运筹学 第八章 图论 - 全

V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5}， E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7, e8}， v2 e2
e1 v1 e4 e3 v3
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj 是边e的端点，反之称边e为点vi或vj 的关联边。若点vi、vj与同一条边关
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图与网络的基本知识
链，圈，连通图 定义8 无向图中一个点、边交错的序列，序列中的第一个 和最后一个元素都是点，若其中每条边以序列中位于它之前 和之后的点为端点，则称这个点边序列为图中连接其第一个 点与最后一个点的称为链。 链中所含的边数称为链长。
{v0 , e1 , v1 ,L , ek , vk }
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最短路问题
如何用最短的线路将三部电话连起来？ 此问题可抽象为设△ABC为等边三角形，连接三顶点的路 线（称为网络）。这种网络有许多个，其中最短路线者显然 是二边之和（如AB∪AC）。
A
B
C
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最短路问题
但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网络的最短路 线为PA＋PB＋PC。最短新路径之长N比原来只连三点的最 短路径O要短。这样得到的网络不仅比原来节省材料，而且 稳定性也更好。 A
个生成子图(支撑子图)。
e4 v2 e5 e6 e8 v3 v2
v1 e2 e4
v4
（G图）
v5
e7
v4
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(a)
v5
v4
(b)
v5
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图与网络的基本知识
网络（赋权图）
设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应赋予数量指标 wij，wij称为边(vi,vj)的权,赋予权的图G称为网络(或赋权图）。 权可以代表距离、费用、通过能力(容量)等等。 端点无序的赋权图称为无向网络，端点有序的赋权图称为有 向网络。 ② 15 ⑤ 7 14 9 ④ 10 ① 6 19 ⑥ 20 25 ③ 2017/7/13
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图与网络的基本知识
有向图 无向图
道路
回路
链
圈
道路(边的方向一致)
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图与网络的基本知识
连通图
定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相连，则称此图为 连通图。任何一个不连通图总可以分为若干个连通子图，每 一个称为原图的一个分图（连通分支）。
连通图
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u2
u1
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最短路问题
求最短路有两种算法:
狄克斯特(Dijkstra)标号算法
逐次逼近算法
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最短路问题
狄克斯特(Dijkstra)标号算法的基本思路： 若序列{ vs,v1…..vn-1,vn }是从vs到vt间的最短路，则序列 { vs,v1…..vn-1 } 必为从vs 到vn-1的最短路。 假定v1→v2 →v3 →v4是v1 →v4的最短路，则v1 →v2 →v3一定是v1 →v3的最短路，v2 →v3 →v4也一定是v2 →v4 的最短路。 v4 v
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最小生成树
最小生成树（最小树）：
定义：在给定连通赋权图中，求G的生成树，使各边权的总 和最小的问题称为最小树问题。 许多网络问题都可归结为最小树问题，如设计长度最 小的公路网把若干城市联通；设计用料最省的电话线网把
有关单位联系起来。
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最小生成树
求最小生成树的方法：
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图与网络的基本知识
子图，生成子图(支撑子图) 图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果有
V1 V2 和E1 E 2 称G1是G2的一个子图。 若有 V1＝V2，E1 E 2 ，则称G1是G2的一
v2 e5 e6 e3 v3 e6 e8 e7 e8 e2 e1 v1 e4 e3 v3
3 v5 4
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v4
v3
v4
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最小生成树
例１、今要在七个城市之间修筑一个公路网，每个城市之间 的公路修筑费用就是各条边上的权，试求总修筑费用最小的 公路网。
v7
8 10
3 v5 2 4 5 v6 6
v4 6 4
7 v3 5
v7
3 v5 2
v4 v3
4 3
v6
3 v1
4
5 v2
v2 v1
无向图
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有向图
