线性代数A卷

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线性代数试题A及答案

线性代数试题（A ）一、选择题：（每小题3分，共18分）2、2、A 、B 均为n 阶方阵，则以下表达正确的是__ _ （A ） AB=BA （B ） AB=0，则A=0或B=0 （C ） ()111---=B A AB （D ） ()T T TA B AB =3、设矩阵A 的秩是r , 则（A ）A 中没有等于零的1-r 阶子式（B ）A 中至少有一个r 阶子式不等于零（C ）A 中有不等于零的1+r 阶子式（D ）A 中没有等于零的r 阶子式4、已知 )3,2,1(=a )31,21,1(=b ，且b a T A = 则4A =（A ） 27÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211（B ）÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211 （C ）9 (D) 81 5、设A 是可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*-=A A A A 1)( *-=A A B 1)( *--=A AA C 11)( 11)()(-*-=A A D6、与对角矩阵D = úúúûùêêêëé211 相似的矩阵是 (A) úúúûùêêêëé100020101. (B) úúúûùêêêëé200110001. (C) úúúûùêêêëé200010011. (D) úúúûùêêêëé-111021001 二、填空题：（每小题4分，共20分）1、设A , B 为三阶矩阵, 2=A ,41=B , 则12-)(BA = 2、行列式8040703362205010的值为 3、设A 是n 阶方阵,若3-=n A R )(,则0=AX 的基础解系所含向量的个数为4、k= 时，向量)5,,1(k =b 能由向量)1,1,2(),2,3,1(21-=a -=a 线性表出。

12-13-1《线性代数试卷A》第一学期期末考试试卷

河南理工大学 2012-2013 学年第 1 学期《线性代数》试卷（A 卷）１．设()()()，，，，，，，，t 3,1321111321===βββ若321βββ,,线性相关，则t =．２．矩阵()nn ija ⨯=A 的全体特征值的和等于 , 全体特征值的积等于．３．设A 为4阶方阵，2-=A ，则A 3-= ．４．()234321,,B ,A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则=AB．５．设三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120350002A ，则A 的逆矩阵1-A =．６．设3阶方阵A 按列分块为()321ααα,,A =，且Ad e t =5，又设()231215432ααααα,,B ++=，则B =．7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221xA ，x 为某常数，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则x = ． 8．设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知21ηη,是它的两个解向量．且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42232121ηη,该方程组的通解为．1．设A 与B 均为n 阶方阵，则下列结论中成立的为（）．(A) det(AB ) = 0，则0A =或0B =； (B) det(AB ) = 0，则det A = 0或det B = 0； (C) AB = 0，则0A =或0B =； (D) AB ≠ 0，则det A ≠ 0或det B ≠ 0．2. 设n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵，则( ).(A) 2-=n *A A ; (B) 1+=n *A A ; (C) 1-=n *AA ;(D) 2+=n *AA ．3. 已知A 、B 均为3阶方阵，且A 与B 相似，若A 的特征值为1，2，3，则()12-B 的特征值为（）(A) 2312,,; (B) 614121,,; (C) 321,,;(D) 3212,,．４. 向量组321,,βββ线性无关，324,,βββ线性相关，则有．(A)1β可由324,,βββ线性表示; (B)3β可由42ββ,线性表示 ;(C)2β可由43ββ,线性表示;(D)4β可由32ββ,线性表示 .三、计算题1．（7分）计算行列式211112111121=n D ．一、填空题,每小题4分二、选择题，每小题5分2．（7分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=121011332A ，求1-A ．3．（7分）求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1401131********12211A 的列向量组的一个最大线性无关组．4．（12分）λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ,,（１）有唯一解；（２）无解；（３）有无穷多个解？5．（15分）已知二次型()322221321434x x x x x ,x ,x f ++=，求一个正交变换Py x =，把二次型()321x ,x ,x f 化为标准型．。

《线性代数》-期终A卷

杭州电子科技大学继续教育学院学生考试卷（ A ）卷A 表示方阵A 的行列式，r (A )表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．3阶行列式011101110---=ij a 中元素a 21的代数余子式A 21=（） A ．-2 B ．-1 C ．-1D ．22．若120231101λλ=0，则12λλ、必须满足（）A ．1220λλ==，B 122λλ==C 122λλ=，可为任意数D 12λλ、均可为任意数 3．有矩阵3223,33,A B C ⨯⨯⨯,下列矩阵运算可行的是（） A AC B ABC C BAC D AB BC -4.如果线性方程组12323331223(1)(3)(1)x x x x x x x λλλλλλ++=-⎧⎪-=-⎪⎨=-⎪⎪-=---⎩有唯一解，则λ=（）A 1或2B —1或3C 1或3D 1-或3- 5．设向量组α1, α2, α3, α4线性相关，则向量组中（） A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合6．设A=1243⎛⎫⎪⎝⎭, B=12x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A 与B 可交换的充分必要条件是（） A 1x y -= B 1x y -=- C x y = D 2x y = 7．下列矩阵不是初等矩阵的是（）A 100001010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B001010100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ C 1001002001⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D100014001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭8．已知向量组 123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t ααα=-==--，的秩为2，则t =（） A 3 B 3- C 2 D 2-9．四元线性方程组 1421400x x x x x ⎧+=⎪=⎨⎪-=⎩的基础解系是（）A (0,0,0,0)TB (0,0,2,0)TC (1,0,1)T- D (0,0,2,0)T和 (0,0,0,1)T10．三阶矩阵A 的特征值为 2,1,3.-则下列矩阵中非奇异矩阵是（） A 2I -A B 2I+A C I -A D A -3I 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

(完整版)线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。

设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ）（A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。

如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。

如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。

设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于；2。

设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解，那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。

