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为ξ．（1）证明：在ξ各个取值对应的概率中，概率P（ξ＝1）的值最大．（2）在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发．现在有三个勘探小组A i（i＝1，2，3）可派出，若小组A i能完成特殊任务的概率t；t i＝P（ξ＝i）（i＝1，2，3），且各个小组能否完成任务相互独立．试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A ＝{1，2，3，4}，则满足A ∩∁U B ＝{1，2}的集合B 可以是（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，7}C ．{3，4，5，6}D ．{1，2，3}【分析】根据题意得出1，2∉B ，即可判断结论．解：∵集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A ＝{1，2，3，4}， 要满足A ∩∁U B ＝{1，2}； 则1，2∉B ，故符合条件的选项为C ． 故选：C ． 2．复数z =4+3i3−4i（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．﹣1B ．2C ．5D ．1【分析】利用复数的运算法则即可得出． 解：∵z =4+3i3−4i =(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i ， ∴复数z =4+3i3−4i 的虚部是1， 故选：D ．3．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为（ ）A ．﹣7B ．3C ．5D ．7【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分：由{x =2x −y =−1，得A （2，3）， 目标函数z ＝2x +y 可看做斜率为﹣2的动直线，其纵截距越大，z 越大， 由图数形结合可得当动直线过点A 时，z 最大＝2×2+3＝7． 故选：D ．4．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则y＝f（t）的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据面积的变换趋势与t的关系进行判断即可．解：当0＜x＜1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD，不合适，当1≤x≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A，故选：B．5．将函数f（x）＝cos（2x﹣1）的图象向左平移1个单位长度，所得函数在[0，12]的零点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个或以上【分析】先根据平移法则求出平移后的图象解析式，再根据零点定义即可求出．【解答】解；设函数f（x）＝cos（2x﹣1）的图象向左平移1个单位长度，所得函数为g （x ），∴g （x ）＝f （x +1）＝cos （2x +1） 令t ＝2x +1，x ∈[0，12]，∴t ∈[1，2]由g （x ）＝0，所以2x +1=π2，方程只有一个解． 故选：B ．6．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ） A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 3【分析】由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解． 解：如图，正方体AC 1 的棱长为40cm ，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm 3．又正方体的体积为V ＝40×40×40＝64000cm 3， ∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm 3， 故选：B ．7．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N （98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）附：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9544 A ．1500名B ．1700名C ．4500名D ．8000名【分析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论． 解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N （98，100）．∵μ＝98，σ＝10， ∴P （ξ≥108）＝1﹣P （ξ＜108）＝1﹣Φ（108−9810）＝1﹣Φ（1）≈0.158 7，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%． ∴9450×15.87%≈1500 故选：A ．8．已知(1+xm )n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若a 1＝3，a 2＝4，则m ＝（ ） A ．1B ．3C ．2D ．4【分析】根据通项求出第二、三项的系数，列方程组求出m 的值． 解：二项式展开式的通项为：T k+1=1m k C nk x k ． 当k ＝1，2时，可得{a 1=1m C n 1=3a 2=1m2C n 2=4，解得n ＝9，m ＝3． 故选：B ．9．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，且∠PAQ =5π6，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√213D ．√13【分析】由题意画出图形，联立双曲线渐近线方程与圆的方程，可得P ，Q 的坐标，得到∠F 2AQ =π3，则tan π3=b 2a=√3，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率．解：如图，设双曲线的一条渐近线方程为y =bax ，联立{y =ba xx 2+y 2=c2，解得x P ＝﹣a ，x Q ＝a ，∴Q （a ，b ），且AP ⊥x 轴，∵∠PAQ =5π6，∴∠F 2AQ =π3，则tanπ3=b 2a=√3，则b 2＝c 2﹣a 2＝12a 2，得e 2＝13，即e =√13． 故选：D ．10．设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2√S n =a n +1，则数列{a n ﹣7}的前n 项和T n 的最小值为（ ） A ．−494B ．−72C ．72D ．﹣12【分析】根据a n ＝S n ﹣S n ﹣1求得数列{a n }的通项公式，则可以推出a n ﹣7＝2n ﹣8，通过分组求和法求得数列{a n ﹣7}的前n 项和T n ，通过二次函数的最值求得T n 的最小值． 解：2√S n =a n +1， ∴S n =(a n +12)2，S n−1=(a n−1+12)2， a n ＝S n ﹣S n ﹣1=a n 2+2a n −a n−12−2a n−14，化简得：2（a n +a n ﹣1）=a n 2−a n−12，正项数列{a n }中，a n ﹣a n ﹣1＝2． n ＝1时，2√S 1=a 1+1， ∴a 1＝1．∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． a n ＝1+2×（n ﹣1）＝2n ﹣1． a n ﹣7＝2n ﹣8，T n ＝2×1﹣8+2×2﹣8+2×3﹣8+…+2n ﹣8 =2×n(n+1)2−8n =n 2﹣7n =(n −72)2−494， ∵n ∈N *，n ＝3或n ＝4时，T n 的最小值为﹣12． 故选：D ．11．已知三棱锥P ﹣ABC 满足PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为（）A．3227√3πB．323πC．329√3πD．163π【分析】因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA＝PB ＝PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中有勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA＝PB＝PC＝AB＝2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√4−1=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP＝OA＝R，在△OAD中，R2＝r2+（PD﹣R）2，即R2＝1+（√3−R）2，解得：R=√3=2√33，所以外接球的体积V=4π3R3=32√327π，故选：A．12．已知f（x）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f（1）＝0，且当x∈（0，π2）时，f（x）+f′（x）tan x＞0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，π2）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（−π2，﹣1）∪（1，π2）D．（−π2，﹣1）∪（0，1）【分析】令g（x）＝f（x）sin x，g′（x）＝[f（x）+f′（x）tan x]•cos x，当x∈（0，π2）时，根据f（x）+f′（x）tan x＞0，可得函数g（x）单调递增．又g（1）＝0，可得x∈（0，1）时，g（x）＝f（x）sin x＜0，sin x＜0，解得f（x）＜0．x＝0时，f（0）＝0，舍去．根据f（x）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，可得g（x）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．进而得出不等式f （x ）＜0的解集．解：令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝f （x ）cos x +f ′（x ）sin x ＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，∴g ′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，∴x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0． x ＝0时，f （0）＝0，舍去．∵f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，∴g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．∴不等式f （x ）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）． 故选：B ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ −13．【分析】求出f （x ）的导数，然后根据切线与直线ex +y +2020＝0平行，得f ′（e ）＝﹣e ，列出关于m 的方程，解出m 的值． 解：f ′（x ）＝m （2xlnx +x ），又曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行， ∴f ′（e ）＝3em ＝﹣e ，解得m =−13． 故答案为：−13．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2a n ，若数列{b n }满足b n •S n ＝1，则b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10= 2046 ．【分析】数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2a n ，利用求和公式：S n ．由数列{b n }满足b n •S n ＝1，可得b n =1S n．进而得出b n +1b n，再利用等比数列的求和公式即可得出．解：数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2a n ，∴S n =2n−12−1=2n ﹣1．若数列{b n }满足b n •S n ＝1，∴b n =1S n=12n−1． ∴b n +1b n=2n ．则b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10=2+22+……+210=2(210−1)2−1=211﹣2＝2046．故答案为：2046．15．已知A （3，0），B （0，1），C （﹣1，2），若点P 满足|AP →|=1，则|OB →+OC →+OP →|最大值为 √13+1 ．【分析】根据|AP →|=1，易知P 点在以A （3，0）为圆心，1为半径的圆上，设P （3+cos θ，sin θ），通过坐标表示出OB →+OC →+OP →，再根据模长公式求解．解：由题，点P 满足|AP →|=1，说明P 点在以A （3，0）为圆心，1为半径的圆上， 设P （3+cos θ，sin θ），则OB →+OC →+OP →=（2+cos θ，3+sin θ），∴||=√(2+cosθ)2+(3+sinθ)2=√14+2√13sin(θ+φ)（tan φ=23），根据三角函数的值域，可知|OB →+OC →+OP →|最大值为√13+1． 故答案为：√13+1．16．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 过点F 且倾斜角为5π6．若直线l 与抛物线C在第二象限的交点为A ，过点A 作AM 垂直于抛物线C 的准线，垂足为M ，则△AMF 外接圆上的点到直线2√2x ﹣y ﹣3＝0的距离的最小值为√23．【分析】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，由题意求出直线l 的方程，代入抛物线的方程求出A ，B 的坐标，由题意求出M 的坐标，求出线段AF 的中垂线，及AM 的中垂线，两条直线的交点为三角形AMF 的外接圆的圆心，及半径，求出圆心到直线√2x −y ﹣3＝0的距离d ，则可得圆上到直线的最小距离为d ﹣r ． 解：由抛物线的方程可得焦点F （0，1），准线方程y ＝﹣1， 因为直线l 过点F 且倾斜角为5π6，则直线l 的方程为：y =−√33x +1，直线与抛物线联立{y =−√33x +1x 2=4y，整理可得x 2+4√33x ﹣4＝0，解得x 1=2√3，x 2=6√3，可得y 1=13，y 2＝3， 即A （√3，3），由题意可得M （√3，﹣1），可得△ABF 的外接圆的圆心N 直线线段AM 的中垂线上，y ＝1上，又在线段AF 的中垂线上，而AF 的中点（−√3，2），y ﹣2=√3（x +√3）即y =√3x +5， 联立{y =1y =√3x +5解得：N （√3，1），所以圆心坐标为（√3，1），半径r =4√33，圆心到直线的距离d =|−4√2√3−1−3|√3=4√23+4√33，所以外接圆上的点到直线的距离√2x ﹣y ﹣3＝0的最小距离为d ﹣r =4√23，故答案为：4√23．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 满足√3sin(B +C)=2sin 2A 2． （1）求内角A 的大小；（2）若AB ＝5，BC ＝7，求BC 边上的高．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的值的应用求出结果． （2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）在△ABC 中，sin （B +C ）＝sin A ，内角A ，B ，C 满足√3sin(B +C)=2sin 2A 2． 所以√3sinA =1−cosA ，则：sin(A +π6)=12，由于A ∈（0，π），所以A +π6∈(π6，7π6)， 则：A =2π3．（2）由于A =2π3，AB ＝5，BC ＝7， 由余弦定理得：72＝AC 2+52﹣10AC ，解得AC ＝3（﹣8舍去）． 则：S △ABC =12×AB ×AC ×sin 2π3=15√34．设BC 边上的高为h ，所以12×BC ×h =15√34，解得h =15√314．18．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，D 是AB 的中点，E 是C 1C 的中点，且AB ＝1，AA 1＝2．（1）证明：CD ∥平面A 1EB ； （2）求二面角B ﹣A 1E ﹣D 的余弦值．【分析】（1）取A 1B 的中点F ，连结EF 、DF ，推导出四边形CDEF 是平行四边形，从而CD ∥=EF ，由此能证明CD ∥平面A 1EB ． （2）推导出CD 、BD 、DF 两两垂直，以D 为原点，DB 、DC 、DF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B ﹣A 1E ﹣D 的余弦值． 解：（1）证明：取A 1B 的中点F ，连结EF 、DF ， ∵D 、F 分别是AB ，A 1B 的中点，∴DF ∥=12A 1A ，∵A 1A ∥=C 1C ，E 是C 1C 的中点，∴DF ∥=EC ， ∴四边形CDEF 是平行四边形，∴CD ∥=EF ， ∵CD ⊄平面A 1EB ，EF ⊂平面A 1EB ， ∴CD ∥平面A 1EB ．