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图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图 如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间边多于一条，称为多重边，如右
v2 e5
多重边
e2
e1 v1
环
e3 v3
e4
图中的e4和e5，对无环、无多重边的
图称作简单图。含多重边的图称为多 重图。
边，对余下的图重复这个步骤，直至无圈为止。
２、避圈法：每次增加一条边，且与已有边不构成圈，直至恰 有n-1条边为止。
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树
例１、下图是某建筑物的平面图，要求在其内部从每一房间都能走到 别的所有的房间，问至少要在墙上开多少门？ 试给出一个开门的方案。
三
七
三 八 一 四 二 五
七 八 九 六
非连通图
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欧拉回路
定义11 连通图G中，若存在一条道路，经过每边一次且仅 一次，则称这条道路为欧拉道路。若存在一条回路经过每边 一次也仅一次，则称这条回路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图（E图）。 定理3 无向连通图G是 欧拉图，当且仅当G中 无奇点
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树
树 定义12 无圈的连通图称为树。 树的性质 （1）树枝数等于顶点数减1； （2）树的任意两个顶点之间有且仅有一条初级链。 （3）去掉树的任一树枝，便得到一个非连通图； （4）在树中任意两个顶点间添上一条边，恰好得到一 个圈。 （5）任何树中都存在悬挂点。
(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c) 时即可看出。
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图与网络的基本知识
次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点vi相关联的边的数目称为 点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。 右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次 为奇数的点称作奇点，次为偶数的
B
一 笔 D 画 问 题
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图与网络的基本知识
环球旅行问题：
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图与网络的基本知识
环球旅行问题的解
另一个著名的问题: 中国邮路问题
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图与网络的基本知识
图论中图是由点和边构成。 一般情况下图中点的相对位臵如何、点与点之间连线的长短 曲直并不是重要的。 图的定义：
用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则 图G可以定义为点(顶点)和边的集合，记作：
例6.4 渡河游戏 一老汉带了一只狼、一只羊、一棵白菜想要从南岸过河 到北岸，河上只有一条独木舟，每次除了人以外，只能带一 样东西；另外，如果人不在，狼就要吃羊，羊就要吃白菜， 问应该怎样安排渡河，才能做到既把所有东西都运过河去， 并且在河上来回次数最少？这个问题就可以用求最短路方法 解决。
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e6
e7
e8
v4
v5
简单图
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多重图
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图与网络的基本知识
完全图
每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为无向完全图； 有向完全图是指每一对顶点间有且仅有一条有向边的简单 图。
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图与网络的基本知识
二部图（偶图） 图G=(V,E)的点集V可以分为两个非空子集X，Y，集 X∪Y=V,X∩Y=Ø,使得同一集合中任意两个顶点均不 相邻，称这样的图为二部图（偶图）。 v1 v3 v5 (a) v2 v4 v6 v2 (b) v4 v4 (c) v3 v1 v3 v1 v2
v2 e5 e6 e1
e2
v1
e4
e3
v3
e8
e7
点称作偶点，次为1的点称为悬挂点，
次为0的点称作孤立点。
v4 v5
图的次: 一个图的次等于各点的次之和。
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图与网络的基本知识
d(v1)=4
e1 偶点 悬挂点
d(v2)=3
e2
v2 e5 奇点
v1 e3 e4 e6 v3
v4
悬挂边
v5
孤立点
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图与网络的基本知识
图中顶点次的性质 定理1 任何图中顶点次数的总和等于边数的2倍。 定理2 任何图中次为奇数的顶点必有偶数个。 定义6 在有向图中，以顶点v为始点的边数称为顶点v的 出次，记为d+(v)；以v为终点的边数称为v的入次，记为 d-(v)。顶点v的出次与入次的和称为点v的次。
(v7)陈
(v6)吴
e2
(v1) e1 e4 e3 赵 (v2)钱 孙(v3) 李(v4) 周(v5) e5 吴(v6) 陈(v7)
可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