设A 为正交矩阵,则A = ；6。

设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。

中国海洋大学《线性代数》2016-2017学年第二学期期末试卷A卷

一、填空题(共 18分)1.设 A 是3阶方阵，|A|=3，A∗为 A 的伴随矩阵，则|3A−1|=( )，|A∗|=( )，|3A∗−7A−1|=( ).2.设α=(1,−2,3)T，β=(−1, 12,0)，A=αβ，则|A100|=( ).3.设向量α=(1k 1)是矩阵A=(211121112) 的一个特征向量，则k=().4.A为3阶实对称矩阵，向量 ξ1=(1,2,5)T，ξ1=(k,2k,3)T是分别对应于特征值2和3的特征向量, 则 k=().5.设 η1,η2,η3为4元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解，r(A)=3，已知η1+η2=(3,4,5,6)T,η3=(1,2,3,4)T，则 Ax=b 的一般解为( ).二、选择题(共 6 题，每题 3分，共 18 分)1.设 M、P 为 n 阶矩阵，且 P 可逆，则下列运算不正确的是( ).A. |M|=|P−1MP|；B. |2E−M|=|2E−P−1MP|；C. |2E−M|=|2E−(P−1MP)T|；D. P−1MP=M.2.设 M、N、P 为同阶矩阵，下列结论成立的有( ).A. MN=NM；B. (M+N)−1=M−1+N−1；C. 若 MP=NP，则M=N；D. (M+N)T=M T+N T.3.设 A 为 m×n 矩阵，线性方程组 Ax=b 有解的充分条件为( ).A. 矩阵A 行满秩；B. 矩阵A 列满秩；C. 矩阵A 的秩小于其行数；D. 矩阵A 的秩小于其列数.4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵；若 n 维列向量 α 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量，则矩阵 (P−1AP)T的属于特征值 λ 的特征向量是( ).A. P−1α；B. P Tα；C. Pα；D. (P−1)Tα.5.设向量 α,β,γ 线性无关，α,β,δ 线性相关，下列哪个成立().中国海洋大学《线性代数》2016-2017学年第二学期期末试卷A卷A. α 必可由 β,γ,δ 线性表示；B. β 必不可由 α,γ,δ 线性表示；C. δ 必可由 α,β,γ 线性表示；D. δ 必不可由 α,β,γ 线性表示.6.设 A 是 n (n ≥2)阶可逆矩阵，交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ；A ∗、B ∗分别为 A 、B 的伴随矩阵，则( ).A. 交换 A ∗的第一列与第二列得 B ∗；B. 交换 A ∗的第一行与第二行得 B ∗；C. 交换 A ∗的第一列与第二列得 −B ∗；D. 交换 A ∗的第一行与第二行得 −B ∗.三、计算题(共 4题，共 28 分)1.计算行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11|. 2.矩阵 A =(11−1−1111−11)，矩阵 X 满足 A ∗X =A −1+2X ，其中 A ∗是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X .3.已知 R 3的两组基 B 1={α1,α2,α3}和 B 2={β1,β2,β3}，其中α1=(1,1,1)T ，α2=(0,1,1)T ， α3=(0,0,1)T ；β1=(1,0,1)T ，β2=(0,1,−1)T ，β3=(1,2,0)T .(1)求基 B 1到基 B 2的过渡矩阵 A ；(2)已知 α 在基 B 1下的坐标向量为 (1,−2,−1)T ，求 α 在基 B 2下的坐标向量.4.求向量组 α1=(1,0,1,0), α2=(2,1,−3,7), α3=(4,1,−1,7), α4=(3,1,0,3), α5=(4,1,3,−1) 的秩，及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示.四、证明题(共 1题，共 8 分)设 A 为 n 阶方阵，且 4A 2−I =O ，证明：(1) A 的特征值只能为− 1 2或 1 2；(2) r (2A +I )+r (2A −I )=n.五、解方程组（共1题，13分）当 λ 取何值时，线性方程组 {(1+λ)x 1+x 2+x 3=0x 1+(1+λ)x 2+x 3=3x 1+x 2+(1+λ)x 3=λ无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解.六、二次型（共1题，12分）二次型 f (x 1,x 2,x 3)=5x 12+5x 22+cx 32+2x 1x 2+4x 1x 3−4x 2x 3 的秩为2，(1)求 c ；(2)用正交变换法将二次型化为标准形，并写出对应的正交矩阵.一、填空题(共 18分)1.设 A 是3阶方阵，|A |=3，A ∗为 A 的伴随矩阵，则 |3A −1|=( )， |A ∗|=( )，|3A ∗−7A −1|=( ).解：|3A −1|=33|A−1|=331|A |=9；|A ∗|=|A |3−1=9； |3A ∗−7A −1|=|3|A |A −1−7A−1|=|2A −1|=23|A −1|= 8 3. 2.设 α=(1,−2,3)T ，β=(−1, 1 2,0)，A =αβ，则 |A 100|=( ).解：A =αβ=(1−23)(−1, 1 2,0)= 1 2(−2104−20−630)⟹|A |=0 |A 100|=|A|100=0.3.设向量 α=(1k 1) 是矩阵 A =(211121112) 的一个特征向量，则 k =( ).解：设向量 α 是 A 的特征值 λ 对应的特征向量，则 Aα=λα，即 (211121112)(1k 1)=λ(1k 1)⟹{2+k +1=λ1+2k +1=λk ⟹(k −1)=λ(k −1)⟹{k −1=0⟹k =1，λ=4；k −1≠0⟹λ=1，k =−2. 4.A 为3阶实对称矩阵，向量 ξ1=(1,2,5)T ，ξ1=(k,2k,3)T 是分别对应于特征值2和3的特征向量, 则 k =( ).解：由题意知：ξ1,ξ2 正交，即 (ξ1,ξ2)=0⟹1∙k +2∙2k +5∙3=0从而 k =−3.5.设 η1,η2,η3 为4元非齐次线性方程组 Ax =b 的三个解，r (A )=3，已知 η1+η2=(3,4,5,6)T ,η3=(1,2,3,4)T ，则 Ax =b 的一般解为( ). 解：r (A )=3⟹Ax =0 的基础解系含有 4−r (A )=1 个向量.Ax =b 的一般解为 x =x 0+kξ；答案(1) x0可取 η3；(2)取 ξ=(η1−η3)+(η2−η3)=η1+η2−2η3=(1,0,−1,−2)T；于是，Ax=b 的一般解x=(1,2,3,4)T+k(1,0,−1,−2)T，k 任意.二、选择题(共 6 题，每题 3分，共 18 分)1.设 M、P 为 n 阶矩阵，且 P 可逆，则下列运算不正确的是( D ).A. |M|=|P−1MP|；B. |2E−M|=|2E−P−1MP|；C. |2E−M|=|2E−(P−1MP)T|；D. P−1MP=M.解：A. |M|=|P−1MP|=|P−1|∙|M|∙|P|=|M|；B. |2E−M|=|P−1|∙|2E−M|∙|P|=|P−1(2E−M)P|=|2E−P−1MP|；C. |2E−(P−1MP)T|=|(2E−P−1MP)T|=|2E−P−1MP|=|2E−M|；D. P−1MP=M结论不一定成立；MP不一定等于PM.2.设 M、N、P 为同阶矩阵，下列结论成立的有( D ).A. MN=NM；B. (M+N)−1=M−1+N−1；C. 若 MP=NP，则M=N；D. (M+N)T=M T+N T.3.设 A 为 m×n 矩阵，线性方程组 Ax=b 有解的充分条件为( A ).A. 矩阵A 行满秩；B. 矩阵A 列满秩；C. 矩阵A 的秩小于其行数；D. 矩阵A 的秩小于其列数.解：A 行满秩⟹r(A,b)=r(A)⟺Ax=b 有解.4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵；若 n 维列向量 α 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量，则矩阵 (P−1AP)T的属于特征值 λ 的特征向量是( B ).A. P−1α；B. P Tα；C. Pα；D. (P−1)Tα.解：已知 Aα=λα，且 A T=A；记 P−1AP=Q，则 (P−1AP)T=Q T；则PQ=AP⟹Q T P T=P T A T，A 对称⟹Q T P T=P T A⟹Q T P Tα=P T Aα=λP Tα.5.设向量 α,β,γ 线性无关，α,β,δ 线性相关，下列哪个成立( C ).A. α 必可由 β,γ,δ 线性表示；B. β 必不可由 α,γ,δ 线性表示；C. δ 必可由 α,β,γ 线性表示；D. δ 必不可由 α,β,γ 线性表示.