湘教版数学九年级下册2.3垂径定理课件
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九年级数学湘教版下册课件：2.3 垂径定理 (共10张PPT)
CD为
｝ 直径
｛ CD⊥A
B 过圆心
｝｛ 垂直于
CD平分弦
点CA平B分A C B 弧点D平分AD B
弧 平分弦
平分弦所对的
优弧
弦
平分弦所对的
劣弧
C
O
A
B
D
【例1】如图，弦AB=8 cm，CD是⊙O的直
径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2 cm，求⊙O
的 解直：径连C接DO的A.长.（cm）.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月7日星期二2021/9/72021/9/72021/9/7 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/72021/9/7September 7, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/7
第二章 圆
*2.3垂径定理
思
如图考，在⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O
的直径，且CD⊥AB，垂足为E. 试问：AE与BA CE，B C 与A D B，D 与
C
分别
相等吗？
O
A
B
D
因为圆是轴对称图形，将 ⊙O沿直径CD对折，如图，
九年级下册数学课件(湘教版)垂径定理
C
弓形中重要数量关系
h
A
aD
B
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r
r 2d
之间有以下关系：d+h=r
r2
d
2
a 2
2
O
练一练
如图a、b,一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的
圆的半径为7cm，则弓形的高为＿2c＿m＿或_1_2_c_m＿.
C C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
典例精析
在Rt△AOF中，由勾股定理可知：
AO2=AF2+OF2， 即r2=32+（r-2）2，解得r=
13 143 4
m．
即，AB所在圆O的半径为 m．
1.如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm, 则AB= 16 cm.
·O
AE
B
2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条 弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是 正方形．
第2章 圆 2.3 垂径定理
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆的对称性. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它 解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
问题引入 问题1圆是轴对称图形吗？
圆是轴对称图形 问题2它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
∵OA2 AD2 OD2 R2=18.52+(R-7.23)2 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m.
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆
九年级数学下册 第2章 圆 2.3 垂径定理教学课件下册数学课件
E
求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。
DE=2cm 8cm
7、如图所示,⊙O的直径长4cm，
C是AB的中点，弦AB、CD交于点P，
CD=2√3cm，求∠APC的度数。
∠APC=∠COF=60°
A
A D O· EF PB
O·D B
E
8、如图，CD为圆O的直径(zhíjìng)，弦AB
C
A
交 CD于E，∠ CEB=30°，DE=9㎝， 由C条E=件3㎝：，DC求=弦12A，BO的C长=6。，OE=OC-EC=3
4.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为
B
C
A
8
D
12
B
12/10/2021
O
8cm，则这弓形所在圆的半径为
.
13cm
第八页，共二十四页。
5、如图，AC⊥BO，AC=8cm，BA=5cm，
则⊙O的半径为
25 6
c，mAC的弦心距为
7 6
。cm
6、如图，AB是⊙O的弦，P是AB上一点(yī diǎn)，
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，
A EB
圆心(yuánxīn)O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
·O
解：连结(lián jié)OA∵OE ┴ AB于E. OE=3
∴AE=
1 2
AB=4
由勾股定理得： ∴OA=√ AE2+OE2 =5
圆心到弦的距离、半径、弦的一半构成直角
37.4
若AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，则⊙O的半
径等于 c7m。
7、已知，M是⊙O内一点(yī diǎn)，已知过点M的
C
九年级数学下册 2.3 垂径定理课件 (新版)湘教版
三角形．
解：过 O 作 OG⊥AB 于 G，则 AG＝BG
又 AC＝BD，∴AG＋AC＝BG＋BD
即 CG＝DG，∴OC＝OD
即△OCD 是等腰三角形
精品课件
12
14．(10 分)如图是一个半圆形桥洞截面示意图， 圆心为 O，直径 AB 是河底线，弦 CD 是水位线，CD ∥AB，且 CD＝24 cm，OE⊥CD 于 E，测得 sin∠DOE
16
(2)OE＝ OD2－DE2＝ 132－122＝5(cm)，5÷0.5
＝10(小时)，∴经过 10 小时才能将水排干
精品课件
14
15．(10 分)如图，将一个两边都带有刻度的直尺 放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心 O，另一边所 在直线与半圆相交于点 D，E，量出半径 OC＝5 cm， 弦 DE＝8 cm.求直尺的宽．
4．(4 分)如图，M 是 CD 的中点，EM⊥CD，若 CD＝4，EM＝8，则所在圆的半径是__147__．
精品课件
4
5．(12 分)如图所示，某窗户由矩形和弓形组成， 已知弓形的跨度 AB＝3 m，弓形的高 EF＝1 m，现计
划安装玻璃，请帮工程师求出A︵B所在⊙O 的半径 r.
解：∵OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32，OA＝r，OF ＝OE－EF＝r－1，在 Rt△AOF 中，OA2－OF2＝AF2，
精品课件
8
10．如图，在半径为 5 的⊙O 中，AB，CD 是互相 垂直的两条弦，垂足为 P，且 AB＝CD＝8，则 OP 的 长为( C )
A．3 B．4 C．3 2 D．4 2
精品课件
9
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 11．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为 8，P 是⊙O 上的一个动点(不与 A，B 重合)，过点 O 作 OC⊥AP 于 点 C，OD⊥PB 于点 D，则 CD 的长为__4__．
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●
●
O ●O
●
O
O
●
B
●
想一想
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直 线上),你能作出几个这样的圆? 你准备如何(确定圆心,半径)作圆？ 其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什么关系？ A 老师提示: 能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆 ●O 的圆心在线段AB的垂直平分线上. ┏ C B 经过两点B,C的圆的圆心在线段AB的垂 直平分线上. 经过三点A,B,C的圆的圆心应该这两条 垂直平分线的交点O的位置.
