作业7

作业7 随机变量函数的分布
一、 设随机变量X 的分布律为
分别求Y =2X ,Z =3X +1，W =︱X ︱-1的分布律。

二、 设随机变量X 的分布律为
求Y =2X 的分布律。

三、
设随机变量X 的密度函数为2,01
()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他
分别求随机变量
2,2,+1Y X Z X W X ===-的密度函数。

解：0x >时，2
Y X
=反函数为X =
0x ≤时，2Y X =反函数
为X =有公式
知
'
()(())|y |(Y X X X f y f h y h f f ==+（）=1，1,()0,1Y y o
f y y >⎧∴=⎨
≤⎩
由公式得()(())|'()|,022
Z X z
f z f h z h z z ==<<
四、
设随机变量X 在（0,1）服从均匀分布，1.求Y =e X 的概率密度；2.求Y =-2
㏑x 的概率密度。

2
2
e ()ln 1
,1()0,()e
1e ,0
()2
0,0X Y y y
Y Y h y y y e
y
y h y y f y y --==⎧<<⎪=⎨⎪⎩
=⎧≥⎪=⎨⎪<⎩
解：（1）为单调函数，且反函数则f 其他（2）Y=-2lnX 为单调函数，且反函数
五、 设随机变量X 的密度函数为2
a
()1f x x
=
+，-∞＜X ＜+∞，试求：1.常数a 的值； 2.arctan Y x =的密度函数； 3.Z =2X 的密度函数。

解:1、由归一性：2a 11dx x +∞
-∞
=+⎰，得1a π
= 2、arctan Y x =在22
ππ
（-，）上严格单调，由公式的
2
21
11()(())|'()|sec 1(tan )Y X f y f h y h y y y ππ
==
=+
所以1,()220,Y Y f Y π
ππ
⎧-<<
⎪=⎨⎪⎩其他
3、2Z X =
的反函数
12||(||0h ()h ()()0,Z
Z Z f f z z z f z ⎧
+=>⎪===⎨
⎪⎩
其他
六、 设随机变量X 的概率密度为22,0()0,x
x f x π
π⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他
，求sin Y x =的概率密
度。

{}{}{
}y y arcsin 2
2
arcsin 0,1()0
()sin arcsin arcsin 222
arcsin 1()0,y
y
Y y F y F y P x y P x y P x y x
x
dx dx y
y f y π
ππππ
π
π
-≤≤>=≤=<=<+>-=+=<<=⎩
⎰
⎰解：在（0，）上，0<y 1,则当y 时，当0<y 1时，故其他
七、
设电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9安～11安之间，若此电流通
过2欧的电阻，在其上消耗的功率22W I =，求W 的概率密度。

解
2
()2W g I
I ==在（9,11）上有g '()I >且反函
数
()h W =
1
2
'()h W -=,
由公式的1
2,[162,242]()0,W x x f x -⎧∈=⎩
其他
八、
设随机变量X 在区间[-1,2]服从均匀分布，随机变量1>0001<0Y X X ⎧⎪
==⎨⎪-⎩
，X ，，
试求随机变量Y 的分布律。

解：
200121
(X>0)=()(0)()33P f x dx P X f x dx -=<==
⎰⎰，。