解：α,β,γ 线性无关，则 α,β 线性无关；又 α,β,δ 线性相关，则 δ 可由 α,β 线性表示，即 δ=k 1α+k 2β=k 1α+k 2β+0γ.6.设 A 是 n (n ≥2)阶可逆矩阵，交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ；A ∗、B ∗分别为 A 、B 的伴随矩阵，则( C ).A. 交换 A ∗的第一列与第二列得 B ∗；B. 交换 A ∗的第一行与第二行得 B ∗；C. 交换 A ∗的第一列与第二列得 −B ∗；D. 交换 A ∗的第一行与第二行得 −B ∗.解：A r 1↔r 2 ⇒ B ，则 B =E 12A ⟹{|B |=|E 12A|=−|A | B −1=(E 12A)−1=A −1E 12−1=A −1E 12于是 B ∗=|B |B −1=−|A |A −1E 12=−A ∗E 12；得 −B ∗=A ∗E 12⟺ 交换 A ∗的第1列和第2列得到 −B ∗.三、计算题(共 4题，共 28 分)1.计算行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11|. 解：行列式c 1+c 2+⋯+c n+10a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n n +111⋯11|=(n +1)∙(−1)n+1+1|a 10⋯00−a 2a 2⋯00⋮⋮ ⋮⋮00⋯−a n a n| =(−1)n (n +1)a 1a 2⋯a n .2.矩阵 A =(11−1−1111−11)，矩阵 X 满足 A ∗X =A −1+2X ，其中 A ∗是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X .解：A ∗X =A −1+2X ⟹(A ∗−2I )X =A −1⟹A (A ∗−2I )X =AA −1=I ⟹(|A |I −2A )X =I⟹X =(|A |I −2A)−1；又 |A |=4，则 |A |I −2A =(2−2222−2−222)=2(1−1111−1−111)=2B ，这里 B =(1−1111−1−111)；从而 X =(2B)−1= 1 2B −1 由 (B,I )=(1−1111−1−111 1000 1 0001)初等行变换⇒ (1000 10001 1/21/2001/21/21/201/2)=(I,B −1)，得 B −1= 1 2(1100 11101)，于是 X = 1 4(1100 11101). 3.已知 R 3的两组基 B 1={α1,α2,α3}和 B 2={β1,β2,β3}，其中 α1=(1,1,1)T ，α2=(0,1,1)T ， α3=(0,0,1)T ； β1=(1,0,1)T ，β2=(0,1,−1)T ，β3=(1,2,0)T .(1)求基 B 1到基 B 2的过渡矩阵 A ；(2)已知 α 在基 B 1下的坐标向量为 (1,−2,−1)T ，求 α 在基 B 2下的坐标向量. 解：仍记 B 1=(α1,α2,α3)，B 2=(β1,β2,β3).(1)由 (β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)A ，即得 B 2=B 1A ，于是，(B 1,B 2)=(1001011100121111−10)初等行变换⇒ (100101010−1110011−2−2)=(I,A )则基 B 1到基 B 2的过渡矩阵 A =(101−1111−2−2).(2)两种方法：已知 αB 1=(1,−2,−1)T方法1：α=B 1αB 1=(1,−1,−2)T ，又有 α=B 2αB 2，则求解该方程组(B 2,α)=(1010121−10|1−1−2)初等行变换⇒ (100010001|57−4),则 α 在基 B 2下的坐标向量 αB 2=(5,7,−4)T .方法2：因为 A αB 2=αB 1，求解该方程组(A ,αB 1)=(101−1111−2−2|1−2−1)初等行变换⇒ (100010001|57−4)，则 α 在基 B 2下的坐标向量 αB 2=(5,7,−4)T .4.求向量组 α1=(1,0,1,0), α2=(2,1,−3,7), α3=(4,1,−1,7), α4=(3,1,0,3), α5=(4,1,3,−1) 的秩，及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示.解：记矩阵A =(α1T ,α2T ,α3T ,α4T ,α5T )=(12434011111−3−1030773−1) 初等行变换 ⇒ (102000110−10001200000)，则 (1)秩{α1,α2,α3,α4,α5}=3；(2)α1,α2,α4 是向量组 α1,α2,α3,α4,α5 的一个极大线性无关组；(3)α3=2α1+α2,α5=−α2+2α4.四、证明题(共 1题，共 8 分)设 A 为 n 阶方阵，且 4A 2−I =O ，证明：(1) A 的特征值只能为− 1 2或 1 2；(2) r (2A +I )+r (2A −I )=n. 证：(1)设 A 的特征值为 λ，则 4A 2−I 的特征值为 4λ2−1，因为 4A 2−I =O ，而零矩阵 O 的特征值均为0，于是有 4λ2−1=0⟹λ=− 1 2或 1 2； (2)4A 2−I =O ⟹(2A +I)(2A −I )=O ，则① r (2A +I )+r (2A −I )≤n ；② r (2A +I )+r (2A −I )=r (2A +I )+r (I −2A )≥r(2A +I +(I −2A ))=r (2I )=n ；于是，r (2A +I )+r (2A −I )=n .五、解方程组（共1题，13分）当 λ 取何值时，线性方程组{(1+λ)x 1+x 2+x 3=0x 1+(1+λ)x 2+x 3=3x 1+x 2+(1+λ)x 3=λ无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解.解：系数矩阵 A =(1+λ1111+λ1111+λ)，b =(03λ).又 |A |=|1+λ1111+λ1111+λ|=λ2(λ+3)①当 |A |≠0，即当 λ≠0 且 λ≠−3 时，方程组有唯一解； ②当 λ=0 时，增广矩阵(A,b )=(111111111| 030)初等行变换⇒ (111000000| 030) 方程组出现矛盾方程，则原方程组无解；③当 λ=−3 时，增广矩阵(A,b )=(−2111−2111−2|03−3)初等行变换⇒ (10−101−1000| −1−20)=(U,d)取 x 3 为自由未知量，1)令 x 3=0，代入 Ux =d ，得原方程组的一个特解 x 0=(−1,−2,0)T ；2)令 x 3=1，代入 Ux =0，得 Ax =0 的一个基础解系 ξ=(1,1,1)T ；则原方程组的通解为 x =x 0+kξ=(−1−20)+k (111)，k 任意；综上，{当 λ≠0 且 λ≠−3时，方程组有唯一解；当 λ=0 时，方程组无解；当 λ=−3时，方程组有无穷多解.六、二次型（共1题，12分）二次型 f (x 1,x 2,x 3)=5x 12+5x 22+cx 32+2x 1x 2+4x 1x 3−4x 2x 3 的秩为2， (1)求 c ；(2)用正交变换法将二次型化为标准形，并写出对应的正交矩阵.解：二次型对应的矩阵为 A =(51215−22−2c)， (1)已知 r (A )=2⟹|A |=0，得 c =2；(2)A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−5−1−2−1λ−52−22λ−2|=λ(λ−6)2，A 的特征值为 λ1=λ2=6，λ3=0；①对于 λ1=λ2=6，由(λ1I −A)x =0，即 (1−1−2−112−224)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系 {ξ1=(1,1,0)T ξ2=(2,0,1)T ， 1)正交化：取 β1=ξ1=(1,1,0)T ，令 β2=ξ2−(ξ2,β1)(β1,β1)β1=(1,−1,1)T ， 2)单位化：令 η1=1‖β1‖β1=(1√2,1√2,0)T ； η2=1‖β2‖β2=(1√3,−1√31√3)T； ②对于特征值 λ3=0，由(λ3I −A)x =0⟺Ax =0，即 (51215−22−22)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系为 ξ3=(−1,1,2)T ，单位化得：η3=1‖ξ3‖ξ3=(−1√6,1√6,2√6)T； ③记矩阵 Q =(η1,η2,η3)=( √2√3√6√2√3√60√3√6) ，则 Q 为正交阵，且使得 Q T AQ =Q −1AQ =Λ=(660)④令 x =(x 1,x 2,x 3)T ，y =(y 1,y 2,y 3)T ，做正交变换 x =Qy ，原二次型就化成标准形 x T Ax =y T (Q T AQ )y =6y 12+6y 22.。

