运筹学图论
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运筹学课件：第7章 图论与网络分析-第1,2节
v1
v2 a
v3
v4 c
b v1
a
v2
b
v3
d
d
v4
c
第2节 最小树问题
一、树及其性质 定义1： 无圈的连通图称为树。树一般用T表示。
定理1： 任给树T=（V，E），若P（T）≥2，则 T中至少有两个悬挂点。
证明：设µ=（v1，v2，…，vk）是G中含边数最多的 一条初等链，因P（T）≥2，并且T是连通的， 故链µ中至少有一条边，从而v1与vk是不同的 。
不少数学家都尝试去解析这个事例。而这些解析，最 后发展成为了数学中的图论。
例：中国邮路问题 一个邮递员送信，要走完他所负责的全部街道分送
信件，最后返回邮局。邮递员都会本能地以尽可能少的 行程完成送信任务。
问题：他如何走？
点：路口； 边：两路口之间道路，第i条道路长ei。
问题：求一个圈，过每边至少一次，并使圈长度最短。
由于T是树，由定义知T连通且无圈。只须证明m=n-1。
归纳法： 当n=2时，由于T是树，所以两点间显然有且 仅有一条边，满足m=n-1。
假设 n=k-1时命题成立，即有k-1个顶点时,T有k-2条边。
当n=k时，因为T连通无圈，k个顶点中至少有一个点次 为1。设此点为u，即u为悬挂点，设连接点u的悬挂边 为[v，u]，从T中去掉[v，u]边及点u ，不会影响T的连 通性，得图T’，T’为有k-1个顶点的树，所以T’有k-2条 边，再把（ v，u）、点u加上去，可知当T有k个顶点 时有k-1条边。
4
2
v4
94
v2
3
v3 8
0 9 2 4 7 9 0 3 4 0 其权矩阵为： A 2 3 0 8 5 4 4 8 0 6 7 0 5 6 0
运筹学-图论
以可允许的10个状态向量作为顶点，将可能互相转移的状态用线段连接起 来构成一个图。
根据此图便可找到渡河方法。
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
简单链：(v1 , v2 , v3 , v4 ,v5 , v3 )
v2
简单圈： (v4 , v1 , v2 , v3 , v5 , v7 , v6 ,v3 , v4 )
v6
v4
v5
v3
v7
连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称为不连通 图。
v1 v5
v1
v6
v2
v2
v4
v3
v5
v4
v3
连通图
以后除特别声明，均指初等链和初等圈。
不连通图
有向图：关联边有方向 弧：有向图的边 a=(u ,v),起点u ,终点v； 路：若有从 u 到 v 不考虑方向的链,且 各方向一致,则称之为从u到v 的 路； 初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:u = v 的初等路; 连通图： 若不考虑方向是
无向连通图; 强连通图：任两点有路;
端点的度 d(v)：点 v 作为端点的边的个数 奇点：d(v)=奇数；
偶点：d(v) = 偶数； 悬挂点：d(v)=1； 悬挂边：与悬挂点连接的边； 孤立点：d(v)=0； 空图：E = ，无边图
v1
v3
v5 v6
v2
v4
图 5.7
v5
v4
V={v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ,v6 , v7 }
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称为闭链或 回路或圈；
根据此图便可找到渡河方法。
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
简单链：(v1 , v2 , v3 , v4 ,v5 , v3 )
v2
简单圈： (v4 , v1 , v2 , v3 , v5 , v7 , v6 ,v3 , v4 )
v6
v4
v5
v3
v7
连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称为不连通 图。
v1 v5
v1
v6
v2
v2
v4
v3
v5
v4
v3
连通图
以后除特别声明，均指初等链和初等圈。
不连通图
有向图：关联边有方向 弧：有向图的边 a=(u ,v),起点u ,终点v； 路：若有从 u 到 v 不考虑方向的链,且 各方向一致,则称之为从u到v 的 路； 初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:u = v 的初等路; 连通图： 若不考虑方向是
无向连通图; 强连通图：任两点有路;
端点的度 d(v)：点 v 作为端点的边的个数 奇点：d(v)=奇数；
偶点：d(v) = 偶数； 悬挂点：d(v)=1； 悬挂边：与悬挂点连接的边； 孤立点：d(v)=0； 空图：E = ，无边图
v1
v3
v5 v6
v2
v4
图 5.7
v5
v4
V={v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ,v6 , v7 }
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称为闭链或 回路或圈；
数学建模-图论
如例2中球队胜了，可从v1引一条带箭头的连线到v2，每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出，即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
Байду номын сангаас
由图可知， v1三胜一 负， v4打了三场球， 全负等等
类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中也是常见 的，如交通运输中的“单行线”，部门之间的领导和被领导关 系，一项工程中各工序之间的先后关系等等。
B
哥尼斯堡七桥问题
从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点 A B D
建模：
C
A B D C
点——陆地 岛屿 边——桥
后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题：一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题. “四色问题”也是图论中的著名问题：地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色？1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
图论起源
图论最早处理的问题是哥尼 斯堡城的七桥问题：18世纪在哥 尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒） 有一条名叫普莱格尔（Pregel） 的河流横经其中，河上有7座桥， 将河中的两个岛和河岸连结。
C A D
城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥， 后来有人请教当时的大数学家 而每座桥只许通过一次， 欧拉,欧拉用图论的方法证明这个问 最后仍回到起始地点? 题无解,同时他提出并解决了更为一 般的问题,从而奠定了图论的基础, 欧拉也被誉为“图论之父”.
