数理方程第二版谷超豪答案

=
∂ ∂x
( ESu x
)
若 s(x) = 常量，则得
即得所证。
ρ(x) ∂ 2u = ∂ (E(x) ∂u )
∂t 2 ∂x
∂x
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试
分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
数学物理方程答案
解：(1)杆的两端被固定在 x = 0, x = l 两点则相应的边界条件为
域中解的数值。
证：（1） 非齐次方程初值问题的解为
∫ u(x,t)= 1 [ϕ (x − at) + ϕ (x + at)] + 1
x + at
ψ (α )dα +
2
2a x−at
∫ ∫ 1 t
+
x+a(t −τ )
f (ξ ,τ )dξdτ.
2a x−a(t−τ ) 0
当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐 次方程初值的解。
2(h − x)
∫ 1
+
x + at
(h − α )ψ ( α )dα.
2a(h − x) x−at
即为初值问题的解散。
２．问初始条件ϕ (x) 与ψ (x) 满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传
播波组成？ 解：波动方程的通解为 u=F(x-at)+G(x+at)
其中 F，G 由初始条件ϕ (x) 与ψ (x) 决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对
数学物理方程答案
数学物理方程第二版答案
第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以 u(x,t)表示静止时在 x 点处的点
在时刻 t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明 u(x, t) 满足
方程
∂ ρ(x) ∂u = ∂ E ∂u
ρ
(
x
)s
(x
)
∂ 2u ∂t 2
=
∂ ∂x
ES
∂u ∂x
− bρ (x)s(x) ∂u
∂t
.
若 s(x) = 常数，则得
ρ (x) ∂ 2u
∂t 2
=
∂ ∂x
E
∂u ∂x
− bρ(x) ∂u
∂t
若 ρ(x) = ρ是常量, E(x) = E也是常量.令a2 = E ,则得方程
ρ
∂ 2u + b ∂u = a 2 ∂ 2u .
2t 2 + x2 + y 2
=
∂2u ∂t 2
.
即得所证。 6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力) 与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为 b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足 的微分方程.
解: 利用第 1 题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段 (x, x + ∆x) 上所受的摩阻力.由题设,
当ϕ (x), ψ (x) 在[ x1, x2 ]上发生变化，若对任何 t>0,有 x+at<x 1 或 x-at>x 2 ,则区间[x-at,x+at]
整个落在区间[ x1, x2 ]之外，由解的表达式知 u(x,t)不发生变化，即对 t>0,当 x<x 1 -at 或 x>x 2 +at,
也就是（x,t）落在区间[ x1, x2 ]的影响域 xt − at ≤ x ≤ x2 + at (t > 0)
t = 0 : u = ϕ(x), ∂u = Ψ(x).
∂t
解：令 (h − x)u = v 则
(h − x) ∂u = u + ∂v , (h − x)2 ∂u = (h − x)u + ∂v
∂x
∂x
∂x
∂x
∂
[(h
−
x)2
∂u
=
−(u
+
∂v )
+
(h
−
x)
∂u
+
(h
−
x)2
∂u
=
(h
−
x)(u
其中θ (x) 表示T (x) 方向与 x 轴的夹角
又
sinθ ≈ tgθ = ∂u
∂x.
于是得运动方程
ρ∆x
∂2u ∂t 2
= [l
− (x
+
∆x)] ∂u ∂x
∣
x + ∆x
ρg
− [l
−
x] ∂u ∂x
∣x
ρg
利用微分中值定理，消去 ∆x ，再令 ∆x → 0 得
∂2u ∂t 2
=
g
∂ [(l ∂x
=
t2
− x2
−
y2
−3 2
+3t2
− x2
− y2
−
5 2
x
2
∂x 2
( ) ( ) =
t2
− x2
−
y2
−5 2
t2
+ 2x2
−
y2
同理
( ) ( ) ∂2u
=
t2
− x2
−
y2
−5 2
t2
− x2
+ 2y2
∂y 2
所以
( ) ( ) ∂2u
∂x 2
+
∂2u ∂y 2
=
t2 − x2 − y2
−5 2
+
∂2v )
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂2x
又
(h − x) ∂ 2u = ∂ 2v
∂t 2 ∂t 2
代入原方程，得
(h − x) ∂ 2v = 1 (h − x) ∂ 2v
∂x 2 a 2
∂t 2
即
∂2v = 1 ∂2v
∂x 2 a 2 ∂t 2
由波动方程通解表达式得
v(x,t) = F(x − at) + G(x + at)
所以 且
F(x)=ψ ( x ) -G(0). 2
G（x）=ϕ ( x ) -F(0). 2
F（0）+G(0)=ϕ (0) = ψ (0).