(完整版)线性代数试卷及答案详解

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：3的一组标准正交基，=___________《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）1、 256；2、 132465798⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭； 3、112211221122000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 4、； 5、 4； 6、 2 。

三．解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法：231211201012010*******121011411033110331023211027210027810027801141010144010144001103001103001103---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪−−→--−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭―――――（6分）所以1278144103X A B -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭.―――――（8分）四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得：1234511143111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭111431212011310113100000000000000000000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭――――（5分）从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩12345{,,,,}ααααα＝2（8分）且3122ααα=-，4123ααα=+，5122ααα=--――――（10分）五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：221121121121110113011311101112002421120113400(2)(1)42p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪−−→------- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭(分)(1) 当10,(2)(1)0,p p p -≠-+-≠且时即1,2,p p ≠≠-且时系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分） (2) 当1,p =时系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.――――（6分）(3) 当2,p =-时此时方程组有无穷多组解. 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为1122112211221211033301112111033300001011011180000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎪−−→------ ⎪ ⎪⎝⎭（分）故原方程组与下列方程组同解:132311x x x x -=-⎧⎨-=-⎩ 令30,x =可得上述非齐次线性方程组的一个特解0(1,1,0)Tξ=--;它对应的齐次线性方程组13230x x x x -=⎧⎨-=⎩的基础解系含有一个元素,令31,x =可得1(1,1,1)T ξ=为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为001101,,.k k k k ξξ+这里为任意常数――――（12分）六．解：（1）由于A的特征多项式2124||222(3)(6)421I A λλλλλλ----=-+-=+----故A 的特征值为13λ=-（二重特征值），36λ=。

全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A卷

全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷试卷 A 考试方式闭卷考试时间（120分钟）一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB，则必有（） (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ；（C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。

2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（） (A) A E =； (B)B E =；（C ） A B =. (D) AB BA =。

3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（）(A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关；（C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。

6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。

7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = 。

8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是。

三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333n n n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。