图论详细讲解
如果一个图是由点和弧所构成的，那么
称为它为有向图，记作D =(V,A)，其中V 表 示有向图D的点集合，A表示有向图D的弧集
• 1.图的基本概念与基本定理
例如.图8.4是一个无向图G=（V，E）
其中V={v1,v2,v3,v4}
E={[v1,v2],[v2,v1],[v2,v3],
[v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],
图论详细讲解
•
引言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它
已经广泛地应用于物理学控制论，信息论， 工程技术，交通运输，经济管理，电子计算 机等各项领域。对于科学研究，市场和社会 生活中的许多问题，可以同图论的理论和方 法来加以解决。例如，各种通信线路的架设 ，输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络 的合理布局等问题，都可以应用图论的方法 ，简便、快捷地加以解决。
边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环，
如图8.4中的边[v,v3]是环。如果两个端点之间
有两个端点之间有两条以上的边，那么称为它
们为多重边，如图8.4中的边[v1,v2] ,[v2,v1]
。一个无环，无多重边的图标为简单图，一个 无环，有多重边的图标图称为多重图。
• 1.图的基本概念与基本定理
• 1.图的基本概念与基本定理
综上所述，图论中的图是由点和点与点 之间的线所组成的。通常，我们把点与点之 间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫做弧 。
如果一个图是由点和边所构成的，那么
，称为为无向图，记作G =(V，E)，其中V表 示图G的点集合，E表示图G的边集合。连接 点vi,vj V的边记作[vi,vj]，或者[vj,vi]。
•
引言
•C
•A
•B
•D
•图8.1 b
称为它为有向图，记作D =(V,A)，其中V 表 示有向图D的点集合，A表示有向图D的弧集
• 1.图的基本概念与基本定理
例如.图8.4是一个无向图G=（V，E）
其中V={v1,v2,v3,v4}
E={[v1,v2],[v2,v1],[v2,v3],
[v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],
图论详细讲解
•
引言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它
已经广泛地应用于物理学控制论，信息论， 工程技术，交通运输，经济管理，电子计算 机等各项领域。对于科学研究，市场和社会 生活中的许多问题，可以同图论的理论和方 法来加以解决。例如，各种通信线路的架设 ，输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络 的合理布局等问题，都可以应用图论的方法 ，简便、快捷地加以解决。
边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环，
如图8.4中的边[v,v3]是环。如果两个端点之间
有两个端点之间有两条以上的边，那么称为它
们为多重边，如图8.4中的边[v1,v2] ,[v2,v1]
。一个无环，无多重边的图标为简单图，一个 无环，有多重边的图标图称为多重图。
• 1.图的基本概念与基本定理
• 1.图的基本概念与基本定理
综上所述，图论中的图是由点和点与点 之间的线所组成的。通常，我们把点与点之 间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫做弧 。
如果一个图是由点和边所构成的，那么
，称为为无向图，记作G =(V，E)，其中V表 示图G的点集合，E表示图G的边集合。连接 点vi,vj V的边记作[vi,vj]，或者[vj,vi]。
•
引言
•C
•A
•B
•D
•图8.1 b
运筹学理论：图论
5②
5
⑥4
3
③8
1 2
2 4
1 2
⑥4
0①
3
4
0①
3
7
4
6
⑤10
7
7
4
6
⑤10
3④ 7
3④
例
5②
5 2 3
题 ：
③6
5②
5 2
⑥4
3
③6
1 2
1 2
⑥4
0①
3
4
0①
3
4
7
4
7
6
⑤10
7
7
4
⑤9
6
3④
3④
例
5②
5 2 4 3
题 ：
③6
5②
5 2
⑥4
3
③6
1 2
1 2
⑥4
0①
3
0①
3
4
7
7
4
6
⑤7
7
例
①
题：
①
1
②
11
2 7 5
⑥
③ ② ④ ③ ⑤
3
6 9 ④ 10 4
⑥
8
⑤
破 圈 法（山东师院管梅谷75 Nhomakorabea）首先，把有权图的边按权的递减顺 序排列：a1, a2, …… , an。 再检查a1, 如果去掉a1, 图仍是连通 图, 则去掉a1, 否则令a1= e1,再用 同样方法检查a2 … 如此继续下去, 直到找出有n-1条边的连通图为止
A
D
例如：哥尼斯堡七桥图： d(A)=3 d(B)=3 C d(C)=5 d(D)=3
B
(四) 特殊点:
图论在运筹学中的名词解释