所以
u(x,t)=ϕ ( x + at ) +ψ ( x − at ) -ϕ (0).
2
2
即为古尔沙问题的解。
4．对非齐次波动方程的初值问题
∂2u
∂t
2
t=
−
x)
∂u ] 。 ∂x
5. 验证 u(x, y,t) =
1
在锥 t 2 − x 2 − y 2 >0 中都满足波动方程
t2 − x2 − y2
∂2u ∂t 2
=
∂2u ∂x 2
+
∂2u ∂y 2
证：函数 u(x,
y,t)
=
1
在锥 t 2 − x 2 − y 2 >0 内对变量
t2 − x2 − y2
偏移由函数 v(t) 给出，则在 x = l 端支承的伸长为 u(l, t) − v(t) 。由虎克定律有
E
∂u ∂x
∣
x=l
=
−k[u (l , t )
−
v(t)]
其中 k 为支承的刚度系数。由此得边界条件
( ∂u ∂x
+ σu) ∣ x=l =
f (t)
其中σ = k E
特别地，若支承固定于一定点上，则 v(t) = 0, 得边界条件
x, y,t 有
二阶连续偏导数。且
∂u
=
−(t 2
−
x2
−
y
2
)
−
3 2
⋅t
∂t
∂2u
=
−(t 2
−
x2
−
y
2
)
−
3 2
+ 3(t 2
−
x2
−
y
2
)
−
5 2
⋅t2
∂t 2
=
(t 2
−
x2
−
y
2
)
−
3 2
⋅ (2t 2
+
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x2
+
y2)
∂u
=
(t 2
−
x2
−
y
2
)
−
3 2
⋅x
∂x
数学物理方程答案
( ) ( ) ∂2u
单位质量所受摩阻力为 − b ∂u ,故 (x, x + ∆x) 上所受摩阻力为
∂t
− b ⋅ p(x)s(x)⋅ ∆x ∂u
∂t
运动方程为:
ρ
(x
)s(x
)∆x
⋅
∂2u ∂t 2
=
ES ∂u ∂t
x+∆x
−
ES
∂u ∂x
x
− b ⋅ ρ(x)s(x)∆x ∂u
∂t
利用微分中值定理，消去 ∆x ,再令 ∆x → 0 得
∂t ∂t ∂x ∂x
其中 ρ 为杆的密度， E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与 x + ∆x 。现在计算这段杆 在时刻 t 的相对伸长。在时刻 t 这段杆两端的坐标分别为：
x + u(x,t); x + ∆x + u(x + ∆x,t)
其相对伸长等于
[x
数学物理方程答案
于任何 x, t 有 G(x+at) ≡ 常数.
即对任何 x, G(x) ≡ C 0
又
∫ G（x）= 1 ϕ (x) + 1
x
ψ (α )dα
−
C
2
2a x0
2a
所以ϕ (x),ψ (x) 应满足
∫ ϕ(x) +
1 a
x
ψ (α )dα
x0
=
C1
（常数）
或
ϕ ' (x)+ 1 ψ (x) =0
a
3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）
∂x h ∂x
h ∂t 2
其中 h 为圆锥的高(如图 1) 证：如图，不妨设枢轴底面的半径为 1，则 x
点处截面的半径 l 为： l =1− x h
所以截面积 s(x) = π (1 − x )2 。利用第 1 题，得 h
ρ(x)π (1 − x )2 ∂ 2u = ∂ [Eπ (1 − x )2 ∂u ]
E(x)S(x)ux (x,t); E(x + ∆x)S(x + ∆x)ux (x + ∆x,t).
于是得运动方程 ρ(x)s(x) ⋅ ∆x ⋅ utt (x,t) = ESux (x + ∆x) |x+∆x −ESux (x) |x
利用微分中值定理，消去 ∆x ，再令 ∆x → 0 得
ρ ( x)s( x)utt
u(0,t) = 0,u(l,t) = 0.