完整版)线性代数试卷及答案

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

2020-2021(1)《线性代数A》A卷参考答案

3 ,1)T . 2
(3) 当 k 1时 R( A) 1; 当 k 2 时 R( A) 2; 当 k 1且 k 2 时 R( A) 3.
(12 分) (15 分)
P5
x1 3x2 2x3 x4 3
得分
六、（12
分）求非齐次线性方程组
x1 x1
x2 x2
x4 x3
1 2
五
六
七
八
得分
阅卷人
得
一、填空题（共 24 分，每小题 3 分）
分
1． n 阶行列式
1
2
n ( n 1)
(1) 2 1n .
n
3 5 2 1
2. 已知 4 阶行列式 D 1 1 1 3
0 5 1 3 ,D 的 (i, j) 元的代数余子式记作 Aij ，则
2 4 1 3
学院
考专业装
生
信
息姓名
班级
栏学号线
订
集美大学试卷纸参考答案与评分标准
2020 — 2021 学年第一学期
课程名称
适用学院、专业、
年级
线性代数 A
试卷卷别
考试方式
A
闭卷 □√ 开卷 □
备注
1.本试卷共 8 页，答题前请检查；2.考试时间 120 分钟。
总分
题号
一
二
三
四
生
信
息姓名
班级
栏学号线
订
1 2 3k
得
五、（15
分）设矩阵
A
1 k
2k 2
3 3
，
分
（1）求行列式 A ；

海南大学2012-2013《线性代数》试题(A卷)

海南大学2012-2013学年度第二学期试卷科目：（工科类）《线性代数》试题(A 卷)姓名：学号：学院：专业班级：时限： 120 分钟考试形式：闭卷笔试所有试卷均配有答题纸，考生应将答案写在答题纸上，写在试卷上一律无效大题号一二三四五六七八总分得分一、选择题：(每题3分，共15分)1.行列式0100002000034000=_____-24_____2. 设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的行列式为0___3. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，若m n >，则AB =____0___4.若n 元齐次线性方程组AX O =有n 个线性无关的解向量，则A =O5. 设三阶方阵A 有三个特征值1232,3,λλλ==，若 A =24，则3λ=4二、填空题（每题3分，共15分）1. 设A 为n 阶方阵，且AX O =有非零解，则矩阵A 必有一个特征值为（ C ）(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) 无法确定得分阅卷教师得分阅卷教师2. 设矩阵A 、B 都为n 阶方阵A =2，B =-3，则13A B *-＝（ D ）(A) 6 (B) 6n (C) -6 (D) 16n --3.若可逆方阵A 满足2A A = ，则 A =（ A ）(A)1 (B) 0 (C) -1 (D)无法确定4. 设三阶行列式D 的第三行元素依次是1、-1、1，它们的代数余子式依次是2、8、-5，则D =（ B ）（A ） 11 (B) -11 (C) 5 (D)-55. n 元非齐次线性方程组AX β=有解，其中A 为(1)n n +⨯的矩阵，则A β=（ A ）(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 无法确定三、计算题（14分）求非齐次线性方程组1234123412343133445980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解。

线性代数试题(A 卷)

线性代数试题（A 卷）一、单项选择题1．如果将n 阶行列式中所有元素都变号，该行列式的值的变化情况为（） (A) 不变; (B)变号;(C)若n 为奇数，行列式变号；若n 为偶数，行列式不变; (D)若n 为奇数，行列式不变；若n 为偶数，行列式变号. 2．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则（） (A)0λ可以是任意一个数; (B)00>λ; (C)00≠λ; (D) 00<λ.3.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，1η和2η是其任意2个解，则下列结论错误的是（）(A) 12ηη+是Ax=0的一个解; (B) 121122ηη+是Ax=b 的一个解;(C) 12ηη-是Ax=0的一个解;(D) 122ηη-是Ax=b 的一个解.4. 若1112α=-（，，）,2764α=（，，），3000α=（，，），则向量组123,,ααα是( )(A) 线性相关; (B) 线性无关;(C) 可能线性相关，可能线性无关; (D) 秩123(,,)3ααα=.5.设100020004A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的特征值为（）(A) 1,1,2 ； (B) 1,2,2 ； (C) 1,2,4 ； (D) 2,4,4.二、填空题（每小题4分，本大题共20分） 1. 排列32514的逆序数为 .2. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111A ，则矩阵=3A . 3. 设3阶方阵A 的元素全为1，则秩(A )为 .4．二次型12(,)f x x =22112264x x x x ++的矩阵是 .5.实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有特征值全是 .三、（本题10分）计算行列式ef cf bf de cd bd aeac ab ---.四、（本题10分）求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2500380000120025 的逆矩阵.五、（本题12分）求线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-211117847246373542432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.六、（本题12分）求三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A 的特征值及特征向量，并判断A 是否与对角形矩阵相似？七、（本题8分）设321,,ααα线性无关，证明3213221,,ααααααα++++也线性无关. 八、（本题8分）证明：若A 为n n ⨯阶非零矩阵，则秩（A ）=1的充分必要条件是A 可写为一列向量与一行向量的积.参考答案和评分标准一、单项选择题（每小题4分，本大题共20分） 1．C ； 2．C ； 3. A ； 4. A ； 5. C 二、填空题（每小题4分，本大题共20分）1. 5 ；2、4444⎛⎫⎪⎝⎭；3. 1 ；4．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4331 ；5．正数. 三、（本题10分）计算行列式efcf bf de cdbd aeacab ---.解：ef cfbf de cdbd aeac ab ---=ec b e c bec b adf ---……….…….…..…………（3分） =111111111---adfbce ……………………………………………………………………………….（6分） =abcdef 4……….………………………………………………………....……（10分）四、（本题10分）求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025的逆矩阵. 解：,21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ,112251==A ,125382==A .……….……..……..（3分） ,5221111⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==*-A A .……….……………………………………………（5分）,8532212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==*-A A .…………………………………………..……..…（7分）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=- 8 5-003-2000000 2- 1 521A .……….…………………………………….…（10分）五、（本题12分）求线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-211117847246373542432143214321x x x x x x x x x x x x 通解.解.对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000175100172021211117847246373542A ………………………..（4分）于是方程组的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=434217517221x x x x x ，42,x x 为自由未知量……………………..………..（8分）所以方程组的通解为：21432117507200120101k k x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ . …………….…..….（12分）六、（本题12分）解：A 的特征方程为2134011||----+=-λλλλA E =0)1)(2(2=--λλ，……………..………....（2分）故A 的特征值为21=λ，132==λλ. ……………..………………….……..（5分）(1) 对于特征值21=λ，得到齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-0040312121x x x x x ，它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100，所以属于特征值2的全部特征向量为,100⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k (0≠k ).………..…….（7分）(2) 对于特征值132==λλ，得到齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-002402312121x x x x x x ，它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121，所以属于特征值1的全部特征向量为,121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-k (0≠k ).………...（9分）因此A 不与对角形矩阵相似. .…………….…………………………….（12分）七、（本题8分）设321,,ααα线性无关，证明3213221,,ααααααα++++也线性无关.证明：设0)()()(3213322211=++++++αααααααk k k ，………..…….（2分）则有0)()()(3322321131=++++++αααk k k k k k k ， ……………….（4分）321,,ααα 线性无关，⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+∴0003232131k k k k k k k ，0321===∴k k k ……….….（6分）所以3213221,,ααααααα++++线性无关. …………………………..….（8分）八、（本题8分）证明：若A 为n n ⨯阶非零矩阵，则秩（A ）=1的充分必要条件是A 可写为一列向量与一行向量的积.证明：必要性：因为秩（A ）=1，所以存在可逆矩阵P 和Q ，使得10010000(100)0000PAQ ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.……………………..….（2分）得到11)001(001--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P A=)(2121n n b b b a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011 P ，)(21n b b b =1)001(-Q 。