图论在运筹学中的名词解释一、引言运筹学是一门研究复杂问题的学科，它借助各种数学方法和技术，帮助我们做出最佳的决策。
图论作为运筹学的重要工具之一，被广泛应用于解决各类实际问题。
本文将就图论在运筹学中的几个重要名词进行解释和探讨。
二、图图是图论的核心概念之一。
它由一组顶点和连接这些顶点的边组成。
在运筹学中，图可以用来描述和分析各种现实场景。
比如，交通网络可以用图来表示，道路是边，路口是顶点；社交网络可以用图来表示，用户是顶点，社交关系是边。
通过构建和分析图，我们可以揭示事物之间的关联性和特征，并利用这些信息进行决策。
三、路径路径是图论中一个重要概念。
它指的是在图中顶点之间连接的一系列边的序列。
在运筹学中，路径常常被用来表示两个顶点之间的最佳路线或最优解。
比如，在物流配送中，我们需要找到从仓库到目的地的最短路径，以最大程度地降低运输成本和时间。
通过图论的路径算法，我们可以高效地找到这样的最短路径，为物流管理提供有效支持。
四、最小生成树最小生成树是一种特殊的图结构，它是原图的一个子图，包含了所有顶点，但只有足够的边连接这些顶点，并使得整个图的总权重最小。
在运筹学中，最小生成树常常被用于解决资源分配和网络设计等问题。
比如，在电力输送系统中，我们需要将发电站和各个消费点以最短的电网连接起来，以确保电能的高效分配和传输。
通过构建最小生成树，我们可以优化电网的布局，降低能源损耗，提高供电可靠性。
五、网络流网络流是图论中的一个重要概念，它用来描述在一个有向图中通过各个边所能承载的最大流量。
在运筹学中，网络流被广泛应用于流程设计和资源调度问题。
比如，在工厂生产调度中，我们需要在供应链上对原材料、组件和成品进行优化配送，以实现最佳生产效率和降低成本。
通过分析网络流，我们可以确定各个节点的产能和需求，从而优化生产计划和物流调度。
六、最短路径最短路径是图论中的一个重要问题，即在图中找到连接两个顶点的最短路径。
在运筹学中，最短路径经常被用于解决物流和通信等问题。
华南理工大学 运筹学 第7章 图论-2(简) 工商管理学院
节点标号—对已标号未检查的节点v1，对与其相邻 、未标号的节点v4（前向非饱和弧）进行标号。
[+vs,4]
(7,3) v1 (7,2)
[+v1,4]
v4 (9,6)
(5,1) v2
[-, ∞]
vs
(8,4)
(4,0) (7,1) (16,5) (6,4) v5
18
(10,4)
vt
(4,0)
(10,4)
[-, ∞]
vs
(10,4)
(4,0) (10,4) v3
(16,5)
(6,4) v5
22
Ford-Fulkerson标号算法示例1
（第2轮迭代） 1-搜索过程：
节点标号—对节点v4（前向非饱和弧）进行标号。
[+vs,1]
(7,6) v1 (7,5)
[+v1,1]
v4 (9,9)
(5,1) v2
图G为流量网络。
2
最大流问题示例1
Petro公司的天然气管道输送网络：vs为Petro公 司的制气厂，vt为输送目的地的储气库，其它 中间节点为流量检测和控制站。各点间的弧代 表输送管道，其权值的两个数字分别表示容量 和当前的流量。问：如何利用输送管道，可以 使从制气厂运输到目的地的天然气最多？
(1) 已标号已检查；(2)已标号未检查；(3)未标号。
检查是指从一个已取得标号、未检查的节点vi 出发，搜寻与之邻接的其它未取得标号的节点 vj ，并根据vi的标号计算得到vj的标号。
7
Ford-Fulkerson标号算法
节点vj的标号为[+vi,θj]或[−vi,θj]：
运筹学-第六章 图论1
6、图论1
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
v7
6
v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
5 7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v1
2 7
v7 v6
v3
v2 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
2
v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
v7
6
v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
5 7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v1
2 7
v7 v6
v3
v2 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
2
v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
运筹学上机试题5-图论
四、图论1、求下图中从v1到v3最短路。
v 1v 3v 546从节点 1到节点3的最短路 *************************起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 1 2 3 6此问题的解为:7 2、最小生成树电信公司要在15个城市之间铺设光缆，这些城市的位置及相互之间的铺设光缆的费用如下图所示。
试求出一个连接在15个城市的铺设方案，使得总费用最小。