（2）解：∵△ABC 是正三角形，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ， ∵在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ， ∴A 1A ⊥CD ，由（1）知DF ∥A 1A ，∴CD 、BD 、DF 两两垂直，∴以D 为原点，DB 、DC 、DF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则D （0，0，0），B （12，0，0），E （0，√32，1），A 1（−12，0，2），∴BE →=（−12，√32，1），DE →=（0，√32，1），A 1E →=（12，√32，﹣1），设平面A 1DE 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅A 1E →=12x +√32y −z =0n →⋅DE →=√32y +z =0，取z =√3，得n →=（4√3，﹣2，√3）， 设平面A 1BE 的法向量m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅A 1E →=12a +√32b −c =0m →⋅BE →=−12a +√32b +c =0，取c ＝1，得m →=（2，0，1）， 设二面角B ﹣A 1E ﹣D 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=9√3355．∴二面角B ﹣A 1E ﹣D 的余弦值为9√3355．19．已知椭圆C ：x 24+y 22=1，A ，B 分别为椭圆长轴的左右端点，M 为直线x ＝2上异于点B 的任意一点，连接AM 交椭圆于P 点．（1）求证：OP →⋅OM →为定值；（2）是否存在x 轴上的定点Q 使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点． 【分析】（1）由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，设M ，P 的坐标，可得AP ，AM 的斜率相等，求出数量积OP →⋅OM →，由k AP •k BP =y 02x 02−4=−12，可得M ，P 的坐标的关系，进而可得OP →⋅OM →为定值．（2）假设存在Q 满足条件，因为以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点可得MQ →⋅BP →=0，由（1）可得整理得n （x 0﹣2）＝0，再由x 0≠2可得n ＝0，解：（1）证明：由椭圆的方程可得：A （﹣2，0），B （2，0），设M （2，m ），P （x 0，y 0），（m ≠0，x 0≠±2）， 则x 024+y 022=1，得y 02=−x 02−42，又k AP =y 0x 0+2=k AM =m−02−(−2)=m4，k BP =y 0x 0−2，所以k AP •k BP =y 02x 02−4=−12， 又m 4⋅y 0x 0−2=−12，整理可得2x 0+my 0＝4，所以OP →⋅OM →=2x 0+my 0＝4为定值．（2）假设存在定点Q （n ，0）满足要求，设M （2，m ），P （x 0，y 0），（m ≠0，x 0≠±2），则以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点可得MQ →⋅BP →=0， 所以（n ﹣2，﹣m ）•（x 0﹣2，y 0）＝nx 0﹣2n ﹣2x 0+4﹣my 0＝0，① 由（1）得2x 0+my 0＝4，②，由①②可得n （x 0﹣2）＝0，因为x 0≠2，解得n ＝0，所以存在x 轴上的定点Q （0，0），使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点．20．已知函数f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间（0，1）内存在零点，求实数m的取值范围．【分析】（1）将m＝0带入，求导得f′（x）＝e x﹣e，再求出函数f（x）的单调性，进而求得极值；（2）求导得f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，令g（x）＝f′（x），对函数g（x）求导后，分m＝0，m＜0及m＞0讨论，m＝0时容易得出结论，m＜0时运用零点存在性定理可得出结论，m＞0时运用放缩思想，先证明e x＞ex，进而可得f（x）＞0在（0，1）上恒成立，由此得出结论，以上情况综合，即可求得实数m的取值范围．解：（1）当m＝0时，f（x）＝e x﹣ex，f′（x）＝e x﹣e，又f′（x）是增函数，且f′（1）＝0，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝0，无极大值；（2）f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，则g′（x）＝e x﹣2m，①当m＝0时，f（1）＝0，由（1）知f（x）在区间（0，1）上没有零点；②当m＜0时，则g′（x）＞0，故g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，又g（0）＝f′（0）＝1+m﹣e＜0，g（1）＝f′（1）＝﹣m＞0，∴存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x∈（x0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，又∵f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）在（0，1）上存在零点；③当m＞0，x∈（0，1）时，令h（x）＝e x﹣ex，则h′（x）＝e x﹣e，∵在x∈（0，1）上，h′（x）＜0，h（x）是减函数，∴h（x）＞h（1）＝0，即e x＞ex，∴f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2＞ex+（m﹣e）x﹣mx2＝m（x﹣x2）＞0，∴f（x）在（0，1）上没有零点；综上，要使f（x）在（0，1）上内存在零点，则m的取值范围为（﹣∞，0）．21．一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为a（0＜a＜0.4）．每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为ξ．（1）证明：在ξ各个取值对应的概率中，概率P（ξ＝1）的值最大．（2）在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发．现在有三个勘探小组A i（i＝1，2，3）可派出，若小组A i能完成特殊任务的概率t；t i＝P（ξ＝i）（i＝1，2，3），且各个小组能否完成任务相互独立．试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．【分析】（1）每个勘探小组共有3名人员，故ξ的所有可能取值为0，1，2，3，再依据相互独立事件的概率求出每个ξ的取值所对应的概率，并用作差法逐一比较P（ξ＝1）与P（ξ＝0）、P（ξ＝2）、P（ξ＝3）的大小关系即可得证；（2）先根据（1）中的结论比较P（ξ＝2）和P（ξ＝3）的大小，可得到t1＞t2＞t3，故而可猜想出结论，再进行证明．证明时，设三个小组A i（i＝1，2，3）按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为p1，p2，p3，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为η，则η＝1，2，3，然后求出η的分布列和数学期望，只需证明数学期望E（η）＝3﹣2p1﹣p2+p1p2≥3﹣2t1﹣t2+t1t2成立即可，这一过程采用的是作差法，其中用到了因式分解的相关技巧．解：（1）由已知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1﹣0.6）•（1﹣a）2＝0.4（1﹣a）2，P（ξ＝1）=0.6(1−a)2+(1−0.6)⋅C21a(1−a)=0.2(1−a)(3+a)，P（ξ＝2）=0.6⋅C21a(1−a)+(1−0.6)a2=0.4a(3−2a)，P（ξ＝3）＝0.6a2．∵0＜a＜0.4，∴P（ξ＝1）﹣P（ξ＝0）＝0.2（1﹣a）（1+3a）＞0，P（ξ＝1）﹣P（ξ＝2）＝0.2（3a2﹣8a+3）＞0，P（ξ＝1）﹣P（ξ＝3）＝﹣0.2（4a2+2a﹣3）＞0，∴概率P（ξ＝1）的值最大．（2）由（1）可知，当0＜a＜0.4时，有t1＝P（ξ＝1）的值最大，且t2﹣t3＝P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）＝0.2a（6﹣7a）＞0，∴t1＞t2＞t3，∴应当以A1，A2，A3的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值．证明如下：假定p1，p2，p3为t1，t2，t3（t1＞t2＞t3）的任意一个排列，即若三个小组A i（i＝1，2，3）按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为p1，p2，p3，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为η，则η＝1，2，3，且η的分布列为η123P p1（1﹣p1）p2（1﹣p1）（1﹣p2）∴数学期望E（η）＝p1+2（1﹣p1）p2+3（1﹣p1）（1﹣p2）＝3﹣2p1﹣p2+p1p2下面证明E（η）＝3﹣2p1﹣p2+p1p2≥3﹣2t1﹣t2+t1t2成立，∵（3﹣2p1﹣p2+p1p2）﹣（3﹣2t1﹣t2+t1t2）＝2（t1﹣p1）+（t2﹣p2）+p1p2﹣p1t2+p1t2﹣t1t2＝2（t1﹣p1）+（t2﹣p2）+p1（p2﹣t2）+t2（p1﹣t1）＝（2﹣t2）（t1﹣p1）+（1﹣p1）（t2﹣p2）≥（1﹣p1）（t1﹣p1）+（1﹣p1）（t2﹣p2）＝（1﹣p1）[（t1+t2）﹣（p1+p2）]≥0，∴按照完成任务概率从大到小的A1，A2，A3的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q 的轨迹为C2．设P（ρ1，θ），Q（ρ，θ），则：ρ1cosθ﹣2ρ1sinθ＝1，即ρ1=1cosθ−2sinθ，由于|OP|•|OQ|＝2，所以ρ＝2cosθ﹣4sinθ，整理得ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝5（原点除外）．（2）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣1＝0．曲线C2的圆心为（1，﹣2），半径为√5，所以圆心到直线C1的距离d=|1−2×(−2)−1|√1+(−2)2=4√5．所以|MN|=2√(√5)2−(4√5)2=√5．由于点O到C1的距离d2=√12+(−2)2=√5所以S△OMN=12×|MN|×d2=12×√5√5=35．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得|x﹣1|+12|x+3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．讨论x≤﹣2恒成立，x＞﹣2时，可得|x﹣k|≥x+12恒成立，讨论﹣2＜x≤﹣1，x＞﹣1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．解：（1）当k＝1时，不等式f（x）≤1即为|x﹣1|+12|x+3|≤3，等价为{x≥1x−1+12x+32≤3或{−3＜x＜11−x+12x+32≤3或{x≤−31−x−12x−32≤3，解得1≤x≤53或﹣1≤x＜1或x∈∅，则原不等式的解集为[﹣1，53 ]；（2）f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，即为|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．当x≤﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥0≥x+2恒成立；当x＞﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立等价为|x﹣k|+x+32≥x+2，即|x﹣k|≥x+12恒成立，当﹣2＜x≤﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立；当x＞﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立等价为x﹣k≥x+12或x﹣k≤−x+12恒成立．即x≥2k+1或x≤23（k−12）恒成立，则2k+1≤﹣1解得k≤﹣1，所以k的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。

2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）（含参考答案）

2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）（含参考答案）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{y|y＝1﹣x2}，则A∩B的子集个数为（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：∵A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{0，1}，∴A∩B的子集个数为22＝4个．故选：B．2．（5分）若复数z满足z=i（其中i为虚数单位），则z在复平面的对应点在（）A．第一象限B．第二象限1+i1+iC．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z=i=(1+i)(−i)=1−i，2−i∴z在复平面的对应点的坐标为（1，﹣1），在第四象限．故选：D．3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确；故选：A．4．（5分）定义在R上的函数f(x)=()|xm|2为偶函数，a=f(log2)，b=f(()3)，c ＝f（m），则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b131312112C．a＜b＜c D．b＜a＜c 【解答】解：定义在R上的函数f(x)=()|xm|2为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即(3)|xm|2=(3)|xm|2；所以m＝0，所以f（x）=()|x|2，且在[0，+∞）上是单调减函数；又log2=1，0＜(2)3＜2，m＝0；211所以f（log2）＜f（()3）＜f（0），22111111311即a＜b＜c．故选：C．5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（）A．165B．185C．10D．325【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为9，向正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P =而P =9，则=，95ss 28002=；20005解可得，S =5；故选：B ．6．（5分）已知向量a ，b 的夹角为，且|a |＝1，|2a −b |=√3，则|b |＝（）3→→18π→→→→A ．1→B ．√2→C ．√3D ．2【解答】解：由|2a −b |=√3，得|2a−b|=(2a −b)=4|a|−4a ⋅b +|b|2=3，又向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝1，∴4×1﹣4×1×|b |cos60°+|b|2=3，整理得：|b |−2|b|+1=0，解得|b |＝1．故选：A ．7．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于（）→2→→→→→→→2→→2→2→→→2→→A．5B．4C．3D．2【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝3，b＝1n＝1a=2，b＝2不满足条件a≤b，执行循环体，n＝2，a=4，b＝4不满足条件a≤b，执行循环体，n＝3，a=81，b＝8 8243279不满足条件a≤b，执行循环体，n＝4，a=16，b＝16此时，满足条件a≤b，退出循环，输出n的值为4．故选：B．2+18．（5分）函数f(x)=x⋅cosx的图象大致是（）2−1xA．B．C ．−xD ．2+1【解答】解：由题意，f （﹣x ）=−x •cos （﹣x ）＝﹣f （x ），函数是奇函数，排除A ，2−1B ；x →0+，f （x ）→+∞，排除D ．故选：C ．9．（5分）第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（）A ．60B ．90C ．120D ．150【解答】解：根据题意，分2步进行分析①、将5项工作分成3组若分成1、1、3的三组，有若分成1、2、2的三组，有C 53C 21C 11A 22A 22C 52C 32C 11=10种分组方法，=15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10+15＝25种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A 33＝6种情况；所以不同的安排方式则有25×6＝150种，故选：D ．10．（5分）已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若PF =3MF ，则|MN |＝（）A ．163→→B ．38C ．212D ．18√33【解答】解：抛物线C ：y 2＝2x的焦点为F （，0），准线为l ：x =−2，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），M ，N 到准线的距离分别为d M ，d N ，由抛物线的定义可知|MF |＝d M ＝x 1+2，|NF |＝d N ＝x 2+2，于是|MN |＝|MF |+|NF |＝11x 1+x 2+1．