复旦大学《线性代数》2018-2019学年第二学期期末试卷A卷

复旦大学考试试卷2018——2019学年第二学期时间：100分钟《线性代数》课程32学时2学分考试形式：闭卷总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设2()3f x x =-，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3 4 0 1A ，则)(A f =.2、设B A ,为n 阶矩阵，如果有n 阶可逆矩阵P ，使成立，则称A 与B 相似．3、n 元非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是.4、已知二次型()323121232221321662355,,x x x x x x x x x x x x f -+-++=，则二次型f 对应的矩阵A =.5、设4阶方阵A 满足：0,30,2T A E A AA E <+==(其中E 是单位矩阵)，则A 的伴随矩阵*A 必有一个特征值为.二、选择题（每小题3分，共15分）1、已知4阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且A 的行列式A =3，则*A =（）.（A ）81.（B ）27.（C ）12.（D ）9.2、设A 、B 都是n 阶方阵，且A 与B 有相同的特征值，并且A 、B 都有n 个线性无关的特征向量，则（）。

（A ）A 与B 相似.（B ）A =B .（C ）B A ≠，但0||=-B A .（D ）A 与B 不一定相似，但||||B A =.3、设n 阶方阵A 为正定矩阵，下面结论不正确的是（）.（A ）A 可逆.（B ）1-A 也是正定矩阵.（C ）0||>A .（D ）A 的所有元素全为正.4、若n 阶实方阵2A A =，E 为n 阶单位阵，则（）.（A ）()()R A R A E n +->.（B ）()()R A R A E n +-<.（C ）()()R A R A E n +-=.（D ）无法比较()()R A R A E n +-与的大小.5、设1234123400110111c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）.（A ）123ααα，，.（B ）124ααα，，.（C ）134ααα，，.（D ）234ααα，，.三（本题满分10分）计算n （2n ≥）阶行列式n xa a a x a D aax=，n D 的主对角线上的元素都为x ，其余位置元素都为a ，且x a ≠.四（本题满分10分）设3阶矩阵,A B 满足关系：1100216,041007A BA A BA A -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭且,求矩阵B .五（本题满分10分）设方阵A 满足220A A E --=(其中E 是单位矩阵)，求11,(2)A A E --+.六（本题满分12分）已知向量组A ：11412α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，22131α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，31541α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，43670α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，（1）求向量组A 的秩；（2）求向量组A 的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表示.七（本题满分14分）设矩阵11111A ααββ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵000010002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，（1）求,αβ；（2）求正交矩阵P ,使1P AP B -=.八（本题满分14分）设有线性方程组为23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩（1）证明：若1a ，2a ，3a ，4a 两两不等，则此方程组无解.（2）设13a a k ==，24a a k ==-（0k ≠），且已知1β，2β是该方程组的两个解，其中1(1, 1, 1)T β=-，2(1, 1, 1)T β=-，写出此方程组的通解.参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、-2 08 6⎛⎫ ⎪⎝⎭；2、1P AP B -=；3、()(,)R A R A b n ==；4、513153333-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭；5、43二、选择题（每小题3分，共15分）BADCC三（本题满分10分，见教材P44习题第5题）解：后面1n -列都加到第1列，得(1)(1)(1)n x n a a a x n ax aD x n a a x+-+-=+-xaa x a a a n x a n x c111])1([])1([1-+===-+÷])1([)(0101001])1([1)()()(1223a n x a x ax ax a n x n c a c c a c c a c nn -+-=---+====--+-+-+.四、（本题满分10分，与典型题解P172例6类似）解：111121166()6416327161B A E ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.五、（本题满分10分，见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例7）解：212022A E A EA A E A E A -----=⇒=⇒=.22212112()202(2)()(4A E A A E A E A A E A A ------=⇒+=⇒+===）或34E A-六、（本题满分12分，见教材P89习题3第2题，或典型题解P178例6）解：1213101141560112134700002110000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，12()2,,R A αα=为所求的一个最大线性无关组，且312412,2αααααα=-+=-+.七、（本题满分14分，见典型题解P190例14）解：（1）由,A B 相似知，,A B 有相同的特征值，而B 的特征值为0,1，2，故得A 的特征值为1230,1,2λλλ===，从而有0010E A E A ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩，由此解得0α=，β=0.（2）对于10λ=，解()00E A X ⋅-=，得特征向量101-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，单位化得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210211p ；对于21λ=，解()0E A X -=，得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101p ；对于32λ=，解()20E A X -=，得特征向量为101⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，单位化得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p 令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，则P 为正交阵，且使1P AP B -=.八、（本题满分14分，见教材P87例3.13）解：（1）增广矩阵B 的行列式是4阶范德蒙行列式：231112322223143332344411||()11ji i j a a a a a a B aa a a a a aa≤<≤==-∏由于1a ，2a ，3a ，4a 两两不等，知||0B ≠，从而()4R B =，但系数矩阵A 的秩()3R A ≤，故()()R A R B ≠，因此方程组无解.（2）13a a k ==，24a a k ==-（0k ≠）时，方程组变为23123231232312323123x kx k x k x kx k x k x kx k x k x kx k x k⎧++=⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-+=-⎩即2312323123x kx k x k x kx k x k⎧++=⎨-+=-⎩因为1201kk k=-≠-，故()()2R A R B ==，所以方程组有解，且对应的齐次方程组的基础解系含3-2=1个解向量，又1β，2β是原非齐次方程组的两个解，故21(2, 0, 2)T ξββ=-=-是对应齐次方程组的解；由于0ξ≠，故ξ是它的基础解系。