v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 10v 11v 12v 13v 14v 152241131456422323135134此问题的最小生成树如下：*************************起点终点距离---- ---- ----1 4 11 2 22 5 25 8 15 6 26 3 18 7 28 9 39 12 212 11 411 10 110 13 313 14 114 15 3此问题的解为:283、最短路问题例. 求下图中从v1到各点的最短路，并指出有哪些点是不可达到的。
vv7v8v4从节点 1到节点2的最短路*************************起点终点距离---- ---- ---- 1 2 4此问题的解为:41到3没有路1到4没有路从节点 1到节点5的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1此问题的解为:1从节点 1到节点6的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 5 6 6此问题的解为:7从节点 1到节点7的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 7 3此问题的解为:3从节点 1到节点8的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 5 6 66 8 3此问题的解为:104、最短路问题有6个村庄，各村庄的距离如下图所示。
运筹学--图论 ppt课件
4
5
4 9 8
v1
v3
2
v6
[8,v2]
v8
5 33
1
[2,v1]
v4
v7
[10,v4]
33
Dijkstra算法示例1
3）迭代计算(c)—更新与永久标号节点v2相连的节 (d2+w25=3+7=)10< ∞ (=d5) 点的临时标号。
[3,v1]
v2
[0,-]
7
v5
[10,v2]
2 [+∞,v1] 6
v4
v7
[+∞,v1]
22
Dijkstra算法示例1
2）迭代计算(a)—从临时标号中找到距离上界dk最 小的节点v4，d4=min{dk}，将其变换为永久编号。
[3,v1] [+∞,v1]
v2
[0,-]
7
v5
2 [+∞,v1] 6 1 2 [+∞,v1]
3
5 2 [5,v1]
4
5
4 9 8
v1
v3
最小树问题不一定有唯一解。
10
10
最小支撑树问题的解法
破圈法 算法
初始化 将图G的边按权值从大到小的次序排列，从 原图开始迭代； 迭代
第1步(删边) 从排列中顺序选择一条与图中剩余边构成圈 的边，则将此边从图中删除，进入第2步(结束判断)； 第2步(结束判断) 若图中剩下n-1条边，则已经得到最小支 撑树；否则，进入下一轮迭代，返回第1步(加边)；
柯尼斯堡七桥问题
柯尼斯堡市区横跨普雷格尔河两岸，在河中心有两 个小岛。小岛的两岸共有七座桥将岛与岛、岛与河 岸连接起来。一个人怎样才能一次走遍七座桥，每 座桥只走过一次，并最后回到出发点？
运筹学-13图论概念及最小树
第一节 图的基本概念与模型
起点与终点相重合的链，称做圈。 起点与终点相重合的路，称做回路。 若在一个图中，每一对顶点之间至少存 在一条链，称这样的图为连通图。 否则，称该图不是连通的。
第一节 图的基本概念与模型
• 一个简单图中任意两点之间有边相连，称这样的图为完全图。
• 其边数有
Cn2
1 2
nn
树，称为该图的最小部分树（也称最小支撑树） (minimum spanning tree) • 定理1：图中任一点i，若 j是相邻点中距离最近的，则 边[i,j]一定必含在该图的最小树内。
• 推论：把图的所有点分成V和 V 两个集合，则两个集
合之间连线的最短的边一定包含在最小部分树内。
2-3 避圈法求最小部分树
图G1={V1,E1}和G2={V2,E2}，如果有V1 V2 和E1 E2 ，称 G1是G2的一个子图。 若有V1= V2 ， E1 E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
第一节 图的基本概念与模型
• 要对研究的问题确定具体对象及这些对象间的性质联系，并 用图形式表示出来，这就是对研究的问题建立图的模型，用
例：e1为环 如果两个点之间的边多于一条，则 称为具有多重边；（平行边） 例：e4和e5为多重边。 对无环，无多重边的图称为简单图；
有平行边，不是简单图
有环边，不是简单图
简单图
第一节 图的基本概念与模型
与某一个点vi相关联的边的数目称为点 的次，（也叫度或线数）记为d(vi)。 例： d(v1) = 4 d(v3) = 5 d(v5) = 1
树图。
• 说明1：树图上只要任意再加上一条边，必定 会出现圈；
• 说明2：由于树图是无圈的连通图，即树图上 任意两点之间有一条且仅有一条惟一通路。是 最脆弱的连通图。
高高等教育运筹学课程--图论(3)
3、增广链
对可行流f={fij}：
非饱和弧：fij<Cij 非零流弧：fij>0
饱和弧：fij=Cij 零流弧：fij=0
链的方向：若µ是联结vs和vt的一条链，定义链的
方向是从vs到vt。 v2
5.2
v4
10.5
3.2
11.6
v1
4.1 5.1
8.3
v3
6.3