G
做一做
三角形与圆的位置关系
驶向胜利 的彼岸
因此,三角形的三个顶点确定一 个圆,这圆叫做三角形的外接圆. 这个三角形叫做圆的内接三角形.
●
A O C
外接圆的圆心是三角形三边垂直 平分线的的交点,叫做三角形的外 B 心. 老师提示: 多边形的顶点与圆的位置关系称为接.
随堂练习
三角形与圆的位置关系
湘教版九年级下册第二章
2.4 过不共线三点作圆
读一读
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
类比确定直线的条件: 经过一点可以作无数条直线；
●
A
●
A
●
B
经过两点只能作一条直线.
猜一猜
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
1.想一想,经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…, 呢？
●
●
O O
●
●
A
●
O
●
O
●
●
●
E
C D
●
议一议
三点Байду номын сангаас圆
驶向胜利 的彼岸
定理 不在一条直线上的三个点确定一个圆. 在上面的作图过程中. F A ∵直线DE和FG只有一个交点O,并 E 且点O到A,B,C三个点的距离相等,
●
∴经过点A,B,C三点可以作一 个圆,并且只能作一个圆.
●
B
┏
●
O
C D
●
老师期望: 将这个结论及其证明作为一种模型对待.
驶向胜利 的彼岸
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外 接圆,并说明与它们外心的位置情况
A
A
●
A
●
O C
O
●
O C
B
B
┐
C
锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位 于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外. 老师期望: 作三角形的外接圆是必备基本技能 ,定要熟练掌握.
● ● ●
想一想
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条 直线上). 以O为圆心,OA(或OB,或OC)为半径,作⊙O即可. F A 请你证明你做得圆符合要求 .
●
证明:∵点O在AB的垂直平分线上， ●O ∴OA=OB. ┏ B 同理,OB=OC. ∴OA=OB=OC. 这样的圆可 G ∴点A,B,C在以O为圆心的圆上. 以作出几个? ∴⊙O就是所求作的圆, 为什么?.
O ●O
●
O
A
O
●
B
●
O
1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆?
2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?
读一读
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆. 你准备如何(确定圆心,半径)作圆？ 其圆心的分布有什么特点?与线 段AB有什么关系？ A 经过两点A,B的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上. 以线段AB的垂直平分线上的任意 一点为圆心,这点到A或B的距离为 半径作圆.
B
结束寄语
下课了!
盛年不重来,一日难再晨, 及时宜自勉,岁月不待人.
●
O ●O
●
O
O
●
B
●
想一想
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直 线上),你能作出几个这样的圆? 你准备如何(确定圆心,半径)作圆？ 其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什么关系？ A 老师提示: 能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆 ●O 的圆心在线段AB的垂直平分线上. ┏ C B 经过两点B,C的圆的圆心在线段AB的垂 直平分线上. 经过三点A,B,C的圆的圆心应该这两条 垂直平分线的交点O的位置.
G
做一做
三角形与圆的位置关系
驶向胜利 的彼岸
因此,三角形的三个顶点确定一 个圆,这圆叫做三角形的外接圆. 这个三角形叫做圆的内接三角形.
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A O C
外接圆的圆心是三角形三边垂直 平分线的的交点,叫做三角形的外 B 心. 老师提示: 多边形的顶点与圆的位置关系称为接.
随堂练习
三角形与圆的位置关系
湘教版九年级下册第二章
2.4 过不共线三点作圆
读一读
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
类比确定直线的条件: 经过一点可以作无数条直线；
●
A
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A
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B
经过两点只能作一条直线.
猜一猜
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
1.想一想,经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…, 呢？
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O O
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A
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C D
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议一议
三点Байду номын сангаас圆
驶向胜利 的彼岸
定理 不在一条直线上的三个点确定一个圆. 在上面的作图过程中. F A ∵直线DE和FG只有一个交点O,并 E 且点O到A,B,C三个点的距离相等,
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∴经过点A,B,C三点可以作一 个圆,并且只能作一个圆.
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老师期望: 将这个结论及其证明作为一种模型对待.
驶向胜利 的彼岸
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外 接圆,并说明与它们外心的位置情况
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锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位 于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外. 老师期望: 作三角形的外接圆是必备基本技能 ,定要熟练掌握.
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想一想
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条 直线上). 以O为圆心,OA(或OB,或OC)为半径,作⊙O即可. F A 请你证明你做得圆符合要求 .
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证明:∵点O在AB的垂直平分线上， ●O ∴OA=OB. ┏ B 同理,OB=OC. ∴OA=OB=OC. 这样的圆可 G ∴点A,B,C在以O为圆心的圆上. 以作出几个? ∴⊙O就是所求作的圆, 为什么?.
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1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆?
2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?
读一读
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆. 你准备如何(确定圆心,半径)作圆？ 其圆心的分布有什么特点?与线 段AB有什么关系？ A 经过两点A,B的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上. 以线段AB的垂直平分线上的任意 一点为圆心,这点到A或B的距离为 半径作圆.
B
结束寄语
下课了!
盛年不重来,一日难再晨, 及时宜自勉,岁月不待人.