∵PF =3MF ，∴直线MN 的斜率为±√3，∵F （，0），21→→∴直线PF 的方程为y ＝±√3（x −），将y ＝±√3（x −），代入方程y 2＝2x ，并化简得12x 2﹣20x +3＝0，∴x 1+x 2=3，于是|MN |＝|MF |+|NF |＝x 1+x 2+1=3+1=3．故选：B ．11．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 内接于球O ，P A ⊥平面ABC ，△ABC 为等边三角形，且边长为√3，球O 的表面积为16π，则直线PC 与平面P AB 所成的角的正弦值为（）A ．√1575581212B ．√155C ．√152D ．√1510【解答】解：设三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，则S 球＝4πR 2＝16π，故R ＝2，设M 为△ABC 的中心，N 为AB 的中点，则OM ⊥平面ABC ，且OC ＝2，由△ABC 为等边三角形，且边长为√3，求得NC =，MC ＝1，∴OM =√OC 2−OM 2=√3，∵P A ⊥平面ABC ，故P A ＝2OM ＝2√3，且P A ⊥CN ，∴PN =2，又CN ⊥AB ，AB ∩P A ＝A ，∴CN ⊥平面P AB ，则PC =√15，√15NC ∴sin ∠NPC =PC =2=10．√15√51323故选：D ．12．（5分）f（x）={|2x+1|，x＜1，g（x）=4x3−4x2+m+2，若y＝f（g（x））﹣log2(x−1)，x＞1515m有9个零点，则m的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，3）54C．(1，)53D．(，3)53【解答】解：令t＝g（x），g（x）=x3−=4x(x−2)，15152151515x+m+2，g（'x）=x2−x=(x2−2x）4424当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数g（x）递增，当x∈（0，2）时，函数g（x）递减，函数g（x）有极大值g（0）＝m+2，极小值g（2）＝m﹣3，若y＝f（g（x））﹣m有9个零点，画出图象如下：观察函数y＝f（t）与y＝m的交点，当m＜0时，t＞1，此时函数y＝f（t）与y＝m最多有3个交点，故不成立，当m＝0时，t1=−2，t2＝2，g（0）＝2，g（2）＝﹣3，g（x）＝t1，有三个解，g（x）＝2有2个解，共5个解不成立；当m＞3时，显然不成立；故要使函数有9个零点，0＜m＜3，根据图象，每个y＝t最多与y＝g（x）有三个交点，要有9个交点，只能每个t都要有3个交点，当0＜m＜3，y＝f（t）与y＝m的交点，−2＜t1＜−2，−2＜t2＜1，2＜t3＜9，111g （0）＝m +2∈（2，5），g （2）＝m ﹣3∈（﹣3，0），当2＜t 3＜m +2时，由log 2(t 3−1)=m ，t 3=2m +1，即2＜2m +1＜m +2时，得0＜m ＜1时，2＜t 3＜3时（x ）＝t 3，有三个解，g （x ）＝t 2，要有三个解m ﹣3＜−2，即m ＜2，g （x ）＝t 1有三个解m ﹣3＜﹣2，即m ＜1，综上，m ∈（0，1），故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）曲线y ＝xe x ﹣2x 2+1在点（0，1）处的切线方程为y ＝x +1．【解答】解：求导函数可得，y ′＝（1+x ）e x ﹣4x 当x ＝0时，y ′＝1∴曲线y ＝xe x ﹣2x 2+1在点（0，1）处的切线方程为y ﹣1＝x ，即y ＝x +1．故答案为：y ＝x +1．14．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1≠0，a 2＝3a 1可得，d ＝2a 1，∴S 10S 5S 10S 515=4．=10(a 1+a 10)5(a 1+a 5)=2a 11+4d=2(2a 1+18a 1)=4，2a 1+8a 12(2a +9d)故答案为：4．15．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为→3→半径做圆，圆A 与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若OM =2ON （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为【解答】解：双曲线C ：x 2a 2√30．5−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A （a ，0），以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．则点A 到渐近线bx ﹣ay ＝0的距离为|AB |=ab√b 2+a 2，22a2b b2√∵r＝b，∴|BN|=b−2=，c c3→∵OM=ON，25b∴|OB|＝5|BN|=c，2→∵|OA|＝a，25b a2b∴a=2+2，c c242∴a2c2＝25b4+a2b2，∴a2（c2﹣b2）＝25b4，∴a2＝5b2＝5c2﹣5a2，即6a2＝5c2，即√6a=√5c，∴e=a=5，故答案为：√30．5c√3016．（5分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+2p﹣2（p为常数，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，则a1的所有可能取值的集合是{﹣2，0，﹣66}．【解答】解：由题意，对任意n∈N*，均有an+1+2＝p（a n+2），当an+2＝0，即a1+2＝0，即a1＝﹣2时，a2＝a3＝a4＝a5＝﹣2．当an+2≠0时，构造数列{b n}：令b n＝a n+2，则b n+1＝pb n．故数列{bn}是一个以p为公比的等比数列．∵a2，a3，a4，a5∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，∴b 2，b 3，b 4，b 5∈{﹣16，﹣4，0，8，13，32}．①当b 2＝﹣4，b 3＝8，b 4＝﹣16，b 5＝32时，p ＝﹣2．此时，b 1=b 2−4==2，a 1＝b 1﹣2＝2﹣2＝0；p −212②当b 2＝32，b 3＝﹣16，b 4＝8，b 5＝﹣4时，p =−．2此时，b 1=p =1=−64，a 1＝b 1﹣2＝﹣64﹣2＝﹣66．−2b 32∴a 1的所有可能取值的集合是{﹣2，0，﹣66}．故答案为：{﹣2，0，﹣66}．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC 外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设2R （sin 2A ﹣sin 2B ）＝（a ﹣c ）sin C ．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b ＝12，c ＝8，求sin A 的值．【解答】解：（I ）∵2R （sin 2A ﹣sin 2B ）＝（a ﹣c ）sin C ，∴2R •2R （sin 2A ﹣sin 2B ）＝（a ﹣c ）sin C •2R ，即：a 2+c 2﹣b 2＝ac ，a 2+c 2−b 1∴cosB ==．2ac 22因为0＜B ＜π，所以∠B =，（II ）若b ＝12，c ＝8，由正弦定理，b sinBπ3=，sinC =3，sinC√6c √3由b ＞c ，故∠C 为锐角，cosC =π3，√3√6∴sinA =sin(B +C)=sin(3+C)=2⋅3+2⋅3=1√33√2+√3．618．（12分）已知三棱锥M ﹣ABC 中，MA ＝MB ＝MC ＝AC =2√2，AB ＝BC ＝2，O 为AC的中点，点N 在线BC 上，且BN =3BC ．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N ﹣AM ﹣C 的正弦值．→2→【解答】解：（1）如图所示：连接OM ，AC ，OM 相交于O ，在△ABC 中：AB =BC =2，AC =2√2，则∠ABC =90°，BO =√2，OB ⊥AC ．在△MAC 中：MA =MC =AC =2√2，O 为AC 的中点，则OM ⊥AC ，且OM =√6．在△MOB 中：BO =√2，OM =√6，MB =2√2，满足：BO 2+OM 2＝MB 2根据勾股定理逆定理得到OB ⊥OM ，故OB ⊥平面AMC ；（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，建立空间直角坐标系O ﹣xyz 如图所示．因为MA =MB =MC =AC =2√2，AB ＝BC ＝2则A(0，−√2，0)，B(√2，0，0)，C(0，√2，0)，M(0，0，√6)，√22→2√2由BN =3BC 所以，N(3，3，0)→设→平→面√2MAN5√2的法向√2量5√2为m =(x ，y ，z)→，则AN ⋅n =(3，3，0)⋅(x ，y ，z)=3x +3y =0，{→→AM ⋅n =(0，√2，√6)⋅(x ，y ，z)=√2y +√6z =0令y =√3，得m =(−5√3，√3，−1)，因为BO ⊥平面AMC ，所以OB =(√2，0，0)为平面AMC 的法向量，所以m =(−5√3，√3，−1)与OB =(√2，0，0)所成角的余弦为cos ＜m ，OB ＞=−5√6−5√3=．√79√2√79→→→→→→所以二面角的正弦值为|sin ＜m ，OB ＞|=√1−(y 2a 2x 2b 2→→−5√3222√79)==．79√79√79√2，且过点C （1，0）．219．（12分）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点（−，0）的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证，恒有|AB |＝2|CM |．【解答】解：（I ）由题意知b ＝1，=a c√2，213又因为a 2＝b 2+c 2解得，a =√2，所以椭圆方程为y 221+x 2=1．1（Ⅱ）设过点(−3，0)直线为x =ty −3，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）x =ty −3由{2得（9+18t 2）y 2﹣12ty ﹣16＝0，且△＞0．y2+x =1212t2，9+18t 则{16y 1y 2=−，9+18t21y 1+y 2=又因为CA =(x 1−1，y 1)，CB =(x 2−1，y 2)，CA ⋅CB =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(ty 1−3)(ty 2−3)+y 1y 2=(1+t 2)y 1y 2−3t(y 1+y 2)+9=(1+t 2)−⋅9+18t 2312t 16+=0，99+18t 244416−164t →→→→所以CA ⊥CB ．→→因为线段AB 的中点为M ，所以|AB |＝2|CM |．20．（12分）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p （0＜p ＜1）．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验．化验次数的期望值越小，则方案越“优“．（1）若p =2√2，求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率；32√2，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优3（2）①若p =“？②若“方案三”比“方案四“更“优”，求p 的取值范围．【解答】解：（1）该混合样本达标的概率是(2√228)=，391所以根据对立事件原理，不达标的概率为1−9=9．（2）①方案一：逐个检测，检测次数为4．方案二：由①知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则988检测次数为3，概率为．故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2，4，6．91其分布列如下，ξ2p26481416816181可求得方案二的期望为E(ξ2)=2×6416119822+4×+6×==818181819方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1，5．其分布列如下，ξ4p16481517816417149+5×=．818181可求得方案四的期望为E(ξ4)=1×比较可得E （ξ4）＜E （ξ2）＜4，故选择方案四最“优”．②方案三：设化验次数为η3，η3可取2，5．η3p2p 351﹣p 3E(η3)=2p 3+5(1−p 3)=5−3p 3；方案四：设化验次数为η4，η4可取1，5η4p1p 451﹣p 4E(η4)=p 4+5(1−p 4)=5−4p 4；由题意得E(η3)＜E(η4)⇔5−3p 3＜5−4p 4⇔p ＜4．故当0＜p ＜4时，方案三比方案四更“优”．e x 21．（12分）已知函数f （x ）＝x ﹣lnx −．x 33（1）求f （x ）的最大值；（2）若f(x)+(x +x )e x−bx ≥1恒成立，求实数b 的取值范围．e x【解答】解：（1）f(x)=x −lnx −x ，定义域（0，+∞），1f′(x)=1−x −1e x (x−1)(x−1)(x−e x )=，x 2x 2由e x ≥x +1＞x ，f （x ）在（0，1]增，在（1，+∞）减，f （x ）max ＝f （1）＝1﹣e ．1x e x e x x （2）f(x)+(x +x )e −bx ≥1⇔−lnx +x −x +xe +x −bx ≥1⇔﹣lnx +x +xe x ﹣bxxe x −lnx−1+x xe x −lnx−1+x﹣1≥0⇔≥b ⇔()min ≥b ，x x令φ(x)=xe x −lnx−1+x x 2e x +lnx，φ′(x)=，x x令h （x ）＝x 2e x +lnx ，h （x ）在（0，+∞）单调递增，x →0，h （x ）→﹣∞，h （1）＝e ＞0h （x ）在（0，1）存在零点x 0，即ℎ(x 0)=x 02e x 0+lnx 0=0，x 0e 2x 0+lnx 0=0⇔x 0e x 0ln lnx 1=−x 0=(ln x )(e x 0)，001由于y ＝xe x 在（0，+∞）单调递增，故x=ln x =−lnx 0，即e x 0=x ，00φ（x ）在（0，x 0）减，在（x 0，+∞）增，φ(x)minx 0e x 0−lnx 0−1+x 01+x 0−1+x 0===2，x 0x 011所以b ≤2．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]x =acosα322．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P (1，2)，其参数方程{y =3sinα√（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：定值．【解答】解：（I ）将点P(1，2)代入曲线E 的方程，1=acosα，得{3解得a 2＝4，=3sinα，2√所以曲线E 的普通方程为14x 241331|OA|2+1|OB|2为定值，并求出这个+y 23=1，极坐标方程为ρ2(cos 2θ+sin 2θ)=1．（Ⅱ）不妨设点A ，B 的极坐标分别为A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+)，ρ1＞0，ρ2＞0，22(4ρ1cos 2θ+3ρ1sin 2θ)=1，则{1π12π222(4ρ2cos (θ+2)+3ρ2sin (θ+2)=1，π211111=4cos 2θ+3sin 2θ，2ρ1即{1．1122=4sin θ+3cos θ，ρ221 2ρ1+12ρ2=14+13=712，即1|OA|2+1|OB|2=712．[选修4-5不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|2x+1|+m．（1）求不等式f（x）＞m的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n，使得f（n）≥0，求m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＞m，得|x﹣1|﹣|2x+1|＞0，即|x﹣1|＞|2x+1|，不等式两边同时平方，得（x﹣1）2＞（2x+1）2，即x2+2x＜0，解得﹣2＜x＜0，∴不等式f（x）＞m的解集为{x|﹣2＜x＜0}；x≤−x+221（2）设g（x）＝|x﹣1|﹣|2x+1|，g(x)=−3x−2＜x≤1，{−x−2x＞1∵g（﹣2）＝g（0）＝0，g（﹣3）＝﹣1，g（﹣4）＝﹣2，g（1）＝﹣3，又恰好存在4个不同的整数n，使得f（n）≥0，f(−3)≥0−1+m≥0∴{，即{，解得1≤m＜2，−2+m＜0f(−4)＜0故m的取值范围为[1，2）．1。

2020年陕西省西安市高考数学一模试卷(理科)(含解析)