3.3
v6
17.2
v5
前向弧：弧的方向与链的方向一致，前向弧全体记为µ+。
（1）找增广链
如vt的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt）∈µ （或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk的第一个标号，若为i（或i），则(vi,vk) ∈µ(或(vk,vi) ∈µ).再检查vi的第一个标号,依 此下去,直到vs。被找出的弧构成了增广链µ。 （2）流量调整
令调整量是 l(vt)，构造新的可行流f ’，
不难验证，
f ** ij
是一个可行流，且
V(f **) V(f *) V(f *)
这与f*是最大流的假设矛盾。 设D中不存在关于f *的增广链，证明f *是最大流。
定义V1 * ，令vs∈V1*，若vi∈V1*，且弧（vi，vj）上， fij*<Cij，则令vj∈ V1*，若vi∈V1*，且弧（vj，vi）上， fji*>0，则令vj∈ V1*。
后向弧：弧的方向与链的方向相反，后向弧全体记为µ-。
v2
10.5
v1 4.1
8.3
v3
5.2
3.2 5.1
6.3
v4
11.6
3.3
v5
v6
17.2
后向弧
运筹学基础-图论方法(1)
回路：若起始点和终点是同一个点的路称为回路。 连通图：一个图中，任意两个顶点至少存在一条链，则称这样的图 为连通图。否则称为不连通的。
图的名词和基本概念
次：与一个点相关联的边的数目称为次, 如v1 的次为2， v5的次 为3，次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点，次为0 的点称为孤立点，如v6 悬挂节点: 次为1的点称为悬挂节点: v1 e1 e 5 v3 e2 v5 e7 e4 e6 e3 v4 v6 v2
1 1
利用EXCEL求起点到终点的最短路径 利用EXCEL求起点到终点的最短路径
第三步： 第三步：定义最小路线运行方案
最小路线物运行方案
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
流入 结点流 结点流限制 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
v7
流出
100 600
3
500
600
5
400 1100
7 2
900
此为最小树杈，最小线路长度为2400 此为最小树杈，最小线路长度为2400
练习：求最小树杈 v3 5 6 v1 5 v2 2 v4 1 7 3 4 4 v6 v5
破圈法答案
v3 6 v1 5 v2 1
5 7 3
v5 4 v6 4 v4
2
避圈法答案
弧：若点与点之间的连线有方向，称为弧，由此构成的图为有向图。 环：如果边的两个端点相重，称该边为环，如e10；如果两个端点之 间的边多于一条, 称为具有多重边，如[v2, v4] ,无环，无多重边的图为 简单图。
图的名词和基本概念
v1 e4 v3 e1 v5 e5 e3 e6 e9 e2 e7 v4 e10 v2 e8 v6 e1 e5 v5 e7 e6 e3 v6 v1 e2 v2 e9 e10 e8 v7
运筹学图论
其中：
bi j
wi j 0
(vi , v j ) E (vi , v j ) E
24 2019/11/19
图的基本概念与模型
例6.3 下图所表示的图可以构造邻接矩阵M如下:
v1
v4
e9
v6
e1 v2
e2
e3
e5 e6
v3
e12
e10
v5
e11 v7
e4
e7
v8 v1
e8
v2
v3
2019/11/19
无向图
有向图 8
图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图
多重边
如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间多于一条，称为多重边，如右图 中的e4和e5，对无环、无多重边的图 称作简单图。含多重边的图称为多重 图。
e2 v2
e6
v4
e1 e4 v1 e3 e5 e7
定义6 在有向图中，以顶点v为始点的边数称为顶点v的 出次，记为d+(v)；以v为终点的边数称为v的入次，记为 d-(v)。顶点v的出次与入次的和称为点v的次。
定义7 图G=(V, E), 若E'是E的子集，若V'是V的子集，且 E'中的边仅与V'中的顶点相关联，则称G' = (V', E')为图 G的一个子图，特别地，若V' =V, 则称G'为G的一个生 成子图（支撑子图）。
1. 邻接矩阵 对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵
A=(aij) nn，其中
aij
1, 0,
(vi , v j ) E 其他
运筹学第十章 图论与网络优化
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得 边与边仅在顶点相交。下图就是一个平面图：
v1
e2
v3
非平面图
e3
e1
v2
e4 e5
e6
v4
环、多重边
端点重合为一点的边称为环。 连接同一对顶点的多条边称为多重边。
v1
e1
e3
e2
v2
e4
v3
e5
简单图
一个图称为简单图,如果它既没有环也没有多重边.