(2)若
x
=
l
为自由端，则杆在
x
=
l
的张力 T
(l,
t)
=
E(x)
∂u ∂x
|
x=l
等于零，因此相应
∂u 的边界条件为 ∂x | x=l =0
同理，若 x = 0 为自由端，则相应的边界条件为
∂u ∂x
∣
x =0
=
0
(3)若 x = l 端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的
+
c
(2)
由 (1), (2) 两式解出
F(x)
=
1 2
(h
−
x)ϕ(x) +
1 2a
x
∫
xo
(α
−
h)ψ
(α
)dα
+
c 2
G(x)
=
1 2
(h
−
x )ϕ (x )
−
1 2a
x
∫ (α
xo
−
h)ψ
(α
)dα
+
c 2
所以
u(x,t) = 1 [(h − x + at)ϕ (x − at) + (h − x − at)ϕ(x + at)]
− a2 ∂2u = ∂x 2
0,u = ϕ(x),
f (x,t) ∂u = ψ ∂t
(t (x)
> 0,−∞ < x < +∞) (−∞ < x < +∞)
证明：
（1） 如果初始条件在 x 轴的区间[x 1 ,x 2 ]上发生变化，那末对应的解在区间[ x1 ，
x2 ]的影响区域以外不发生变化；
（2） 在 x 轴区间[ x1, x 2 ]上所给的初始条件唯一地确定区间[ x1, x2 ]的决定区
( ∂u ∂x
+
σu)
∣
x=l
=
0
。
同理，若 x = 0 端固定在弹性支承上，则得边界条件
E
∂u ∂x
∣
x=0
=
k[u(0, t )
−
v(t)]
即
( ∂u ∂x
−
σu) ∣
x=0
−
f
(t).
3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 E ∂ [(1 − x )2 ∂u ] = ρ(1 − x )2 ∂ 2u
h ∂t 2 ∂x
h ∂x
若 E(x) = E 为常量，则得
E
∂ ∂x
[(1 −
x)2 h
∂u ∂x
]
=
ρ(1 −
x)2 h
∂2u ∂t 2
数学物理方程答案
4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡 位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图 2，设弦长为 l ，弦的线密度为 ρ ，则 x 点处的张力 T (x) 为
所以
u
=
F(x
−
at) + (h −
G(x x)
+
at )
为原方程的通解。
由初始条件得
ϕ(x) = 1 [F(x) + G(x)]
(1)
h−x
[ ] ψ (x) = 1 − aF / (x) + aG / (x) h−x
数学物理方程答案
所以
F (x) −
G(x)
=
1 a
x
∫
x0
(α
−
h)ψ
(α
)dα
T (x) = ρg(l − x)
且 T (x) 的方向总是沿着弦在 x 点处的切线方向。仍以 u(x,t) 表示弦上各点在时刻 t 沿垂直
于 x 轴方向的位移，取弦段 (x, x + ∆x), 则弦段两端张力在 u 轴方向的投影分别为
ρg(l − x) sinθ (x); ρg(l − (x + ∆x))sinθ (x + ∆x)
∂2u
∂t 2 u
x−at
=
=0
a2 ∂2u ∂x 2
= ϕ(x)
u x+at=0 = ψ (x).
(ϕ(0) = ψ (0))
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解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)
令 x-at=0 得 ϕ (x) =F（0）+G（2x）
令 x+at=0 得 ψ (x) =F（2x）+G(0)
∂t 2 ∂t
∂x 2
§2 达朗贝尔公式、 波的传抪 1. 证明方程
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∂ ∂x
1 −
x h
2
∂u
∂x
=
1 a2
1 −
x h
2
∂2u ∂t 2
(h
0常数)
的通解可以写成
u = F(x − at) + G(x + at)
h−x
其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
+
∆x
+
u(x
+
∆x,t)] − [x ∆x
+
u(x,t)] −
∆x
=
ux (x
+ θ∆x,t)
令 ∆x → 0 ，取极限得在点 x 的相对伸长为 ux (x, t) 。由虎克定律，张力 T (x, t) 等于
T (x,t) = E(x)ux (x,t)
其中 E(x) 是在点 x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为 S (x), 则作用在杆段 (x, x + ∆x) 两端的力分别为