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2020年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x||x|<1}，B ＝{x|lgx <0}，则A ∩B ＝（ ） A.(−∞, 1) B.(0, 1) C.(−1, 0) D.(−1, 1)2.复数1−i i=()A.−iB.iC.−1−iD.−1+i3.已知平面向量a →=(1, 2)，b →=(−2, k)，若a →与b →共线，则|3a →+b →|＝（ ） A.3 B.4 C.√5 D.54.(x −√x)4展开式中含x 项的系数为（ ） A.−60 B.24 C.−120 D.1205.某单位为了了解用电量y 度与气温x ∘C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y =−2x +a ，预测当气温为−4∘C 时，用电量度数为（ ） A.68 B.67 C.65 D.646.若a ，b ，c ∈R ．且满足a >b >c ，则下列不等式成立的是（ ） A.1a <1bB.1a 2>1b 2C.a c 2+1>bc 2+1D.a|c|>b|c|7.设l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．给定下列命题：①m⊥αn⊥m}⇒n // α②l⊥m,l⊥nm,n⊂α}⇒l⊥α③m⊥αm⊥β}⇒α // β④m⊂αn⊂βα∥β}⇒m∥n⑤l⊥αl⊂β}⇒α⊥β其中为假命题的个数为（）A.1B.2C.3D.48.经过点P(4, −2)的抛物线的标准方程是（）A.y2＝x或x2＝yB.y2＝x或x2＝8yC.x2＝y或y2＝−8xD.y2＝x或x2＝−8y9.将函数f(x)＝sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度得到g(x)图象，则下列判断错误的是（）A.函数g(x)在区间[π12, π2]上单调递增B.g(x)图象关于直线x=7π12对称C.函数g(x)在区间[−π6, π3]上单调递减D.g(x)图象关于点(π3, 0)中心对称10.已知√2sin(α+π4)=√52，则tanα+1tanα=()A.−8B.8C.−18D.1811.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，直线y=√3x分别交双曲线左、右两支于P，Q两点，若PF⊥QF，则双曲线的离心率为（）A.√2+1 B.√3+1 C.2 D.√512.定义新运算“⊕”如下：a⊕b={a,a≥bb2,a<b，已知函数f(x)＝(1⊕x)x−2(2⊕x)(x∈[−2, 2])，则满足f(m−2)≤f(2m)的实数m的取值范围是（）A.[12, +∞) B.[12, 2] C.[0, 1] D.[−1, 4]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是________．已知f(x)是定义域R上的奇函数，周期为4，且当x∈[0, 1]时，f(x)＝log2(x+1)，则f(31)＝________．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果b＝1，c=√3，C=2π3，则△ABC的周长为________．已知△ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2√2，PC=√5，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为________．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第7～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝2，E为PD中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）求二面角B−AE−C的正弦值．一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫（假设任意1只昆虫等可能地飞出）．若有2只昆虫先后飞出（不考虑顺序），则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是21．55（1）求盒子中蜜蜂有几只；（2）若从盒子中先后任意飞出3只昆虫（不考虑顺序），记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S，若a1＝1，S n＝a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若b n＝na n+1，求数列{b n}的前n项和S n．已知f(x)＝(x −2)e x ．（1）当a ≥0时，求g(x)＝2f(x)+12a(x −1)2的单调区间；（2）若当a ≥0时，不等式f(x)+2≥−12a(x 2+4x)在[0, +∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．如图椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，|A 1B 1|=√3，离心率为√22． （1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得可QA →⋅QB →为定值？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由？[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−2+cosαy =2+sinα（α为参数）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−√3cosθ)=1．(Ⅰ)分别求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)若P，Q分别是曲线C1和C2上的动点，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x+1|+|mx−1|，m∈R．(Ⅰ)当m＝−2时，求不等式f(x)≤2的解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x+3|的解集包含[1, 2]，求实数m的取值范围．2020年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x||x|<1}，B ＝{x|lgx <0}，则A ∩B ＝（ ） A.(−∞, 1) B.(0, 1) C.(−1, 0) D.(−1, 1)【解答】∵A ＝{x|−1<x <1}，B ＝{x|0<x <1}， ∴A ∩B ＝(0, 1)． 2.复数1−i i=()A.−iB.iC.−1−iD.−1+i【解答】 复数z =1−i i =(1−i)i −i⋅i =1+i −1=−1−i3.已知平面向量a →=(1, 2)，b →=(−2, k)，若a →与b →共线，则|3a →+b →|＝（ ） A.3 B.4 C.√5 D.5【解答】∵向量a →=(1, 2)，b →=(−2, k)，且a →与b →共线， ∴k −2×(−2)＝0， 解得k ＝−4， ∴b →=(−2, −4)；∴3a →+b →=(3×1−2, 2×2−4)＝(1, 2)， ∴|3a →+b →|=√12+22=√5； 4.(x −√x )4展开式中含x 项的系数为（ ） A.−60 B.24 C.−120 D.120【解答】 (x −√x )4展开式中的通项公式为T r+1=C 4r ⋅(−2)r⋅x4−3r 2，令4−3r 2=1，求得r ＝2，故含x 项的系数为C 42⋅(−2)2＝24，5.某单位为了了解用电量y 度与气温x ∘C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y =−2x +a ，预测当气温为−4∘C 时，用电量度数为（ ） A.68 B.67 C.65 D.64【解答】 x ¯=18+13+10+(−1)4=10，y ¯=24+34+38+644=40，a =y ¯+2x ¯=40+20＝60， 线性回归方程为：y =−2x +60， 当x ＝−4时，y =8+60＝68， 当气温为−4∘C 时，用电量度数为68，6.若a ，b ，c ∈R ．且满足a >b >c ，则下列不等式成立的是（ ） A.1a <1b B.1a 2>1b 2C.a c 2+1>bc 2+1D.a|c|>b|c|【解答】A ．若a ＝1，b ＝−2，则1a >1b ，可知A 错误； B ．若a ＝1，b =12，则1a 2<1b 2，可知B 错误；C ．c 2+1>0，∴1c 2+1>0，又a >b ，∴ac 2+1>bc 2+1，可知C 正确； D ．当c ＝0时，a|c|＝b|c|，可知D 错误．7.设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．给定下列命题： ①m ⊥αn ⊥m}⇒n // α ② l ⊥m,l ⊥n m,n ⊂α}⇒l ⊥α③ m ⊥αm ⊥β}⇒α // β④m⊂αn⊂βα∥β}⇒m∥n⑤l⊥αl⊂β}⇒α⊥β其中为假命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【解答】对于①m⊥αn⊥m}⇒n // α，错误，n可以在平面α内：对于②，是错误的，根据线面垂直的判定定理知，当一条直线和面内两条相交直线垂直的时候．才能推出线面垂直；对于③根据面面平行的判定定理的推论知其结果正确；④直线m和n可以是异面直线．故错误；对于⑤根据而面垂直的判定定理得到其正确．故假命题为3个；8.经过点P(4, −2)的抛物线的标准方程是（）A.y2＝x或x2＝yB.y2＝x或x2＝8yC.x2＝y或y2＝−8xD.y2＝x或x2＝−8y【解答】由于点P(4, −2)在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向上．故可设抛物线的标准方程为y2＝2px，或x2＝−2my，把点P(4, −2)代入方程可得p=12，或m＝4，故抛物线的标准方程y2＝x或x2＝−8y，9.将函数f(x)＝sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度得到g(x)图象，则下列判断错误的是（）A.函数g(x)在区间[π12, π2]上单调递增B.g(x)图象关于直线x=7π12对称C.函数g(x)在区间[−π6, π3]上单调递减D.g(x)图象关于点(π3, 0)中心对称 【解答】将函数f(x)＝sin(2x +π3)的图象向右平移π2个单位长度得到g(x)＝sin(2x −π+π3)＝sin(2x −2π3)的图象，在区间[π12, π2]上，2x −2π3∈[−π2, π3]，g(x)单调递增，故A 正确；当x =7π12，求得g(x)＝1，为最大值，故g(x)图象关于直线x =7π12对称，故B正确；在区间[−π6, π3]上，2x −2π3∈[−π, 0]，g(x)没有单调性，故C 不正确；当x =π3时，求得g(x)＝0，故g(x)图象关于点(π3, 0)中心对称，故D 正确， 10.已知√2sin(α+π4)=√52，则tanα+1tanα=()A.−8B.8C.−18D.18【解答】 由√2sin(a+π4)=√52，可得cosα−sinα=√52，所以1−sin2α=54，2sinαcosα=−14又tana +1tana =1sinαcosα=−8．11.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，直线y =√3x 分别交双曲线左、右两支于P ，Q 两点，若PF ⊥QF ，则双曲线的离心率为（ ） A.√2+1 B.√3+1 C.2 D.√5【解答】设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，将直线y =√3x 代入双曲线方程，并化简得x 2=a 2b 2b 2−3a 2，y 2＝3x 2=3a 2b 2b 2−3a 2，故x 1+x 2＝0，x 1x 2=−a 2b 2b 2−3a 2，y 1y 2＝3x 1x 2=−3a 2b 2b −3a ，设焦点坐标为F(c, 0)，由于PF ⊥QF ，可得(x 1−c, y 1)(x 2−c, y 2)＝0． 即4x 1x 2+c 2＝0，即b 4−6a 2b 2−3a 4＝0，两边除以a 4得：(ba )4−6(ba )2−3=0，解得(ba )2=3+2√3，故e=√1+(ba)2=√4+2√3=√3+1．12.定义新运算“⊕”如下：a⊕b={a,a≥bb2,a<b，已知函数f(x)＝(1⊕x)x−2(2⊕x)(x∈[−2, 2])，则满足f(m−2)≤f(2m)的实数m的取值范围是（）A.[12, +∞) B.[12, 2] C.[0, 1] D.[−1, 4]【解答】当−2≤x≤1时，f(x)＝1⋅x−2×2＝x−4；当1<x≤2时，f(x)＝x2⋅x−2×2＝x3−4；所以f(x)={x−4,−2≤x≤1x3−4,1<x≤2，易知，f(x)＝x−4在[−2, 1]单调递增，f(x)＝x3−4在(1, 2]单调递增，且−2≤x≤1时，f(x)max＝−3，1<x≤2时，f(x)min＝−3，则f(x)在[−2, 2]上单调递增，所以f(m−2)≤f(2m)得：{−2≤m−2≤2−2≤2m≤2m−2≤2m，解得0≤m≤1．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是________．【解答】设第一次摸到黑球为事件A，则P(A)=47，第二次摸到白球为事件B，则P(AB)=47×36=12，设第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到球的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=2747=12．已知f(x)是定义域R上的奇函数，周期为4，且当x∈[0, 1]时，f(x)＝log2(x+1)，则f(31)＝________．【解答】故答案为：−1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果b＝1，c=√3，C=2π3，则△ABC的周长为________+√3．【解答】∵b＝1，c=√3，C=2π3，∴由余弦定理c2＝a2+b2−2abcosC，可得：3＝a2+1−2×a×1×(−12)，解得：a＝1或−2（舍去），∴△ABC的周长为a+b+c＝1+1+√3=2+√3．已知△ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2√2，PC=√5，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为________．【解答】由题意知BC的中点O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC．过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面ABC内．根据球的性质，球心一定在垂线l上，∵球心O1一定在平面PBC内，且球心O1也是△PBC外接圆的圆心．在△PBC中，由余弦定理得cos∠PBC=PB 2+BC2−PC22PB⋅BC=√22，∴sin∠PBC=√22，由正弦定理得：PCsin∠PBC =2R，解得R=√102，∴三棱锥的外接球的表面积＝4πR2＝10π．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第7～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝2，E为PD中点．（1）求证：AE ⊥PC ；（2）求二面角B −AE −C 的正弦值． 【解答】证明：∵底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ＝2，E 为PD 中点， ∴AE ⊥PD ，CD ⊥AD ．∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ． ∵PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ， ∵AE ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AE ， ∵CD ∩PD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD ， ∵PC ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PC ；以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立如图空间直角坐标系． 则A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 2, 0)，E(0, 1, 1)， AE →=(0,1,1)，AB →=(2,0,0)，AC →=(2,2,0)， 设平面ABE 的一个法向量m →=(x,y,z)，则{m →⋅AB →=2x =0m →⋅AE →=y +z =0，取y ＝1，得m →=(0,1,−1)； 设平面AEC 的一个法向量为n →=(a,b,c)，则{n →⋅AC →=2a +2b =0n →⋅AE →=b +c =0，取a ＝1，得n →=(1,−1,1)， ∴cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√3×√2=−√63， ∴二面角B −AE −C 的正弦值为√1−(−√63)2=√33．一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫（假设任意1只昆虫等可能地飞出）．若有2只昆虫先后飞出（不考虑顺序），则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是2155． （1）求盒子中蜜蜂有几只；（2）若从盒子中先后任意飞出3只昆虫（不考虑顺序），记飞出蜜蜂的只数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望E(X)． 【解答】设有蜜蜂x 只，则其他昆虫为11−x ， 飞出的昆虫是蝴蝶或蜻蜓的概率：C 11−x 2C 112=2155，解得：x ＝4；X 的取值为：0，1，2，3． P(X ＝0)=C 73C 113=733，P(X ＝1)=C 72C41C 113=2855， P(X ＝2)=C 71C42C 113=1455，P(X ＝3)=C 43C 113=4165．随机变量X 的分布列： 因此X 的分布列为：∴EX =0×733+1×2855+2×1455+3×4165=1211．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S ，若a 1＝1，S n ＝a n+1． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）若b n ＝na n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ． 【解答】由题意，由S n ＝a n+1，可得 当n ≥2时，S n−1＝a n ，两式相减，得a n＝S n−S n−1＝a n+1−a n，即a n+1a n=2，∵a1＝1，a2＝S1＝1，∴当n≥2时，a n＝2n−1，验证n＝1时不成立，∴数列{a n}的通项公式为a n={1,n=1;2n−1,n≥2.．由（1）知，b n＝n⋅2n，n∈N∗．