【精品】2015-2016年山东省济宁市曲师大附中高一(上)期末数学试卷带解析

2015-2016学年山东省济宁市曲师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5.00分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U （A∩B）=（）A．{2，3}B．{1，4，5}C．{4，5}D．{1，5}2．（5.00分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．3．（5.00分）与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=04．（5.00分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．（5.00分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）6．（5.00分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m∥n，m⊥α，则n⊥α7．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，2]B．（0，2） C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]8．（5.00分）直线l1：ax﹣y+b=0，l2：bx﹣y+a=0（a、b≠0，a≠b）在同一坐标系中的图形大致是（）A．B．C．D．9．（5.00分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A．B．4πC．2πD．10．（5.00分）若直线kx﹣y﹣2k+4=0恒过定点P，幂函数y=f（x）也过点P，则f（x）的解析式为（）A．y=x2 B．y=x3 C．y=x﹣1D．y=11．（5.00分）已知平面α与平面β相交于直线l，l1在平面α内，l2在平面β内，若直线l1和l2是异面直线，则下列说法正确的是（）A．l与都相交l1，l2 B．l至少与l1，l2中的一条相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l与l1，l2都不相交12．（5.00分）已知a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，若点M（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5.00分）lg+2lg2﹣（）﹣1=．14．（5.00分）△ABC中，已知点A（2，1），B（﹣2，3），C（0，1），则BC边上的中线所在直线的一般式方程为．15．（5.00分）已知函数f（x）=x2﹣kx﹣8在区间[2，5]上具有单调性，则实数k的取值范围是．16．（5.00分）如图所示：四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，给出下列结论：•①AC⊥SB；②‚AB∥平面SCD；ƒ③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；④AB与SC所成的角的等于DC与SA所成的角；其中正确结论的序号是．（把你认为所有正确结论的序号都写在上）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10.00分）已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x﹣k≤0}，（1）若k=1，求A∩∁U B（2）若A∩B≠∅，求k的取值范围．18．（12.00分）一个正方体的平面展开图及正方体的直观图的示意图如图所示：（Ⅰ）请将字母E，F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（Ⅱ）在正方体中，判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．19．（12.00分）已知直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：x﹣y+a=0．（1）若直线l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐标；（2）若直线l1∥l2，求a的值及直线l1与l2的距离．20．（12.00分）物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则tmin后物体的温度f（t）满足：f（t）=θ0+（θ1﹣θ0）•e﹣kt（其中k为正的常数，e=2.71828…为自然对数的底数），现有65℃的物体，放在15℃的空气中冷却，5min以后物体的温度是45℃．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求从开始冷却，经过多少时间物体的温度是25.8℃？（Ⅲ）运用上面的数据，作出函数f（t）的图象的草图．21．（12.00分）如图，梯形ABCD所在平面与以AB为直径的圆所在平面垂直，O 为圆心，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2CD．若点P是⊙O上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求证：BP⊥平面APD；（Ⅱ）设平面BPC与平面OPD的交线为直线l，判断直线BC与直线l的位置关系，并加以证明；（Ⅲ）求几何体DOPA与几何体DCBPO的体积之比．22．（12.00分）设函数f（x）=1+a•（）x+（）x，a∈R．（Ⅰ）不论a为何值时，f（x）不是奇函数；（Ⅱ）若对任意x∈[0，1]，不等式f（x）≤2016恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围．2015-2016学年山东省济宁市曲师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5.00分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U （A∩B）=（）A．{2，3}B．{1，4，5}C．{4，5}D．{1，5}【解答】解：集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}所以A∩B={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}；∁U（A∩B）={1，4，5}；故选：B．2．（5.00分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．【解答】解：∵，∴f（﹣2）=2﹣2=，f（f（﹣2））=f（）=1﹣=．