20090305高二数学(2.2.1 综合法和分析法)
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Q Ü P1 P1 Ü P2 P2 Ü P3 …Βιβλιοθήκη Baidu
显然成立的条件
理论迁移
例1 在△ABC中，三个内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知A，B，C成 等差数列，且a，b，c成等比数列，求证 △ABC为等边三角形. 例2 求证：
3+
7<2 5.
例3 已知sinθ ＋cosθ ＝2sinα ， sinθ ·cosθ ＝sin2β ， p (k Z ) ，求证： 其中 a , b ? k p 2
大前提：已知的一般原理； 小前提：所研究的特殊情况；
结 论：根据一般原理，对特殊情况做 出判断.
3.合情推理所得结论的正确性是需要 证明的，演绎推理的实施也需要具体的 操作方法，因此，从理论上获取证明数 学命题的基本方法，是我们需要进一步 学习的内容.
探究（一）：综合法
思考1：对于不等式
a(b + c ) + b(c + a )
3.综合法和分析法是两种互逆的思维 模式，在证明某些较复杂的问题时，常 采用分析综合法，用综合法拓展条件， 用分析法转化结论，找出已知与结论的 连结点.
作业：
P89练习：1，2，3.
2
2
2
2
4abc
其左右两边的结构有什么特点？ 右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边 为两项之和，其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.
思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系？
基本不等式 思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不 等式性质证明
a(b + c ) + b(c + a )
2
2
2
2
4abc
思考4：上述从已知条件，基本不等式， 不等式乘法和加法性质出发，推出所证 结论成立的证明方法叫做综合法，一般 地，综合法的基本含义是什么？ 利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理、性质、法则等，经过一系列的推 理论证，最后推导出所证结论成立.
思考5：综合法又叫“顺推证法”或“由 因导果法”，其基本思想是：由已知推 可知，逐步推出未知.若用P表示已知条 件和某些数学定义、公理、定理、性质、 法则等，Q表示所要证明的结论，则综合 法的推理过程用流程框图可怎样表示？
P Þ Q1 Q1 Þ Q 2 Q 2 Þ Q 3
„
Qn Þ Q
探究（二）：分析法
思考1：对于不等式
| 1+ a -
2
1 + b |< | a - b |(a≠b)，
2
若证该不等式成立，只要证明什么？
|a + b| 1+ a +
2
2
1+ b
2
2
<1
1 + a + 1 + b >| a + b |
思考2：若证不等式
思考5：上述证明方法叫做分析法. 一般 地，分析法的基本含义是什么？ 从所证结论出发，逐步寻求使它成立的 充分条件，直到归结为判定一个显然成 立的条件（已知条件、定义、公理、定 理、性质、法则等）为止.
思考6：分析法又叫“逆推证法”或“执 果索因法”，其基本思想是：由未知探 需知，逐步推向已知. 若用Q表示所要证 明的结论，则分析法的推理过程用流程 框图可怎样表示？
1 + a + 1 + b > | a + b | 成立，
只需证明什么？ |a|＋|b|≥|a＋b|
2
2
思考3：若证不等式|a|＋|b|≥|a＋b| 成立，只需证明什么？ |ab|≥ab
思考4：由于|ab|≥ab显然成立，反推回 去即得原不等式成立.其中上述各步推理 中所寻求的条件是充分条件，还是必要 条件，还是充要条件？ 充分条件
2.2
2.2.1
直接证明与间接证明
综合法和分析法
问题提出
1 5730 p 2
t
1.合情推理的主要作用和思维过程是 什么？
作用：提出猜想，发现结论； 过程：从具体问题出发→观察、分析、 比较、联想→归纳、类比→提出猜想.
2.演绎推理的一般模式是“三段论”， 三段论的基本含义如何？
1 - t an a 1 - t an b = 2 2 1 + t an a 2(1 + t an b )
2
2
小结作业
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件，分析法的每步推理都是寻找充分条 件，在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.
显然成立的条件
理论迁移
例1 在△ABC中，三个内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知A，B，C成 等差数列，且a，b，c成等比数列，求证 △ABC为等边三角形. 例2 求证：
3+
7<2 5.
例3 已知sinθ ＋cosθ ＝2sinα ， sinθ ·cosθ ＝sin2β ， p (k Z ) ，求证： 其中 a , b ? k p 2
大前提：已知的一般原理； 小前提：所研究的特殊情况；
结 论：根据一般原理，对特殊情况做 出判断.
3.合情推理所得结论的正确性是需要 证明的，演绎推理的实施也需要具体的 操作方法，因此，从理论上获取证明数 学命题的基本方法，是我们需要进一步 学习的内容.
探究（一）：综合法
思考1：对于不等式
a(b + c ) + b(c + a )
3.综合法和分析法是两种互逆的思维 模式，在证明某些较复杂的问题时，常 采用分析综合法，用综合法拓展条件， 用分析法转化结论，找出已知与结论的 连结点.
作业：
P89练习：1，2，3.
2
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2
4abc
其左右两边的结构有什么特点？ 右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边 为两项之和，其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.
思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系？
基本不等式 思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不 等式性质证明
a(b + c ) + b(c + a )
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4abc
思考4：上述从已知条件，基本不等式， 不等式乘法和加法性质出发，推出所证 结论成立的证明方法叫做综合法，一般 地，综合法的基本含义是什么？ 利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理、性质、法则等，经过一系列的推 理论证，最后推导出所证结论成立.
思考5：综合法又叫“顺推证法”或“由 因导果法”，其基本思想是：由已知推 可知，逐步推出未知.若用P表示已知条 件和某些数学定义、公理、定理、性质、 法则等，Q表示所要证明的结论，则综合 法的推理过程用流程框图可怎样表示？
P Þ Q1 Q1 Þ Q 2 Q 2 Þ Q 3
„
Qn Þ Q
探究（二）：分析法
思考1：对于不等式
| 1+ a -
2
1 + b |< | a - b |(a≠b)，
2
若证该不等式成立，只要证明什么？
|a + b| 1+ a +
2
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1+ b
2
2
<1
1 + a + 1 + b >| a + b |
思考2：若证不等式
思考5：上述证明方法叫做分析法. 一般 地，分析法的基本含义是什么？ 从所证结论出发，逐步寻求使它成立的 充分条件，直到归结为判定一个显然成 立的条件（已知条件、定义、公理、定 理、性质、法则等）为止.
思考6：分析法又叫“逆推证法”或“执 果索因法”，其基本思想是：由未知探 需知，逐步推向已知. 若用Q表示所要证 明的结论，则分析法的推理过程用流程 框图可怎样表示？
1 + a + 1 + b > | a + b | 成立，
只需证明什么？ |a|＋|b|≥|a＋b|
2
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思考3：若证不等式|a|＋|b|≥|a＋b| 成立，只需证明什么？ |ab|≥ab
思考4：由于|ab|≥ab显然成立，反推回 去即得原不等式成立.其中上述各步推理 中所寻求的条件是充分条件，还是必要 条件，还是充要条件？ 充分条件
2.2
2.2.1
直接证明与间接证明
综合法和分析法
问题提出
1 5730 p 2
t
1.合情推理的主要作用和思维过程是 什么？
作用：提出猜想，发现结论； 过程：从具体问题出发→观察、分析、 比较、联想→归纳、类比→提出猜想.
2.演绎推理的一般模式是“三段论”， 三段论的基本含义如何？
1 - t an a 1 - t an b = 2 2 1 + t an a 2(1 + t an b )
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小结作业
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件，分析法的每步推理都是寻找充分条 件，在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.