∴S n＝1⋅2+2⋅22+3⋅23+...+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，2S n＝1⋅22+2⋅23+...+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，两式相减，可得−S n＝2+22+23+...+2n−n⋅2n+1=2−2n+11−2−n⋅2n+1＝(1−n)⋅2n+1−2，∴S n＝(n−1)⋅2n+1+2．已知f(x)＝(x−2)e x．（1）当a≥0时，求g(x)＝2f(x)+12a(x−1)2的单调区间；（2）若当a≥0时，不等式f(x)+2≥−12a(x2+4x)在[0, +∞)上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】由题意知g(x)＝(2x−4)x2+12a(x−1)2．所以g′(x)＝(2x−2)e x+a(x−1)＝(x−1)(2e x+a)．因为a≥0，令g′(x)>0，得x>1，此时函数单调递增；令g′(x)<0，得x<1，此时函数单调递减；所以g(x)在单调递增区间(1, +∞)，单调递减区间(−∞, 1)；设ℎ(x)＝2[f(x)+2+12a(x2+4x)]＝(2x−4)e x+a(x2+4x)+4．因为ℎ′(x)＝(2x−2)e x+2a(x+2)．令m(x)＝ℎ′(x)＝(2x−2)e x+2a(x+2)．则m′(x)＝2xe x+2a，x≥0．因为a>0，有则m′(x)>0，此时函数y＝m(x)在[0, +∞)上单调递增，则m(x)≥m(0)＝4a−2．(ⅰ)若4a −2≥0即a ≥12时，ℎ(x)在[0, +∞)上单调递增， 则ℎ(x)min ＝ℎ(0)＝0恒成立；(ⅱ)若4a −2<0即0<a <12时，则在[0, +∞)存在ℎ′(x 0)＝0．此时函数ℎ(x)在(0, x 0)上单调递减，x ∈(x 0, +∞)上单调递增且ℎ(0)＝4a −1<0，所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；综上所述，f(x)+2≥−12a(x 2+4x)在[0, +∞)恒成立， 实数a 的取值范围为[12,+∞)．如图椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，|A 1B 1|=√3，离心率为√22． （1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得可QA →⋅QB →为定值？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由？ 【解答】由|A 1B 1|=√3知，a 2+b 2＝3，① 由题知e =ca =√22② 又a 2−b 2＝c 2③，由①②③得：a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1； ①当直线l 的斜率不为0时，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，Q(m, 0)，直线l 的方程为x ＝ky +1， 由{x =ky +1x 22+y 2=1 ，得(k 2+2)y 2+2ky −1＝0，∴{y 1+y 2=−2kk 2+2y 1y 2=−1k +2 ， ∴QA →⋅QB →=(x 1−m)(x 2−m)+y 1y 2=(ky 1+1)(ky 2+1)−m(ky 1+ky 2+2)+m 2+y 1y 2＝(k 2+1)y 1y₂+k(y₁+y₂)(1−m)+m 2−2m +1=(2m−3)k 2−1k 2+2+m 2−2m +1，令2m−31=−12，得m =54， 故此时点(54,0)，QA →⋅QB →=−716， ②当直线l 的斜率为0时，显然成立，综上所述：在x 轴上存在定点Q(54,0)，使得QA →⋅QB →为定值． [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−2+cosαy =2+sinα（α为参数）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−√3cosθ)=1．(Ⅰ)分别求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (Ⅱ)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的动点，求|PQ|的最小值． 【解答】（1）曲线C 1的参数方程为{x =−2+cosαy =2+sinα （α为参数）转换为直角坐标方程为(x +2)2+(y −2)2＝1．直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−√3cosθ)=1，转换为直角坐标方程为√3x −y +1=0．（2）设点P(−2+cosθ, 2+sinθ)到直线√3x −y +1=0的距离d =√3+√3cosθ−sinθ−2+1|√3+1=|2cos(θ+π6)−2√3−1|2，当cos(θ+π6)=1时，最小值为2√3−12． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x +1|+|mx −1|，m ∈R ． (Ⅰ)当m ＝−2时，求不等式f(x)≤2的解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x +3|的解集包含[1, 2]，求实数m 的取值范围． 【解答】（1）当m ＝−2时，函数f(x)＝|x +1|+|mx −1|＝|x +1|+|2x +1|， ①当x ≤−1时，原不等式可化为−(x +1)−(2x +1)≤2， 化简得−3x −2≤2，解得：x ≥−43，所以：−43≤x ≤−1，②当−1<x≤−12时，原不等式可化为：(x+1)−(2x+1)≤2化简得：−x≤2，解得x≥−2，∴−1<x≤−12；③当x>−12时，原不等式可化为：(x+1)+(2x+1)≤2化简得：3x+2≤2，解得x≤0，∴：−12<x≤0；综上所述不等式f(x)≤2的解集是：[−43, 0]；（2）若f(x)≤|x+3|的解集包含[1, 2]，可知：对任意的x∈[1, 2]，|x+ 1|+|mx−1|≤|x+3|恒成立，即对任意的x∈[1, 2]，|mx−1|≤|x+3|−|x+1|恒成立，当x∈[1, 2]时，|x+3|−|x+1|＝(x+3)−(x+1)＝2对任意的x∈[1, 2]．|mx−1|≤2恒成立，x∈[1, 2]．|mx−1|≤2，∴(−1x )max≤m≤(3x)min∴−12≤m≤32；即实数m的取值范围为：[−12, 32 ]；。

2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷 含解析

2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷 含解析

2020年高考数学一模试卷一、选择题.1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，则（∁R A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．R D．（1，+∞）2．双曲线﹣y2＝1的焦点到渐近线的距离是（）A．1B．C．D．23．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．4B．8C．D．4．若实数x，y满足不等式组，则x﹣3y（）A．有最大值﹣2，最小值﹣B．有最大值，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值﹣2，无最大值5．在△ABC中，已知A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知a＞0，且a≠1，若log a2＞1，则y＝x﹣的图象可能是（）A．B．C．D．7．已知x1，x2，x3∈R，x1＜x2＜x3，设y1＝，y2＝，y3＝，z1＝，z2＝，z3＝，若随机变量X，Y，Z满足：P（X＝x i）＝P（Y＝y i）＝P（Z ＝z i）＝（i＝1，2，3），则（）A．D（X）＜D（Y）＜D（Z）B．D（X）＞D（Y）＞D（Z）C．D（X）＜D（Z）＜D（Y）D．D（X）＞D（Z）＞D（Y）8．如图，三棱锥V﹣ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，则α+β不可能是（）A．B．C．D．9．如图，一系列椭圆∁n：+＝1（n∈N*），射线y＝x（x≥0）与椭圆∁n交于点P n，设a n＝|P n P n+1|，则数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．先递减后递增数列D．先递增后递减数列10．设a∈R，若x∈[1，e]时恒有（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a（其中e＝2.71828……为自然对数的底数），则恒有零点的是（）A．y＝x2+ax+1B．y＝ax2+3x+1C．y＝e x+a﹣1D．y＝e x﹣a+1二、填空题（共7小题）11．函数f（x）＝﹣3sin（πx+2）的最小正周期为，值域为．12．已知i为虚数单位，复数z满足＝1﹣2i，则z＝，|z|＝．13．已知（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，则a6＝，|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝．14．已知函数f（x）＝，若f（﹣1）＝f（1），则实数a＝；若y＝f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为．15．某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有种不同分配方案．（用具体数字作答）16．已知平面向量，，，，满足||＝||＝||＝1，•＝0，|﹣|＝|•|，则•的取值范围为．17．已知a，b∈R，设函数f（x）＝2|sin x+a|+|cos2x+sin x+b|的最大值为G（a，b），则G （a，b）的最小值为．三、解答题（共5小题）18．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，＝．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE是正方形，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，AE＝．（Ⅰ）求证：BC⊥AE；（Ⅱ）求直线AD与平面BCDE所成角的正弦值．20．已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列．数列{b n}满足：b1+++……+＝（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：+++……+＜．21．如图，已知点O（0，0），E（2，0），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为线段OE中点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点E的直线交抛物线C于A，B两点，＝4，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且MN⊥y轴，求△ABN面积的最小值．22．已知函数f（x）＝（x+1）e x﹣ax2（x＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：+﹣＞1．（其中t0为f（x）的极小值点）参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，则（∁R A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．R D．（1，+∞）【分析】进行交集和补集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，∴∁R A＝{x|x≤1}，（∁R A）∩B＝{1}．故选：B．2．双曲线﹣y2＝1的焦点到渐近线的距离是（）A．1B．C．D．2【分析】根据双曲线的方程求出啊、焦点坐标和渐近线，利用点到直线的距离公式进行求解即可．解：双曲线﹣y2＝1的渐近线为y＝±x，a2＝3，b2＝1，c2＝a2+b2＝3+1＝4，即C＝2，设一个焦点F（2，0），渐近线方程为x+y＝0，则焦点F到其渐近线的距离d＝＝，故选：A．3．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．4B．8C．D．【分析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积．解：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为S＝22＝4，高为h＝＝；所以该四棱锥的体积是V＝Sh＝×4×＝．故选：C．4．若实数x，y满足不等式组，则x﹣3y（）A．有最大值﹣2，最小值﹣B．有最大值，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值﹣2，无最大值【分析】画出不等式组表示的平面区域，设z＝x﹣3y，则直线x﹣3y﹣z＝0是一组平行线，找出最优解，求出z有最大值，且z无最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；设z＝x﹣3y，则直线x﹣3y﹣z＝0是一组平行线；当直线过点A时，z有最大值，由，得A（2，0）；所以z的最大值为x﹣3y＝2﹣0＝2，且z无最小值．故选：C．5．在△ABC中，已知A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】A＝，则“sin A＞sin B”，利用正弦定理可得：a＞b，A＞B，B＜，C为钝角．反之不成立．可能B是钝角．解：A＝，则“sin A＞sin B”，由正弦定理可得：a＞b⇔B＜，C为钝角，⇒“△ABC是钝角三角形”，反之不成立．可能B是钝角．∴A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．6．已知a＞0，且a≠1，若log a2＞1，则y＝x﹣的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先根据对数不等式求出a的范围，然后利用特殊值验证找出图象．解：∵log a2＞1，∴a＞1．结合图象f（1）＝1﹣a＜0，故排除B，C．又∵f（﹣1）＝﹣1﹣a＜0，故排除A．D选项满足．故选：D．7．已知x1，x2，x3∈R，x1＜x2＜x3，设y1＝，y2＝，y3＝，z1＝，z2＝，z3＝，若随机变量X，Y，Z满足：P（X＝x i）＝P（Y＝y i）＝P（Z ＝z i）＝（i＝1，2，3），则（）A．D（X）＜D（Y）＜D（Z）B．D（X）＞D（Y）＞D（Z）C．D（X）＜D（Z）＜D（Y）D．D（X）＞D（Z）＞D（Y）【分析】计算可得E（X）＝E（Y），进而得到D（X）＞D（Y），同理D（Y）＞D（Z），解：E（X）＝，E（Y）＝（++）＝＝E（X），，，距E（Y），x1，x2，x3较近，所以D（X）＞D（Y），同理D（Y）＞D（Z），故D（X）＞D（Y）＞D（Z），故选：B．8．如图，三棱锥V﹣ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，则α+β不可能是（）A．B．C．D．【分析】由题意，三棱锥V﹣ABC为正三棱锥，过P作PE∥AC，则∠BPE为直线PB 与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，即V﹣AC﹣B的平面角为β，然后利用运动思想分析两角的范围，可得α+β∈（，π），则α+β不可能是，答案可求．解：如图，由题意，三棱锥V﹣ABC为正三棱锥，过P作PE∥AC，则∠BPE为直线PB与直线AC所成角为α，当P无限靠近A时，∠PBE无限接近，但小于，则∠BPE＝∠BEP＝α＞．当棱锥的侧棱无限长，P无限靠近V时，α无限趋于但小于；二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，即V﹣AC﹣B的平面角为β，由三棱锥存在，得β＞0，随着棱长无限增大，β无限趋于．∴α+β∈（，π）．则α+β不可能是．故选：D．9．如图，一系列椭圆∁n：+＝1（n∈N*），射线y＝x（x≥0）与椭圆∁n交于点P n，设a n＝|P n P n+1|，则数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．先递减后递增数列D．先递增后递减数列【分析】取射线y＝x的参数方程，利用参数t的几何意义表示出a n，然后作差法判断其单调性．解：设y＝x的参数方程，代入+＝1（n∈N*）整理得，∴，∴a n＝t n+1﹣t n＝要判断上式增大还是减小，只需研究的值增大或减小即可．将上式通分得＝＝，显然随着n的增大，a n的逐渐减小．故该数列是递减数列．故选：B．10．设a∈R，若x∈[1，e]时恒有（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a（其中e＝2.71828……为自然对数的底数），则恒有零点的是（）A．y＝x2+ax+1B．y＝ax2+3x+1C．y＝e x+a﹣1D．y＝e x﹣a+1【分析】原式变形可得，构造，可得（e﹣1）lnt ≤t﹣1，再构造，利用导数可知，满足g（t）≤0的t∈（0，1]∪[e，+∞），结合x∈[1，e]，可知，由此再逐项判断即可得出结论．解：（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a等价于，令，则（e﹣1）lnt≤t﹣1，令，则，令g′（t）＝0，解得t＝e，∴函数g（t）在（0，e﹣1）单调递增，在（e﹣1，+∞）单调递减，注意到g（1）＝g （e）＝0，作函数g（t）的图象如下，由图可知，g（t）≤0的解集为t∈（0，1]∪[e，+∞），当t∈（0，1]时，，则，此时无解；当t∈[e，+∞）时，，则，对A，取时，y＞0恒成立，不合题意；对B、C，取a→+∞时，y＞0恒成立，不合题意；对D，事实上，，必有a﹣1＞0，因此y＝e x﹣a+1必有零点．