故选：C．3．（5.00分）与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=0【解答】解：令x=0，则y=，可得直线3x﹣4y+5=0与y轴的交点．令y=0，可得x=﹣，可得直线3x﹣4y+5=0与x轴的交点，此点关于y轴的对称点为．∴与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线经过两点：，．其方程为：=1，化为：3x+4y﹣5=0．故选：A．4．（5.00分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：函数y=0.6x为减函数；故a=0.60.6＞b=0.61.5，函数y=x0.6在（0，+∞）上为增函数；故a=0.60.6＜c=1.50.6，故b＜a＜c，故选：C．5．（5.00分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选：B．6．（5.00分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m∥n，m⊥α，则n⊥α【解答】解：A同时平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，也可能是异面直线，∴A错误．B．时平行于同条直线的两个平面，不一定平行，可能相交，∴B错误．C．当m∥α，α⊥β，则m⊥β不一定成立，可能相交，可能平行，∴C错误．D．若m∥n，m⊥α，则根据直线平行的性质可知，n⊥α成立，∴D正确．故选：D．7．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，2]B．（0，2） C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]【解答】解：函数f（x）=，由题意得：，解得：0＜x＜2，故选：B．8．（5.00分）直线l1：ax﹣y+b=0，l2：bx﹣y+a=0（a、b≠0，a≠b）在同一坐标系中的图形大致是（）A．B．C．D．【解答】解：直线l1：ax﹣y+b=0可化为y=ax+b．直线l2：bx﹣y+a=0可化为y=bx+a．∵a≠b，∴直线l1，l2不平行．故A不正确．选项B中，截距b＞0，a＞0．而斜率．故B不正确．选项D中，两直线斜率a＞0，b＞0．而直线l1的截距b＜0．故D不正确．故选：C．9．（5.00分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A．B．4πC．2πD．【解答】解：根据三视图作出棱锥D﹣ABC的直观图，其中底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，DC⊥底面ABC，DC=，取AB中点E，过E作EH⊥底面ABC，且HE==．连结AH，则H为三棱锥外接球的球心．AH为外接球的半径．∵AE==，∴AH==1．∴棱锥外接球的体积V==．故选：D．10．（5.00分）若直线kx﹣y﹣2k+4=0恒过定点P，幂函数y=f（x）也过点P，则f（x）的解析式为（）A．y=x2 B．y=x3 C．y=x﹣1D．y=【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+4=0可化为k（x﹣2）﹣y+4=0，令，解得，即该直线恒过定点P（2，4）；又幂函数y=f（x）=x a也过点P，即2a=4，解得a=2；所以f（x）=x2．故选：A．11．（5.00分）已知平面α与平面β相交于直线l，l1在平面α内，l2在平面β内，若直线l1和l2是异面直线，则下列说法正确的是（）A．l与都相交l1，l2 B．l至少与l1，l2中的一条相交C．l至多与l 1，l2中的一条相交D．l与l1，l2都不相交【解答】解：A．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；B．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．C．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；D．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；故选：B．12．（5.00分）已知a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，若点M（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，∴c=，又∵点M（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上，∴m2+n2表示直线l上的点到原点距离的平方，∴m2+n2的最小值为原点到直线l距离的平方，由点到直线的距离公式可得d==2，∴m2+n2的最小值为d2=4，故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5.00分）lg+2lg2﹣（）﹣1=﹣1．【解答】解：lg+2lg2﹣（）﹣1=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=1﹣2=﹣1．故答案为﹣1．14．（5.00分）△ABC中，已知点A（2，1），B（﹣2，3），C（0，1），则BC边上的中线所在直线的一般式方程为x+y﹣3=0．【解答】解：线段BC的中点为M（﹣1，2），∴K BM==﹣1∴BC边上的中线所在的直线方程为y﹣2=﹣（x+1），化为：x+y﹣3=0，故答案为：x+y﹣3=0．15．（5.00分）已知函数f（x）=x2﹣kx﹣8在区间[2，5]上具有单调性，则实数k的取值范围是（﹣∞，4]∪[10，+∞）．【解答】解：f（x）图象的对称轴是x=，∵f（x）=x2﹣kx﹣8在[2，5]上具有单调性，∴≤2或≥5．解得k≤4或k≥10．故答案为（﹣∞，4]∪[10，+∞）．16．（5.00分）如图所示：四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，给出下列结论：•①AC⊥SB；②‚AB∥平面SCD；ƒ③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；④AB与SC所成的角的等于DC与SA所成的角；其中正确结论的序号是①②③．