含有多重边的图称为多重图.
我们只讨论有限简单图，
v1
e2
v2
即顶点集与边集都是有限的图。
只有一个顶点的图称为平凡图； e5
e7
e3
边集是空集的图称为空图。
v4
e4
v3
完全图K n
完全图是每一对不同顶点都恰有一边的简单图； 具有 n 个顶点的完全图记为K n.
|
E(Kn )
|
Cn2
n
2
n(n 1) 2
连通性
图G称为连通的，如果G的任意两个顶点u 和 v 中存在一条(u,v)路。
一个连通图称为一个连通分支。 不连通图（分离图）至少有两个连通分支。
用w 表示G的连通分支数。 割边：删除掉这条边后图G不连通。 割点：删除掉这个点后图G不连通。 割集：删除掉连通图中的若干条必要的边后，使 得图不连通，则这些边的集合称为图的一个割集.
图论(Graph Theory)是运筹学中的一个重要分支， 主要研究具有某种二元关系的离散系统的组合结构 和性质。
随着电子计算机的蓬勃发展，图论不仅得到了迅速 发展，而且应用非常广泛。它直观清晰，使用方便， 易于掌握。
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2019/1/8 14
图与网络的基本知识
子图，生成子图(支撑子图) 图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果有
V1 V2 和E1 E 2 称G1是G2的一个子图。 若有 V1＝V2，E1 E 2 ，则称G1是G2的一
v2 e5 e6 e3 v3 e6 e8 e7 e8 e2 e1 v1 e4 e3 v3
e6
e5
e7 e8
v4
v5
联，称点vi和vj相邻；若边ei和ej具
有公共的端点，称边ei和ej相邻。
2019/1/8
边数：m(G)=|E|=m 顶点数：n(G)=|V|=n
7
图与网络的基本知识
无向图,有向图 无向边与无向图：若图中任一条边的端点无序，即(vi, vj) 与(vj, vi)是同一条边，则称它为无向边，此时图称为无向 图。 有向图：若图中边(vi, vj)的端点是有序的，则称它是有向 边（或弧），vi与vj分别称为这条有向边的始点和终点，相 应的图称为有向图。
(v1) 赵 e1
(v2)钱 e2
(v3)孙
e4 (v4) 李
e3
(v5) 周 e5
(v7)陈
Hale Waihona Puke (v6)吴e2(v1) e1 e4 e3 赵 (v2)钱 孙(v3) 李(v4) 周(v5) e5 吴(v6) 陈(v7)
可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
2019/1/8 6
图与网络的基本知识
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它所连
v2 e5 e6 e1
e2
v1
e4
e3
v3
e8
e7
点称作偶点，次为1的点称为悬挂点，
次为0的点称作孤立点。
v4 v5
图的次: 一个图的次等于各点的次之和。
2019/1/8
12
图与网络的基本知识
d(v1)=4
e1 偶点 悬挂点
d(v2)=3
e2
v2 e5 奇点
v1 e3 e4 e6 v3
v4
悬挂边
v5
e7
e8
v4
v5
简单图
2019/1/8
多重图
9
图与网络的基本知识
完全图
每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为无向完全图； 有向完全图是指每一对顶点间有且仅有一条有向边的简单 图。
完全图顶点数n与边数m间成立如下关系:
m=n(n-1)/2
2019/1/8
10
图与网络的基本知识
二部图（偶图） 图G=(V,E)的点集V可以分为两各非空子集X，Y，集 X∪Y=V,X∩Y=Ø,使得同一集合中任意两个顶点均不 相邻，称这样的图为二部图（偶图）。 v1 v3 v5 (a) v2 v4 v6 v2 (b) v4 v4 (c) v3 v1 v3 v1 v2
图与网络分析
本章主要内容： 图与网络的基本知识
最短路问题
最大流问题
2019/1/8
1
图与网络的基本知识
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A
C
A
D
C
B
问题：一个散步者能否从任一 块陆地出发，走过七座桥，且 每座桥只走过一次，最后回到 出发点？ 结论：不能。每个结点关联的 边数要均为偶数。 2019/1/8
孤立点
2019/1/8
13
图与网络的基本知识
图中顶点次的性质 定理1 任何图中顶点次数的总和等于边数的2倍。 定理2 任何图中次为奇数的顶点必有偶数个。 定义6 在有向图中，以顶点v为始点的边数称为顶点v的 出次，记为d+(v)；以v为终点的边数称为v的入次，记为 d-(v)。顶点v的出次与入次的和称为点v的次。 定义7 图G=(V, E), 若E'是E的子集，若V'是V的子集，且 E'中的边仅与V'中的顶点相关联，则称G' = (V', E')为图 G的一个子图，特别地，若V' =V, 则称G'为G的一个生 成子图（支撑子图）。
若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系， 则图G可以定义为点(顶点)和边的集合，记作：
G {V , E }
其中: V——点集 E——边集