故选：D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．函数f（x）＝﹣3sin（πx+2）的最小正周期为2，值域为[﹣3，3]．【分析】利用周期计算公式和y＝sin x的值域直接计算即可．解：由题意最小正周期．因为sin（πx+2）∈[﹣1，1]，所以﹣3sin（πx+2）∈[﹣3，3]，故值域为[﹣3，3]．故答案为：2，[﹣3，3]．12．已知i为虚数单位，复数z满足＝1﹣2i，则z＝3﹣2i，|z|＝．【分析】利用复数的加减法、乘法公式、复数模的计算公式直接计算即可．解：∵＝1﹣2i，∴z+i＝（1﹣2i）（1+i）＝3﹣i．∴z＝3﹣2i．．故答案为：3﹣2i，13．已知（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，则a6＝0，|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝665．【分析】根据其特点可知a6为x6的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令x＝1即可求解．解：因为（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，令x＝1可得：a0+a1+a2+……+a5+a6＝26﹣36＝﹣665．所以：a6＝﹣＝0；∵a0＝﹣26＝﹣63；a1＝﹣25＝﹣186；a2x2+＝﹣24＝﹣225；……a5＝﹣2＝﹣6；a6＝﹣20•＝0；故|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝﹣a0﹣a1﹣a2﹣……﹣a5﹣a6＝665．故答案为：0，665．14．已知函数f（x）＝，若f（﹣1）＝f（1），则实数a＝1﹣；若y＝f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为[﹣1，0）．【分析】（1）根据题意列出关于a的方程即可；（2）在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．解：（1）∵f（﹣1）＝f（1），∴2﹣1＝log2（1﹣a），∴，∴．（2）易知x＜0时，f（x）＝2x∈（0，1）；又x≥0时，f（x）＝log2（x﹣a）递增，故f（x）≥f（0）＝log2（﹣a），要使函数f（x）存在最小值，只需，解得：﹣1≤a＜0．故答案为：1﹣，[﹣1，0）．15．某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有324种不同分配方案．（用具体数字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，将9人分成3组，有A33×种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情况有C42C42种，则有A33×﹣C42C42＝90﹣36＝54种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有A33＝6种情况，则有54×6＝324种不同的分配方案；故答案为：324．16．已知平面向量，，，，满足||＝||＝||＝1，•＝0，|﹣|＝|•|，则•的取值范围为．【分析】根据已知条件，假设各向量的坐标表示，通过转换成三角函数的范围来求解．【解答】解；由题，设．∵|﹣|＝|•|，∴（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝sin2θ．①．．根据①中圆的几何意义，•的取值范围即：，∴•的取值范围为[]．故答案为：．17．已知a，b∈R，设函数f（x）＝2|sin x+a|+|cos2x+sin x+b|的最大值为G（a，b），则G （a，b）的最小值为．【分析】换元t＝sin x∈[﹣1，1]，可知G（a，b）＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b ﹣1|}，分G（a，b）＝|﹣2t2+3t+2a+b+1|及G（a，b）＝|2t2+t+2a﹣b﹣1|讨论，利用绝对值的几何意义两点控制可求得对应的最小值，进而求得G（a，b）的最小值．解：设t＝sin x∈[﹣1，1]，则f（x）＝2|sin x+a|+|1﹣2sin2x+sin x+b|＝|2t+2a|+|﹣2t2+t+b+1|＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b﹣1|}，∴G（a，b）＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b﹣1|}，当G（a，b）＝|﹣2t2+3t+2a+b+1|时，令g（t）＝﹣2t2+3t+2a+b+1，t∈[﹣1，1]，则此时，故＝，由a，b∈R可知，等号能成立；当G（a，b）＝|2t2+t+2a﹣b﹣1|时，令h（t）＝2t2+t+2a﹣b﹣1，t∈[﹣1，1]，则此时，故＝，由a，b∈R可知，等号能成立；综上，G（a，b）的最小值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，＝．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由已知结合正弦定理求得A的正切值，即可求得结论；（Ⅱ）由余弦定理求得边c，进而求得其面积．解：（Ⅰ）∵＝⇒a sin B＝cos A，∵＝⇒a sin B＝b sin A；∵b＝1；所以：cos A＝sin A⇒tan A＝⇒A＝．（三角形内角）（Ⅱ）因为a2＝b2+c﹣22bc cos A⇒c2﹣c﹣3＝0⇒c＝；（负值舍）；∴S△ABC＝bc sin A＝．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE是正方形，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，AE＝．（Ⅰ）求证：BC⊥AE；（Ⅱ）求直线AD与平面BCDE所成角的正弦值．【分析】（I）由BC⊥AB，BC⊥BE，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明结论．（II）过点B作平面ABC的垂线Bz，则BA，BC，Bz两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A（，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，z）．可得•＝0，|BE|＝1，|EA|＝．z＞0，解得E．由＝＝（﹣，0，）．得D坐标．设平面BCDE的法向量为：＝（a，b，c），则•＝•＝0，可得：，利用向量夹角公式即可得出．【解答】（I）证明：∵BC⊥AB，BC⊥BE，AB∩BE＝B，∴BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE．（II）解：过点B作平面ABC的垂线Bz，则BA，BC，Bz两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A（，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，z）．则•＝0，|BE|＝1，|EA|＝．可得：y＝0，x2+z2＝1，+z2＝7．z＞0，解得E（﹣，0，）．由＝＝（﹣，0，）．得D（﹣，1，）．∴＝（﹣，1，）．设平面BCDE的法向量为：＝（a，b，c），则•＝•＝0，可得：﹣x+z ＝0＝y，可得：＝（1，0，）．∴cos＜，＞＝＝﹣．∴直线AD与平面BCDE所成角的正弦值为．20．已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列．数列{b n}满足：b1+++……+＝（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：+++……+＜．【分析】（Ⅰ）由递推公式可以求出通项公式a n＝2n，b n＝n．（Ⅱ）采用缩放的方法证明当n＝1和n≥2时成立，采用缩放的方法证明．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则a2＝2q，a3＝2q2，a4＝2q3，由a2，a3+2，a4成等差数列，得2（a3+2）＝a2+a4，即2（2q2+2）＝2q+2q3，即（q﹣1）（q2+1）＝0，解得q＝2，所以a n＝2n．当n＝1时，b1＝1，当n≥2时，b1+++…+＝，b1+++…+＝，作差得＝n，所以，b n＝n（n≥2），当n＝1时，b1＝1×＝1也成立，所以b n＝n，综上，a n＝2n，b n＝n．（Ⅱ）因为当n≥2时，＝＜＝，所以，+++…+＜++…+，设T n＝++…+，则T n＝++…+，两式相减得，T n＝+（+…+）﹣＝+﹣＝+（1﹣）﹣＝﹣，所以T n＝﹣，所以T n＜．所以+++……+＜．21．如图，已知点O（0，0），E（2，0），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为线段OE中点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点E的直线交抛物线C于A，B两点，＝4，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且MN⊥y轴，求△ABN面积的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知得焦点F（1，0），所以p＝2，从而求出抛物线C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），与抛物线方程联立，利用△＝0求得，所以直线l的方程为：2x﹣y1y+2x1＝0，由＝4，求得点M的坐标，进而求出点N的坐标，所以S△ABN＝设直线AB的方程为：x＝my+2，与抛物线方程联立，设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），利用韦达定理代入S△ABN，利用基本不等式即可求出△ABN面积的最小值．解：（Ⅰ）由已知得焦点F的坐标为（1，0），∴p＝2，∴抛物线C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）设直线AB的方程为：x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程，消去x得：y2﹣4my﹣8＝0，∴△＝16m2+32＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），联立方程，消去x得：，由相切得：，∴，又，∴，∴，∴，∴直线l的方程为：2x﹣y1y+2x1＝0，由＝4，得，，将代入直线l方程，解得＝，所以S△ABN＝＝＝＝＝，又，所以，当且仅当时，取到等号，所以△ABN面积的最小值为4．22．已知函数f（x）＝（x+1）e x﹣ax2（x＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：+﹣＞1．（其中t0为f（x）的极小值点）【分析】（Ⅰ）先求其导函数，转化为f′（x）≥0，即求g（x）＝•e x﹣2a的最小值即可；（Ⅱ）（ⅰ）结合第一问的结论得f（x）不单调，故a＞；设f′（x）＝0有两个根，设为t1，t0，且0＜t1t0，可得原函数的单调性，把问题转化为f（t0）＜0，即可求解结论．（ⅱ）转化为先证明不等式，若x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，则＜＜．再把原结论成立转化为证x1+x2＜2t0；构造函数r（x）＝f（t0+x）﹣f（t0﹣x）一步步推其成立即可．解：（Ⅰ）由f（x）＝（x+1）e x﹣ax2，得f′（x）＝x（e x﹣2a），设g（x）＝•e x，（x＞0）；则g′（x）＝；由g′（x）≥0，解得x﹣1，所以g（x）在（0，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f′（x）≥0，所以2a≤g（）＝（2+）•e；所以，实数a的取值范围是：（﹣∞，]．（Ⅱ）（i）因为函数f（x）有两个不同的零点，f（x）不单调，所以a＞．因此f′（x）＝0有两个根，设为t1，t0，且0＜t1t0，所以f（x）在（0，t1）上单调递增，在（t1，t0）上单调递减，在（t0，+∞）上单调递增；又f（t1）＞f（0）＝1，f（x）＝（x+1）e x﹣ax2＝a（e x﹣x2）+（x+1﹣a）•e x，当x 充分大时，f（x）取值为正，因此要使得f（x）有两个不同的零点，则必须有f（t0）＜0，即（t0+1）e﹣a•t02＜0；又因为f′（t0）＝（t0+2）e﹣2at0＝0；所以：（t0+2）e﹣•（t0+2）e＜0，解得t0，所以a＞g（）＝•e；因此当函数f（x）有两个不同的零点时，实数a的取值范围是（•e，+∞）．（ⅱ）先证明不等式，若x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，则＜＜．证明：不妨设x2＞x1＞0，即证＜ln＜，设t＝＞1．g（t）＝lnt﹣，h（t）＝lnt﹣，只需证g（t）＜0且h（t）＞0；因为g′（t）＝﹣＜0，h′（t）＝＞0，所以g（t）在（1，+∞）上单调递减，h（t）在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＜g（1）＝0，h（t）＞h（1）＝0，从而不等式得证．再证原命题+﹣＞1．由得；所以＝，两边取对数得：2（lnx2﹣lnx1）﹣[ln（x2+1）﹣ln （x1+1）]＝x2﹣x1；即﹣＝1．因为﹣＜﹣，所以1+＜＜+，因此，要证+﹣＞1．只需证x1+x2＜2t0；因为f（x）在（t0，+∞）上单调递增，0＜x1＜t0＜x2，所以只需证f（x2）＜f（2t0﹣x2），只需证f（x1）＜f（2t0﹣x1），即证f（t0+x）＜f（t0﹣x），其中x∈（﹣t0，0）；设r（x）＝f（t0+x）﹣f（t0﹣x），﹣t0＜x＜0，只需证r（x）＜0；计算得r′（x）＝（x+t0+2）e+（﹣x+t0+2）e﹣4at0；r″（x）＝e[（x+t0+3）e2x+（x﹣t0﹣3）]．由y＝（x+t0+3）e2x+（x﹣t0﹣3）在（﹣t0，0）上单调递增，得y＜（t0+3）e0+（0﹣t0﹣3）＝0，所以r″（x）＜0；即r′（x）在（﹣t0，0）上单调递减，所以：r′（x）＞r′（0）＝2f′（t0）＝0；即r（x）在（﹣t0，0）上单调递增，所以r（x）＜r（0）＝0成立，即原命题得证．。

2020学年福建省厦门市高考一模数学理及答案解析

2020学年福建省厦门市高考一模数学理及答案解析

2020年福建省厦门市高考一模数学理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合S={x|(x-2)(x+3)＞0}，}，则S∩T=( )A.(-∞，-3)∪(2，+∞)B.(-∞，-3)∪(2，3]C.(-∞，-2)∪[3，+∞)D.(2，3]解析：S=(-∞，-3)∪(2，+∞)，T=(-∞，3]，∴S∩T=(-∞，-3)∪(2，3].答案：B2.复数z满足(2+i)z=5，则|z+i|=( )B.2解析：把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算得答案. 由(2+i)z=5，得()()()5252222iz ii i i-===-++-，则|z+i|=|2-i+i|=2.答案：B3.等差数列{a n}中，a5=1，a1+a7+a10=a4+a6，则S10=( )A.2 3 -B.8 3C.5D.25 3解析：利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S10.∵等差数列{a n }中，a 5=1，a 1+a 7+a 10=a 4+a 6，∴11111114169533713⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨++++=+++⎩⎪=⎪⎩-，解得a a d a a d a d a d a d d ， ∴101091027125333S ⎛⎫- ⎪⨯=⎝⎭⨯+⨯=. 答案：D4.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25B.35C.18125D.54125解析：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率p 1=35，根据n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式能求出3次中恰有2次抽到黄球的概率是：2233354155125p C =-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎭=⎝⎝⎭.答案：D5.计算机科学的创始人麦卡锡先生发明的“91”函数具有一种独特的情趣，给人的心智活动提供了一种愉悦的体验.执行如图所示的程序框图，输入S=100，则输出n=( )A.3B.4C.5D.6解析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S，n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.模拟程序的运行，可得S=100，n=0n=1不满足条件S=91，不满足条件S＞100，S=111，n=2；不满足条件S=91，满足条件S＞100，S=101，n=3；不满足条件S=91，满足条件S＞100，S=91，n=4；满足条件S=91，退出循环，输出n的值为4.答案：B6.设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则z=|x+3y|的最大值是( )A.1 3B.1C.4 3D.2解析：画出x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域：由1113133231⎧=⎪⎪⎛⎫⎨-=⎧⎨+=⎩⎪⎝⎭⎪=⎪⎩解得，即，yByxxxy，由1()12111 21+=⎧-⎨+=-⎩=-⎧⎨=⎩解得，即，xAyx yx y，由1113113323⎧=-⎪⎪⎛⎫--⎨ ⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩-=⎧⎨+=-⎩解得，即，x yxyyxC，设目标函数为z′=x+3y，作出目标函数对应的直线，直线过C1133⎛⎫--⎪⎝⎭，时，直线的纵截距最小，z′最小，最小值为43-；当直线过A(-1，1)时，直线的纵截距最大，z′最大，最大值为2；∴目标函数z=|x+3y|的取值范围是[0，2]，最大值为2.