角平分线的性质学案1 (1)

角的平分线的性质
学习目标：
1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。

2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。

教学重难点
掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。

学习过程 一、知识回顾：
1.点到直线的距离是什么？
2.如图，已知AB ＝AD ，BC ＝DC ，求证：AC 是∠DAB 的平分线
二探究1：
如图，AD 是∠BAC 的平分线，点P 是射线AD 上的任意一点， 操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PM ⊥OB ，PN ⊥AC,点M 、N 为垂足，测量PM 、PN 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD 与PE 的大小关系，写出结论
已知：AD 平分∠BAC ，P 为AD 上的一点，PM ⊥AB ，PN ⊥AC
求证： 证明：
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角的两边的距离相等。

用符号语言表示为∵ AP 平分∠BAC ，PM ⊥AB
，PN ⊥AC ， MP=NP 。

探究2：
这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
逆命题真命题吗? 如果是.请你证明它 A
B D
C A B N M P D
如图，若P 为∠BAC 内的一点，且点P 到边AB 、AC 的距离相等，即PM=PN ，你认为经过点P 的射线AD 平分∠BAC 吗？为什么？
角平分线性质定理的逆定理：
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
用符号语言表示为：∵PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，MP=NP 点P 在∠BAC 的平分线上. 三、新知应用：
1.填空：(1).∵∠CAD= ∠BAD,DC ⊥AC, DE ⊥AB
∴___________(___________________________________________) (2).∵DC ⊥AC ,DE ⊥AB ,DC=DE
∴__________ (_ ______________________________________________)
2.如图，某个居民小区C 附近有三条两两相交的道路MN 、OA 、OB ， 拟在MN 上建造一个大型超市，使得它到OA 、OB 的距离相等， 请确定该超市的位置P
3.如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，且D 为BC 的中点， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 求证：BE=CF
4.如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。

求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等。

探究：点P 在∠A 的平分线上吗？为什么？
C A B C
N M
P
D A
C
D
E
B
四．小结：
1.定理的应用：
（1）应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离;
（2）若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.
2.角平分线的判定与角平分线的性质是互逆的：
点在角平分线上
点到角两边的距离相等
3.
应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．
五.课后作业
一、选择题：
1. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）
A. 三条中线的交点
B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条高的交点
D. 三条角平分线的交点
2. 在Rt ABC
∆中，90
C
∠= ，AD平分BAC
∠，交BC于点D，若32
BC=，且:9:7
B D
C D=，则点D
到AB的距离为（）A. 18 B. 16 C. 14 D. 12
3. 如图1，直线
123
,,
l l l表示三条互相交叉的公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有（）A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处
1 2 3 4 5
4. 如图2，在Rt ABC
∆中，90
C
∠= ，BD是ABC
∠的平分线，交AC于D，若CD n
=，AB m
=，则ABD
∆的面积是（）A.
1
3
m n B.
1
2
mn C. mn D. 2mn
5. 如图3，ABC
∆中，90
C
∠= ，点O为ABC
∆的三条角平分线的交点，OD BC
⊥，OE AC
⊥，OF AB
⊥，点,,
D E F分别是垂足，且10
AB cm
=，8
BC cm
=，6
CA cm
=，则点O到三边,,
AB AC BC的距离分别等于（）cm A. 2、2、2 B. 3、3、3 C. 4、4、4 D. 2、3、5
二、填空题：
6. 如图4，已知,
BA CA分别是DBC
∠，ECB
∠的平分线，BD DE
⊥，CE DE
⊥，垂足分别为,D E，则DA与EA有怎样的数量关系____________。

7. 已知ABC
∆中，90
C
∠= ，AD平分A
∠，2
AD BD CD
==，点D到AB的距离等于5.6cm，则BC
的长为___________cm。

8. 如图5，BD是ABC
∠的平分线，DE AB
⊥于E，DF BC
⊥于F，2
36
ABC
S cm
∆
=，18
AB cm
=，12
BC cm
=，则DE的长是__________。

三、解答题：
1.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点 PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线.
B
A
P
D
C
O
2.已知:如图,△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的角平分线相交于点F.
求证:点F 在∠DAE 的平分线上.
3.如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线， DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB
4.点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 在∠A 内一点，AB ＝AD ，BC ＝CD ，CE ⊥
AD 于点E ，CF ⊥AF 于点F.求证：CE ＝CF.
5. 如图，AB //CD ，90B ∠= ，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ∠。

求证：AE 平分DAB ∠。

6. 如图，已知在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠= ，AC 平分BAD ∠，CE AD ⊥，E 为垂足。

求证：2AB AD AE +=。

A
B C
F
D
E
A
C
D
E B。