※ 图G区别于几何学中的图。这里只关心图中有多少个点以 及哪些点之间有连线。
2019/1/8 5
图与网络的基本知识
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来 表示。
无向图
2019/1/8
有向图
8
图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图 如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间多于一条，称为多重边，如右图
v2 e5
多重边
e2
e1 v1
环
e3 v3
e4
中的e4和e5，对无环、无多重边的图
称作简单图。含多重边的图称为多重 图。
e6
接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5}， E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7, e8}， v2 e2
e1 v1 e4 e3 v3
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj 是边e的端点，反之称边e为点vi或vj 的关联边。若点vi、vj与同一条边关
个生成子图(支撑子图)。
e4 v2 e5 e6 e8 v3 v2
v1 e2 e4
v4
（G图）
v5
e7
v4
2019/1/8
(a)
v5
v4
(b)
v5
15
图与网络的基本知识
网络（赋权图）
设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应赋予数量指标 wij，wij称为边(vi,vj)的权,赋予权的图G称为网络(或赋权图）。 权可以代表距离、费用、通过能力(容量)等等。 端点无序的赋权图称为无向网络，端点有序的赋权图称为有 向网络。 ② 15 ⑤ 7 14 9 ④ 10 ① 6 19 ⑥ 20 25 ③ 2019/1/8
B
一 笔 D 画 问 题
2
图与网络的基本知识
环球旅行问题：
2019/1/8
3
图与网络的基本知识
环球旅行问题的解
另一个著名的问题: 中国邮路问题
4
2019/1/8
图与网络的基本知识
图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短 曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。 图的定义：
(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c) 时可以清楚看出。
2019/1/8 11
图与网络的基本知识
次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点vi相关联的边的数目称为 点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。 右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次 为奇数的点称作奇点，次为偶数的
图与网络的基本知识
子图，生成子图(支撑子图) 图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果有
V1 V2 和E1 E 2 称G1是G2的一个子图。 若有 V1＝V2，E1 E 2 ，则称G1是G2的一
v2 e5 e6 e3 v3 e6 e8 e7 e8 e2 e1 v1 e4 e3 v3
e6
e5
e7 e8
v4
v5
联，称点vi和vj相邻；若边ei和ej具
有公共的端点，称边ei和ej相邻。
2019/1/8
边数：m(G)=|E|=m 顶点数：n(G)=|V|=n
7
图与网络的基本知识
无向图,有向图 无向边与无向图：若图中任一条边的端点无序，即(vi, vj) 与(vj, vi)是同一条边，则称它为无向边，此时图称为无向 图。 有向图：若图中边(vi, vj)的端点是有序的，则称它是有向 边（或弧），vi与vj分别称为这条有向边的始点和终点，相 应的图称为有向图。
(v1) 赵 e1
(v2)钱 e2
(v3)孙
e4 (v4) 李
e3
(v5) 周 e5
(v7)陈
Hale Waihona Puke (v6)吴e2(v1) e1 e4 e3 赵 (v2)钱 孙(v3) 李(v4) 周(v5) e5 吴(v6) 陈(v7)
可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
2019/1/8 6
图与网络的基本知识
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它所连
v2 e5 e6 e1
e2
v1
e4
e3
v3
e8
e7
点称作偶点，次为1的点称为悬挂点，
次为0的点称作孤立点。
v4 v5
图的次: 一个图的次等于各点的次之和。
2019/1/8
12
图与网络的基本知识
d(v1)=4
e1 偶点 悬挂点
d(v2)=3
e2
v2 e5 奇点
v1 e3 e4 e6 v3
v4
悬挂边
v5
e7
e8
v4
v5
简单图
2019/1/8
多重图
9
图与网络的基本知识