答案：D7.双曲线C：22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，过右顶点作x轴的垂线分別交两渐近线于A，B两点，若△ABF1为等边三角形，则C的离心率是( ) 23C.2D.5解析：求出AB，利用三角形ABF1为等边三角形，列出方程，即可求解C的离心率.双曲线C：22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，过右顶点作x轴的垂线分別交两渐近线于A，B两点，可得|AB|=2b，若△ABF1为等边三角形，可得a+c=3b，所以(a+c)2=3c2-3a2，可得e2-e-2=0，解得e=2.e=-1舍去. 答案：C8.如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，该棱锥的体积为43，则该棱锥内切球的表面积是( ) A.3πB.2 3πC.4 3πD.8 3π解析：利用三视图的数据，求出底面多边形的边数，求出全面积，然后求解内切球的半径.某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，该棱锥的体积为43，3，底面面积为S，所以13334S=，解得S=4，所以底面是正方形，边长为2，正四棱锥的全面积为：4422211+⨯⨯=.内切球的半径为：1312⨯⨯==r r ， 外接球的表面积为：23443ππ⎛⎫⎪ ⎪⎭= ⎝.答案：C9.函数y=(x+1)3+1x x +与y=-x+b 的图象交点的横坐标之和为-2，则b=( )A.-1B.0C.1D.2解析：根据函数的对称性得出直线过曲线的对称中心，从而得出b 的值.∴函数y=(x+1)3+1x x +的图象关于点(-1，1)对称，∵函数y=(x+1)3+1x x +与y=-x+b 的图象交点的横坐标之和为-2，∴直线y=-x+b 经过点(-1.1)， ∴b=0. 答案：B10.圆台的高为2，上底面直径AB=2，下底面直径CD=4，AB 与CD 不平行，则三棱锥A-BCD 体积的最大值是( )A.23B.83C.163D.323解析：∵圆台的高为2，上底面直径AB=2，下底面直径CD=4，AB 与CD 不平行，∴S △BCD =12×4×2=4，点A 到平面BCD 的距离的最大值为： d max =AB=2，∴三棱锥A-BCD 体积的最大值：()84231133A BCD ABC maxmax V S d -=⨯⨯=⨯⨯=.答案：B11.定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足f(x)+xf ′(x)=1x ，f(1)=0，若关于x 的方程|f(x)|-a=0有3个实根，则a 的取值范围是( )A.(0，1e )B.(0，1)C.(1e ，1)D.(1，+∞)解析：令g(x)=xf(x)，则g ′(x)=f(x)+xf ′(x)=1x ，∴g(x)=lnx+c ，即xf(x)=lnx+c ， 又f(1)=0，∴c=0，可得f(x)=ln xx .则f ′(x)=21ln xx -，可知当x ∈(0，e)时，f ′(x)＞0，当x ∈(e ，+∞)时，f ′(x)＜0，则f(x)在(0，e)上为增函数，在(e ，+∞)上为减函数，要使方程|f(x)|-a=0有3个实根，即函数y=|f(x)|与y=a 的图象有3个不同交点， 如图：由图可知，a 的取值范围是(0，1e ).答案：A12.函数y=sin(ωx+φ)与y=cos(ωx+φ)(其中φ＞0，|φ|＜2π)在x ∈[0，22]的图象恰有三个不同的交点P ，M ，N ，△PMN 为直角三角形，则φ的取值范围是( )A.44ππ⎡⎥-⎤⎢⎣⎦，B.24ππ⎛⎥-⎤ ⎝⎦，C.42ππ⎡⎪-⎫⎢⎣⎭， D.04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 解析：图象恰有三个不同的交点P ，M ，N ，△PMN 为直角三角形，可知直角三角形△PMN 的2，且是等腰直角三角形，可得斜边长为2，即周期2.∴2222πωω==，那么222505πωϕϕϕ∈∴+∈⎡⎡⎤⎢+⎢⎥⎣⎦⎣⎦，上，，上x x ，根据正余弦函数的图象性质，可得：3951344424πππππϕϕ-≤≤+＜，且＜. 24|4|πππϕϕ∴-≤又＜，＜.答案：A二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.在621xx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 (用数字作答)解析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值.621xx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式的通项公式为6316r rrT C x-+=，令6-3r=0，求得r=2，可得常数项为26C=15.答案：1514.已知三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，m)，若∠ACB为锐角，则m的取值范围是 .解析：根据题意画出图形，结合图形知∠ACB为锐角时m的取值范围.根据题意画出图形，如图所示；点A(1，3)，B(4，2)，C(1，m)，若∠ACB为锐角，则点C在射线AC或DC′上，∴m的取值范围是m＞3或m＜2.答案：m＞3或m＜215.等比数列{a n}的首项为2，数列{b n}满足122n bna a a=⋯，b4=b3+4，则b n= .解析：利用等比数列的性质求出b n，求出数列的公比，即可得到结果.等比数列{a n}的首项为2，数列{b n}满足()()11231212222nnb nnn na a a q n q⋯+-+++-=⋯==，可得()122n nnb n log q-=+，b4=b3+4，所以：4+log2q6=3+log2q3+4，解得q=2，()()()1221122n n n n n n n b n log qn --+=+=+=.答案：()12n n +16.过抛物线E&：y 2=4x 焦点的直线l 与E 交于A ，B 两点，E 在点A ，B 处的切线分别与y 轴交于C ，D 两点，则42|CD|-|AB|的最大值是 .解析：求导，根据函数的几何意义，求得切线方程，令x=0，求得C 和D 点坐标，求得|CD|，设直线AB 的方程，代入抛物线方程，利用抛物线的焦点弦公式，基本不等式及二次函数的单调性即可求得答案.由y 2=4x ，x y ′x A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则过A 点的切线的斜率11k x =，则切线方程y-y 1x 1)，令x=0，解得：(110=，则，y x C x ，同理可得(2210=，，则D x CD x x设直线AB 的方程：y=k(x-1)，联立()214y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得：k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0，则x 1x 2=1，∴|AB|=x 1+x 22，则2AB --=，()(22282=≥=-=--+≥，，设，t t f t tt t ，∴当时，f(t)取最大值，最大值为8， ∴|CD|-|AB|的最大值为8.答案：8三、解答题(本大题共6小题，共70分.第17~21题为必考题，每小题12分，共60分；第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.△ABC 的内角的对边分别是a ，b ，c ，满足a 2+2b 2=c 2.(1)若A=3π，b=1，求△ABC 的面积.解析：(1)根据余弦定理和三角的面积公式计算即可.答案：(1)由余弦定埋，222cos 122b c a A bc +-==得bc=b 2+c 2-a 2， 又a 2+2b 2=c 2，得bc=3b 2，因为b=1，所以c=3，由三角形面积公式，sin 12S bc A ==.(2)求tan tan CA .解析：(2)法一：根据余弦定理和正弦定理，以及两角和的正弦公式即可求出.法二：结合余弦定理即可得到222222tan tan C b c a A a b c +-=+-，代值计算即可.答案：(2)法一：由a 2+2b 2=c 2，得a 2+b 2-c 2=-b 2结合余弦定理2abcosC=a 2+b 2-c 2，得2abcosC=-b 2因为b ＞0，则2acosC=-b结合正弦定理，sin sin a bA B =，得2sinAcosC=-sinB因为A+B+C=π，得2sinAcosC=-sin(A+C) 整理得：3sinAcosC=-sinCcosA因为A，C∈(0，π)，cosAcosC≠0，所以3tanA=-tanC ，即tan3 tanCA=-.法二：222222222222tan sin cos tan2tan cos sin tan2+-+-===+-+-，b c aC C A c C b c abca b cA C A a A a b cab，由a2+2b2=c2，得c2-a2=2b2，整理得：2222tan23tan 2C b bA b b+==--.18.如图，四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，AB∥CD，AB⊥BC，CD=2AB=2BC=22，M，N分别为PD，BC的中点.(1)证明：MN∥平面PAB.解析：(1)取PC中点Q，可证面NQM∥面PAB，得MN∥面PAB.答案：(1)取AD的中点O，连接MO，NO，∵M为PD的中点，∴OM∥PA，又∵OM⊄平面PAB∵ON∥AB，同理ON∥平面PAB，又OM∩ON=O，∴平面MNO∥平面PAB，∵MN⊂平面OMN，∴MN∥平面PAB.(2)若AC⊥平面PAD，求直线MN与平面PBC所成角的正弦值.解析：(2)建立合适的坐标系，求出MN和平面PBC的法向量，由此利用直线MN与平面PBC 所成角的正弦值.答案：(2)(法一)∵AC⊥平面PAD，∴AC⊥AD，以A为坐标原点，以AC，AD分别为x，y轴的正方向，过A垂直于平面ACD的直线为z 轴，如图建立空间直角坐标系：在Rt△ACD中，AC=2，2，∴AD=2，∴(()()()002001103331 32220022⎛⎝⎛⎫--⎪⎝⎭⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，P D M B C N，∴3=2232-⎛⎫⎪⎭-⎪⎝，，MN，设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，∴3020⎧⎧=--=⎪⎪⎨⎨+=⎪=⎩⎪⎩，即n PB x y zx yn BC，取(31113==-==-，则，，即，，x y z n，设直线MN与平面PBC所成角为θ，∴22235 sin cos35145MN nMN nMN nθ====⨯，.∴直线MN与平面PBC所成角的正弦值为35 35.(法二)连接OP，OE，∴OP⊥OD，E为CD的中点，O为AD的中点，∴OE∥AC∵AC⊥平面PAD，∴OE⊥平面PAD，∴OE，OP，OD两两互相垂直，∴以O为坐标原点，以，，OE OD OP分别为x，y，z轴的正方向，如图建立空间直角坐标系：∵AB∥CD，AB⊥BC，2可得2，∴AD=2，∴(()()()000100120211333 32222⎛-⎝⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎭，，，，，，，，，，，，，，，，P D M B C N，∴3=2232-⎛⎫⎪⎭-⎪⎝，，MN，设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，∴3020⎧⎧=--=⎪⎪⎨⎨+=⎪=⎩⎪⎩，即n PB x y zx yn BC，取(31113==-==-，则，，即，，x y z n，设直线MN与平面PBC所成角为θ，∴22235 sin cos35145MN nMN nMN nθ====⨯，.∴直线MN与平面PBC所成角的正弦值为35 35.19. 2020年2月4日，中央一号文件《中共中央国务院关于实施乡村振兴战略的意见》发布，对农村电商发展提出新的指导性意见，使得农村电商成为精准扶贫、乡村振兴的新引擎.某电商2020年计划与所在地区的樱桃果园合作进行樱桃销售，为了解该地区果园的樱桃销售量情况，现从中随机抽取60个樱桃果园，统计各果园2020年的销售量(单位：万斤).得到下面的频率分布直方图.(1)从样本中销售量不低于9万斤的果园随机选取3个，求销售量不低于10万斤的果园个数X 的分布列及其数学期望. 解析：(1)X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X). 答案：(1)由频率分布直方图可得样本中2020年销将量不低于9万斤的果园有(0.1+0.05)×60=9个，销售量不低于10万斤的果园有0.05×60=3个. 随机变量X 的可能取值为0，1，2，3.()()()21123636333339991531123281484=========，，C C C C C P X P X P X C C C ，所以随机变量X 的分布列为∴数学期望()515310123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.(2)该电商经过6天的试运营，得到销售量(单位：万斤)情况统计表如下：根据相关性分析，前n 天累计总销售量T n 与n 之间具有较强的线性相关关系，由最小二乘法得回归直线方程1.78T n a =+.用样本估计总体的思想，预测该电商至少运营多少天可使总销量不低于该地区各果园2020年平均销售量的两倍.注：1.前n 天累计总销售量1nn ii T y ==∑；2.在频率分布直方图中，同一组教据用该区间的中点值作代表. 解析：(2)根据回归方程，可得 1.78 1.01T n =-，代值计算即可.答案：(2)由运营期间销售量情况统计表可得前n 天累计总销售量T n 如下：∴123456 1.21 2.52 3.97 5.687.710.243.5 5.2266++++++++++====，n T ，将样本中心点(3.5，5.22)代入回归直线方程 1.78 1.01=+=-，得T n a a ， ∴ 1.78 1.01T n =-，下面用直方图中各区间中点值作为代表，估计该地区2020年平均销售量：4.5×0.05+5.5×0.15+6.5×0.2+7.5×0.3+8.5×0.15+9.5×0.1+10.5×0.05=7.35 由题意得：1.78n-1.01≥14.7，解得n ≥8.83. ∵n ∈N*，∴该电商至少运营9天可使总销量不低于该地区各果园2020年平均销售量的两倍.20.在平面直角坐标系xOy 中，点A(-2，0)，B(6，0)，点C 在直线x=6上，过AB 中点D 作DP ⊥OC ，交AC 于点P ，设P 的轨迹为曲线Γ.(1)求Γ的轨迹方程.解析：(1)法一：设P(x ，y)，C(6，n)，通过A ，P ，C 三点共线知，k PA =k CA ，即y=8n(x+2)①结合向量的数量积，求解曲线的轨迹方程.法二：设P(m ，n)，则直线AP 的方程为y=2nm +(x+2)，推出DP =(m-2，n)，利用0OC DP =.求解曲线Γ的轨迹方程.答案：(1)法一：设P(x ，y)，C(6，n)，因为D 为AB 中点， 故点D 的坐标为(2，0)；当n=0时，点P 的坐标为(2，0)；当n ≠0时，由A ，P ，C 三点共线知，kPA=kCA ，即y=8n(x+2)①，OC ⊥PD 0=⇔OC DP ， 即y=6n -(x-2)②；①×②得4y 2=-3(x 2-4)，化简得曲线Γ的轨迹方程为22143x y +=(x ≠-2). 法二：设P(m ，n)，则直线AP 的方程为y=2nm +(x+2)， 令x=6，得点C 的坐标为(6，82n m +)，即862⎛⎫ ⎪⎝⎭=+，n OC m ， 又()()28206202=-⊥=-+=+，及，，即n DP m n OC DP OC DP m m ，化简得3m 2+4n 2=12，即22143m n +=，故曲线Γ的轨迹方程为22143x y +=(x ≠-2).(2)过点Q(2的直线l 与Γ交于E ，F 两点，直线x=x 0分别与直线DE ，DF 交于S ，T 两点.线段ST 的中点M 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.解析：(2)法一：设直线l 的方程为，则0∈⋃⎛⎫⎪ ⎪+∞⎝⎭⎝⎭t .设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，直线DE 的方程为y=112y x -(x-2)，联立()22234120x ty x y ⎧=+-⎪⎨⎪+-=⎩，利用韦达定理，转化求解点M 都在定直线上.法二：设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，设直线DE ，DF 的方程分别为x=t 1y+2，x=t 2y+2(t 1t 2≠0)，设直线DE ，DF 方程的统一形式为x=ty+2(t ≠0)，联立(22x ty x n y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，得点E ，F 的统-形式为2⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭，n t n t ，又E ，F 均在椭圆3x 2+4y 2-12=0上，韦达定理得12113t t +=-，然后证明点M 都在定直线上.答案：(2)法一：由题意知，直线l 的斜率恒大于0，且直线l 不过点A ，其中k AQ=，设直线l 的方程为t)，则0∈⋃⎛⎫ ⎪ ⎪+∞⎝⎭⎝⎭t . 设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，直线DE 的方程为()()110112222=-=---，故S y yy x y x x x ，同理()20222=--T y y x x ；所以()()120001222222S T y yy y y x x x x =+=-+---，即01201222222y y y y y y y x x x +=+==---联立()()()222222234129034120⎧=+⎪++-+-=⎨⎪+-=⎩，化简得x ty t y t y tx y ，所以1212+==y y y y ， 代入③得00002220212y y x t --===⇔+-=-，所以点M都在定直线2012⎛⎫+-=+= ⎪⎝⎭，x y 上. 