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图与网络的基本知识
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它所连
接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
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树
图的生成树（支撑树）：
设图T （V, E）是图G （V, E）的生成子图，如果 T （V, E）是树，则称T为G的生成树。
v1 v6 v5
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v2
v1
v2 v3
v3 v6
v4 v5 v4
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树
定理2： 图G有生成树的充要条件是图G是连通图。
寻找生成树的方法： １、破圈法：在连通图Ｇ中任取一个圈，去掉圈上的任意一条
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最短路问题
定义： 1）人—M（Man），狼—W（Wolf）， 羊—G（Goat）， 白菜—C（Cabbage ） 2） 点—— vi 表示河岸的状态 3） 边—— ek 表示由状态 vi 经一次渡河到状态 vj
4） 权——边 ek 上的权定为 1
我们可以得到下面的加权有向图
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e6
e5
e7 e8
v4
v5
联，称点vi和vj相邻；若边ei和ej具
有公共的端点，称边ei和ej相邻。
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边数：m(G)=|E|=m 顶点数：n(G)=|V|=n
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图与网络的基本知识
无向图,有向图 无向边与无向图：若图中任一条边的端点无序，即(vi, vj) 与(vj, vi)是同一条边，则称它为无向边，此时图称为无向 图。 有向图：若图中边(vi, vj)的端点是有序的，则称它是有向 边（或弧），vi与vj分别称为这条有向边的始点和终点，相 应的图称为有向图。
1、破圈法(管梅谷算法) ： （１）先从图G任取一个圈，并从圈中去掉一条权最大的边。 若在同一圈中有几条都是权最大边，则任选其中一边去掉。 （２）在余下的子圈中，重复上述步骤，直至没有圈止。 2、避圈法(Kruskal算法) ：（了解）
v1 v1
2
v2 2 6 v3 5 4 4
3
v5 4 v2 2
2
最短路问题
状态说明： v1,u1 =( M,W,G,C ); v2,u2 =(M,W,G); v3,u3 =(M,W,C); v4,u4=(M,G,C); v5,u5 =(M,G) 此游戏转化为在下面的图中求从 v1 到 u1 的最短路问题。
v1 v2 v3 v4 v5
u5
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u4
u3
P
B
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C
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最短路问题
问题描述： 就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两点之间 距离最短的一条路 . 有些问题，如选址、管道铺设时的选线、设备更新、投 资、某些整数规划和动态规划的问题，也可以归结为求最短 路的问题。因此这类问题在生产实际中得到广泛应用。
2017/7/13
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最短路问题
图与网络分析
本章主要内容： 图与网络的基本知识
树与最小生成树
最短路问题
最大流问题
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图与网络的基本知识
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A
C
A
D
C
B
问题：一个散步者能否从任一 块陆地出发，走过七座桥，且 每座桥只走过一次，最后回到 出发点？ 结论：不能。每个结点关联的 边数要均为偶数。 2017/7/13
简单链：没有重复边；初等 链：既无重复边也无重复点。 对有向图可类似定义链，如 果各边方向一致，则称为道 路。
17Fra Baidu bibliotek
链，但只是简单链 而非初等链 2017/7/13
图与网络的基本知识
链，圈，连通图 定义9 若在无向图中，一条链的第一个点与最后一个点重 合，则称这条链为圈。只有重复点而无重复边的圈为简单圈， 既无重复点又无重复边的圈为初等圈。 简单圈 非简单的圈
一
四
六
二 五
三 一 四 二 五
2017/7/13
九
七 六 八 九
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最小生成树
赋权图：
与点或边有关的某些数量指标，通常称之为“权”。 定义：图G中,如果每条边(弧) (vi,vj)都被赋予一个权数wij, 则称G为赋权图. 权可以表示为：距离、费用、通过能力（数量）等。 与无向图和有向图相对应，赋权图可分为无向赋权图和 有向赋权图。
G {V , E }
其中: V——点集 E——边集
※ 区别于几何学中的图。只关心图中有多少个点以及哪些 点之间有连线。
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图与网络的基本知识
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来 表示。
(v1) 赵 e1
(v2)钱 e2
(v3)孙
e4 (v4) 李
e3
(v5) 周 e5