线性代数试卷及答案卷A

河南工业大学成教学院课程线性代数试卷专业班级：卷A姓名：学号：注：（1）不得在密封线以下书写班级、姓名。

（2）必须在密封线以下答题，不得另外加纸。

………………………………………密封线 ………………………………………………………一 .单项选择题（每题3分）1.若 111221226a a a a =，则 121122212020021a a a a -- 的值为（ A ）（A ）12 (B) –12 (C) 18 (D) 02.设A 、B 都是n 阶矩阵，且AB=0,则下列一定成立的是（ C ）（A ）A=0或B=0 (B) A 、B 都不可逆（C ）A 、B 中至少有一个不可逆（D ）A+B=03. 若齐次线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则（ B ）(A) 4k =或1K =- (B) K= 4－或K=1(C) 4K ≠且1K ≠- (D) 4K ≠-且1k ≠4. A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则AB 的伴随矩阵()*AB =( D )(A) A B ** (B) 11||AB A B -- (C) 11B A -- (D) B A **5.设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（D ）（A ）r n = （B ） r n ≥ （C ） r n > （D ）r n <二 .填空题（每题3分）1．行列式 12342345_______32005000= 1602．若n n ⨯阶矩阵A 的行列式|A|＝3，A *是A 的伴随矩阵，则A *__3^n-1____3. A 为n n ⨯阶矩阵，且2320A A E -+=,则1A -=______4. n1100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦___1__(n 为正整数)5. 设1101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 则1(2A)________=－三．计算题（共63分）1. 计算行列式12n12n 12nb a a a a b a a a a b a ＋＋＋(12分)解：r2-r1、r3=r1、...ri-r1、...rn-r1D=|b+a1 a2 a3 ....................... an|-b b 0 0-b 0 b 0.............................-b 0 0 .......................... bc1+c2+c3+...+cj+...+cn=|b+a1+a2+...+an a2 ............... an|0 b ................. 0 ......................................0 0 .................... b=(b+Σai)*[b^(n-1)]=b^n+[b^(n-1)]*(a1+a2+...+an)2．3411231100250013A⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求1A-（12分）3 41 12 5解：令B= ，C= ，D= ，则原矩阵可以写为分块2 3 -1 1 1 3B C B ^-1 -B ^-1CD^-1 矩阵的形式A= ，它的逆矩阵易得为A^-1=0 D 0 D ^-1而利用伴随矩阵与逆矩阵的关系可以直接得到3 -4 3 -4B^-1=1/ B B *=1×=-2 3 -2 32 -53 -5D^-1=1/ D D *=1×=-1 3 -1 2-15 38计算可得-B^-1CD^-1=11 -283 -4 -22 37-2 3 16 -27所以A^-1= 0 0 3 -50 0 -1 23.求解齐次线性方程组1234123412342202220430x x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩.（15分）解：基础解系为：1 2 2 1 2 2 1 0 -2 -5/32 1 -2 -2 -3 -6 -4 1 2 4/3 1 -1 -4 -3 0 0 0 0 0 0通解为：X12k1+5/3k2 2 5/3X=k1ξ1+ k2ξ2= X2 = -2k1-4/3k2 =k1 -2 +k2 -4/3X3 k1 1 0X4 k2 0 14.设211210111A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,311342B⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦求解矩阵方程XA B=（12分）解:5. 计算矩阵3112322140511135524aA⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩为3，求a (12分)解：r4-r2,r1-r3,r2-2r30 1 1 a-1 -20 2 1 -1 -61 0 1 1 50 1 2 4 0r1-r4,r2-2r40 0 -1 a-5 -20 0 -3 -9 -61 0 1 1 50 1 2 4 0r3*(-1/3), r1+r20 0 0 a-2 00 0 1 3 21 0 1 1 50 1 2 4 0交换行1 0 1 1 50 1 2 4 00 0 1 3 20 0 0 a-2 0因为 r(A)=3, 所以 a = 2.四.证明题（7分）设32=,证明5A E+可逆，并求1A E+（7分）A E-(5)解：（A+5E）【1/127（A^2-5A+25E）】=1/127（A+5E）（A^2-5A+25E）=1/127（A^3+5A^2-5A^2-25A+25A+125E）=1/127（A^3+125E）由于A^3=2E，所以1/127（A^3+125E）=1/127（127E）=E，所以（A+5E）可逆，且（A+5E）^-1=1/127（A^2-5A+25E）。

(完整版)线性代数试题套卷及答案

（线性代数）（ A 卷）专业年级：学号：姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的n m A ⨯0=Ax )(A A T(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件；(D) 无关条件。

2．已知为四维列向量组，且行列式，32121,,,,αααββ4,,,1321-==βαααA ，则行列式1,,,2321-==βαααB =+B A (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。

4016-3-40-3．设向量组线性无关，且可由向量组线s ααα，，， 21)2(≥s s βββ，，， 21性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组线性无关；s βββ，，， 21(B) 对任一个，向量组线性相关；j αs j ββα，，， 2(C) 存在一个，向量组线性无关；j αs j ββα，，， 2(D) 向量组与向量组等价。

s ααα，，， 21s βββ，，， 214．对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是n 0=Ax (A) 若的列向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (B) 若的行向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (C) 若的列向量组线性相关，则有非零解；A 0=Ax (D) 若的行向量组线性相关，则有非零解。

A 0=Ax 5．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则A n )2(>n *A A 题号一二三总分总分人复分人得分得分评卷人√√(A) ；(B) ；A A A 11||)(-*-=A A A ||)(1=*-(C) ；(D) 。

111||)(--*-=A A A 11||)(-*-=A A A 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。

(完整版)线性代数试题套卷及答案

错选、多选或未选均无分。

1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。

2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。

3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。

4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。

5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝，a ＝，b ＝。

线性代数A模拟卷

.
1
1
，
1
1 1 0
x1 2x2 1x3 1 3. 设ξ 1=(2,0,-1)T, ξ 2=(1,0,0)T为线性方程组 2x1 x2 2x3 2
ax1 bx2 cx3 5
的两个解向量，则方程的通解为
.
4. 向量组α 1=(1,2,-3)T, α 2=(-2,1, 0)T, α 3=(0,5,-6)T,线性