法二：设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，设直线DE ，DF 的方程分别为x=t 1y+2，x=t 2y+2(t 1t 2≠0)，则001222--==，S T x x y y t t ，故0000120122221122S T x x y y y y t t x t t --=+=+⇒=+-，设直线DE ，DF 方程的统一形式为x=ty+2(t ≠0)， 直线EF 的方程为(2x n y =+，联立(22x ty x n y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，得点E ，F 的统-形式为2+⎝⎭， 又E ，F 均在椭圆3x 2+4y 2-12=0上，故其坐标满足椭圆的方程，即()2222223241209120⎫++-=-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得n t t n ，即211430n n t t ++-⎛⎫⎪⎝⎭=， 1211，t t 为该二次方程的两根，由韦达定理得1211t t +=，代入①式，得002202yy x =⇒+-=-.所以点M 都在定直线2012⎛⎫+-=+= ⎪⎝⎭，x y 上.21.函数f(x)=alnx-x 2+x ，g(x)=(x-2)e x -x 2+m(其中e=2.71828…).(1)当a ≤0时，讨论函数f(x)的单调性.解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可. 答案：(1)函数f(x)定义域是(0，+∞)，()2221a x x af x x x x -++'=-+=，(i)当a ≤18-时，1+8a ≤0，当x ∈(0，+∞)时f ′(x)≤0，函数f(x)的单调递减区间是(0，+∞)；(ⅱ)当18-＜a ≤0，1+8a ＞0，-2x 2+x+a=0的两根分别是：1200==，x x ，当x ∈(0，x 1)时f ′(x)＜0.函数f(x)的单调递减.当x ∈(x 1，x 2)时f ′(x)＞0，函数f(x)的单调速递增， 当x ∈(x 2，+∞)时f ′(x)＜0，函数f(x)的单调递减.综上所述，(i)当a≤18-时f(x)的单调递减区间是(0，+∞)；(ⅱ)当18-＜a≤0时，f(x)的单调递增区间是()，单调递减区间是1144⎛⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，和.(2)当a=-1，x∈(0，1]时，f(x)＞g(x)恒成立，求正整数m的最大值.解析：(2)得到m＜(-x+2)e x-lnx+x，设h(x)=(-x+2)e x-lnx+x，x∈(0，1]，根据函数的单调性求出h(x)的最小值，从而求出m的最大值即可.答案：(2)当a=-1，x∈(0，1]时，f(x)＞g(x)，即m＜(-x+2)e x-lnx+x，设h(x)=(-x+2)e x-lnx+x，x∈(0，1]，∴h′(x)=(1-x)(e x-1 x)，∴当0＜x≤1时，1-x≥0，设u(x)=e x-1x，则u′(x)=e x+21x＞0，∴u(x)在(0，1)递增，又∵u(x)在区间(0，1]上的图象是一条不间断的曲线，且122u⎛⎫⎪⎝⎭=＜，u(1)=e-1＞0，∴∃x0∈(12，1)使得u(x0)=0，即1xex=，lnx0=-x0，当x∈(0，x0)时，u(x)＜0，h′(x)＜0；当x∈(x0，1)时，u(x)＞0，h′(x)＞0；∴函数h(x)在(0，x0]单调递减，在[x0，1)单调递增，∴()()()()0000000 min00122ln2212xh x h x x e x x x x xx x ==-+-+=-+-+=-++，∵y=-1+2x+2x在x∈(0，1)递减，∵x0∈(12，1)，∴h(x0)=-1+02x+2x0∈(3，4)，∴当m≤3时，不等式m＜(-x+2)e x-lnx+x对任意x∈(0，1]恒成立，∴正整数m的最大值是3.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在立角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos 1sin x t y t αα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(1+sin 2θ)=8. (1)若曲线C 上一点Q 的极坐标为(ρ0，2π)，且l 过点Q ，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程.解析：(1)首先利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.答案：(1)把Q(ρ0，2π)代入曲线C 可得Q(2，2π)，化为直角坐标为Q(0，2)， 又l 过点-1)，得直线l 的普通方程为：y=2x+2；曲线ρ2(1+sin 2θ)=8可化为的直角坐标方程为：x 2+2y 2=8.(2)设点-1)，l 与C 的交点为A ，B ，求11PA PB +的最大值.解析：(2)利用方程组和一元二次方程根与系数的关系进行应用.答案：(2)把直线l 的参数方程代入曲线C ：ρ2+(ρsin θ)2=8(tcos α2+2(tsin α-1)2=8的直角坐标方程得，化简得(sin 2α+1)t 2-4(sin αcos α)t+6=0， ①△=[-4(sin αcosα)]2-24(sin 2α+1)，可得()1212224sin 3cos 60sin 1sin 1αααα++==++，＞t t t t ， 故t 1与t 2同号1212121212114sin 3113t t t t PA PB t t t t t t πα++=+===⎛⎫+ ⎪⎝+⎭=，所以α=6π时，4sin 33πα+⎛⎫ ⎪⎝⎭有最大值43.此时方程①的△=34＞0，故11PA PB+有最大值43.选修4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)=|x+a|+|3x-1|(a∈R).(1)当a=-1时，求不等式f(x)≤1的解集.解析：(1)将a=-1代入，根据零点分段法去掉绝对值，分别解出不等式再合并. 答案：(1)当a=-1时，f(x)=|x-1|+|3x-1|，f(x)≤1⇒|x-1|+|3x-1|≤1.即111311 113113311131⎧≥≤⎧⎪⎨⎨-+-≤⎩⎪-+-≤-+-⎧⎨⎪⎩≤⎪⎩＜＜或xx xx x x x x x，解得111333114142⎧≥≤⎧⎪⎪⎪⎨⎨≤⎪⎪≥≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎩＜＜或或xx xxx x，所以11114332≤≤≤∅或＜或x x.所以原不等式的解集为{x|1142x≤≤}.(2)设关于x的不等式f(x)≤|3x+1|的解集为M，且[14，1]⊂M，求a的取值范围.解析：(2)不等式的解集为M，且[14，1]⊂M，即不等式在[14，1]上恒成立，根据零点分段去掉绝对值，分离参变量并求出最值，可得a的取值范围.答案：(2)因为[14，1]⊂M，所以当x∈[14，1]时，不等式f(x)≤|3x+1|恒成立，即|x+a|+|3x-1|≤|3x+1|在[14，1]上恒成立，当x ∈1143⎡⎫⎪⎢⎣⎭，时，|x+a|+1-3x ≤3x+1，即|x+a|≤6x ，所以-6x ≤x+a ≤6x ，所以-7x ≤a ≤5x 在1143⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上恒成立，所以(-7x)min ≤a ≤(5x)min ，即4745a -≤≤； 当x ∈[13，1]时，|x+a|+3x-1≤3x+1，即|x+a|≤2，即-2≤x+a ≤2，所以-2-x ≤a ≤2-x 在[13，1]上恒成立，所以(-2-x)min ≤a ≤(2-x)min ，即713a -≤≤； 综上，a 的取值范围为713a -≤≤.。

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12．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
AB BC |AB||BC|cos B 1 (AB2 BC 2 AC 2 ) 4 BC2 9 1
2
2
|BC|= 3
故选：A 【点评】 本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等 价转化思想等数学思想方法.
3cosx
3 4
（
x
0,
2
）的最大值是__________．
16．若 (x a )9 的展开式中 x3 的系数是 84 ，则 a ． x
17．函数 f (x) log2 x 1的定义域为________． 18． (x3 1 )7 的展开式中 x 5 的系数是 .（用数字填写答案）
x 19．在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB DC , AB 2, BC 1, ABC 60 , 点 E 和点 F 分别在
由斜二测画法规则知 AC BC ,即 ABC 直角三角形,其中 AC 3, BC 8 ,所以
AB 73 ,所以 AB 边上的中线的长度为 73 . 2
故选：A. 【点睛】 本题主要考查了斜二测画法前后的图形关系,属于基础题型.
10．B
解析：B
【解析】 【分析】
根据导数的几何意义可对比切线斜率得到 0 f 3 f 2 ，将 f 3 f 2 看作过
位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看
后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A．乙、丁可以知道自己的成绩
B．乙可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．丁可以知道四人的成绩
7．
x2
2 x
5
的展开式中
x4
的系数为
A．10
B．20
C．40
7．C
解析：C 【解析】
分析：写出 Tr1 C5r 2r x103r ，然后可得结果
详解：由题可得Tr1 C5r
x2
5r 2 r x
C5r
2r
x103r
令10 3r 4 ,则 r 2
所以 C5r 2r C52 22 40
故选 C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。
的核心素养.
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，排除 D；根据函数解析式可知定义域为 x x 1 ,所以 y 轴右侧虚线
部分为 x=1，利用特殊值 x=0.01 和 x=1.001 代入即可排除错误选项． 【详解】
由函数解析式
f
x
ex ex x2 x
2
，易知
f
x
ex x2
ex
线段
BC
和
CD
上,且
BE
2 3
BC,
DF
1 6
DC , 则
AE
AF
的值为
．
20．已知直线 ：
与圆
交于 两点，过 分别作 的垂线与
轴交于 两点.则
三、解答题
_________.
21．已知 a ， b ， c 分别为 ABC 三个内角 A , B , C 的对边， c 3asinC ccosA . (Ⅰ)求 A ； (Ⅱ)若 a =2， ABC 的面积为 3 ，求 b ， c .
因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，
又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位
良好，
又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，
又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.
因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】 本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的 思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.
c
c2
2
sin A 2 ，又因为 A 为锐角，所以 A 45 ，由 b 2 c ，根据正弦定理，得
2
2
sin B 2 sin C 2 sin(135 B) cos B sin B ，解得 cos B 0 B 90 ，所以
2
2
三角形为等腰直角三角形，故选 D.
考点：三角形形状的判定.
11．在
ABC
中，
A
为锐角，
lg
b
lg(1) c
lg
sin
A
lg
2 ，则 ABC 为（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
12．在△ABC 中，AB=2，AC=3， AB BC 1 则 BC=______
A． 3
B． 7
C． 2
D． 23
二、填空题
13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件，
2,f 2 和 3, f 3 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.
【详解】
由 f x 图象可知， f x 在 x 2 处的切线斜率大于在 x 3 处的切线斜率，且斜率为
正，
0 f 3 f 2 ，
f 3 f 2 f 3 f 2 ， f 3 f 2 可看作过2,f 2 和3, f 3 的割线 32
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据 x, y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.
【详解】
根据实验数据可以得出， x 近似增加一个单位时， y 的增量近似为 2.5，3.5，4.5，6，比较
接近 y 1 x2 1 ，故选 D. 2
【点睛】
本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析
B．回归直线一定过（4.5, 3.5）
C． A 产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增加 0.7 吨 D． t 的值是 3.15
9．水平放置的 ABC 的斜二测直观图如图所示,已知 BC 4 , AC 3 , BC / / y 轴,
则 ABC 中 AB 边上的中线的长度为( )
A． 73
B． 73
A． y 2x 2
B． y ( 1 )x 2
C． y log2 x
3．
f
x
ex ex x2 x 2
的部分图象大致是（
）
)
D． y 1 x2 1 2
A．
B．
C．
D．
4．已知 a 2i b i ， a,b R ，其中 i 为虚数单位，则 a+b =（ ） i
A．-1
B．1
C．2
D．3
5．在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同
排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字
相同的信息个数为
A．10
B．11
C．12
D．15
6．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两
（1）当 m 5 时，求不等式 f (x) 2 的解集； （2）若二次函数 y x2 2x 3 与函数 y f (x) 的图象恒有公共点，求实数 m 的取值范
围. 25．已知函数 f (x) | x 1|
（1）求不等式 f (x) | 2x 1| 1的解集 M （2）设 a,b M ，证明： f (ab) f (a) f (b) .
第三类：与信息 0110 没有位置上的数字相同有 C04 1个， 由分类计数原理与信息 0110 至多有两个数字对应位置相同的共有 6 4 1 11个，
故选 B．
6．A
解析：A 【解析】
【分析】
根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐
一分析可得出结果. 【详解】
因为 a 2i i
ai 2i2 i2
2 ai b i
， a,b R ，
所以
2 b a 1
b a
2
，则
1
a+b
1，故选
B.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理
解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通
所以选 A 【点睛】 本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注 意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．
4．B
解析：B 【解析】
【分析】
利用复数除法运算法则化简原式可得 2 ai b i ，再利用复数相等列方程求出 a,b 的的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从
丙种型号的产品中抽取________ 件.
14．事件 A, B,C 为独立事件，若 P A B 1 , P B C 1 , P A B C 1 ，则
6
8
8
PB _____．
15．函数 f x sin2x
过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题
出错，造成不必要的失分.
5．B
解析：B 【解析】
【分析】
【详解】
由题意知与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息 0110 有两个对应位置上的数字相同有 C42 6 个； 第二类：与信息 0110 有一个对应位置上的数字相同有 C14 4 个；
C．5
2
D． 5 2
10．函数 f x 的图象如图所示， f x 为函数 f x 的导函数，下列数值排序正确是
（）
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