完全图
每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为无向完全图； 有向完全图是指每一对顶点间有且仅有一条有向边的简单 图。
完全图顶点数n与边数m间成立如下关系:
m=n(n-1)/2
2019/1/8
10
图与网络的基本知识
二部图（偶图） 图G=(V,E)的点集V可以分为两各非空子集X，Y，集 X∪Y=V,X∩Y=Ø,使得同一集合中任意两个顶点均不 相邻，称这样的图为二部图（偶图）。 v1 v3 v5 (a) v2 v4 v6 v2 (b) v4 v4 (c) v3 v1 v3 v1 v2
图与网络分析
本章主要内容： 图与网络的基本知识
最短路问题
最大流问题
2019/1/8
1
图与网络的基本知识
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A
C
A
D
C
B
问题：一个散步者能否从任一 块陆地出发，走过七座桥，且 每座桥只走过一次，最后回到 出发点？ 结论：不能。每个结点关联的 边数要均为偶数。 2019/1/8
孤立点
2019/1/8
13
图与网络的基本知识
图中顶点次的性质 定理1 任何图中顶点次数的总和等于边数的2倍。 定理2 任何图中次为奇数的顶点必有偶数个。 定义6 在有向图中，以顶点v为始点的边数称为顶点v的 出次，记为d+(v)；以v为终点的边数称为v的入次，记为 d-(v)。顶点v的出次与入次的和称为点v的次。 定义7 图G=(V, E), 若E'是E的子集，若V'是V的子集，且 E'中的边仅与V'中的顶点相关联，则称G' = (V', E')为图 G的一个子图，特别地，若V' =V, 则称G'为G的一个生 成子图（支撑子图）。
若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系， 则图G可以定义为点(顶点)和边的集合，记作：
G {V , E }
其中: V——点集 E——边集
※ 图G区别于几何学中的图。这里只关心图中有多少个点以 及哪些点之间有连线。
2019/1/8 5
图与网络的基本知识
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来 表示。
无向图
2019/1/8
有向图
8
图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图 如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间多于一条，称为多重边，如右图
v2 e5
多重边
e2
e1 v1
环
e3 v3
e4
中的e4和e5，对无环、无多重边的图
称作简单图。含多重边的图称为多重 图。
e6
接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5}， E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7, e8}， v2 e2
e1 v1 e4 e3 v3
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj 是边e的端点，反之称边e为点vi或vj 的关联边。若点vi、vj与同一条边关
个生成子图(支撑子图)。
e4 v2 e5 e6 e8 v3 v2
v1 e2 e4
v4
（G图）
v5
e7
v4
2019/1/8
(a)
v5
v4
(b)
v5
15
图与网络的基本知识
网络（赋权图）
设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应赋予数量指标 wij，wij称为边(vi,vj)的权,赋予权的图G称为网络(或赋权图）。 权可以代表距离、费用、通过能力(容量)等等。 端点无序的赋权图称为无向网络，端点有序的赋权图称为有 向网络。 ② 15 ⑤ 7 14 9 ④ 10 ① 6 19 ⑥ 20 25 ③ 2019/1/8
B
一 笔 D 画 问 题
2
图与网络的基本知识
环球旅行问题：
2019/1/8
3
图与网络的基本知识
环球旅行问题的解
另一个著名的问题: 中国邮路问题
4
2019/1/8
图与网络的基本知识
图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短 曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。 图的定义：
(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c) 时可以清楚看出。
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图与网络的基本知识
次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点vi相关联的边的数目称为 点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。 右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次 为奇数的点称作奇点，次为偶数的