(2 )x1 2x2 2x3 1 2x1 (5 )x2 4x3 2
2x1 4x2 (5 )x3 1
六、（18分）设二次型f=2x12+3x22+3x32+4x2x3. 1.写出f的矩阵； 2.求A的特征值与特征向量； 3.用正交变换X=QY将f化为标准形，并写出正交矩阵Q.
(B) α 1一定不可由α 2,α 3,…，α s线性表示；
(C) 其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示.
5.n阶方阵A与对角阵相似，则（
）.
(A)A有n个不同的特征值；(B) A有n个相同的特征值；(C) A有n
个线性无关的特征向量.
三、（14分）设n维向+2ααT,其中E 为n阶单位矩阵，求AB,A-1,B-1,并写出A-1与B-1的具体形式.
5.设α 1=(1,-2,5)T, α 2=(-2,4,-10)T,则（
）.
(A)(α 1,α 2)=-60；(B) α 1 与α 2正交；(C) α 1,α 2线性相关.
三、（10分）求非齐次线性方程组
4
2x1 x1
2
x2 x2

x3 x4 2x3 x
1 4 2

线性代数A及答案

2005学年第2学期线性代数期末考试试卷（ A 卷）一. 填空题 (本题共有10个小题, 每小题3分)1. 设305021311121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则矩阵A 的秩()r A =__________. 2. 设A 为3阶方阵，行列式2A =,则3A =________.3. 设矩阵20003101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与400020002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，则x =_________. 4. 设A 是n 阶方阵且240A A E +-=, 则()1A E --=_________.5.()222,,2332f x y z x y z ayz =+++是正定二次型，则a 的取值范围是______.6. 若向量()1,2,0与(),,0x y 线性无关，则x 与y 的关系应为__________.7. 向量[]1,4,0,2T∂=与[]2,2,1,3Tβ=-的距离和内积分别为_________和___________.8. 设10246311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则a =___________.9. 设0是矩阵10102010A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值，则a =___________. 10. 在MA TLAB 软件中，det(A ) 表示求__________.二. 选择题（本题共有5个小题, 每个小题都给出代号 (A), (B), (C), (D) 的四个结论, 其中只有一个结论是正确的。

每小题3分。

）1. 设A 是n 阶方阵，则下列4个式子中表明A 是正交矩阵的式子为（）(A) 1AA E -=(B) AA E = (C) 1TA A -=(D) 1A =±2. 已知,A B ,C 为n 阶方阵，则下列性质不正确的是（）(A) AB BA = (B) ()()AB C A BC =(C)()A B C AC BC +=+(D) ()C A B CA CB +=+3. 已知方程组Ax b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是（）(A) 若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解。

《线性代数》2018-2019学年第一学期期末考试A卷

河海大学2018-2019学年第一学期期末考试《线性代数》试题（A）卷姓名：_______班级：_______学号：_______成绩：_______一、填空题(每空4分，共20分)1、已知A 为3阶方阵，且2A =-，则2A -=。

2、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 322-+=，则B 的特征值为。

3、设A 为n 阶方阵，满足2A A E -=，则1A -=。

4、设12,ξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的两个解，且A 的秩()R A 1=-n ，则Ax b =的通解x =。

5、二次型xz z y xy x f 44642222+--+-=的秩为，正定性为。

二、判断题（每小题2分，共10分）1、B A ,为n 阶方阵则BA AB =（）2、设A 为)n m (n m <⨯矩阵，则b Ax =有无穷多解。

（）3、向量组1A 是向量组A 的一部分，向量组1A 线性无关，则向量组A 一定线性相关；（）4、设21,λλ是方阵A 的特征值，则21λλ+也是方阵A 的特征值。

（）5、4个3维向量一定线性相关。

（）三、计算：(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1111201212112101---=D ，求4131211122A A A A +++.2、已知111121113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试判断A 是否可逆。

若可逆，求1-A ，若不可逆，求A 的伴随矩阵A *四、计算：(每小题10分，共20分)1、求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=--+-=++-034220222402024321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解。

2、已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=---=++a z y x z y x z y x 223320有解，求a ，并求全部解。

五、(10分)判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1210,1012,0212,11014321αααα的线性相关性，并求它的一个最大无关组，并用最大无关组表示该组中其它向量。

线性代数试题A

线性代数试题一、单项选择题1． n 阶方阵A 与对角阵相似的充要条件是 ( ).(A) A 是实对称阵; (B) A 有n 个互异特征值; (C) A 有n 个线性无关的特征向量; (D) A 的特征向量两两正交. 2．二次型2221231213231002f x x x x x x x x x =+++-+是 ( ). (A) 正定的; (B) 负定的; (C) 半正定的; (D) 不定的. 3．n 阶方阵A 满足20A =，E 是n 阶单位阵，则 ( ).(A) 0E A -≠，但0E A +=; (B) 0E A -=，但0E A +≠; (C) 0E A -=，且0E A +=; (D) 0E A -≠，且0E A +≠.4．设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为( ). A ．2;B ．3;C ．1;D ． 4.5．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（） A. 133221αααααα---,,. B. 133221αααααα+++,,. C. 133221222αααααα---,,. D. 133221222αααααα+++,,.6．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B （）A. 合同且相似；B. 合同但不相似；C. 不合同但相似;D. 既不合同又不相似. 7．设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（）A. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010;B. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010;C. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010;D. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110. 8．设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，若1=A ，则B =（）.A ．0;B ．1;C ．2;D ．3.9.n 阶矩阵M 的秩r n =的充分必要条件是M 中（）.A. 有一个r 阶子式不等于零;B.所有的r 阶子式都不等于零;C. 所有的1r +阶子式都不等于零;D. 有一个r 阶子式不等于零, 且所有1r +阶子式都等于零. 10. 如果0λ是n 阶矩阵A 的特征值, 那么必有（）.A. 00A E λ-=;B. 00A E λ-≠;C. 00A E λ-=;D. 00A E λ-≠.得分评卷人二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

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