（把你认为所有正确结论的序号都写在上）【解答】解：连接SO，如右图：∵四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，∴AC⊥BD、AB=AD=BC=CD、AC=BD，∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC，∵SD∩BD=D，∴AC⊥平面SBD，∵SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB，则①正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，则②正确；∵SD⊥底面ABCD，∴∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角，∵AD=CD，SD=SD，∴∠SAD=∠SCD，则③正确；∵AB∥CD，∴∠SCD是AB与SC所成的角，∠SAB是DC与SA所成的角，∵△SDA≌△SDC，∴SA=SC，∵AB=CD，SB＞SD，∴∠SCD≠∠SAB，则④不正确，故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10.00分）已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x﹣k≤0}，（1）若k=1，求A∩∁U B（2）若A∩B≠∅，求k的取值范围．【解答】解：（1）把k=1代入B得：B={x|x≤1}，∵全集U=R，∴∁U B={x|x＞1}，∵A={x|﹣1≤x＜3}，∴A∩∁U B={x|1＜x＜3}；（2）∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x﹣k≤0}={x|x≤k}，且A∩B≠∅，∴k≥﹣1．18．（12.00分）一个正方体的平面展开图及正方体的直观图的示意图如图所示：（Ⅰ）请将字母E，F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（Ⅱ）在正方体中，判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）点E，F，G，H的位置如图所示．（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：连接AH，AC，CH，BE，BG，EG∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴BC∥FG，BC=FG，又FG∥EH，FG=EH，∴BC∥EH，BC=EH，∴BCHE为平行四边形．∴BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，∴BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG=B，∴平面BEG∥平面ACH．19．（12.00分）已知直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：x﹣y+a=0．（1）若直线l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐标；（2）若直线l1∥l2，求a的值及直线l1与l2的距离．【解答】解：（1）∵直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：x﹣y+a=0，当直线l1⊥l2时，a×1+2×（﹣1）=0，解得a=2，∴l1：2x+2y+1=0，直线l2：x﹣y+2=0，联立解得∴a的值为2，垂足P的坐标为（，）；（2）当直线l1∥l2时，，解得a=﹣2，∴l1：﹣2x+2y+1=0，直线l2：﹣2x+2y+4=0，由平行线间的距离公式可得d==∴a的值为﹣2，直线l1与l2的距离为20．（12.00分）物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则tmin后物体的温度f（t）满足：f（t）=θ0+（θ1﹣θ0）•e﹣kt（其中k为正的常数，e=2.71828…为自然对数的底数），现有65℃的物体，放在15℃的空气中冷却，5min以后物体的温度是45℃．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求从开始冷却，经过多少时间物体的温度是25.8℃？（Ⅲ）运用上面的数据，作出函数f（t）的图象的草图．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，θ1=65，θ0=15，当t=5时，θ=45，于是e﹣5k=化简得：﹣5k=ln，即k=ln；（Ⅱ）由（I）可知f（t）=15+50e﹣kt，（其中k=ln），∴由25.8=15+50e﹣kt，得e﹣kt=，结合k=ln，得（）e t=，得t=15．∴从开始冷却，经过15min物体的温度是25.8°．（Ⅲ）由f（t）=15+50e﹣kt，（其中k=ln），知函数的图象如图：图象在第一象限内，过点（0，65），在[0，+∞）上是减函数，y=15是渐近线．21．（12.00分）如图，梯形ABCD所在平面与以AB为直径的圆所在平面垂直，O 为圆心，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2CD．若点P是⊙O上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求证：BP⊥平面APD；（Ⅱ）设平面BPC与平面OPD的交线为直线l，判断直线BC与直线l的位置关系，并加以证明；（Ⅲ）求几何体DOPA与几何体DCBPO的体积之比．【解答】（I）证明：∵∠BAD=90°，∴AD⊥AB．∵平面ABCD⊥平面⊙O，平面ABCD∩平面⊙O=AB，∴DA⊥平面⊙O，∵PB⊂平面⊙O，∴DA⊥PB．∵AB是⊙O的直径，∴PA⊥PB．又PA⊂平面APD，DA⊂平面APD，PA∩DA=A，∴PB⊥平面APD．（II）BC∥l．证明：∵AB∥CD，AB=2CD，O是圆心，∴OB∥CD，OB=CD，∴四边形OBCD是平行四边形，∴BC∥OD，又BC⊄平面OPD，OD⊂平面OPD，∴BC∥平面OPD，∵BC⊂平面BPC，平面BPC∩平面OPD=l，∴BC∥l．（III）设平行线AB，CD间的距离为d，圆O的半径为r，P到平面ABCD的距离为h，则几何体DOPA的体积V1===．几何体DCBPO的体积V2=•h=．∴．22．（12.00分）设函数f（x）=1+a•（）x+（）x，a∈R．（Ⅰ）不论a为何值时，f（x）不是奇函数；（Ⅱ）若对任意x∈[0，1]，不等式f（x）≤2016恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）假设f（x）是奇函数，则f（0）=1+a+1=0，∴a=﹣2，∵f（1）=，f（﹣1）=1，∴f（﹣1）≠f（1）∴不论a为何值时，f（x）不是奇函数；（Ⅱ）若对任意x∈[0，1]，不等式f（x）≤2016恒成立，则a≤2015•2x﹣．设g（x）=2015•2x﹣，x∈[0，1]，则函数是增函数，∴a≤g（0）=2014；（Ⅲ）令t=，∵f（x）有两个不同的零点，∴h（t）=t2+at+1有两个不同的正的零点，∴，∴a＜﹣2．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。